中考数学考前训练:《分式(1)》专题测试及答案
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中考数学模拟题《分式与分式方程》专项测试卷(附答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1.(2023·湖南·统考中考真题)将关于x 的分式方程3121x x =-去分母可得( ) A .332x x -=B .312x x -=C .31x x -=D .33x x -=2.(2023·湖南郴州·统考中考真题)小王从A 地开车去B 地 两地相距240km .原计划平均速度为x km/h 实际平均速度提高了50% 结果提前1小时到达.由此可建立方程为( ) A .24024010.5x x-= B .24024011.5x x-= C .24024011.5x x-= D . 1.5240x x +=3.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)某运输公司 运送一批货物 甲车每天运送货物总量的14.在甲车运送1天货物后 公司增派乙车运送货物 两车又共同运送货物12天 运完全部货物.求乙车单独运送这批货物需多少天?设乙车单独运送这批货物需x 天 由题意列方程 正确的是( )A .11142x += B .11111424x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭C .1111142x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭D .11111442x⎛⎫++= ⎪⎝⎭4.(2023·广东深圳·统考中考真题)某运输公司运输一批货物 已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物 且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同 设有大货车每辆运输x 吨,则所列方程正确的是( ) A .75505x x=- B .75505x x =- C .75505x x=+ D .75505x x =+ 5.(2023·云南·统考中考真题)阅读 正如一束阳光.孩子们无论在哪儿 都可以感受到阳光的照耀 都可以通过阅读触及更广阔的世界.某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动.甲 乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发 参加分享活动.甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍 乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点.若设乙同学的速度是x 米/分,则下列方程正确的是( ) A .1.24800400x x-= B .1.24800400x x-= C .40080041.2x x-= D .80040041.2x x-= 6.(2023·甘肃武威·统考中考真题)方程211x x =+的解为( ) A .2x =- B .2x =C .4x =-D .4x =7.(2023·上海·统考中考真题)在分式方程2221521x x x x -+=-中 设221x y x -= 可得到关于y 的整式方程为( )A .2550y y ++=B .2550y y -+=C .2510y y ++=D .2510y y -+=8.(2023·天津·统考中考真题)计算21211x x ---的结果等于( ) A .1-B .1x -C .11x + D .211x - 9.(2023·湖北随州·统考中考真题)甲 乙两个工程队共同修一条道路 其中甲工程队需要修9千米 乙工程队需要修12千米.已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米 最终用的时间比甲工程队少半个月.若设甲工程队每个月修x 千米,则可列出方程为( ) A .912112x x -=+ B .129112x x -=+ C .912112x x -=+ D .129112x x -=+ 10.(2023·四川内江·统考中考真题)用计算机处理数据 为了防止数据输入出错 某研究室安排两名程序操作员各输入一遍 比较两人的输入是否一致 本次操作需输入2640个数据 已知甲的输入速度是乙的2倍 结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各能输入多少个数据?设乙每分钟能输入x 个数据 根据题意得方程正确的是( ) A .2640264022x x=+ B .2640264022x x=- C .264026402602x x =+⨯ D .264026402602x x=-⨯ 11.(2023·湖北十堰·统考中考真题)为了落实“双减”政策 进一步丰富文体活动 学校准备购进一批篮球和足球 已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元 用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个 如果设每个足球的价格为x 元 那么可列方程为( ) A .1500800520x x -=+ B .1500800520x x-=- C .8001500520x x -=+ D .8001500520x x -=- 12.(2023·湖南·统考中考真题)某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动 已知学校离韶山50千米 师生乘大巴车前往 某老师因有事情 推迟了10分钟出发 自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往 结果同时到达.设大巴车的平均速度为x 千米/时,则可列方程为( ) A .505011.26x x =+ B .505010 1.2x x+= C .5050101.2x x=+ D .501506 1.2x x+= 13.(2023·四川·统考中考真题)近年来 我市大力发展交通 建成多条快速通道 小张开车从家到单位有两条路线可选择 路线a 为全程10千米的普通道路 路线b 包含快速通道 全程7千米 走路线b 比路线a 平均速度提高40% 时间节省10分钟 求走路线a 和路线b 的平均速度分别是多少?设走路线a 的平均速度为x 千米/小时 依题意 可列方程为( )A .()10710140%60x x -=+B .()10710140%x x -=+ C .()71010140%60x x -=+D .()71010140%x x-=+ 14.(2023·广东·统考中考真题)计算32a a+的结果为( )A .1aB .26a C .5aD .6a15.(2023·辽宁大连·统考中考真题)将方程13311xx x+=--去分母 两边同乘()1x -后的式子为( ) A .()1331x x +=-B .()1313x x +-=-C .133x x -+=-D .()1313x x +-=16.(2023·湖南张家界·统考中考真题)《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著 是宋元数学集大成者 也是我国古代水平最高的一部数学著作.该著作记载了“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱 倩人去买几株椽.每株脚钱三文足 无钱准与一株椽”.大意是:现请人代买一批椽 这批椽的总售价为6210文.如果每株椽的运费是3文 那么少拿一株椽后 剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱 试问6210文能买多少株椽?设6210元购买椽的数量为x 株,则符合题意的方程是( ). A .621031x x =- B .()316210x -= C .()621031x x-=D .()6210311x x -=- 17.(2023·黑龙江·统考中考真题)已知关于x 的分式方程122m xx x+=--的解是非负数,则m 的取值范围是( ) A .2m ≤B .2m ≥C .2m ≤且2m ≠-D .2m <且2m ≠-18.(2023·河南·统考中考真题)化简11a a a-+的结果是( ) A .0B .1C .aD .2a -19.(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)化简422x x +-+的结果是( ) A .1 B .224x x -C .2x x +D .22x x +20.(2023·湖北武汉·统考中考真题)已知210x x --= 计算2221121-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x 的值是( ) A .1 B .1- C .2 D .2-21.(2023·山东聊城·统考中考真题)若关于x 的分式方程111x m x x+=--的解为非负数,则m 的取值范围是( )A .1m 且1m ≠-B .1m ≥-且1m ≠C .1m <且1m ≠-D .1m >-且1m ≠二 填空题22.(2023·浙江台州·统考中考真题)3月12日植树节期间 某校环保小卫士组织植树活动.第一组植树12棵 第二组比第一组多6人 植树36棵 结果两组平均每人植树的棵数相等,则第一组有________人. 23.(2023·浙江绍兴·统考中考真题)方程3911x x x =++的解是________. 24.(2023·上海·统考中考真题)化简:2211x x x---的结果为________. 25.(2023·湖南·统考中考真题)已知5x =,则代数式2324416x x ---的值为________. 26.(2023·江苏苏州·统考中考真题)分式方程123x x +=的解为x =________________. 27.(2023·湖南永州·统考中考真题)若关于x 的分式方程1144mx x-=--(m 为常数)有增根,则增根是_______. 28.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)化简:2222142442x x x x x x x x x+--⎛⎫-÷= ⎪--+-⎝⎭_______. 29.(2017·江西·南昌市育新学校校联考一模)分式方程2102x x -=-的解是_____. 30.(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)方程216124x x x ++=+-的解为___________.三 解答题31.(2023·湖北黄冈·统考中考真题)化简:21211x xx x +---.32.(2023·辽宁大连·统考中考真题)计算:21123926a a a a -⎛⎫+÷ ⎪+-+⎝⎭.33.(2023·广东深圳·统考中考真题)先化简 再求值:22111121x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭其中3x =.34.(2022·江苏南京·模拟预测)解方程:2533322x x x x --=---.35.(2023·四川眉山·统考中考真题)先化简:214111x x x -⎛⎫-÷⎪--⎝⎭再从2,1,1,2--选择中一个合适的数作为x 的值代入求值.36.(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)以下是某同学化简分式22a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭的部分运算过程: 解:原式22a b a b ab b a a a a---=÷-+…………第一步 212a b a b a a a a ab b --=⋅-⋅-…………第二步 222a b a ba ab b --==-…………第三步 ……(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误 (2)请你写出完整的解答过程.37.(2023·湖南怀化·统考中考真题)先化简234111a a a -⎛⎫+÷⎪--⎝⎭ 再从1- 0 1 2中选择一个适当的数作为a 的值代入求值.38.(2023·甘肃武威·统考中考真题)化简:22222244a b a b a b a b a b a ab b+---÷+--+.39.(2023·山东烟台·统考中考真题)先化简 再求值:2695222a a a a a -+⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭ 其中a 是使不等式112a -≤成立的正整数.40.(2023·江苏苏州·统考中考真题)先化简 再求值:221422211a a a a a a --⋅---+- 其中12a =.41.(2023·湖南永州·统考中考真题)先化简 再求值:211121x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭其中2x =.42.(2023·湖北随州·统考中考真题)先化简 再求值:24242x x ÷-- 其中1x =.43.(2023·湖南·统考中考真题)先化简 再求值:211114x x x +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭其中3x =.44.(2023·山西·统考中考真题)解方程:131122x x +=--.45.(2023·湖北宜昌·统考中考真题)先化简 再求值:222442342a a a a a a-+-÷+-+ 其中33=a .46.(2023·湖南郴州·统考中考真题)先化简 再求值:22311213x x x x x x x+-⋅+-++ 其中13x =47.(2023·广西·统考中考真题)解分式方程:211x x=-.48.(2023·四川·统考中考真题)先化简 再求值:222222322x y x x y y x x y xy ⎛⎫++÷ ⎪---⎝⎭ 其中31x = 3y =49.(2023·山东·统考中考真题)先化简 再求值:223x x xx y x y x y ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭ 其中x y 满足230x y +-=.50.(2023·广东·统考中考真题)某学校开展了社会实践活动 活动地点距离学校12km 甲 乙两同学骑自行车同时从学校出发 甲的速度是乙的1.2倍 结果甲比乙早到10min 求乙同学骑自行车的速度.51.(2023·湖南张家界·统考中考真题)先化简22341121x x x x x -⎛⎫--÷ ⎪+++⎝⎭ 然后从1- 1 2这三个数中选一个合适的数代入求值.52.(2023·四川遂宁·统考中考真题)先化简 再求值:2221111x x x x -+⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭ 其中112x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.53.(2023·江西·统考中考真题)化简21x x x -⎛⎫+⋅ ⎪.下面是甲 乙两同学的部分运算过程:解:原式()()()()()()21111111x x x x x x x x x x ⎡⎤-+-=+⋅⎢⎥+-+-⎣⎦ ……解:原式221111x x x x x x x x--=⋅+⋅+- ……(1)甲同学解法的依据是________ 乙同学解法的依据是________ (填序号) ①等式的基本性质 ①分式的基本性质 ①乘法分配律 ①乘法交换律. (2)请选择一种解法 写出完整的解答过程.54.(2023·湖南常德·统考中考真题)先化简 再求值:231242x x x x ++⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭其中5x =.55.(2023·山东枣庄·统考中考真题)先化简 再求值:222211a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭其中a 的值从不等式组15a -<<56.(2023·山东滨州·统考中考真题)先化简 再求值:22421244a a a a a a a a -+-⎛⎫÷- ⎪--+⎝⎭其中a 满足1216cos6004a a -⎛⎫-⋅+ ⎪⎭︒=⎝.57.(2023·湖南·统考中考真题)先化简 再求值:222119x x x x +⎛⎫+⋅⎪+-⎝⎭ 其中6x =.58.(2023·山东聊城·统考中考真题)先化简 再求值:222224422a a a a a a a a+⎛⎫+÷ ⎪-+--⎝⎭ 其中22a .59.(2023·湖北荆州·统考中考真题)先化简 再求值:222222x y x xy y x y x y x y x y ⎛⎫--+--÷ ⎪+-+⎝⎭其中112x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 0(2023)y =-.60.(2023·福建·统考中考真题)先化简 再求值:22111x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭其中21x =.61.(2023·黑龙江·统考中考真题)先化简 再求值:2222111m m m m m -+⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭其中tan601m =︒-.62.(2023·山东·统考中考真题)为加快公共领域充电基础设施建设 某停车场计划购买A B 两种型号的充电桩.已知A 型充电桩比B 型充电桩的单价少0.3万元 且用15万元购买A 型充电桩与用20万元购买B 型充电桩的数量相等.(1)A B 两种型号充电桩的单价各是多少?(2)该停车场计划共购买25个A B 型充电桩 购买总费用不超过26万元 且B 型充电桩的购买数量不少于A 型充电桩购买数量的12.问:共有哪几种购买方案?哪种方案所需购买总费用最少?参考答案一 单选题1.(2023·湖南·统考中考真题)将关于x 的分式方程3121x x =-去分母可得( ) A .332x x -= B .312x x -= C .31x x -= D .33x x -=【答案】A【分析】方程两边都乘以()21x x - 从而可得答案. 【详解】解:①3121x x =- 去分母得:()312x x -= 整理得:332x x -= 故选:A .【点睛】本题考查的是分式方程的解法 熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键.2.(2023·湖南郴州·统考中考真题)小王从A 地开车去B 地 两地相距240km .原计划平均速度为x km/h 实际平均速度提高了50% 结果提前1小时到达.由此可建立方程为( ) A .24024010.5x x-= B .24024011.5x x-= C .24024011.5x x-= D . 1.5240x x +=【答案】B【分析】设原计划平均速度为x km/h 根据实际平均速度提高了50% 结果提前1小时到达 列出分式方程即可.【详解】解:设原计划平均速度为x km/h 由题意 得: ()2402401150%x x -=+ 即:24024011.5x x-= 故选:B.【点睛】本题考查根据实际问题列方程.找准等量关系 正确得列出方程 是解题的关键.3.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)某运输公司 运送一批货物 甲车每天运送货物总量的14.在甲车运送1天货物后 公司增派乙车运送货物 两车又共同运送货物12天 运完全部货物.求乙车单独运送这批货物需多少天?设乙车单独运送这批货物需x 天 由题意列方程 正确的是( )A .11142x += B .11111424x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭C .1111142x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭D .11111442x⎛⎫++= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】设乙车单独运送这批货物需x 天 由题意列出分式方程即可求解. 【详解】解:设乙车单独运送这批货物需x 天 由题意列方程11111424x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 故选:B .【点睛】本题考查了列分式方程 根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键.4.(2023·广东深圳·统考中考真题)某运输公司运输一批货物 已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物 且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同 设有大货车每辆运输x 吨,则所列方程正确的是( ) A .75505x x=- B .75505x x =- C .75505x x=+ D .75505x x =+【答案】B【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程. 【详解】解:设有大货车每辆运输x 吨,则小货车每辆运输()5x -吨 则75505x x =-. 故选:B.【点睛】本题考查分式方程的应用 理解题意准确找到等量关系是解题的关键.5.(2023·云南·统考中考真题)阅读 正如一束阳光.孩子们无论在哪儿 都可以感受到阳光的照耀 都可以通过阅读触及更广阔的世界.某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动.甲 乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发 参加分享活动.甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍 乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点.若设乙同学的速度是x 米/分,则下列方程正确的是( ) A .1.24800400x x-= B .1.24800400x x-= C .40080041.2x x-= D .80040041.2x x-= 【答案】D【分析】设乙同学的速度是x 米/分 根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点 列出方程即可. 【详解】解①设乙同学的速度是x 米/分 可得: 80040041.2x x-= 故选: D .【点睛】本题考查分式方程的应用 分析题意 找到合适的等量关系是解决问题的关键. 6.(2023·甘肃武威·统考中考真题)方程211x x =+的解为( ) A .2x =- B .2x = C .4x =- D .4x =【答案】A【分析】把分式方程转化为整式方程求解 然后解出的解要进行检验 看是否为增根. 【详解】去分母得()21x x += 解方程得2x =-检验:2x =-是原方程的解 故选:A .【点睛】本题考查了解分式方程的一般步骤 解题关键是熟记解分式方程的基本思想是“转化思想” 即把分式方程转化为整式方程求解 注意分式方程需要验根.7.(2023·上海·统考中考真题)在分式方程2221521x x x x -+=-中 设221x y x -= 可得到关于y 的整式方程为( )A .2550y y ++=B .2550y y -+=C .2510y y ++=D .2510y y -+=【答案】D 【分析】设221x y x -=,则原方程可变形为15y y += 再化为整式方程即可得出答案. 【详解】解:设221x y x-=,则原方程可变形为15y y += 即2510y y -+= 故选:D.【点睛】本题考查了利用换元法解方程 正确变形是关键 注意最后要化为整式方程. 8.(2023·天津·统考中考真题)计算21211x x ---的结果等于( ) A .1- B .1x - C .11x + D .211x - 【答案】C【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可. 【详解】解:()()()()21212111111x x x x x x x +-=----+-+ ()()1211x x x +-=-+ ()()111x x x -=-+11x =+ 故选:C .【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则 解答关键是按照相关法则进行计算.9.(2023·湖北随州·统考中考真题)甲 乙两个工程队共同修一条道路 其中甲工程队需要修9千米 乙工程队需要修12千米.已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米 最终用的时间比甲工程队少半个月.若设甲工程队每个月修x 千米,则可列出方程为( ) A .912112x x -=+ B .129112x x -=+ C .912112x x -=+ D .129112x x -=+ 【答案】A【分析】设甲工程队每个月修x 千米,则乙工程队每个月修()1x +千米 根据“最终用的时间比甲工程队少半个月”列出分式方程即可.【详解】解:设甲工程队每个月修x 千米,则乙工程队每个月修()1x +千米 依题意得912112x x -=+ 故选:A .【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程 关键是分析题意 找准关键语句 列出相等关系. 10.(2023·四川内江·统考中考真题)用计算机处理数据 为了防止数据输入出错 某研究室安排两名程序操作员各输入一遍 比较两人的输入是否一致 本次操作需输入2640个数据 已知甲的输入速度是乙的2倍 结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各能输入多少个数据?设乙每分钟能输入x 个数据 根据题意得方程正确的是( ) A .2640264022x x=+ B .2640264022x x=- C .264026402602x x =+⨯ D .264026402602x x=-⨯ 【答案】D【分析】设乙每分钟能输入x 个数据,则甲每分钟能输入2x 个数据 根据“甲比乙少用2小时输完”列出分式方程即可.【详解】解:设乙每分钟能输入x 个数据,则甲每分钟能输入2x 个数据 由题意得264026402602x x=-⨯ 故选:D .【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程 找准等量关系 正确列出分式方程是解题的关键. 11.(2023·湖北十堰·统考中考真题)为了落实“双减”政策 进一步丰富文体活动 学校准备购进一批篮球和足球 已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元 用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个 如果设每个足球的价格为x 元 那么可列方程为( ) A .1500800520x x -=+ B .1500800520x x-=- C .8001500520x x -=+ D .8001500520x x -=- 【答案】A【分析】设每个足球的价格为x 元,则篮球的价格为()+20x 元 根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可.【详解】解:设每个足球的价格为x 元,则篮球的价格为()+20x 元 由题意可得:1500800520x x-=+故选:A .【点睛】本题考查分式方程的应用 正确理解题意是关键.12.(2023·湖南·统考中考真题)某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动 已知学校离韶山50千米 师生乘大巴车前往 某老师因有事情 推迟了10分钟出发 自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往 结果同时到达.设大巴车的平均速度为x 千米/时,则可列方程为( ) A .505011.26x x =+ B .505010 1.2x x+= C .5050101.2x x=+ D .501506 1.2x x+= 【答案】A【分析】设大巴车的平均速度为x 千米/时,则老师自驾小车的平均速度为1.2x 千米/时 根据时间的等量关系列出方程即可.【详解】解:设大巴车的平均速度为x 千米/时,则老师自驾小车的平均速度为1.2x 千米/时 根据题意列方程为:505011.26x x =+ 故答案为:A .【点睛】本题考查了分式方程的应用 找到等量关系是解题的关键.13.(2023·四川·统考中考真题)近年来 我市大力发展交通 建成多条快速通道 小张开车从家到单位有两条路线可选择 路线a 为全程10千米的普通道路 路线b 包含快速通道 全程7千米 走路线b 比路线a 平均速度提高40% 时间节省10分钟 求走路线a 和路线b 的平均速度分别是多少?设走路线a 的平均速度为x 千米/小时 依题意 可列方程为( ) A .()10710140%60x x -=+ B .()10710140%x x -=+ C .()71010140%60x x -=+D .()71010140%x x-=+ 【答案】A【分析】若设路线a 时的平均速度为x 千米/小时,则走路线b 时的平均速度为()140%x +千米/小时 根据路线b 的全程比路线a 少用10分钟可列出方程.【详解】解:由题意可得走路线b 时的平均速度为()140%x +千米/小时 ①()10710140%60x x -=+ 故选:A .【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程 找到关键描述语 找到合适的等量关系是解决问题的关键.14.(2023·广东·统考中考真题)计算32a a+的结果为( )A .1aB .26a C .5aD .6a【答案】C【分析】根据分式的加法运算可进行求解. 【详解】解:原式5a= 故选:C .【点睛】本题主要考查分式的运算 熟练掌握分式的运算是解题的关键. 15.(2023·辽宁大连·统考中考真题)将方程13311xx x+=--去分母 两边同乘()1x -后的式子为( ) A .()1331x x +=- B .()1313x x +-=- C .133x x -+=- D .()1313x x +-=【答案】B【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得. 【详解】解:13311xx x+=-- 两边同乘()1x -去分母 得()1313x x +-=- 故选:B .【点睛】本题考查了解分式方程 熟练掌握去分母的方法是解题关键.16.(2023·湖南张家界·统考中考真题)《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著 是宋元数学集大成者 也是我国古代水平最高的一部数学著作.该著作记载了“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱 倩人去买几株椽.每株脚钱三文足 无钱准与一株椽”.大意是:现请人代买一批椽 这批椽的总售价为6210文.如果每株椽的运费是3文 那么少拿一株椽后 剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱 试问6210文能买多少株椽?设6210元购买椽的数量为x 株,则符合题意的方程是( ). A .621031x x =- B .()316210x -= C .()621031x x-= D .()6210311x x -=- 【答案】C【分析】设6210元购买椽的数量为x 株 根据单价=总价÷数量 求出一株椽的价钱为6210x再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱 即可列出分式方程 得到答案.【详解】解:设6210元购买椽的数量为x 株,则一株椽的价钱为6210x由题意得:()621031x x-= 故选:C .【点睛】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程 正确理解题意找出等量关系是解题关键. 17.(2023·黑龙江·统考中考真题)已知关于x 的分式方程122m xx x+=--的解是非负数,则m 的取值范围是( ) A .2m ≤ B .2m ≥ C .2m ≤且2m ≠- D .2m <且2m ≠-【答案】C【分析】解分式方程求出22mx -= 然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m 的不等式组 求解即可.【详解】解:分式方程去分母得:2m x x +-=- 解得:22mx -=①分式方程122m xx x+=--的解是非负数 ①202m-≥ 且222m x -=≠ ①2m ≤且2m ≠- 故选:C .【点睛】本题考查了解分式方程 解一元一次不等式组 正确得出关于m 的不等式组是解题的关键. 18.(2023·河南·统考中考真题)化简11a a a-+的结果是( ) A .0 B .1 C .a D .2a -【答案】B【分析】根据同母的分式加法法则进行计算即可. 【详解】解:11111a a aa a a a--++=== 故选:B .【点睛】本题考查同分母的分式加法 熟练掌握运算法则是解决问题的关键. 19.(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)化简422x x +-+的结果是( )A .1B .224x x -C .2x x +D .22x x +【答案】D【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案. 【详解】解:422x x +-+ ()()4222x x x ++-=+22x x =+. 故选:D.【点睛】本题考查了分式的化简 解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则.20.(2023·湖北武汉·统考中考真题)已知210x x --= 计算2221121-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x 的值是( ) A .1 B .1- C .2 D .2-【答案】A【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简 然后把21x x =+代入原式即可求出答案.【详解】解:2221121-⎛⎫-÷⎪+++⎝⎭x x x x x x =()()()()2121111x x x x x x x x x ⎡⎤-+-÷⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦ =()()()21111x x x x x x +-⋅+- =21x x + ①210x x --= ①21x x =+ ①原式=21x x +=1 故选:A.【点睛】本题考查分式的混合运算及求值.解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则. 21.(2023·山东聊城·统考中考真题)若关于x 的分式方程111x mx x+=--的解为非负数,则m 的取值范围是( )A .1m 且1m ≠-B .1m ≥-且1m ≠C .1m <且1m ≠-D .1m >-且1m ≠【答案】A【分析】把分式方程的解求出来 排除掉增根 根据方程的解是非负数列出不等式 最后求出m 的范围. 【详解】解:方程两边都乘以()1x - 得:1x x m +-=- 解得:12mx -=①10x -≠ 即:112m-≠ ①1m ≠-又①分式方程的解为非负数 ①102m-≥ ①1m①m 的取值范围是1m 且1m ≠- 故选:A .【点睛】本题考查了分式方程的解 根据条件列出不等式是解题的关键 分式方程一定要检验.二 填空题22.(2023·浙江台州·统考中考真题)3月12日植树节期间 某校环保小卫士组织植树活动.第一组植树12棵 第二组比第一组多6人 植树36棵 结果两组平均每人植树的棵数相等,则第一组有________人. 【答案】3【分析】审题确定等量关系:第一组平均每人植树棵数=第二组平均每人植树棵数 列方程求解 注意检验.【详解】设第一组有x 人,则第二组有(6)x +人 根据题意 得 12366xx去分母 得12(6)36x x解得 3x =经检验 3x =是原方程的根. 故答案为:3.【点睛】本题考查分式方程的应用 审题明确等量关系是解题的关键 注意分式方程的验根. 23.(2023·浙江绍兴·统考中考真题)方程3911x x x =++的解是________.【答案】3x =【分析】先去分母 左右两边同时乘以()1x + 再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答 最后进行检验即可.【详解】解:去分母 得:39x = 化系数为1 得:3x =. 检验:当3x =时 10x +≠ ①3x =是原分式方程的解. 故答案为:3x =.【点睛】本题主要考查了解分式方程 解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤 正确找出最简公分母 注意解分式方程要进行检验. 24.(2023·上海·统考中考真题)化简:2211xx x---的结果为________. 【答案】2【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可. 【详解】解:2211x x x ---()2122211x x x x--===--故答案为:2.【点睛】本题考查了同分母分式减法计算 熟练掌握运算法则是解题关键. 25.(2023·湖南·统考中考真题)已知5x =,则代数式2324416x x ---的值为________. 【答案】13【分析】先通分 再根据同分母分式的减法运算法则计算 然后代入数值即可. 【详解】解:原式=()()()()()34244444x x x x x +--+-+()()31244x x x -=-+34x =+ 5x =333145493∴===++x 故答案为:13.【点睛】本题主要考查了分式通分计算的能力 解决本题的关键突破口是通分整理. 26.(2023·江苏苏州·统考中考真题)分式方程123x x +=的解为x =________________. 【答案】3-【分析】方程两边同时乘以3x 化为整式方程 解方程验根即可求解. 【详解】解:方程两边同时乘以3x ()312x x += 解得:3x =-经检验 3x =-是原方程的解 故答案为:3-.【点睛】本题考查了解分式方程 熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键. 27.(2023·湖南永州·统考中考真题)若关于x 的分式方程1144m x x-=--(m 为常数)有增根,则增根是_______. 【答案】4x =【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值 是方程的增根 计算即可. 【详解】①关于x 的分式方程1144mx x-=--(m 为常数)有增根 ①40x -= 解得4x = 故答案为:4x =.【点睛】本题考查了分式方程的解法 增根的理解 熟练掌握分式方程的解法是解题的关键.28.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)化简:2222142442x x x x x x x x x +--⎛⎫-÷= ⎪--+-⎝⎭_______. 【答案】12x - 【分析】先根据分式的加减计算括号内的 同时将除法转化为乘法 再根据分式的性质化简即可求解. 【详解】解:2222142442x x x x x x x x x+--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭ ()()()()()2221242x x x x x x x x x +----=⨯-- ()()2222442x x x x x x x x ---+=⨯-- 12x =-故答案为:12x -. 【点睛】本题考查了分式的混合运算 熟练掌握分式的运算法则是解题的关键.29.(2017·江西·南昌市育新学校校联考一模)分式方程2102x x -=-的解是_____. 【答案】4x =【分析】根据解分式方程的步骤计算即可. 【详解】去分母得:()220x x --= 解得:4x =经检验4x =是方程的解 故答案为:4x =.【点睛】本题考查解分式方程 正确计算是解题的关键 注意要检验. 30.(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)方程216124x x x ++=+-的解为___________. 【答案】4x =【分析】依据题意将分式方程化为整式方程 再按照因式分解即可求出x 的值. 【详解】解:216124x x x ++=+- 方程两边同时乘以()()22x x +-得 ()()2622x x x x -++=+- 2244x x ∴+=-2280x x ∴--=()()420x x ∴-+=4x ∴=或2x =-.经检验2x =-时 240x -= 故舍去. ∴原方程的解为:4x =.故答案为:4x =.【点睛】本题考查的是解分式方程 解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况.三 解答题31.(2023·湖北黄冈·统考中考真题)化简:21211x xx x +---.【答案】1x -【分析】先计算同分母分式的减法 再利用完全平方公式约分化简. 【详解】解:21211x xx x +--- 2211x x x -+=- ()211x x -=-1x =-【点睛】本题考查分式的约分化简 解题的关键是掌握分式的运算法则. 32.(2023·辽宁大连·统考中考真题)计算:21123926a a a a -⎛⎫+÷⎪+-+⎝⎭. 【答案】23a - 【分析】先计算括号内的加法 再计算除法即可. 【详解】解:21123926a a a a -⎛⎫+÷⎪+-+⎝⎭ ()()()()()312333323a a a a a a a ⎡⎤--=+÷⎢⎥+-+-+⎢⎥⎣⎦ ()()()223323a a a a a --=÷+-+()()()232332a a a a a +-=⋅+--23a =- 【点睛】此题考查了分式的混合运算 熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键.33.(2023·广东深圳·统考中考真题)先化简 再求值:22111121x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭ 其中3x =. 【答案】1xx + 34 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简 再把x 的值代入进行计算即可.【详解】22111121x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭ ()()()21111x x x x x +-=÷-- 111x x x x -=⨯-+。
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)1.了解分式、分式方程的概念,进一步发展符号感;2.熟练掌握分式的基本性质,会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算,发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力;3.能解决一些与分式有关的实际问题,具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识;4.通过学习能获得学习代数知识的常用方法,能感受学习代数的价值。
考点1:分式的概念1.定义:一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子,B叫做分母.2.最简分式:分子与分母没有公因式的分式;3.分式有意义的条件:B≠0;4.分式值为0的条件:分子=0且分母≠0考点2:分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质,用式子表示是:A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷,(其中M是不等于零的整式).考点3:分式的运算考点4:分式化简求值(1)有括号时先算括号内的;(2)分子/分母能因式分解的先进行因式分解;(3)进行乘除法运算(4)约分;(5)进行加减运算,如果是异分母分式,需线通分,变为同分母分式后,分母不变,分子合并同类项,最终化为最简分式;(6)带入相应的数或式子求代数式的值【题型1:分式的相关概念】【典例1】(2022•怀化)代数式x,,,x2﹣,,中,属于分式的有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【解答】解:分式有:,,,整式有:x,,x2﹣,分式有3个,故选:B.【典例2】(2023•广西)若分式有意义,则x的取值范围是()A.x≠﹣1B.x≠0C.x≠1D.x≠2【答案】A【解答】解:∵分式有意义,∴x+1≠0,解得x≠﹣1.故选:A.1.(2022•凉山州)分式有意义的条件是()A.x=﹣3B.x≠﹣3C.x≠3D.x≠0【答案】B【解答】解:由题意得:3+x≠0,∴x≠﹣3,故选:B.2.(2023•凉山州)分式的值为0,则x的值是()A.0B.﹣1C.1D.0或1【答案】A【解答】解:∵分式的值为0,∴x2﹣x=0且x﹣1≠0,解得:x=0,故选:A.【题型2:分式的性质】【典例3】(2023•兰州)计算:=()A.a﹣5B.a+5C.5D.a 【答案】D【解答】解:==a,故选:D.1.(2020•河北)若a≠b,则下列分式化简正确的是()A.=B.=C.=D.=【答案】D【解答】解:∵a≠b,∴,故选项A错误;,故选项B错误;,故选项C错误;,故选项D正确;故选:D.2.(2023•自贡)化简:=x﹣1.【答案】x﹣1.【解答】解:原式==x﹣1.故答案为:x﹣1.【题型3:分式化简】【典例4】(2023•广东)计算的结果为()A.B.C.D.【答案】C【解答】解:==.故本题选:C.1.(2023•河南)化简的结果是()A.0B.1C.a D.a﹣2【答案】B【解答】解:原式==1.故选:B.2.(2023•赤峰)化简+x﹣2的结果是()A.1B.C.D.【答案】D【解答】解:原式=+==,故选:D.【题型4:分式的化简在求值】【典例5】(2023•深圳)先化简,再求值:(+1)÷,其中x=3.【答案】,.【解答】解:原式=•=•=,当x=3时,原式==.1.(2023•辽宁)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=3.【答案】见试题解答内容【解答】解:原式=(﹣)•=•=x+2,当x=3时,原式=3+2=5.2.(2023•大庆)先化简,再求值:,其中x=1.【答案】见试题解答内容【解答】解:原式=﹣+====,当x=1时,原式==.3.(2023•西宁)先化简,再求值:,其中a,b是方程x2+x﹣6=0的两个根.【答案】,6.【解答】解:原式=[﹣]×a(a﹣b)=×a(a﹣b)﹣=﹣=;∵a,b是方程x2+x﹣6=0的两个根,∴a+b=﹣1ab=﹣6,∴原式=.1.(2023春•汝州市期末)下列分式中,是最简分式的是()A.B.C.D.【答案】C【解答】解:A、=,不是最简分式,不符合题意;B、==,不是最简分式,不符合题意;C、是最简分式,符合题意;D、==﹣1,不是最简分式,不符合题意;故选:C.2.(2023秋•岳阳楼区校级期中)如果把分式中的x和y都扩大2倍,那么分式的值()A.不变B.扩大2倍C.扩大4倍D.缩小2倍【答案】B【解答】解:∵==×2,∴如果把分式中的x和y都扩大2倍,那么分式的值扩大2倍,故选:B.3.(2023•河北)化简的结果是()A.xy6B.xy5C.x2y5D.x2y6【答案】A【解答】解:x3()2=x3•=xy6,故选:A.4.(2023秋•来宾期中)若分式的值为0,则x的值是()A.﹣2B.0C.2D.【答案】C【解答】解:由题意得:x﹣2=0且3x﹣1≠0,解得:x=2,故选:C.5.(2023秋•青龙县期中)分式的最简公分母是()A.3xy B.6x3y2C.6x6y6D.x3y3【答案】B【解答】解:分母分别是x2y、2x3、3xy2,故最简公分母是6x3y2;故选:B.6.(2023春•沙坪坝区期中)下列分式中是最简分式的是()A.B.C.D.【答案】A【解答】解;A、是最简二次根式,符合题意;B、=,不是最简二次根式,不符合题意;C、==,不是最简二次根式,不符合题意;D、=﹣1,不是最简二次根式,不符合题意;故选:A.7.(2023春•原阳县期中)化简(1+)÷的结果为()A.1+x B.C.D.1﹣x【答案】A【解答】解:原式=×=×=1+x.故选:A.8.(2023•门头沟区二模)如果代数式有意义,那么实数x的取值范围是()A.x≠2B.x>2C.x≥2D.x≤2【答案】A【解答】解:由题意得:x﹣2≠0,解得:x≠2,故选:A.9.(2023春•武清区校级期末)计算﹣的结果是()A.B.C.x﹣y D.1【答案】B【解答】解:﹣==.故答案为:B.10.(2023春•东海县期末)根据分式的基本性质,分式可变形为()A.B.C.D.【答案】C【解答】解:=﹣,故选:C.11.(2023秋•莱州市期中)计算的结果是﹣x.【答案】﹣x.【解答】解:÷=•(﹣)=﹣x,故答案为:﹣x.12.(2023秋•汉寿县期中)学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动,小亮每天坚持读书.原计划用a天读完b页的书,如果要提前m天读完,那么平均每天比原计划要多读的页数为(用含a、b、m的最简分式表示).【答案】.【解答】解:由题意得:平均每天比原计划要多读的页数为:﹣=﹣=,故答案为:.13.(2023春•宿豫区期中)计算=1.【答案】1.【解答】解:===1,故答案为:1.14.(2023•广州)已知a>3,代数式:A=2a2﹣8,B=3a2+6a,C=a3﹣4a2+4a.(1)因式分解A;(2)在A,B,C中任选两个代数式,分别作为分子、分母,组成一个分式,并化简该分式.【答案】(1)2a2﹣8=2(a+2)(a﹣2);(2)..【解答】解:(1)2a2﹣8=2(a2﹣4)=2(a+2)(a﹣2);(2)选A,B两个代数式,分别作为分子、分母,组成一个分式(答案不唯一),==.15.(2023秋•思明区校级期中)先化简,再求值:(),其中.【答案】,.【解答】解:原式=÷(﹣)=÷=•=,当x=﹣1时,原式==.16.(2023秋•长沙期中)先化简,再求值:,其中x=5.【答案】,.【解答】解:原式=(﹣)•=•=,当x=5时,原式==.17.(2023•盐城一模)先化简,再求值:,其中x=4.【答案】见试题解答内容【解答】解:原式=(+)•=•=•=x﹣1,当x=4时,原式=4﹣1=3.18.(2022秋•廉江市期末)先化简(﹣x)÷,再从﹣1,0,1中选择合适的x值代入求值.【答案】﹣,0.【解答】解:原式=(﹣)•=﹣•=﹣,∵(x+1)(x﹣1)≠0,∴x≠±1,当x=0时,原式=﹣=0.1.(2023秋•西城区校级期中)假设每个人做某项工作的工作效率相同,m个人共同做该项工作,d天可以完成若增加r个人,则完成该项工作需要()天.A.d+y B.d﹣r C.D.【答案】C【解答】解:工作总量=md,增加r个人后完成该项工作需要的天数=,故选:C.2.(2023秋•长安区期中)若a=2b,在如图的数轴上标注了四段,则表示的点落在()A.段①B.段②C.段③D.段④【答案】C【解答】解:∵a=2b,∴=====,∴表示的点落在段③,故选:C.3.(2023秋•东城区校级期中)若x2﹣x﹣1=0,则的值是()A.3B.2C.1D.4【答案】A【解答】解:∵x2﹣x﹣1=0,∴x2﹣1=x,∴x﹣=1,∴(x﹣)2=1,∴x2﹣2+=1,∴x2+=3,故选:A.4.(2023秋•鼓楼区校级期中)对于正数x,规定,例如,,则=()A.198B.199C.200D.【答案】B【解答】解:∵f(1)==1,f(1)+f(1)=2,f(2)==,f()==,f(2)+f()=2,f(3)==,f()==,f(3)+f()=2,…f(100)==,f()==,f(100)+f()=2,∴=2×100﹣1=199.故选:B.5.(2023秋•延庆区期中)当x分别取﹣2023,﹣2022,﹣2021,…,﹣2,﹣1,0,1,,,…,,,时,计算分式的值,再将所得结果相加,其和等于()A.﹣1B.1C.0D.2023【答案】A【解答】解:当x=﹣a和时,==0,当x=0时,,则所求的和为0+0+0+⋯+0+(﹣1)=﹣1,故选:A.6.(2022秋•永川区期末)若分式,则分式的值等于()A.﹣B.C.﹣D.【答案】B【解答】解:整理已知条件得y﹣x=2xy;∴x﹣y=﹣2xy将x﹣y=﹣2xy整体代入分式得====.故选:B.7.(2023春•铁西区月考)某块稻田a公顷,甲收割完这块稻田需b小时,乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田,两人一起收割完这块稻田需要的时间是()A.B.C.D.【答案】B【解答】解:乙收割完这块麦田需要的时间是(b+0.3)小时,甲的工作效率是公顷/时,乙的工作效率是公顷/时.故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为=(小时).故选:B.8.(2023春•临汾月考)相机成像的原理公式为,其中f表示照相机镜头的焦距,u表示物体到镜头的距离,v表示胶片(像)到镜头的距离.下列用f,u表示v正确的是()A.B.C.D.【答案】D【解答】解:∵,去分母得:uv=fv+fu,∴uv﹣fv=fu,∴(u﹣f)v=fu,∵u≠f,∴u﹣f≠0,∴.故选:D.9.(2023•内江)对于正数x,规定,例如:f(2)=,f()=,f(3)=,f()=,计算:f()+f()+f()+…+f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)+f(100)+f(101)=()A.199B.200C.201D.202【答案】C【解答】解:∵f(1)==1,f(2)=,f()=,f(3)=,f()=,f(4)==,f()==,…,f(101)==,f()==,∴f(2)+f()=+=2,f(3)+f()=+=2,f(4)+f()=+=2,…,f(101)+f()=+=2,f()+f()+f()+…+f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)+f(100)+f(101)=2×100+1=201.故选:C.10.(2023春•灵丘县期中)观察下列等式:=1﹣,=﹣,=﹣,…=﹣将以上等式相加得到+++…+=1﹣.用上述方法计算:+++…+其结果为()A.B.C.D.【答案】A【解答】解:由上式可知+++…+=(1﹣)=.故选A.11.(2023秋•顺德区校级月考)先阅读并填空,再解答问题.我们知道,(1)仿写:=,=,=.(2)直接写出结果:=.利用上述式子中的规律计算:(3);(4).【答案】(1),;;(2);(3);(4).【解答】解:(1),=;=,故答案为:,;;(2)原式=1﹣+++...++=1﹣=;故答案为:;(3)==1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+=1﹣=;(2)原式=×()+×()+×()+...+×()=()==.12.(2023秋•株洲期中)阅读下列材料:通过小学的学习我们知道,分数可分为“真分数”和“假分数”,而假分数都可化为带分数.如:.我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.如,这样的分式就是假分式;,这样的分式就是真分式.类似地,假分式也可以化为带分式(即:整式与真分式的和的形式).如:,;解决下列问题:(1)分式是真分式(填“真”或“假”);(2)将假分式化为带分式;(3)如果x为整数,分式的值为整数,求所有符合条件的x的值.【答案】(1)真;(2)x﹣2+;(3)﹣1或﹣3或11或﹣15.【解答】解:(1)分式是真分式;故答案为:真;(2);(3)原式=,∵分式的值为整数,∴x+2=±1或±13,∴x=﹣1或﹣3或11或﹣15.13.(2023秋•涟源市月考)已知,求的值.解:由已知可得x≠0,则,即x+.∵=(x+)2﹣2=32﹣2=7,∴.上面材料中的解法叫做“倒数法”.请你利用“倒数法”解下面的题目:(1)求,求的值;(2)已知,求的值;(3)已知,,,求的值.【答案】(1);(2)24;(3).【解答】解:(1)由,知x≠0,∴.∴,x•=1.∵=x2+=(x﹣)2+2=42+2=18.∴=.(2)由=,知x≠0,则=2.∴x﹣3+=2.∴x+=5,x•=1.∵=x2+1+=(x+)2﹣2+1=52﹣1=24.∴=.(3)由,,,知x≠0,y≠0,z≠0.则=,=,y+zyz=1,∴+=,+=,+=1.∴2(++)=++1=.∴++=.∵=++=,∴=.14.(2022秋•兴隆县期末)设.(1)化简M;(2)当a=3时,记M的值为f(3),当a=4时,记M的值为f(4).①求证:;②利用①的结论,求f(3)+f(4)+…+f(11)的值;③解分式方程.【答案】(1);(2)①见解析,②,③x=15.【解答】解:(1)=====;(2)①证明:;②f(3)+f(4)+⋅⋅⋅+f(11)====;③由②可知该方程为,方程两边同时乘(x+1)(x﹣1),得:,整理,得:,解得:x=15,经检验x=15是原方程的解,∴原分式方程的解为x=15.15.(2023春•蜀山区校级月考)【阅读理解】对一个较为复杂的分式,若分子次数比分母大,则该分式可以拆分成整式与分式和的形式,例如将拆分成整式与分式:方法一:原式===x+1+2﹣=x+3﹣;方法二:设x+1=t,则x=t﹣1,则原式==.根据上述方法,解决下列问题:(1)将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式,得=;(2)任选上述一种方法,将拆分成整式与分式和的形式;(3)已知分式与x的值都是整数,求x的值.【答案】(1);(2);(3)﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5.【解答】解:(1)由题知,,故答案为:.(2)选择方法一:原式==.选择方法二:设x﹣1=t,则x=t+1,则原式=====.(3)由题知,原式====.又此分式与x的值都是整数,即x﹣4是39的因数,当x﹣4=±1,即x=3或5时,原分式的值为整数;当x﹣4=±3,即x=1或7时,原分式的值为整数;当x﹣4=±13,即x=﹣9或17时,原分式的值为整数;当x﹣4=±39,即x=﹣35或43时,原分式的值为整数;综上所述:x的值为:﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时,原分式的值为整数.16.(2023春•兰州期末)阅读下列材料:通过小学的学习我们知道,分数可分为“真分数”和“假分数”,而假分数都可以化为带分数,如:.我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.如,这样的分式就是假分式;再如:这样的分式就是真分式.类似的,假分式也可以化为带分式(即:整式与真分式的和的形式),如:.解决下列问题:(1)分式是真分式(填“真分式”或“假分式”);(2)将假分式化为整式与真分式的和的形式:=2+.若假分式的值为正整数,则整数a的值为1,0,2,﹣1;(3)将假分式化为带分式(写出完整过程).【答案】(1)真分式;(2)2+;1,2,﹣1;(3)x﹣1﹣.【解答】解:(1)由题意得:分式是真分式,故答案为:真分式;(2)==2+,当2+的值为正整数时,2a﹣1=1或±3,∴a=1,2,﹣1;故答案为:2+;1,2,﹣1;(3)原式===x﹣1﹣.1.(2023•湖州)若分式的值为0,则x的值是()A.1B.0C.﹣1D.﹣3【答案】A【解答】解:∵分式的值为0,∴x﹣1=0,且3x+1≠0,解得:x=1,故选:A.2.(2023•天津)计算的结果等于()A.﹣1B.x﹣1C.D.【答案】C【解答】解:====,故选:C.3.(2023•镇江)使分式有意义的x的取值范围是x≠5.【答案】x≠5.【解答】解:当x﹣5≠0时,分式有意义,解得x≠5,故答案为:x≠5.4.(2023•上海)化简:﹣的结果为2.【答案】2.【解答】解:原式===2,故答案为:2.5.(2023•安徽)先化简,再求值:,其中x=.【答案】x+1,.【解答】解:原式==x+1,当x=﹣1时,原式=﹣1+1=.6.(2023•广安)先化简(﹣a+1)÷,再从不等式﹣2<a<3中选择一个适当的整数,代入求值.【答案】;﹣1.【解答】解:(﹣a+1)÷=•=.∵﹣2<a<3且a≠±1,∴a=0符合题意.当a=0时,原式==﹣1.7.(2023•淮安)先化简,再求值:÷(1+),其中a=+1.【答案】,.【解答】解:原式=÷(+)=÷=•=,当a=+1时,原式==.8.(2023•朝阳)先化简,再求值:(+)÷,其中x=3.【答案】,1.【解答】解:原式=[+]•=•=,当x=3时,原式==1.。
中考数学总复习《分式综合》专项测试卷(带参考答案)(考试时间:90分钟,试卷满分:100分)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分)。
1.(2023•鄞州区一模)要使分式有意义,则x的取值范围是()A.x≠﹣1B.x≠1C.x≠±1D.x≠02.(2023•济南二模)计算的结果正确的是()A.B.C.D.3.(2023•唐山一模)若÷运算的结果为整式,则“□”中的式子可能是()A.y﹣x B.y+x C.2x D.4.(2023•温州二模)化简的结果为()A.a B.a﹣1C.D.a2﹣a5.(2023•振兴区校级一模)若x,y的值均扩大到原来的3倍,则下列分式的值一定保持不变的是()A.B.C.D.6.(2023•靖宇县一模)某生产车间生产m个机械零件需要a小时完成,那么该车间生产200个同样的零件需要的时间()A.小时B.小时C.小时D.小时7.(2023•永修县三模)若a≠b,则下列分式化简正确的是()A.B.C.D.8.(2023•竞秀区二模)在复习分式的化简运算时,老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下.则()甲:=……①乙:=……=……②=……③=1……④①=……②=……③=1……④A.甲、乙都错B.甲、乙都对C.甲对,乙错D.甲错,乙对9.(2023•利辛县模拟)若2m=5,5n=2,则的值为()A.B.1C.D.210.(2023•安徽模拟)已知实数x,y,z满足++=,且=11,则x+y+z 的值为()A.12B.14C.D.9二、填空题(本题共6题,每小题2分,共12分)11.(2023•碑林区校级模拟)若分式的值为0,则x 的值为.12.(2023•惠安县模拟)计算20+3﹣1的结果等于.13.(2023•长岭县模拟)计算结果是.14.(2023•广饶县校级模拟)若+=3,则的值为.15.(2023•鹿城区校级模拟)计算:=.16.(2023•宁波模拟)对于任意两个非零实数a、b,定义新运算“*”如下:,例如:.若x*y=2,则的值为.三、解答题(本题共7题,共58分)。
中考数学复习《分式方程》专项提升训练(附答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、选择题1.下列关于x 的方程,是分式方程的是( )A.3+x 2-3=2+x 5B.2x -17=x 2C.x π+1=2-x 3D.12+x =1-2x2.分式方程2x -2+3x 2-x=1的解为( ) A.x =1 B.x =2 C.x =13D.x =0 3.若x =3是分式方程a -2x -1x -2=0的解,则a 的值是( ) A.5 B.-5 C.3 D.-34.分式方程x +1x +1x -2=1的解是( ) A.x =1 B.x =-1 C.x =3 D.x =-35.分式方程x x -1-1=3(x -1)(x +2)的解为( ) A.x =1 B.x =2 C.x =-1D.无解6.解分式方程1x -5﹣2=35-x,去分母得( ) A.1﹣2(x ﹣5)=﹣3 B.1﹣2(x ﹣5)=3C.1﹣2x ﹣10=﹣3D.1﹣2x +10=37.如果分式方程113122=x++-x a+无解,那么a 的值为( )A.2B.﹣2C.2或﹣2D.﹣2或48.解分式方程2x +1+3x -1=6x 2-1分以下几步,其中错误的一步是( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x -1)(x +1)B.方程两边都乘以(x -1)(x +1),得整式方程2(x -1)+3(x +1)=6C.解这个整式方程,得x=1D.原方程的解为x=19.某生态示范园计划种植一批梨树,原计划总产量30万千克,为了满足市场需求,现决定改良梨树品种,改良后平均每亩产量是原来的1.5倍,总产量比原计划增加了6万千克,种植亩数减少了10亩,则原来平均每亩产量是多少万千克?设原来平均每亩产量为x 万千克,根据题意,列方程为( )A.30x ﹣361.5x =10B.30x ﹣301.5x=10 C.361.5x ﹣30x =10 D.30x +361.5x=10 10.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了这一任务. 设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米,则下面所列方程中正确的是( ) A.60x -60(1+25%)x =30 B.60(1+25%)x -60x=30 C.60×(1+25%)x -60x =30 D.60x -60×(1+25%)x=30 二、填空题11.下列方程:①x -12=16;②x ﹣2x =3;③x (x -1)x =1;④4-x π=π3;⑤3x +x -25=10;⑥1x +2y=7,其中是整式方程的有 ,是分式方程的有 . 12.若关于x 的方程211=--ax a x 的解是x=2,则a= . 13.方程2x +13-x =32的解是 . 14.关于x 的方程2x +a x -1=1的解满足x >0,则a 的取值范围是________. 15.A ,B 两市相距200千米,甲车从A 市到B 市,乙车从B 市到A 市,两车同时出发,已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时,且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速度是x 千米/小时,则根据题意,可列方程____________________.16.对于实数a ,b ,定义一种新运算⊗为:a ⊗b =1a -b 2,这里等式右边是实数运算.例如:1⊗3=11-32=﹣18,则方程x ⊗(﹣2)=2x -4﹣1的解是__________. 三、解答题17.解分式方程:xx-1﹣2x=1;18.解分式方程:2x-3=3x;19.解分式方程:1-xx-2=x2x-4﹣1;20.解分式方程:xx-1-1=3(x-1)(x+2)21.对于分式方程x-3x-2+1=32-x,小明的解法如下:解:方程两边同乘(x﹣2) 得x﹣3+1=﹣3①解得x=﹣1②检验:当x=﹣1时,x﹣2≠0③所以x=﹣1是原分式方程的解.小明的解法有错误吗?若有错误,错在第几步?请你帮他写出正确的解题过程.22.当x为何值时,分式的值比分式的值小2?23.某小区为了排污,需铺设一段全长为720米的排污管道,为减少施工对居民生活的影响,须缩短施工时间,实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍,结果提前2天完成任务,求原计划每天铺设管道的长度.24.随着中国特色社会主义进入新时代,作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自己的新征程,跑出发展新速度,这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短,但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车;已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米,普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍,请完成以下问题:(1)普通列车的行驶路程为多少千米?(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍,且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时,求普通列车和高铁的平均速度.25.某中学在商场购买甲、乙两种不同的足球,购买甲种足球共花费2000元,购买乙种足球共花费1400元,购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍,且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元(1)求购买一个甲种足球,一个乙种足球各需多少元?(2)这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个,预算金额不超过3000元.去到商场时恰逢该商场对两种足球的售价进行调整,甲种足球售价比第一次购买时提高了10%,乙种足球售价比第一次购买时降低了10%,如果该学校此次需购买20个乙种足球,请问该学校购买这批足球所用金额是否会超过预算?答案1.D2.A3.A4.A5.D6.A7.D8.D9.A10.C11.答案为:①④⑤,②③⑥.12.答案为:54 .13.答案为:x=1.14.答案为:a<-1 且a≠-2.15.答案为:200x﹣200x+15=12.16.答案为:x=517.解:去分母得x2﹣2x+2=x2﹣x解得x=2检验:当x=2时,x(x﹣1)≠0故x=2是原方程的解;18.解:(1)方程两边乘x(x﹣3),得2x=3(x﹣3).解得x=9.检验:当x=9时,x(x﹣3)≠0.所以,原方程的解为x=9;19.解:去分母,得2(1﹣x)=x﹣(2x﹣4),解得x=﹣2 检验:当x=﹣2时,2(x﹣2)≠0故x=﹣2是原方程的根;20.解:方程两边同乘(x-1) (x+2)得x(x+2)-(x-1) (x+2)=3化简,得 x+2=3解得x=1检验:x=1时(x-1) (x+2)=0,x=1不是分式方程的解所以原分式方程无解.21.解:有错误,错在第①步,正确解法为:方程两边同乘(x﹣2)得x﹣3+x﹣2=﹣3解得x=1经检验x=1是分式方程的解所以原分式方程的解是x=1.22.解:由题意,得﹣=2,解得,x=4经检验,当x=4时,x﹣3=1≠0,即x=4是原方程的解.故当x=4时,分式的值比分式的值小2.23.解:设原计划每天铺设管道x米.由题意,得.解得x=60.经检验,x=60是原方程的解.且符合题意.答:原计划每天铺设管道60米.24.解:(1)普通列车的行驶路程为:400×1.3=520(千米);(2)设普通列车的平均速度为x千米/时,则高铁的平均速度为2.5千米/时则题意得:=﹣3,解得:x=120经检验x=120是原方程的解则高铁的平均速度是120×2.5=300(千米/时)答:普通列车的平均速度是120千米/时,高铁的平均速度是300千米/时.25.解:(1)设购买一个甲种足球需要x元=×2,解得,x=50经检验,x=50是原分式方程的解∴x+20=70即购买一个甲种足球需50元,一个乙种足球需70元;(2)设这所学校再次购买了y个乙种足球70(1﹣10%)y+50(1+10%)(50﹣y)≤3000解得,y≤31.25∴最多可购买31个足球所以该学校购买这批足球所用金额不会超过预算.。
2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《分式》能力达标测评(附答案)一.选择题(共8小题,满分40分)1.在代数式,,xy+x2,中分式有()个.A.1B.2C.3D.42.若分式有意义,则a的取值范围是()A.a=1且a=﹣1B.a≠1且a≠﹣1C.a≠1D.a≥13.下列各式从左到右的变形正确的是()A.B.C.D.4.下列计算正确的是()A.=B.﹣=a﹣1C.1÷x•=D.3x2+=x55.方程(x2+x﹣1)x+2020=1的整数解的个数是()A.2B.3C.4D.56.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且,则△ABC一定是()A.等边三角形B.腰长为a的等腰三角形C.底边长为a的等腰三角形D.等腰直角三角形7.已知关于x的分式方程=1的解是非正数,则m的取值范围是()A.m≤3B.m≤3且m≠2C.m<3D.m<3且m≠2 8.若分式方程无解,则a的值为()A.5B.4C.3D.0二.填空题(共8小题,满分40分)9.若分式的值为零,则x的值是.10.如果x+=3,则的值等于11.已知,则=.12.计算:(+)÷()=.13.一艘轮船在静水中的速度为a千米/时,若A、B两个港口之间的距离为50千米,水流的速度为b千米/时,轮船往返两个港口之间一次需小时.14.若分式不论x取何实数总有意义,则m的取值范围为.15.关于x的分式方程+=1的解为非正数,则k的取值范围是.16.甲、乙两个绿化小组,甲组在a天内可种树x棵,乙组在b天内可种树y棵,两组同时种树,种m棵需要天.三.解答题(共5小题,满分40分)17.计算:(1)(2)先化简,再求值:﹣(),其中x=﹣.18.解下列分式方程:(1)+4=;(2)﹣1=.19.“杂交水稻之父”袁隆平团队示范基地的“水稻1号”的试验田是边长为a米(a>1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分,“水稻2号”的试验田是边长为(a﹣1)米的正方形,两块试验田的水稻都收获了1000千克.(1)试说明哪种水稻的单位面积产量高?(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?20.武汉市某一工程,若甲工程队单独施工,刚好如期完成;若乙工程队单独施工,要比甲工程队多用16天才能完工.若甲、乙两队合作8天,余下的工程由乙队单独做也正好能如期完成.(1)甲、乙两队单独完成该工程各需多少天?(2)若甲队施工一天,工程款为1.2万元;乙队施工一天,工程款为0.5万元.①若甲队单独完成这项工程,总工程款为万元;若甲、乙两队合作8天,余下的工程由乙队单独完成,总工程款为万元.②实际施工中,甲、乙两队合作m天后,余下的工程乙队单独又做了n天完成.已知整个工期小于15天,总工程款不超过18.2万元,求m和n的值.(m、n均为正整数)21.阅读下列材料:通过小学的学习我们知道,分数可分为“真分数”和“假分数”.而假分数都可化为带分数,如:==2+=2.我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.如:,这样的分式就是假分式;再如:,这样的分式就是真分式.类似的,假分式也可以化为带分式(即:整式与真分式的和的形式).如:==1﹣;再如:===x+1+.解决下列问题:(1)分式是分式(填“真分式”或“假分式”);(2)假分式可化为带分式的形式;(3)如果分式的值为整数,那么x的整数值为.参考答案一.选择题(共8小题,满分40分)1.解:这1个式子分母中含有字母,因此是分式.其它式子分母中均不含有字母,是整式,而不是分式.故选:A.2.解:由题意得:得a2﹣1≠0,解得:a≠1且a≠﹣1,故选:B.3.解:A、,原变形错误,故此选项不符合题意;B、,原变形不符合分式的运算法则,原变形错误,故此选项不符合题意;C、,原变形不符合分式的基本性质,原变形错误,故此选项不符合题意;D、,原变形正确,故此选项符合题意;故选:D.4.解:∵=,∴选项A不符合题意;∵﹣=+=,∴选项B不符合题意;∵1÷x•==,∴选项C符合题意;∵,∴选项D不符合题意;故选:C.5.解:由题意可得,当x+2020=0且x2+x﹣1≠0,解得:x=﹣2020,当x2+x﹣1=1,解得:x=1或﹣2,当x2+x﹣1=﹣1且x+2020是偶数,解得:x=0,综上所述:x的值有4个.故选:C.6.解:将化简ab+ac﹣a2﹣bc=0(ab﹣a2)+(ac﹣bc)=0(b﹣a)(c﹣a)=0可解得a=b或a=c由已知a,b,c分别是△ABC的三边长,所以△ABC是腰长为a的等腰三角形.故选:B.7.解:分式方程去分母得:m﹣2=x+1,解得:x=m﹣3,由分式方程的解为非正数,得到m﹣3≤0,且m﹣3≠﹣1,解得:m≤3且m≠2,故选:B.8.解:∵,∴=2,∴x=9﹣a,由于方程无解,∴x﹣4=0,∴9﹣a﹣4=0,∴a=5,故选:A.二.填空题(共8小题,满分40分)9.解:依题意得:,解得x=﹣2.故答案是:﹣2.10.解:∵x+=3,∴(x+)2=9,即x2+2+=9,则x2+=7,∵x≠0,∴原式====,故答案为:.11.解:已知,则x+y=6xy,∴===.故答案为.12.解:原式=[﹣]÷=•=﹣.故答案为:﹣.13.解:由题意可得,假设A到B顺流,则B到A逆流,轮船往返两个港口之间需要的时间为:=小时,故答案为:.14.解:方法一、∵当Δ=b2﹣4ac<0时,x2+4x+m=0无解,即42﹣4m<0,解得m>4,∴当m>4时,不论x取何实数,分式总有意义.方法二、∵x2+4x+m=x2+4x+4﹣4+m=(x+2)2﹣4+m,∴当﹣4+m>0时,分式不论x取何实数总有意义,∴m>4,故答案为m>4.15.解:去分母得:x+k+2x=x+1,解得:x=,由分式方程的解为非正数,得到≤0,且≠﹣1,解得:k≥1且k≠3,故答案为:k≥1且k≠316.解:两组同时种树,种m棵需要的天数=m÷(+)=.三.解答题(共5小题,满分40分)17.解:(1)原式=••,=﹣2;(2)解:﹣(),=﹣.=﹣.=.当x=﹣时,原式==﹣.18.解:(1)去分母得:2﹣x+4(x﹣3)=﹣1,解得:x=3,检验:把x=3代入得:x﹣3=0,∴x=3是增根,分式方程无解;(2)去分母得:x(x+2)﹣(x+2)(x﹣2)=1,解得:x=﹣,检验:把x=﹣代入得:(x+2)(x﹣2)≠0,∴分式方程的解为x=﹣.19.解:(1)“水稻1号”试验田的面积是(a2﹣1)米2,单位面积产量是千克/米2;“水稻2号”试验田的面积是(a﹣1)2米2,单位面积产量是千克/米2;∵a>1,∴(a﹣1)2>0,a2﹣1>0.∵a2﹣1﹣(a﹣1)2=2a>0,∴a2﹣1>(a﹣1)2.∴<.所以,“水稻2号”的单位面积产量高.(2)÷=×==.所以,“水稻2号”的单位面积产量是“水稻1号”的单位面积产量的倍.20.解:(1)设甲队单独完成该工程需x天,则乙队单独完成该工程需(x+16)天,由题意得:+=1,解得:x=16,经检验,x=16是原方程的解,且符合题意,则x+16=32,答:甲队单独完成该工程需16天,则乙队单独完成该工程需32天;(2)①若甲队单独完成这项工程,总工程款为1.2×16=19.2(万元);若甲、乙两队合作8天,余下的工程由乙队单独完成,总工程款为1.2×8+0.5×32=25.6(万元),故答案为:19.2;25.6;②由题意得:+=1,∴3m+n=32,∵m+n<15,m、n均为正整数,∴或,∵1.2m+0.5(m+n)≤18.2,∴17m+5n≤182,∴与均符合,∴或.21.解:(1)分式是真分式;(2)假分式=1﹣;(3)==2﹣.所以当x+1=3或﹣3或1或﹣1时,分式的值为整数.解得x=2或x=﹣4或x=0或x=﹣2.故答案为:(1)真;(2)1﹣;(3)0,﹣2,2,﹣4.。
2023年中考数学----《分式方程之分式方程的应用》知识总结与专项练习题(含答案解析)知识总结1. 列分式方程解实际应用题的步骤:①审题——仔细审题,找出题目中的等量关系。
②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。
③列方程:根据等量关系与未知数列出分式方程。
④解方程——按照解分式方程的步骤解方程。
④答——检验方程的解是否满足实际情况,然后作答。
练习题1、(2022•内蒙古)某班学生去距学校10km 的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20min 后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,设骑车学生的速度为x km /h ,下列方程正确的是( )A .2021010=−x x B .2010210=−x x C .3110210=−x xD .3121010=−x x【分析】根据汽车的速度和骑车学生速度之间的关系,可得出汽车的速度为2xkm /h ,利用时间=路程÷速度,结合汽车比骑车学生少用20min ,即可得出关于x 的分式方程,此题得解.【解答】解:∵骑车学生的速度为xkm /h ,且汽车的速度是骑车学生速度的2倍, ∴汽车的速度为2xkm /h . 依题意得:﹣=,即﹣=.2、(2022•淄博)为扎实推进“五育”并举工作,加强劳动教育,某校投入2万元购进了一批劳动工具.开展课后服务后,学生的劳动实践需求明显增强,需再次采购一批相同的劳动工具,已知采购数量与第一次相同,但采购单价比第一次降低10元,总费用降低了15%.设第二次采购单价为x 元,则下列方程中正确的是( )A .()10%1512000020000−−⨯=x x B .()x x %151200*********−⨯=− C .()10%1512000020000+−⨯=x x D .()xx %151200*********−⨯=+ 【分析】根据题目中的数据和两次购买的数量相同,可以列出相应的分式方程. 【解答】解:由题意可得,,故选:D .3、(2022•阜新)我市某区为30万人接种新冠疫苗,由于市民积极配合这项工作,实际每天接种人数是原计划的1.2倍,结果提前20天完成了这项工作.设原计划每天接种x 万人,根据题意,所列方程正确的是( )A .202.13030=−x xB .2.1203030=−−x x C .20302.130=−xxD .2.1302030=−−xx【分析】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系,可得出实际每天接种1.2x 万人,再结合结果提前20天完成了这项工作,即可得出关于x 的分式方程,此题得解. 【解答】解:∵实际每天接种人数是原计划的1.2倍,且原计划每天接种x 万人, ∴实际每天接种1.2x 万人,又∵结果提前20天完成了这项工作, ∴﹣=20.4、(2022•襄阳)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目,其白话译文为:一份文件,若用慢马送到900里远的城市,所需时间比规定时间多1天;若改为快马派送,则所需时间比规定时间少3天,已知快马的速度是慢马的2倍,求规定时间,设规定时间为x 天,则可列出正确的方程为( )A .190023900+⨯=+x x B .190023900+⨯=−x xC .390021900+⨯=−x x D .390021900−⨯=+x x 【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系,可得出慢马送到所需时间为(x +1)天,快马送到所需时间为(x ﹣3)天,再利用速度=路程÷时间,结合快马的速度是慢马的2倍,即可得出关于x 的分式方程,此题得解. 【解答】解:∵规定时间为x 天,∴慢马送到所需时间为(x +1)天,快马送到所需时间为(x ﹣3)天, 又∵快马的速度是慢马的2倍,两地间的路程为900里, ∴=2×.故选:B .5、(2022•朝阳)八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习,基地距学校60km ,一部分学生乘慢车先行,出发30min 后,另一部分学生乘快车前往,结果同时到达.已知快车的速度是慢车速度的1.5倍,求慢车的速度.设慢车每小时行驶xkm ,根据题意,所列方程正确的是( )A .60305.16060=−x x B .6030605.160=−x x C .305.16060=−xx D .30605.160=−xx 【分析】设慢车每小时行驶xkm ,则快车每小时行驶1.5xkm ,根据基地距学校60km ,一部分学生乘慢车先行,出发30min 后,另一部分学生乘快车前往,结果同时到达,列方程即可.【解答】解:设慢车每小时行驶xkm ,则快车每小时行驶1.5xkm , 根据题意可得:﹣=.故选:A .6、(2022•黔西南州)某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作.每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩.该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半,求平均每天耕作水田的亩数.设平均每天耕作水田x 亩,则可以得到的方程为( )A .x x 302436⨯=− B .x x 302436⨯=+ C .430236−⨯=x x D .430236+⨯=x x 【分析】根据该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半列出方程即可. 【解答】解:根据题意得:=2×.故选:D .7、(2022•济宁)一辆汽车开往距出发地420km 的目的地,若这辆汽车比原计划每小时多行10km ,则提前1小时到达目的地.设这辆汽车原计划的速度是xkm /h ,根据题意所列方程是( )A .110420420+−=x x B .10420420+=+x x C .110420420++=x xD .10420420−=+x x 【分析】根据提速后及原计划车速间的关系,可得出这辆汽车提速后的速度是(x +10)km /h ,利用时间=路程÷速度,结合提速后可提前1小时到达目的地,即可得出关于x的分式方程,此题得解.【解答】解:∵这辆汽车比原计划每小时多行10km ,且这辆汽车原计划的速度是xkm /h , ∴这辆汽车提速后的速度是(x +10)km /h . 依题意得:=+1,故选:C .8、(2022•辽宁)小明和小强两人在公路上匀速骑行,小强骑行28km 所用时间与小明骑行24km 所用时间相等,已知小强每小时比小明多骑行2km ,小强每小时骑行多少千米?设小强每小时骑行xkm ,所列方程正确的是( ) A .22428+=x x B .xx 24228=+ C .xx 24228=− D .22428−=x x 【分析】根据小强与小明骑行速度间的关系可得出小明每小时骑行(x ﹣2)km ,利用时间=路程÷速度,结合小强骑行28km 所用时间与小明骑行24km 所用时间相等,即可得出关于x 的分式方程,此题得解.【解答】解:∵小强每小时比小明多骑行2km ,小强每小时骑行xkm , ∴小明每小时骑行(x ﹣2)km . 依题意得:=.故选:D .9、(2022•恩施州)一艘轮船在静水中的速度为30km /h ,它沿江顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等,江水的流速为多少?设江水流速为v km /h ,则符合题意的方程是( )A .v v −=+309630144 B .v v 9630144=− C .vv +=−309630144 D .vv +=3096144 【分析】根据“顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等”列分式方程即可. 【解答】解:根据题意,可得,故选:A .10、(2022•绥化)有一个容积为24m 3的圆柱形的空油罐,用一根细油管向油罐内注油,当注油量达到该油罐容积的一半时,改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油,直至注满,注满油的全过程共用30分钟.设细油管的注油速度为每分钟xm 3,由题意列方程,正确的是( )A .3041212=+x x B .2441515=+x x C .2423030=+xxD .3021212=+xx【分析】设细油管的注油速度为每分钟xm 3,则粗油管的注油速度为每分钟4xm 3,利用注油所需时间=注油总量÷注油速度,即可得出关于x 的分式方程,此题得解. 【解答】解:24÷2=12(m 3).设细油管的注油速度为每分钟xm 3,则粗油管的注油速度为每分钟4xm 3, 依题意得:+=30.故选:A .11、(2022•荆州)“爱劳动,劳动美.”甲、乙两同学同时从家里出发,分别到距家6km 和10km 的实践基地参加劳动.若甲、乙的速度比是3:4,结果甲比乙提前20min 到达基地,求甲、乙的速度.设甲的速度为3xkm /h ,则依题意可列方程为( )A .x x 4103136=+ B .x x 4102036=+ C .3141036=−x xD .2041036=−xx【分析】根据甲、乙的速度比是3:4,可以设出甲和乙的速度,然后根据甲比乙提前20min 到达基地,可以列出相应的方程.【解答】解:由题意可知,甲的速度为3xkm /h ,则乙的速度为4xkm /h ,+=,即+=,故选:A.12、(2022•鞍山)某加工厂接到一笔订单,甲、乙车间同时加工,已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍,甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天.设甲车间每天加工x件产品,根据题意可列方程为.【分析】根据两车间工作效率间的关系,可得出乙车间每天加工1.5x件产品,再根据甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天,即可得出关于x的分式方程,此题得解.【解答】解:∵甲车间每天加工x件产品,乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍,∴乙车间每天加工1.5x件产品,又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天,∴﹣=3.故答案为:﹣=3.13、(2022•青岛)为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划,学校举办以“强体质,炼意志”为主题的体育节,小亮报名参加3000米比赛项目,经过一段时间训练后,比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%,少用3分钟跑完全程,设小亮训练前的平均速度为x米/分,那么x满足的分式方程为.【分析】根据等量关系:原来参加3000米比赛时间﹣经过一段时间训练后参加3000米比赛时间=3分钟,依此列出方程即可求解.【解答】解:依题意有:﹣=3.故答案为:﹣=3.14、(2022•黑龙江)某玩具厂生产一种玩具,甲车间计划生产500个,乙车间计划生产400个,甲车间每天比乙车间多生产10个,两车间同时开始生产且同时完成任务.设乙车间每天生产x个,可列方程为.【分析】根据甲车间生产500个玩具所用的时间=乙车间生产400个玩具所用的时间,列出方程即可解答.【解答】解:设乙车间每天生产x个,则甲车间每天生产(x+10)个,由题意得:=,故答案为:=.15、(2022•江西)甲、乙两人在社区进行核酸采样,甲每小时比乙每小时多采样10人,甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等,甲、乙两人每小时分别采样多少人?设甲每小时采样x人,则可列分式方程为.【分析】由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程.【解答】解:设甲每小时采样x人,则乙每小时采样(x﹣10)人,根据题意得:=.故答案为:=.。
初三数学分式试题答案及解析1.分式可变形为()A.B.C.D.【答案】D.【解析】根据分式的性质,分子分母都乘以﹣1,分式的值不变,可得答案:分式的分子分母都乘以﹣1,得.故选D.【考点】分式的基本性质.2.化简:的结果是A.B.C.D.【答案】A.【解析】原式=.故选A.【考点】分式的化简.3.计算:(1)(2)【答案】(1);(2).【解析】(1)根据绝对值,零指数幂,负指数幂,特殊角的三角函数进行化简即可;(2)先通分,再化成最简即可.试题解析:(1);(2 ) .【考点】1.绝对值2.零指数幂3.负指数幂4.特殊角的三角函数5.分式化简.4.先化简,再求代数式的值,其中【答案】.【解析】先因式分解,然后将除法转化为乘法,约分后再相加,然后代入求值.原式=∵a=6tan30°-2=∴原式【考点】1.分式的化简求值;2.特殊角的三角函数值.5.先化简,再求值:,其中=.【答案】.【解析】把所给代数式第一项分子、分母进行因式分解,乘以第二项的倒数,约分后与最后一项通分化简,然后把a的值代入求值即可.原式=;当时,原式=.【考点】分式的化简求值.6.(1)化简:.(2)解方程:.【答案】(1)x;(2)x=3.【解析】(1)原式利用除法法则变形,约分即可得到结果;(2)方程去分母,去括号,移项合并,将x系数化为1,即可求出解.(1)原式=;(2)原方程可化为3x+2=8+x,合并同类项得:2x=6,解得:x=3.【考点】1.分式的乘除法;2.解一元一次方程.7.(1)计算:(2)【答案】(1)1;(2).【解析】先计算零次幂、负整数指数幂、二次根式、绝对值、特殊角三角函数值,最后再加减即可;(2)先计算括号里的,然后再乘以除式的倒数,进行约分化简即可求出结果.(1)原式=;(2)原式=考点: 1.实数的运算;2.分式的化简.8.先化简,再求值:,其中为不等式组的整数解.【答案】.【解析】先进行分式的化简,再解一元一次不等式组,确定不等式组的整数解,最后把整数解代入化简的整式求值.原式====.由解得.∵x是不等式组的整数解,∴x=1.x=0(舍)当x=1时,原式=.【考点】1.分式的化简求值;解一元一次不等式组.9.佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售,第一次用1200元购进若干千克,并以每千克8元出售,很快售完.由于水果畅销,第二次购买时,每千克的进价比第一次提高了10%,用1452元所购买的数量比第一次多20千克,以每千克9元售出100千克后,因出现高温天气,水果不易保鲜,为减少损失,便降价50%售完剩余的水果.(1)求第一次水果的进价是每千克多少元?(2)该果品店在这两次销售中,总体上是盈利还是亏损?盈利或亏损了多少元?【答案】(1)第一次水果的进价为每千克6元(2)该老板两次卖水果总体上是赚钱了,共赚了388元.【解析】(1)设第一次购买的单价为x元,则第二次的单价为1.1x元,第一次购买用了1200元,第二次购买用了1452元,第一次购水果,第二次购水果,根据第二次购水果数多20千克,可得出方程,解出即可得出答案;(2)先计算两次购水果数量,赚钱情况:卖水果量×(实际售价﹣当次进价),两次合计,就可以回答问题了.解:(1)设第一次购买的单价为x元,则第二次的单价为(1+10%)x=1.1x元,根据题意得:=20,解得:x=6,经检验,x=6是原方程的解,(2)第一次购水果1200÷6=200(千克).第二次购水果200+20=220(千克).第一次赚钱为200×(8﹣6)=400(元).第二次赚钱为100×(9﹣6.6)+120×(9×0.5﹣6×1.1)=﹣12(元).所以两次共赚钱400﹣12=388(元),答:第一次水果的进价为每千克6元,该老板两次卖水果总体上是赚钱了,共赚了388元.10.请写出一个同时满足下列条件的分式:(1)分式的值不可能为0;(2)分式有意义时,的取值范围是x≠±2;(3)当x=0时,分式的值为-1.你所写的分式为 .【答案】(答案不唯一)【解析】(1)分式的分母不为零、分子不为零;(2)分式有意义,分母不等于零;(3)将x=0代入后,分式的分子、分母互为相反数.解:(1)分式的分子不等于零;(2)分式有意义时,x的取值范围是x≠±2,即当x=±2时,分式的分母等于零;(3)当x=0时,分式的值为﹣1,即把x=0代入后,分式的分子、分母互为相反数.所以满足条件的分式可以是:;11.已知-=,求的值.【答案】-2【解析】解:∵-=,∴=,∴=-,∴=-2.12.先化简,再求值:,其中.【答案】.【解析】先化简,再化简,最后把a的代入即可求值.试题解析:又∴代入上式得:原式=考点: 分式的化简求值.13.当x=时,的值为零.【答案】x=-1.【解析】根据分式的值为零,分子等于0,分母不等于0列式进行计算即可得解.试题解析:根据题意得,|x|-1=0且x2+2x-3≠0,由|x|-1=0得:x=1或x=-1由x2+2x-3≠0知x≠-3或x≠1故x=-1.考点: 分式的值为零的条件.14.若,则()A.B.C.D.【答案】A.【解析】∵,∴.故选A.【考点】1.代数式求值;2.整体思想的应用.15.先化简,再求值:,其中m是方程的根.【答案】.【解析】先通分计算括号里的,再计算括号外的,化为最简,由于m是方程的根,那么,可得的值,再把的值整体代入化简后的式子,计算即可.试题解析:原式= .∵m是方程的根.∴,即,∴原式=.考点:分式的化简求值;一元二次方程的解.16.函数中自变量x的取值范围是.【答案】.【解析】求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件,要使在实数范围内有意义,必须。
专题19分式方程(1)(全国一年)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.(2020·四川绵阳中考真题)甲、乙二人同驾一辆车出游,各匀速行驶一半路程,共用3小时,到达目的地后,甲对乙说:“我用你所花的时间,可以行驶180km ”,乙对甲说:“我用你所花的时间,只能行驶80km ”.从他们的交谈中可以判断,乙驾车的时长为( ) A .1.2小时B .1.6小时C .1.8小时D .2小时2.(2020·湖北中考真题)某厂计划加工180万个医用口罩,第一周按原计划的速度生产,一周后以原来速度的1.5倍生产,结果比原计划提前一周完成任务若设原计划每周生产x 万个口罩,则可列方程为( ) A .18018011.5x xx x--=+ B .18018011.5x xx x --=- C .18018021.5x x=+ D .18018021.5x x=- 3.(2020·辽宁鞍山中考真题)甲、乙两人加工某种机器零件,已知每小时甲比乙少加工6个这种零件,甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等,设甲每小时加工x 个零件,所列方程正确的是( ) A .2403006x x =- B .2403006x x =+ C .2403006x x=- D .2403006x x=+ 4.(2020·辽宁朝阳中考真题)某体育用品商店出售毽球,有批发和零售两种售卖方式,小明打算为班级购买键球,如果给每个人买一个毽球,就只能按零售价付款,共需80元;如果小明多购买5个毽球,就可以享受批发价,总价是72元.已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同,则小明班级共有多少名学生?设班级共有x 名学生,依据题意列方程得( )A .807250405x x ⨯=⨯+ B .807240505x x ⨯=⨯+ C .728040505x x⨯=⨯- D .728050405x x⨯=⨯-5.(2020·黑龙江鹤岗中考真题)已知关于x 的分式方程433x kx x-=--的解为非正数,则k 的取值范围是( ) A .12k ≤-B .12k -≥C .12k >-D .12k <-6.(2020·内蒙古呼伦贝尔中考真题)甲、乙两人做某种机械零件,已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等,两人每天共做130个零件.设甲每天做x 个零件,下列方程正确的是( ) A .240280130x x =- B .240280130x x =- C .240280130x x+= D .240280130x x-=7.(2020·重庆中考真题)若关于x 的一元一次不等式组()21321? 2x x x a ⎧-≤-⎪⎨->⎪⎩的解集为x ≥5,且关于y 的分式方程122+=---y a y y有非负整数解,则符合条件的所有整数a 的和为( ) A .-1B .-2C .-3D .08.(2020·湖南娄底中考真题)函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值,则下列函数中存在零点的是( )A .22y x x =++B.1y =C .1y x x=+D .||1y x =-9.(2020·四川宜宾中考真题)学校为了丰富学生的知识,需要购买一批图书,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元,已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学书的本数相等,设文学类图书平均每本x 元,则列方程正确的是( )A .15000120008x x =- B .15000120008x x =+ C .15000120008x x =- D .15000120008x x=+ 10.(2020·湖北荆门中考真题)已知关于x 的分式方程2322(2)(3)x kx x x +=+--+的解满足41x -<<-,且k 为整数,则符合条件的所有k 值的乘积为( ) A .正数B .负数C .零D .无法确定11.(2020·福建中考真题)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.“其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每件椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽?设这批椽的数量为x 株,则符合题意的方程是( )A .62103(1)-=x x B .621031=-x C .621031-=x x D .62103=x 12.(2020·黑龙江牡丹江中考真题)若关于x 的方程201m x x-=+的解为正数,则m 的取值范围是( )A .2m <B .2m <且0m ≠C .2m >D .2m >且4m ≠13.(2020·湖北荆州中考真题)八年级学生去距学校10千米的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍.设骑车学生的速度为x 千米/小时,则所列方程正确的是( ) A .10x -102x=20B .102x -10x=20 C .10x -102x =13D .102x -10x =1314.(2020·云南昆明中考真题)某校举行“停课不停名师陪你在家活动,计划投资8000元建设几间直播教室,为了保证教学质量,实际每间建设费用增加了20%,并比原计划多建设了一间直播教室,总投资追加了4000元.根据题意,求出原计划每间直播教室的建设费用是( ) A .1600元B .1800元C .2000元D .2400元15.(2020·广西中考真题)甲、乙两地相距600km ,提速前动车的速度为/vkm h ,提速后动车的速度是提速前的1.2倍,提速后行车时间比提速前减少20min ,则可列方程为( ) A .60016003 1.2-=v vB .60060011.23v v =- C .60060020 1.2v v-= D .600600201.2v v=- 16.(2020·海南中考真题)分式方程312x =-的解是( ) A .1x =-B .1x =C .5x =D .2x =17.(2020·广东深圳中考真题)以下说法正确的是( )A .平行四边形的对边相等B .圆周角等于圆心角的一半C .分式方程11222x x x -=---的解为x =2 D .三角形的一个外角等于两个内角的和18.(2020·黑龙江穆棱朝鲜族学校中考真题)若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解,则整数m 的值是( ) A .3B .5C .3或5D .3或419.(2020·湖南长沙中考真题)随着5G 网络技术的发展,市场对5G 产品的需求越来越大,为满足市场需求,某大型5G 产品生产厂家更新技术后,加快了生产速度,现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品,现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同,设更新技术前每天生产x 万件,依据题意得( ) A .40050030x x=- B .40050030x x =+ C .40050030x x =- D .40050030x x=+ 20.(2020·辽宁抚顺中考真题)随着快递业务的增加,某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具,公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件,平均每人每周比原来多投递80件,若快递公司的快递员人数不变,求原来平均每人每周投递快件多少件?设原来平均每人每周投递快件x 件,根据题意可列方程为( )A .3000420080x x =- B .3000420080x x +=C .4200300080x x=-D .3000420080x x =+ 21.(2020·黑龙江齐齐哈尔中考真题)若关于x 的分式方程32x x -=2mx-+5的解为正数,则m 的取值范围为( ) A .m <﹣10B .m ≤﹣10C .m ≥﹣10且m ≠﹣6D .m >﹣10且m ≠﹣622.(2020·云南中考真题)若整数a 使关于x 的不等式组1112341x xx a x -+⎧≤⎪⎨⎪->+⎩,有且只有45个整数解,且使关于y 的方程2260111y a y y+++=++的解为非正数,则a 的值为( )A .61-或58-B .61-或59-C .60-或59-D .61-或60-或59-二、填空题23.(2020·广东广州中考真题)方程3122x x x =++的解是_______. 24.(2020·内蒙古中考真题)分式方程3122x xx x-+=--的解是_____. 25.(2020·江苏徐州中考真题)方程981x x =-的解为_______.26.(2020·江苏盐城中考真题)分式方程10x x-=的解为x =_______________________. 27.(2020·江苏南京中考真题)方程112x x x x -=-+的解是__________. 28.(2020·西藏中考真题)分式方程21x -=31x +的解为_____. 29.(2020·广西河池中考真题)方程121x +=12x -的解是x =_____. 30.(2020·四川眉山中考真题)关于x 的分式方程11222k x x-+=--的解为正实数,则k 的取值范围是________.31.(2020·甘肃金昌中考真题)在一个不透明的袋中装有若干个红球,为了估计袋中红球的个数,小明在袋中放入3个黑球(每个球除颜色外其余都与红球相同),摇匀后每次随机从袋中摸出一个球,记下颜色后放回袋中,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.85左右,则袋中红球约有_____个. 32.(2020·内蒙古呼和浩特中考真题)分式22x x -与282x x -的最简公分母是_______,方程228122-=--x x x x的解是____________. 33.(2020·四川内江中考真题)若数a 使关于x 的分式方程2311x ax x++=--的解为非负数,且使关于y 的不等式组()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y ≤,则符合条件的所有整数a 的积为_____________ 34.(2020·山东潍坊中考真题)若关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根,则m =_________.三、解答题35.(2020·贵州黔西中考真题)“节能环保,绿色出行”意识的增强,越来越多的人喜欢骑自行车出行,也给自行车商家带来商机.某自行车行经营的A 型自行车去年销售总额为8万元.今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元.若该型车的销售数量与去年相同,那么今年的销售总额将比去年减少10%,求: (1)A 型自行车去年每辆售价多少元;(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍.已知,A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元,计划B型车销售价格为2400元,应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多.36.(2020·辽宁铁岭中考真题)某中学为了创设“书香校园”,准备购买,A B两种书架,用于放置图书.在购买时发现,A种书架的单价比B种书架的单价多20元,用600元购买A种书架的个数与用480元购买B 种书架的个数相同.(1)求,A B两种书架的单价各是多少元?(2)学校准备购买,A B两种书架共15个,且购买的总费用不超过1400元,求最多可以购买多少个A种书架?37.(2020·江苏泰州中考真题)近年来,我市大力发展城市快速交通,小王开车从家到单位有两条路线可选择,路线A为全程25km的普通道路,路线B包含快速通道,全程30km,走路线B比走路线A平均速度提高50%,时间节省6min,求走路线B的平均速度.38.(2020·辽宁丹东中考真题)为帮助贫困山区孩子学习,某学校号召学生自愿捐书,已知七、八年级同学捐书总数都是1800本,八年级捐书人数比七年级多150人,七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍,求八年级捐书人数是多少?39.(2020·内蒙古赤峰中考真题)甲、乙两支工程队修建二级公路,已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍,如果两队各自修建公路500m,甲队比乙队少用5天.(1)求甲,乙两支工程队每天各修路多少米(2)我市计划修建长度为3600 m的二级公路,因工程需要,须由甲、乙两支工程队来完成.若甲队每天所需费用为1.2万元,乙队每天所需费用为0. 5万元,求在总费用不超过40万元的情况下,至少安排乙队施工多少天40.(2020·云南中考真题)某地响应“把绿水青山变成金山银山,用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念,开展“美化绿色城市”活动,绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域.实际施工中,由于采用了新技术,实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍,所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务.实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米?41.(2020·山东淄博中考真题)如图,著名旅游景区B位于大山深处,原来到此旅游需要绕行C地,沿折线A→C→B方可到达.当地政府为了增强景区的吸引力,发展壮大旅游经济,修建了一条从A地到景区B的笔直公路.请结合∠A=45°,∠B=30°,BC=100≈1.4等数据信息,解答下列问题:(1)公路修建后,从A地到景区B旅游可以少走多少千米?(2)为迎接旅游旺季的到来,修建公路时,施工队使用了新的施工技术,实际工作时每天的工效比原计划增加25%,结果提前50天完成了施工任务.求施工队原计划每天修建多少千米?42.(2020·吉林长春中考真题)在国家精准扶贫的政策下,某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证,绿标的认证,使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力,今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元.预计今年的销量是去年的3倍,年销售额为360万元.已知去年的年销售额为80万元,问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤?43.(2020·吉林中考真题)甲、乙二人做某种机械零件,已知甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等.求乙每小时做零件的个数.44.(2020·湖南益阳中考真题)“你怎么样,中国便是怎么样:你若光明,中国便不黑暗”。
整式与分式(1) 整式一级训练1.(2019年安徽)计算(-2x 2)3的结果是( )A .-2x 5B .-8x 6C .-2x 6D .-8x 52.(2019年广东清远)下列选项中,与xy 2是同类项的是( ) A .-2xy 2B .2x 2y C .xy D .x 2y 23.(2019年广东深圳)下列运算正确的是( )A .2a +3b =5abB .a 2·a 3=a 5C .(2a)3=6a 3D .a÷a 2=a 34.(2019年广东佛山)多项式1+xy -xy 2的次数及最高次数的系数是( ) A .2,1 B .2,-1 C .3,-1 D .5,-15.(2019年浙江金华)下列各式能用完全平方式进行分解因式的是( ) A .x 2+1 B .x 2+2x -1 C .x 2+x +1 D .x 2+4x +46.(2019年湖北荆州)将代数式x 2+4x -1化成(x +p)2+q 的形式为( ) A .(x -2)2+3 B .(x +2)2-4 C .(x +2)2-5 D .(x +2)2+4 7.计算:(1)(3+1)(3-1)=____________; (2)(a 2b)2÷a=________;(3)(-2a)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 3-1=________. 8.(2019年江苏南通)单项式3x 2y 的系数为______.9.(2019年广东梅州)若代数式-4x 6y 与x 2ny 是同类项,则常数n 的值为______. 10.(2019年安徽)计算:(a +3)(a -1)+a(a -2).11.(2019年湖南益阳)已知x -1=3,求代数式(x +1)2-4(x +1)+4的值.a+1 cm的正方12.(2019年安徽芜湖)如图1-4-1,从边长为(a+4) cm的正方形纸片中剪去一个边长为()形(a>0),剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则矩形的面积为( )图1-4-1A.(2a2+5a) cm2 B.(3a+15) cm2 C.(6a+9) cm2 D.(6a+15) cm213.(2019年辽宁丹东)图1-4-2(1)是一个边长为(m+n)的正方形,小颖将图中的阴影部分拼成图1-4-2(2)的形状,由图能验证的式子是( )图1-4-2A.(m+n)2-(m-n)2=4mn B.(m+n)2-(m2+n2)=2mnC.(m-n)2+2mn=m2+n2 D.(m+n)(m-n)=m2-n214.先化简,再求值:(a+b)2+(a-b)(2a+b)-3a2,其中a=-2-3,b=3-2.15.(2019年江苏南通)先化简,再求值:(4ab3-8a2b2)÷4ab+(2a+b) (2a-b),其中a=2,b=1. 16.(2019年四川巴中)若2x-y+|y+2|=0,求代数式[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x的值.三级训练17.(2019年广东)如下数表是由从1 开始的连续自然数组成,观察规律并完成各题的解答.(1)表中第8行的最后一个数是______,它是自然数____的平方,第8行共有____个数;(2)用含n的代数式表示:第n行的第一个数是______,最后一个数是________,第n行共有______个数;(3)求第n行各数之和.18.(2019年广东珠海)观察下列等式:12×231=132×21,13×341=143×31,23×352=253×32,34×473=374×43,62×286=682×26,……以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:①52×______=______×25;②______×396=693×______;(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a,b),并证明.参考答案1.B 2.A 3.B 4.C 5.C 6.C7.(1)2 (2)a3b2(3)-12a4+2a 8.39.3 10.2a2-311.解:原式=[(x+1)-2]2=(x-1)2,∵x-1=3,∴(x-1)2=(3)2=3.12.D 13.B14.解:原式=a2+2ab+b2+2a2-ab-b2-3a2=a b.15.解:原式=2a(2a -b), 又a =2,b =1,故2a(2a -b)=12. 16.解:由2x -y +|y +2|=0, 得2x -y =0,y +2=0, ∴x =-1,y =-2.又[(x -y)2+(x +y)(x -y)]÷2x =(x 2-2xy +y 2+x 2-y 2)÷2x=x -y , ∴x -y =-1-(-2)=1. 17.解:(1)64 8 15 (2)n 2-2n +2 n 22n -1(3)第n 行各数之和:n 2-2n +2+n22×(2n -1)=(n 2-n +1)(2n -1).18.解:(1)①275 572 ②63 36 (2)“数字对称等式”一般规律的式子为:(10a +b)×[100b+10(a +b)+a]=[100a +10(a +b)+b]×(10b+a).证明如下: ∵左边两位数的十位数字为a ,个位数字为b ,∴左边的两位数是10a +b ,三位数是100b +10(a +b)+a , 右边的两位数是10b +a ,三位数是100a +10(a +b)+b ,∴左边=(10a +b)×[100b+10(a +b)+a]=(10a +b)(100b +10a +10b +a) =(10a +b)(110b +11a)=11(10a +b)(10b +a),右边=[100a +10(a +b)+b]×(10b+a)=(100a +10a +10b +b)(10b +a) =(110a +11b)(10b +a)=11(10a +b)(10b +a), ∴左边=右边.∴“数字对称等式”一般规律的式子为:(10a +b)×[100b+10(a +b)+a]=[100a +10(a +b)+b]×(10b+a).。
知识考点:
分式运算是初中代数计算的综合运用,它与整式运算相比,步骤增多,符号变化复杂,方法比较灵活。
了解分式的概念,熟练掌握分式的基本性质,并能灵活运用它进行分式的约分、通分及计算是解题的关键。
精典例题:
【例1】
(1)当x 为何值时,分式 (2)当x 为何值时,分式 分析:①判断分式有无意义,必须对原分式进行讨论而不能讨论化简后的分式;②在分
B =0
B ≠0
件是A =0且B ≠0,两者缺一不可。
答案:(1)x ≠2且x ≠-1;(2)x =1
【例2】计算:
(1
(
2(3
分析:(1)题是分式的乘除混合运算,应先把除法化为乘法,再进行约分,有乘方的要先算乘方,若分式的分子、分母是多项式,应先把多项式分解因式;(2)题把()2+-x 当作整体进行计算较为简便;(3)题是分式的混合运算,须按运算顺序进行,结果要化为最简分式或整式。
答案:(
12
3【例3】计算:
(1
(2
分析:对于特殊题型,可根据题目特点,选择适当的方法,使问题简化。
(1)题可以将y x --看作一个整体()y x +-,然后用分配律进行计算;(2)题可采用逐步通分的方
答案:(1
2
探索与创新:
【问题】先阅读下列文字,再解答下列问题: 初中数学课本中有这样一段叙述:“要比较a 与b 的大小,可先求出a 与b 的差,再看这个差是正数、负数还是零。
”由此可见,要判断两个代数式值的大小,只要考虑它们的差就可以了。
试问:甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买粮食的单价不相同),甲每次购买粮食100千克,乙每次购粮用去100元。
(1)假设x 、y 分别表示两次购粮的单价(单位:元/千克)。
试用含x 、y 的代数式表示:甲两次购买粮食共需付款 元;乙两次共购买 千克的粮食;若甲两次购粮的平均单价为每千克1Q 元,乙两次购粮的平均单价为每千克2Q 元,则1Q = ;2Q = 。
(2)规定:谁两次购粮的平均单价低,谁的购粮方式就更合算,请你判断甲乙两人的购粮方式哪一个更合算些?并说明理由。
解:(1)第一次购买粮食付款x 100元,第二次购买粮食付款y 100元,两次共付款()y x 100100+元。
乙第一次购买粮
克,第二次购买粮
克,故两次共购买粮
食
∴1Q =;2Q =
(2)要判断谁更合算,就是判断1Q 、2Q 的大小,小的更合算些。
∵1Q -2Q =
且x ≠y ∴()2
y x ->0而()y x +2>0 ∴1Q -2Q >0
故1Q >2Q
∴乙的购粮方式更合算。
跟踪训练:
一、填空题:
1、当x 时,分式 当x 时,分式 当x 时,分式 当x 时,分式1。
2、计算: = 。
= 。
= 。
= 。
3
的值为 。
4、若x <0= 。
5的值是整数,则整数x 的值是 。
6、请你先化简,再选一个使原式有意义,而你又喜爱的数值代入求值:
= 。
二、选择题:
1
)
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
2的值为零,则2-x 的值是( ) A 、-1
、1
、-1 D 、1 3
制成新盐水的含盐量为( )
A
、随所取盐水重量而定 三、计算题:
1
2
3
4
四、阅读下面题目的计算过程:
① =()()123---x x ②
=223+--x x ③
=1--x ④
(1)上面计算过程从哪一步开始出现错误,请写出该步的代号 。
(2)错误原因是 。
(3)本题的正确结论是 。
五、问题探索:
(1(m >n >0),如果分子、分母同时增加1,分数的值是增大还是减小?请证明你的结论。
(2(m >n >0)中分子和分母同时增加2,3…k (整数k >0),情况如何?
(3)请你用上面的结论解释下面的问题:
建筑学规定:民用住宅窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好,问同时增加相等的窗户
面积和地板面积,住宅的采光条件是变好还是变坏?请说明理由。
参考答案
一、填空题:
1、≠±2,=8,>2,=1或2;
2、1+x ,x -,n m +,
3
45、2或0;6、略 二、选择题:CDA
三、计算题:
1234四、阅读题:
(1)②;(2)去了分母;(3。