2020届高考数学大二轮复习 第1部分 专题7 概率与统计 第2讲 概率及其应用练习

高考考点考点解读，则实数率为3A ．34B ．23C ．13D ．14[解析] 由－1≤log 12(x ＋12)≤1，得12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，所以事件“－1≤log 12(x ＋12)≤1”发生的概率为322＝34，故选A ．2．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为932.(用数字作答)[解析] 设小张和小王到校的时间分别为x 和y ， 则⎩⎨⎧30≤x ≤50，30≤y ≤50，y －x ≥5，则满足条件的区域如图中阴影部分所示． 故所求概率P ＝12×15×1520×20＝932.命题方向3 概率与统计的综合应用(一)频率分布直方图与概率综合应用例3某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．A 地区用户满意度评分的频率分布直方图A ．12B ．13C ．23D ．34[解析] sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，由1≤2sin(x ＋π4)≤2，得22≤sin(x ＋π4)≤1，结合x ∈[－π6，π2]得0≤x ≤π2，所以所求概率为π2π2＋π6＝34.故选D ．6．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( C )A ．14B ．12C ．34D ．78[解析] 如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x ，y ，且x ，y 相互独立，由题意可知⎩⎨⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y|≤2，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABCS 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.7．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝23.[解析]将事件A＋B分为：事件C“朝上一面的数为1,2”与事件D“朝上一面的数为3,5”，则C，D互斥，且P(C)＝13，P(D)＝13，∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝2 3 .8．已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为2 3 .[解析]要使函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个零点，即方程x2－2ax＋b2＝0要有两个实根，则Δ＝4a2－4b2>0.又a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，即a>b，而a，b 的取法共有3×3＝9种，其中满足a>b的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为69＝23.9.(20xx·郑州模拟)折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段．已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABC D为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为1 3 .[解析]设正方形ABCD的边长为2，则由题意，多边形AEFGHID的面积为S AGFE＋S DGHI＋S△ADG＝(5)2＋(5)2＋12×2×2＝12，阴影部分的面积为2×12×2×2＝4，所以向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为412＝13.10．(20xx·永州三模)我国为确保贫困人口到2020年如期脱贫，把20xx年列为“精准扶贫”攻坚年，20xx年1月1日某贫困县随机抽取100户贫困家庭的每户人均收入数据做为样本，以考核该县20xx年的“精准扶贫”成效(20xx年贫困家A．14B．13C．12D．23[解析]如图所示，取边BC上的中点D，由PB→＋PC→＋2PA→＝0，得PB→＋PC→＝2AP→.又PB→＋PC→＝2PD→，故AP→＝PD→，即P为AD的中点，则S△ABC ＝2S△PBC，根据几何概率的概率公式知，所求概率P＝S△PBCS△ABC＝12，故选C．2．(20xx·济南模拟)已知函数f(x)＝13ax3－12bx2＋x，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数f′(x)在x＝1处取得最值的概率是( C )A．136B．118C．112D．16[解析]由题意得f′(x)＝ax2－bx＋1，因为f′(x)在x＝1处取得最值，所以b2a＝1，符合的点数(a，b)有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情况．又因为抛掷两颗骰子得到的点数(a，b)共有36种情况，所以所求概率为336＝112，故选C．3．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥12”的概率，p2为事件“|x－y|≤12”的概率，p3为事件“xy≤12”的概率，则( B )A．p1<p2<p3B．p2<p3<p1C．p3<p1<p2D．p3<p2<p1[解析]满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA及其边界上．事件“x＋y≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x－y|≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2<p 3<p 1.4．从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为( C )A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2m n[解析] 由题意得：(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝m n ，所以π＝4mn.5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( C )A ．13B ．12C ．23D ．56[解析] 总的基本事件是：红黄，白紫；红白，黄紫；红紫，黄白，共3种．满足条件的基本事件是：红黄，白紫；红白，黄紫，共2种．故所求事件的概率为P ＝23.。

2020 高考数学二轮复习 概率与统计概率内容的新概念 多，相近概念容易混淆，本 就学生易犯 作如下 ：型一 “非等可能 ”与 “等可能 ”混同 例 1 两枚骰子，求所得的点数之和 6 的概率．解两枚骰子出 的点数之和2， 3， 4， ⋯ ，12 共 11 种基本事件，所以概率P=111剖析以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和 2 只有 (1， 1)，而点数之和6 有 (1， 5)、(2， 4)、 (3， 3)、 (4，2)、 (5， 1)共 5 种．事 上， 两枚骰子共有 36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和6”的概率 P= 5．36型二 “互斥 ”与 “ 立 ”混同例 2把 、黑、白、4 牌随机地分 甲、乙、丙、丁4 个人，每个人分得1 ，事件“甲分得 牌”与“乙分得 牌”是（）A ． 立事件B ．不可能事件C ．互斥但不 立事件D ．以上均不解A剖析 本 的原因在于把 “互斥 ”与 “ 立”混同，二者的 系与区 主要体 在 ：(1)两事件 立，必定互斥，但互斥未必 立； (2) 互斥概念适用于多个事件，但 立概念只适用于两个事件； (3) 两个事件互斥只表明 两个事件不能同 生，即至多只能 生其中一个，但可以都不 生；而两事件 立 表示它 有且 有一个 生．事件 “甲分得 牌 ”与 “乙分得 牌 ”是不能同 生的两个事件，两个事件可能恰有一个 生，一个不 生，可能两个都不 生，所以 C ．型三 例 3解“互斥 ”与 “独立 ”混同甲投 命中率 O ．8，乙投 命中率 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少 ?“甲恰好投中两次” 事件 A ， “乙恰好投中两次” 事件B ， 两人都恰好投中两次事件A+B ， P(A+B)=P(A)+P(B)： c 32 0.820.2 c 32 0.720.3 0.825剖析本 的原因是把相互独立同 生的事件当成互斥事件来考 ， 将两人都恰好投中2 次理解 “甲恰好投中两次”与 “乙恰好投中两次 ”的和．互斥事件是指两个事件不可能同 生；两事件相互独立是指一个事件的 生与否 另一个事件 生与否没有影响，它 然都描 了两个事件 的关系，但所描 的关系是根本不同．解：“甲恰好投中两次 ” 事件 A ，“乙恰好投中两次” 事件 B ，且 A ， B 相互独立，两人都恰好投中两次 事件A ·B ，于是 P(A ·B)=P(A) ×P(B)= 0.169类型四例 4错解“条件概率 P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同袋中有 6 个黄色、 4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黄色球的概率．记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件62C,所以 P(C)=P(B/A)=.93剖析本题错误在于 P(A B)与 P(B/A) 的含义没有弄清 , P(A B) 表示在样本空间S 中 ,A 与 B 同时发生的概率；而P（ B/A ）表示在缩减的样本空间S A中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。

概率及其计算一、考纲解读1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。

2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。

3.掌握古典概型及其概率计算公式。

4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。

5.了解几何概型的意义。

二、命题趋势探究1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。

2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下.三、知识点精讲（一）.必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：①必然要发生的事件叫必然事件；②一定不发生的事件叫不可能事件；③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

（二）.概率在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。

对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0（三）.两个基本概型的概率公式1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同()(A)=()A card P A card =Ω包含基本事件数基本事件总数2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为Aμ.()P A =AμμΩ。

（四）.互斥事件1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。

事件A与事件B互斥，则()()()U。

P A B P A P B=+2、对立事件事件A,B互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B对立，记作B A=。

=或A B ()()=-。

1P A p A3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A，B对立”是”事件A，B互斥“的充分不必要条件。

四、解答题总结1．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）2．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．3．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。