2020衡水中学高考最后模拟密卷理数
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2020届河北省衡水密卷新高考冲刺模拟考试(十三)数学(理科)试题★祝你考试顺利★注意事项:1、考试范围:高考考查范围。
2、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答:每个小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答:用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁,不折叠,不破损。
7、本科目考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数()1i 1i 2z ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则z =( )A.B.C.52D.4【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数z ,再利用复数模的求法,即可得到z 的值. 【详解】()312i i 2211i z ⎛⎫=+- ⎪=+⎝⎭,||z ==故选:B.【点睛】本题主要考查的是复数的四则运算,复数模的求法,主要考查的是学生的计算能力,是基础题. 2.已知集合{|0A x x =≤或}2x ≥,{}|12B x x =-≤≤,则( ) A. A B Ü B. B A Ü C. A B =∅I D. A B R =U【答案】D 【解析】 【分析】根据集合间的关系逐个判断即可.【详解】集合,A B 并无包含关系,故A,B 均错误.又{|10A B x x =-≤≤I ,或}2x =故C 错误.A B R =U 正确.故选:D.【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系,属于基础题型.3.执行如图所示的程序框图,若输入的,a b 分别为4,2,则输出的n =( )A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C 【解析】 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的,,a b n 的值,当272a =,16b =时,满足条件a b ≤,退出循环,输出n 的值为4 . 【详解】第一次循环, 3462a =⨯=,4b =,2n =,此时a b >. 第二次循环3692a =⨯=,8b =,3n =,此时a b >. 第三次循环327922a =⨯=,2816b =⨯=,4n =,此时a b <,因此4n =. 故选:C .【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的,,a b n 的值是解题的关键,属于基本知识的考查,是基础题.4.已知向量(2,),(,2)r r λλ==a b ,则“2λ=”是“//(2)r r r-a a b ”的( )A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先算出2a b -rr,再利用向量平行的坐标运算得出λ的值,即可判断.【详解】2(22,4)a b λλ-=--r r ,(2)a a b -r r r‖,28(22)0λλλ∴---=,228λ∴=,2λ∴=±.因此“2λ=”是“//(2)-r r ra ab ”的充分不必要条件.故选:A .【点睛】本题主要考查的是充分不必要条件的判断,涉及向量平行的坐标运算,属基础题. 5.若5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-,则0a =( ) A. 32- B. 2-C. 1D. 32【答案】D 【解析】 【分析】取2x =,即可得到0a .【详解】5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-Q∴取2x =,032a ∴=.故选:D .【点睛】本题考查二项式定理及通项公式的运用,“赋值法"普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,是基础题.6.若实数,a b 满足201,a b a <<<<且()22log ,log ,log ,a a a m b n b p b ===则,,m n p 的大小关系为( )A. m p n >>B. p n m >>C. n p m >>D. p m n >>【答案】B 【解析】 【分析】已知201a b a <<<<,所以根据对数函数的性质可知()0,∞+上为单调递减函数,得出1log 2a b << 接下来利用作差法比较,,m n p 大小,由此可以判断答案. 【详解】201a b a <<<<Q ,22log log log 1a a a a b a =>>=Q ,()()2log log log log 10a a a a n m b b b b -=-=->, n m ∴>, 2log a p b =,()2log 2log a a n p b b -=-log (log 2)0a a b b =-<,p n ∴>,因此p n m >>. 故选:B.【点睛】本题主要考查的是对数的大小比较,掌握对数函数的性质是解题的关键,是基础题. 7.若2cos21sin2x x =+,则tan x =( ) A. 1- B.13C. 1-或13D. 1-或13或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简求解即可.【详解】由2cos21sin2x x =+可得()()2222cos sin sin cos x x x x -=+()()sin cos 2cos 2sin sin cos 0x x x x x x ⇒+---=()()sin cos cos 3sin 0x x x x ⇒+-=.故sin cos 0x x +=或cos 3sin 0x x -=.即tan 1x =-或1tan 3x =. 故选:C【点睛】本题主要考查了二倍角公式以及同角三角函数的公式等.属于中等题型. 8.若,x y 满足约束条件31,933,x y x y -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩则z x y =+的最小值为( )A. 1B. 3-C. 5-D. 6-【答案】C【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z x y =+表示直线在y 轴上的截距,只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可.【详解】画出不等式组所表示的可行域如上图(阴影部分), 由z x y =+,得y x z =-+,平移直线y x z =-+,由图像可知当直线y x z =-+经过B 时,直线y x z =-+的截距最小, 此时z 最小,由139x y x y -=⎧⎨+=-⎩ ,解得23x y =-⎧⎨=-⎩,即()2,3B --, 将()2,3B --代入目标函数z x y =+得5z =-, 因此z x y =+的最小值为5-. 故选:C .【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用z 的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键,是基础题. 9.把函数()sin cos f x x x =+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π8个单位长度,所得图象对应的函数为()g x ,则( ) A. ()22g x x = B. ()322g x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭C. ()15221g x x π⎛⎫=+ ⎪6⎝⎭D. ()13228g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由已知中函数()sin cos f x x x =+,根据辅助角公式,易将函数的解析式化为正弦型函数的形式,然后根据周期变换及平移变换法则,即可得到函数()g x . 【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭Q ,函数()f x 图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得到: 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q ,再把得到的图象向左平移π8个单位长度,所得图象对应的函数为()222g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,故选:A .【点睛】本题主要考查的是正弦函数图像的平移和伸缩变换,考查学生对函数的理解,同时考查辅助角公式、诱导公式的应用,是基础题.10.已知四边形ABCD 为正方形,GD ⊥平面ABCD ,四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形,连接,,EF FB BE ,点H 为BF 的中点,有下述四个结论:①DE BF ⊥; ②EF 与CH 所成角为60︒;③EC ⊥平面DBF ; ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒. 其中所有正确结论的编号是( ) A. ①② B. ①②③C. ①③④D. ①②③④【答案】B 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系,写出所有点的坐标,利用向量法可以判断出正确的结论.【详解】由题意得,所得几何体可以看成一个正方体,因此,,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系, 设2AD DC DG ===,(0,0,0)D ,(2,0,0)A ,(0,2,0)C ,(0,0,2)G ,(2,0,2)E , (0,2,2)F ,(2,2,0)B ,(1,2,1)H , ①(2,0,2)DE =u u u r ,(2,0,2)BF =-u u u r,4040DE BF ∴⋅=-++=u u u r u u u r,DE BF ∴⊥u u u r u u u r,DE BF ∴⊥,①是正确的. ②(2,2,0)EF =-u u u r ,(1,0,1)CH =u u u r,设EF u u u r 与CH u u ur 所成的角为θ,1cos 2||||EF CH EF CH θ⋅∴==⋅u u u r u u u r u u ur u u u r , [0,]θπ∈60θ︒∴=,②是正确的.③(2,2,2)EC =--u u u r Q ,(2,2,0)DB u u u r =,(0,2,2)DF =u u u r, 设(,,)n x y z 是平面DBF 的一个法向量,DB n DF n ⎧⋅⊥∴⎨⊥⎩u u u v u u u v ,00DB n DF n ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩u u u v u u u v 00x y y z +=⎧⇒⎨+=⎩取1x =,(1,1,1)n ∴=-,2EC n =-u u u r Q ,//EC n u u u r, EC ∴⊥平面DBF ,③是正确.④(2,0,2)BF =-u u u rQ ,由图像易得:(1,1,0)m =r是平面 ACEFF 的一个法量, 设BF 与平面 ACFE 所成的角为θ,0,2πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦,sin cos ,BF m θ∴=u u u v r12||||BF m BF m ⋅==⋅u u u r r u u u r r, 30θ︒∴=,④不正确,综上:①②③正确. 故选:B .【点睛】本题考查异面直线、直线与平面所成角的求法,直线与直线、直线与平面垂直的判断定理的应用,考查空间想象能力以及转化思想的应用,是中档题.11.已知双曲线2222:1x y E a b -=(0,0a b >>)的左、右焦点分别为12,F F ,若E 上点A 满足122AF AF =,且向量12,AF AF u u u r u u u u r 夹角的取值范围为2π,π3轾犏犏臌,则E 的离心率取值范围是( )A.B. ⎤⎦C. []3,5D. []7,9【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及122AF AF =,可得出12,AF AF ,在12AF F △中由余弦定理以及向量12,AF AF u u u r u u u u r夹角的取值范围可得到关于离心率的不等式,即可得到E 的离心率取值范围. 【详解】由双曲线定义得:122AF AF a -=,2||2AF AF =Q ,22AF a ∴=, 14AF a ∴=,在12AF F △中由余弦定理得:22212121212cos 2AF AF F F F AF AF AF +-∠=⨯⨯2224164224a a c a a +-=⨯⨯ 22254a c a-=, 由题意得:122,3F AF ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦, 121cos 1,2F AF ⎡⎤∴∠∈--⎢⎥⎣⎦,22251142a c a -∴-≤-…, 2511442e ∴---剟, 279e ≤≤,e ∴∈.故选:B .【点睛】本题主要考查是正弦函数图像,将函数化简是关键,考查学生对图像变换的理解和应用,是基础题.12.已知函数21()2,()f x x ax g x x=+=-,若存在点()()()()1122,,,A x f x B x g x ,使得直线AB 与两曲线()y f x =和()y g x =都相切,当实数a 取最小值时,12x x +=( )A.B. C.D. 【答案】A【解析】 【分析】先分别求出函数()(),f x g x 在,A B 点的切线方程,再根据题意可得出4118x a x =-,构造函数4()8x h x x =-,求出()h x 的最小值即可求出1x ,从而得到12x x +.【详解】2()2,f x x ax =+Q∴ ()22f x x a '=+, ∴()1122f x x a '=+,又()21112f x x ax =+,过A 点切线方程为:()21122y x a x x =+-,①又1()g x x=-Q ,∴21()g x x '=,即()2221g x x '=,又()221g x x =-, 因此过B 点的切线方程为:22212y x x x =-,② 由题意知①②都为直线AB ,1222121222x a x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩, 4118x a x =-,令4()8x h x x =-,332()122x x h x '-=-=, 令()0h x '=,x =(,0)x ∈-∞和时,()h x 单调递减,且(,0)x ∈-∞时()()00h x h >=,恒成立,)x ∈+∞时,()h x 单调递增,x ∴=()min h x ,1x ∴=,则2212x x==12x x ∴+=故选:A .【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及函数的极值与最值,考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算,是难题.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.函数,0,()1,0,x x x f x e x <⎧=⎨-≥⎩则()(2)1f f +-=____.【答案】22e - 【解析】 【分析】将2,1-分别代入分段函数,即可求得. 【详解】20>Q ,()221f e ∴=-,由10-<Q ,()11f -=-, ()2(2)12f f e ∴+-=-.故答案为:22e -.【点睛】本题考查的是分段函数求值的应用,采用直接代入法求函数值,是基础题.14.设抛物线22y px =上的三个点()12323,,1,,,32A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到该抛物线的焦点距离分别为123,,d d d .若123,,d d d 中的最大值为3,则p 的值为____.【答案】3【解析】 【分析】根据抛物线的定义可知到焦点的距离等于到准线的距离,可判断3d 最大,即可求出p 的值. 【详解】根据抛物线的几何性质可得12323,1,23222p p p d d d =+=+=+,由题意可得0p >, 因此可判断3d 最大,故33322p d =+=,解得3p =. 故答案为:3.【点睛】本题考查抛物线的知识,掌握抛物线的定义和性质是解题的关键,考查学生分析问题解决问题的能力.15.已知n S 为数列{}n a 前n 项和,若152a =,且()122n n a a +-=,则21S =____. 【答案】83【解析】 【分析】由数列的递推公式及152a =,依次计算出数列的前5项,可得数列{}n a 是周期为4的数列,则()21123415S a a a a a =++++,即可求得.【详解】由()122n n a a +-=,得122n na a +=-,又152a =, 得21242a a ==--,322123a a ==-,432625a a ==-,5142522a a a ===-, 数列{}n a 是周期为4的数列,()21123415165855423523S a a a a a ⎛⎫=++++=-+++= ⎪⎝⎭.故答案为:83.【点睛】本题主要考查的是利用递推关系求数列的和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力,是中档题.16.农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽籺,俗称“粽子”,古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的体积为____;若该六面体内有一球,则该球体积的最大值为____.【答案】 (1). 26(2). 86π【解析】 【分析】(1)先算出正四面体的体积,六面体的体积是正四面体体积的2倍,即可得出该六面体的体积;(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时,求出球的半径,再代入球的体积公式可得答案.【详解】(1)每个三角形面积是1331224S ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭,由对称性可知该六面是由两个正四面合成的, 236133⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭,故四面体体积为13623= 因此该六面体体积是正四面体的2倍, 所以六面体体积是26; (2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时,由于图像的对称性,内部的小球要是体积最大,就是球要和六个面相切,连接球心和五个顶点,把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R ,所以213666349R R ⎛⎫=⨯⨯⇒= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以球的体积334468633V R ππ===⎝⎭. 故答案为:2686π【点睛】本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算,考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下,其体积达到最大,考查运算求解能力.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.在ABC ∆中,1,AC BC = (1)若150A =︒,求cos B ;(2)D 为AB 边上一点,且22BD AD CD ==,求ABC ∆的面积. 【答案】(1(2. 【解析】 【分析】(1)根据已知条件和利用正弦定理可求出sin B ,再利用同角三角函数基本关系式可求出cos B ; (2)根据题意知ACD ∆为等腰三角形,再利用余弦定理得出ACD ∆为等边三角形可得60A =︒,从而求出ABC ∆的面积.【详解】(1)在ABC ∆中,由正弦定理及题设得sin sin AC BC B A=,故1sin B =,解得sin B =又030B ︒<<︒,所以cos 14B ==. (2)设AD CD x ==,则2BD x =. 在ABC ∆中,由余弦定理得, 2`222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅,即27916cos x x A =+-,①在等腰ACD ∆中,有112cos 2ACA AD x ==,② 联立①②,解得1x =或1x =-(舍去). 所以ACD ∆为等边三角形,所以60A =︒,所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯︒=.解法二:(1)同解法一.(2)设AD x =,则,2,CD x BD x ==因为ADC BDC ∠=π-∠, 所以cos cos ADC BDC ∠=-∠,由余弦定理得,得22222472142x x x x x +--=-,所以21x =,解得1x =或1x =-(舍去). 所以ACD ∆为等边三角形,所以60A =︒,所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯︒=.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,任意三角形的面积,考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算,是中档题.18.等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项,第3项,第4项. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若数列{}n c 满足12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和. 【答案】(1)2n a n =,2nn b =; (2)2022201928⨯+.【解析】 【分析】(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求出数列{}n c 的通项公式,再利用错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和. 【详解】(1)依题意得: 2324b b b =,所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ,所以22111112361628,a a a a ++=++ 解得1 2.a = 2.n a n ∴=设等比数列{}n b 的公比为q ,所以342282,4b a q b a ==== 又2224,422.n n n b a b -==∴=⨯= (2)由(1)知,2,2.n n n a n b ==因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++⋅⋅⋅⋅++= ① 当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --++⋅⋅⋅+= ② 由①-②得,2n nnc a =,即12n n c n +=⋅, 又当1n =时,31122c a b ==不满足上式,18,12,2n n n c n n +=⎧∴=⎨⋅≥⎩. 数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯2342021412223220202=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯设2342020202120201222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ③, 则34520212022202021222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ④, 由③-④得:234202120222020222220202T -=+++⋅⋅⋅+-⨯2202020222(12)2020212-=-⨯-2022420192=--⨯ ,所以20222020201924T =⨯+, 所以2020S =202220204201928T +=⨯+.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质,错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题. 19.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,PA AB =,E 为线段PB 的中点,F 为线段BC 上的动点.(1)求证:平面AEF ⊥平面PBC .(2)试确定点F 的位置,使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°. 【答案】(1)见解析; (2)点F 为BC 中点. 【解析】【分析】(1)利用直线与平面垂直的性质、判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明即可.(2)找建立空间直角坐标系,分别求出平面AEF 与平面PCD 的法向量,利用数量积求出法向量间夹角,进而得到二面角的余弦值。
2020届河北衡水密卷新高考押题仿真模拟(十二)理科数学★祝你考试顺利★注意事项:1、考试范围:高考考查范围。
2、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答:每个小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答:用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁,不折叠,不破损。
7、本科目考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{1,0,1,2,3}M =-,{}2|20=-…N x x x ,则M N =I ( ) A. {1,0,1,2}- B. {1,0,1}-C. {0,1,2}D. {0,1}【答案】C 【解析】 【分析】求出N 中不等式的解集确定出N ,找出M 与N 的交集即可. 【详解】由N 中不等式变形得:x (x ﹣2)≤0, 解得:0≤x ≤2,即N =[0,2], ∵M ={﹣1,0,1,2,3}, ∴M ∩N ={0,1,2}, 故选C .【点睛】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.复数212ii+=-( )A. iB. -iC.4i 5+ D.4i 5- 【答案】A 【解析】 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】∵()()()()21222241212125i i i i ii i i i +++-++===--+. 故选A .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题.3.已知向量()()121a b m =-=-r r ,,,,若a b λ=r r (λ∈R ),则m =( ) A. -2 B. 12-C.12D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算计算即可.【详解】∵向量()()121a b m =-=-r r ,,,,a b λ=r r (λ∈R ),∴()12-,=λ()1m -,, ∴12mλλ-=⎧⎨=-⎩,∴m =12,故选C .【点睛】本题考查了共线向量的坐标运算,属于基础题.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2466++=a a a ,则7S =( ) A .7B. 14C. 21D. 42【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质可得:a 4=2,而由求和公式可得S 7=7a 4,代入可得答案. 【详解】由等差数列的性质可得:2a 4=a 2+a 6,又2466++=a a a ,解得a 4=2,而S 7()17477222a a a +⨯===7a 4=14 故选B .【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题. 5.已知,a b ∈R ,则“0a b <<”是“11a b>”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要比充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可. 【详解】若11a b >,即b a ab->0, ∴00b a ab ->⎧⎨⎩>或00b a ab -<⎧⎨⎩<,即a ,b 同号时:a <b ,a ,b 异号时:a >b ,∴当a <b<0时,11a b >成立,但11a b >成立,不一定有a <b<0, 所以“0a b <<”是“11a b>”的充分不必要条件故选A .【点睛】本题考查了充分必要条件,考查不等式问题,是一道基础题. 6.执行右图所示的程序框图,则输出的n =( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【详解】第一次执行循环体后,n =1,不满足退出循环的条件, 第二次执行循环体后,n =2,不满足退出循环的条件, 第三次执行循环体后,n =3,不满足退出循环的条件, 第四次执行循环体后,n =4,不满足退出循环的条件, 第四次执行循环体后,n =5,满足退出循环的条件, 故输出的n 值为5, 故选C .【点睛】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.7.已知 1.22a =,0.43b =,8ln 3=c ,则( ) A. b a c >> B. a b c >>C. b c a >>D. a c b >>【答案】B 【解析】 【分析】容易得出 1.20.4822132013ln ><<<,,<,从而得出a ,b ,c 的大小关系.【详解】 1.210.50.40822223331013a b c ln lne =>=>>==<==,>,<; ∴a >b >c . 故选B .【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性,考查了比较大小的方法:中间量法.8.函数3()e 1=+x x f x 的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除,即可得到函数的图象. 【详解】当x<0时,f (x )<0.排除AC , f ′(x )()()()32222333(1)11x xx xxxx e xe x e x e ee+-+-==++,令33x x e xe +-=g (x )g ′(x )()()312xxxe x e x e =-+=-,当x ∈(0,2),g ′(x )>0,函数g (x )是增函数,当x ∈(2,+∞),g ′(x )<0,函数g (x )是减函数,g (0)= 60>,g (3)=3>0, g (4)=4 3e -<0, 存在()03,4x ∈,使得g (0x )=0,且当x ∈(0,0x ),g (x )>0,即f ′(x )>0,函数f (x )是增函数,当x ∈(0x ,+∞),g (x )<0,即f ′(x )<0,函数f (x )是减函数, ∴B 不正确, 故选D .【点睛】本题考查函数图象的判断,一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断.9.已知角α的顶点在坐标原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,将α的终边按顺时针方向旋转4π后经过点(3,4),则sin 2α=( ) A. 1225-B. 725-C.725D.2425【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义及二倍角的余弦公式,求得结果.【详解】∵角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边按顺时针方向旋转4π后经过点(3,4),∴345cos πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴27212?2242542cos cos cos sin πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴7225sin α=-, 故选B .【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,二倍角的余弦公式,考查了逻辑思维能力,属于基础题. 10.若函数()sin(2)(0)f x x ϕϕ=+>的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称,则ϕ的最小值为( ) A.12πB.6πC.3π D.512π 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦函数图象的性质可得φ=23k ππ-,(k ∈z )再求解即可.【详解】由f (x )=sin (2x +φ),令23π⨯+φ=kπ,(k ∈z ) 得:φ23k ππ=-,(k ∈z )又φ>0,所以k =1时 则φmin 3π=,故选C .【点睛】本题考查了正弦函数图象的性质,属简单题.11.已知向量a r =22b a b =⋅=-r r r ,,.若1c a b --=r r r ,则c r的取值范围是( )A. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [2,3]D. [1,3]【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到a r ,b r是夹角为23π,模为2的两个向量,设OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r , O C c =u u u r r ,利用向量加减法的几何意义求出C 的轨迹,则可求得c r 的取值范围.【详解】因为向量a r =22b a b a b cos θ=⋅==-r r r r r ,,可得12cos θ=-,所以a r ,b r是夹角为23π,模为2的两个向量,设OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r , O C c =u u u r r ,则A ,B 在以原点为圆心,2为半径的圆上,如图,不妨令A (2,0),则B (-13,则13OA OB OD +==u u u r u u u r u u u r,,则1c a b OC OA OB OC OD DC --=--=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r ,所以C 在以D 为圆心,1为半径的圆上,c OC =u u u r r ,即求以D 为圆心,1为半径的圆上的动点C 到(0,0)的距离的最值问题, 又|OD |2=.所以OC u u u r∈[21-,21+]= [1,3],故选D .【点睛】本题考查了向量加减法的几何意义的应用,考查了动点的轨迹问题,考查了转化思想,解题时我们要根据题目中已知的条件,选择转化的方向,属于中档题.12.定义在R 上的可导函数()f x 满足(2)()22-=-+f x f x x ,记()f x 的导函数为()f x ',当1x „时恒有()1f x '<.若()(12)31---…f m f m m ,则m 的取值范围是( ) A. (],1-∞- B. 1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C. [)1,-+∞D. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】令g (x )=f (x )-x ,求得g (x )=g (2﹣x ),则g (x )关于x =1对称,再由导数可知g (x )在1x „时为减函数,化f (m )﹣f (1﹣2m )≥3m ﹣1为g (m )≥g (1﹣2m ),利用单调性及对称性求解. 【详解】令g (x )=f (x )-x ,g ′(x )=f ′(x )﹣1,当x ≤1时,恒有f '(x )<1.∴当x ≤1时,g (x )为减函数, 而g (2﹣x )=f (2﹣x )-(2﹣x ), ∴由(2)()22-=-+f x f x x 得到 f (2﹣x )-(2﹣x )=f (x )-x ∴g (x )=g (2﹣x ). 则g (x )关于x =1对称,由f (m )﹣f (1﹣2m )≥3m ﹣1,得f (m )-m ≥f (1﹣2m )-(1﹣2m ), 即g (m )≥g (1﹣2m ),∴1121m m -≥--,即-113m ≤≤. ∴实数m 的取值范围是[﹣1,13]. 故选D .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,构造函数是解答该题的关键,属于中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
2020年河北省衡水中学高考(理科)数学考前密卷一、选择题(共12小题).1.设集合A={x|x2﹣3x+2≤0},B={x|log2x<1},则A∪B=()A.{x|1≤x<2}B.{x|1<x≤2}C.{x|0<x≤2}D.{x|0≤x≤2} 2.已知z1、z2均为复数,下列四个命题中,为真命题的是()A.|z1|=||=B.若|z2|=2,则z2的取值集合为{﹣2,2,﹣2i,2i}(i是虚数单位)C.若z12+z22=0,则z1=0或z2=0D.z1+z2一定是实数3.已知正实数a,b满足,,则()A.a<b<1B.1<b<a C.b<1<a D.1<a<b 4.2019年5月22日,具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行;长三角城市群包括:上海市,江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市,简称“三省一市”.现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为()A.B.C.D.5.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,点,,则下列说法错误的是()A.直线是f(x)图象的一条对称轴B.f(x)的最小正周期为πC.f(x)在区间上单调递增D.f(x)的图象可由g(x)=2sin2x向左平移个单位而得到6.设向量与的夹角为θ,定义与的“向量积”:是一个向量,它的模,若,则=()A.B.2C.D.47.已知(1+)(1+x)6的展开式中各项系数的和为256,则该展开式中x3的系数为()A.26B.32C.38D.448.执行如图的程序框图,则输出的S是()A.36B.45C.﹣36D.﹣459.数列{a n}满足a1∈Z,a n+1+a n=2n+3,且其前n项和为S n.若S13=a m,则正整数m=()A.99B.103C.107D.19810.已知双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交双曲线右支于P,O两点,且PQ⊥PF1,若,则该双曲线离心率e=()A.B.C.D.11.在三棱锥P﹣ABC中,△ABC与△PBC均为边长为1的等边三角形,P,A,B,C四点在球O的球面上,当三棱锥P﹣ABC的体积最大时,则球O的表面积为()A.B.2πC.5πD.12.已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则不等式的解集为()A.(0,1)B.C.D.(1,4)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售,已知某产品第一轮检测不合格的概率为,第二轮检测不合格的概率为,两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售,则每件产品获科40元,若产品不能销售,则每件产品亏损80元,已知一箱中有4件产品,记一箱产品获利X元,则P(X≥﹣80)=.14.已知f(x)=sin(2019x+)+cos(2019x﹣)的最大值为A,若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A|x1﹣x2|的最小值为.15.设函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,∀x∈(0,+∞),f[f(x)﹣e x+x]=e,若不等式f(x)+f'(x)≥ax对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是.16.已知抛物线y2=2px(p>0),F为其焦点,l为其准线,过F作一条直线交抛物线于A,B两点,A′,B′分别为A,B在l上的射线,M为A′B′的中点,给出下列命题:①A′F⊥B′F;②AM⊥BM;③A′F∥BM;④A′F与AM的交点在y轴上;⑤AB′与A′B交于原点.其中真命题的是.(写出所有真命题的序号)三、解答题(共5小题,满分60分)17.设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的前n项和为T n,若a2是a1与a4的等比中项,a6=12,a1b1=a2b2=1.(1)求a n,S n与T n;(2)若,求证:.18.某大型公司为了切实保障员工的健康安全,贯彻好卫生防疫工作的相关要求,决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验960人的血样进行化验,由于人数较多,检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①:将每个人的血分别化验,这时需要验960次.方案②:按k个人一组进行随机分组,把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验,如果每个人的血均为阴性,则验出的结果呈阴性,这k个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验次);否则,若呈阳性,则需对这k个人的血样再分别进行一次化验.这样,该组k个人的血总共需要化验k+1次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p,且这些人之间的试验反应相互独立.(1)设方案②中,某组k个人中每个人的血化验次数为X,求X的分布列;(2)设p=0.1.试比较方案②中,k分别取2,3,4时,各需化验的平均总次数;并指出在这三种分组情况下,相比方案①,化验次数最多可以平均减少多少次?(最后结果四舍五入保留整数).19.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC,D,E分别为AA1、B1C 的中点.(1)证明:DE⊥平面BCC1B1;(2)已知B1C与平面BCD所成的角为30°,求二面角D﹣BC﹣B1的余弦值.20.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,P是椭圆上一点,且△PF1F2面积的最大值为1.(1)求椭圆C的方程;(2)过F2且不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于A,B两点,在x轴上是否存在一点N (n,0),使得|AN|:|BN|=|AF2|:|BF2|,若存在,求出点N(n,0),若不存在,说明理由.21.已知函数f(x)=e2x﹣ax.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x>0时,f(x)>ax2+1,求a的取值范围.(二)选考题:共10分,请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+m =0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)已知l与C相切,求m的值.23.已知a>0,b>0,c>0设函数f(x)=|x﹣b|+|x+c|+a,x∈R.(1)若a=b=c=2,求不等式f(x)>7的解集;(2)若函数f(x)的最小值为2,证明:++≥(a+b+c).参考答案一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.设集合A={x|x2﹣3x+2≤0},B={x|log2x<1},则A∪B=()A.{x|1≤x<2}B.{x|1<x≤2}C.{x|0<x≤2}D.{x|0≤x≤2}解:A={x|1≤x≤2},B={x|0<x<2},∴A∪B={x|0<x≤2}.故选:C.2.已知z1、z2均为复数,下列四个命题中,为真命题的是()A.|z1|=||=B.若|z2|=2,则z2的取值集合为{﹣2,2,﹣2i,2i}(i是虚数单位)C.若z12+z22=0,则z1=0或z2=0D.z1+z2一定是实数解:A.不成立,例如取z1=i;B.不成立,|z2|=2,则z2=2(cosθ+i sinθ),θ∈[0,2π);C.不成立,例如取z1=i,z2=﹣i;D.设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1+z2=(a+bi)(c﹣di)+(a﹣bi)(c+di)=ac+bd+(bc﹣ad)i+ac﹣bd+(ad﹣bc)i=2ac,因此是实数,正确.故选:D.3.已知正实数a,b满足,,则()A.a<b<1B.1<b<a C.b<1<a D.1<a<b解:在同一坐标系中分别作出函数y=,y=及y=log2x的图象如图:由图可知,1<b<a.故选:B.4.2019年5月22日,具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行;长三角城市群包括:上海市,江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市,简称“三省一市”.现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为()A.B.C.D.解:现有4名高三学生进行去四个地方的总共有:4×4×4×4=44种情况;再四个地方选出一个地方空出C41种情况;将剩下的三个地方进行四人选择,将四人中捆绑两人有C42种情况进行排列在三个位置有:A33种;则恰有一个地方未被选中的可能有:C41C42A33种;由古典概型的定义知:则恰有一个地方未被选中的概率为:=故选:A.5.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,点,,则下列说法错误的是()A.直线是f(x)图象的一条对称轴B.f(x)的最小正周期为πC.f(x)在区间上单调递增D.f(x)的图象可由g(x)=2sin2x向左平移个单位而得到解:由题意可得:,由2sinφ=,得sinφ=,由0<φ<π,得φ=或φ=;又点在最高点的左侧,∴φ=.由五点作图的第三点知,,即ω=2.∴f(x)=2sin(2x+).由f()=2sin()=2,可知直线是f(x)图象的一条对称轴,故A正确;由周期公式可得T=,故B正确;当x∈,2x+∈(),可知f(x)在区间上单调递增,故C正确;∵f(x)=2sin(2x+)=2sin2(x+),∴f(x)的图象可由g(x)=2sin2x向左平移个单位而得到,故D错误.故选:D.6.设向量与的夹角为θ,定义与的“向量积”:是一个向量,它的模,若,则=()A.B.2C.D.4解:设的夹角为θ,则cosθ==﹣,∴sinθ=,∴=2×2×=2.故选:B.7.已知(1+)(1+x)6的展开式中各项系数的和为256,则该展开式中x3的系数为()A.26B.32C.38D.44解:令x=1,可得(1+)(1+x)6的展开式中各项系数的和为(1+a)•26=256,∴a=3,则(1+)(1+x)6的展开式中x3的系数为+3=38,故选:C.8.执行如图的程序框图,则输出的S是()A.36B.45C.﹣36D.﹣45解:模拟程序的运行,可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+…﹣72+82的值,由于S=﹣12+22﹣32+…﹣72+82=(22﹣12)+(42﹣32)+(62﹣52)+(82﹣72)=3+7+11+15=36.故选:A.9.数列{a n}满足a1∈Z,a n+1+a n=2n+3,且其前n项和为S n.若S13=a m,则正整数m=()A.99B.103C.107D.198解:由a n+1+a n=2n+3,得a n+1﹣(n+1)﹣1=﹣(a n﹣n﹣1),∴{a n﹣n﹣1}为等比数列,∴,∴,,∴S13=a1+(a2+a3)+…+(a12+a13)=a1+2×(2+4+…+12)+3×6=a1+102,①m为奇数时,a1﹣2+m+1=a1+102,m=103;②m为偶数时,﹣(a1﹣2)+m+1=a1+102,m=2a1+99,∵a1∈Z,m=2a1+99只能为奇数,∴m为偶数时,无解.综上所述,m=103,故选:B.10.已知双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交双曲线右支于P,O两点,且PQ⊥PF1,若,则该双曲线离心率e=()A.B.C.D.解:设P,Q为双曲线右支上一点,由PQ⊥PF1,|PQ|=|PF1|,在直角三角形PF1Q中,|QF1|==|PF1|,由双曲线的定义可得:2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|,由|PQ|=|PF1|,即有|PF2|+|QF2|=|PF1|,即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=|PF1|,∴(1﹣+)|PF1|=4a,解得|PF1|=.∴|PF2|=|PF1|﹣2a=,由勾股定理可得:2c=|F1F2|==,则e=.故选:C.11.在三棱锥P﹣ABC中,△ABC与△PBC均为边长为1的等边三角形,P,A,B,C四点在球O的球面上,当三棱锥P﹣ABC的体积最大时,则球O的表面积为()A.B.2πC.5πD.解:因为△ABC和△PBC为等边三角形,V=h,而S一定,所以高最大值时,所以当面△PBC⊥面ABC时,三棱锥的体积最大,设两个外接圆的圆心分别为G,F,如图所示,过G,F分别作两个面的垂线,交于O,连接OP,OA,则OA=OP为外接球的半径R,△OAG中,OA2=OG2+AG2,而由题意OG=EF==,AG==,所以OA2=()2+()2=,所以外接球的表面积S=4πR2=,故选:A.12.已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则不等式的解集为()A.(0,1)B.C.D.(1,4)解:根据导数与单调性的关系可知,当f′(x)<0时,函数单调递减,当f′(x)>0,函数单调递增,结合图象可知,图象中实线为f′(x)的图象,虚线为f(x)的图象,由可得,0<x<1,故选:A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售,已知某产品第一轮检测不合格的概率为,第二轮检测不合格的概率为,两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售,则每件产品获科40元,若产品不能销售,则每件产品亏损80元,已知一箱中有4件产品,记一箱产品获利X元,则P(X≥﹣80)=.解:由题意得该产品能销售的概率为(1﹣)(1﹣)=,X的可能取值为﹣320,﹣200,﹣80,40,160,设ξ表示一篇产品中可以销售的件数,ξ~B(4,),∴P(ξ=k)=,∴P(X=﹣80)=P(ξ=2)==,P(X=40)=P(ξ=3)=,P(X=160)=P(ξ=4)==,∴P(X≥﹣80)=P(X=﹣80)+P(X=40)+P(X=160)==.故答案为:.14.已知f(x)=sin(2019x+)+cos(2019x﹣)的最大值为A,若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A|x1﹣x2|的最小值为π.解:已知=sin2019x+cos2019x+cos2019x+sin2019x=sin2019x+cos2019x=2sin (2019x+),函数的最大值为A=2,若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,∴f(x1)为最小值,f(x2)为最大值,∴|x1﹣x2|的最小值为•=,∴A|x1﹣x2|=2|x1﹣x2|的最小值为π,故答案为:π.15.设函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,∀x∈(0,+∞),f[f(x)﹣e x+x]=e,若不等式f(x)+f'(x)≥ax对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是{a|a ≤2e﹣1}.解:令t=f(x)﹣e x+x,所以f(x)=e x﹣x+t,因为f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,∀x∈(0,+∞),f[f(x)﹣e x+x]=e,故t为常数且f(t)=e t=e,所以,t=1,f(x)=e x﹣x+1,f′(x)=e x﹣1因为f(x)+f'(x)≥ax对x∈(0,+∞)恒成立,所以2e x≥(a+1)x对x∈(0,+∞)恒成立,即a+1对x∈(0,+∞)恒成立,令g(x)=,x>0,则g′(x)=,当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增,当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减,故当x=1时,函数取得最小值g(1)=2e,故a+1≤2e即a≤2e﹣1.故答案为:{a|a≤2e﹣1}.16.已知抛物线y2=2px(p>0),F为其焦点,l为其准线,过F作一条直线交抛物线于A,B两点,A′,B′分别为A,B在l上的射线,M为A′B′的中点,给出下列命题:①A′F⊥B′F;②AM⊥BM;③A′F∥BM;④A′F与AM的交点在y轴上;⑤AB′与A′B交于原点.其中真命题的是①②③④⑤.(写出所有真命题的序号)解:①由于A,B在抛物线上,根据抛物线的定义可知A'A=AF,B'B=BF,因为A′、B′分别为A、B在l上的射影,所以A'F⊥B'F;②取AB中点C,则CM=,∴AM⊥BM;③由②知,AM平分∠A′AF,∴A′F⊥AM,∵AM⊥BM,∴A'F∥BM;④取AB⊥x轴,则四边形AFMA′为矩形,则可知A'F与AM的交点在y轴上;⑤取AB⊥x轴,则四边形ABB'A'为矩形,则可知AB'与A'B交于原点故答案为①②③④⑤.三、解答题(共5小题,满分60分)17.设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的前n项和为T n,若a2是a1与a4的等比中项,a6=12,a1b1=a2b2=1.(1)求a n,S n与T n;(2)若,求证:.【解答】(1)解:由题意得,,即,得a1=d(d ≠0),由a6=12,得a1=d=2.∴a n=a1+(n﹣1)d=2+2(n﹣1)=2n,,由a1b1=a2b2=1,得,,∴;(2)证明:∵,由0<<1恒成立,∴c n<<=,∴c1+c2+…+c n<.18.某大型公司为了切实保障员工的健康安全,贯彻好卫生防疫工作的相关要求,决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验960人的血样进行化验,由于人数较多,检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①:将每个人的血分别化验,这时需要验960次.方案②:按k个人一组进行随机分组,把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验,如果每个人的血均为阴性,则验出的结果呈阴性,这k个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验次);否则,若呈阳性,则需对这k个人的血样再分别进行一次化验.这样,该组k个人的血总共需要化验k+1次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p,且这些人之间的试验反应相互独立.(1)设方案②中,某组k个人中每个人的血化验次数为X,求X的分布列;(2)设p=0.1.试比较方案②中,k分别取2,3,4时,各需化验的平均总次数;并指出在这三种分组情况下,相比方案①,化验次数最多可以平均减少多少次?(最后结果四舍五入保留整数).解:(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为q,则q=1﹣p.所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为q k,呈阳性反应的概率为1﹣q k.依题意可知X=,1+所以X的分布列为:X1+P q k1﹣q k(2)方案②中.结合(1)知每个人的平均化验次数为:E(X)=•q k+(1+)(1﹣q k)=﹣q k+1.所以当k=2时,E(X)=﹣0.92+1=0.69,此时960人需要化验的总次数为662次,k=3时,E(X)=﹣0.93+1≈0.6043,此时960人需要化验的总次数为580次,k=4时,E(X)=﹣0.94+1=0.5939,此时960人需要化验的次数总为570次,即k=2时化验次数最多,k=3时次数居中,k=4时化验次数最少.而采用方案①则需化验960次,故在这三种分组情况下,相比方案①,当k=4时化验次数最多可以平均减少960﹣570=390次.19.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC,D,E分别为AA1、B1C的中点.(1)证明:DE⊥平面BCC1B1;(2)已知B1C与平面BCD所成的角为30°,求二面角D﹣BC﹣B1的余弦值.【解答】(1)证明:以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A﹣xyz.设AB=1,AD=a,则B(1,0,0),C(0,1,0),B1(1,0,2a),D(0,0,a),B1(1,0,2a),,,,.∵,,∴DE⊥BC,DE⊥B1C,又BC∩B1C=C,∴DE⊥平面BCC1B1;(2)解:设平面BCD的法向量=(x0,y0,z0),则,又,故,取x0=1,得.∵B1C与平面BCD所成的角为30°,,∴|cos<>|=,解得,∴.由(1)知平面BCB1的法向量,∴cos<>==.∴二面角D﹣BC﹣B1的余弦值为.20.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,P是椭圆上一点,且△PF1F2面积的最大值为1.(1)求椭圆C的方程;(2)过F2且不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于A,B两点,在x轴上是否存在一点N (n,0),使得|AN|:|BN|=|AF2|:|BF2|,若存在,求出点N(n,0),若不存在,说明理由.解:(1)由题意可得e==,(S)max==1,即bc=1,又c2=a2﹣b2,解得:a2=2,b2=1,所以椭圆的方程为:+y2=1;(2)假设存在N(n,0)满足条件,由|AN|:|BN|=|AF2|:|BF2|,可得AF2为∠ANB的角平分线,所以k AN+k BN=0,由题意直线AB的斜率存在且不为0,由(1)可得右焦点F2(1,0),设直线AB的方程为x=my+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程与椭圆的方程联立:,整理可得:(2+m2)y2+2my﹣1=0,y1+y2=﹣,y1y2=﹣,k AN+k BN=+===0,所以2my1y2﹣(n+1)(y1+y2)==0,即2mn=0,因为m≠0,所以n=0,即存在N(0,0)满足条件.21.已知函数f(x)=e2x﹣ax.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x>0时,f(x)>ax2+1,求a的取值范围.解:(1)f′(x)=2e2x﹣a,a≤0时,f′(x)>0,f(x)在R上递增,a>0时,由f′(x)=0得x=ln,x∈(﹣∞,ln),f′(x)<0,f(x)在(﹣∞,ln)上递减;x∈(ln,+∞),f′(x)>0,f(x)在(ln,+∞)上递增.(2)f(x)=e2x﹣ax>ax2+1变形为e2x﹣ax2﹣ax﹣1>0,令g(x)=e2x﹣ax2﹣ax﹣1,g′(x)=2e2x﹣2ax﹣a,令g′(x)=0,可得a=,令h(x)=,h′(x)=,x>0时,h′(x)>0,h(x)在(0,+∞)上单调递增,∴h(x)的值域是(2,+∞),当a≤2时,g′(x)=0没有实根,g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)>g(0)=0,符合题意,当a>2时,g′(x)=0有唯一实根x0,x∈(0,x0)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x0)上递减,g(x)<g(0)=0,不符题意,综上,a的取值范围是a≤2.(二)选考题:共10分,请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+m =0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)已知l与C相切,求m的值.解:(1)因为,,两式相减,有4x2﹣2y2=4,所以C的直角坐标方程为.直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+m=0.把x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入上述方程可得:直线l的直角坐标方程为2x﹣y+m=0.(2)联立l与C的方程,有,消y,得2x2+4mx+m2+2=0,因为l与C相切,所以有△=16m2﹣4×2(m2+2)=8m2﹣16=0,解得:.23.已知a>0,b>0,c>0设函数f(x)=|x﹣b|+|x+c|+a,x∈R.(1)若a=b=c=2,求不等式f(x)>7的解集;(2)若函数f(x)的最小值为2,证明:++≥(a+b+c).解:(1)当a=b=c=2时,f(x)=|x﹣2|+|x+2|+2=.∵f(x)>7,∴或,∴或,∴不等式的解集为.(2)∵f(x)=|x﹣b|+|x+c|+a≥|(x﹣b)﹣(x+c)|+a=|b+c|+a=b+c+a,∴f(x)min=b+c+a=2,∴=≥,∴≥。
2020届河北省衡水密卷新高考押题模拟考试(五)理数试题★祝考试顺利★ 注意事项:1、考试范围:高考范围。
2、试题卷启封下发后,如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况,应当立马报告监考老师,否则一切后果自负。
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4、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答:每个小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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不按以上要求作答无效。
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8、考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)1.复数1i i+的虚部是( )A. i -B. 1-C. 1D. i【答案】B 【解析】 试题分析:,虚部为-1.考点:复数的概念和运算.2.已知R 是实数集,22{|1},{|1}=<==-M x N y y x x,则()R C M N =I () A. ()1,2- B. []1,2-C.(0)2, D. []0,2【答案】D 【解析】 【分析】由分式不等式解法和二次函数值域可求得集合M 和集合N ,根据补集和交集的定义可求得结果.【详解】由21x<得:0x <或2x >,即()(),02,M =-∞+∞U []0,2R C M ∴= 21y x =-Q 的值域为[)1,-+∞,即[)1,N =-+∞ ()[]0,2R C M N ∴=I本题正确选项:D【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集混合运算,属于基础题.3.已知向量()1,2a =r ,()1,0b =r ,()3,4c =r,若λ为实数,()//a b c λ+r r r ,则λ=()A. 2B. 1C.12D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标运算可求得()1,2a b λλ+=+r r;由向量共线坐标表示可构造方程求得结果. 【详解】()()()1,2,01,2a b λλλ+=+=+r r()//a b c λ+r r r Q ()4123λ∴+=⨯,解得:12λ=本题正确选项:C【点睛】本题考查根据向量共线求解参数值的问题,关键是能够熟练掌握向量的坐标运算.4.已知α∈(-4π,0)且sin2α=-2425,则sinα+cosα=( ) A.15B. -15C. -75D.75【答案】A 【解析】24sin 22sin cos 25ααα==-,又α∈(-4π,0),所以sin 0,cos 0αα<>,且sin cos 0αα+>,222241sin cos 2sin cos (sin cos )12525αααααα++=+=-=,所以1sin cos 5αα+=,选A.5.在ΔABC 中,a x =,2,45b B ==︒,若ΔABC 有两解,则x 的取值范围是( )A. (2,B. (0,2)C. (2,)+∞D. 2)【答案】A 【解析】【详解】因为ΔABC 有两解,所以2sin 45bb a a <<∴<<︒A .6.直线12y =与曲线2sin cos 22⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ππ在y 轴右侧的交点自左向右依次记为M 1,M 2,M 3,…,则113||M M u u u u u u u r等于()A. 6πB. 7πC. 12πD. 13π【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式可将函数化为sin 2y x =,结合正弦函数图象可得12y =与函数sin 2y x =在y 轴右侧的交点坐标,求得113,M M 坐标后,根据向量模长的求解方法可求得结果.【详解】2sin cos 2cos sin sin 222y x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,122M π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,13731,122M π⎛⎫⎪⎝⎭()1136,0M M π∴=u u u u u u u r 1136M M π∴=u u u u u u u r本题正确选项:A【点睛】本题考查直线与正弦型函数交点的问题,关键是能够将函数化为正弦型函数,结合正弦函数的图象求解交点坐标.7.已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同,若[0,]2x π∈,则()f x 的取值范围是 ( )A. 3[,3]2-B. [3,3]-C. 1[2-D. 【答案】A 【解析】考点:由y=Asin (ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的定义域和值域. 专题:计算题.解答:解:函数f(x)=3sin(ωx -π6)(ω>0)和g (x )=3cos (2x+φ)的图象的对称中心完全相同,所以ω=2,f(x)=3sin(2x-π6), 因为x ∈[0,π2]所以2x-π6∈ [-π6,5π6],所以3sin(2x-π6)∈[-32,3]; 故选A点评:本题是基础题,考查三角函数的基本知识,基本性质的应用,周期的应用,考查计算能力.8.在 ABC V 中,内角 A ,B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c ,已知()()32sin B A sin B A sin A -++=,且 c =3C π=,则 ABC V 的面积是 ()n nA.B.C.3D.或 【答案】D 【解析】分析:由题意得3sinBcosA sinAcosA =,分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解,然后结合三角形面积公式可得结果.详解:∵()()32sin B A sin B A sin A -++=, ∴3sinBcosA sinAcosA =.①当0cosA =时,ABC V 为直角三角形,且2A π=.∵c =3C π=,∴72133b tanπ==.∴11217372236ABC S bc ==⨯⨯=n . ②当0cosA ≠时,则有3sinB sinA =, 由正弦定理得3b a =.由余弦定理得2222c a b abcosC =+-, 即()()22173232a a a a =+-⋅⋅, 解得1a =.∴1133132234ABC S absinC sin n π==⨯⨯⨯=. 综上可得ABC V 的面积是334 或 736. 故选D .点睛:在判断三角形的形状时,对于形如3sinBcosA sinAcosA =的式子,当需要在等式的两边约去cosA 时,必须要考虑cosA 是否为0,否则会丢掉一种情况. 9.若是重心,a ,b ,c 分别是角的对边,若3G G GC 03a b c A +B +=u u u r u u u ru u ur r ,则角( )A. 90oB. 60oC. 45oD. 30o【答案】D 【解析】 试题分析:由于是的重心,,,代入得,整理得,,因此,故答案为D.考点:1、平面向量基本定理;2、余弦定理的应用.10.在平面直角坐标平面上,(1,4),(3,1)OA OB ==-u u u r u u u r ,且O A u u u v 与OB uuur 在直线l 上的射影长度相等,直线l 的倾斜角为锐角,则l 的斜率为 ( ) A.43B.52C.25D.34【答案】C 【解析】【详解】设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方向向量为(1,)m k =r ,由且O A u u u v 与OB uuu r在直线l 上的射影长度相等,得OA m OB m m m⋅⋅=u u u v u u u v r rr r,即143k k +=-+,解之得25k =或43k =-(舍),故选C . 考点:向量投影定义及运算.11.定义域为R 的函数()f x 满足()()24+=f x f x ,当[)0,2x ∈时,22,[0,1)()1),[1,2)x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨+∈⎪⎩,若)2[0∈-,x 时,对任意的 )2[1∈,t 都有2()168t af x t≥-成立,则实数a 的取值范围是() A. (]2-∞,B. [)2+∞,C. (]6-∞,D. [)6+∞,【答案】D 【解析】 【分析】由()()24+=f x f x 可求解出[)2,1x ∈--和[)1,0-时,()f x 的解析式,从而得到()f x 在[)2,0-上的最小值,从而将不等式转化为2116816t a t -≤-对[)1,2t ∈恒成立,利用分离变量法可将问题转化为322a t t ≥+,利用导数可求得32t t +在[)1,2上的最大值,从而得到212a ≥,进而求得结果.【详解】当[)2,1x ∈--时,[)20,1x +∈()()()()()2211122232444f x f x x x x x ⎡⎤∴=+=+-+=++⎣⎦[)2,1x ∴∈--时,()min 31216f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当[)1,0x ∈-时,[)21,2x +∈ ()())112344f x f x x ∴=+=+[)1,0x ∴∈-时,()()min 112f x f =-=[)2,0x ∴∈-时,()min 116f x =-,即2116816t a t -≤-对[)1,2t ∈恒成立即:322a t t ≥+对[)1,2t ∈恒成立令()32g t t t =+,[)1,2t ∈,则()232g t t t '=+当[)1,2t ∈时,()0g t '>,则()g t 在[)1,2上单调递增 ()()212g t g ∴<=212a ∴≥,解得:[)6,a ∈+∞本题正确选项:D【点睛】本题考查恒成立问题的求解,涉及到利用函数性质求解出未知区间内函数的解析式,关键是能够将问题转化为所求变量与函数最值之间的大小关系的比较问题.12.已知函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ,且230a b c ++=,(0)(1)0,f f >设12,x x 是方程()0f x =的两根,则12x x -的取值范围是( )A. 2[0,)3B. 4[0,)9C. 12(,)33D. 14(,)99【答案】A 【解析】试题分析:因为2()32f x ax bx c =++,所以(0)(1)(32)(22)0,01cf f c a b c c a c a=++=-><<,又12312[0,).33333a c c x x a a a a --====-∈考点:二次方程根与系数关系二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.下列四个命题:①函数()cos sin f x x x =的最大值为1;②“若22am bm <,则a b <”的逆命题为真命题;③若ABC ∆为锐角三角形,则有sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++; ④“0a ≤”是“函数()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件.其中所有正确命题的序号为____________. 【答案】③④ 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数,可得()1sin 22f x x =,根据正弦型函数值域可知①错误;确定原命题的逆命题后,通过20m =可知逆命题为假,②错误;利用诱导公式和角的范围可证得结论,③正确;分类讨论去掉函数中的绝对值符号,根据二次函数的性质可确定函数的单调性,从而得到满足题意的范围,进而说明充要条件成立,④正确.【详解】①()1cos sin sin 22f x x x x ==()max 12f x ∴=,①错误 ②“若22am bm <,则a b <”的逆命题为:“若a b <,则22am bm <” 若20m =,可知22am bm =,则其逆命题为假命题,②错误 ③ABC∆Q 锐角三角形 0,2A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2A B π+>2A B π∴>-且0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ sin sin cos 2A B B π⎛⎫∴>-= ⎪⎝⎭同理可得:sin cos B C >,sin cos C A >sin sin sin cos cos cos A B C A B C ∴++>++,③正确④令20x ax -=,解得:10x =,2x a =当0a ≤时,20x ax ->对()0,x ∈+∞恒成立 ()2f x x ax ∴=-()f x Q 对称轴为02ax =≤ ()f x ∴在()0,∞+上单调递增,充分条件成立 当0a >时,()22,0,ax x x a f x x ax x a⎧-<<=⎨-≥⎩,此时()f x 在,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,不满足题意∴“0a ≤”是“()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件,④正确本题正确结果:③④【点睛】本题考查正假命题的判定,涉及到函数最值的求解、逆命题真假性的判断、诱导公式的应用、函数单调性的应用、充要条件的判定等知识,属于中档题.14.若点(sin ,cos )P αα在直线2y x =-上,则tan()4πα+=___________.【答案】13【解析】 【分析】根据点在直线上可代入求得tan α,利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】()sin ,cos P ααQ 在直线2y x =-上 cos 2sin αα∴=- 1tan 2α∴=-1tan tan1142tan 1431tan tan 142παπαπα+-+⎛⎫∴+=== ⎪⎝⎭-+本题正确结果:13【点睛】本题考查两角和差正切公式的应用,属于基础题.15.已知向量,a b r r 满足20a b =≠r r ,且函数在()()321132f x x a x a b x =++⋅r r r 在R 上有极值,则向量,a brr 的夹角的取值范围是_______________. 【答案】,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据函数有极值可知导函数有变号零点,由()f x '为二次函数可知>0∆,从而得到214a b a ⋅<r r r ,根据向量夹角公式可求得cos ,a b <>rr 的范围,根据向量夹角的范围和余弦函数图象可确定夹角的取值范围.【详解】由题意得:()()2f x x a x a b '=++⋅rr r()f x Q 在R 上有极值 ()240a a b ∴∆=-⋅>r r r ,即214a b a ⋅<r r r22114cos ,11222aa b a b a b a b a a a ⋅⋅∴<>==<=⋅⋅r r r r r r r r r r r r[],0,a b π<>∈r r Q ,,3a b ππ⎛⎤∴<>∈ ⎥⎝⎦r r本题正确结果:,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查向量夹角取值范围的求解,涉及到导数与极值之间的关系、向量夹角公式的应用等知识;关键是能够根据函数有极值确定导函数有变号零点,从而利用二次函数的性质得到向量数量积和模长之间的关系.16.设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ-U 上,其导函数为()f x ',且()02f π=,当0πx <<时,()sin ()cos 0f x x f x x '-<,则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为 .【答案】(,0)(,)66πππ-U 【解析】 【详解】设()()sin f x g x x =,∴2()sin ()cos ()sin f x x f x xg x x'='-, ∵()f x 是定义在(,0)(0,)ππ-U 上的奇函数,∴()()()()sin()sin f x f x g x g x x x--===-,∴()g x 是定义在(,0)(0,)ππ-U 上的偶函数, ∵当0πx <<时,()sin ()cos 0f x x f x x '-<,∴()0g x '<,∴()g x 在(0,)π上单调递减,()g x 在(,0)π-上单调递增,∵()02f π=,∴()2()02sin 2f g πππ==,∵()2()sin 6f x f x π<,∴()()6g x g π<,(0,)x π∈,或,(,0)x π∈-, ∴6x ππ<<或06x π-<<. ∴关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为(,0)(,)66πππ-U .考点:利用导数研究函数的单调性.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.已知函数2()1xe f x ax =+(Ⅰ)当a 43=时,求()f x 的极值点; (Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数,求a 的取值范围。
河北省衡水中学2020届高三年级模拟试题(一)数 学(理科)本试卷总分150分,考试时间120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成,答在本试卷上无效。
3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案用0.5 mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设复数iiz -=12,则z 在复平面内对应的点位于 A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知集合}0)2)(2(|{≤+-=x x x A ,}0|{a x x B ≤<Z ∈=.若}2,1{=B A I ,则实数a 的取值范围是 A .),2[+∞B .),2(+∞C .),1[+∞D .),1(+∞3.2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6 668个,某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1~8万元的人员中,随机抽取了若干人的报价,得到的部分数据整理结果如下:报价区间(单位:万元)[)2,1[)3,2[)4,3频数103640则在这些竞拍人员中,报价不低于5万元的人数为 A .30 B .42 C .54 D .804.已知c b a >>,且0=++c b a ,则下列不等式一定成立的是A .bc ab >B .bc ac <C .||||bc ab >D .011>+ca5.设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+≤,0632,2,2y x x y x y 则y x z 2-=的最小值为A .2-B .4-C .6-D .8- 6.已知0<ab ,若函数x x x f cos sin )(+=在区间],[b a 上单调,则ab 的最小值是A .42π-B .1632π-C .82π-D .162π-7.某正方体的三视图中的侧视图如图所示,是由两个全等的长方形构成,则该正方体的体积为A .8B .23C .4D .228.已知数列}{n a 为等比数列,n S 为其前n 项和,0>n a ,32=S ,154=S .对任意的正整数n ,下列结论正确的是A .122++=+n n n a a aB .1+>n n a SC .213++++>+n n n n a a a aD .21++≥⋅n n n a a a9.已知四棱锥ABCD P -的所有棱长均相等,过其外一点且与直线PA 和BC 所成的角都是o60的 直线的条数是 A .2 B .3 C .4 D .510.如图所示的44⨯正方形网格,可看成是横向、纵向各五条相等线段相交成的封闭图形,横向、纵向各取2条线段,则围成的封闭图形为正方形的概率为A .101 B .51 C .103 D .52 11.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ,过F 作直线l 与两条渐近线交于B A ,两点,若OAB ∆为等腰直角三角形(O 为坐标原点),则OAB ∆的面积为A .2aB .22aC .22a 或2aD .22a 或221a12.如图,正方形ABCD 的边长为2,O 是正方形ABCD 的中心,线段EF 过点O ,且1==OF OE ,EF 绕着点O 旋转,M 为线段AB 上 的动点,则MF ME ⋅的最小值为A .21- B .22- C .23- D .1-二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2020年河北省衡水中学高考(理科)数学临考模拟试卷一、选择题(共12小题).1.若复数z满足1+zi=0,i是虚数单位,则z=()A.﹣1B.1C.i D.﹣i2.集合,B={x|x2+x﹣6>0},则A∪B=()A.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)B.(3,+∞)C.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)D.(﹣∞,﹣3)∪(1,2)∪(2,+∞)3.已知,,则tanα=()A.2B.C.1D.4.在边长为3,4,5的三角形内部任取一点P,则点P到三个顶点距离都大于1的概率为()A.B.C.D.5.《吕氏春秋•音律篇》记载了利用“三分损益”制定关于“宫、商、角、徵、羽”五音的方法,以一段均匀的发声管为基数“宫”,然后将此发声管均分成三段,舍弃其中的一段保留二段,这就是“三分损一”,余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音就是“徵”;将“徵”管均分成三份,再加上一份,即“徵”管长度的三分之四,这就是“三分益一”,于是就产生了“商”;“商”管保留分之二,“三分损一”,于是得出“羽”;羽管“三分益一”,即羽管的三分之四的长度,就是角”.如果按照三分损益律,基数“宫”发声管长度为1,则“羽”管的长度为()A.B.C.D.6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积是()A.32B.36C.72D.807.在的展开式中,含项的系数等于()A.98B.42C.﹣98D.﹣428.函数f(x)=的部分图象大致为()A.B.C.D.9.已知直四棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,且BD=DD1=AC,则异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.10.已知O为坐标原点,A、F分别是双曲线C:=1,(a>0,b>0)的右顶点和右焦点,以OF为直径的圆与一条渐近线的交点为P(不与原点重合),若△OAP的面积S△OAP满足,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A:cos B:cos C=6a:3b:2c,则cos C等于()A.B.C.D.12.已知函数f(x)=,若函数y=f(x)﹣ax恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.[1,4)B.(﹣1,16)C.(﹣1,0]∪[1,16)D.{0}∪[1,4)二、填空题(共4小题).13.若球O的球心到其内接长方体三个不同侧面的距离为1,2,3,则球O表面积为.14.已知圆x2+y2=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,与抛物线的准线交于C,D两点,且坐标原点O是AC的中点,则p的值等于.15.函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移个单位得到函数y=g(x)的图象,且f(x)与g(x)的图象关于点对称,那么ω的最小值等于.16.已知向量,,满足,,且,则的取值范围是.三、解答题:解答应写岀文字说眀、证明过程或演算步骤.17.已知各项均为正数的等比数列{a n}与等差数列{b n}满足a1=b1=2,a5=b31=32,记c n =,(n∈N*).(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{c n}的前n项和T n.18.2020年2月,为防控新冠肺炎,各地中小学延期开学.某学校积极响应“停课不停学”政策,在甲、乙两班分别开展了H、G两种不同平台的线上教学尝试,经过一段时间的试用,从两班各随机调查了20个同学,得到了对两种线上平台的评价结果如表:评价结果差评一般好评甲班5人10人5人乙班2人8人10人(1)假设两个班级的评价相互独立,以事件发生频率作为相应事件发生的概率,若从甲乙两班中各随机抽取一名学生,求甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”的概率;(2)根据对两个班的调查,完成列联表,并判断能否有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关.差评好评或一般总计H平台G平台总计附:,n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.82819.如图,在三棱锥D﹣ABC中,AB⊥BD,BC⊥CD,M,N分别是线段AD,BD的中点,MC=1,,二面角D﹣BA﹣C的大小为60°.(1)证明:平面MNC⊥平面BCD;(2)求直线BM和平面MNC所成角的余弦值.20.已知椭圆左、右焦点分别为F1,F2,且满足离心率,,过原点O且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)设点A(2,1),求△AMN面积的最大值.21.已知函数f(x)=(x+2)lnx+ax2(a为常数)在x=1处的切线方程为y=4x﹣.(1)求a的值,并讨论f(x)的单调性;(2)若f(x1)+f(x2)=1,求证:x1x2≤1.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中,直线l1:x﹣y﹣2=0,曲线C:(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l1与曲线C的极坐标方程;(2)若直线l2的极坐标方程为θ=α(ρ∈R),直线l2与直线l1交于点A,与曲线C交于点O与点B,求的最大值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|2x﹣1|﹣|x+1|.(1)解不等式f(x)≤4;(2)记函数y=f(x)+3|x+1|的最小值为m,正实数a,b满足a+b=m,试求的最小值.参考答案一、选择题(共12小题).1.若复数z满足1+zi=0,i是虚数单位,则z=()A.﹣1B.1C.i D.﹣i【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.解:由1+zi=0,得.故选:C.2.集合,B={x|x2+x﹣6>0},则A∪B=()A.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)B.(3,+∞)C.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)D.(﹣∞,﹣3)∪(1,2)∪(2,+∞)【分析】可以求出集合A,B,然后进行并集的运算即可.解:∵A=(1,+∞),B=(﹣∞,﹣3)∪(2,+∞),∴A∪B=(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞).故选:C.3.已知,,则tanα=()A.2B.C.1D.【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值,利用同角三角函数基本关系式,即可求解cosα,tanα的值.解:∵,,∴,∴tanα=2.故选:A.4.在边长为3,4,5的三角形内部任取一点P,则点P到三个顶点距离都大于1的概率为()A.B.C.D.【分析】根据题意,结合图形分析可得点P到三个顶点距离小于1的区域面积为三个扇形面积之和,求出其面积,计算三角形的面积,由几何概型公式计算可得答案.解:根据题意,在△ABC中,BC=3,AB=4,AC=5,点P到三个顶点距离小于3的区域面积为三个扇形面积之和,即S=×π=,则点P到三个顶点距离都大于1的概率P=;故选:B.5.《吕氏春秋•音律篇》记载了利用“三分损益”制定关于“宫、商、角、徵、羽”五音的方法,以一段均匀的发声管为基数“宫”,然后将此发声管均分成三段,舍弃其中的一段保留二段,这就是“三分损一”,余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音就是“徵”;将“徵”管均分成三份,再加上一份,即“徵”管长度的三分之四,这就是“三分益一”,于是就产生了“商”;“商”管保留分之二,“三分损一”,于是得出“羽”;羽管“三分益一”,即羽管的三分之四的长度,就是角”.如果按照三分损益律,基数“宫”发声管长度为1,则“羽”管的长度为()A.B.C.D.【分析】根据三分损益原理计算即可.解:按照三分损益原理,故选:A.6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积是()A.32B.36C.72D.80【分析】由三视图还原原几何体,该几何体为两个长方体的组合体,其中每个长方体的底面是边长为2的正方形,高为4.则其表面积可求.解:由三视图还原原几何体如图,则其表面积为S=(40﹣4)×2=72.故选:C.7.在的展开式中,含项的系数等于()A.98B.42C.﹣98D.﹣42【分析】先求出(﹣)8的通项公式,再分类求出含项的系数.解:∵(﹣)8的通项公式为T r+1=••(﹣)r=(﹣1)r••x,令﹣8=﹣5得r=2;令﹣4=﹣2得r=4;故选:D.8.函数f(x)=的部分图象大致为()A.B.C.D.【分析】求出函数的定义域,判断函数的奇偶性,利用对称性和函数值的对应性进行排除即可.解:由|x|﹣2≠0得x≠±2,f(﹣x)=﹣f(x),即f(x)为奇函数,图象关于原点对称,可排除选项B、D,故选:A.9.已知直四棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,且BD=DD1=AC,则异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【分析】由,得∠DAC=30°,求出∠DAB=60°,推导出∠AD1G(或补角)即为异面直线AD1与DC1所成的角,由此能求出异面直线AD1与DC1所成角的余弦值.解:由,得∠DAC=30°,所以∠DAB=60°,所以AD=DD1,.则∠AD1G(或补角)即为异面直线AD1与DC1所成的角,利用勾股定理求出,所以异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为.故选:B.10.已知O为坐标原点,A、F分别是双曲线C:=1,(a>0,b>0)的右顶点和右焦点,以OF为直径的圆与一条渐近线的交点为P(不与原点重合),若△OAP的面积S△OAP满足,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【分析】由,可得:,即,利用e=即可求解.解:如图,可得OA=a,OF=c,∠OPF=90°,tan,由,可得FP•FO cos∠POA=×,∴,即可得,∴e4=2,e=.故选:D.11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A:cos B:cos C=6a:3b:2c,则cos C等于()A.B.C.D.【分析】由已知结合正弦定理进行化简后,再结合两角和的正切公式进行化简即可求解.解:由,利用正弦定理得,即6tan A=3tan B=2tan C,代入,所以.故选:D.12.已知函数f(x)=,若函数y=f(x)﹣ax恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.[1,4)B.(﹣1,16)C.(﹣1,0]∪[1,16)D.{0}∪[1,4)【分析】易知x=0是y=f(x)﹣ax的一个零点,则f(x)=ax有两个不为零的不同实根,即与y=a的图象有两个不为零的不同交点,作出函数h(x)的图象,即可求出实数a的取值范围.解:(1)当x=0时,y=f(0)﹣0=0,所以x=0是y=f(x)﹣ax的一个零点;即f(x)=ax有两个不为零的不同实根,又h(x)==,所以当x<0时,h1′(x)>0,h1(x)单调递增;令,x≥1,则,当x∈(3,+∞)时,h2′(x)<0,h2(x)单调递减,故选:D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.若球O的球心到其内接长方体三个不同侧面的距离为1,2,3,则球O表面积为56π.【分析】由球的截面性质得出长方体的三条棱长,从而得球半径,可计算出面积.解:由题意长方体相邻的三条棱长为2,4,6,外接球直径等于长方体对角线,所以,故答案为:.14.已知圆x2+y2=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,与抛物线的准线交于C,D两点,且坐标原点O是AC的中点,则p的值等于.【分析】设出A的坐标,代入圆的方程,求解P即可.解:圆x2+y2=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,与抛物线的准线交于C,D 两点,且坐标原点O是AC的中点,代入圆的方程,解得.故答案为:.15.函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移个单位得到函数y=g(x)的图象,且f(x)与g(x)的图象关于点对称,那么ω的最小值等于6.【分析】由题意,利用函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象和性质,求得ω的最小值解:由图象平移规律,可知,由f(x)与g(x)的图象关于点对称,化简,得恒成立,所以正数ω的最小值为6,故答案为:6.16.已知向量,,满足,,且,则的取值范围是[﹣7,7].【分析】将已知条件中的等式变形为,两边平方,再结合平面向量数量积的运算,化简整理后可推出+2+1≤+2+,即,从而得解.解:因为,所以,等式两边平方,得①.所以≤•,即+2+3≤25+2+25,所以.故答案为:[﹣6,7].三、解答题:解答应写岀文字说眀、证明过程或演算步骤.17.已知各项均为正数的等比数列{a n}与等差数列{b n}满足a1=b1=2,a5=b31=32,记c n =,(n∈N*).(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{c n}的前n项和T n.【分析】(1)利用已知条件求出数列的通项公式.(2)利用裂项相消法求出数列的和.解:(1)因为{a n}各项为正数,设{a n}的公比为q,(q>0),{b n}的公差为d,所以,b n=n+1.所以=.18.2020年2月,为防控新冠肺炎,各地中小学延期开学.某学校积极响应“停课不停学”政策,在甲、乙两班分别开展了H、G两种不同平台的线上教学尝试,经过一段时间的试用,从两班各随机调查了20个同学,得到了对两种线上平台的评价结果如表:评价结果差评一般好评甲班5人10人5人乙班2人8人10人(1)假设两个班级的评价相互独立,以事件发生频率作为相应事件发生的概率,若从甲乙两班中各随机抽取一名学生,求甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”的概率;(2)根据对两个班的调查,完成列联表,并判断能否有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关.差评好评或一般总计H平台G平台总计附:,n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828【分析】(1)根据相互独立事件的概率计算公式,即可求出对应的概率值;(2)由题意填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论.解:(1)记A1表示事件:甲班抽取的学生评价结果为“好评”;A2表示事件:甲班抽取的学生评价结果为“一般”;B2表示事件:乙班抽取的学生评价结果为“差评”;因为两个班级的评价相互独立,所以.差评好评或一般总计H平台51520G平台21820总计73340计算得,所以没有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关.19.如图,在三棱锥D﹣ABC中,AB⊥BD,BC⊥CD,M,N分别是线段AD,BD的中点,MC=1,,二面角D﹣BA﹣C的大小为60°.(1)证明:平面MNC⊥平面BCD;(2)求直线BM和平面MNC所成角的余弦值.【分析】(1)先计算出NC和MN的长度,再结合勾股定理可证得MN⊥NC;由中位线的性质可得MN∥AB,而AB⊥BD,故MN⊥BD;然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证.(2)根据二面角的定义可证得∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角,即∠CBD=60°.法一:以B为原点,BC、BA为x、y轴,建立空间直角坐标系,逐一写出B、C、M、N的坐标,根据法向量的性质求得平面MNC的法向量,设直线BM和平面MNC所成角为θ,则sinθ=|cos<,>|,再利用同角三角函数的平方关系即可得解.法二:取CN的中点E,连接BE,由面面垂直的性质定理可证得BE⊥平面MNC,故∠BME为直线BM和平面MNC所成的角,在Rt△ABD中,求得sin∠BME,再利用同角三角函数的平方关系即可得解.【解答】(1)证明:在Rt△BCD中,N是斜边BD的中点,∴.∵M、N分别是AD、BD的中点,∴MN∥AB,,∵AB⊥BD,MN∥AB,∴MN⊥BD,∵MN⊂平面MNC,∴平面MNC⊥平面BCD.又AB⊥BD,∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角,即∠CBD=60°,以B为坐标原点,BC为x轴,BA为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,∴,,.设平面MNC的法向量,则,即,设直线BM和平面MNC所成角为θ,∵θ∈[0,],故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于.又AB⊥BD,∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角,即∠CBD=60°,又∵平面MNC⊥平面BCD,平面MNC∩平面BCD=NC,∴∠BME即为直线BM和平面MNC所成的角.∴,故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于.20.已知椭圆左、右焦点分别为F1,F2,且满足离心率,,过原点O且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)设点A(2,1),求△AMN面积的最大值.【分析】(1)利用椭圆的离心率以及焦距,求解c,a,然后求解b,得到椭圆方程.(2)设直线l的方程为y=kx(k≠0),由,求出弦长MN,求出A到直线l的距离,推出三角形的面积的表达式,然后求解最大值即可.解:(1)由题意可知,,根据,得a=4,b=4,(2)设直线l的方程为y=kx(k≠0),得,,=.所以=,当k<0时,,当且仅当时,等号成立,所以S△AMN的最大值为.21.已知函数f(x)=(x+2)lnx+ax2(a为常数)在x=1处的切线方程为y=4x﹣.(1)求a的值,并讨论f(x)的单调性;(2)若f(x1)+f(x2)=1,求证:x1x2≤1.【分析】(1)先对函数求导,然后结合导数的几何意义可求a,结合导数与单调性关系即可求解;(2)结合结论lnx≤x﹣1,构造函数g(x)=f(x)+f()﹣1,结合导数可得出f(x1),然后结合f(x1)+f(x2)=1,及f(x)在(0,+∞)上单调性即可证明.解:(1),由题意可得,f′(5)=3+2a=4,解可得a=,令m(x)=lnx+x++4,则=,故m(x)=f′(x)>f′(1)>0恒成立,(2)设n(x)=lnx﹣x+1,则,当x=1时,n(x)取得最大值n(1)=0,令g(x)=f(x)+f()﹣1=(x+2)lnx+﹣(4+)lnx+,设h(x)=(1+)lnx,则=>0,故当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)≥g(1)=5,即f(x)+f()﹣1≥0,当x=1时等号成立,所以4﹣f(x2)≥1﹣f()即f(x2)≤f(),所以x6≤,即x1x2≤7.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中,直线l1:x﹣y﹣2=0,曲线C:(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l1与曲线C的极坐标方程;(2)若直线l2的极坐标方程为θ=α(ρ∈R),直线l2与直线l1交于点A,与曲线C交于点O与点B,求的最大值.【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)利用转换关系,把三角函数关系式的变换和函数的性质的应用求出结果.解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以直线l1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2,即.将x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入上式,得ρ2=8ρcosθ.(2)因为直线l2:θ=α,则A(ρ1,α),B(ρ4,α),所以=.所以当时,取得最大值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|2x﹣1|﹣|x+1|.(1)解不等式f(x)≤4;(2)记函数y=f(x)+3|x+1|的最小值为m,正实数a,b满足a+b=m,试求的最小值.【分析】(1)利用零点分段.再分段解不等式即可;(2)利用绝对值不等式求解最小值为m,利用“乘1”法即可求解的最小值解:(1)依题意得f(x)=,由不等式f(x)≤3;解得﹣2≤x≤﹣1,或,或.(2)由y=f(x)+3|x+1|=|7x﹣1|+|2x+2|≥|(2x﹣1)﹣(5x+2)|=3,即a+b=3即当且仅当且a+b=3,即a=1,b=2时取等号,所以的最小值为.。
2020届河北省衡水中学高三第三次模拟考试数学(理)试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位,复数z 满足()12i z i -⋅=,则z =( )A. 1D. 2 【答案】B【解析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算,再由复数模的计算公式求解.【详解】由z (1﹣i )=2i ,得z ()()2121111)i i i i i i i +===-+--+, ∴|z|=故选B .2.已知集合{}1A x x =≤,B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩,则A B =( ) A. (]2,1-B. []2,1-C. (),2-∞-D. (],2-∞-【答案】A【解析】 化简集合B,根据交集的定义求解即可. 【详解】由题意知{}22B x x =-<<,则{}21A B x x ⋂=-<≤.故选A.3.已知直线l :y x m =+和圆O :221x y +=,则“m =”是“直线l 与圆O 相切”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题首先可以根据圆的方程确定圆心与半径,然后通过证明当m =时直线l 与圆O 相切即可得出“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件,最后通过求解当直线l 与圆O 相切时m的值即可得出“m =l 与圆O 相切”的必要条件,即可得出结果.【详解】因为圆O :221x y +=,所以圆心()0,0O ,半径1r =,因为当m =,圆心O 到直线l 的距离为1d ==,所以直线l 与圆O 相切,“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件,因为当直线l 与圆O 相切时,圆心O 到直线l 的距离为1d ==,解得m =,所以“m =l 与圆O 相切”的必要条件,故“m =l 与圆O 相切”的充分不必要条件,故选:A.4.某公司某型号无人机以其小巧轻便、高效机动、影像清晰、智能化、用途广等突出特点,得到广大用户的青睐,该型号无人机近5年销售量数据统计如下表所示.根据表中数据用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.5yx t =+,则可以预测2020年该型号无人机的销量大约为( )A. 40万件B. 41.5万件C. 45万件D. 48万件 【答案】B【解析】先根据题中所给的数据,计算得出样本中心点()2,22,代入求得9t =,再将5x =代入方程求得。
2020届河北衡水密卷新高考押题仿真模拟(一)理数试题★祝你考试顺利★注意事项:1、考试范围:高考考查范围。
2、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答:每个小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答:用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁,不折叠,不破损。
7、本科目考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.复数51i i-+(i 是虚数单位)的虚部是( ) A. 3i B. 6iC. 3D. 6【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可.【详解】解:复数()()()()515111i i i i i i ---==-++-2+3i .复数51i i-+(i 是虚数单位)的虚部是3. 故选C .【点睛】本题考查复数的除法的运算法则以及复数的基本概念,是基础题.2.已知集合{}21M x x =<,{}2|log ,2N y y x x ==>,则下列结论正确的是( )A. M N N =IB. ()R C M N ⋂=∅C. M N U =ID. ()R C M N ⊆【答案】D 【解析】 【分析】分别对集合M 和集合N 进行化简,然后对选项分别研究,得到正确答案. 【详解】集合M 中:21x <,解得11x -<<,集合N 中:2log y x =是单调递增函数2x >,所以1y > 即{}11M x x =-<<,{}1N y y => A 选项中,M N N ⋂=∅≠,所以错误;B 选项中,{}1R C N y y =≤,所以{}11R M C N x x ⋂=-<<≠∅,所以错误; C 选项中,M N U ⋂=∅≠,所以错误D 选项中,{}11M x x =-<<,{}1R C N y y =≤,所以()R C M N ⊆正确. 故选D 项.【点睛】本题考查集合的交集运算,集合与集合之间的关系,属于简单题. 3.在等差数列{}n a 中,若351024a a a ++=,则13S =( ) A. 13 B. 14C. 15D. 16【答案】A 【解析】 【分析】因为数列是{}n a 是等差数列,所以可将351024a a a ++=用首项和公差表示为14a 24d 4+=,即1a 6d 1+=,然后用首项和公差表示13S ,即()13111312S 13a d 13a 6d 2⨯=+=+,进而整体代入便可得结果.【详解】解:因为数列是{}n a 是等差数列,设首项为1a ,公差为d所以351024a a a ++=可转化为14a 24d 4+=,即1a 6d 1+=所以()13111312S 13a d 13a 6d 132⨯=+=+= 故选A【点睛】等差数列问题常见的解法是利用等差数列的基本量(,,)1a d n 来进行求解,也可以利用等差数列的性质来进行解题,解题时应灵活运用.4.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2015年和2018年的高考情况,得到如图柱状图:则下列结论正确的是( )A. 与2015年相比,2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比,2018二本达线人数增加了0.5倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比,2018年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】设2015年该校参加高考的人数为S ,则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图,找出各数据,再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为S ,则2018年该校参加高考的人数为1.5S .对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=,可见一本达线人数增加了,故选项A 错误;对于选项B ,2015年二本达线人数为0.32S ,2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=,显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍,故选项B 错误;对于选项C ,2015年和2018年.艺体达线率没变,但是人数是不相同的,故选项C 错误;对于选项D ,2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体,观察柱状统计图,找出各数据,再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键.5.在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为( )A. 240-B. 60-C. 60D. 240【答案】D 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项,整理后令x 的指数为0,得到项数,然后计算出常数项,得到答案.【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为()()6212316622rrr r rr r T C xC x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭其常数项为,令1230r -=得4r = 即()44562240T C =-= 故选D 项.【点睛】本题考查二项展开式的通项,求二项展开式中的常数项,属于简单题. 6.函数log ||()||a x x f x x =(01a <<)图象的大致形状是( )A. B.C. D.【答案】C 【解析】()f x 是奇函数,故排除B ,D ;因为01a <<,所以令x =2,则()20f <,故排除A ,故答案为C.点睛:点睛:本题考查函数的图象的判断与应用,是中档题;已知函数解析式,选择其正确图象是高考中的高频考点,主要采用的是排除法,最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质,同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号,其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.7.已知10sin 10α=,0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos 26a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A.433- B.43+3C.433- D.334- 【答案】A 【解析】分析:根据同角三角函数关系由10sin α=310cos α=,于是可得sin2,cos 2αϕ,然后再根据两角和的余弦公式求解即可.详解:∵10sin 10α=,0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴2310cos 1sin αα=-=, ∴103103sin22sin cos 25ααα==⨯⨯=, 22104cos 212sin 12()5ϕα=-=-⨯=. ∴313413433cos 2cos 2sin 262525πααα-⎛⎫+=-=⨯-⨯= ⎪⎝⎭. 故选A .点睛:本题属于给值求值的问题,考查同角三角函数关系、倍角公式、两角和的余弦公式的运用,考查学生的计算能力和公式变形能力.8.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】C 【解析】由题设中提供的三视图可以看出这是一个底面边长为2的正方形高为1的四棱柱与一个底面是边长为4的等腰直角三角形高为1的三棱柱的组合体,其体积1441221122V =⨯⨯⨯+⨯⨯=,应选答案C . 9.已知0a b >>,b x a be =+,a y b ae =+,b z b ae =+,则( ) A. x z y << B. z x y << C. z y x <<D. y z x <<【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法,结合指数函数的图像与性质可得结果. 【详解】∵bax a be y b ae =+=+,,b z b ae =+, ∴()a by z a e e-=-又0e 1a b >>,>,∴a b e e > ∴y z >()()()()x 1b b z b a a b e a b e -=-+-=--,又01b a b e ,>>> ∴x z > 综上:x z y << 故选A【点睛】本题考查三个数的大小的判断,考查作差法,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.10.已知双曲线22221x y a b-=的左右焦点为12,,F F O 为它的中心,P 为双曲线右支上的一点,12PF F ∆的内切圆圆心为I ,且圆I 与x 轴相切于A 点,过2F 作直线PI 的垂线,垂足为B ,若双曲线的离心率为e ,则( ) A. OB OA = B. OB e OA =C. OA e OB =D. ||OB 与||OA 关系不确定 【答案】A 【解析】F 1(﹣c ,0)、F 2(c ,0),内切圆与x 轴的切点是点A ∵|PF 1|﹣|PF 2|=2a ,及圆的切线长定理知, |AF 1|﹣|AF 2|=2a ,设内切圆的圆心横坐标为x , 则|(x+c )﹣(c ﹣x )|=2a ∴x=a; |OA|=a ,在△PCF 2中,由题意得,F 2B⊥PI 于B ,延长交F 1F 2于点C ,利用△PCB≌△PF 2B ,可知PC=PF 2, ∴在三角形F 1CF 2中,有:OB=12CF 1=12(PF 1﹣PC )=12(PF 1﹣PF 2)=12×2a=a.∴|OB|=|OA|. 故选A .点睛:这个题目考查了双曲线的几何意义和双曲线的第一定义;用到了焦三角形的的内切圆的性质和结论.一般无论双曲线还是椭圆,和焦三角形的有关的可以想到,焦三角形的的周长,余弦定理,定义的应用,面积公式等. 11.已知函数()sin(2)3f x x π=-,若方程1()3f x =在(0,)π的解为1212,()x x x x <,则12sin()x x -=( )A. 22-B. 3-C. 12-D. 13-【答案】A 【解析】 【分析】结合正弦型函数的图像与性质可得125212x x π+=,进而可得()121sin ?cos 23x x x π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,明确1x 的范围得到结果.【详解】因为0x π<<,所以52,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,又因为12,x x 是1sin 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的两根,结合图像可知125212x x π+=,所以2156x x π=-, 所以()12115sin sin 2cos 263x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又因为122156x x x x π<=-,,所以15012x π<<, 所以12,332x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,所以122cos 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以()1222sin 3x x -=-. 故选A【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质,考查函数的对称性及取值范围,属于中档题.12.已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)A BCD -的外接球,3BC =,23AB =,点E 在线段BD 上,且6BD BE =,过点E 作球O 的截面,则所得截面圆面积的取值范围是( ) A. 5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 7,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】分析:过E 作球O 的截面中,面积最大的是过球心O 的截面,最小的是垂直于OE 的截面,求出球的半径,以及垂直于OE 的截面半径,从而可得结果. 详解:显然过E 作球O 的截面中,面积最大的是过球心O 的截面,最小的是垂直于OE 的截面, 设三棱锥的外接球半径为R ,()2233R R +-=,解得2R =,截面面积最大为4π,如图,1OH =,2222cos30EH BH BE BH BE =+-⋅⋅o11332342=+-1367444=-=, 222711144OE EH OH ∴=+=+=, ∴垂直于OE 的截面半径r 满足2221152444r OE =-=-=, 254S r ππ∴==,即截面最小面积为54π,截面圆面积的取值范围是5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故选A.点睛:本题主要考球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式及球的体积公式,属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型,既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系,做题过程中主要注意以下两点:①多面体每个面都分别在一个圆面上,圆心是多边形外接圆圆心;②注意运用性质2221R r OO=+.第II卷二、填空题:本小题共4小题,每小题共5分13.若整数,x y满足不等式组022020xx yx y≤≤⎧⎪+->⎨⎪-+>⎩,则yzx=的最小值为_______.【答案】12【解析】【分析】画出可行域,由此判断出可行域内的点和原点连线的斜率的最小值.【详解】画出可行域如下图所示,依题意只取坐标为整数的点.由图可知,在点()2,1处,目标函数取得最小值为12.【点睛】本小题主要考查简单的线性规划问题,要注意不等式等号是否能取得,还要注意,x y为整数,属于基础题.14.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率是________. 【答案】23【解析】从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换,基本事件总数为22339n C C =⋅=,左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,第一次调换后,对调后的位置关系有三种:甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲,第二次调换后甲在乙左边对应的关系有:丙甲乙、甲乙丙;丙甲乙 、甲乙丙;甲丙乙、丙甲乙,∴经过两次这样的调换后,甲在乙左边包含的基本事件个数6m =,∴经过这样的调换后,甲在乙左边的概率:6293m p n ===,故答案为23. 15.已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与准线的交点,点F 为该抛物线的焦点,点P 在抛物线上且满足PF m PA =,则m 的最小值为 .【答案】2 【解析】过P 作准线的垂线,垂足为N , 则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|,∵|PF|=m|PA|,∴|PN|=m|PA|,则PN m PA= ,设PA 的倾斜角为α,则sinα=m,当m 取得最小值时,sinα最小,此时直线PA 与抛物线相切, 设直线PA 的方程为y=kx ﹣1,代入x 2=4y ,可得x 2=4(kx ﹣1), 即x 2﹣4kx+4=0,∴△=16k 2﹣16=0,∴k=±1, ∴m的最小值为2.故答案点睛:本题主要考查了抛物线的简单性质.解题的关键是利用了抛物线的定义.一般和抛物线有关的小题,很多时可以应用结论来处理的;平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用.尤其和焦半径联系的题目,一般都和定义有关,实现点点距和点线距的转化.16.已知函数()ln f x x a x =+,若()()()12121212111,,1,2x x x x f x f x x x ⎛⎫∀∈≠->- ⎪⎝⎭,则正数a 的取值范围是_______.【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】a >0,f (x )=x+alnx ,()f 1ax x='+>, ∴f(x )在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,不妨设12x x < 则()()120f x f x -<,12110x x -> ()12121,,12x x x x ⎛⎫∀∈≠ ⎪⎝⎭,()()121211f x f x x x ->-,即()()211211f x f x x x ->-,∴()()212111f x f x x x +>+,即()()1g x f x x =+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 ∴()21g 10a x x x -'=+≥,即1a x x ≥-,又13x 2x -≤ 故3a 2≥三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ,35a =,10100S =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设2(5)n n b n a =+,记数列n b 的前n 项和n T ,求使得n T m <恒成立时m 的最小正整数.【答案】(1) 21n a n =- (2)1 【解析】 【分析】(1)先设设等差数列{}n a 的公差为d ,由35a =,10100S =列出方程组求出首项和公差即可;(2)由(1)先求出n b ,再由裂项相消法求数列的前n 项和即可.【详解】解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,因为35a =,10100S =,所以11251045100a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得112a d =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. (2)由(1)可知()()22524n n b n a n n ==++ ()1111222n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12n n T b b b =+++=L111111[1232435⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1111]112n n n n ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭()()13232212n n n ⎡⎤+=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦, ∴34n T <,∴34m ≥,∴m 的最小正整数为1【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式,以及裂项相消法求数列前n 项和的问题,熟记公式即可,属于基础题型.18.如图,五边形ABSCD 中,四边形ABCD 为长方形,SBC ∆为边长为2的正三角形,将SBC ∆沿BC 折起,使得点S 在平面ABCD 上的射影恰好在AD 上.(Ⅰ)当2AB =,证明:平面SAB ⊥平面SCD ;(Ⅱ)若1AB =,求平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)13. 【解析】 试题分析:(Ⅰ)作SO AD ⊥,垂足为O ,依题意得SO ⊥平面ABCD ,则,SO AB AB AD ⊥⊥,AB ⊥平面SAD ,AB SD ⊥,结合勾股定理可得SA SD ⊥,则SD ⊥平面SAB ,平面SAB ⊥平面SCD .(Ⅱ)由几何关系,以,,OA OE OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,由题意可得平面SCD 的法向量()2,0,1m =-v ,平面SBC 的法向量()2,1n =v.计算可得平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13. 试题解析:(Ⅰ)作SO AD ⊥,垂足为O ,依题意得SO ⊥平面ABCD ,,SO AB SO CD ∴⊥⊥, 又AB AD ⊥,AB ∴⊥平面SAD ,,AB SA AB SD ⊥⊥利用勾股定理得22422SA SB AB =-=-=2SD =在SAD ∆中,2,2,AD SA SD SA SD ===∴⊥SD ∴⊥平面SAB ,又SD ⊂平面SCD ,所以平面SAB ⊥平面SCD(Ⅱ)连结,BO CO ,SB SC =Q ,Rt SOB Rt SOC ∴∆≅∆,BO CO =,又四边形ABCD 为长方形,,Rt AOB Rt DOC OA OD ∴∆≅∆∴=.取BC 中点为E ,得OE ∥AB ,连结,3SE SE ∴=, 其中1OE =,1OA OD ==,2312OS =-=由以上证明可知,,OS OE AD 互相垂直,不妨以,,OA OE OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.1,2OE OS =∴=Q ,()()()0,1,0,1,1,2,2,0,0DC SC BC ∴==--=-u u u v u u u v u u u v,设()111,,m x y z =v是平面SCD 的法向量,则有00m DC m SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即1111020y x y z =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩, 令11z =得()2,0,1m =-v设()222,,n x y z =v是平面SBC 的法向量,则有00n BC n SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即22222020x x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令11z =得()2,1n =v.则1,333m ncosm n m n v vv v v v ⋅===⋅ 所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13. 19.已知点)3,0F是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点,点13,2M ⎫⎪⎭ 在椭圆 C 上.(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;(Ⅱ)若直线l 与椭圆 C 交于不同的,A B 两点,且12OA OB k k +=- ( O 为坐标原点),求直线l 斜率的取值范围.【答案】(1)2214x y +=(2)()1,01,4k ⎡⎫∈-⋃+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】 【分析】(1)由题可知,椭圆的另一个焦点为(),利用椭圆的定义,求得2a =,再理由椭圆中222c a b =-,求得b 的值,即可得到椭圆的方程;(2)设l 直线的方程为y kx m =+,联立方程组,利用根与系数的关系,求得1212,x x x x +,在由12OA OB k k +=-,进而可求解斜率的取值范围,得到答案.【详解】(1)由题可知,椭圆的另一个焦点为(),所以点M142=. 所以2a =.又因为c =,所以1b =,则椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)当直线l 的斜率不存在时,结合椭圆的对称性可知,0OA OB k k +=,不符合题意. 故设l 直线的方程为y kx m =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,可得()()222418410k x kmx m +++-=. 所以()12221228,4141,41km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩而()()()()212211212221212128222141OA OBkx m x kx m x m x x y y km k k k k k x x x x x x m m ++++--+=+==+=+=--,由12OA OB k k +=-,可得241m k =+. 所以14k ≥-,又因为()2216410k m -+>,所以2440k k ->. 综上,()1,01,4k ⎡⎫∈-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目,通常联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错漏百出,本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量()y g 与尺寸()x mm 之间近似满足关系式by c x =⋅(,b c 为大于0的常数).按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间,97e e ⎛⎫⎪⎝⎭内时为优等品.现随机抽取6件合格产品,测得数据如下: 尺寸()x mm 384858687888质量()y g16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5质量与尺寸的比yx0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290(Ⅰ)现从抽取的6件合格产品中再任选3件,记ξ为取到优等品的件数,试求随机变量ξ的分布列和期望; (Ⅱ)根据测得数据作了初步处理,得相关统计量的值如下表:(ⅰ)根据所给统计量,求y 关于x 的回归方程;(ⅱ)已知优等品的收益z (单位:千元)与,x y 的关系为20.32z y x =-,则当优等品的尺寸x 为何值时,收益z 的预报值最大?(精确到0.1)附:对于样本(,)i i v u (1,2,,)i n =L ,其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:1122211()()()n niii ii i nni i i i v v u u v unvub v v v nv∧====---==--∑∑∑∑,a u bv ∧∧=-, 2.7182e ≈.【答案】(1)见解析(2)12y ex =,x=72.3 【解析】 【分析】()1由题意,首先确定ξ的取值,然后求解相应的分布列和数学期望即可 ()2 ()i 结合题中所给的数据计算回归方程即可()ii 结合计算求得的回归方程得到收益函数,讨论函数的最值即可求得最终结果【详解】(1)解:由已知,优等品的质量与尺寸的比在区间,97e e ⎛⎫⎪⎝⎭内,即()0.302,0.388y x ∈ 则随机抽取的6件合格产品中,有3件为优等品,3件为非优等品现从抽取的6件合格产品中再任选3件,则取到优等品的件数0,1,2,3ξ=()0333361020C C P C ξ===, ()1233369120C C P C ξ===, ()2133369220C C P C ξ===, ()3033361320C C P C ξ=== ξ的分布列为()199130123202020202E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= (2)解:对b y c x =⋅(,0b c >)两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+,令ln ,ln i i i i v x u y ==,得u b v a =⋅+,且ln a c =, (ⅰ)根据所给统计量及最小二乘估计公式有,1222175.324.618.360.271101.424.660.542ni i i n i i v u nvu b v nv ∧==--⨯÷====-÷-∑∑- 118.324.6612a u b v ∧∧⎛⎫=-=-⨯÷= ⎪⎝⎭,得ln 1ˆˆa c ==,故ˆc e = 所求y 关于x 的回归方程为12y ex = (ⅱ)由(ⅰ)可知,12ˆy e x =⋅,则.ˆ2032zx =由优等品质量与尺寸的比()12,7,97ˆ9y ex e e xx⎛⎫==⇒⎪⎝⎭,即()49,81x ∈令()7,9t =,()2220.3220.320.32ˆ0.32e e z t t et t ⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭当()8.57,90.32et ==≈∈时,ˆz 取最大值 - 即优等品的尺寸72.3x ≈(mm ),收益ˆz 的预报值最大.【点睛】本题考查了线性回归方程的实际运用,依据已知条件计算出随机变量ξ的分布列和期望;通过公式计算求得线性回归方程,本题为常考题型,注意解题方法.21.已知函数()()ln x e f x a x x x=+-,a R ∈.(Ⅰ)当a e =-时,求()f x 的最小值; (Ⅱ)若()f x 有两个零点,求参数a 的取值范围 【答案】(Ⅰ)0; (Ⅱ)a e <-. 【解析】 【分析】(Ⅰ)求函数的定义域,再求导,判别导函数的正负可得原函数的单调性,可求得最小值;(Ⅱ)对a 进行分类讨论,分别利用其导函数的应用,判别其单调性,求其最值,可得参数a 的范围.【详解】(Ⅰ)()(ln )xe f x a x x x=+-,定义域(0,)+∞ ()22(1)(1)(1)()x x x e ax e x x f x a x x x '-+--=+= 当a e =-时, ()2(1)()x x e exf x x '--=,由于x e ex > 在(0,)+∞恒成立故()f x 在(0,1)单调递减, ()f x 在(1,)+∞单调递增.故 min ()(1)0f x f a e ==+=(Ⅱ)()2(1)()x x e axf x x '-+=当a e =-时, ()f x 在(0,1)单调递减, ()f x 在(1,)+∞单调递增min ()(1)0f x f a e ==+=,()f x 只有一个零点当a e >-时,ax ex >- ,故0x x e ax e ex +>-≥ 在(0,)+∞恒成立,故()f x 在(0,1)单调递减, ()f x 在(1,)+∞单调递增min ()(1)0f x f a e ==+=,故当a e >-时, ()f x 没有零点.当a e <-时,令 0xe ax +=,得2(1),(),()x x x e e x e a x x x x x ϕϕ-'=-==, ()x ϕ在(0,1)单调递减, ()f x 在(1,)+∞单调递增. min ()(1)x e ϕϕ==,()x ϕ在(0,)+∞有两个零点,1212,,01x x x x <<<()f x 在1(0,)x 单调递减,在1(,1)x 单调递增,在2(1,)x 单调递减,在2(,)x +∞单调递增,(1)0f a e =+< ,又0,(),,(),x f x x f x →→+∞→+∞→+∞此时()f x 有两个零点,综上()f x 有两个零点,则a e <-【点睛】本题考查了导函数的应用,掌握好分类讨论思想和导函数的应用是解题的关键,属于难题.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中,直线1;2C x =-,圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求1C ,2C 的极坐标方程;(2)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,设23,C C 的交点为,M N ,求2C MN ∆的面积.【答案】(1)cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=;(2)12. 【解析】试题分析:(1)将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 的直角坐标方程,化简得cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=;(2)将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,得240ρ-+=得12ρρ==, 所以MN =12. 试题解析:(1)因为cos ,sin x y ρθρθ==,所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-,2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=(2)将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=得240ρ-+=得12ρρ== 所以MN =因为2C 的半径为1,则2C MN ∆的面积为111sin 4522⨯=o 考点:坐标系与参数方程.【此处有视频,请去附件查看】选修4-5:不等式选讲23.已知()()f x x a a R =+∈.(1)若()21f x x ≥-的解集为[]0,2,求a 的值;(2)若对任意x ∈R ,不等式()1)4f x x π=+'恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)1a =;(2)(]-2∞,【解析】【分析】(1)利用两边平方法解含有绝对值的不等式,再根据根与系数的关系求出a 的值;(2)利用绝对值不等式求出()f x x a +-的最小值,把不等式()1)4f x x π=+'化为只含有a 的不等式,求出不等式解集即可.【详解】(1)不等式()21f x x ≥-,即21x a x +≥-两边平方整理得()2232410x a x a -++-≤由题意知0和2是方程()2232410x a x a -++-=的两个实数根 即2240231023a a +⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩,解得1a =(2)因为()()()2f x x a x a x a x a x a a +-=++-≥+--=所以要使不等式()1)4f x x π=+'恒成立,只需232a a ≥-当0a ≥时,232a a ≥-,解得2a ≤,即02a ≤≤;当0a <时,232a a -≥-,解得25a ≤,即0a <;综上所述,a 的取值范围是(],2-∞【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题,也考查了分类讨论思想,是中档题.。
1 / 242020届河北省衡水中学高三模拟(三)数学(理)试题一、单选题1.设i 为虚数单位,复数满足()12i z i -⋅=,则z =( )A .1BCD .2 【答案】B【解析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算,再由复数模的计算公式求解.【详解】由z (1﹣i )=2i ,得z ()()2121111)i i i i i i i +===-+--+, ∴|z|=故选B .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.2.已知集合{}1A x x =≤,B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩,则A B =( ) A .(]2,1-B .[]2,1-C .(),2-∞-D .(],2-∞- 【答案】A【解析】化简集合B,根据交集的定义求解即可.【详解】 由题意知{}22B x x =-<<,则{}21A B x x ⋂=-<≤.故选A.【点睛】本题考查了集合的运算,以及函数的性质,属于基础题.3.已知直线l :y x m =+和圆O :221x y +=,则“m =”是“直线l 与圆O 相切”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】本题首先可以根据圆的方程确定圆心与半径,然后通过证明当m =时直线2 / 24l 与圆O相切即可得出“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件,最后通过求解当直线l 与圆O 相切时m的值即可得出“m =”不是“直线l 与圆O 相切”的必要条件,即可得出结果.【详解】因为圆O :221x y +=,所以圆心()0,0O ,半径1r =,因为当m =O 到直线l的距离为1d ==, 所以直线l 与圆O相切,“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件, 因为当直线l 与圆O 相切时,圆心O 到直线l的距离为1d ==,解得m =所以“m =l 与圆O 相切”的必要条件,故“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分不必要条件,故选:A.【点睛】 本题考查充分条件以及必要条件的判定,考查直线与圆相切的相关性质,若直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,考查推理能力与计算能力,是中档题.4.某公司某型号无人机以其小巧轻便、高效机动、影像清晰、智能化、用途广等突出特点,得到广大用户的青睐,该型号无人机近5年销售量数据统计如下表所示.根据表中的数据用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.5yx t =+,则可以预测2020年该型号无人机的销量大约为( )A .40万件B .41.5万件C .45万件D .48万件 【答案】B【解析】先根据题中所给的数据,计算得出样本中心点()2,22,代入求得9t =,再将5x =代入方程求得结果.。
2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷(一)理科数学★祝考试顺利★ 注意事项:1、考试范围:高考范围。
2、试题卷启封下发后,如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况,应当立马报告监考老师,否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后,如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象,应当马上报告监考老师,否则一切后果自负。
4、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答:每个小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁,不折叠,不破损,不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P ={0,1,2},Q ={x |x <2},则P ∩Q =( ) A .{0} B .{0,1} C .{1,2} D .{0,2}答案 B解析 因为集合P ={0,1,2},Q ={x |x <2},所以P ∩Q ={0,1}.2.已知复数z 满足|z |=2,z +z -=2(z -为z 的共轭复数)(i 为虚数单位),则z =( )A .1+iB .1-iC .1+i 或1-iD .-1+i 或-1-i答案 C解析 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则z -=a -b i ,z +z -=2a , 所以⎩⎨⎧ a 2+b 2=2,2a =2,得⎩⎨⎧a =1,b =±1,所以z =1+i 或z =1-i.3.若a>1,则“a x>a y”是“log a x>log a y”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析由a>1,得a x>a y等价为x>y,log a x>log a y等价为x>y>0,故“a x>a y”是“log a x>log a y”的必要不充分条件.4.已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为() A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b答案 A解析因为a=log52<log55=1 2,b=log0.50.2>log0.50.25=2,0.51<c=0.50.2<0.50,即12<c<1,所以a<c<b.5.执行如图所示的程序框图,则输出的i的值为()A.4 B.5C.6 D.7答案 C解析由题可得S=3,i=2→S=7,i=3→S=15,i=4→S=31,i=5→S=63,i=6,此时结束循环,输出i=6.6.已知{a n},{b n}均为等差数列,且a2=4,a4=6,b3=9,b7=21,则由{a n},{b n}公共项组成新数列{c n},则c10=()A.18 B.24C.30 D.36答案 C解析 (直接法)由题意,根据等差数列的通项公式得,数列{a n }的首项为3,公差为1,a n =n +2,数列{b n }的首项为3,公差为3,b n =3n ,则易知两个数列的公共项组成的新数列{c n }即为数列{b n },由此c 10=b 10=30,故选C.7.已知直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若AO →·AB →=32,则实数m =( )A .±1B .±32C .±22D .±12答案 C解析 联立⎩⎨⎧y =x +m ,x 2+y 2=1,得2x 2+2mx +m 2-1=0,∵直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A ,B 两点,O 为坐标原点,∴Δ=-4m 2+8>0,解得-2<m <2,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-m ,x 1x 2=m 2-12,y 1y 2=(x 1+m )(x 2+m )=x 1x 2+m (x 1+x 2)+m 2,AO →=(-x 1,-y 1),AB →=(x 2-x 1,y 2-y 1),∵AO →·AB →=32,∴AO →·AB →=x 21-x 1x 2+y 21-y 1y 2=1-m 2-12-m 2-12+m 2-m 2=2-m 2=32,解得m =±22.8.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,若△ABC 的面积为S ,且43S =(a +b )2-c 2,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C +π4=( )A .1B .22C .6-24D .6+24 答案 D解析 由43S =(a +b )2-c 2,得43×12ab sin C =a 2+b 2-c 2+2ab ,∵a 2+b 2-c 2=2ab cos C ,∴23ab sin C =2ab cos C +2ab ,即3sin C -cos C =1,即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C -π6=1,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C -π6=12,∵0<C <π, ∴-π6<C -π6<5π6,∴C -π6=π6,即C =π3,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C +π4=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+π4=sin π3cos π4+cos π3sin π4=32×22+12×22=6+24.9.关于函数f (x )=x -sin x ,下列说法错误的是( ) A .f (x )是奇函数B .f (x )在(-∞,+∞)上单调递增C .x =0是f (x )的唯一零点D .f (x )是周期函数 答案 D解析 f (-x )=-x -sin(-x )=-x +sin x =-f (x ),则f (x )为奇函数,故A 正确;由于f ′(x )=1-cos x ≥0,故f (x )在(-∞,+∞)上单调递增,故B 正确;根据f (x )在(-∞,+∞)上单调递增,f (0)=0,可得x =0是f (x )的唯一零点,故C 正确;根据f (x )在(-∞,+∞)上单调递增,可知它一定不是周期函数,故D 错误.10.已知log 2(a -2)+log 2(b -1)≥1,则2a +b 取到最小值时,ab =( ) A .3 B .4 C .6 D .9答案 D解析 由log 2(a -2)+log 2(b -1)≥1,可得a -2>0,b -1>0且(a -2)(b -1)≥2.所以2a +b =2(a -2)+(b -1)+5≥22(a -2)(b -1)+5≥22×2+5=9,当2(a -2)=b -1且(a -2)(b -1)=2时等号成立,解得a =b =3.所以2a +b 取到最小值时,ab =3×3=9.11.已知实数a >0,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x-1+a2,x <0,e x -1+a 2x 2-(a +1)x +a 2,x ≥0,若关于x 的方程f [-f (x )]=e -a +a2有三个不等的实根,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1,2+2e B .⎝ ⎛⎭⎪⎫2,2+2eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫1,1+1e D .⎝ ⎛⎭⎪⎫2,2+1e答案 B解析 当x <0时,f (x )为增函数,当x ≥0时,f ′(x )=e x -1+ax -a -1, f ′(x )为增函数,令f ′(x )=0,解得x =1,故函数f (x )在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,最小值为f (1)=0. 由此画出函数f (x )的大致图象如图所示.令t =-f (x ),因为f (x )≥0,所以t ≤0, 则有⎩⎪⎨⎪⎧f (t )=e -a+a 2,f (t )=e t -1+a 2,解得-a =t -1,所以t =-a +1,所以f (x )=a -1. 所以方程要有三个不同的实数根, 则需a 2<a -1<1e +a2, 解得2<a <2e +2.12.已知△ABC 的顶点A ∈平面α,点B ,C 在平面α同侧,且AB =2,AC=3,若AB ,AC 与α所成的角分别为π3,π6,则线段BC 长度的取值范围为( )A .[2-3,1]B .[1,7]C .[7, 7+23]D .[1,7+23]答案 B解析 如图,过点B ,C 作平面的垂线,垂足分别为M ,N ,则四边形BMNC为直角梯形.在平面BMNC内,过C作CE⊥BM交BM于点E.又BM=AB·sin∠BAM=2sin π3=3,AM=2cosπ3=1,CN=AC·sin∠CAN=3sin π6=32,AN=3cosπ6=32,所以BE=BM-CN=32,故BC2=MN2+34.又AN-AM≤MN≤AM+AN,即12=AN-AM≤MN≤AM+AN=52,所以1≤BC2≤7,即1≤BC≤7,故选B.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(1,λ),b=(3,1),c=(1,2),若向量2a-b与c共线,则向量a在向量c方向上的投影为________.答案0解析向量2a-b=(-1,2λ-1),由2λ-1=-2,得λ=-12.∴向量a=⎝⎛⎭⎪⎫1,-12,∴向量a在向量c方向上的投影为|a|cos〈a,c〉=a·c|c|=1-2×125=0.14.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2ab sin C=3(b2+c2-a2),若a=13,c=3,则△ABC的面积为________.答案3 3解析 由题意得2ab sin C2bc =3·b 2+c 2-a 22bc , 即a sin Cc =3cos A ,由正弦定理得sin A =3cos A,所以tan A =3,A =π3.由余弦定理得13=32+b 2-2×3b cos π3,解得b =4,故面积为12bc sin A =12×4×3×32=3 3.15.已知点M 为单位圆x 2+y 2=1上的动点,点O 为坐标原点,点A 在直线x =2上,则AM →·AO →的最小值为________.答案 2解析 设A (2,t ),M (cos θ,sin θ),则AM→=(cos θ-2,sin θ-t ),AO →=(-2,-t ),所以AM →·AO →=4+t 2-2cos θ-t sin θ. 又(2cos θ+t sin θ)max =4+t 2, 故AM →·AO→≥4+t 2-4+t 2. 令s =4+t 2,则s ≥2,又4+t 2-4+t 2=s 2-s ≥2, 当s =2,即t =0时等号成立,故(AM →·AO →)min=2. 16.已知函数f (x )=x 2-2mx +m +2,g (x )=mx -m ,若存在实数x 0∈R ,使得f (x 0)<0且g (x 0)<0同时成立,则实数m 的取值范围是________.答案 (3,+∞)解析 当m >0,x <1时,g (x )<0, 所以f (x )<0在(-∞,1)上有解,则⎩⎨⎧f (1)<0,m >0或⎩⎨⎧m >0,Δ>0,f (1)≥0,m <1,即m >3或⎩⎨⎧m >0,m 2-m -2>0,3-m ≥0,m <1,故m >3.当m <0,x >1时,g (x )<0, 所以f (x )<0在(1,+∞)上有解, 所以⎩⎨⎧f (1)<0,m <0,此不等式组无解.综上,m 的取值范围为(3,+∞).三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数f (x )=cos x (3sin x -cos x )+12.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值;(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,不等式c <f (x )<c +2恒成立,求实数c 的取值范围.解 (1)f (x )=3sin x cos x -cos 2x +12=32sin2x -12cos2x =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=1.(2)因为0≤x ≤π2,所以-π6≤2x -π6≤5π6,所以-12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6≤1.由不等式c <f (x )<c +2恒成立,得⎩⎪⎨⎪⎧c <-12,c +2>1,解得-1<c <-12.所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-12. 18.(本小题满分12分)如图,在△BCD 中,∠BCD =90°,BC =CD =1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且AEAC=AFAD=λ(0<λ<1).(1)求证:无论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;(2)是否存在实数λ,使得平面BEF⊥平面ACD.解(1)证明:∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.∵CD⊥BC,AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC=AFAD=λ(0<λ<1),∴无论λ为何值,恒有EF∥CD,∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF,∴无论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC.(2)假设存在λ,使得平面BEF⊥平面ACD.由(1)知BE⊥EF,∵平面BEF⊥平面ACD,平面BEF∩平面ACD=EF,BE⊂平面BEF,∴BE⊥平面ACD.又∵AC⊂平面ACD,∴BE⊥AC.∵BC=CD=1,∠BCD=∠ABD=90°,∠ADB=60°,∴BD=2,∴AB=2tan60°=6,∴AC=AB2+BC2=7.由Rt△AEB∽Rt△ABC,得AB2=AE·AC,∴AE=67,∴λ=AEAC=67.故当λ=67时,平面BEF⊥平面ACD.19.(本小题满分12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附:74≈8.602.解(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14+7100=0.21.产值负增长的企业频率为2100=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)y-=1100×(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,s2=1100i=15n i(y i-y-)2=1100×[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.0296,s=0.0296=0.02×74≈0.17.所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.20.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知|DF1|=5 2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求点E 的坐标.解 (1)设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1,0),F 2(1,0),所以|F 1F 2|=2,c =1.又因为|DF 1|=52,AF 2⊥x 轴,所以|DF 2|=|DF 1|2-|F 1F 2|2=⎝ ⎛⎭⎪⎫522-22=32, 因此2a =|DF 1|+|DF 2|=4,从而a =2.由b 2=a 2-c 2,得b 2=3.因此,椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1. (2)解法一:由(1)知,椭圆C :x 24+y 23=1,a =2,因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1)2+y 2=16,解得y =±4.因为点A 在x 轴上方,所以A (1,4).又F 1(-1,0),所以直线AF 1:y =2x +2.由⎩⎨⎧y =2x +2,(x -1)2+y 2=16,得5x 2+6x -11=0, 解得x =1或x =-115.将x =-115代入y =2x +2,得y =-125,因此B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-115,-125.又F 2(1,0),所以直线BF 2:y =34(x -1).由⎩⎪⎨⎪⎧ y =34(x -1),x 24+y 23=1,得7x 2-6x -13=0,解得x =-1或x =137.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以x =-1.将x =-1代入y =34(x -1),得y =-32.因此E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-32. 解法二:由(1)知,椭圆C :x 24+y 23=1.如图,连接EF 1.因为|BF 2|=2a ,|EF 1|+|EF 2|=2a ,所以|EF 1|=|EB |,从而∠BF 1E =∠B .因为|F 2A |=|F 2B |,所以∠A =∠B ,所以∠A =∠BF 1E ,从而EF 1∥F 2A .因为AF 2⊥x 轴,所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1,0),由⎩⎪⎨⎪⎧ x =-1,x 24+y 23=1,得y =±32.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以y =-32.因此E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-32.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=ln x -x e x +ax (a ∈R ).(1)若函数f (x )在[1,+∞)上单调递减,求实数a 的取值范围;(2)若a =1,求f (x )的最大值.解 (1)由题意知,f ′(x )=1x -(e x +x e x )+a =1x -(x +1)e x +a ≤0在[1,+∞)上恒成立,所以a ≤(x +1)e x -1x 在[1,+∞)上恒成立.令g (x )=(x +1)e x -1x ,则g ′(x )=(x +2)e x +1x 2>0, 所以g (x )在[1,+∞)上单调递增,所以g (x )min =g (1)=2e -1,所以a ≤2e -1.(2)当a =1时,f (x )=ln x -x e x +x (x >0).则f ′(x )=1x -(x +1)e x +1=(x +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -e x , 令m (x )=1x -e x ,则m ′(x )=-1x 2-e x <0,所以m (x )在(0,+∞)上单调递减.由于m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0,m (1)<0,所以存在x 0>0满足m (x 0)=0,即e x 0=1x 0. 当x ∈(0,x 0)时,m (x )>0,f ′(x )>0;当x ∈(x 0,+∞)时,m (x )<0,f ′(x )<0. 所以f (x )在(0,x 0)上单调递增,在(x 0,+∞)上单调递减.所以f (x )max =f (x 0)=ln x 0-x 0e x 0+x 0,因为e x 0=1x 0,所以x 0=-ln x 0, 所以f (x 0)=-x 0-1+x 0=-1,所以f (x )max =-1.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =2t ,y =2+t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=8sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程,并指出该曲线是什么曲线;(2)若直线l 与曲线C 的交点分别为M ,N ,求|MN |.解 (1)因为ρcos 2θ=8sin θ,所以ρ2cos 2θ=8ρsin θ,即x 2=8y ,所以曲线C 表示焦点坐标为(0,2),对称轴为y 轴的抛物线.(2)设点M (x 1,y 1),点N (x 2,y 2),直线l 过抛物线的焦点(0,2),则直线的参数方程⎩⎨⎧x =2t ,y =2+t化为一般方程为y =12x +2,代入曲线C 的直角坐标方程,得x 2-4x -16=0,所以x 1+x 2=4,x 1x 2=-16,所以|MN |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2 =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫122·(x 1-x 2)2 =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫122·(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫122·42-4×(-16)=10. 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f (x )=|x +4|,不等式f (x )>8-|2x -2|的解集为M .(1)求M ;(2)设a ,b ∈M ,证明:f (ab )>f (2a )-f (-2b ).解 (1)将f (x )=|x +4|代入不等式,整理得|x +4|+|2x -2|>8.①当x ≤-4时,不等式转化为-x -4-2x +2>8,解得x <-103,所以x ≤-4;②当-4<x <1时,不等式转化为x +4+2-2x >8,解得x <-2,所以-4<x <-2;③当x ≥1时,不等式转化为x +4+2x -2>8,解得x >2,所以x >2.综上,M ={x |x <-2或x >2}.(2)证明:因为f (2a )-f (-2b )=|2a +4|-|-2b +4|≤|2a +4+2b -4|=|2a +2b |, 所以要证f (ab )>f (2a )-f (-2b ),只需证|ab +4|>|2a +2b |,即证(ab +4)2>(2a +2b )2,即证a2b2+8ab+16>4a2+8ab+4b2,即证a2b2-4a2-4b2+16>0,即证(a2-4)(b2-4)>0,因为a,b∈M,所以a2>4,b2>4,所以(a2-4)(b2-4)>0成立,所以原不等式成立.。