最新-高中数学 131函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修2-2 精品

1．求下列函数的最值． (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]； (2)f(x)＝sin 2x－x，x∈－π2，π2.
解析：(1)f(x)＝2x3－12x， ∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)， 令 f′(x)＝0 解得 x＝－ 2或 x＝ 2.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
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2．函数 f(x)＝x3－3x(－1<x<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0 0，a＋a b
f′(x)
－
a a＋b
0
a＋a b，1 1 ＋
f(x)
(a＋b)2
从上表可知当 x＝a＋a b时， f(x)有最小值 fa＋a b＝(a＋b)2， 在 x∈(0,1)上，函数无最大值．
求函数的最值的方法： (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值； (3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论．
4．若函数 f(x)＝x3－3x－a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为 M，N，则 M－N 的值为________． 解析：f′(x)＝3x2－3.令 f′(x)＝0 得 x＝±1，但 x∈[0,3]，因此只取 x＝1.又 f(0)＝－a， f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a，故 f(x)在[0,3]上的最大值、最小值分别为 18－a 和－2－a， 即 M＝18－a，N＝－2－a，M－N＝20. 答案：20

探究三
探究四
������ 变式训练 1 ������ 求下列函数的最值:
(1)f(x)=ex (3-x2),x∈[2,5]; 解 :(1)∵f(x)=3ex -ex x2,∴ f'(x)=3ex -(ex x2+2ex x)=-ex(x2+2x-3)=-ex (x+3)(x-1), ∵在区间[2,5]上 ,f'(x)=-ex(x+3)(x-1)<0, 即函数 f(x)在区间[2,5]上单调递减, ∴x=2 时 ,函数 f(x)取得最大值 f(2)=-e2; x=5 时 ,函数 f(x)取得最小值 f(5)=-22e5. 1 1 1 1 (2)f'(x)= − x,令 f'(x)=0,即 − x=0,得 x=-2 或 1, 又 x+1>0,∴x>-1,∴x=-2 舍去. 1 ∵f(0)=0,f(1)=ln 2- ,f(2)=ln 3-1,∴该函数在区间[0,2]上的最大值为 ln 2- ,最小值为 0.
4 1 4 1+������ 2 1+������ 2 1 2 (2)f(x)=ln(1+x)- x ,x∈[0,2]. 4
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ANGTANGJIANCE
1
2
1.函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值 一般地,如果在区间[a,b]上函数 y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线, 那么它必有最大值和最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点取得.
做一做
在开区间(a ,b )上的函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则下列关 于函数 f(x)在(a ,b )上的最值的说法错误的是( ) A.可能有最大值,也有最小值 B.可能没有最大值,也没有最小值 C.可能只有最大(小)值,没有最小(大)值 D.一定没有最大值,也没有最小值 答案 :D

3
2时,fx 1பைடு நூலகம்x3 4x 4有极
3
小值,并且极小值为f2 4 . 又则于f0 4,f3 1, 3
2
o
3x
图1.3 16
因此,函数fx在0,3上的最大值是4,最小值是 4 . 上述结论可从函数 fx在0,3上的图象(图1.3 136)
得到直观验证.
一般地,求函数y f x在a,b上的最
小结
（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需 要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数 关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问 题的实际意义．
（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如 果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就 是所求最值，不必再与端点值比较．
（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决 较简单．
时,箱子容积很小,因此,16000是最大值．
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是
习题
例2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底 与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2πRh+2πR2 由V=πR2h ，得 ，则
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它 的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
1.3.3 函数的最大小值与导数
我们知道, 极值反映的是函数在某一点附近
的局部性质, 而不是函数在整个定域内的性
质 .也就是说,如果 x0是函数 y f x的极大
小值点, 那么在 x0 附近找不到比 f x0 更大 更小的值.但是, 在解决实际问题或研究函
数性质时, 我们往往更关心函数在某个区间
o
x4
a x1 x2 x3

复习: 函数极值的定义—— 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值
8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒 时的瞬时速度为( ) (A) 6 (B) 18 (C) 54 (D) 81 9、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6， 那么a等于( ) (A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1
10、函数y=x3-3x的极大值为( ) (A) 0 (B) 2 (C) +3 (D) 1
思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5] 内的最小值为2，求m的值
导数的定义
导数的几何意义
导数
求导公式与法则
多项式函数的导数
函数单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值
基本练习 1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的 斜率为( ) (A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8 2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( ) (A)y’=100(x99+x49+x24) (B) y’=100x99 (C) y’=100x99+50x49+25x24 (D) y’=100x99+2x49
聚星娱乐 / xqj563qox 聚星娱乐聚星仪器发布基于微软C#/.NET的下一代定制仪器软件架构,及此架构之上的聚星定制 我自己的小学老师——华老夫子，由于一下给女生们拿书，所骑飞机与一辆货车追尾，从未后不会想着所高二教书了。兴奋的是，华老 夫子目前已无大碍。之前，对咱们一帮小鬼不需要顽皮进了为何地步，给华老夫子起的外号是“站长”。到目前，我依旧我还记得格外 逼真，无奈对咱们事实上上不去总结数量不等的事了，讲起“站长”，有非常多说不出的与高二的开心回忆事情的能力。在网友热荐三 四年级的就目前，又来了一个老夫子，他姓孙，如此对咱们给孙老夫子的外号为“老孙“。 表现出村，由于刚下过一天两天的雨，路却不是好走。尽管如此，也阻碍不了我自己的出击。路上，经达到了好多块麦地，麦子之前开 端泛黄，收割的时节行将抵触。对我来说，那条路再熟习不达到了。上高二的就目前，惋惜经常来回走。走在那条熟习的学校，无数往 事的点滴涌上了我自己的心头，我自己的思绪开端感到有些混乱。但我很明显，目前不是顾虑数量不等的事的就目前，接着我又导致苏 醒了来。我需要，我也疑心，在新纪元的某一天，我还要每周去回想起和回想总之多的之前与往事，我还要让本人有足够的时间和精力 去回味和要得。

新知探究
观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象. y
a x1 o X
X3
bx
2
发现图中__f_(x_1_)_、__f(_x_3_) _是极小值，____f(_x_2)___是极大值，在区间上的函数的最大值是__f_(b_)__，
最小值是__f_(_x3_)__.
新知探究
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域的性质.但是，在解决实际 问题或在研究函数性质时，往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？
y’
-0
+0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-0 +
y 13
↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13
从上表可知,最大值是13,最小值是4.
例题讲解
极大（小）值与极大（小）值的区别是什么？ （1）极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言， 是在整体范围内讨论问题 .
例题讲解
（2）函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可 能没有极值,并且极大值（极小值）不一定就是最大值（最小值）.
y
y fx
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
x
b
图1.3 13
新知探究
探究 你能找出函数y=f(x) 在区间[a，b]上的最大值﹑最小值吗？
从图1.3-13可以看出，函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是 f x3 .
新知探究
y
y fx
y
y fx
ao bx
2
（2，5）
5
y'
-
0

课后作业
一、必做题： 1、课本书P32第6题（1）、（4）小题；（写作业本上） 2、优化指导P24学业达标测试。 二、选做题：
1、若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3， 最小值是－29，求a，b的值．
2、已知 f(x)＝x3－1x2－2x＋5，当 x∈[－1,2]时，f(x)<m 2
(C)函数的最值一定是极值
(D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值.
2.函数 y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是 M，最小值是
A m,若 M=m,则 f ( x) ( )
(A)等于 0 (B)大于 0 (C)小于 0 (D)以上都有可能
A 3.函数 y= 1 x4 1 x3 1 x2 ,在［－1,1］上的最小值为( ) 432
一、复习引入
用导数法求解函数极值的步骤：
(1) 求函数的定义域； (2) 求导函数f/(x)，并解方程f/(x)=0；
(3) 列表； (4) 得结论，由方程f/(x)=0的根的左右的符号， 确定极大值与极小值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
注：导数等于零的点不一定是极值点．
二、新课——函数的最值 y
y
y fx
y
y fx
ao
图1
bx
o a x1 x2 x3
x4 x5 b x
图2
在图1、2中,观察a,b上的函数y f x的图象, 它们在a, b上有最大值、最小值吗? 如果有,
最大值和最小值分别是什么?
思考：
1、函数具备什么条件就一定有最值？
（1）给定函数的区间必须是闭区间； （2）函数的图象在闭区间上必须是一条连续不 断的曲线。 注：在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值, 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.

A、a 3, b 3或a 4, b 11 B、a 4, b 1或a 4, b 11
C、a 4, b 11
D、以上 都不 对
解:由题设条件得：
f f
(1) 10 '(1) 0
1 a b a2 10
3 2a b 0
解之得
a3 b 3
或， ab
4 11
注意代
f'(x) +
0
-
f(x) ↗ 极大值-2a ↘
-
0
+
↘ 极小值2a ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x) 有极小值f(a)=2a.
练习2、求函数y 6x 的极值 1 x2
解：
y
1
6x x2
，
y
6(1 x2 ) (1 x 2 )2
.
令y 0，解得x1 1，x2 1
因此，当x=-1时函数取得极大值，且极大值为f(-1)=10;当 x=3时函数取得极小值，且极小值为f(3)=-22
(2)函数f ( x) ln x 的定义域为(0, )，且f '( x) 1 ln x
x
x2
令f '( x) 0，得x e
当x变化时，f '( x)与f ( x)的变化情况如下表：
故f(x)在(-∞,1)和(2,+∞)上递增，在(1,2)上递 减，因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x0=1
O
1
(2)∵ f '( x)＝3ax2 2bx c
2x
由f '(1) 0，f '(2) 0，f (1) 5得
3a 2b c 0
12a 4b c 0,解得a 2,b 9,c 12

������ ������
������-2������ . 2������
②当 a≤0 时,h'(x)=
故 h(x)的最小值 φ(a)的解析式为 φ(a)=2a(1-ln 2a)(a>0).
������-2������ 2������
> 0, ������(������)在(0,+∞)内递增,无最小值.
令 G(x)= (������2 − ������ ),
题型一
题型二
题型三
题型四
所以 a>− . 所以当 a>− 时,f(x)在 故当 f(x)在 - ,+∞ . (2)令 f'(x)=0,得两根 x1= 所以 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增. 当 0<a<2 时,有 x1<1<x2<4, 所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2). 又 f(4)-f(1)=−
题型一
题型二
题型三
题型四
所以要使f(x)≥-2c2(x>0)恒成立, 只需-3-c≥-2c2即可. 所以要使 f(x)≥-2c2(x>0)恒成立, 只需-3-c≥-2c2 即可.
题型一
题型二
题型三
题型四
与函数最值有关的综合题
【例 3】 已知函数 f(x)= ������, ������(������) = ������ln ������, ������∈R. (1)设函数 h(x)=f(x)-g(x),当 h(x)存在最小值时,求其最小值 φ(a) 的解析式; (2)结合(1)中的 φ(a),证明:当 a∈(0,+∞)时,φ(a)≤1.

4.设f(x)的最小值为m，最大值为M，欲证f(x)>a恒成立，只要 证明___m_>_a___，欲证f(x)<b恒成立，只要证明__M__<_b___；欲证 f(x)<g(x) 恒 成 立 ， 可 构 造 函 数 F(x) ＝ f(x) － g(x) 转 化 为 证 明 __F__(x_)_<_0___恒成立；观察f(x)与f′(x)的图象时，要抓住其对应 关系，f(x)单调递____增____区间对应f′(x)的正值区间,f(x)的单 调递____减____区间对应f′(x)的负值区间，f(x)图象的极值点(拐 点)，对应f′(x)的___零__点___；讨论函数f(x)的零点个数可转化为 讨论f(x)的单调性和___极__值___的符号，或转化为两函数图象的 __交__点____个数等；不等式恒成立和解不等式、不等式有解， 三者应注意区分．
中 的 最 大 值 和 最 小 值 ； f(x) 在 区 间 A 上 单 调 递 增 ( 减 ) ， 则
f′(x)≥0(f′(x)≤0)在A上___恒__成__立___；f(x)的单调区间为A，若f(x) 在A的端点处有定义，则该端点一定为f′(x)的_变__号__零__点__或定义 域 的 ___边__界__点_____ ； 若 f(x) 在 A(x0 ， y0) 点 存 在 极 值 ， 则 有 f′(x0)____＝____0，且当x1<x0<x2，x1，x2在f(x)的定义域内时， 必有f′(x1)·f′(x2)____<____0；
新知导学
1.下图中的函数f(x)的最大值为__f_(_g_)_,最小值为___f(_b_)_．
而极大值为___f_(d_)_，__f_(g_)__，极小值为___f_(c_)_，__f_(e_)__．

求已知函数的最值
求下列各函数的最值： (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]； (2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．
【自主解答】 (1)f′(x)＝－4x3＋4x， 令 f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝－1，x＝0，x＝1. 当 x 变化时，f′(x)及 f(x)的变化情况如下表：
当 x 变化时，f′(x)及 f(x)的变化情况如下表所示：
∴当 x＝1 时，f(x)取得最大值 4；当 x＝2 时，f(x)取得最 小值－5.
已知函数的最值求参数
2 3 3 2 设 <a<1，函数 f(x)＝x － ax ＋b(－1≤x≤1)的 3 2 6 最大值为 1，最小值为－ 2 ，求常数 a，b.
2．关于函数最值求法的教学 教学时，建议教师通过板书解答，规范学生的解题步骤， 注意培养学生规范解题的能力，与求极值的解题步骤进行对 比，特别注意闭区间上的最值经常在端点处取到．
●教学流程
演示结束
课 标 解 读
1.理解函数的最值的概念．(难点) 2．了解函数的最值与极值的区别 与联系．(易混点) 3．会用导数求在给定区间上函数 的最值．(重点)
函数的最大(小)值与导数
【问题导思】 如图 1－3－8 为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
图 1－3－8
1．观察[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、 极小值．
【提示】 极大值为：f(x1)、 f(x3)， 极小值为： f(x2)，f(x4)．
2．结合图象判断，函数 y＝f(x)在区间[b]上是否存在 最大值，最小值？若存在，分别为多少？
已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为 3， 最小值为－29，求 a，b 的值．