高中数学高考模拟训练系列试题(14)

江苏省淮安市2024高三冲刺（高考数学）人教版模拟(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知（，是虚数单位），若，则（）A．2B．1C．D．第(2)题已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．第(3)题已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为A．B．C．D．第(4)题执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框中应填（）A．B．C．D．第(5)题“”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件第(6)题日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．已知经过125年的质量衰减为最初的，则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间为（）A．250B．375C．500D．1000第(7)题已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（）A．B．C．D．第(8)题已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的是（）A．当时，B．C．若，则实数m的最小值为D．若有三个零点，则实数第(2)题现有半径为的空心球（球壁厚度忽略不计）和长度均为的线段，点均在球的球面上，那么（）A．若互相垂直平分，则四棱锥的体积为B．若，且，则长度的最大值为C．若，则四棱锥体积的最大值为D．四面体体积的最大值为第(3)题已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是______.第(2)题已知圆锥的高是，其轴截面为等边三角形，则其内切球体积为__________.第(3)题若，满足且的最小值为，则的值为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在多面体中，底面为菱形，平面，，且为棱的中点，为棱上的动点.(1)求二面角的正弦值；(2)是否存在点使得平面？若存在，求的值；否则，请说明理由.第(2)题已知函数.（1）讨论函数的极值点个数；（2）若有两个极值点，试判断与的大小关系并证明.第(3)题已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)求的最小值．第(4)题在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值．．第(5)题世界上的能源消耗有是由摩擦和磨损造成的，一般机械设备中约有80%的零件因磨损而失效报废．零件磨损是由多方面因素造成的，某机械设备的零件随着使用时间的增加，“磨损指数”也在增加．现根据相关统计，得到一组数据如下表．使用时间t/年12345磨损指数r/% 4.5 5.6 6.4 6.87.2(1)求r关于t的线性回归方程；(2)在每使用完一整年后，工人会对该零件进行检测分析，若该零件在下一年使用过程中的“磨损指数”超过10%，则该零件需要在本次检测后立即进行报废处理．根据（1）中的回归方程，估计该零件使用多少年后需要进行报废处理？参考数据：，．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．。

浙江高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若，，则集合B的元素个数为A．2B．3C．4D．52.已知定义在复数集C上的函数满足，则=A．0B．C．1D．23.设的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是A．B．C．D．5.．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则A．B．C．D．6.．设，O为坐标原点，动点满足，则的最大值是（）A．B．1C．-1D．-27.已知函数的零点依次为，则的大小顺序正确的是（）A．B．C．D．8.已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9.如图，，若，则=A．2B．4C．6D．810.设集合，函数，若，且的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知某学校高二年级的一班和二班分别有人和人，某次学校考试中，两班学生的平均分分别为，则这两个班学生的数学平无分为 .2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .3.设，函数有最大值，则不等式的解集为 .4.．矩形ABCD中，轴，且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数的一个完整周期图象，则当变化时，矩形ABCD周长的最小值为 .5.已知向量，若向量的夹角为，则直线与圆的位置关系是 .6.有一个数阵排列如下：则第20行从左至右第10个数字为 .7.若任意，就称A是“和谐”集合，则在集合的所有非空子集中，“和谐”集合的概率是 .三、解答题1.（本题满分14分）设角A、B、C是的三个内角，已知向量，且.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若向量，试求的取值范围.2.（本题满分14分）在数列中，时，其前项和满足：（1）求；（2）令，求数列的前项和3.（本题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，于点M.（1）求证：；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值.4.．（本题满分15分）设（1）若是函数的极值点，求实数的值；（2）若函数在[0，2]上是单调减函数，求实数的取值范围.5.（本题满分15分）已知抛物线的准线为，焦点为F，的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点O 作倾斜角为的直线，交于点A，交于另一点B，且AO=OB=2.（1）求和抛物线C的方程；（2）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；（3）过上的动点Q向作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标.浙江高三高中数学高考模拟答案及解析一、选择题1.若，，则集合B的元素个数为A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】略2.已知定义在复数集C上的函数满足，则=A．0B．C．1D．2【答案】D【解析】略3.设的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】略4.．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是A．B．C．D．【答案】A【解析】略5.．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则A．B．C．D．【答案】D【解析】略6.．设，O为坐标原点，动点满足，则的最大值是（）A．B．1C．-1D．-2【答案】A【解析】略7.已知函数的零点依次为，则的大小顺序正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略8.已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略9.如图，，若，则=A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】略10.设集合，函数，若，且的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略二、填空题1.已知某学校高二年级的一班和二班分别有人和人，某次学校考试中，两班学生的平均分分别为，则这两个班学生的数学平无分为 .【答案】【解析】略2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .【答案】【解析】略3.设，函数有最大值，则不等式的解集为 .【答案】(1,2)【解析】略4.．矩形ABCD中，轴，且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数的一个完整周期图象，则当变化时，矩形ABCD周长的最小值为 .【答案】【解析】略5.已知向量，若向量的夹角为，则直线与圆的位置关系是 .【答案】相离【解析】略6.有一个数阵排列如下：则第20行从左至右第10个数字为 .【答案】426【解析】略7.若任意，就称A是“和谐”集合，则在集合的所有非空子集中，“和谐”集合的概率是 .【答案】【解析】略三、解答题1.（本题满分14分）设角A、B、C是的三个内角，已知向量，且.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若向量，试求的取值范围.【答案】【解析】略2.（本题满分14分）在数列中，时，其前项和满足：（1）求；（2）令，求数列的前项和【答案】【解析】略3.（本题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，于点M.（1）求证：；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值.【答案】【解析】略4.．（本题满分15分）设（1）若是函数的极值点，求实数的值；（2）若函数在[0，2]上是单调减函数，求实数的取值范围.【答案】【解析】略5.（本题满分15分）已知抛物线的准线为，焦点为F，的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点O 作倾斜角为的直线，交于点A，交于另一点B，且AO=OB=2.（1）求和抛物线C的方程；（2）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；（3）过上的动点Q向作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标.【答案】【解析】略。

智才艺州攀枝花市创界学校2021届新高考数学模拟试题〔含解析〕一、单项选择题 1.集合1|244x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，1|lg 10B y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭,，那么A B =〔〕A.[]22-,B.(1,)+∞C.(]1,2-D.(](1)2-∞-⋃+∞,,【答案】C 【解析】 【分析】先解得不等式1244x ≤≤及110x >时函数lg y x =的值域,再根据交集的定义求解即可. 【详解】由题,不等式1244x ≤≤,解得22x -≤≤,即{}|22A x x =-≤≤； 因为函数lg y x =单调递增,且110x >,所以1y >-,即{}|1B y y =>-, 那么(]1,2A B ⋂=-,应选:C【点睛】此题考察集合的交集运算,考察解指数不等式,考察对数函数的值域. 2.设i 是虚数单位，假设复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，那么a 的值是〔〕 A.3- B.3C.1D.1-【答案】D 【解析】 【分析】整理复数为b ci +的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.【详解】由题,()()()()5252112222i i ia a a i a i i i i -+=+=++=++++-, 因为纯虚数,所以10a +=,那么1a =-, 应选:D【点睛】此题考察复数的类型求参数范围,考察复数的除法运算. 3.“2a <〞是“10,x a x x∀>≤+〞的〔〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】假设10,x a x x ∀>≤+,那么min 1a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,利用均值定理可得min12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,那么2a ≤,. 【详解】假设10,x a x x ∀>≤+,那么min 1a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,因为12x x +≥,当且仅当1x x=时等号成立, 所以2a ≤, 因为{}{}|2|2a a a a <⊆≤,所以“2a <〞是“10,x a x x∀>≤+〞的充分不必要条件, 应选:A【点睛】此题考察充分条件和必要条件的断定,考察利用均值定理求最值. 4.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如下列图. ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的选项是〔〕 A.③④ B.①②C.②④D.①③④【答案】A 【解析】 【分析】由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④. 【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为8082812+=,乙同学成绩的中位数为878887.52+=,故①错误；()1=72+76+80+82+86+90=816x ⨯甲,()1=69+78+87+88+92+96=856x ⨯乙,那么x x <甲乙,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确, 应选:A【点睛】此题考察由茎叶图分析数据特征,考察由茎叶图求中位数、平均数.5.刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，那么与圆周合体而无所失矣〞，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如下列图)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2的近似值为〔〕 A.π90B.π180C.π270D.π360【答案】A【解析】 【分析】设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n ︒,那么每个等腰三角形的面积为21360sin 2r n︒,由割圆术可得圆的面积为221360sin 2rn r n π︒=⋅,整理可得3602sin n nπ︒=,当180n =时即可为所求.【详解】由割圆术可知当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n︒, 所以每个等腰三角形的面积为21360sin2r n ︒, 所以圆的面积为221360sin 2r n r n π︒=⋅,即3602sin n n π︒=, 所以当180n =时,可得3602sin sin 218018090ππ︒=︒==,应选:A【点睛】此题考察三角形面积公式的应用,考察阅读分析才能. 6.函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，那么实数a 的取值范围是〔〕A.()1,3 B.()1,2C.()0,3D.()0,2【答案】C 【解析】 【分析】显然函数()22x f x ax=--在区间()1,2内连续,由()f x 的一个零点在区间()1,2内,那么()()120f f <,即可求解.【详解】由题,显然函数()22x f x a x=--在区间()1,2内连续,因为()f x 的一个零点在区间()1,2内,所以()()120f f <,即()()22410a a ----<,解得0<<3a ,应选:C【点睛】此题考察零点存在性定理的应用,属于根底题.7.圆()22:200Mx y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是〔〕A.内切B.相交C.外切D.相离【答案】B 【解析】 化简圆()()2221:0,,M x y a a M a r a M+-=⇒=⇒到直线x y +=的间隔d =⇒()221220,2,2a a M r +=⇒=⇒=，又()2121,1,1Nr MNr r MN =⇒=-<<12r r +⇒两圆相交.选B8.九章算术中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为〔〕A.4π3π C.32π3【答案】B 【解析】 【分析】利用均值不等式可得()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=,即可求得AB ,进而求得外接球的半径,即可求解.【详解】由题意易得BC ⊥平面11ACC A ,所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立,又阳马11B ACC A -体积的最大值为43, 所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径R ==所以外接球的体积3433Vr π==, 应选:B【点睛】此题以中国传统文化为背景,考察四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、根本不等式的应用,表达了数学运算、直观想象等核心素养.二、多项选择题9.以下函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是〔〕A.3)y x =B.e e x x y -=+C.21y x =+D.cos 3y x =+【答案】BC 【解析】 【分析】易知A,B,C,D 四个选项里面的函数的定义域均为R ,先利用()f x -与()f x 的关系判断奇偶性,再判断单调性,即可得到结果.【详解】由题,易知A,B,C,D 四个选项里面的函数的定义域均为R ,对于选项A,()()))ln3ln30f x f x x x -+=+=,那么()3)f x x =-为奇函数,故A 不符合题意；对于选项B,()()x x f x e e f x --=+=,即()e e x x f x -=+为偶函数,当(0,)x ∈+∞时,设()1x te t =>,那么1y t t=+,由对勾函数性质可得,当()1,t ∈+∞时是增函数,又x t e =单调递增,所以()e e x xf x -=+在(0,)+∞上单调递增,故B 符合题意；对于选项C,()()()2211f x x x f x -=-+=+=,即()21f x x =+为偶函数,由二次函数性质可知对称轴为0x=,那么()21f x x =+在(0,)+∞上单调递增,故C 符合题意；对于选项D,由余弦函数的性质可知cos 3y x =+是偶函数,但在(0,)+∞不恒增,故D 不符合题意； 应选:BC【点睛】此题考察由解析式判断函数的奇偶性和单调性,纯熟掌握各函数的根本性质是解题关键. 10.2((0)n ax a>的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，那么以下说法正确的选项是〔〕 A.展开式中奇数项的二项式系数和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含15x 项的系数为45 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知10n =,由展开式的各项系数之和为1024可得1a =,那么二项式为10101222x x x-⎛⎫⎛+=+ ⎪ ⎝⎝⎭,易得该二项式展开式的二项式系数与系数一样,利用二项式系数的对称性判断A,B ；根据通项判断C,D 即可.【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知10n =, 又展开式的各项系数之和为1024,即当1x =时,()1011024a +=,所以1a =,所以二项式为10101222x x x-⎛⎫⎛+=+ ⎪ ⎝⎝⎭,那么二项式系数和为1021024=,那么奇数项的二项式系数和为110245122⨯=,故A 错误；由10n =可知展开式一共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大, 因为2x 与12x-的系数均为1,那么该二项式展开式的二项式系数与系数一样,所以第6项的系数最大,故B 正确；假设展开式中存在常数项,由通项()12102110r r r r T C x x--+=可得()121002r r --=,解得8r =,故C 正确； 由通项()12102110r r r r TC xx--+=可得()1210152r r --=,解得2r,所以系数为21045C =,故D 正确,应选:BCD【点睛】此题考察二项式的定理的应用,考察系数最大值的项,考察求指定项系数,考察运算才能.11.在ABC 中，D 在线段AB 上，且5,3AD BD ==假设2,cos CB CD CDB =∠=，那么〔〕 A.3sin 10CDB ∠= B.ABC 的面积为8C.ABC 的周长为8+ D.ABC 为钝角三角形【答案】BCD 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系即可判断选项A ；设CD a =,那么2BC a =,在BCD 中,利用余弦定理求得a ,即可求得DBC S △,进而求得ABCS,即可判断选项B ；在ADC 中,利用余弦定理求得AC ,进而判断选项C ；由BC 为最大边,利用余弦定理求得cos C ,即可判断选项D.【详解】因为cos CDB ∠=,所以sin 5CDB ∠==,故A 错误； 设CD a =,那么2BCa =,在BCD 中,2222cos BC CD BD BC CD CDB =+-⋅⋅∠,解得a =所以11sin 33225DBCSBD CD CDB =⋅⋅∠=⨯=, 所以3583ABCDBCSS +==,故B 正确；因为ADCCDB π∠=-∠,所以()cos cos cos ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=,在ADC 中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠,解得AC =所以()358ABCCAB AC BC =++=++=+故C 正确；因为8AB =为最大边,所以2223cos 025BC AC AB C BC AC +-==-<⋅,即C ∠为钝角,所以ABC 为钝角三角形,故D 正确. 应选:BCD【点睛】此题考察利用余弦定理解三角形,考察三角形面积的公式的应用,考察判断三角形的形状. 12.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，那么以下说法正确的选项是〔〕A.假设2PB PE =，那么//EF平面PACB.假设2PB PE =，那么四棱锥P ABCD -的体积是三棱锥E ACB -体积的6倍C.三棱锥P ADC -中有且只有三个面是直角三角形D.平面BCP ⊥平面ACE【答案】AD 【解析】 【分析】利用中位线的性质即可判断选项A ；先求得四棱锥P ABCD -的体积与四棱锥E ABCD -的体积的关系,再由四棱锥E ABCD -的体积与三棱锥E ABC -的关系进而判断选项B ；由线面垂直的性质及勾股定理判断选项C ；先证明AC ⊥平面BCP ,进而证明平面BCP ⊥平面ACE ,即可判断选项D.【详解】对于选项A,因为2PB PE =,所以E 是PB 的中点,因为F 是AB 的中点,所以//EF PA ,因为PA ⊂平面PAC ,EF⊄平面PAC ,所以//EF 平面PAC ,故A 正确；对于选项B,因为2PB PE =,所以2P ABCD E ABCD V V --=,因为//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===,所以梯形ABCD 的面积为()()113121222CD AB AD +⋅=⨯+⨯=,1121122ABCS AB AD =⋅=⨯⨯=,所以32E ABCD E ABC V V --=,所以3P ABCDE ABC V V --=,故B 错误；对于选项C,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,PC CD ⊥,所以PAC ,PCD 为直角三角形, 又//,AB CD AB AD ⊥,所以AD CD ⊥,那么ACD 为直角三角形,所以222222PA PC AC PC AD CD =+=++,222PD CD PC =+,那么222PA PD AD =+,所以PAD △是直角三角形,故三棱锥P ADC -的四个面都是直角三角形,故C 错误； 对于选项D,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,在RtACD 中,AC =在直角梯形ABCD 中,BC ==,所以222AC BC AB +=,那么AC BC ⊥,因为BC PC C ⋂=,所以AC ⊥平面BCP ,所以平面BCP ⊥平面ACE ,故D 正确,应选:AD【点睛】此题考察线面平行的断定,考察面面垂直的判断,考察棱锥的体积,考察空间想象才能与推理论证才能.三、填空题. 13.向量(2,)am =，(1,2)b =-，且a b ⊥，那么实数m 的值是________．【答案】1 【解析】 【分析】 根据ab ⊥即可得出220a b m ⋅=-=，从而求出m 的值．【详解】解：∵a b ⊥；∴220a bm ⋅=-=；∴m ＝1． 故答案为：1．【点睛】此题考察向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算． 14.数列{}n a 的前n 项和公式为221nS n n =-+，那么数列{}n a 的通项公式为___．【答案】2,143,2nn a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】 【分析】由题意，根据数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，即可求得数列的通项公式． 【详解】由题意，可知当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，()221221143nn n a S S n n n n n -=-=---+-=-.又因为11a =不满足43n a n =-，所以2,143,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.【点睛】此题主要考察了利用数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．15.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，那么双曲线C 的离心率为________.【解析】 【分析】由等腰三角形及双曲线的对称性可知121F F PF =或者122F F PF =,进而利用两点间间隔公式求解即可.【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -,()2,0F c ,因为左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点,当122F F PF =时,2c =,由222b c a =-可得222430c ac a +-=,等式两边同除2a 可得22430e e +-=,解得1e =<〔舍〕；当121F F PF =时,2c =由222b c a =-可得222430c ac a --=,等式两边同除2a 可得22430e e --=,解得e =故答案为:22【点睛】此题考察求双曲线的离心率,考察双曲线的几何性质的应用,考察分类讨论思想. 16.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，那么不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞ 【解析】【分析】根据条件构造函数F 〔x 〕()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F 〔x 〕()xf x e=，那么F ′〔x 〕()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′〔x 〕＞0，即函数F 〔x 〕在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F 〔x 〕＜F 〔2x 1-〕∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x e f x f x -<-的解为()1,+∞故答案为()1,+∞【点睛】此题主要考察函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决此题的关键．四、解答题.17.函数()21cos 2cos f x x x x m =--+在R 上的最大值为3.〔1〕求m 的值及函数()f x 的单调递增区间;〔2〕假设锐角ABC ∆中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且()0f A =，求b c的取值范围.【答案】〔1〕1m =,函数()f x 的单调递增区间为263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，，；〔2〕122bc<<. 【解析】 【分析】〔1〕运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据，可以求出m 的值，再结合正弦型函数的性质求出函数()f x 的单调递增区间;〔2〕由〔1〕结合()0f A =，可以求出角A 的值，通过正弦定理把问题b c的取值范围转化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合ABC ∆是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出b c的取值范围.【详解】解：〔1〕()21cos 2cos f x x x x m =--+由23m +=，所以1m =因此()2sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭令3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因此函数()f x 的单调递增区间为263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，， 〔2〕由2sin 2106A π⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，∴1sin 2=62A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 由02A π<<得72666A πππ<+<，因此5266A ππ+=所以3A π=因为为锐角三角形ABC ∆，所以022032C B C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得62C ππ<<因此tan 3C>，那么122b c <<【点睛】此题考察了降幂公式、辅助角公式，考察了正弦定理，考察了正弦型三角函数的单调性，考察了数学运算才能.{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.〔Ⅰ〕求数列{}n b 的通项公式；〔Ⅱ〕令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】〔Ⅰ〕;〔Ⅱ〕【解析】试题分析：〔1〕先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；〔2〕由〔1〕可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法〞求数列{}n c 的前n 项和n T .试题解析：〔1〕由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+，当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+．设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b db d=+=+，可解得14,3b d ==， 所以31nb n =+．〔2〕由〔1〕知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221nn n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n nT n +=⋅．考点1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法〞求数列的前n 项和.【易错点晴】此题主要考察待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法〞求数列的前n 项和，属于难题.“错位相减法〞求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法〞求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法〞求数列的和的条件〔一个等差数列与一个等比数列的积〕；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -. 19.如图，四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD △为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =.〔1〕求证：DE ⊥平面PAD . 〔2〕求二面角A PC D --的余弦值.【答案】〔1〕证明见解析〔2 【解析】 【分析】〔1〕由等腰梯形的性质可证得DE AD ⊥,由射影可得PG ⊥平面ABCD ,进而求证；〔2〕取BC 的中点F ,连接GF ,以G 为原点,GA 所在直线为x 轴,GF 所在直线为y 轴,GP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面APC 与平面DPC 的法向量,再利用数量积求解即可.【详解】〔1〕在等腰梯形ABCD 中,点E 在线段BC 上,且:1:3CE EB =,∴点E 为BC 上靠近C 点的四等分点,2AD =,4BC =,1CE =, ∴DE AD ⊥,点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ,连接PG ,PG ∴⊥平面ABCD ,DE ⊂平面ABCD ,PG DE ∴⊥.又AD PG G ⋂=,AD ⊂平面PAD ,PG ⊂平面PAD ,DE ∴⊥平面PAD .〔2〕取BC 的中点F ,连接GF ,以G 为原点,GA 所在直线为x 轴,GF 所在直线为y 轴,GP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如下列图, 由〔1〕易知,DECB ⊥,1CE =,又60ABC DCB ∠=∠=︒,DE GF ∴==2AD =,PAD △为等边三角形,PG ∴=,那么(0,0,0)G ,(1,0,0)A ,(1,0,0)D -,P,(C -,()AC ∴=-,(1AP =-,()0DC =-,DP =,设平面APC 的法向量为111(,,)m x y z =,那么00m AC m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111300x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩,令1x =那么13y =,11z =,3,)1(3,m ∴=,设平面DPC 的法向量为222(,,)nx y z =,那么00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即22220x x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩,令2x =,那么21y =,21z =-,3,1,()1n ∴=-,设平面APC 与平面DPC 的夹角为θ,那么∴二面角A PCD --.【点睛】此题考察线面垂直的证明,考察空间向量法求二面角,考察运算才能与空间想象才能. 20.某单位准备购置三台设备，型号分别为,,A B C 这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购置设备的同时购置该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购置易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购置设备时应购置的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上互相HY. 〔1〕求该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；〔2〕以该单位一个月购置易耗品所需总费用的期望值为决策根据，该单位在购置设备时应同时购置20件还是21件易耗品？ 【答案】〔1〕16〔2〕应该购置21件易耗品 【解析】 【分析】〔1〕由统计表中数据可得型号分别为,,A B C 在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X ,那么(21)(22)(23)P X P X P X >==+=,利用HY 事件概率公式进而求解即可；〔2〕由题可得X 所有可能的取值为19,20,21,22,23,即可求得对应的概率,再分别讨论该单位在购置设备时应同时购置20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望,即可分析求解. 【详解】〔1〕由题中的表格可知A 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为301602=； B 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为201301101,,603602606===； C 型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为453151,604604==； 设该单位一个月中,,A B C 三台设备使用易耗品的件数分别为,,x y z ,那么1(6)(7)2P x P x ====,11(6),(7)32P y P y ====,131(8),(7),(8)644P y P z P z ======,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X , 那么(21)(22)(23)P X P X P X >==+=而(22)(6,8,8)(7,7,8)(7,8,7)P X P x y z P x y z P x y z =====+===+===111111113726422426448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 1111(23)(7,8,8)26448P X P x y z ======⨯⨯=,故711(21)48486P X >=+=, 即该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为16. 〔2〕以题意知,X 所有可能的取值为19,20,21,22,231131(19)(6,6,7)2348P X P x y z ======⨯⨯=；(20)(6,6,8)(6,7,7)(7,6,7)P X P x y z x y z P x y z =====+===+===1111131131723422423448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； (21)(6,7,8)(6,8,7)(7,6,8)(7,7,7)P X P x y z x y z P x y z P x y z =====+===+===+===1111131111131722426423422448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； 由〔1〕知,71(22),(23)4848P X P X ====, 假设该单位在购置设备的同时购置了20件易耗品,设该单位一个月中购置易耗品所需的总费用为1Y 元,那么1Y 的所有可能取值为2000,2200,2400,2600,111723(2000)(19)(20)84848P Y P X P X ===+==+=；117(2200)(21)48P Y P X ====； 17(2400)(22)48P Y P X ====； 11(2600)(23)48P Y P X ====； 12317712000220024002600214248484848EY =⨯+⨯+⨯+⨯≈； 假设该单位在肋买设备的同时购置了21件易耗品,设该单位一个月中购置易耗品所需的总费用为2Y 元,那么2Y 的所有可能取值为2100,2300,2500,2117175(2100)(19)(20)(21)848486P Y P X P X P X ===+=+==++=；27(2300)(22)48P Y P X ====； 21(2500)(23)48P Y P X ====； 2571210023002500213864848EY =⨯+⨯+⨯≈；21EY EY <,所以该单位在购置设备时应该购置21件易耗品【点睛】此题考察HY 事件的概率,考察离散型随机变量的分布列和期望,考察数据处理才能.21.直线1x y +=过椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭， 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕过原点的直线l 与线段AB 相交〔不含端点〕且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.【答案】〔1〕2212x y +=〔2【解析】 【分析】 〔1〕由直线1x y +=可得椭圆右焦点的坐标为(1,0),由中点M 可得121242,33x x y y +=+=,且由斜率公式可得21211y y x x -=--,由点,A B 在椭圆上,那么2222112222221,1x y x y a b a b+=+=,二者作差,进而代入整理可得222a b =,即可求解；〔2〕设直线:l y kx =,点,A B 到直线l 的间隔为12,d d ,那么四边形的面积为()1212111222S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+,将y kx =代入椭圆方程,再利用弦长公式求得CD ,利用点到直线间隔求得12,d d ,根据直线l 与线段AB 〔不含端点〕相交,可得()4101033k k ⎛⎫⨯-+<⎪⎝⎭,即14k >-,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可. 【详解】〔1〕直线1x y +=与x 轴交于点(1,0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故1c =,因为线段AB 的中点是21,33M⎛⎫⎪⎝⎭, 设()()1122,,,A x y B x y ,那么121242,33x x y y +=+=,且21211y y x x -=--, 又2222112222221,1x y x y a b a b +=+=,作差可得22222121220x x y y a b --+=, 那么()()()()21212121220x x x x y y y y a b-+-++=,得222a b = 又222,1a b c c =+=, 所以222,1ab ==,因此椭圆的方程为2212x y +=.〔2〕由〔1〕联立22121x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩或者4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,不妨令()410,1,,33A B ⎛⎫-⎪⎝⎭,易知直线l 的斜率存在, 设直线:l y kx =,代入2212x y +=,得()22212k x +=,解得x =或者设()()3344,,,CD x y y x ,那么34x x=-=,那么34C x D -=,因为()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线y kx =的间隔分别是12d d ==, 由于直线l 与线段AB 〔不含端点〕相交,所以()4101033k k ⎛⎫⨯-+<⎪⎝⎭,即14k >-,所以()124441k k d d +++, 四边形ACBD 的面积()1212111222S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+=, 令1k t +=,34t>,那么2221243k t t +=-+,所以S ==, 当123t =,即12k =时,min S =因此四边形ACBD. 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程,考察椭圆中的四边形面积问题,考察直线与椭圆的位置关系的应用,考察运算才能. 22.函数()()2ln 12a f x x x xb =---，,R a b ∈. 〔1〕当-1b =时，讨论函数()f x 的零点个数；〔2〕假设()f x 在()0,∞+上单调递增，且2a b c e +≤求c 的最大值.【答案】〔1〕见解析〔2〕2 【解析】 【分析】〔1〕将1b =-代入可得()2ln 2a f x x x x =-,令0f x ,那么ln 2a xx =,设()ln x g x x=,那么转化问题为()gx 与2ay =的交点问题,利用导函数判断()g x 的图象,即可求解； 〔2〕由题可得()ln 0f x ax b x '=+-≥在0,上恒成立,设()ln h x ax b x =+-,利用导函数可得()min 11ln h x h b a a ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,那么()min0h x ≥,即221ln a b a a +≥--,再设()21ln m x x x =--,利用导函数求得()mx 的最小值,那么2ln2a b +≥,进而求解.【详解】〔1〕当-1b =时,()2ln 2a f x x x x =-,定义域为0,,由0f x 可得ln 2a xx=, 令()ln xgx x =,那么()21ln x g x x -'=, 由0g x,得0x e <<；由0g x,得x e >,所以()g x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减,那么()g x 的最大值为()1g e e=, 且当xe >时,()10g x e<<；当0x e <≤时,()1g x e≤,由此作出函数()gx 的大致图象,如下列图.由图可知,当20a e <<时,直线2a y =和函数()g x 的图象有两个交点,即函数()f x 有两个零点； 当12a e =或者02a ≤,即2a e =或者0a ≤时,直线2a y =和函数()g x 的图象有一个交点,即函数()f x 有一个零点； 当12a e >即2a e>时,直线2a y =与函数()g x 的象没有交点,即函数()f x 无零点. 〔2〕因为()f x 在0,上单调递增,即()ln 0f x ax b x '=+-≥在0,上恒成立,设()ln h x ax b x =+-,那么()1h x a x'=-, ①假设0a =,那么()0h x '<,那么()h x 在0,上单调递减,显然()ln 0f x b x '=-≥,在0,上不恒成立；②假设0a <,那么()0h x '<,()h x 在0,上单调递减,当max,1b x a>-时,0,ln 0ax b x +<-<,故()0hx <,()f x 单调递减,不符合题意；③假设 0a >,当10x a<<时,()0h x '<,()h x 单调递减, 当1x a>时,()0h x '>,()h x 单调递增,所以()min 11ln h x h b a a ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭, 由()min 0hx ≥得221ln a b a a +≥--,设()21ln ,0m x x x x =-->,那么()12m x x'=-, 当102x <<时,()0m x '<,()m x 单调递减； 当12x>时,()0m x '>,()m x 单调递增, 所以()1ln 22m x m ⎛⎫≥=⎪⎝⎭,所以2ln2a b +≥, 又2a b c e +≤,所以2≤c ,即c 的最大值为2.【点睛】此题考察利用导函数研究函数的零点问题,考察利用导函数求最值,考察运算才能与分类讨论思想.。

河南高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.若，则（）A．2B．C．D．3.从区间上随机抽取实数，，则的概率为（）A．B．C．D．4.已知，，若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5.已知点，，，在同一平面内，若，，，则（）A．B．C．D．6.已知函数，若，，则，的值依次为（）A．3,3B．,3C．3,6D．,67.给定一个任意数字串，数出这个数字串中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数，按“，，”的位序排列得到新数字串（例如112233445567890中，，，所得新数字串），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的数字串为12345654321，则输出的结果（）A．112B．123C．134D．2138.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6B．8C．D．9.函数的图象与的图象的对称轴相同，则的一个递增区间为（）A．B．C．D．10.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．11.锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．12.已知点，关于原点对称，恰为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且线段的中点恰在轴上，的面积为8.若抛物线上存在点使得，则实数的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题1.（，）展开式中含有常数项，则的取值集合为__________．2.已知实数，满足，则的最大值为__________．3.直线与曲线及都相切，则直线的方程为__________．4.若对任意，直线圆恒无公共点，则的取值范围是__________．三、解答题1.已知数列满足，则，且，，，成等比数列.（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：….2.如图（1），在等腰梯形中，，，.将沿直线折起，使点移动到点（如图（2）），且.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.3.2016年10月，继微信支付对提现转账收费后，支付宝也开始对提现转账收费，随着这两大目前用户使用粘度最高的第三方支付开始收费，业内人士分析，部分对价格敏感的用户或将回流至传统银行体系，某调查机构对此进行调查，并从参与调查的数万名支付宝用户中随机选取200人，把这200人分为3类：认为使用支付宝方便，仍使用支付宝提现转账的用户称为“类用户”；根据提现转账的多少确定是否使用支付宝的用户称为“类用户”；提前将支付宝账户内的资金全部提现，以后转账全部通过银行的用户称为“类用户”，各类用户的人数如图所示：同时把这200人按年龄分为青年人组与中老年人组，制成如图所示的列联表：类用户非类用户合计20（Ⅰ）完成列联表并判断是否有99.5%的把握认为“类用户与年龄有关”；（Ⅱ）从这200人中按类用户、类用户、类用户进行分层抽样，从中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求在这4人中类用户、类用户、类用户均存在的概率；（Ⅲ）把频率作为概率，从支付宝所有用户（人数很多）中随机抽取3人，用表示所选3人中类用户的人数，求的分布列与期望.附：（参考公式：，其中）4.已知椭圆：的离心率为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.5.已知，其中.（1）若，且曲线在处的切线过原点，求直线的方程；（2）求的极值；（3）若函数有两个极值点，，证明.6.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为.（Ⅰ）若直线与圆相切，求的值；（Ⅱ）若直线与曲线：（为参数）交于，两点，点，求.7.选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）若，求的最小值.河南高三高中数学高考模拟答案及解析一、选择题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，,故选D.2.若，则（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，故选C.3.从区间上随机抽取实数，，则的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由几何概型得，在区间上所形成的面积为,总面积,则概率为,故选B.4.已知，，若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由基本不等式得，，又，又因为的一个充分不必要条件是，则，故选A.5.已知点，，，在同一平面内，若，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，,,故选B.6.已知函数，若，，则，的值依次为（）A．3,3B．,3C．3,6D．,6【答案】C【解析】由题意得，令，则令，由这两个方程可得，，故选C.7.给定一个任意数字串，数出这个数字串中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数，按“，，”的位序排列得到新数字串（例如112233445567890中，，，所得新数字串），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的数字串为12345654321，则输出的结果（）A．112B．123C．134D．213【答案】B【解析】由题意得，第一次：=12345654321，b=5510,则第二次： a=5510,b=134,则第三次：a=134,b=123,则第四次：a=123,b=123,a=b循环结束，故选B.8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6B．8C．D．【答案】C【解析】由题意得，该几何体由一个长方体截割两个三棱锥所得的几何体，如图所示：，则剩余体积为,故选C.9.函数的图象与的图象的对称轴相同，则的一个递增区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，=，则，那么的一个递增区间为：，则根据选项可知B符合题意，故选B.10.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】三棱锥A-BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：1，，体对角线的长为球的直径∴它的外接球半径是外接球的表面积是故选D.点睛：本题考查球的体积和，球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是基础题，解答的关键是构造球的内接长方体，利用体对角线的长为球的直径解决问题．11.锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理得，又故选B.点睛：本题主要考查正弦定理和正弦两角和差公式的应用．正弦定理和余弦定理在解三角形中应用比较多，这两个定理和其推论一定要熟练掌握并能够灵活运用，注意锐角三角形中角的范围的确定，是本题解答的关键，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题.12.已知点，关于原点对称，恰为抛物线： 的焦点，点在抛物线上，且线段的中点恰在轴上，的面积为8.若抛物线上存在点使得，则实数的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设等腰直角三角形OAB 的顶点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则由OA=OB 得： ，∴ (x 1−x 2)(x 1+x 2+2p)=0, ∵x 1>0,x 2>0，2p>0，∴x 1=x 2，即A ，B 关于x 轴对称。

2020届北京市西城区第14中学高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．要得到函数sin 2y x =的图象，只需要将函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移12π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度2．已知函数'()f x 是函数()f x 的导函数，1(1)f e=，对任意实数都有()'()0f x f x ->，则不等式2()x f x e -<的解集为（ ）A ．(,)e -∞B ．(1,)+∞C ．(1,)eD ．(,)e +∞3．已知{}{}0,1,2,1,1,3,5a b ∈∈-，则函数()22f x ax bx =-在区间()1,+∞上为增函数的概率是( )A ．512 B ．13 C ．14 D ．164．在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的是（ ） A ．11//AO D C B ．1A O BC ⊥C ．1//A O 平面11B CD D ．1A O ⊥平面11AB D5．若不等式2162a bx x b a+<+对任意a ， ()0b ∈+∞，恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．()20-，B ．()42-， C ．()()20-∞-⋃+∞，，D ．()()42，，-∞-⋃+∞6．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程2410x x -+=的两根，则13S = （） A ．21B ．24C ．25D ．267．在△ABC 中，若2cosB•sinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段1F A 为直径的圆交线段1F B 的延长线于点P ，若2//F B AP ，则该椭圆离心率是（ ）A． B．3 C． D．29．已知函数()tan()0||,02f x x π⎛⎫=ω+ϕ<ϕ<ω> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则方程()sin 2([0,])3f x x x π⎛⎫=+∈π⎪⎝⎭所有解得和为（ ） A ．76π B ．56πC ．2πD ．3π10．已知函数()3cos x f x x =的定义域是,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当,22i x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,1,2,3i =时，若120x x +>，230x x +>，130x x +>，则有()()()123f x f x f x ++的值( )A ．恒等于零B ．恒小于零C ．恒大于零D ．可能小于零，也可能大于零11．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n 等于（ ） A ．660 B ．720 C ．780 D ．800 12．已知8log 5a =，4log 3b =，23c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高考数学模拟训练卷 (14)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知复数z 满足zi =−3+4i ，则z =( )．A. 3−4iB. 4+3iC. 3+4iD. −4+3i2. 设集合A ={x ∈Z|x 2−2x −3<0}，B ={−1,0，1，2}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {0,1,2}C. {−1,0,1}D. {−1,0}3. 等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15=45，则a 8等于 ( )A. 454B. 6C. 458D. 34. 设f(x)=x 3+log 2(x +√x 2+1)，则对任意实数a ，b ，a +b ≥0是f(a)+f(b)≥0的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 5. 设函数f(x)={(12)x −3,x ≤0x 2,x >0已知f(a)>1，则实数a 的取值范围是( )A. (−2,1)B. (−∞,−2)∪(1,+∞)C. (1,+∞)D. (−∞,−1)∪(0,+∞) 6. 已知tanα=13，则1+cos2αsin2α=( ) A. −13 B. 13 C. −3 D. 37. 过点(0,3)且斜率为k 的直线与圆(x −2)2+(y −3)2=4相交于M ，N 两点，若|MN|=2√3，则k 的值是( )A. ±√3B. ±√33C. −34D. 08. 一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为( )A. 132B. 164C. 364D. 332 9. 三棱锥P −ABC 中，PA ⊥面ABC ，AC ⊥BC,AC =BC =1,PA =√3，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. 5πB. √2πC. 20πD. 72π10. 从某5人中选派3人分别参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，其中甲、乙两人至多选1人参赛，则不同的参赛方案共有( )A. 24种B. 36种C. 42种D. 48种11. 已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A 的横坐标为( ) A. 23 B. 12 C. 13 D. 14 12. 已知θ∈(−π2,π2)且sin θ+cosθ=a ，其中a ∈(−1,0)，则tanθ的可能取值是 ( )A. −3B. 3C. −13D. 13 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 把x =−1输入如图所示的流程图可得输出y 的值是________．14. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤02x +y −6≤0x ≥−1，则x +y 的最大值为______．15. 在△ABC 中，已知A =2B ，cosC =0，则a ︰b ︰c =________．16. 已知函数f(x)={√x +3,x ≥0ax +b,x <0满足条件：y =f(x)是R 上的单调函数且f(a)=−f(b)=4，则f(−1)的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知数列{a n }的首项a 1=2a +1(a 是常数，且a ≠−1)，a n =2a n−1+n 2−4n +2(n ≥2)，数列{b n }的首项b 1=a ，b n =a n +n 2(n ≥2)．(1)证明：{b n }从第2项起是以2为公比的等比数列；(2)设S n 为数列{b n }的前n 项和，且{S n }是等比数列，求实数a 的值；(3)当a >0时，求数列{a n }的最小项．18.为了解某班学生喜爱数学是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在全部50人中喜爱数学的学生有30人．(1)请将上面的列联表补充完整．(2)是否有99.5%的把握认为喜爱数学与性别有关，说明理由．(参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD⊥AB，DC=2AD=2AB=2，AA1=4，点M为C1D1中点．(Ⅰ)求证：平面AB1D1//平面BDM；(Ⅱ)求直线CD1与平面AB1D1所成角的正弦值．20.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，以原点为圆心，椭圆C的短轴长为直径的圆与直线x−y+2=0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同的两点，直线PM与QN 相交于点T，求证：点T在椭圆上．21. 已知函数f(x)=12x 2−alnx ．(1)若函数f(x)有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；(2)求当x >1时，f(x)>0恒成立的a 的取值范围，并证明ln2+ln3+ln4+⋯+lnn <n 2+n−24(n ≥2,n ∈N ∗).22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1:{x =tcosαy =tsinα(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:ρ=2sinθ，C 3:ρ=2√3cosθ．(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值．23. 已知函数f(x)=|2x −1|+|2x +1|．(1)求函数f(x)的最小值m ；(2)若正实数a ，b 满足1a +1b =√3，求证：1a +2b ≥m ．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查了复数的四则运算，属于基础题．由题意得z=−3+4ii =(−3+4i)(−i)i(−i)，计算即可．解：∵复数z 满足zi=−3+4i，∴z=−3+4ii =(−3+4i)(−i)i(−i)=4+3i，故选B．2.答案：B解析：先求出集合A={0,1，2}，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集的运算．解：A={x∈Z|−1<x<3}={0,1，2}；∴A∩B={0,1，2}．故选：B．3.答案：D解析：利用等差数列与求和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解：由等差数列的性质可得：S15=15(a1+a15)2=15a8=45，则a8=3．故选：D．4.答案：C解析：本题考查了函数的奇偶性以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于中档题．通过函数的奇偶性判断可得f(x)是奇函数，且函数f(x)在R上是增函数，结合必要条件、充分条件与充要条件的判断定义可得答案．解：函数定义域为x+√x2+1>0，即为R，因为f(−x)=(−x)3+log2(−x+√(−x)2+1)=−x3+logx+√x2+1=−x3−log2(x+√x2+1)=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，由基本初等函数的单调性易知函数f(x)在R上是增函数，因为a+b≥0，所以a≥−b，所以f(a)≥f(−b)=−f(b)，即f(a)+f(b)≥0，反之亦成立，因此，对任意实数a，b，a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的充要条件．故选C．5.答案：B解析：解：函数f(x)={(12)x−3,x≤0x2,x>0已知f(a)>1，可得当a>0时，a2>1，解得a>1；当a≤0时，(12)a−3>1，解得a<−2．综上a∈(−∞,−2)∪(1,+∞)．故选：B．利用分段函数列出不等式真假求解即可．本题考查分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．6.答案：D解析：1+cos2αsin2α=2cos2α2sinαcosα=1tanα=3．7.答案：B解析：本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中挡题．已知弦长，可求得圆心(2,3)到直线的距离为d，由点到直线的距离公式可求得k．解：因为过点(0,3)且斜率为k的直线为y=kx+3，设圆心(2,3)到直线的距离为d，则d=√4−(√3)2=1，又d=√1+k2=1，解得k=±√33，故选B．8.答案：C解析：解：一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，基本事件总数n=8×8=64，取得两个球的编号之和不小于15包含的基本事件有：(7,8)，(8,7)，(8,8)，共3个，∴取得两个球的编号之和不小于15的概率为p=364．故选：C．先求出基本事件总数n=8×8=64，再求出取得两个球的编号之和不小于15包含的基本事件个数，由此能求出取得两个球的编号之和不小于15的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．9.答案：A解析：本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，属于中档题．根据题意，证出BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P−ABC的外接球直径，利用勾股定理结合题中数据算出PB=√5，得外接球半径R=√52，从而得到所求外接球的表面积．解：PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC=A，，∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P−ABC的外接球直径．∵Rt△PBA中，AB=√2，PA=√3，∴PB=√5，可得外接球半径R=12PB=√52，∴外接球的表面积S=4πR2=5π．故选A．10.答案：C解析：解：根据题意，分2种情况讨论：①、甲乙两人中有1人参加竞赛，先在甲乙中选取1人，有2种选法；在剩余3人选取2人，有C32=3种选法；将选出的人对应三科竞赛，有A33=6种情况，则此时有2×3×6=36种选法；②、甲乙都不参加竞赛，只需将剩余3人，对应参加三科竞赛，有A33=6种情况，则一共有36+6=42种不同的参赛方案；故选C．根据题意，分2种情况讨论：①、甲乙两人中有1人参加竞赛，可以分3步进行分析先在甲乙中选取1人，在剩余3人选取2人，将选出的人对应三科竞赛；求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得这种情况下的参赛方案数目；②、甲乙都不参加竞赛，只需将剩余3人，对应参加三科。

2020届新高考数学模拟试卷及答案解析14本文为2020届新高考数学模拟试卷第14套的内容及答案解析。

试卷均按照新高考改革的要求和考试大纲进行设计，旨在帮助同学们更好地适应新高考的考试形式。

一、选择题1. A2. C3. B4. D5. A6. B7. C8. D9. B 10. C二、填空题11. 15 12. 16 13. 42 14. 63 15. 9 16. 8 17. 区间不相交 18. 4 19. 60 20. 3三、解答题21. 解：因为直线l1 ∥平面π，所以直线l1与平面π的任意一条交线在平面π上也垂直于直线l2，所以我们只需找到一个点，使其满足这个条件即可。

22. 解：首先我们可以通过列向量的加法和数乘来计算同一个矩阵A的平方A²。

然后使用矩阵A和A²的乘法来计算所需结果。

计算完毕后，我们可以将结果写成列向量的形式。

23. 解：由已知条件得到方程组：x + y + z = 22x + 3y + z = 33x + 4y + z = 4利用高斯消元法解方程组，得到：x = 1y = 1z = 0所以方程组的解为x = 1, y = 1, z = 0。

24. 解：利用绝对值的性质，我们可以将给定方程进行分类讨论：当x > 2时，原方程变为 x - 2 = x - 2，方程有无数解。

当x = 2时，原方程变为 0 = 0，方程有无数解。

当x < 2时，原方程变为 2 - x = x - 2，化简后得到 -2 = -2，方程无解。

25. 解：根据题意，设小猫的体重为x，小狗的体重为y，则有：x + y = 30y = 2x将第二个等式代入第一个等式，得到：x + 2x = 30解得x = 10，代入第一个等式可得y = 20。

所以小猫的体重为10千克，小狗的体重为20千克。

26. 解：根据题意，事件A表示“小明早上迟到”，事件B表示“小刚早上迟到”。

已知P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，P(A∪B) = 0.5。

高考数学模拟考试卷（十四）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{|0}A x lgx =，集合{|(2)(21)0}B x x x =-+，则(A B = )A ．1{|1}2x x -B ．1{|2}2x x -C ．{|01}x xD ．{|01}x x <2．（5分）在复平面内，复数5(34iz i i=-为虚数单位），则z 对应的点的坐标为( ) A ．(3,4)B ．(4,3)-C ．4(5，3)5-D ．4(5-，3)5-3．（5分）函数2()|1|2f x ln x x x =+--的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．4．（5分）已知2sin 3αα，则7cos()(6πα-= ) A ．26B ．26-C 34D ．34 5．（5分）某学校高一年级星期五随机安排6节课，上午安排数学2节，语文和音乐各1节，下午安排英语、体育各1节，则2节数学恰好相邻的概率为( ) A ．34B ．12 C ．13D ．146．（5分）牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．明代曹昭在《格古要论⋅珍奇⋅鬼工毬》中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇，中直通一窍，内车数重，皆可转动，故谓之鬼工毬”．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为2100cm π和264cm π的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A ，在内球表面上有一点B ，连接线段AB ．若线段AB 不穿过小球内部，则线段AB 长度的最大值是( )A ．41cmB ．9cmC ．3cmD ．2cm7．（5分）已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(00)x y C a a b-=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，在双曲线C 上存在点M ，使得122||||OM F F =．设△12F MF 的面积为S ．若21216(||||)S MF MF =+，则该双曲线的离心率为( )A ．6B ．3 C ．32 D ．3 8．（5分）已知函数21,1()25,1xx f x lnx x x x ⎧->⎪=⎨⎪--+⎩，若函数2()()(12)()1F x f x a f x =+-+恰有5个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．743[,)412B ．37(,]24C ．343(,)212D ．1(,)2-∞-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年雅礼中学高三数学5月高考模拟试卷2024.05一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人．现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（）A ．9B ．12C ．15D ．182．已知集合{}2|680,{|13}M x x x N x x =-+<=<≤，则M N ⋂=（）A ．{|23}x x ≤≤B ．{|23}x x <≤C ．{|24}x x <≤D ．{|13}x x <≤3．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（）A ．6寸B ．4寸C ．3寸D ．2寸4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和抛物线()220y px p =>相交于A 、B 两点，直线AB 过抛物线的焦点1F ，且8AB =，椭圆的离心率为2．则抛物线和椭圆的标准方程分别为（）．A ．28y x =；22194x y +=B ．28y x =；2213618x y +=C ．24y x =；22194x y +=D ．24y x =；2213618x y +=5．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH ，其中1,AB O =为正八边形的中心，则AB HD ⋅=（）A 1B ．1C D ．1+6．人工智能领域让贝叶斯公式：()()()()P B A P A P A B P B =站在了世界中心位置，AI 换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI 对抗AI ，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（）A ．0.1%B ．0.4%C ．2.4%D ．4%7．加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）．已知椭圆C ：22197x y +=，P 是直线l ：43200x y -+=上一点，过P 作C 的两条切线，切点分别为M 、N ，连接OP （O 是坐标原点），当MPN ∠为直角时，直线OP 的斜率OP k =（）A ．43B ．43-C ．34D ．34-8．已知61log 4=a ，41log 3b =，()1e 1e c =+，则（）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．a c b<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设a ，b 为两条不重合的直线，α为一个平面，则下列说法正确的是（）A ．若a b ⊥，b α⊂，则a α⊥B ．若a α⊥，//a b ，则b α⊥C ．若//a α，b α⊂，则//a bD ．若//a α，b α⊥，则a b⊥r r10．已知()22ππsin cos (0)33f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列判断正确的是（）A ．若()()120f x f x ==，且12min π2x x -=，则2ω=B ．1ω=时，直线π6x =为()f x 图象的一条对称轴C ．1ω=时，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称D ．若()f x 在[]0,2π上恰有9个零点，则ω的取值范围为5359,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．若实数,x y 满足1221x y ++=，则下列选项正确的是（）A ．0x <且1y <-B ．11122xy -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为9C ．x y +的最小值为3-D ．1112222x y x y-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知复数13i z =-，其中i 为虚数单位，则2i z +=．13．数列{}n a 满足32132(N ,1)23n n a a a a n n n*+++⋅⋅⋅+=-∈≥，则n a =.14．设A 为双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b-=>>的一个实轴顶点，,B C 为Γ的渐近线上的两点，满足4BC AC =，AC a =，则Γ的渐近线方程是．四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人.(1)根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系；性别运动达标情况合计运动达标运动欠佳男生女生合计(2)现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.参考公式()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.α0.10.050.01x α2.7063.8416.63516．已知函数()ln 1xf x x =+．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当1x ≥时，()()1f x a x -≤，求a 的取值范围．17．如图，已知在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，且点,E F 分别为棱111,BB A C 的中点.(1)过点,,A E F 作三棱柱截面交11C B 于点P ，求线段1B P 长度；(2)求平面AEF 与平面11BCC B 的夹角的余弦值.18．由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆1C 的“特征三角形”为1 ，椭圆2C 的“特征三角形”为2 ，若12△∽△，则称椭圆1C 与2C “相似”，并将1 与2 的相似比称为椭圆1C 与2C 的相似比．已知椭圆1C ：2212x y +=与椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>相似．(1)求椭圆2C 的离心率；(2)若椭圆1C 与椭圆2C 的相似比为()0λλ>，设P 为2C 上异于其左、右顶点1A ，2A 的一点．①当λ=时，过P 分别作椭圆1C 的两条切线1PB ，2PB ，切点分别为1B ，2B ，设直线1PB ，2PB 的斜率为1k ，2k ，证明：12k k 为定值；②当λ=1PA 与1C 交于D ，E 两点，直线2PA 与1C 交于M ，N 两点，求DE MN +的值．19．设n 次多项式()121210()0n n n n n n P t a t a t a t a t a a --=+++++≠ ，若其满足(cos )cos n P x nx =，则称这些多项式()n P t 为切比雪夫多项式.例如：由cos cos θθ=可得切比雪夫多项式1()P x x =，由2cos22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式22()21P x x =-.(1)若切比雪夫多项式323()P x ax bx cx d =+++，求实数a ，b ，c ，d 的值；(2)对于正整数3n 时，是否有()()()122n n n P x x P x P x --=⋅-成立？(3)已知函数3()861f x x x =--在区间()1,1-上有3个不同的零点，分别记为123,,x x x ，证明：1230x x x ++=.1．C【分析】由题意按分层抽样的方法用36乘以高三年级的男生数占总男生数的比例即可求解.【详解】高三年级被抽到的男生人数为12003004005363615120012--⨯=⨯=.故选：C.2．B【分析】解一元二次不等式化简集合M ，再根据交集运算求解即可.【详解】因为{}2|680{|24}M x x x x x =-+<=<<，{|13}N x x =<≤，所以{|23}M N x x =<≤ .故选：B 3．C【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案.【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，因为积水深9寸，所以水面半径为()1146102⨯+=寸，则盆中水的体积为()221π9610610588π3⨯⨯++⨯=立方寸，所以平地降雨量等于2588π3π14=⨯寸.故选：C.4．B【详解】由椭圆与抛物线的对称性知，AB x ⊥轴，且1,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，故2A B p x x ==根据抛物线的定义可知1228AB x x p p =++==，所以抛物线的标准方程为28y x =．所以椭圆过点()2,4A ，又因为椭圆离心率为22，因此22222224161c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=+⎪⎩，解得223618a b ⎧=⎨=⎩，则椭圆的标准方程为2213618x y +=．故选：B ．5．D【分析】根据给定条件，利用正八边形的结构特征，结合数量积的定义计算即得.【详解】在正八边形ABCDEFGH 中，连接HC ，则//HC AB ，而135ABC ∠=o ，即45BCH ∠= ，于是90HCD ∠= ，在等腰梯形ABCH中，121cos 451CH =+⨯⨯=+所以1||cos ||1AB HD HD CHD HC ⋅=⨯∠==+故选：D6．C【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果.【详解】记“视频是AI 合成”为事件A ，记“鉴定结果为AI”为事件B ，则()()()()0.001,0.999,0.98,0.04P A P A P B A P B A ====∣，由贝叶斯公式得：()()()()()()()0.0010.980.0240.0010.980.9990.04P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯==⨯+⨯+，故选：C ．7．D【分析】利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，进而可求得直线l ：43200x y -+=为圆的切线，由1l OP k k =-⋅，即可得出结果.【详解】由椭圆C ：22197x y +=可知：3,a b ==，当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为6和，因此蒙日圆半径为4，圆方程为2216x y +=，当MPN ∠为直角时，可知点当P 在圆2216x y +=，因为O 到直线43200x y -+=的距离为4d ==，所以直线l ：43200x y -+=为圆的切线，因为直线43l k =，1l OP k k =-⋅，所以34OP k =-.故选：D.8．A【分析】由条件得到146a =，134b =，从而得到12216a =，12256b =，即可得出b a >，构造函数1(1)(1)xy x x =+>，利用函数的单调性，即可判断出c b >，从而得出结果.【详解】由61log 4=a ，得到146a =，又41log 3b =，所以134b =，所以112124(6)216a ==，112123(4)256b ==，又256216>，所以1212b a >，又0,0a b >>，得到b a >，令1(1)(1)xy x x =+>，则1ln ln(1)y x x=+，所以2111ln(1)(1)y x y x x x '=-+++，得到112211(1)[ln(1)](1)[(1)ln(1)](1)(1)xxx y x x x x x x x x x x +'=-+++=-++++，令()(1)ln(1)h x x x x =-++，则()1ln(1)1ln(1)0h x x x '=-+-=-+<在区间(1,)+∞上恒成立，所以()(1)ln(1)h x x x x =-++在区间(1,)+∞上单调递减，又(1)1(11)ln(11)12ln 21ln 40h =-++=-=-<，当(1,)x ∈+∞时，12(1)0(1)xx x x +>+，得到12(1)[(1)ln(1)]0(1)xx y x x x x x +'=-++<+在区间(1,)+∞上恒成立，所以1(1)x y x =+在区间(1,)+∞上单调递减，又e 3<，所以()113e 1e (13)c b =+>+=，得到c b a >>，故选：A.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于判断,b c 的大小，通过构造函数1(1)(1)x y x x =+>，利用导数与函数的单调性间的关系，得函数1(1)(1)x y x x =+>的单调性，即可求出结果.9．BD【分析】根据空间中线面之间的位置关系，判断各选项即可.【详解】对于A ，直线a 可能在平面α内，可能与平面α相交，也可能平面α平行，故A 错误.对于B ，设直线l 为平面α内的任意一条直线，因为a α⊥，l ⊂α，所以a l ⊥，又//a b ，所以b l ⊥，即b 与α内任意直线垂直，所以b α⊥，故B 正确.对于C ，若//a α，b α⊂，则直线a 与直线b 可能平行，也可能异面，故C 错误.对于D ，过直线a 作平面β，使得平面β与平面α相交，设m αβ= ，因为//a α，m αβ= ，a β⊂，所以//a m ，又b α⊥，m α⊂，所以b m ⊥，则b a ⊥，故D 正确.故选:BD 10．BD【分析】利用二倍角公式化简()f x ，利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.【详解】()22ππ2πcos sin cos 2,0333f x x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对于A ，根据条件，可得π2π,π,1222T T ωω=∴==∴=，故A 错误；对于B ，当1ω=时，()2πππ2πcos 2,cos cosπ13633f x x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+∴=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以直线π6x =为()f x 的一条对称轴，故B 正确；对于C ，当1ω=时，()2πcos 23f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，将()f x 向左平移π3个单位长度后可得π2ππcos 2cos 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为非奇非偶函数，故C 错误；对于D ，由题意[]0,2πx ∈，则2π2π2π24π333x ωω≤+≤+，因为()f x 在[]0,2π上恰有9个零，所以19π2π21π4π232ω≤+<，解得53592424ω≤<，故D 正确.故选：BD.11．ABD【分析】对于AD ，利用指数函数的性质即可判断；对于BC ，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.【详解】对于A ，由1221x y ++=，可得112120,2120y x x y ++=->=->，所以0x <且10y +<，即1y <-，故A 正确；对于B ，()11111112222225222222xy x y y x x y x y--+⎡⎤⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦59≥+，当且仅当222222y xx y ⋅⋅=，即2log 3x y ==-时，等号成立，所以11122xy -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为9，故B 正确；对于C ，因为1221x y ++=≥=12，即121224x y ++-≤=，所以3x y +≤-，当且仅当122x y +=，即11x y =+=-，即1,2x y =-=-时，等号成立，所以x y +的最大值为3-，故C 错误；对于D ，因为1212x y +=-，则()112212242x y y ++=-=-⋅，所以()111112222212232222x y x yy x y y y -+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅=+=+-=-⋅<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．12【分析】根据题意，求得2i 15i z +=+，结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由复数13i z =-，可得13i z =+，则2i 15i z +=+，所以2i 15i z +=+=.13．11,123,2n n n n -=⎧⎨⨯≥⎩【分析】当1n =时求出1a ，当2n ≥时1312132231n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=--，作差即可得解.【详解】因为32132(N ,1)23n n a a a a n n n*+++⋅⋅⋅+=-∈≥，当1n =时11321a =-=，当2n ≥时1312132231n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=--，所以113323n n n na n--=-=⨯，所以123n n a n -=⨯，当1n =时123n n a n -=⨯不成立，所以11,123,2n n n a n n -=⎧=⎨⨯≥⎩.故答案为：11,123,2n n n n -=⎧⎨⨯≥⎩14．y =【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得,OC OB ，再求AOC ∠的正切值，进而即可求得渐近线方程.【详解】根据题意，作图如下：依题意，OA 为COB ∠的角平分线，且444CB OA CA a ===，设OC m =，由角平分线定理可得：3OB AB OCAC==，则3OB m =；在OAC 中，由余弦定理2222cos 222AC CO OA m mOCA AC CO am a+-∠=；在OBC △中，由余弦定理可得，2222cos OB OC BC OC BC OCA =+-⋅∠，即222916242m m m a m a a =+-⨯⨯⨯，解得m a =故3cos cos 23m COA OCA a ∠=∠==，tan COA ∠，所以Γ的渐近线方程是y =．故答案为：y =.【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法：①直接求出,a b ，从而得解；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a b 的齐次式，从而得解；③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解.15．(1)列联表见解析，能(2)815【分析】（1）由已知数据完成22⨯列联表，计算2χ，与临界值比较得结论；（2）由分层抽样确定男女生人数，利用组合数公式和古典概型求解.【详解】（1）100名高中生，运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，则运动达标人数为31006032⨯=+，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，则运动达标的女生有40人，运动达标的男生有20人，22⨯列联表为性别运动达标情况合计运动达标运动欠佳男生20525女生403575合计6040100零假设为0H ：性别与锻炼情况独立，即学生体育运动时间达标与性别因素无关，22100(2035540)505.556 3.841,604025759χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 根据小概率值0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即学生体育运动时间达标与性别因素有关系，此推断犯错误的概率不超过0.05.（2）因为“运动达标”的男生､女生分别有20人和40人，按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生､女生分别抽到2人和4人，则选中的2人中恰有一人是女生的概率为114226C C 8C 15P ==.16．(1)1122y x =-(2)12a ≥【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）由题意，将问题转化为()()21ln 0g x a x x =--≥（[)1,x ∞∈+）恒成立，利用导数讨论函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】（1）由于()10f =，则切点坐标为()1,0，因为()21()1ln 1x x x f x +-=+'，所以切线斜率为()112f '=，故切线方程为10(1)2y x -=-，即1122y x =-．（2）当[)1,x ∞∈+时，()()1f x a x -≤等价于()2ln 1x a x -≤，令()()21ln =--g x a x x ，[)1,x ∞∈+，()2ln 1x a x -≤恒成立，则()0g x ≥恒成立，2121()2ax g x ax x x='-=-，当0a ≤时，()0g x '≤，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ≤=，不符合题意；当102a <<时，由()0g x '=，得1x =>，x ⎡∈⎢⎣时，()0g x '≤，函数()g x 单调递减，()()10g x g ≤=，不符合题意；当12a ≥时，21a ≥，因为1x ≥，所以2210ax -≥，则()0g x '≥，所以函数()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()10g x g ≥=，符合题意．综上所述，12a ≥．17．(1)23(2)58【分析】（1）将平面AEF 延展得到点P ，再利用相似三角形求解即可.（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量利用夹角公式求解即可.【详解】（1）由正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，又因为点,E F 分别为棱111,BB A C的中点，可得AF AE ==如图所示，延长AF 交1CC 的延长线于M 点，连接ME 交11B C 于点P ，则四边形AFPE 为所求截面，过点E 作BC 的平行线交1CC 于N ，所以1MPC MEN ∽因此1123MC PC MP ME MN EN ===，所以1142,33PC B P ==.（2）以点A 为原点，以1,AC AA 所在的直线分别为,y z轴，以过点A 垂直于平面yAz 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为2AB =，可得()())0,0,0,0,1,2,A F E ，则())0,1,2,AF AE == ，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则0,20,n AE y z n AF y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取1z =，则2,y x =-=2,1n ⎫=-⎪⎭，取BC 的中点D ，连接AD .因为△ABC 为等边三角形，可得AD BC ⊥，又因为1BB ⊥平面ABC ，且AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥，因为1BC BB B = ，且1,BC BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ，又由3,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，可得3,02AD ⎫=⎪⎪⎝⎭，所以平面11BCC B的一个法向量为)m =，设平面AEF 与平面11BCC B 的夹角为α，则5cos cos ,8m n m n m n α⋅===，所以平面AEF 与平面11BCC B 夹角的余弦值为58.18．(1)22(2)①证明见解析；②【分析】（1）首先得到1C 、2C 的长轴长、短轴长、焦距、依题意可得2a =，从而得到22b a =，再由离心率公式计算可得；（2）①设()00,P x y ，则直线1PB 的方程为()010y y k x x -=-，进而与椭圆C 联立方程，并结合判别式得()2220100102210x k x y k y --+-=，同理得到()2220200202210x k x y k y --+-=，进而得20122012y k k x -=-，再根据2200122y x =-即可求得答案；②由题知椭圆2C 的标准方程为2221x y +=，进而结合点P 在椭圆2C 上得1212PA PA k k =-，故设直线1PA 的斜率为k ，则直线2PA 的斜率为12k-，进而得其对应的方程，再与椭圆1C 联立方程并结合韦达定理，弦长公式得DE 、MN ，进而得DE MN +．【详解】（1）对于椭圆1C ：2212x y +=，则长轴长为，短轴长为2，焦距为2，椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长为2a ，短轴长为2b，焦距为=，所以22b a =，则椭圆2C的离心率2e ==.（22a ==，解得2a b =⎧⎪⎨⎪⎩2C ：22142x y+=，设()00,P x y ，则直线1PB 的方程为()010y y k x x -=-，即1010y k x y k x =+-，记010t y k x =-，则1PB 的方程为1y k x t =+，将其代入椭圆1C 的方程，消去y ，得()22211214220k x k tx t +++-=，因为直线1PB 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()222114421220k t k t ∆=-+-=，即221210k t -+=，将010t y k x =-代入上式，整理得()222010*******x k x y k y --+-=，同理可得()222020*******x k x y k y --+-=，所以12,k k 为关于k 的方程()22200002210x k x y k y --+-=的两根，所以20122012y k k x -=-．又点()00,P x y 在椭圆222:142x y C +=上，所以2200122y x =-，所以2012201211222x k k x --==--，为定值．②由相似比可知，2a ==12a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆2C ：2221x y +=，其左、右顶点分别为()11,0A -，()21,0A ，恰好为椭圆1C 的左、右焦点，设()33,P x y ，易知直线1PA 、2PA 的斜率均存在且不为0，所以1223233333111PA PA y y y k k x x x =⋅=+--，因为()33,P x y 在椭圆2C 上，所以332221x y +=，即232312x y -=-，所以123223112PA PA y k k x ==--．设直线1PA 的斜率为k ，则直线2PA 的斜率为12k-，所以直线1PA 的方程为()1y k x =+．由()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2222124220k x k x k +++-=，设()44,D x y ，()55,E x y ，则2425412k x x k -+=+，22452212k x x k -=+，所以45DE x =-=)22112k k +==+，同理可得)222211214121122k k MN k k ⎤⎛⎫+-⎥ ⎪+⎝⎭⎥⎣⎦=+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以))22221141212D k k kE N kM ++=++=++【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.19．(1)4,0,3a b d c ====-(2)()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-成立(3)证明见解析【分析】（1）利用()()3cos cos3cos 2P θθθθ==+展开计算，根据切比雪夫多项式可求得,,,a b d c ；（2）要证原等式成立，只需证明()()cos 1cos 12cos cos n n n θθθθ++-=⋅成立即可，利用两角和与差的余弦公式可证结论成立；（3）由已知可得方程31432x x -=在区间()1,1-上有3个不同的实根，令()cos ,0,πx θθ=∈，结合（1）可是1cos32θ=，可得123π5π7πcos ,cos ,cos 999x x x ===，计算可得结论.【详解】（1）依题意，()()()223cos cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos P θθθθθθθθθθθθ==+=-=--()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-，因此()3343P x x x =-，即32343ax bx cx d x x +++=-，则4,0,3a b d c ====-，（2）()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-成立.这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式()()cos 1cos 12cos cos n n n θθθθ++-=⋅.首先有如下两个式子：()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ+=+=-，()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ-=-=+，两式相加得，()()()11cos cos 2cos cos 2cos cos n n n P P n P θθθθθθ-++==，将cos θ替换为x ，所以()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-.所以对于正整数3n ≥时，有()()()122n n n P x x P x P x --=⋅-成立.（3）函数()3861f x x x =--在区间()1,1-上有3个不同的零点123,,x x x ，即方程31432x x -=在区间()1,1-上有3个不同的实根，令()cos ,0,πx θθ=∈，由()1知1cos32θ=，而()30,3πθ∈，则π33θ=或5π33θ=或7π33θ=，于是123π5π7πcos ,cos ,cos 999x x x ===，则123π5π7ππ4π2πcos cos coscos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=+=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππππcos cos cos cos 2cos cos cos 999999399⎛⎫⎛⎫+=+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1230x x x ++=.。

河南高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知向量，，若，则（）A．B．4C．D．32.函数的零点位于区间（）A．B．C．D．3.已知等比数列的前项和为，若，，则（）A．B．C．3D．94.将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值可能为（）A．B．C．D．5.已知，则下列说法错误的是（）A．B．C．D．6.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A．B．3C．D．67.已知函数，若，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.已知函数若关于的方程有3个实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9.已知，若，则（）A．B．C．D．10.已知实数满足若的最大值为10，则（）A．1B．2C．3D．411.已知数列满足，，其前项和为，则下列说法正确的个数为（）①数列是等差数列；②；③.A．0B．1C．2D．312.已知，若，则当取得最小值时，（）A．2B．4C．6D．8二、填空题1.不等式的解集为__________．2.已知实数，，则的取值范围是__________．3.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________．4.在中，角所对的边分别为，若，且，记为边上的高，则的取值范围为__________．三、解答题1.已知数列的首项为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.2.已知中，角所对的边分别为，且，在线段上，.（Ⅰ）若的面积为24，求的长；（Ⅱ）若，且，，求的长.3.已知向量，.（Ⅰ）若，求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若向量满足，，求的值.4.已知等比数列的前项和，等差数列的前5项和为30，且.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.5.已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）已知点，曲线在点处的切线与直线交于点，求（为坐标原点）的面积最小时的值，并求出面积的最小值.6.已知函数，.（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）探究函数的极值点情况，并说明理由.河南高三高中数学高考模拟答案及解析一、选择题1.已知向量，，若，则（）A．B．4C．D．3【答案】A【解析】因为，所以,选A.2.函数的零点位于区间（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,所以由零点存在定理得零点位于区间，选C.3.已知等比数列的前项和为，若，，则（）A．B．C．3D．9【答案】B【解析】，所以选B.4.将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值可能为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，当时，选D.5.已知，则下列说法错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】为减函数，所以为增函数，所以，选D.6.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A．B．3C．D．6【答案】A【解析】，选A.7.已知函数，若，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】函数为偶函数，且在上单调递减，上单调递增，所以，因此“”是“”的充要条件，选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．点睛：判断充分条件和必要条件的方法8.已知函数若关于的方程有3个实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作图如下：因此要使方程有3个，实数的取值范围是，选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．9.已知，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，选A.点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.10.已知实数满足若的最大值为10，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】作可行域，则直线过点(3,4)时取最大值，由得，选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11.已知数列满足，，其前项和为，则下列说法正确的个数为（）①数列是等差数列；②；③.A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】,所以当时，,因此，故①②错；当时，当时，，因此③对，选B.12.已知，若，则当取得最小值时，（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】因为因此时取最小值，即，选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、填空题1.不等式的解集为__________．【答案】【解析】因为，所以或，即解集为2.已知实数，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】当时,;当时,;即的取值范围是3.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】在上恒成立，所以最大值令，则，当时点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.4.在中，角所对的边分别为，若，且，记为边上的高，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由得所以三、解答题1.已知数列的首项为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）先构造等比数列：，再根据等比数列通项公式得，即得数列的通项公式；（2）先化简，再根据，利用裂项相消法求和试题解析：解：（Ⅰ）由得，则数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，可得，从而.（Ⅱ）依题意，，故，故.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.2.已知中，角所对的边分别为，且，在线段上，.（Ⅰ）若的面积为24，求的长；（Ⅱ）若，且，，求的长.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理求的长；（2）先根据三角函数同角关系求得，再根据正弦定理求得，根据两角和正弦公式求得，最后根据正弦定理解得的长.试题解析：解：（Ⅰ）由，解得.在中，，即，.（Ⅱ）因为，且，可以求得，.依题意，，即，解得.因为，故，故.在中，由正弦定理可得，解得.3.已知向量，.（Ⅰ）若，求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若向量满足，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）先根据向量数量积得，再根据二倍角公式、配角公式化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求递减区间；（2）先根据向量相等得，.再根据三角函数同角关系求得，解得的值.试题解析：解：（Ⅰ）依题意，，令，故，故，即函数的单调递减区间为.（写成也正确）（Ⅱ）依题意，，所以，.由得，即，从而.所以.因为，所以.所以，从而.4.已知等比数列的前项和，等差数列的前5项和为30，且.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】（1）根据和项与通项关系解得根据待定系数法解得等差数列公差与首项，代人即得的通项公式；（2）根据错位相减法求数列的前项和.注意相减时项的符号变号，求和时项的个数，最后不要忘记除以试题解析：解：（Ⅰ）当时，；当时，.综上所述，.设数列的公差为，故解得，，故.（Ⅱ）依题意，，∴，①∴，②①—②得，，∴.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.5.已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）已知点，曲线在点处的切线与直线交于点，求（为坐标原点）的面积最小时的值，并求出面积的最小值.【答案】（1）单调递增（2）时，的面积有最小值1.【解析】（1）先求导数，再求导函数零点，根据零点分区间讨论导函数符号，即得函数的单调性；（2）先根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式写出切线方程，与联立得点，再根据三角形面积公式得，利用导数研究函数单调性，即得最小值.试题解析：解：（Ⅰ）依题意，.令，故，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，故，故，即，故函数在上单调递增.（Ⅱ）依题意，切线的斜率为，由此得切线的方程为，令，得，所以，.设，.则，令，得或.，的变化情况如下表：所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即时，的面积有最小值1.6.已知函数，.（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）探究函数的极值点情况，并说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）先求函数导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式写出切线方程（2）先求导数，转化研究函数,利用导数易得先减后增，讨论与两个端点值以及最小值点大小关系，确定极值点情况.试题解析：解：（Ⅰ）依题意，故，因为，故所求切线方程为，即.（Ⅱ），，记，则，.当时，，当时，，所以当时，取得极小值，又，，.（i）当，即时，恒成立，函数在区间上无极值点；（ii）当，即时，有两不同解，函数在上有两个极值点；（iii）当，即时，有一解，函数在区间上有一个极值点；（iv）当，即时，，函数在区间上无极值点.。