【创新方案】(浙江专版)高考数学一轮复习 8.7 抛 物 线限时集训 理

小题专项集训?十?　直线与圆(建议用时：40分钟　分值：75分) 1．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )． A．1 B. C. D．2 解析　直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0间的距离d＝＝，故应选B. 答案　B 2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是( )． A．D＋E＝2 B．D＋E＝1 C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2 解析　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，－－＝1，即D＋E＝－2，故应选D. 答案　D 3．(2012·济南二模)直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k＝( )． A．－3或－1 B．3或1 C．－3或1 D．－1或3 解析　l1l2?k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0(1－k)(k＋3)＝0k＝1或k＝－3. 答案　C 4．圆x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为( )． A．2x－y－5＝0 B．x－2y－1＝0 C．x－y－2＝0 D．x＋y－4＝0 解析　由已知条件可得32＋12－3a＋2＝0，解得a＝4，此时圆x2＋y2－4x＋2＝0的圆心为C(2,0)，半径为，则直线l的方程为y－1＝－(x－3)＝－x＋3，即得x＋y－4＝0，故应选D. 答案　D 5．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )． A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析　依题意得圆心坐标是(0,2)，因此所求圆的方程是x2＋(y－2)2＝1，选A. 答案　A 6．(2012·乌鲁木齐三模)在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( )． A. B. C. D. 解析　易知圆的圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，倾斜角是. 答案　B 7．(2013·安徽省江南十校联考)若点P(1,1)为圆C：(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )． A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0 解析　易知圆的圆心为C(3,0)；据圆的垂径定理知MNPC.∵kPC＝－，kMN＝2.直线MN方程为：y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 答案　D 8．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )． A．30 B．18 C．6 D．5 解析　由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3.则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为：＋3＝5＋3，最小距离为：5－3，故最大距离与最小距离的差为6. 答案　C 9．(2012·宁德模拟)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是( )． A．4 B．2 C. D. 解析　圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，由直线被圆截得的弦长为4可知直线通过圆心，即2a·(－1)－b·2＋2＝0，即a＋b＝1，故＋＝(a＋b)·＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立． 答案　A 10．(2013·豫东、豫北十所名校联考)圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )． A．(x－2)2＋2＝9 B．(x－3)2＋(y－1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－3)2＝2 D．(x－)2＋(y－)2＝9 解析　设所求圆的圆心坐标是(a>0)，则点(a>0)到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝＝≥＝3，当且仅当3a＝，即a＝2时取等号，因此所求圆的圆心坐标是，半径是3，所求圆的方程为(x－2)2＋2＝9，选A. 答案　A 11．(2013·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________． 解析　分两种情况：(1)直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；(2)l不过原点时，设方程为＋＝1，将x＝－2，y＝3代入得a＝1，直线方程为x＋y＝1.综上：l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0. 答案　x＋y－1＝0或3x＋2y＝0 12．(2012·长春一模)已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是________． 解析　l1∥l2，可设直线l1：3x＋4y＋b＝0. l1与圆x2＋(y＋1)2＝1相切，＝1， b＝9或b＝－1， l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0. 答案　3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0 13．过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是________． 解析　易知PA的斜率kPA＝＝－1，PB的斜率kPB＝＝1，又直线l与线段AB没有公共点． 直线l的斜率k的取值范围为k1， 结合正切函数图象得倾斜角的范围是. 答案 14．过点M的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为________． 解析　由题意得，当CMAB时，ACB最小，从而直线方程y－1＝－，即2x－4y＋3＝0. 答案　2x－4y＋3＝0 15．(2013·苏州一模)过直线y＝2x上一点P作圆C：(x－8)2＋(y－1)2＝2的切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为________． 解析 如图，据题意， 1＝2，3＝4； 1＋2＋3＋4＝180°， 2∠2＋23＝180°， 2＋3＝90°， CP⊥l.∴P到圆心C的距离等于C到l的距离d＝＝3. 答案　3。

第七节 抛 物 线[通盘巩固]1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，那么实数a ＝( )C ．－12D ．－32 解析：选D 把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，那么p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，那么12－a 2＝1，解得a ＝－32. 2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，假设|AB |＝4，那么弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )B ．2 C.94D ．4 解析：选C 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的核心⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，那么弦AB 的中点的横坐标是74，因此弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94. 3．(2021·江西高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的核心为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，那么|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：选C FA ：y ＝－12x ＋1，与x 2＝4y 联立，得x M ＝5－1，FA ：y ＝－12x ＋1，与y ＝－1联立，得N (4，－1)，由三角形相似知|FM ||MN |＝x M 4－x M ＝15. 4．设F 为抛物线y 2＝4x 的核心，A ，B ，C 为该抛物线上三点，假设FA ＋FB ＋FC ＝0，那么|FA |＋|FB |＋|FC |＝( )A ．9B ．6C ．4D ．3解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)，由FA＋FB＋FC＝0知，(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，|FA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6. 5．已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，那么点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：选A 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因此点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，因此点P 的轨迹是抛物线．6．(2021·新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的核心，P 为C 上一点，假设|PF |＝42，那么△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C 设P (x 0，y 0)，依照抛物线概念得|PF |＝x 0＋2，因此x 0＝32， 代入抛物线方程求得y 2＝24，解得|y |＝26， 因此△POF 的面积等于12·|OF |·|y |＝12×2×26＝2 3. 7．(2021·北京高考)假设抛物线y 2＝2px 的核心坐标为(1,0)，那么p ＝________，准线方程为________．解析：∵抛物线y 2＝2px 的核心坐标为(1,0)，∴p2＝1，解得p ＝2，∴准线方程为x ＝－1.答案：2 x ＝－18．(2021·丽水模拟)设Q 为圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0上任意一点，抛物线y 2＝8x 的准线为l .假设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，那么m ＋|PQ |的最小值为________．解析：如图由抛物线概念可得，点P 到准线的距离等于其到核心F 的距离，故问题转化为点P到核心的距离与到圆上点的距离之和的最小值，由圆的知识可知当且仅当点P为圆心C和核心F的连线与抛物线的交点，Q取CF的连线与圆的交点时，距离之和取得最小值，即m＋|PQ|≥|CF|－r＝－3－22＋－4－02－2＝41－2.答案：41－2.9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 解析：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，那么Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，因此切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43. 答案：43 10．已知以向量v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12为方向向量的直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的极点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上．(1)求抛物线C 的方程；(2)设A ，B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，假设OA ·OB ＋p 2＝0(O 为原点，A ，B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程．解：(1)由题意可得直线l 的方程为y ＝12x ＋54，① 过原点垂直于l 的直线方程为y ＝－2x .②解①②得x ＝－12. ∵抛物线的极点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上，∴－p 2＝－12×2，p ＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，由题意知y0＝y1.由OA·OB＋p2＝0，得x1x2＋y1y2＋4＝0，又y21＝4x1，y22＝4x2，解得y1y2＝－8，③直线ON ：y ＝y 2x 2x ，即y 0＝4y 2x 0.④ 由③④及y 0＝y 1得点N 的轨迹方程为x ＝－2(y ≠0)．11．已知定点A (1,0)和直线x ＝－1上的两个动点E ，F ，且AE ⊥AF ，动点P 知足EP ∥OA ，FO ∥OP (其中O 为坐标原点)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，假设AM ·AN <0，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设P (x ，y )，E (－1，y E )，F (－1，y F )，∵AE ·AF ＝(－2，y E )·(－2，y F )＝y E ·y F ＋4＝0，∴y E ·y F ＝－4，①又EP ＝(x ＋1，y －y E )，FO ＝(1，－y F )，且EP ∥OA ，FO ∥OP ，∴y －y E ＝0且x (－y F )－y ＝0，∴y E ＝y ，y F ＝－yx， 代入①得y 2＝4x (x ≠0)，∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)．(2)设l ：y －2＝kx (易知k 存在，且k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋8＝0， Δ＝42－32k >0，即k <12. 令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝8k，AM·AN＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝y21·y2216－y21＋y224＋1＋y1y2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 242－y 1＋y 224＋32y 1y 2＋1 ＝12k＋1<0， ∴－12<k <0，故实数k 的取值范围为(－12,0)．12．(2021·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是不是为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离．点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为核心，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20， 那么|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，因为点M 在曲线C 上，因此x 0＝y 202， 因此|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．[冲击名校]已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且知足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)假设直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，那么点Q 的坐标为(x ，－2)． ∵OP ⊥OQ ，∴当x ＝0时，P ，O ，Q 三点共线，不符合题意，故x ≠0. 当x ≠0时，得k OP ·k OQ ＝－1，即y x ·－2x ＝－1，化简得x 2＝2y ，∴曲线C 的方程为x 2＝2y (x ≠0)．(2)∵直线l 2与曲线C 相切，∴直线l 2的斜率存在．设直线l 2的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，x 2＝2y ，得x 2－2kx －2b ＝0. ∵直线l 2与曲线C 相切，∴Δ＝4k 2＋8b ＝0，即b ＝－k 22. 点(0,2)到直线l 2的距离d ＝|－2＋b |k 2＋1＝12·k 2＋4k 2＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k 2＋1＋3k 2＋1 ≥12×2k 2＋1·3k 2＋1＝ 3. 当且仅当k 2＋1＝3k 2＋1，即k ＝±2时，等号成立．现在b ＝－1.∴直线l 2的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0.[高频转动] 1．(2021·宜宾模拟)已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P知足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( ) D ．2解析：选A 由已知可得c ＝2，a ＝1，∴b ＝1.∴双曲线方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)．将y ＝12代入，可得点P 的横坐标为x ＝－52. ∴点P 到原点的距离为 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝62. 2．(2021·上海模拟)已知双曲线x 26－y 23＝1的左，右核心别离为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴，那么F 1到直线F 2M 的距离为________． 解析：由题意知F 1(－3,0)，设M (－3，y 0)，代入双曲线方程求得|y 0|＝62，即|MF 1|＝62.又|F 1F 2|＝6，利用直角三角形性质及数形结合得F 1到直线F 2M 的距离为d ＝|MF 1|·|F 1F 2||MF 1|2＋|F 1F 2|2＝62×664＋36＝65. 答案：65。

限时集训(五十) 椭 圆(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2012·某某高考)对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．43．已知椭圆：x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．以上均不对4．(2013·某某模拟)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，它的一个顶点为M (0,1)，离心率e ＝63，则椭圆的方程为( ) A.x 33＋y 22＝1 B.x 25＋y 23＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 23＋y 2＝15．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 36．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M 、N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．157．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．相离D ．无法确定8．(2012·新课标全国卷)设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2013·某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．10．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2恒有公共点，则椭圆的离心率e 的取值X 围是________．11．一个正方形内接于椭圆，并有两边垂直于椭圆长轴且分别经过它的焦点，则椭圆的离心率为________．12．(2012·某某高考)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．13．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A ―→＝5F 2B ―→，则点A 的坐标是 .14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点．若AF ＝3FB ，则k ＝________.三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．16．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．17．(2012·某某高考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．答 案[限时集训(五十)]1．B 2.B 3.C 4.D 5.D 6.B 7.A8．C9．解析：根据椭圆的焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵e ＝22，∴c a ＝22，根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1. 答案：x 216＋y 28＝110．解析：由题意知，以半焦距c 为半径的圆与椭圆有公共点， 故b ≤c ，所以b 2≤c 2，即a 2≤2c 2， 所以22≤c a .又ca <1， 所以22≤e <1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 11．解析：设椭圆的焦距为2c ， 则2a ＝(5＋1)c ，∴e ＝25＋1＝5－12. 答案：5－1212．解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|BF 1|，即4c 2＝(a －c )·(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，得e ＝c a ＝55. 答案：5513．解析：根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左，右焦点，其坐标分别为(－2，0)，(2，0)，可得1F A ＝(m ＋2，n )，2F B ＝(c －2，d )．∵1F A ＝52F B ，∴c ＝m ＋625，d ＝n5.∵点A ，B 都在椭圆上，∴m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 52＝ 1．解得m ＝0，n ＝±1，故点A 的坐标为(0，±1)． 答案：(0，±1)14．解析：根据已知c a ＝32，可得a 2＝43c 2，则b 2＝13c 2，故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2＝0.设直线的方程为x ＝my ＋c ，代入椭圆方程得(3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据AF ＝3FB ，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，由此得－y 1＝3y 2，根据韦达定理y 1＋y 2＝－2cmm 2＋4，y 1y 2＝－c 23m 2＋4，把－y 1＝3y 2代入得，y 2＝cmm 2＋4，－3y 22＝－c 23m 2＋4，故9m 2＝m 2＋4，故m 2＝12，从而k 2＝2，k ＝± 2.又k >0，故k ＝ 2. 答案： 215．解：设两焦点为F 1、F 2，且|PF 1|＝453，|PF 2|＝253.由椭圆定义知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝ 5. 由|PF 1|>|PF 2|知，|PF 2|垂直焦点所在的对称轴， 所以在Rt △PF 2F 1中，sin ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12.可求出∠PF 1F 2＝π6，2c ＝|PF 1|·cos π6＝253，从而b 2＝a 2－c 2＝103.所以所求椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y25＝1.16．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23， 又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m4，y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322， 所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.17．解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt△AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根， 因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5， 又2B P ＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)，所以2B P ·2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得2B P ·2B Q ＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.。

小题专项集训(四)　三角函数、解三角形(建议用时：40分钟　分值：75分)1．计算sin 68°sin 67°－sin23°cos 68°的值为( )． A．－ B. C. D．1 解析　原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝. 答案　B 2．函数y＝2cos2－1是( )． A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 解析　因为y＝2cos2－1＝cos＝sin 2x，故T＝π，选A. 答案　A 3．(2013·湖北八校联考)在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于( )． A．135° B．105° C．45° D．75° 解析　由正弦定理知＝，即＝，所以sin A＝，又由题知0°0，故ω＝＝，排除选项C，D；又因为函数图象过点，代入验证可知只有选项B满足条件． 答案　B 5．(2013·衡阳六校联考)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )． A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin|x| 解析　注意到函数y＝sin的最小正周期T＝＝π，当x＝时，y＝sin＝1，因此该函数同时具有性质①②. 答案　B 6．(2013·浙江五校联考)若△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，则b＝( )． A．5 B．25 C. D．5 解析　由S△ABC＝acsin 45°＝2，得c＝4. 所以b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝1＋32－2×1×4×＝25.∴b＝5. 答案　A 7．(2012·广州调研)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，给出下面四个命题： ①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝对称；④函数f(x)在区间上是增函数．其中正确命题的个数是( )． A．1 B．2 C．3 D．4 解析　函数f(x)＝sin＝－cos 2x，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由f(x)＝－cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，③错误；由f(x)的图象易知函数f(x)在上是增函数，故④正确．综上可知，选C. 答案　C 8．(2013·泉州质检)△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos C，bcos B，ccos A成等差数列，则角B等于( )． A．30° B．60° C．90° D．120° 解析　依题意得acos C＋ccos A＝2bcos B，根据正弦定理得sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B，则sin(A＋C)＝2sin Bcos B，即sin B＝2sin Bcos B，所以cos B＝，又0°<B0)图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点，若·＝0，则ω＝( )． A．8 B. C. D. 解析　依题意得PM＝PN，PM⊥PN，所以△PMN是等腰直角三角形，又斜边MN上的高为2，因此有MN＝4，即该函数的最小正周期的一半为4，所以＝8，ω＝，选C. 答案　C 11．(2012·济南模拟)已知sin x＝，x∈，则tan＝________. 解析　∵sin x＝，x∈，∴cos x＝－＝－，∴tan x＝－. ∴tan＝＝＝－3. 答案　－3 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝(b2＋c2－a2)，则A＝________. 解析　S＝×2bccos A＝bcsin A?tan A＝1A＝. 答案 13．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最大值是________． 解析　f(x)＝＋sin 2x＝＋sin，当x∈时，2x－∈，sin∈，所以f(x)max＝＋1＝. 答案 14．(2013·九江调研)若将函数y＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则ω的最小值为________． 解析　依题意，将函数y＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是y＝sin(ω>0)，它的图象与函数y＝sinωx＋的图象重合，所以－ω＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－6k(k∈Z)．因为ω>0，所以ωmin＝. 答案 15．给出下列命题： ①存在实数x，使得sin x＋cos x＝；②若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β；③函数y＝sin的最小正周期为5π；④函数y＝cos是奇函数；⑤函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin的图象． 其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上)． 解析　对于①，因为sin x＋cos x＝sin∈[－，]，而>，因此不存在实数x，使得sin x＋cos x＝，故①不正确；对于②，取α＝30°＋360°，β＝30°，则tan α＝tan β，因此②不正确；对于③，函数y＝sin的最小正周期是T＝＝5π，因此③正确；对于④，令f(x)＝ cos＝sin ，显然f(－x)＝－f(x)，即原函数为奇函数，因此④正确；对于⑤，函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④. 答案　③④。

基础稳固题组(建议用时： 45 分钟 )一、选择题1.点 M(5 ， 3)到抛物线 26，那么抛物线的方程是 ()y ＝ax (a ≠ 的0)准线的距离为A.y ＝ 12x 2B.y ＝ 12x 2 或 y ＝－ 36x 2C.y ＝－ 36x2D.y ＝ 1x 2或 y ＝－ 1x 21236分析分两类 a>0， a<0 可得 y ＝ 121212 x ， y ＝－ 36 x .答案D2.O 为坐标原点， F 为抛物线 C ：y 2 ＝4 2x 的焦点， P 为 C 上一点，若 |PF|＝ 4 2，则 △ POF的面积为 ()A.2B.2 2C.2 3D.4分析设 P(x 0， y 0)，则 |PF|＝ x 0＋ 2＝ 4 2，∴ x 0＝ 3 2，∴ y 20＝ 4 2x 0＝ 4 2× 3 2＝ 24，∴ |y 0|＝ 2 6.由 y 2＝ 4 2x ，知焦点 F( 2， 0)，1 1∴ S △ POF ＝ 2|OF|· |y 0|＝ 2× 2× 2 6＝ 2 3. 答案 C3.(2015 浙·江卷 )如图，设抛物线 y 2＝ 4x 的焦点为 F ，不经过焦点的直线上 有三个不一样的点 A ，B ，C ，此中点 A ，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上， 则 △BCF 与 △ ACF 的面积之比是 ()|BF|－ 1 |BF| 2－ 1A.|AF|－ 1 B.|AF|2 － 1 |BF|＋ 1 |BF|2＋ 1 C.|AF|＋ 1D.|AF|2 ＋1分析 过 A ， B 点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 M ， N ，则 |AM| ＝ |AF|－ 1， |BN|＝ |BF|－ 1.可知S△BCF ＝ 1·|CB|· |CF|· sin ∠ BCF|CB|＝ |BN| ＝ |BF|－ 1，应选 A.2＝ S △ACF1· |CA|· |CF|· sin ∠ BCF |CA| |AM| |AF| －12答案 A4.已知点 A( － 2，3)在抛物线 2A 的直线与 C 在第一象限相C ： y ＝ 2px(p ＞ 0)的准线上，过点 切于点 B ，记 C 的焦点为 F ，则直线 BF 的斜率为 ()1234A. 2B.3C.4D.3分析∵A( － 2，3)在抛物线y2＝ 2px 的准线上，∴－p＝－ 2，∴ p＝ 4，∴ y2＝ 8x，设直线 AB 的方程为x＝ m(y － 3)－ 2①，将①与y2＝ 8x 2x＝ m（ y－ 3）－ 2，得 y2－ 8my＋ 24m＋ 16＝ 0②，联立，即y2＝ 8x，24(24m＋ 16)＝0，即 2m2－ 3m－ 2＝ 0，解得 m＝2 或 m＝－1则＝ (－ 8m) －(舍去 )，将 m2x＝ 8，＝ 2 代入①②解得即 B(8 ， 8)，又 F(2， 0)，∴ k BF＝8－0＝4，应选 D.y＝ 8，8－ 23答案 D5.(2016 哈·尔滨、长春、沈阳、大连四市联考 )已知抛物线 C：y2＝ 4x的焦点为 F，直线 y＝ 3→→)(x－ 1)与 C 交于 A ， B(A 在 x 轴上方 )两点 .若 AF ＝ mFB，则实数 m 的值为 (3A. 3B.2C.2D.3分析联立抛物线与直线方程得，y＝3（ x－ 1），解得x＝3，x＝1，∵所给直线经y2＝ 4x ，A B3过抛物线的焦点F，且其准线为x＝－ 1，∴ A 点到准线的距离为4， B 点到准线的距离为4，据抛物线定义可有 |AF|＝ 3|FB|，联合已知条件→→3AF ＝ mFB可得， m＝ 3.应选 D.答案 D二、填空题6.已知抛物线 y2＝ 2px(p ＞0) ，过其焦点且斜率为 1的直线交抛物线于A、 B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程________.分析∵ y2＝ 2px 的焦点坐标为p，0 ，2∴过焦点且斜率为 1 的直线方程为y＝ x－p ，2即 x＝ y＋p2，将其代入 y2＝ 2px ，得 y2＝ 2py ＋ p2，即 y2－ 2py － p2＝ 0.设 A(x 1， y1)， B(x 2， y2)，则 y1＋ y2＝ 2p，∴y1＋y2＝ p＝2， 2∴抛物线的方程为 y2＝ 4x，其准线方程为 x＝－ 1.答案 x＝－ 17.已知抛物线 C： y2＝ 2px(p ＞ 0)的准线为 l，过 M(1 ，0) 且斜率为3的直线与 l 订交于点 A ，与 C 的一个交点为→→B，若 AM＝ MB ，则 p＝________.分析如图，由 AB 的斜率为3，→→知α＝60°，又 AM ＝ MB ，∴M为AB 的中点.过点 B 作 BP 垂直准线l 于点 P，则∠ ABP ＝ 60°，∴∠ BAP ＝ 30° .∴|BP|＝12|AB |＝ |BM |.∴M 为焦点，即p2＝ 1，∴ p＝ 2.答案28.(2016 沈·阳质量监测 )已知抛物线y2＝ 2px(p＞ 0)的焦点为 F，△ ABC 的极点都在抛物线上，→ →→1＋1＋1＝________.且知足 FA＋ FB＋ FC＝ 0，则k CAk AB k BCp p p分析设点 A(x 1， y1)， B(x2， y2)， C(x 3， y3)， F2， 0，则 x1－2， y1＋ x2－2， y2＋x3－p， y3＝ (0， 0)，故 y ＋ y ＋ y ＝ 0.21231（ y2－ y2）1x2－ x12p21y2＋ y11y3＋ y21y3＋ y1由于k AB ＝y2－ y1＝y2－ y1＝2p，同理可知k BC＝2p，k CA＝2p，因此原式＝2（y1＋ y2＋ y3）＝ 0.2p答案0三、解答题y2x22＝ 2py(p>0)的焦点在双2－4＝ 1(a>0)的离心率为5，抛物线 C：x9.(2016 湛·江质检 )双曲线a曲线的极点上.(1)求抛物线 C 的方程；(2)过 M( －1，0)的直线 l 与抛物线 C 交于 E，F 两点，又过 E，F 作抛物线 C 的切线 l1，l 2，当 l1⊥l 2时，求直线 l 的方程 .【创新设计】高考数学(浙江版,文理通用)一轮复习练习：9.7抛物线(含答案分析)4解(1)双曲线的离心率e＝1＋a2＝5，又 a>0，∴ a＝ 1，双曲线的极点为 (0， 1)，又 p>0 ，∴抛物线的焦点为 (0， 1)，∴抛物线方程为 x2＝ 4y.(2)由题知，直线 l 的斜率必存在，设直线 l的方程为 y＝ k(x ＋ 1)， E(x 1， y1)， F(x2， y2 )，∵ y＝12，∴ y′＝14x x，2∴切线 l 1， l2的斜率分别为x1，x2，22当 l1⊥l 2时，x1·x2＝－ 1，∴ x1x2＝－ 4，22y＝ k（ x＋ 1），得 x2－ 4kx－ 4k＝ 0，由2＝ 4yx∴＝ (－ 4k) 2－ 4(－ 4k)>0，∴ k< －1 或 k>0.①由根与系数的关系得， x1· x2＝－ 4k＝－ 4，∴ k＝ 1，知足①，即直线的方程为x－ y＋ 1＝0.y2x210.(2014 陕·西卷 ) 如图，曲线 C 由上半椭圆 C1：a2＋b2＝ 1(a>b>0 ， y≥ 0)和部分抛物线C2： y＝－ x2＋1(y ≤0)连结而成， C1与 C2的公共点为 A ，3B ，此中 C1的离心率为 2 .(1)求 a， b 的值；(2)过点 B 的直线 l 与 C1， C2分别交于点 P，Q(均异于点 A ， B)，若 AP ⊥ AQ ，求直线 l的方程 .解(1)在 C1，C2的方程中，令y＝ 0，可得 b＝ 1，且 A( － 1， 0)， B(1， 0)是上半椭圆C1的左、右极点.设 C1的半焦距为c，由 c＝a3及2a2－ c2＝ b2＝ 1 得a＝2.∴a＝ 2，b＝ 1.2(2)由(1) 知，上半椭圆 C1的方程为y4＋ x2＝ 1(y ≥0).易知，直线l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为y＝ k(x －1)(k ≠0)，代入 C1的方程，整理得(k2＋ 4)x2－ 2k2x＋k2－ 4＝ 0.(*)设点 P 的坐标为 (x P ， y P )，∵直线 l 过点 B ，∴ x ＝ 1 是方程 (*) 的一个根 .由求根公式，得k 2－ 4－ 8k ，x P ＝2＋ 4，进而 y P ＝ 2k k ＋ 4∴点 P 的坐标为k 2－ 4 － 8k k 2＋ 4， k 2＋4 .同理，由y ＝ k （ x － 1）（ k ≠0），y ＝－ x 2＋ 1（ y ≤0）得点 Q 的坐标为 (－ k － 1，－ k 2－ 2k).→2k→∴AP ＝ 2(k ，－ 4)， AQ ＝－ k(1 ， k ＋ 2).k ＋ 4→→－ 2k 2∵ AP ⊥ AQ ，∴ AP · AQ ＝ 0，即 k 2＋ 4[k － 4(k ＋ 2)] ＝0，8∵ k ≠ 0，∴ k － 4(k ＋ 2)＝0，解得 k ＝－ .3经查验， k ＝－8切合题意，故直线 l 的方程为 y ＝－ 8(x － 1).33能力提高题组(建议用时：25分钟)11.(2016 哈·尔滨一模 ) 已知抛物线 C ： y 2＝ 8x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点， Q 是直→ →线 PF 与 C 的一个交点，若 PF ＝ 3QF ，则 |QF|＝ ()5 8A. 2B.3C.3D.6分析设 Q 在 x 轴上方且到准线→ →l 的距离为 d ，则 |QF|＝ d.∵ PF ＝ 3QF ，∴ |PQ|＝ 2d ，∴直（ 2d ） 2－ d 2线 PF 的斜率为－ ＝－ 3.又 F(2， 0)，∴直线 PF 的方程为 y ＝－ 3(x － 2)，d与 y 2＝ 8x 联立可解得 x ＝ 2或 x ＝ 6(舍去 ).3 故 d ＝ 2－ ( －2)＝ 8.故3 3选 B.答案B12.已知 F 为抛物线2→ →其y ＝ x 的焦点，点 A ，B 在该抛物线上且位于 x 轴的双侧， OA ·OB ＝ 2( 中 O 为坐标原点 )，则 △ABO 与△ AFO 面积之和的最小值是 ()17 2A.2B.3C. 8D. 10分析→如图，可设 A(m 2，m) ，B(n 2， n)，此中 m＞ 0， n＜ 0，则 OA ＝2→2→ → 2 2，解得mn＝ 1( 舍 ) (m， m) ， OB ＝ (n， n)， OA · OB ＝ m n ＋ mn＝ 2或 mn＝－ 2.∴l AB：(m2－n2 )(y－ n)＝ (m－ n)(x － n2)，即 (m ＋ n)(y － n)＝ x－ n2，令 y ＝0，解得 x＝－ mn＝2，∴ C(2， 0).△＝ S△＋ S△＝1× 2× m＋1× 2× (－ n)＝ m－ n，S△＝1×1× m＝1△S AOB AOC BOC22AOF248m，则 S AOB＋ S△AOF＝ m－ n＋1m＝9m－ n＝9m＋2≥ 29m·2＝ 3，当且仅当9m＝2，即 m＝4时等888m8m8m3号建立 .故△ ABO 与△ AFO 面积之和的最小值为 3.答案B13.已知抛物线 C： y2＝ 8x 与点 M( － 2，2)，过 C 的焦点且斜率为k 的直线与 C 交于 A 、 B→→两点 .若 MA· MB ＝ 0，则 k＝ ________.分析抛物线 C 的焦点为 F(2，0)，则直线方程为y＝ k(x － 2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得 k2x2－ (4k 2＋ 8)x ＋ 4k2＝0.设点 A(x 1， y1)， B(x 2， y2).则 x1＋ x2＝ 4＋k 82， x1x2＝ 4.8因此 y1＋ y2＝ k(x 1＋ x2)－ 4k＝k，y1y2＝ k2[x 1x2－ 2(x1＋ x2)＋4]＝－ 16.→→由于 MA ·MB ＝(x 1＋ 2，y1－ 2) ·(x2＋ 2，y2－ 2) ＝(x 1＋ 2)(x 2＋ 2)＋ (y1－ 2)(y 2－ 2)＝ x1x2＋ 2(x1＋x2)＋ y1 y2－ 2(y1＋ y2)＋ 8＝0，将上边各个量代入，化简得k2－ 4k＋4＝ 0，因此 k＝ 2.答案214.(2015 东·北三校二模)设 F 是抛物线C：y2＝4x 的焦点 .P 是 C 上一点，斜率为－ 1 的直线 l 交 C 于不一样两点 A ， B(l 可是 P 点 )，且△PAB 的重心的纵坐标为－23.(1)记直线 PA，PB 的斜率分别为k1， k2，求 k1＋ k2的值；(2)1＋1的最大值 .求|FA||FB|解(1)设直线l 的方程为y＝－ x＋ b，将它代入y2＝ 4x 得 x2－ 2(b＋ 2)x＋b2＝ 0，由题意得＝ 16(b＋ 1)＞0，设 A(x 1， y1)， B(x 2， y2)，则 x1＋ x2＝ 2(b＋ 2)， x1x2＝ b2， y1＋ y2＝－(x 1 ＋x 2 )＋ 2b ＝－ 2(b ＋ 2)＋2b ＝－ 4，2由于 △ PAB 的重心的纵坐标为－3.因此 y 1＋ y 2＋ y P ＝－ 2，因此 y P ＝ 2，因此 x P ＝ 1.因此 k ＋ k ＝y 1－ 2y 2－ 2＋12x 1－1 x 2－ 1（ y 1 －2）（ x 2－ 1）＋（ y 2－ 2）（ x 1 －1）＝（ x 1－ 1）（ x 2－ 1），又 (y 1－ 2)(x 2－1) ＋(y 2－ 2)(x 1－ 1)＝ [－ x 1＋ (b － 2)](x 2－1)＋ [ － x 2＋ (b － 2)](x 1 －1)＝－ 2x 1x 2＋ (b － 1)(x 1＋ x 2)－ 2(b － 2)＝－ 2b 2＋ 2(b － 1)(b ＋2)－ 2(b － 2)＝ 0.因此 k 1＋ k 2＝ 0.11 1 1x 1＋x 2＋22（ b ＋ 3）(2) |FA|＋ |FB|＝x 1＋ 1＋ x 2＋ 1＝ x 1x 2＋（ x 1＋ x 2 ）＋ 1＝ b 2＋ 2b ＋ 5 .由 ＝ 16(b ＋ 1) ＞0 得 b ＞－ 1，∵ l 可是 P 点，∴ b ≠ 3.令 t ＝ b ＋ 3，则 t ＞ 2 且 t ≠6.∴1＋1＝22t＝ 2 2t＝2 ≤2 ＝2＋ 1，当|FA||FB|（ t － 3） ＋ 2（ t － 3）＋ 5 t－ 4t ＋ 8t ＋8－ 4 2t ·2t 8－ 4t8，即 t ＝ 2 2时，1＋1取最大值，最大值为2＋ 1t ＝ t|FA| |FB|2.。

45分钟技能基础训练卷(八) (考查范围：第32讲～第35讲　分值：100分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)设a、b∈R，则“a>1且0<b0且成立的( )充分而不必要条件 必要而不充分条件充分且必要条件 既不充分也不必要条件不等式的解集是( )(1，＋∞) [1，＋∞)(－∞，0)∪[1，＋∞) (－∞，0)∪(1，＋∞)[2012·山东卷] 已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( ) B. C．[－1，6] 4．设a，b，c，d∈R，若a，1，b成等比数列，且c，1，d成等差数列，则下列不等式恒成立的是( )＋b≤2cd ．＋b≥2cd＋b|≤2cd ．＋b|≥2cd已知x>0，y>0，＋＝，则＋的最小值是( ) B．4 C．2＋＋2爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为v，下山的速度为v(v1≠v2)，乙上下山的速度都是(甲、乙两人中途不停歇)，则甲、乙两人上下山所用的时间t，t的关系为( )＝t不能确定实数对(x，y)满足不等式组若目标函数z＝kx－y在x＝3，y＝1时取最大值，则k的取值范围是( )∪[1，＋∞) C. D．(－∞，－1]设a＞b＞0，则a＋＋的最小值是( )二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)[2012·天津卷] 已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________． 图－1如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图－1中的阴影部分(包括边界)，则这个不等式组是________某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用(单位：万元)恰好为每次的购买________吨．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)已知关于x的不等式(a－4)x＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围．某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲乙两种产A、B、C的数量和一周内可用资源数量如下表所示： 原材料甲(吨)乙(吨)资源数量(吨)A1150如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？分钟技能基础训练卷(八)　[解析] 设“a>1且0<b0且成立；反之，不一定成立，如a＝4，b＝2，满足“a－b>0且，但b>1，故选　[解析] 原不等式可化为1－，即，解得x0，则c>0，d>0，cd≤＝1，即2cd≤2，故选　[解析] 由已知＋＝得＋3y＝，所以x＋3y＝1，所以＋＝(x＋3y)＝4＋＋＋，故选　[解析] 设从山下到山上的路程为x，甲上下山所用的时间t＝＋，乙上下山所用的时间t＝＝，则－t＝－＝＝，故选　[解析] 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示， 由方程组解得把目标函数z＝kx－y化为y＝kx－z，当直线y＝kx－z过点(3，1)时，直线在y轴上的截距－z最小，z取得最大值，由图可得，直线y＝kx－z的斜率k的最大值为1，最小值为－，即斜率k的，故选　[解析] 由已知a＞b＞0，有＋＋＝a－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋＋2＝2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝且ab＝，即a＝2b时，等号成立，故选－1　1　[解析] ∵A＝{x∈R|－5<x<1}，且A∩B＝(－1，n)，∴m＝－1，B＝{x|－1<x<2}，∴A∩B＝(－1，1)，即n＝1.　[解析] 由直线过点(－1，0)和(0，2)，得直线方程为y＝2x＋2，则组成边界的三条直线是y＝2x＋2，y＝－1，x＝0，故这个不等式组是　[解析] 设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为＝，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为＋x≥2＝40，当且仅当＝x，即x＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．解：若a－4＝0，即a＝－2或a＝2，当a＝2时，不等式为4x－1≥0，解集不是空集．当a＝－2时，1≥0，其解集为空集，故a＝－2符合题意．当a－4≠0时，要使不等式的解集为，则需解得－2。

限时集训(五十二) 抛 物 线(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a 的值为( ) A.52B.32 C ．－12D ．－322．(2013·某某模拟)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－4D ．43．已知点A (1,2)是抛物线C ：y 2＝2px 与直线l ：y ＝k (x ＋1)的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是( )A.22B. 2C.322D ．2 24．已知抛物线y 2＝4x ，若过焦点F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则△OAB 的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．65．直线y ＝x ＋1截抛物线y 2＝2px 所得弦长为26，此抛物线方程为( ) A ．y 2＝2xB ．y 2＝6x C ．y 2＝－2x 或y 2＝6xD ．以上都不对6．已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线7．(2013·某某模拟)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x8．(2013·某某模拟)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．以抛物线x 2＝－4y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________．10．若垂直于x 轴的直线交抛物线y 2＝4x 于点A ，B ，且AB ＝43，则直线AB 的方程为________．11．(2013·某某模拟)已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点______．12．(2012·某某高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.13．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为________．14．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R)相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．16．若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．17．(2013·某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．答 案[限时集训(五十二)]1．D 2.D 3.B 4.B 5.C 6.A 7.D 8．B9．解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝410．解析：由题意知，点A ，B 的纵坐标为23和－23，代入抛物线方程求得x ＝3，所以直线AB 的方程为x ＝3.答案：x ＝311．解析：因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．答案：(1,0)12.解析：如图，设A (x 0，y 0)(y 0<0)，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1，故由抛物线的定义得|AF |＝x 0－(－1)＝3，解得x 0＝2，所以y 0＝－2 2.故点A (2，－22)．则直线AB 的斜率为k ＝－22－02－1＝－22，直线AB 的方程为y ＝－22x ＋22，联立⎩⎨⎧y ＝－22x ＋22，y 2＝4x ，消去y 得2x 2－5x ＋2＝0，由x 1x 2＝1，得A ，B 两点横坐标之积为1，所以点B 的横坐标为12.再由抛物线的定义得|BF |＝12－(－1)＝32.答案：3213．解析：由题不妨设A 在第一象限，联立y ＝x －3和y 2＝4x 可得A (9,6)，B (1，－2)．而抛物线的准线方程是x ＝－1，所以|AP |＝10，|QB |＝2，|PQ |＝8，故S 梯形APQB＝12(|AP |＋|QB |)·|PQ |＝48.答案：4814．解析：过点A 、B 向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF |.∵|BC |＝2|BF |， ∴|BC |＝2|BB 1|，∴|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，∴|CF |＝3，∴p ＝12|CF |＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .答案：y 2＝3x15．解：(1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等，故点C 的轨迹方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k x ＋1，消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由韦达定理有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ， 则N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|， ＝12|ON ||y 1－y 2| ＝12·1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10， 所以12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.16．解：(1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.则椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， 所以p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4k ＝0，则Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝ －4，得k ＝1.∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.17.解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上， 所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．。

- 5 - 45分钟滚动基础训练卷(三)(考查范围：第4讲～第15讲，以第13讲～第15讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·济南一中模拟] 如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2，0)C ．(－2，1)D ．(0，1)2．若0<x <y <1，则( )A ．3y <3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4y D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y3．[2012·山西四校联考] 曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－124．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a5．[2012·济宁检测] 函数y ＝ln 1|x ＋1|的大致图象为()图G3－6．[2012·金华十校联考] 设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象上的点(x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，若k ＝g (x 0)，则函数k ＝g (x 0)的图象大致为()－7．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)8．[2011·天津模拟] 定义在R 上的函数f (x )满足(x －1)f ′(x )≤0，且y ＝f (x ＋1)为偶函数，当|x 1－1|<|x 2－1|时，有( )A ．f (2－x 1)>f (2－x 2)。

限时集训(十) 函数与方程(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．02．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．73．(2013·宁波模拟)函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)4．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝x 13的解，则x 0属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 5．(2013·金华模拟)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)6．函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．57．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－x 3x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x x ，若x 0是y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．等于0D ．不大于08．(2013·洛阳模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R)满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x >0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为( )A ．10B ．9C ．8D ．7二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋－1≤x ，－|x －2|＋x ，若方程f (x )－ax ＝0有5个实根，则正实数a 的取值范围是________．10．(2013·杭州七校联考)已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在区间为(k ，k ＋1)，(k ∈Z)，则k ＝________.11．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 012x＋log 2 012x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________．12．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________．13．已知函数f (x )＝x ＋2x，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．14．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)·x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．16．若函数F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．17．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．限时集训(十一) 函数模型及其应用(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )2．(2013·济南模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元 D．45.51万元3．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)()A．90万m2 B．87万m2C．85万m2 D．80万m24．某产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A．100台 B．120台C．150台 D．180台5．某商店按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，则销售价应定为每件( )A．100元 B．110元C．150元 D．190元6．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( )A．不能确定 B．①②同样省钱C．②省钱 D．①省钱7．图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S＝S(a)(a≥0)是图形M介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分面积，则函数S(a)的图象大致是( )8．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为( )A．[2,4] B．[3,4] C．[2,5] D．[3,5]二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2013·郑州模拟)一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象可能是图中的________．10．(2013·江南十校联考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是______万元．11．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙厚度不计)．12．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm 、60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________ cm 2.13．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠； 某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．14．某人用10万元买了一辆小汽车用来跑出租，已知这辆汽车从启用的第一年起连续使用，第n 年的保养维修费为2 000 (n －1)元，使用它直到“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这辆汽车的年平均耗资最少)为止，则最佳报废时间为________年．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．(2013·嘉兴模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？16．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．17．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫0.05t －120 000t 2万元． (1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？限时集训(十二) 变化率与导数、导数的计算(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )2．(2013·绍兴模拟)若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．不确定3．若函数f (x )＝e xcos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0° B ．锐角 C ．直角D ．钝角4．已知f (x )＝x (2 011＋ln x )，f ′(x 0)＝2 012，则x 0等于( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e5．曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －16．已知曲线y ＝ln x ，则过点(0，－1)的曲线的切线方程为( ) A ．x －2y －2＝0 B ．x －y －1＝0C ．x －y －1＝0或x ＋y －1＝0D ．2x －3y －3＝07．(2013·临沂模拟)已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为( )A ．1 B.1e C.2eD.2e8．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝e x －e ，则f ′(1)＝________. 10．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 11．已知三次函数y ＝x 3－x 2－ax ＋b 在(0,1)处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＋b ＝________.12．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．13．(2013·杭州七校联考)过原点作曲线y ＝e x的切线，则切线的方程为________． 14．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y ＝f (x )的解析式．16．(2013·杭州模拟)如右图所示，已知A(－1,2)为抛物线C：y＝2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x＝a(a<－1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.(1)求直线l1的方程；(2)求△ABD的面积S1.17．如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n，记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.限时集训(十三) 导数的应用(Ⅰ)(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )2．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f x 2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)3．(2012·陕西高考)设函数f (x )＝x e x，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点4．(2013·济南模拟)设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a <－1eD ．a >－1e5．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－6436．(2013·丽水模拟)函数f (x )＝x －a x 在x ∈[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．57．(2013·咸宁模拟)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1D ．－3或18．(2012·福建高考)已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0； ③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝2x －4，则函数f (x －1)的单调递减区间是________． 10．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． 11．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．12．(2013·温州模拟)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．13．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (1－x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________． 14．已知a >0，设函数f (x )＝a ln x －2a ·x ＋2a ，g (x )＝12(x －2a )2.则函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在点x 0处取得极小值－5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(0,0)，(2,0)．(1)求a ，b 的值；(2)求x 0及函数f (x )的表达式．16．已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R)，其中a ＞0.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上，f (x )＞0恒成立，求a 的取值范围．17．(2012·天津高考)已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值．限时集训(十四) 导数的应用(Ⅱ)(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对3．设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为( )A.13(1＋ln 3) B.13ln 3 C ．1＋ln 3D ．ln 3－14．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．35．球的直径为d ，其内接正四棱柱体积V 最大时的高为( ) A.22d B.32d C.33d D.23d 6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．(0,2)C ．[3，2)D ．(3，2)7．已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件8．已知函数f (x )＝x 3－3x ，若对于区间[－3,2]上任意的x 1，x 2都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．0B ．10C ．18D ．20二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．函数f (x )＝x 3－3x 的极大值与极小值的和为________．10．函数f (x )＝－x 3＋mx 2＋1(m ≠0)在(0,2)内的极大值为最大值，则m 的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x，设t >－2，f (－2)＝m ，f (t )＝n .函数f (x )在[－2，t ]上为单调函数时，t 的取值范围是________．12．(2013·东北三省四市质检)设f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，若当0≤θ≤π2时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．13．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________．14．若函数f (x )＝13x 3－a 2x 满足：对于任意的x 1，x 2∈[0,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1恒成立，则a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤fx ＋m 2在区间(t,3)上不是单调函数，求m 的取值范围．16．已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx，其中e 是自然常数，a ∈R.(1)讨论当a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．17．设函数f (x )＝x －1x－a ln x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，求a 的值； (2)若函数f (x )在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；(3)当a ≤2时，设函数g (x )＝x －ln x －1e ，若在[1，e]上存在x 1，x 2使f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z)，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．在第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．在第三或第四象限2．已知tan α>0，且sin α＋cos α>0，那么角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．sin 2cos 3tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在 4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]5．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3C. 3D ．26．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sinα2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cosα2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－27．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 8．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( ) A ．2 B ．1 C.12D ．3二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是________． 10．若点P (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________． 11．若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________． 12．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角有________．13．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．14．(2013·菏泽模拟)已知函数f (x )＝x 2cos θ－ 2 x sin θ＋34，对于任意的实数x恒有f (x )>0，且θ是三角形的一个锐角，则θ的取值范围是________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求α的三角函数值．16．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.17．角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．限时集训(十六) 同角三角函数的基本关系与诱导公式(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．已知tan α＝－a ，则tan(π－α)的值等于( ) A ．a B ．－a C.1aD ．－1a2．α是第一象限角，tan α＝34，则sin α＝( )A.45B.35 C ．－45D ．－353．已知sin 34°＝－m ，则sin 2 014°＝( ) A ．－1－m 2B.1－m 2C ．－mD ．m4．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝( ) A ．－35B.35C.45D ．－455．(2013·安徽名校模拟)已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0 B.95 C.43D.536．已知f (α)＝π－απ－α－π－αα，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.137．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12D ．－128．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5D ．－1－ 5二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．sin (－210°)＝________.10．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α＋π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋α＝________.11．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________．12．若cos(2π－α)＝53，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则sin(π－α)＝________. 13．(2013·绍兴模拟)已知tan α＝－12，π2<α<π，则sin α＝________.14．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π.则 sin α－cos α＝________.三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知sin(3π＋θ)＝13，求π＋θcos θπ－θ－1]＋θ－2πsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2θ－π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．17．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值，若不存在，请说明理由．限时集训(十七) 三角函数的图象与性质(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数2．函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2＝( )A ．0 B.22C ．－1D ．13．(2013·银川模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2 (x ∈R)，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数4．(2013·杭州模拟)设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在x ＝π2时，取最大值A ，在x ＝3π2时，取最小值－A ，则当x ＝π时，函数y 的值( )A ．仅与ω有关B ．仅与φ有关C ．等于零D ．与φ，ω均有关5．(2013·郑州模拟)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)－3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，且其图象相邻的两条对称轴为x ＝0，x ＝π2，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π)上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π)上为减函数6．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3 C ．π D.4π37．(2013·衡阳联考)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin|x |8．(2012·新课标全国卷)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．函数y ＝1tan x －3的定义域为________．10．若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 11．(2013· 台州模拟)设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.12．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．13．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为π2，则函数在[0,2π]上的零点个数为________．14．(2013·义乌模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．(2012·陕西高考)函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．16．设a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin2π＋2x4，cos x ＋sin x ，b ＝(4sin x ，cos x －sin x )，f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的解析式；(2)已知常数ω>0，若y ＝f (ωx )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，求ω的取值范围；17．(2012·湖北高考)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围．限时集训(十八) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2012·浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )2．(2013·温州模拟)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只要将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向右平移π8个单位D ．向左平移π8个单位3．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．94.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h ⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的图象如图所示，则f (x )＝( ) A ．4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋2B ．－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＋2C ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋4D ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋45．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24等于( ) A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 36．(2013·广州模拟)函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且直线AB 的斜率为1，则该函数图象的一条对称轴为( )A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝1D ．x ＝27．(2013·江西九校联考)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD ―→在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π68．(2013·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．10．(2013·龙泉模拟)函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．11．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如图所示，则φ＝________.12．若把函数y ＝3cos x －sin x 的图象向右平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．13．已知直线y ＝b (b ＜0)与曲线f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列，则b 的值是________．14．设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交．以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)． 三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求函数f (x )的解析式及x 0的值；(2)若锐角θ满足cos θ＝13，求f (4θ)的值．16．已知函数f (x )＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．17．已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x －32，且f (0)＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间；(3)函数f (x )的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？限时集训(十九) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2013·厦门模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17，则tan α等于( ) A ．－65B ．－1C ．－34D.652．(2013·舟山模拟)sin 20° 1＋cos40°cos 50°＝( )A.12B.22C. 2D ．23．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．14．(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13D.125．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.536．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4B.3π4C.π3D.π67．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．48．(2013·合肥模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋sin α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C.45D ．－45二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________. 10.3－sin 70°2－cos 210°＝________. 11．已知sin (π－α)＝－1010，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.12．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．13．(2013·南通模拟)设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.14．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则 cos β＝________. 三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域．(2)若α为第二象限角，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值．16．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，sin⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．17．已知向量a＝(sin ωx，cos ωx)，b＝(cos φ，sin φ)，函数f(x)＝a·b ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，π3＜φ＜π的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32. (1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (2α－β)的值．限时集训(二十) 简单的三角恒等变换(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2013·济南模拟)函数y ＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4π2．(2013·沈阳四校联考)若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )A.54 B ．－54C.43D ．－433．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝a log a 13(a ＞0，且a ≠1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α的值为( )A.1010 B ．－1010C.31010D ．－310104．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos 2x ＝a ，则cos x ＝( ) A. 1－a 2 B ．－ 1－a2 C.1＋a2D ．－1＋a25．计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．16．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235B.235C ．－45D.457．函数y ＝sin x cos x ＋ 3 cos 2x 的图象的一个对称中心是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－32B.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－32C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，328．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 3αcos α＋cos 3αsin α的最小值为( )A.2764 B.325C.536D ．1二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2013·温州模拟)化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α的结果为________．10．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.11．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.12．(2013·青岛模拟)在△ABC 中，若sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝________.13．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．14．如图，圆O 的内接“五角星”与圆O 交于A i (i ＝1,2,3,4,5)点，记弧A i A i ＋1在圆O 中所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3,4)，弧A 5A 1所对的圆心角为α5，则cos 3α1·cos (α3＋α5)－sin 3α2sin 2α4等于________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．(1)化简4cos 4x －2cos 2x －1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(2)化简[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]· 2sin 280°.16．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域．17．已知函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且其图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且g (α)＝1，g (β)＝324，求g (α－β)的值．限时集训(二十一) 正弦定理和余弦定理(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2012·上海高考)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( ) A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形 D．不能确定2．(2012·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( ) A．4 3 B．2 3C. 3D.3 23．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2b cos C，则此三角形一定是( )A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋3945．(2013·宁波模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin2B＋sin2C －sin2A＋sin B sin C＝0，则tan A的值是( )A.33B．－33C. 3 D．－ 36．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为( )A.32B.22C.12D．－127．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cos C ＝( )。

第七节 抛 物 线考点一抛物线的定义及应用[例1] 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)假设B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值． [自主解答](1)如图，易知抛物线的核心为F (1,0)，准线是x ＝－1.由抛物线的概念知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到核心F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小． 显然，连接AF 交曲线于点P ，那么所求的最小值为|AF |，即为5.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，那么|P 1Q |＝|P 1F |. 那么有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【互动探讨】假设将本例(2)中的B 点坐标改成(3,4)，求|PB |＋|PF |的最小值． 解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部． ∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离． ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝25.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.【方式规律】抛物线概念中的“转化”法利用抛物线的概念解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到核心的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到核心，看到核心想到准线”，这是解决抛物线核心弦有关问题的有效途径．1．(2021·天津模拟)已知动圆过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，且与直线x ＝－p2相切，其中p>0，那么动圆圆心的轨迹E 的方程为____________．解析：依题意得，圆心到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离与到直线x ＝－p 2的距离相等，再依抛物线的概念知，动圆圆心的轨迹E 为抛物线，其方程为y 2＝2px .答案：y 2＝2px2．过抛物线y 2＝4x 的核心F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，假设|AF |＝3，那么|BF |＝________.解析：因为抛物线y 2＝4x 的核心F (1,0)． 显然，当AB 垂直于x 轴时，|AF |≠3， 因此AB 的斜率k 存在，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，与抛物线y 2＝4x 联立， 消去y 得k 2x 2－2k 2x －4x ＋k 2＝0， 即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2. 又|AF |＝3＝x 1＋p2＝x 1＋1，因此x 1＝2，代入k 2x 2－2k 2x －4x ＋k 2＝0，得k 2＝8， 因此x 1＋x 2＝52，x 2＝12，故|BF |＝x 2＋1＝12＋1＝32.答案：32[例2] (1)(2021·四川高考)抛物线y 2＝4x 的核心到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )C ．1 (2)(2021·江西高考)抛物线x 2＝2py (p >0)的核心为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，假设△ABF 为等边三角形，那么p ＝________.[自主解答] (1)由抛物线y 2＝4x ，有2p ＝4，p ＝2.其核心坐标为(1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x .不妨取其中一条3x －y ＝0.由点到直线的距离公式有d ＝|3×1－0|3＋1＝32.(2)在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB2＝33p ，因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33p ，－p 2.又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6.答案：(1)B (2)6 【方式规律】1．求抛物线的标准方程的方式及流程(1)方式：求抛物线的标准方程经常使用待定系数法，因为未知数只有p ，因此只需一个条件确信p 值即可．(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．确信及应用抛物线性质的关键与技术(1)关键：利用抛物线方程确信及应用其核心、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)技术：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．1．已知抛物线关于x 轴对称，它的极点在座标原点O ，而且通过点M (2，y 0)．假设点M 到该抛物线核心的距离为3，那么|OM |＝( )A ．22 B ．23 C ．4 D ．25解析：选B 依题意，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)，那么有2＋p2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝22＋8＝23.2．(2021·湖州模拟)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.假设抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的核心到双曲线C 1的渐近线的距离为2，那么抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，因此ba ＝3，因此双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的核心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，因此p22＝2，那么p ＝8，因此抛物线方程为x 2＝16y .高频考点考点三 直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系，是高考命题的热点，多以解答题的形式显现，试题难度较大，多为中、高级题．2．直线与抛物线的位置关系有以下几个命题角度： (1)已知抛物线方程及其他条件，求直线方程； (2)证明直线过定点；(3)求线段长度或线段之积(和)的最值； (4)求定值．[例3](2021·杭州模拟)已知直线y ＝2x －2与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于M 1，M 2两点，且|M 1M 2|＝815.(1)求p 的值；(2)设A 是直线y ＝p2上一点，直线AM 2交抛物线于另一点M 3，直线M 1M 3交直线y＝p2于点B ，求OA ·OB 的值．[自主解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝2py ，整理得x 2－4px ＋4p ＝0，设M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16p 2－16p ＞0，x 1＋x 2＝4p ，x 1·x 2＝4p ，∵|M 1M 2|＝815，∴[x 1＋x 22－4x1x 2]1＋22＝815，即16p 2－16p ×5＝815.∴p 2－p －12＝0，解得p ＝4或p ＝－3(舍去)， 且p ＝4知足Δ＞0，∴p ＝4. (2)由(1)知抛物线方程为x 2＝8y ，且x 1＋x 2＝16，x 1x 2＝16，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 218，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 228，设M 3⎝⎛⎭⎪⎫x 3，x 238，A (t,2)，B (a,2)，由A ，M 2，M 3三点共线得kM 2M 3＝k AM 2，∴x 2＋x 38＝x 228－2x 2－t，即x 22＋x 2x 3－t (x 2＋x 3)＝x 22－16，整理得x 2x 3－t (x 2＋x 3)＝－16， ①由B ，M 3，M 1三点共线，同理可得x 1x 3－a (x 1＋x 3)＝－16， ② ②式两边同乘x 2得x 1x 2x 3－a (x 1x 2＋x 2x 3)＝－16x 2， 即16x 3－a (16＋x 2x 3)＝－16x 2， ③ 由①得x 2x 3＝t (x 2＋x 3)－16，代入③得16x3－16a－at(x2＋x3)＋16a＝－16x2，即16(x2＋x3)＝at(x2＋x3)，∴at＝16.∴OA·OB＝at＋4＝20.直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略(1)求直线方程．先寻找确信直线的两个条件，假设缺少一个可设出此量，利用题设条件寻觅关于该量的方程，解方程即可．(2)证明直线过定点．可依题设条件寻觅该直线的方程，可依据方程中的参数及其他条件确信该直线过那个定点．(3)求线段长度和线段之积(和)的最值．可依据直线与抛物线相交，依据弦长公式，求出弦长或弦长关于某个量的函数，然后利用大体不等式或利用函数的知识，求函数的最值；也可利用抛物线的概念转化为两点间的距离或点到直线的距离．(4)求定值．可借助于已知条件，将直线与抛物线联立，寻觅待定式子的表达式，化简即可取得．(2021·潍坊模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC ＝4AB .(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． 解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，消去x ，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，y 1＋y 2＝8＋p 2，y 1y 2＝4，由已知AC ＝4AB ，∴y 2＝4y 1，由韦达定理及p >0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， ∴抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0， 设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4y ，y ＝k x ＋4，得x 2－4kx －16k ＝0， 由Δ>0得k <－4或k >0，∴x 0＝x B ＋x C 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ，BC 中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )， ∴b ＝2(k ＋1)2，∴b >2.故b 的取值范围为(2，＋∞)．———————————[课堂归纳——通法领会]————————————————4个结论——直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其核心的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有以下结论：(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 所在直线的倾斜角)； (2)x 1x 2＝p 24；(3)y 1y 2＝－p 2；(4)过抛物线核心且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p . 3个注意点——抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一样要用待定系数法求p 的值，但第一要判定抛物线是不是为标准方程，假设是标准方程，那么要由核心位置(或开口方向)判定是哪一种标准方程．(2)注意应用抛物线概念中距离相等的转化来解决问题．(3)直线与抛物线有一个交点，并非说明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.。