2013高考数学教案和学案(有答案)--第8章 学案37

学案50 总体分布及特征数的估计导学目标：1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．自主梳理1．在频率分布直方图中，纵轴表示____________________，数据落在各小组内的频率用________________表示，所有长方形面积之和________．2．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．3．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的________顺次连结起来，就得频率分布折线图，简称频率折线图．(2)总体密度曲线：如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，那么相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线．4．当样本数据较少时，茎叶图表示数据的效果较好，一是统计图上没有原始数据丢失，二是方便记录与表示，但当样本数据很多时，茎叶图的效果就不是很好了．5．众数、中位数、平均数(1)在一组数据中，出现次数________的数据叫做这组数据的众数．(2)将一组数据按大小依次排列，把处在________位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．(3)如果有n个数a1，a2，……，a n，那么a＝____________________叫做这n个数的平均数．6．标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种__________．(2)标准差：s＝_____________________________________________________________________________________________________________________________________.(3)方差：s2＝_________________________________________________________________________________________________________________________________________(x n是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数)．自我检测1．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组在频率分布直方图的高为h，则|a－b|＝________.2．(2010·福建改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是________和________.3.(2010·滨州一模)在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．4．(2010·山东改编)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为______________．5．(2011·浙江)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．探究点一 频率分布直方图例1 (2010·福州调研)如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息解答下列问题：(图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．(1)求样本中月收入在[2 500,3 500)的人数；(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1 500,2 000)的这段应抽多少人？(3)试估计样本数据的中位数．变式迁移1 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b值分别为________和________．探究点二用样本数字特征估计总体数字特征例2甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如表所示：s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有s1，s2，s3的大小关系为______________，三名运动员中________成绩最稳定．变式迁移2 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．探究点三用茎叶图分析数据例3随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．变式迁移3 (2010·天津汉沽模拟)某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531(1)用茎叶图表示两学生的成绩；(2)分别求两学生成绩的中位数和平均分．1．几种表示频率分布的方法的优点与不足：(1)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便．(2)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式．但从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．(3)频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线．(4)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展示数据的分布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了．2．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·陕西改编)如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本标准差分别为s A和s B，则x A________x B，s A________s B(填大小关系)．2．(2010·宁波期末)10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a＝________，b＝________，c＝________.3．(2010·浙江金华十校3月模拟)为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后五组频数和为62，设视力在4.6～4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为________．4．下图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为______和_______________．|7 8 99 4 4 6 4 7 35．(2011·湖北)有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为________．6．(2010·天津)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为______和______________________________________________．7．(2010·福建)将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.8．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是__________．二、解答题(共42分)9．(14分)甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．10．(14分)(2010·湖北)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．(1)在下面表格中填写相应的频率；1.15，1.30中的概率为多少；(2)估计数据落在[)(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库．几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条．请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．11．(14分)(2010·安徽)某市2010年4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95，91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.(1)完成频率分布表．(2)作出频率分布直方图．(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．学案50 总体分布及特征数的估计答案自主梳理1．频率与组距的比值 小长方形的面积 等于1 3．(1)中点 5．(1)最多 (2)中间(3)a 1＋a 2＋…＋a n n 6．(1)平均距离 (2)1n [x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2] (3)1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]自我检测1．mh解析 在频率分布直方图中横轴是组距，高为频率组距， 所以|a －b |＝mh. 2．91.5 91.5解析 将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故平均数x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5， 中位数为91＋922＝91.5. 3．32解析 ∵中间一个占总面积的15，即15＝x 160， ∴x ＝32.4．2解析 由样本平均值为1，知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，故a ＝－1. ∴样本方差s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2. 5．600解析 由直方图易得数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，所以所求分数小于60分的学生数为3 000×0.2＝600.课堂活动区例1 解题导引 (1)解关于图形信息题的关键是正确理解各种统计图表中各个量的含义，灵活运用这些信息和数据去发现结论．(2)在频率分布直方图中，最高矩形的中点对应值是众数；而中位数的左右两边的直方图面积相等；平均数是直方图的“重心”．解 (1)∵月收入在[1 000,1 500)的概率为0.000 8×500＝0.4，且有4 000人，∴样本的容量n ＝4 0000.4＝10 000；月收入在[1 500,2 000)的频率为0.000 4×500＝0.2；月收入在[2 000,2 500)的频率为0.000 3×500＝0.15；月收入在[3 500,4 000)的频率为0.000 1×500＝0.05.∴月收入在[2 500,3 500)的频率为1－(0.4＋0.2＋0.15＋0.05)＝0.2.∴样本中月收入在[2 500,3 500)的人数为0.2×10 000＝2 000.(2)∵月收入在[1 500,2 000)的人数为0.2×10 000＝2 000，∴再从10 000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1 500,2 000)的这段应抽取100×2 00010 000＝20(人)． (3)由(1)知月收入在[1 000,2 000)的频率为0.4＋0.2＝0.6>0.5，∴样本数据的中位数为1 500＋0.5－0.40.000 4＝1 500＋250＝1 750(元)． 变式迁移1 0.27 78解析 由频率分布直方图知组距为0.1.4．3～4.4间的频数为100×0.1×0.1＝1.4．4～4.5间的频数为100×0.1×0.3＝3.又前4组的频数成等比数列，∴公比为3.从而4.6～4.7间的频数最大，且为1×33＝27.∴a ＝0.27.根据后6组频数成等差数列，且共有100－13＝87(人)．设公差为d ，则6×27＋6×52d ＝87. ∴d ＝－5，从而b ＝4×27＋4×32×(－5)＝78. 例2 s 2>s 1>s 3 丙解析 由已知可得甲、乙、丙的平均成绩均为8.5.方法一 ∵s 21＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，∴s 1＝120[5×7－8.52＋5×8－8.52＋5×9－8.52＋5×10－8.52] ＝2520.同理s 2＝2920，s 3＝2120，∴s 2>s 1>s 3. 丙成绩最稳定．方法二 ∵s 21＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2，∴s 21＝120(5×72＋5×82＋5×92＋5×102)－8.52 ＝73.5－72.25＝1.25＝54， ∴s 1＝2520.同理s 2＝2920，s 3＝2120，∴s 2>s 1>s 3.丙成绩最稳定．变式迁移2 甲解析 x 甲＝x 乙＝9，s 2甲＝15[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s 2乙＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s 2甲，故甲更稳定．例3 解题导引 茎叶图在样本数据较少，较为集中且位数不多时比较适用．由于它较好地保留了原始数据，所以可以帮助我们分析样本数据的大致频率分布，还可以用来分析样本数据的一些数字特征．但当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便了．因为数据较多时，枝叶就会很长，需要占据较多的空间．解 (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间．因此乙班平均身高高于甲班．(2)x ＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170， 甲班的样本方差为110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(3)设身高为176 cm 的同学被抽中的事件为A ，从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件，∴P (A )＝410＝25. 变式迁移3 解 (1)两学生成绩的茎叶图如图所示．(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559从以上排列可知甲学生成绩的中位数为536＋5382＝537. 乙学生成绩的中位数为532＋5362＝534. 甲学生成绩的平均分为500＋12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋5610＝537， 乙学生成绩的平均分为500＋15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋5910＝537. 课后练习区1．< >解析 A 中的数据都不大于B 中的数据，所以x A <x B ，但A 中的数据比B 中的数据波动幅度大，所以s A >s B .2．14.7 15 173．54解析 前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.∵后五组频数和为62，∴前三组为38.∴第三组为22.又最大频率为0.32的最大频数为0.32×100＝32，∴a ＝22＋32＝54.4．85 1.6解析 去掉最高分93，最低分79，平均数为15(84＋84＋86＋84＋87)＝85， 方差s 2＝15[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝85＝1.6. 5．36解析 由0.02＋0.05＋0.15＋0.19＝0.41，∴落在区间[2,10]内的频率为0.41×2＝0.82.∴落在区间[10,12)内的频率为1－0.82＝0.18.∴样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200＝36.6．24 23解析 x 甲＝110(10×2＋20×5＋30×3＋17＋6＋7)＝24， x 乙＝110(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23. 7．60解析 ∵第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，∴前三组频数为2＋3＋420·n ＝27，故n ＝60. 8．10.5,10.5解析 ∵总体的个体数是10，且中位数是10.5，∴a ＋b 2＝10.5，即a ＋b ＝21.∴总体的平均数是10.要使总体的方差最小，只要(a －10)2＋(b －10)2最小，即(a －10)2＋(b －10)2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －2022＝12. 当且仅当a ＝b 时取“＝”，∴a ＝b ＝10.5.9．解 (1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为：甲 10分 13分 12分 14分 16分乙 13分 14分 12分 12分 14分甲、乙两人的平均成绩x 甲＝x 乙，都是13分，(6分)s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(12分) (2)由s 2甲>s 2乙，可知乙的成绩较稳定． 从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．(14分)10．解 (1)根据频率分布直方图可知，频率＝组距×(频率/组距)，故可得下表：(6分) (2)因为0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15,1.30)中的概率约为0.47.(10分)(3)因为120×1006＝2 000， 所以水库中鱼的总条数约为2 000.(14分)11．解 (1)频率分布表：(6分)(2)频率分布直方图如图所示．(10分)(3)答对下述两条中的一条即可：①该市有一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的115；有26天处于良的水平，占当月天数的1315；处于优或良的天数为28，占当月天数的1415.说明该市空气质量基本良好． ②轻微污染有2天，占当月天数的115；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数15，加上处于轻微污染的天数2，占当月天数的1730，超过50%；说明该市空气质量有待进一步改善．(14分)。

2013高考数学教案和学案(有答案)--第5章--学案25D探究点二 平面向量的坐标运算例2 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM→＝3CA →，CN →＝2CB →，试求点M ，N 和MN→的坐标．变式迁移2 已知点A (1，－2)，若向量AB→与a ＝(2,3)同向，|AB→|＝213，则点B 的坐标为________．探究点三 在向量平行下求参数问题例3 已知平面内三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m 、n ；(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .变式迁移3 (2009·江西)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．2．平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a ，点A 的位置被a 所唯一确定，此时a 的坐标与点A 的坐标都是(x ，y )．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量(x ，y ) 向量OA →点A (x ，y )．要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A (1,2)，B (3,4)，则AB→＝(2,2)．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为________．2．设a 、b 是不共线的两个非零向量，已知AB→＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则p 的值为________．3．如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是________(填上正确命题的序号)．①若实数λ1、λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.②对空间任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1、λ2∈R.③λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1、λ2∈R. ④对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对．4．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________．5．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为______．6．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M ∩N ＝________.7．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ、m 、α为实数．若a ＝2b ，则λm 的取值范围是__________．8．(2009·天津)在四边形ABCD 中，AB→＝DC →＝(1,1)，1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD→|·BD →，则四边形ABCD 的面积为________．二、解答题(共42分)9．(12分)已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.求证：EF →∥AB →.10．(14分)如图，在边长为1的正△ABC中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE→＝mAB→，AF →＝nAC →，m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N .(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ；(2)若m ＋n ＝1，求|MN→|的最小值．11．(16分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n＝(cos A ，cos B )，向量p ＝(22sin B ＋C 2，2sin A )，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．答案 自主梳理1．不共线 有且只有 λ1e 1＋λ2e 2 基底 2.互相垂直3．(x ，y ) 坐标 (x ，y ) x 轴 y 轴 4.(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (x 1－x 2，y 1－y 2) (λx 1，λy 1) (2)终点 始点 5．x 1y 2－x 2y 1＝06.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33 自我检测1．充分而不必要解析 由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件．2．45°解析 ∵a ∥b ，∴32×13－sin αcos α＝0， ∴sin 2α＝1,2α＝90°，α＝45°.3.52解析 c ＝a ＋λb ＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sin π12x 得，－4＋2λ＝sin π2＝1，解得λ＝52.4．－1解析 a ＋b ＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ， 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，所以m ＝－1. 5．2解析 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，即B (－12，32)．设∠AOC ＝α，则OC→＝(cos α，sin α)． ∵OC→＝xOA →＋yOB → ＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y 2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值． 课堂活动区例1 解题导引 本题利用方程的思想，设OM →＝ma ＋nb ，通过建立关于m 、n 的方程求解，同时注意体会应用向量法解决平面几何问题的方法．解 设OM →＝ma ＋nb (m ，n ∈R)， 则AM→＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋nb ， AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b . 因为A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m －14a ＋nb ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ，因为C，M，B三点共线，所以m－14－14＝n1，即4m＋n＝1.由⎩⎨⎧m＋2n＝1，4m＋n＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝17，n＝37.所以OM→＝17a＋37b.变式迁移1 6解析如图，OC→＝OD→＋OE→＝λOA→＋μOB→.在△OCD中，∠COD＝30°，∠OCD＝∠COB＝90°，可求|OD→|＝4，同理可求|OE→|＝2，∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6.例2解∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，∴CA→＝(1,8)，CB→＝(6,3)．∴CM→＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6)． 设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)＝(3,24)， ∴⎩⎨⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，∴⎩⎨⎧x ＝0，y ＝20.∴M (0,20)．同理可得N (9,2)，因此MN→＝(9，－18)． ∴所求M (0,20)，N (9,2)，MN →＝(9，－18)． 变式迁移2 (5,4)解析 ∵向量AB →与a 同向，∴设AB →＝(2t,3t ) (t >0)．由|AB→|＝213，∴4t 2＋9t 2＝4×13.∴t 2＝4. ∵t >0，∴t ＝2.∴AB→＝(4,6)． 设B 为(x ，y )，∴⎩⎨⎧ x －1＝4，y ＋2＝6. ∴⎩⎨⎧x ＝5，y ＝4.例3 解 (1)∵a ＝mb ＋nc ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，且a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613. 变式迁移3 5解析 ∵a －c ＝(3,1)－(k,7)＝(3－k ，－6)，且(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63，∴k ＝5.课后练习区1．(1213，513)或(－1213，－513)2．－1解析 BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，由已知得AB→＝λBD →，即⎩⎨⎧2λ＝2p ＝－λ，∴p ＝－1.3．①4．(0，－2)解析 设D 点的坐标为(x ，y )，由题意知BC→＝AD→， 即(2，－2)＝(x ＋2，y )，所以x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2)．5．2解析 方法一 若M 与B 重合，N 与C 重合，则m ＋n ＝2.方法二 ∵2AO→＝AB →＋AC →＝mAM →＋nAN →， ∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵O 、M 、N 共线，∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2. 6．{(－2，－2)}解析 M ＝{a |a ＝(1＋3λ，2＋4λ)，λ∈R}， N ＝{a |a ＝(－2＋4λ，－2＋5λ)，λ∈R}，令⎩⎨⎧1＋3λ1＝－2＋4λ22＋4λ1＝－2＋5λ2，即⎩⎨⎧3λ1－4λ2＋3＝04λ1－5λ2＋4＝0， 解之得⎩⎨⎧λ1＝－1λ2＝0，代入M 或N 中得a ＝(－2，－2)．∴M ∩N ＝{(－2，－2)}． 7．[－6,1]解析 ∵2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，∴λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，∴(2m －2)2－m ＝cos 2α＋2sin α，即4m 2－9m ＋4＝1－sin 2α＋2sin α. 又∵－2≤1－sin 2α＋2sin α≤2，∴－2≤4m 2－9m ＋4≤2，解得14≤m ≤2，∴12≤1m ≤4.又∵λ＝2m －2，∴λm ＝2－2m ，∴－6≤2－2m ≤1. ∴λm ∈[－6,1]． 8. 3解析 由|AB →|＝|DC →|，BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝ 3 BD →|B D →|可知四边形ABCD 为菱形，则有|AB →|＝|DC →|＝2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3BD →|BD →|， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →|BA→|＋BC →|BC →|＝3，两边平方，得 1＋2BA →|BA →|·BC →|BC →|＋1＝3，BA →·BC→|BA →||BC →|＝12.|BA →||BC →|cos 〈BA →，BC →〉|BA →||BC →|＝12，所以cos 〈BA→，BC →〉＝60°.S ＝|AB →||BC →|sin 60°＝2×2×32＝ 3.9．证明 设E 、F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则依题意，得AC→＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB→＝(4，－1)． ∴AE →＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，23，BF →＝13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，1. ∴AE →＝(x 1，y 1)－(－1,0)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫23，23， BF→＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23，1.……………………………………………………(4分)∴(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，23＋(－1,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，23， (x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，1＋(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫73，0. ∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫83，－23.……………………………………………………(8分)又∵AB →＝(4，－1)，∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23－(－1)×83＝0，∴EF→∥AB→.………………………………………………………………………………(12分)10．解 (1)由A ，M ，N 三点共线，得AM →∥AN→，设AM →＝λAN →(λ∈R)，即12(AE →＋AF →)＝12λ(AB →＋AC→)， 所以mAB→＋nAC →＝λ(AB →＋AC →)，所以m ＝n .……………………………………………(5分)(2)因为MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－12(AE →＋AF →)＝12(1－m )AB →＋12(1－n )AC →，……(8分) 又m ＋n ＝1，所以MN →＝12(1－m )AB →＋12mAC→， 所以|MN →|2＝14(1－m )2AB →2＋14m 2AC →2＋ 12(1－m )mAB →·AC → ＝14(1－m )2＋14m 2＋14(1－m )m ＝14(m －12)2＋316.…………………………………………………………………………(12分)故当m ＝12时，|MN →|min ＝34.……………………………………………………………(14分)11．证明 ∵m ∥n ，∴a cos B ＝b cos A ．………………………………………………(2分)由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ， 即sin(A －B )＝0.…………………………………………………………………………(5分)∵A 、B 为三角形的内角， ∴－π<A －B <π. ∴A ＝B .……………………………………………………………………………………(9分)∵p 2＝9，∴8sin 2B ＋C 2＋4sin 2A ＝9.∴4[1－cos(B ＋C )]＋4(1－cos 2A )＝9. ∴4cos 2A －4cos A ＋1＝0， 解得cos A ＝12.……………………………………………………………………………(14分)又∵0<A <π，∴A ＝π3.∴△ABC 为等边三角形．………………………………………………………………(16分)。

学案43 直线与直线的位置关系导学目标： 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．自主梳理1．两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔____________________________________________________________________. 对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2B 2C 2≠0)，l 1∥l 2⇔____________________________________________________________________. (2)两直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2， l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝____.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝____. 2．两条直线的交点两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程的________；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l 1和l 2的________，因此，l 1、l 2是否有交点，就看l 1、l 2构成的方程组是否有________．3．有关距离 (1)两点间的距离 平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离P 1P 2＝__________________________________. (2)点到直线的距离 平面上一点P (x 0，y 0)到一条直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝_______________________. (3)两平行线间的距离已知l 1、l 2是平行线，求l 1、l 2间距离的方法： ①求一条直线上一点到另一条直线的距离； ②设l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2之间的距离d ＝_______________.自我检测 1．(2010·济宁模拟)若点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则实数a 的值为________．2．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过的定点的坐标为________．3．已知直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则ambn＝－1是直线l 1⊥l 2的______________条件．4．(2009·上海)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是________．5．已知2x ＋y ＋5＝0，则x 2＋y 2的最小值是________.探究点一两直线的平行与垂直例1已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1⊥l2时，求a的值．变式迁移1已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求满足以下条件的a、b的值：(1)l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且原点到这两条直线的距离相等．探究点二直线的交点坐标例2已知直线l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0.当m为何值时，三条直线不能构成三角形．变式迁移2△ABC的两条高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的方程．探究点三 距离问题例3 已知点P (2，－1)．求：(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．变式迁移3 已知直线l 过点P (3,1)且被两平行线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．转化与化归思想例 (14分)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 【答题模板】 解 (1)设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413.[4分] (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.[8分]设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.[10分] (3)方法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上， 易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.[14分] 方法二 ∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0 (C ≠1)，∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等，∴由点到直线的距离公式得 |－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9(C ＝1舍去)， ∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.[14分] 方法三 设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.[14分] 【突破思维障碍】点关于直线对称是轴对称中最基本的，要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上．直线关于点的对称可转化为点关于点的对称，直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称． 【易错点剖析】(1)点关于线对称，不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．(2)线关于线对称，不能转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，不能转化为点关于点的对称问题．1．在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系．解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题．判断两直线平行与垂直时，不要忘记考虑斜率不存在的情形，利用一般式则可避免分类讨论．2．运用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2求两平行直线间的距离时，一定要把x 、y 项系数化为相等的系数．3．对称思想是高考热点，主要分为中心对称和轴对称两种，关键要把握对称问题的本质，必要情况下可与函数的对称轴建立联系．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．若直线x ＋ay －a ＝0与直线ax －(2a －3)y －1＝0互相垂直，则a 的值是________．2．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)、B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝________.3．(2011·南通模拟)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为________________．4．(2011·浙江)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.5．设直线l 经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l 的距离最大时，直线l 的方程为______________．6．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________．7．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a 、b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是________和________．8．平行四边形两相邻边方程是x ＋y ＋1＝0和3x －y ＋4＝0，对角线交点(3,3)，则另两边的方程为__________________________________________________和_____________.二、解答题(共42分)9．(14分)(1)已知点P 1(2,3)，P 2(－4,5)和A (－1,2)，求过点A 且与点P 1，P 2距离相等的直线方程．(2)过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．10．(14分)已知△ABC 的一个顶点A (－1，－4)，内角∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为：l 1：y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋1＝0.求边BC 所在直线的方程．11．(14分)已知直线方程(a －2)y ＝(3a －1)x －1. (1)无论a 为何实数，该直线是否总经过第一象限？ (2)为使直线不经过第二象限，求实数a 的取值范围．学案43 直线与直线的位置关系答案自主梳理1．(1)k 1＝k 2且b 1≠b 2A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2 (2)－1 0 2.公共解 交点 唯一解 3.(1)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 (2)|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 (3)②|C 1－C 2|A 2＋B 2自我检测1．－3 2.(0,2) 3.充分不必要 4.3或5 5. 5 课堂活动区例1 解题导引 运用直线的斜截式y ＝kx ＋b 讨论两直线位置关系时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．即若l 1∥l 2，则⎩⎨⎧k 1＝k 2b 1≠b 2或两直线斜率均不存在，若l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－1或k 1、k 2一个为0，另一个不存在．若直线l 1、l 2的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2的必要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0，而l 1⊥l 2的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.解题中为避免讨论，常依据上述结论去解题．解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1与l 2不平行；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1与l 2不平行；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧－a 2＝11－a，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行． 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得a (a －1)－1×2＝0.由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －1)－1×2＝0a (a 2－1)－1×6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6.∴a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．(2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1与l 2不垂直；当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23. 方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.变式迁移1 解 (1)由已知可得l 2的斜率必存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则a ＝1.由l 1⊥l 2，l 1的斜率不存在，∴b ＝0. 又l 1过(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0，∴b ＝3a －4＝－1，矛盾．∴此情况不存在，即k 2≠0.若k 2≠0，即k 1＝ab ，k 2＝1－a .由l 1⊥l 2，得k 1k 2＝ab (1－a )＝－1.由l 1过(－3，－1)，得－3a ＋b ＋4＝0， 解之得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴l 1的斜率存在，∴k 1＝k 2，即ab ＝1－a .又原点到两直线的距离相等，且l 1∥l 2，∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a 、b 的值为2和－2或23和2.例2 解题导引 ①转化思想的运用 三条直线l 1、l 2、l 3不能构成三角形⇐l 1、l 2、l 3交于一点或至少有两条直线平行⇐三条直线交于一点⇐l 2与l 3的交点在l 1上⇐l 2与l 3对应方程组的解适合l 1的方程②分类讨论思想的运用本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两类，分类应注意按同一标准，不重不漏．解 当三条直线共点或至少有两条直线平行时，不能围成三角形．①三条直线共点时，由⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋y ＝0，2x ＋3my ＝4，得⎩⎨⎧x ＝42－3m2y ＝－4m 2－3m2(m 2≠23)，即l 2与l 3的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫42－3m 2，－4m 2－3m 2，代入l 1的方程得4×42－3m 2＋7×－4m 2－3m2－4＝0， 解得m ＝13，或m ＝2.②当l 1∥l 2时，4＝7m ，∴m ＝47；当l 1∥l 3时，4×3m ＝7×2，∴m ＝76；当l 2∥l 3时，3m 2＝2，即m ＝±63.∴m 取集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－63，13，63，47，76，2中的元素时，三条直线不能构成三角形．变式迁移2 解 可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB ，AC 边上的高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，则可求得AB ，AC 边所在直线的方程分别为 y －2＝－32(x －1)，y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0，得B (7，－7)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －3y ＋1＝0，得C (－2，－1)， 所以BC 边所在直线的方程为2x ＋3y ＋7＝0.例3 解题导引 已知直线过定点求方程，首先想到的是求斜率或设方程的斜截式，但不要忘记斜率不存在的直线是否满足题意．若满足，可先把它求出，然后再考虑斜率存在的一般情况．图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决．第(3)问是判断存在性问题，通常的解决方法是先假设判断对象存在，令其满足应符合的条件，若有解，则存在，并求得；若无解，则不存在，判断无解的过程就是结论的理由．如法二．解 (1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件．此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP ＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线．变式迁移3 解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别是A (3，－4)，B (3，－9)，截得的线段长AB ＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l 的斜率存在时，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1，分别与直线l 1，l 2的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0， 解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，1－4k k ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，1－9k k ＋1. 由两点间的距离公式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k k ＋1－1－9k k ＋12＝25， 解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1. 综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y ＝1. 方法二 因为两平行线间的距离 d ＝|6－1|2＝522，如图，直线l 被两平行线截得的线段长为5， 设直线l 与两平行线的夹角为θ， 则sin θ＝22，所以θ＝45°.因为两平行线的斜率是－1， 故所求直线的斜率不存在或为0. 又因为直线l 过点P (3,1)，所以直线l 的方程为x ＝3或y ＝1. 课后练习区1．2或0 2.－2 3.(1,2)或(2，－1) 4．1解析 ∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直， ∴12×(－2m)＝－1，∴m ＝1. 5．3x －2y ＋5＝0解析 当l 与过两点的直线垂直时，(2，－1)与直线l 的距离最大，因此所求直线的方程为y －1＝－2－(－1)－1－1·(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0. 6．①⑤ 解析如图，由两平行线间距离可得d ＝|1－3|2＝2，故m 与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m 的倾斜角为75°或15°，故①⑤正确．7.22 12解析 ∵d ＝|a －b |2，d 2＝12[(a ＋b )2－4ab ]＝12(1－4c )， 又0≤c ≤18，∴d 2∈⎣⎡⎦⎤14，12.∴12≤d ≤22. 8．x ＋y －13＝0 3x －y －16＝0解析 设另两边方程为：x ＋y ＋C 1＝0和3x －y ＋C 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝03x －y ＋4＝0得交点A (－54，14)∵对角线交点坐标为(3,3)．则所求两直线的交点坐标为(294，234)，代入方程得C 1＝－13，C 2＝－16.9．解 (1)设所求直线为l ，由于l 过点A 且与点P 1，P 2距离相等，所以有两种情况， ①当P 1，P 2在l 同侧时，有l ∥P 1P 2，此时可求得l 的方程为y －2＝5－3－4－2(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0；(5分) ②当P 1，P 2在l 异侧时，l 必过P 1P 2的中点(－1,4)，此时l 的方程为x ＝－1.(7分) ∴所求直线的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.(8分)(2)设点A (x ，y )在l 1上，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x B 2＝3，y ＋y B 2＝0，∴点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，(10分) 得⎩⎨⎧ x ＝113，y ＝163，∴k ＝163－0113－3＝8. ∴所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.(14分) 10．解 设点A (－1，－4)关于直线y ＋1＝0的对称点A ′(x 1，y 1)，则x 1＝－1，y 1＝2×(－1)－(－4)＝2，即A ′(－1,2)在直线BC 上．(6分)再设A (－1，－4)关于l 2：x ＋y ＋1＝0的对称点为A ″(x 2，y 2)，则有：⎩⎨⎧y 2＋4x 2＋1×(－1)＝－1，x 2－12＋y 2－42＋1＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝0，即A ″(3,0)也在直线BC 上．(12分)由直线方程的两点式得：y －20－2＝x ＋13＋1. 所以x ＋2y －3＝0即为△ABC 的边BC 所在的直线方程．(14分)11．解 (1)令a ＝2，得直线l 1：x ＝15， 令a ＝0，得直线l 2：x －2y ＋1＝0.∵l 1与l 2的交点A (15，35)，(3分) 且当x ＝15，y ＝35时， (a －2)y ＝(3a －1)x －1对任意a ∈R 恒成立．∴直线l ：(a －2)y ＝(3a －1)x －1恒过定点A .∵点A (15，35)在第一象限， ∴该直线总过第一象限．(7分)(2)设O 为原点，由(1)知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1过定点A (15，35)，且k AO ＝35－015－0＝3.(10分)当a ＝2时，直线x ＝15不过第二象限，(11分) 当a ≠2时，直线y ＝3a －1a －2x －1a －2要想不过第二象限，需满足3a －1a －2≥k AO ， 即3a －1a －2≥3，解得a >2. 综上可知，当a ∈[2，＋∞)时，直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1不过第二象限．(14分)。

学案48 抛物线导学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．抛物线的概念平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质自我检测1．(2010·四川)抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．3．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是____________．4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.5．(2011·课标全国改编)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB ＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________．探究点一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．变式迁移1 已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．探究点二求抛物线的标准方程例2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．探究点三 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2； (2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值．分类讨论思想例 (14分)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，过B 点作其准线的垂线，垂足为D ，设O 为坐标原点，问：是否存在实数λ，使AO →＝λOD →？多角度审题 这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A 、B 两点坐标，从而得到D 点坐标，再设出直线AB 的方程，利用方程组和向量条件求出λ.【答题模板】解 假设存在实数λ，使AO →＝λOD →. 抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p2，[2分](1)当直线AB 的斜率不存在， 即AB ⊥x 轴时，交点A 、B 坐标不妨设为：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p .∵BD ⊥l ，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p ，∴AO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p ，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p ，∴存在λ＝1使AO →＝λOD →.[6分] (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2 (k ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2y 2＝2px得ky 2－2py －kp 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，∴y 2＝－p 2y 1，[8分]AO →＝(－x 1，－y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 212p ，－y 1，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p 2y 1，假设存在实数λ，使AO →＝λOD →，则⎩⎪⎨⎪⎧－y 212p ＝－p2λ－y 1＝－p2y 1λ，解得λ＝y 21p 2，∴存在实数λ＝y 21p 2，使AO →＝λOD →.综上所述，存在实数λ，使AO →＝λOD →.[14分] 【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A 、D 两点坐标关系，求出AO →和OD →的坐标，判断λ是否存在．【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线AB 的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足．1．关于抛物线的定义要注意点F 不在定直线l 上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线． 2．关于抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于： (1)p 的几何意义：参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正数．(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向． 3．关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如：已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有下列性质：AB ＝x 1＋x 2＋p 或AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)，y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24等．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2011·陕西改编)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________． 2．(2010·福建改编)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为______________． 3．(2011·连云港模拟)已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．4．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．5．(2011·淮安模拟)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________．6．(2010·上海)动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为____________．7．若抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的左焦点重合，则p 的值为________．8．(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．(14分)(2010·韶关一模)已知抛物线C ：x 2＝8y .AB 是抛物线C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .11．(14分)(2010·济南一模)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹C 于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．学案48 抛物线答案自主梳理1．相等 焦点 准线 自我检测1．4 2．4 3．y 2＝8x 4．6 5．36解析 不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即AB ＝2p ，又AB ＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.课堂活动区例1 解题导引 重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．解将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ： x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d ，当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2， 代入y 2＝2x ，得x ＝2， ∴点P 坐标为(2,2)．变式迁移1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1解析点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图，PF ＋PQ ＝PS ＋PQ ，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.例2 解题导引 (1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法．若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p 的值)．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；(3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把PF 转化为点P 到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．解 方法一 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2， 准线方程为y ＝p 2. ∵M (m ，－3)在抛物线上，且MF ＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝±2 6. ∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2.方法二 如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2， 准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N . 则MN ＝MF ＝5，而MN ＝3＋p2， ∴3＋p2＝5，∴p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y ， 准线方程为y ＝2.由m 2＝(－8)×(－3)，得m ＝±2 6.变式迁移2 解 (1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1， 左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p 2＝－3，∴p ＝6.∴方程为y 2＝－12x . (2)由于P (2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y 2＝mx (m >0)或x 2＝ny (n <0)，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .例3 解题导引 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质(AB 为焦点弦，以y 2＝2px (p >0)为例)：①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； ②AB ＝x 1＋x 2＋p . 证明 (1)方法一 由抛物线的方程可得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.设过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一解，∴k ≠0，由韦达定理，得y 1y 2＝－p 2；②当斜率不存在时，得两交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，∴y 1y 2＝－p 2. 综合两种情况，总有y 1y 2＝－p 2.方法二 由抛物线方程可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p 2，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky ＋p 2，y 2＝2px ，消去x ，可得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫ky ＋p 2， 整理，得y 2－2pky －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.(2)直线AC 的方程为y ＝y 1x 1x ， ∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－py 12x 1，y C ＝－py 12x 1＝－p 2y 12px 1. ∵点A (x 1，y 1)在抛物线上，∴y 21＝2px 1.又由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴y C ＝y 1y 2·y 1y 21＝y 2，∴BC ∥x 轴．变式迁移3 证明 (1)∵y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 设直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2 (k ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 1y 224p 2＝p 24， 当k 不存在时，直线方程为x ＝p 2，这时x 1x 2＝p 24. 因此，x 1x 2＝p 24恒成立．(2)1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.又∵x 1x 2＝p 24， 代入上式得1AF ＋1BF ＝2p ＝常数， 所以1AF ＋1BF 为定值． 课后练习区1．y 2＝8x解析 因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p 2＝2，所以p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x . 2．x 2＋y 2－2x ＝0解析 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r ＝12＋02＝1，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.3．相切解析 设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则AA 1＝AF ，BB 1＝BF ，于是M 到l 的距离d ＝12(AA 1＋BB 1)＝12(AF ＋BF )＝12AB ＝半径，故相切． 4．(18，±24) 5．(1，±2)解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，设A 点坐标为(x 0，y 0)，则(x 0，y 0)·(1－x 0，－y 0)＝－4，即x 0(1－x 0)－y 20＝－4. 又y 20＝4x 0，得x 20＋3x 0－4＝0， 解得x 0＝1或x 0＝－4(舍去)，∴A (1，±2)．6．y 2＝8x解析 由抛物线定义知，点P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，则其方程为y 2＝8x .7．4解析 双曲线x 23－y 2＝1的左焦点为(－2,0)， ∴－p 2＝－2，解得p ＝4. 8．324解析 抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，线段FA 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 9．解 设直线和抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2pxy ＝2x ＋1，消去y 得， 4x 2－(2p －4)x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14，(4分) ∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫p －222－4×14＝15，(7分) 则p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0， 解得p ＝6(p ＝－2舍去)，抛物线方程为y 2＝12x .(9分)(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，仿(1)不难求出p ＝2，此时抛物线方程为y 2＝－4x .综上可得，所求的抛物线方程为y 2＝－4x 或y 2＝12x .(14分)10．证明 因为直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.(4分)抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .(7分) 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2 ＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .(14分)11．解 (1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，所以点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(5分)(2)由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0. 记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.(8分)因为直线PQ 的斜率k ≠0，易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，－1.(9分) RP →·RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4 ＝4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8，(11分) ∵k 2＋1k 2≥2， 当且仅当k 2＝1时取到等号．RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.(14分)。

学案39 空间的平行关系导学目标：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面、面面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题．自主梳理1．空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线a和平面α的位置关系有三种：________、__________、__________.(2)两个平面的位置关系有两种：________和________．2．直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个________________平行，那么这条直线与这个平面平行．(2)性质定理：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．3．平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线________．自我检测1．下列各命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④垂直于同一直线的两个平面平行．不正确的命题个数是________．2．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作______个．3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是________．4．(2010·济南模拟)已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．5．(2010·南京二模)在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________________．探究点一线面平行的判定例1已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.变式迁移1 在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.探究点二面面平行的判定例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP ∥平面A1BD.变式迁移2 已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心．(1)求证：平面G1G2G3∥平面ABC；(2)求S△G1G2G3∶S△ABC.探究点三平行中的探索性问题例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，CD ∥AB ，AD ⊥AB ，AD ＝DC ＝12AB ，BC ⊥PC .(1)求证：PA ⊥BC ；(2)试在线段PB 上找一点M ，使CM ∥平面PAD ，并说明理由．变式迁移3 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?1．直线与平面平行的主要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质定理．2．平面与平面平行的主要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)利用结论：a⊥α，a⊥β⇒α∥β. 3．线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化：(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列命题中真命题的个数为________．①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．2．给出下列命题，其中正确的命题是________(填序号)．①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α；④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等．3．设l1、l2是两条直线，α、β是两个平面，A为一点，有下列四个命题，其中正确命题的个数是________．①若l1⊂α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线；②若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α；③若l1⊂α，l2⊂β，l1∥β，l2∥α，则α∥β；④若α⊥β，l1⊂α，则l1⊥β.4．在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列命题中，正确的为________(填序号)． ①AC ⊥BD ；②AC ∥截面PQMN ；③AC ＝BD ；④异面直线PM 与BD 所成的角为45°.5．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．6．(2010·大连模拟)过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的有______条．7. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.8．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．二、解答题(共42分)9．(12分) 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点． 求证：MN ∥平面AA 1C 1C .10．(14分)(2010·湖南改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．11．(16分) (2010·济宁一模)如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE，且点F在CE上．(1)求证：AE⊥BE；(2)求三棱锥D—AEC的体积；(3)设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.学案39 空间的平行关系答案自主梳理1．(1)平行 相交 在平面内 (2)平行 相交 2.(1)平面内的一条直线 3.(1)两条相交直线 (2)平行 自我检测1．1 2.0或1 3.平行 4.必要不充分 5．面ABC 和面ABD 课堂活动区例1 解题导引 证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行，要充分利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化．证明 方法一如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连结MN . ∵矩形ABCD 和矩形ABEF 全等且有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ， 又∵PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB＝EP EA ，QN DC ＝BQ BD，∴PM AB＝QN DC.∴PM 綊QN ，∴四边形PQNM 为平行四边形， ∴PQ ∥MN又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE . 方法二如图所示，连结AQ ，并延长交BC 于K ，连结EK ，∵AE ＝BD ，AP ＝DQ ， ∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQ BQ. ①又∵AD ∥BK ，∴DQ BQ ＝AQ QK. ②由①②得AP PE ＝AQ QK，∴PQ ∥EK .又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE . 方法三如图所示，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ，连结QM . ∵PM ∥BE ，PM ⊄平面BCE ， ∴PM ∥平面BCE ，且AP PE ＝AM MB. ①又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQ BQ. ②由①②得AM MB ＝DQ QB，∴MQ ∥AD ，∴MQ ∥BC ，又∵MQ ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴MQ ∥平面BCE .又∵PM ∩MQ ＝M ，∴平面PMQ ∥平面BCE ， 又PQ ⊂平面PMQ ，∴PQ ∥平面BCE . 变式迁移1 证明 方法一取CD 中点E ，连结NE 、ME 、MN . ∵M 、N 分别是AB 、PC 的中点， ∴NE ∥PD ，ME ∥AD .又∵NE ，ME ⊄平面PAD ，PD ，AD ⊂平面PAD ， ∴NE ∥平面PAD ，ME ∥平面PAD . 又NE ∩ME ＝E ，∴平面MNE ∥平面PAD . 又MN ⊂平面MNE ， ∴MN ∥平面PAD .方法二 取PD 中点F ，连结AF 、NF 、NM . ∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点， ∴NF 綊12CD ，AM 綊12CD ，∴AM 綊NF .∴四边形AMNF 为平行四边形，∴MN ∥AF . 又AF ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .例2 解题导引 面面平行的常用判断方法有：(1)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；关键是利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．证明 方法一如图所示，连结B 1D 1、B 1C . ∵P 、N 分别是D 1C 1、B 1C 1的中点， ∴PN ∥B 1D 1.又∵B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD.方法二如图所示，连结AC1、AC.∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴AC⊥BD.又CC1⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，∴CC1⊥BD，∴BD⊥面ACC1，又∵AC1⊂面ACC1，∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN，∴平面PMN∥平面A1BD.变式迁移2(1)证明如图所示，连结PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连结DE、EF、FD，则有PG1∶PD＝2∶3，PG2∶PE＝2∶3，∴G1G2∥DE.又G 1G 2不在平面ABC 内，DE 在平面ABC 内， ∴G 1G 2∥平面ABC . 同理G 2G 3∥平面ABC . 又因为G 1G 2∩G 2G 3＝G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC .(2)解 由(1)知PG 1PD ＝PG 2PE ＝23，∴G 1G 2＝23DE .又DE ＝12AC ，∴G 1G 2＝13AC .同理G 2G 3＝13AB ，G 1G 3＝13BC .∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3， ∴S △G 1G 2G 3∶S △ABC ＝1∶9.例3 解题导引 近几年探索性问题在高考中时有出现，解答此类问题时先以特殊位置尝试探究，找到符合要求的点后再给出严格证明．(1)证明 连结AC ，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E . 在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AD ＝DC ， ∴四边形ADCE 为正方形． ∴∠ACD ＝∠ACE ＝45°.∵AE ＝CD ＝12AB ，∴BE ＝AE ＝CE .∴∠BCE ＝45°.∴∠ACB ＝∠ACE ＋∠BCE ＝45°＋45°＝90°. ∴AC ⊥BC .又∵BC ⊥PC ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，AC ∩PC ＝C ， ∴BC ⊥平面PAC .∵PA ⊂平面PAC ，∴PA ⊥BC . (2)解 当M 为PB 的中点时，CM ∥平面PAD .方法一 取AP 的中点F ，连结CM ，FM ，DF . 则FM 綊12AB .∵CD ∥AB ，CD ＝12AB ，∴FM 綊CD .∴四边形CDFM 为平行四边形．∴CM ∥DF . ∵DF ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ， ∴CM ∥平面PAD . 方法二在四边形ABCD 中，设BC 的延长线与AD 的延长线交于点Q ， 连结PQ ，CM . ∵CD ∥AB ，∴QC QB＝CD AB ＝12.∴C 为BQ 的中点．∵M 为BP 的中点，∴CM ∥QP . ∵PQ ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ， ∴CM ∥平面PAD . 方法三取AB 的中点E ， 连结EM ，CE ，CM .在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，CD ＝12AB ，E 为AB 的中点，∴AE ∥DC ，且AE ＝DC .∴四边形AECD 为平行四边形．∴CE ∥DA . ∵DA ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， ∴CE ∥平面PAD .同理，根据E ，M 分别为BA ，BP 的中点，得EM ∥平面PAD . ∵CE ⊂平面CEM ，EM ⊂平面CEM ，CE ∩EM ＝E ， ∴平面CEM ∥平面PAD .∵CM ⊂平面CEM ，∴CM ∥平面PAD .变式迁移3 解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO . ∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA . ∵P 、O 为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO .又PO ∩PA ＝P ，D 1B ∩QB ＝B ，D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ，∴平面D 1BQ ∥平面PAO . 课后练习区1．1 2.②④ 3.0 4.①②④ 5．①③解析 ①∵面AB ∥面MNP ，∴AB ∥面MNP ， ②过N 作AB 的平行线交于底面正方形的中心O ，NO ⊄面MNP ，∴AB 与面MNP 不平行．③易知AB ∥MP ， ∴AB ∥面MNP ；④过点P 作PC ∥AB ，∵PC ⊄面MNP ， ∴AB 与面MNP 不平行． 6．6解析 如图，EF ∥E 1F 1∥AB ，EE 1∥FF 1∥BB 1，F 1E ∥A 1D ， E 1F ∥B 1D ，∴EF 、E 1F 1、EE 1、FF 1、F 1E 、E 1F 都平行于平面ABB 1A 1，共6条． 7．223a解析如图所示，连结AC ， 易知MN ∥平面ABCD ，又∵PQ 为平面ABCD 与平面MNQP 的交线， ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ， 又∵AP ＝a3，∴DP AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a . 8．24或245解析 分两种情况：图(1)中，由α∥β得AB ∥CD ，求得BD ＝24，图(2)中，同理得AB ∥CD ，求得BD ＝245.9．证明 设A 1C 1的中点为F ，连结NF ，FC ， ∵N 为A 1B 1的中点，∴NF ∥B 1C 1，且NF ＝12B 1C 1，又由棱柱性质知B 1C 1綊BC ，(4分) 又M 是BC 的中点， ∴NF 綊MC ，∴四边形NFCM 为平行四边形． ∴MN ∥CF ，(8分) 又CF ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ，∴MN ∥平面AA 1C 1C .(12分)10．解 在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .证明如下：如图所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连结B 1F ，EG ，BG ，CD 1，FG .因为A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，因此D 1C ∥A 1B .又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .这说明A 1，B ，G ，E 四点共面，所以BG ⊂平面A 1BE .(7分)因为四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1都是正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ，因此四边形B 1BGF 是平行四边形，所以B 1F ∥BG .而B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ，故B 1F ∥平面A 1BE .(14分)11．(1)证明 由AD ⊥平面ABE 及AD ∥BC ， 得BC ⊥平面ABE ，BC ⊥AE ，(2分) 而BF ⊥平面ACE ，所以BF ⊥AE ，(4分) 又BC ∩BF ＝B ，所以AE ⊥平面BCE ， 又BE ⊂平面BCE ，故AE ⊥BE .(6分)(2)解 在△ABE 中，过点E 作EH ⊥AB 于点H ， 则EH ⊥平面ACD .由已知及(1)得EH ＝12AB ＝2，S △ADC ＝22.故V D —AEC ＝V E —ADC ＝13×22×2＝43.(10分)(3)解 在△ABE 中，过点M 作MG ∥AE 交BE 于点G ，在△BEC 中过点G 作GN ∥BC 交EC 于点N ， 连结MN ，则由CN CE ＝BG BE ＝MB AB ＝13，得CN ＝13CE .由MG ∥AE ，AE ⊂平面ADE ，MG ⊄平面ADE ，则MG ∥平面ADE .(12分)再由GN ∥BC ，BC ∥AD ，AD ⊂平面ADE ，GN ⊄平面ADE ， 得GN ∥平面ADE ，所以平面MGN ∥平面ADE . 又MN ⊂平面MGN ，则MN ∥平面ADE .(15分) 故当点N 为线段CE 上靠近点C 的一个三等分点时，MN ∥平面ADE .(16分)。

学案54 几何概型导学目标： 了解几何概型的意义．自主梳理 1．几何概型设D 是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概型．2．几何概型中，事件A 的概率计算公式：P (A )＝d 的测度D 的测度.3．古典概型与几何概型的区别(1)相同点：基本事件发生的可能性都是________； (2)不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是________，是不可数的．自我检测1．在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并且以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为________．2．(2009·山东改编)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为________．3.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连结AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为________．4．(2010·湖南)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________． 5．(2009·福建)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．探究点一与长度有关的几何概型例1国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min 长的磁带上，从开始30s 处起，有10s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？变式迁移1在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为________．探究点二与角度有关的几何概型例2如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC的概率．变式迁移2若将例2题目改为：“在等腰Rt△ACB中，在斜边AB上任取一点M，求AM 的长小于AC的长的概率”，答案还一样吗？探究点三与面积有关的几何概型例3两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．变式迁移3甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．分类讨论与数形结合思想例(14分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R .(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率；(2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．【答题模板】解(1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a ，b 的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为12.[3分]设“方程f (x )＝0有两个不相等的实根”为事件A ，当a ≥0，b ≥0时，方程f (x )＝0有两个不相等实根的充要条件为a >b .当a >b 时，a ，b 取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A 包含的基本事件数为6，∴方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率为P (A )＝612＝12.[7分](2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3}，这是一个矩形区域，其面积S Ω＝2×3＝6.[9分]设“方程f (x )＝0没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为M ＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3，a <b }，即图中阴影部分的梯形，其面积S M ＝6－12×2×2＝4.[12分]由几何概型的概率计算公式可得方程f (x )＝0没有实根的概率为P (B )＝S M S Ω＝46＝23.[14分]【突破思维障碍】古典概型和几何概型的区别在于试验的全部结果是否有限，因此到底选用哪一种模型，关键是对试验的确认和分析．第(1)问关键是列举不重不漏隐含了分类讨论思想．第(2)问是几何概型问题，解决此问题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题，隐含了数形结合思想．【易错点剖析】1．计算古典概型的概率时，列举基本事件应不重不漏．2．计算几何概型的概率时，区域的几何度量要准确无误．1．几何概型：若一个试验具有两个特征：①每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；②每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．2．由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．3．几何概型的概率公式：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A 所对应的区域用A 表示(A ⊆Ω)，则P (A )＝A 的度量Ω的度量.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2009·辽宁)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．2．(2010·天津和平区一模)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是__________________________________________________________________．3．(2010·山东临沂一中期末)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率为________．4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．5．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12f (－1)≤3的事件为A ，则事件A 的概率为________．6．(2010·青岛一模)从集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤4，x ∈R ，y ∈R }内任选一个元素(x ，y )，则x ，y 满足x ＋y ≥2的概率为________．7.如图所示，半径为10cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm 的小圆．现将半径为1cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．8．(2010·济南模拟)在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)在线段BC上任取一点M，求使∠CAM<30°的概率；(2)在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM<30°的概率．10．(14分)甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是4小时和6小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．11．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．学案54 几何概型答案自主梳理3．(1)相等的 (2)无限个 自我检测 1．14 解析∵AM 2∈[36,81]，∴AM ∈[6,9]，∴P ＝9－612＝312＝14.2．13解析在区间[－π2，π2]内，0<cos x <12⇔x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，－π3∪⎝⎛⎭⎫π3，π2，其区间长度为π3，又已知区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2的长度为π.由几何概型知P ＝π3π＝13. 3．13解析当∠A ′OA ＝π3时，AA ′＝OA ，∴P ＝23π2π＝13.4．23解析由|x |≤1，得－1≤x ≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率 P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23.5．23解析圆周上使弧AM 的长度为1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧M 1M 2的长度为2，B 点落在优弧M 1M 2上就能使劣弧AB 的长度小于1，所以劣弧AB 的长度小于1的概率为23.课堂活动区例1解题导引解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，需要抓住它的本质特征，即与长度有关． 解包含两个间谍谈话录音的部分在30s 和40s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30s 之间时全部被擦掉，即在0到40s 之间，即0到23min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30min 之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 的发生就是在0到23min 时间段内按错键．P (A )＝2330＝145.变式迁移112解析记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A ，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型的概率公式得P (A )＝12×22＝12.例2解题导引如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P (A )＝构成事件A 的角度试验的全部结果所构成区域的角度. 解在AB 上取AC ′＝AC ，连结CC ′，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设A ＝{在∠ACB 内部作出一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM <AC }，则μΩ＝90°，μA ＝67.5°，P (A )＝μA μΩ＝67.5°90°＝34.变式迁移2解不一样，这时M 点可取遍AC ′(长度与AC 相等)上的点， 故此事件的概率应为AC ′长度AB 长度＝22.例3解题导引解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中与面积有关的几何概型问题．对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A 对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域． 解设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见．当且仅当|x －y |≤23.两人在约定时间内到达约见地点的所有可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人在约定时间内相见的所有可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)的点来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影部分S 单位正方形＝1－⎝⎛⎭⎫13212＝89.变式迁移3解设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ， 则0≤x ≤24,0≤y ≤24且y －x ≥4或y －x ≤－4. 作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，y －x ≥4或y －x ≤－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ， 则P (A )＝S 阴影部分S 正方形＝2×12×20×2024×24＝2536.课后练习区1．1－π4解析当以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P (A )＝μA μΩ＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4.2．34解析由于△ABC 、△PBC 有公共底边BC ，所以只需P 位于线段BA 靠近B 的四分之一分点E 与A 之间，即构成一个几何概型，∴所求的概率为|AE ||AB |＝34.3．78 解析当P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.4．π6解析设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为43π⎝⎛⎭⎫a 23＝16πa 3，故M 在球O 内的概率为16πa 3a 3＝π6.5．58 解析满足0≤b ≤4,0≤c ≤4的区域的面积为4×4＝16，由⎩⎨⎧f (2)≤12f (－1)≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ≤8－b ＋c ≤2，其表示的区域如图中阴影部分所示，其面积为12×(2＋4)×2＋12×2×4＝10，故事件A 的概率为1016＝58.6．π－24π解析即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型：π－24π.7．7781解析由题意知，硬币的中心应落在距圆心2～9cm 的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π，故所求概率为77π81π＝7781.8．π4解析根据题意易知输出数对(x ，y )的概率即为满足x 2＋y 2≤12的平面区域与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1，－1≤x －y ≤1所表示的平面区域面积的比，即P (A )＝π×122＝π4.9．解(1)设CM ＝x ，则0<x <a (不妨设BC ＝a )． 若∠CAM <30°，则0<x <33a ， 故∠CAM <30°的概率为P (A )＝区间⎝⎛⎭⎫0，33a 的角度区间(0，a )的角度＝33.(7分)(2)设∠CAM ＝θ，则0°<θ<45°. 若∠CAM <30°，则0°<θ<30°， 故∠CAM <30°的概率为P (B )＝区间(0°，30°)的长度区间(0°，45°)的长度＝23.(14分)10．解设事件A ＝{有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则点(x ，y )的所有可能结果是边长为24的正方形区域，如右图所示，由已知得事件A 发生的条件是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4≥y ，y ＋6≥x ，0≤x ≤24，0≤y ≤24.(7分)作出这个二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．∵S 正方形＝242＝576，S 阴影＝242－12×202－12×182＝214，(12分)∴P (A )＝S 阴影S 正方形＝214576＝107288.所以，甲、乙两船有一艘停靠泊位时必须等待一段时间的概率为107288.(14分) 11．解(1)a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N ＝5×5＝25(个)．(2分)函数有零点的条件为Δ＝a 2－4b ≥0，即a 2≥4b .因为事件“a 2≥4b ”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以事件“a 2≥4b ”的概率为P ＝1225.(7分) (2)∵a ，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数，f (1)＝－1＋a －b >0，∴a －b >1，此为几何概型，所以事件“f (1)>0”的概率为P ＝12×3×34×4＝932.(14分)。

学案40 空间的垂直关系导学目标：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．自主梳理1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线．②垂直于同一个平面的两条直线________．③垂直于同一直线的两个平面________．2．直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的________所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，说它们所成的角为________；直线l∥α或l⊂α，说它们所成的角是______角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的____________，那么这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．自我检测1．给定空间中的直线l及平面α.条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件．2．(2010·浙江改编)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________(填序号)．①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.3．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l⊂α，直线m⊂β，使得l∥m；④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有________个．4．(2009·四川卷改编)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的序号是____________．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.5．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)探究点一线面垂直的判定与性质例1Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.变式迁移1 四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，SA＝SB.证明：SA⊥BC.探究点二面面垂直的判定与性质例2如图所示，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC⊥平面ABCD.变式迁移2 已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．探究点三与垂直有关的探索性问题例3如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)是否存在点E，使得平面ADE⊥平面PDE？并说明理由．变式迁移3 如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．转化与化归思想例(14分)已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是∠A＝60°的菱形，又PD⊥底面ABCD，点M、N 分别是棱AD、PC的中点.(1)证明：DN∥平面PMB；(2)证明：平面PMB⊥平面PAD.【答题模板】证明(1)取PB中点Q，连结MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC的中点，所以QN∥BC∥MD，且QN＝MD，故四边形QNDM是平行四边形，于是DN∥MQ.[4分]又∵MQ ⊂平面PMB ，DN ⊄平面PMB ∴DN ∥平面PMB .[7分](2)∵PD ⊥平面ABCD ，MB ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥MB .[9分]又因为底面ABCD 是∠A ＝60°的菱形，且M 为AD 中点，所以MB ⊥AD . 又AD ∩PD ＝D ，所以MB ⊥平面PAD .[12分] 又∵MB ⊂平面PMB ，∴平面PMB ⊥平面PAD .[14分] 【突破思维障碍】1．立体几何中平行与垂直的证明充分体现了转化与化归的思想，其转化关系如图．2．在解决线面、面面平行或垂直的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线”到“线面”，再到“面面”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．1．证明线面垂直的方法：(1)定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α；(2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.2．证明线线垂直的方法：(1)定义：两条直线的夹角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ；(4)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b .3．证明面面垂直的方法：(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·扬州月考)已知直线a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的________条件．2．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n.其中正确命题是________(填序号)．3．设直线m与平面α相交但不垂直，给出以下说法：①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；②过直线m有且只有一个平面与平面α垂直；③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．其中错误的是________．4．(2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号是__________(写出所有真命题的序号)．5．如图所示，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B、D.若增加一个条件，就能推出BD⊥EF.现有：①AC⊥β；②AC与CD在β内的投影在同一条直线上；③AC∥EF.那么上述几个条件中能成为增加条件的是________(填上你认为正确的所有答案序号．)6．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝2a，则它的5个面中，互相垂直的面有________对．下列三个命题：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是____________．8．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．二、解答题(共42分)9．(12分)(2011·全国新课标，18)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．10．(14分)(2011·全国老课标，20)如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．11．(16分)(2011·陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．学案40 空间的垂直关系答案自主梳理1．(1)②相交③垂直(2)①任意②平行③平行2．射影直角0° 3.(1)②一条垂线(2)交线自我检测1．必要非充分 2.② 3.2 4.④5．DM⊥PC(或BM⊥PC等)课堂活动区例1解题导引线面垂直的判定方法是：证明直线垂直平面内的两条相交直线．即从“线线垂直”到“线面垂直”．证明(1)取AB中点E，连结SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DE∥BC，且DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E，∴AB⊥面SDE.而SD⊂面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又∵AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)若AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD⊂面ABC，∴SD⊥BD.又∵SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.变式迁移1 证明作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.因为SA＝SB，所以AO＝BO.又∠ABC＝45°，故△AOB为等腰直角三角形，且AO⊥BO，又SO⊥BC，SO∩AO＝O，∴BC⊥面SAO.又SA⊂面SAO，∴SA⊥BC.例2解题导引证明面面垂直，可先证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行．证明如图所示，连结AC，BD，A1C1，则O为AC，BD的交点，O1为A1C1，B1D1的交点．由棱柱的性质知：A1O1∥OC，且A1O1＝OC，∴四边形A1OCO1为平行四边形，∴A1O∥O1C，又A1O⊥平面ABCD，∴O1C⊥平面ABCD，又O1C⊂平面O1DC，∴平面O1DC⊥平面ABCD.变式迁移2 证明(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.又PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.同理可证：DG⊥PA.又DG、DF都在平面ABC内，DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连结BE并延长交PC于H，∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又已知AE是平面PBC的垂线，PC⊂平面PBC，∴PC⊥AE.又BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.又PC∩PA＝P，∴AB⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC.即△ABC为直角三角形．例3解题导引这类探究性问题可以由结论出发寻找思路，如本题寻找满足条件的点E，可以从平面ADE⊥平面PDE出发，因为∠AEP是二面角A—DE—P的平面角，所以∠AEP＝90°，即AE⊥PC，从而找到点E的位置．对于探究性的开放型问题，应该用分析法找点线面的“位置”，再用综合法写出步骤．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)解存在点E使得平面ADE⊥平面PDE.∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时∠AEP＝90°.∴平面ADE⊥平面PDE.变式迁移3 (1)证明如图所示，取AD的中点G，连结PG，BG，BD.∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD，在△ABD中，∠DAB＝60°，AD＝AB，∴△ABD为等边三角形，∴BG⊥AD，又∵BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.(2)解连结CG，DE，且CG与DE相交于H点，在△PGC中作HF∥PG，交PC于F点，连结DF，由(1)知，PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，∴平面DHF⊥平面ABCD，即平面DEF⊥平面ABCD，∵H是CG的中点，∴F是PC的中点，∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD. 课后练习区1．充要解析若α⊥β，由a⊥α，易知a⊂β或a∥β，而b⊥β，于是a⊥b.若a⊥b，易知α⊥β，故α⊥β是a⊥b的充要条件．2．①②③解析①正确，两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于同一个平面；②正确，垂直于同一直线的两平面平行；③正确，两平面垂直的判定定理；④不正确，n、m也可能异面．3．①③④解析因为直线m是平面α的斜线，在平面α内，只要和直线m的射影垂直的直线都和m垂直，所以①错误；②正确；③错误，设b⊂α，b⊥m，c∥b，c⊄α，则c∥α，c⊥m；④错误，如正方体AC1，m是直线BC1，平面ABCD是α，则平面ADD1A1既与α垂直，又与m平行．4．①②解析命题①是两个平面平行的判定定理，正确；命题②是直线与平面平行的判定定理，正确；命题③中在α内可以作无数条直线与l垂直，但α与β只是相交关系，不一定垂直，错误；命题④中直线l与α垂直可推出l与α内两条直线垂直，但l与α内的两条直线垂直推不出直线l与α垂直，所以直线l与α垂直的必要不充分条件是l与α内两条直线垂直．5．①②解析由线面垂直的判定与性质定理可知①可以；由线面垂直、线线垂直的判定与性质定理可知②也可以，所以可以成为增加条件的是①②.6．5解析面PAB⊥面PAD，面PAB⊥面ABCD，面PAB⊥面PBC，面PAD⊥面ABCD，面PAD⊥面PCD.7．①②③解析由于ABCD—A1B1C1D1是正方体，所以A—A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°.8．6＋ 2解析 如图取CD 的中点F ，SC 的中点G ，连结EF ，GF ，GE . 则AC ⊥平面GEF ，故动点P 的轨迹是△EFG 的三边． 又EF ＝12DB ＝2，GE ＝GF ＝12SB ＝62，∴EF ＋FG ＋GE ＝6＋ 2.9．(1)证明 因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝3AD .(2分)从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD . 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD .(4分) 所以BD ⊥平面PAD ，故PA ⊥BD .(6分)(2)解 如图，作DE ⊥PB ，垂足为E ，已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC .(8分) 由(1)知BD ⊥AD ，又BC ∥AD ， ∴BC ⊥BD .又PA ⊥BD ， ∴BC ⊥平面PBD ，∴BC ⊥DE . ∴DE ⊥平面PBC .∵AD ＝1，AB ＝2，∠DAB ＝60°， ∴BD ＝3.又PD ＝1，∴PB ＝2.(10分)根据DE ·PB ＝PD ·BD ，得DE ＝32，即棱锥D －PBC 的高为32.(12分)10．(1)证明 取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE ＝CB ＝2，连结SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝ 3.又SD ＝1，故ED 2＝SE 2＋SD 2，所以∠DSE 为直角，即SD ⊥SE .(3分) 由AB ⊥DE ，AB ⊥SE ，DE ∩SE ＝E ， 得AB ⊥平面SDE ， 所以AB ⊥SD .由SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直， 所以SD ⊥平面SAB .(6分)(2)解 由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE .(8分)作SF ⊥DE ，垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，SF ＝SD ·SE DE＝32.作FG ⊥BC ，垂足为G ，则FG ＝DC＝1.连结SG ，又BC ⊥FG ，BC ⊥SF ，SF ∩FG ＝F ， 故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG . 作FH ⊥SG ，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC .FH ＝SF ·FG SG ＝37，则F 到平面SBC 的距离为217.由于ED ∥BC ，所以ED ∥平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 为217.(10分)设AB 与平面SBC 所成的角为α，则sin α＝d EB＝217，即AB与平面SBC所成的角的正弦值为217.(12分)11．(1)证明∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.(3分)又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC.∵AD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.(7分) (2)解由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA.∵DB＝DA＝DC＝1，∴AB＝BC＝CA＝2，(9分)从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝1212，S△ABC＝12×2×2×sin 60°＝32，(12分)∴三棱锥D－ABC的表面积S＝12×3＋32＝3＋32. (16分)。

学案57 数系的扩充与复数的引入导学目标： 1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．自主梳理 1．数系的扩充数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为____⊆____⊆____，实际上前者是后者的真子集．2．复数的有关概念 (1)复数的概念形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的______和______．若______，则a ＋b i 为实数，若______，则a ＋b i 为虚数，若____________，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________(a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔__________(a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点表示______；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示__________．复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．(5)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作________或________，即|z |＝|a ＋b i|＝________. 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝____________；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝____________； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝____________；④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i＝a ＋b i c －d i c ＋d i c －d i ＝__________________________________(c ＋d i≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝______________.自我检测1．(2011·山东改编)复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限第________象限．2．(2010·广东改编)若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝________. 3．(2011·天津改编)i 是虚数单位，复数1－3i1－i＝________.4．(2010·北京)在复平面内，复数2i1－i对应的点的坐标为________．5．(2010·江苏)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________.探究点一 复数的基本概念例1 设m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)． (1)若z 为实数，则m ＝________； (2)若z 为纯虚数，则m ＝________. 变式迁移1 已知复数z ＝a 2－7a ＋6a2－1＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点二复数的运算例2计算：(1)1＋2i2＋31－i2＋i；(2)－23＋i1＋23i ＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫21＋i2 012＋4－8i2－－4＋8i211－7i.变式迁移2 计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1－3i3＋i2；(3)1＋i1－i2＋1－i1＋i2.探究点三 复数的几何意义例3 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →所表示的复数，BC →所表示的复数； (2)对角线CA →所表示的复数； (3)求B 点对应的复数．变式迁移3 (2010·苏北四市期末)复数z 1＝3＋4i ，z 2＝0，z 3＝c ＋(2c －6)i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若∠BAC 是钝角，则实数c 的取值范围为____________________．1.复数a ＋b i ⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0虚数――→b ≠0纯虚数a ＝02．乘法法则：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；除法法则：a ＋b ic ＋d i＝a ＋b ic －d i c 2＋d 2ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．特别地：(a ±b i)2＝a 2±2ab i －b 2＝a 2－b 2±2ab i ，(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2.3．进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程：(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0 (n ∈N )；(2)(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2011·课标全国改编)复数5i1－2i＝________.2．(2010·北京)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数为________．3．若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在第________象限．4．(2011·湖南改编)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则a ＝________，b ＝________. 5．下面四个命题： (1)0比－i 大；(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数； (3)x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；(4)如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确命题的个数是________．6．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－3i ，则复数i ＋z 2z 1的虚部为______．7．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m ＝________.8．(2010·上海九校联考)复数z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )满足|z －1|＝x ，则复数z 对应的点Z (x ，y )的轨迹方程为______________．二、解答题(共42分)9．(12分)已知|z |－z ＝1－2i ，求复数z .10．(14分)(2011·海口调研)已知复数z 0＝2a ＋1＋a i 和z ＝z 0－|z 0|＋1－(1＋2)i ，i 为虚数单位，a 为实数．求证：复数z 不可能为纯虚数．11．(16分)已知m ∈R ，复数z ＝m m －2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面第二象限；(4)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．学案57 数系的扩充与复数的引入答案自主梳理1．自然数系 有理数系 实数系 N Q R 2.(1)实部虚部 b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠0 (2)a ＝c ，b ＝d (3)a ＝c ，b ＝－d (4)x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数 原点 (5)|z | |a ＋b i|a 2＋b 2 3.(1)①(a ＋c )＋(b ＋d )i ②(a －c )＋(b －d )i ③(ac －bd )＋(ad ＋bc )i④ac ＋bd ＋bc －ad ic 2＋d 2(2)z 2＋z 1 z 1＋(z 2＋z 3)自我检测 1．四解析 ∵z ＝2－i2＋i ＝2－i 22＋i 2－i ＝4－4i －15＝35－45i ，∴复数z 对应的点的坐标为(35，－45)，在第四象限．2．4＋2i解析 ∵z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ， ∴z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i －i －i 2 ＝3＋2i ＋1＝4＋2i. 3．2－i解析 1－3i 1－i ＝1－3i 1＋i 1－i 1＋i ＝4－2i2＝2－i.4．(－1,1)解析 ∵2i1－i＝2i 1＋i 2i ＋i 2＝－1＋i ，∴复数2i1－i 对应的点的坐标为(－1,1)．5．2解析 方法一 ∵z (2－3i)＝6＋4i ， ∴z ＝6＋4i 2－3i ＝26i 13＝2i ，∴|z |＝2.方法二 由z (2－3i)＝6＋4i ，得z ＝6＋4i2－3i.则|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4i 2－3i ＝62＋4222＋－32＝2.课堂活动区例1 解题导引 根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的m 值．利用概念解题时，要看准实部与虚部．答案 (1)1或2 (2)－12解析 z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)若z 为实数，则m 2－3m ＋2＝0.∴m ＝1或2.(2)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，解得m ＝－12.变式迁移1 解 (1)当z 为实数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6a ≠±1，∴a ＝6，即a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则有a 2－5a －6≠0且a 2－1≠0， ∴a ≠－1且a ≠6且a ≠±1.∴a ≠±1且a ≠6. ∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6a 2－1＝0a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6a ＝6a ≠±1.∴不存在实数a 使z 为纯虚数．例2 解题导引 复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i 的幂的性质，区分(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2与(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a ＋b i)(a－b i)＝a 2＋b 2与(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误．解 (1)1＋2i 2＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i2＋i ＝i 2－i 5＝15＋25i. (2)原式＝－23＋i 1－23i 12＋232＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋i 2 1 006＋4－8i 2－4－8i 211－7i＝13i 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 006＋0 ＝i ＋(－i)1 006＝i ＋i 2＝i －1＝－1＋i.变式迁移2 解 (1)－1＋i 2＋i i 3＝－3＋i －i ＝－1－3i.(2)1－3i 3＋i 2＝3＋i －i 3＋i 2＝－i 3＋i ＝－i 3－i 4＝－14－34i.(3)1＋i1－i 2＋1－i1＋i 2＝1＋i －2i ＋1－i 2i ＝－1－i ＋1－i 2i ＝－2i 2i＝－1.例3 解题导引 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．解 (1)∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. (2)∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)∵OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.变式迁移3 c >4911且c ≠9 解析 在复平面内三点坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c ，2c －6)，由∠BAC 是钝角得AB →·AC →<0且B 、A 、C 不共线，由(－3，－4)·(c －3,2c －10)<0，解得c >4911，其中当c ＝9时，AC →＝(6,8)＝－2AB →，三点共线，故c ≠9.课后练习区1．－2＋i解析5i 1－2i ＝5i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝5i 1＋2i 5＝－2＋i. 2．2＋4i解析 复数6＋5i 对应A 点的坐标为(6,5)，－2＋3i 对应B 点的坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C 点坐标为(2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i.3．二解析 由三角函数线知识得当θ∈(3π4，5π4)时， sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.故点在第二象限．4．1 －1解析 (a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，故应有a ＝1，b ＝－1.5．0解析 (1)中实数与虚数不能比较大小；(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；(3)x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有标明x ，y 是否是实数；(4)当a ＝0时，没有纯虚数和它对应．6．－1解析 i ＋z 2z 1＝i ＋1－3i 2＋i ＝1－2i 2－i 5＝－i ， 故虚部为－1.7．－32解析 z 1z 2＝m ＋2i 3－4i ＝m ＋2i 3＋4i 25＝3m －8＋6＋4m i 25是实数，∴6＋4m ＝0，故m ＝－32. 8．y 2＝2x －1解析 由|z －1|＝x 得|(x －1)＋y i|＝x ，故(x －1)2＋y 2＝x 2，x ≥0，整理得y 2＝2x －1.9．解 设z ＝a ＋b i (a 、b ∈R )， 则a 2＋b 2－(a ＋b i)＝1－2i.(2分)由两复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－a ＝1，－b ＝－2，(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32b ＝2，.所以所求复数为z ＝32＋2i.(12分) 10．证明 因为2a ＋1≥0，所以a ≥－12，所以|z 0|＝2a ＋1＋a 2＝|a ＋1|＝a ＋1，(4分)z ＝2a ＋1＋a i －(a ＋1)＋1－(1＋2)i ＝(2a ＋1－a )＋(a －1－2)i ，若使z 为纯虚数，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1－a ＝0， ①a －1－2≠0， ②(10分) 解方程①得a ＝1＋2(a ≥－12)，代入②不符合，故z 不可能为纯虚数．(14分)11．解 (1)当z 为实数时，则有m 2＋2m －3＝0且m －1≠0 得m ＝－3，故当m ＝－3时，z ∈R .(4分)(2)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m m －2m －1＝0m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0，或m ＝2.∴当m ＝0或m ＝2时，z 为纯虚数．(8分)(3)当z 对应的点位于复平面第二象限时，则有，⎩⎪⎨⎪⎧ m m －2m －1<0m 2＋2m －3>0.解得m <－3或1<m <2，故当m <－3或1<m <2时，z 对应的点位于复平面的第二象限．(12分)(4)当z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上时，则有m m －2m －1＋(m 2＋2m －3)＋3＝0，得m m 2＋2m －4m －10，解得m ＝0或m ＝－1± 5.∴当m ＝0或m ＝－1±5时，点Z 在直线x ＋y ＋3＝0上．(16分)。

第3章 导数及其应用 学案13 导数的概念及运算导学目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y =C (C 为常数)，y =x ,y =x 2,y =1x的导数.熟记基本初等函数的导数公式（c ,x m (m 为有理数)，sin x ,cos x ,e x ,a x ,ln x ,log ax 的导数），能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数.自主梳理1．函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为________________________． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义设f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx ＝____________________无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．(2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的____________． (3)导数的物理意义：函数s ＝s (t )在点t 0处的导数s ′(t 0)，是物体的运动方程s ＝s (t )在t 0时刻的瞬时速度v ，即v ＝__________；v ＝v (t )在点t 0处的导数v ′(t 0)，是物体的运动方程v ＝v (t )在t 0时刻的瞬时加速度a ，即a ＝____________.3．函数f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内任一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作y ′或f ′(x )．4．基本初等函数的导数公式表5.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝____________； (2)[f (x )g (x )]′＝________________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f xg x ′＝________________________ [g (x )≠0]． 6．复合函数的求导法则：若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 自我检测1．(2011·中山期末统一考试)已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为________．2．设y ＝x 2·e x ，则y ′＝______________.3．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.4．（2009·海南、宁夏）曲线y =x e x +2x +1在点（0，1）处的切线方程为 . 5．(2009·湖北)已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)＝________.探究点一 利用导数的定义求函数的导数 例1 利用导数的定义求函数的导数： (1)f (x )＝1x在x ＝1处的导数；(2)f (x )＝1x ＋2.变式迁移1 求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数．探究点二 导数的运算例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x ；(2)y ＝ln x x ； (3)y ＝x e x ；(4)y ＝tan x .变式迁移2 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ；(3)y ＝ln xx 2＋1.探究点三 求复合函数的导数 例3 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －3)5； (2)y ＝3－x ；(3)y ＝ln(2x ＋5)．变式迁移3 求下列函数的导数： (1)y ＝11－3x 4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(3)y ＝x 1＋x 2.探究点四 导数的几何意义 例4 已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．变式迁移4 求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧． 2．曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解． (1)点P (x 0，y 0)是切点的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (2)当点P (x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．3．求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·南通模拟)已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋6x ，当Δx →0时，f 1＋Δx －f 12Δx →常数A ，则A ＝________.2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是__________．3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为______________． 4．(2010·辽宁改编)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是____________．5．(2009·福建)若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 6．(2009·安徽改编)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围为______________．7．已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象如图所示，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是________(填上正确的序号)．8．设点P 是曲线y =32333x y x x =---上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是 .二、解答题(共42分)9．(12分)求下列函数在x ＝x 0处的导数． (1)f (x )＝e x 1－x ＋e x1＋x，x 0＝2；(2)f (x )＝x －x 3＋x 2ln xx 2，x 0＝1.10．(14分)求经过点P (2,0)的曲线y ＝1x的切线方程．11．(16分)设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．答案 自主梳理1.f x 2－f x 1x 2－x 1 2.(1)f x 0＋Δx －f x 0Δx(2)切线的斜率 (3)s ′(t 0) v ′(t 0) 4.0 αx α－1 cosx －sin x a x ln ae x1x ln a 1x5.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(3)f ′xg x －f x g ′x [g x ]2自我检测1.134 2.(2x ＋x 2)e x 3.3 4. y =3x +1 5.1 课堂活动区例1 解题导引 (1)用导数定义求函数导数必须把分式ΔyΔx中的分母Δx 这一因式约掉才可能求出极限，所以目标就是分子中出现Δx ，从而分子分母相约分．(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是处理根式问题常用的方法，有时用“分母有理化”，有时用“分子有理化”．(3)用导数的定义求导的步骤为：①求函数的增量Δy ；②求平均变化率ΔyΔx；③化简取极限．解 (1)Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝11＋Δx－1Δx＝1－1＋ΔxΔx1＋Δx ＝1－1＋Δx Δx1＋Δx 1＋1＋Δx＝－ΔxΔx 1＋Δx ＋1＋Δx ＝－11＋Δx ＋1＋Δx，从而，当Δx →0时，Δy Δx →－12，∴f ′(1)＝－12.(2)Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ＝1x ＋2＋Δx －1x ＋2Δx＝x ＋2－x ＋2＋Δx Δx x ＋2x ＋2＋Δx ＝－1x ＋2x ＋2＋Δx ，从而，当Δx →0时，ΔyΔx →－1x ＋22，∴f ′(x )＝－1x ＋22.变式迁移1 解 ∵Δy ＝x 0＋Δx 2＋1－x 20＋1＝x 0＋Δx 2＋1－x 20－1x 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1＝2x 0Δx ＋Δx 2x 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1，∴ΔyΔx＝2x 0＋Δxx 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1.∴Δx →0时，ΔyΔx→x x 2＋1.∴y ′＝xx 2＋1.例2 解题导引 求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形．解 (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x ＝1x －x ＝1122x x --， ∴y ′＝(12x-x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝ln x ′x －x ′ln x x 2＝1x·x －ln xx 2＝1－ln xx 2.(3)y ′＝x ′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)．(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x＝cos x cos x －sin x －sin x cos 2x＝1cos 2x. 变式迁移2 解 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e)′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)(3e)x －2x ln 2. (3)y ′＝ln x ′x 2＋1－ln x x 2＋1′x 2＋12＝1xx 2＋1－ln x ·2x x 2＋12＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋12.例3 解题导引 (1)求复合函数导数的思路流程为： 选定中间变量→分解复合关系→分层求导(2)由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．解 (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5与u ＝2x －3复合而成． ∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成．∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝12u －12(－1)＝－12u －12＝－123－x .(3)设u ＝2x ＋5，则y ＝ln(2x ＋5) 由y ＝ln u 与u ＝2x ＋5复合而成． ∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝1u ·2＝2u ＝22x ＋5.变式迁移3 解 (1)设u ＝1－3x ，y ＝u －4.则y ′＝y u ′·u x ′＝－4u －5·(－3)＝121－3x 5. (2)设u ＝2x ＋π3，则y ＝sin u ，∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos(2x ＋π3)．(3)y ′＝(x1＋x 2)′＝x ′·1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x 21＋x 2.例4 解题导引 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异；过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可． (3)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标来解决． 解 (1)∵y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝x 20. ∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53，(－1,1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1， 即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.变式迁移4 解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝－14. ∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x . 综上，曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x . 课后练习区1．3 2.1秒或2秒末 3.4x －y －3＝0 4.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 5．a <0解析 由题意可知该函数的定义域为{x |x >0}，且f ′(x )＝2ax ＋1x.因为曲线存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为x >0范围内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x 存在零点．令2ax ＋1x＝0，即2ax 2＋1＝0，即x 2＝－12a ，显然只有a <0，方程2ax 2＋1＝0才有正实数根，故实数a 的取值范围是a <0.6．[2，2]解析 ∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3， 又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4， ∴22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2. 7．④解析 由导函数y ＝f ′(x )的图象可知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的图象上任意一点切线的斜率为单调递减，故可排除①、③.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )在点x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线斜率相同，故可排除②.8. 12x +3y +8=0解析 设切线的斜率为k ,则k =f'(x )=x 2-2x -3=(x -1)2-4.当x =1时，k 有最小值-4.又f (1)=203, 所以切线方程为y +203=-4(x -1),即12x +3y +8=0. 9．解 (1)∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x 1－x ′＝2e x ′1－x －2e x 1－x ′1－x 2 ＝22－x e x1－x 2，∴f ′(2)＝0.…………………………………………………………………(6分) (2)∵f ′(x )＝(x －32)′－x ′＋(ln x )′ ＝－32x －52－1＋1x ，∴f ′(1)＝－32.………………………………………………………(12分) 10．解 设切点为M (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝1x 0. ∵切线过P (2,0)，∴切线斜率为y 0－0x 0－2＝1x 0x 0－2.…………………………………………………………(4分)又y ′＝(1x )′＝－1x 2，∴k ＝－1x 20.…………………………………………………………(6分) 由导数的几何意义知－1x 20＝1x 0x 0－2.解得x 0＝1.………………………………………………………………………………(10分)∴y 0＝1x 0＝1，∴M (1,1)．∴切线斜率为k ＝－1， 故切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.………………………………………(14分)11．(1)解 f ′(x )＝a －1x ＋b 2，…………………………………………………………(2分) 于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋12＋b ＝3，a －12＋b 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1.…………………………………………………………(6分)(2)证明 已知函数y 1＝x ，y 2＝1x都是奇函数， 所以函数g (x )＝x ＋1x 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f (x )＝x －1＋1x －1＋1. 可知，函数g (x )的图象按向量a ＝(1,1)平移，即得到函数f (x )的图象，故函数f (x )的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形．………………………………(10分)(3)证明 在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－1x 0－12知，过此点的切线方程为 y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x 0－12(x －x 0)．…………………………………………………(12分)令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1； 令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)； 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)， 从而所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2. 所以，所围三角形的面积为定值2.……………………………………………………(16分)。

2013高考数学教案和学案(有答案)---第2章--学案11学案11函数与方程导学目标： 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．自主梳理1．函数零点的定义(1)对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使y＝f(x)的值为____的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与____有交点⇔函数y＝f(x)有______．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且____________，那么函数y ＝f(x)在区间________上有零点．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象变式迁移2用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)＝0.200f(1.587 5)＝0.133f(1.575 0)＝0.067f(1.562 5)＝0.003f(1.556 2)＝－0.029f(1.550 0)＝－0.060据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为________．探究点三利用函数的零点确定参数例3已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x －3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．变式迁移3若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a的取值范围．1．全面认识深刻理解函数零点：(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；(3)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；(4)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．2．求函数y＝f(x)的零点的方法：(1)(代数法)求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a)·f(b)<0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．3．有关函数零点的重要结论：(1)若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·天津改编)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点个数为________．2．若f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－x －1 (x ≥2或x ≤－1)1 (－1<x <2)，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为______________．3．(2010·苏北四市模拟)若方程ln x －6＋2x ＝0的解为x 0，则不等式x ≤x 0的最大整数解为________．4．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点，则a 的取值范围是____________．5．(2010·南通二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2x －1， (x >0)－x 2－2x ， (x ≤0)，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围为________．6．(2010·泰州期末)已知函数f (x )＝log a (2＋ax )的图象和函数g (x )＝1log (2)aa x +(a >0，且a ≠1)的图象关于直线y＝b对称(b为常数)，则a＋b＝________.7．(2010·深圳一模)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________．8．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是下列四个函数中的________．(填上正确的序号)①f(x)＝4x－1；②f(x)＝(x－1)2；③f(x)＝e x －1；④f(x)＝ln(x－0.5)．二、解答题(共42分)9．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋x2＋14.证明：存在x0∈(0，12)，使f(x0)＝x0.10．(14分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．11．(16分)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b ，求证： (1)a >0且－3<b a <－34； (2)函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|<574.答案 自主梳理1．(1)0 (2)x 轴 零点 2.f (a )·f (b )<0 (a ，b )3．(x 1,0)，(x 2,0) 两个 一个 无自我检测1．－3和e 2 2.a >15或a <－1 3.①③ 4.3 5.a >1课堂活动区例1 解题导引 判断函数零点个数最常用的方法是令f (x )＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数y ＝f (x )就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧．解 方法一 设f (x )＝ln x ＋2x －6，∵y ＝ln x 和y ＝2x －6均为增函数，∴f (x )也是增函数．又∵f (1)＝0＋2－6＝－4<0，f (3)＝ln 3>0， ∴f (x )在(1,3)上存在零点．又f (x )为增函数， ∴函数在(1,3)上存在唯一零点．故函数y ＝ln x ＋2x －6的零点个数为1.方法二 在同一坐标系画出y ＝ln x 与y ＝6－2x 的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y ＝ln x ＋2x －6只有一个零点．变式迁移1 (1)1 (2)4解析 (1)∵f ′(x )＝3x 2＋b >0，∴f (x )在[－1,1]上为增函数，又f (－12)·f (12)<0，∴f(x)在[－1,1]内存在唯一零点，方程f(x)＝0有唯一根．(2)由题意知f(x)是偶函数并且周期为2.由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴下边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x≠0，x∈R的范围内共4个．例2解题导引用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程．解∵f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，∴f(x)在区间[1,1.5]存在零点．取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：端(中)点中点函数零点所在区坐标值符号间[1,1.5] 1.25f(1.25)<0[1.25,1.5]1.375f(1.375)>[1.25,1.375]1.312 5f(1.3125)<0[1.3125,1.375]1.343 75f(1.34375)>0[1.3125,1.343 75]由上表可知，区间[1.312 5,1.343 75]的左右端点精确到0.1所取近似值都是1.3，因此1.3就是所求函数的一个零点近似值．变式迁移2 1.56解析∵f(1.562 5)·f(1.556 2)<0，且区间[1.556 2,1.562 5]左右端点精确到0.01所取近似值都是1.56，因此1.56即为符合要求的零点．例3解题导引函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，然后通过方程进行研究．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点．解 若a ＝0，f (x )＝2x －3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a ≠0.令Δ＝4＋8a (3＋a )＝8a 2＋24a ＋4＝0，解得a ＝－3±72. ①当a ＝－3－72时，f (x )＝0的重根x ＝3－72∈[－1,1]， 当a ＝－3＋72时，f (x )＝0的重根x ＝3＋72∉[－1,1]，∴y ＝f (x )恰有一个零点在[－1,1]上； ②当f (－1)·f (1)＝(a －1)(a －5)<0，即1<a <5时，y ＝f (x )在[－1,1]上也恰有一个零点．③当y ＝f (x )在[－1,1]上有两个零点时，则⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ a >0Δ＝8a 2＋24a ＋4>0－1<－12a <1f (1)≥0f (－1)≥0，或⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ a <0Δ＝8a 2＋24a ＋4>0－1<－12a <1f (1)≤0f (－1)≤0， 解得a ≥5或a <－3－72. 综上所述实数a 的取值范围是a >1或a ≤－3－72. 变式迁移3 解 方法一 (换元) 设2x ＝t ，则函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1化为g (t )＝t 2＋at ＋a ＋1 (t ∈(0，＋∞))．函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于方程t 2＋at ＋a ＋1＝0，①有正实数根．(1)当方程①有两个正实根时，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0t 1＋t 2＝－a >0t 1·t 2＝a ＋1>0，解得：－1<a ≤2－22； (2)当方程①有一正根一负根时，只需t 1·t 2＝a ＋1<0，即a <－1；(3)当方程①有一根为0时，a ＝－1，此时方程①的另一根为1.综上可知a ≤2－2 2.方法二 令g (t )＝t 2＋at ＋a ＋1 (t ∈(0，＋∞))．(1)当函数g (t )在(0，＋∞)上存在两个零点时，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0－a 2>0g (0)＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－22； (2)当函数g (t )在(0，＋∞)上存在一个零点，另一个零点在(－∞，0)时，实数a 应满足g (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；(3)当函数g (t )的一个零点是0时，g (0)＝a ＋1＝0，a ＝－1，此时可以求得函数g (t )的另一个零点是1.综上(1)(2)(3)知a ≤2－2 2.方法三 f (x )存在零点⇔方程a ＝－4x ＋12x ＋1有实根．因为－4x ＋12x ＋1＝－(2x ＋1)2－2(2x ＋1)＋22x ＋1＝－[(2x ＋1)＋22x ＋1－2]≤2－2 2.当且仅当2x ＋1＝2，即x ＝log 2(2－1)时，上式取“＝”．所以a ≤2－2 2.课后练习区1．1解析 因为f (－1)＝12－3<0，f (0)＝1>0， 所以f (x )在区间(－1,0)上存在零点．又f (x )在R 上单调递增．所以f (x )只有1个零点．2．1＋2或1解析 求g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根，∴⎩⎨⎧ x ≥2或x ≤－1x 2－x －1＝x 或⎩⎨⎧－1<x <2x ＝1. 解得x ＝1＋2或x ＝1.3．2解析 令f (x )＝ln x －6＋2x ，则f (1)＝ln 1－6＋2＝－4<0，f (2)＝ln 2－6＋4＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0，∴2<x 0<3.∴不等式x ≤x 0的最大整数解为2.4．(1，＋∞)解析 当a ＝0时，函数的零点是x ＝－1，不合题意；当a ≠0时，若Δ>0，f (0)·f (1)<0，则a >1；若Δ＝0，即a ＝－18，函数的零点是x ＝－2，不合题意，所以a ∈(1，＋∞)．5．(0,1)解析 在坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1， (x >0)－x 2－2x ， (x ≤0)的图象(如图)，发现0<m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有3个交点，即g (x )＝f (x )－m 有3个零点．6．2 解析 依题意有f (x )＋g (x )＝log a (2＋ax )＋1log a (a ＋2x )＝2b ，所以有⎩⎨⎧f (0)＋g (0)＝2b ，f (1)＋g (1)＝2b ，即有11log 2log 2log (2)log (2)2a a a a a b a a b+=⎧⎪⎨+++=⎪⎩⇒⎩⎨⎧a ＝2，b ＝0， 所以a ＋b ＝2.7．x 1<x 2<x 3解析 令x ＋2x ＝0，即2x ＝－x ，设y ＝2x ，y ＝－x ；令x ＋ln x ＝0，即ln x ＝－x ，设y ＝ln x ，y ＝－x .在同一坐标系内画出y ＝2x ，y ＝ln x ，y ＝－x ，如图：x 1<0<x 2<1，令x －x －1＝0，则(x )2－x －1＝0，∴x ＝1＋52，即x 3＝3＋52>1，所以x 1<x 2<x 3.8．① 解析 f (x )＝4x －1的零点为x ＝0.25，f (x )＝(x －1)2的零点为x ＝1，f (x )＝e x －1的零点为x ＝0，f (x )＝ln(x －0.5)的零点为x ＝1.5，现在我们来估算g (x )＝4x ＋2x －2的零点，因为g (0)＝－1，g (0.25)≈－0.086，(g (0.5)＝1，所以g (x )的零点x ∈(0,0.5)，又函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f (x )＝4x －1的零点适合．9．证明 令g (x )＝f (x )－x .………………………………………………………………(2分)∵g (0)＝14，g (12)＝f (12)－12＝－18， ∴g (0)·g (12)<0.……………………………………………………………………………(8分)又函数g (x )在(0，12)上连续，……………………………………………………………(10分)所以存在x 0∈(0，12)，使g (x 0)＝0. 即f (x 0)＝x 0.………………………………………………………………………………(12分)10．解 ∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)>0， ∴若存在实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．………………………………………………………………(3分)f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0.所以a ≤－15或a ≥1.………………………………………………(5分)检验：①当f (－1)＝0时，a ＝1.所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0. 得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1.…………………………………………(8分)②当f (3)＝0时，a ＝－15， 此时f (x )＝x 2－135x －65， 令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之得x ＝－25或x ＝3. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.………………………………………(12分) 综上所述，a <－15或a >1.………………………………………………………………(14分)11．证明 (1)∵f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a 2， ∴3a ＋2b ＋2c ＝0.又3a >2c >2b ，∴3a >0,2b <0，∴a >0，b <0. 又2c ＝－3a －2b ，由3a >2c >2b ，∴3a >－3a －2b >2b .∵a >0，∴－3<b a <－34.……………………………………………………………………(4分)(2)∵f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝a －c . ①当c >0时，∵a >0，∴f (0)＝c >0且f (1)＝－a 2<0，∴函数f (x )在区间(0,1)内至少有一个零点．……………………………………………(8分)②当c ≤0时，∵a >0，∴f (1)＝－a 2<0且f (2)＝a －c >0， ∴函数f (x )在区间(1,2)内至少有一个零点． 综合①②得f (x )在(0,2)内至少有一个零点．……………………………………………(12分)(3)∵x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ＝－32－b a . ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝(－b a )2－4(－32－b a )＝(b a ＋2)2＋2.……………………………………………(15分)∵－3<b a <－34，∴2≤|x 1－x 2|<574.……………………………………………………(16分)。