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第11章OLS 用于时间序列数据的其他问题11.1复习笔记一、平稳和弱相关时间序列1．平稳和非平稳时间序列平稳时间序列过程，就是概率分布在如下意义上跨时期稳定的时间序列过程：如果从这个序列中任取一个随机变量集，并把这个序列向前移动h 个时期，那么其联合概率分布仍然保持不变。
（1）平稳随机过程对于随机过程{ 1 2 }t x t =：，，…，如果对于每一个时间指标集121m t t t ≤<<⋅⋅⋅<和任意整数h≥1，()12m t t t x x x ⋅⋅⋅，，，的联合分布都与()12 m t h t h t h x x x ++⋅⋅⋅＋，，，的联合分布相同，那么这个随机过程就是平稳的。
这种平稳经常称为严平稳，它是从概率分布的角度去定义的。
其含义之一是（取m＝1和t 1＝1）：对所有t＝2，3,…,x 1与x t 都有相同的分布。
序列{ 1 2 }t x t =：，，…是同分布的。
不平稳的随机过程称为非平稳过程。
因为平稳性是潜在随机过程而非其某单个实现的性质，所以很难判断所搜集到的数据是否由一个平稳过程生成。
但是，要指出某些序列不是平稳的却很容易。
（2）协方差平稳过程（宽平稳，弱平稳）对于一个具有有限二阶矩()2t E x ⎡⎤∞⎣⎦＜的随机过程{ 1 2 }t x t =：，，…，若：（i）E（x t ）为常数；（ii）Var（x t ）为常数；（iii）对任何t，h≥1，Cov（x t ，x t＋h ）仅取决于h，而不取决于t，那它就是协方差平稳的。
协方差平稳只考虑随机过程的前两阶矩：这个过程的均值和方差不随着时间而变化，而且，x t 和x t＋h 的协方差只取决于这两项之间的距离h，与起始时期t 的位置无关。
由此立即可知x t 与x t＋h 之间的相关性也只取决于h。
如果一个平稳过程具有有限二阶矩，那么它一定是协方差平稳的，但反过来未必正确。
由于严平稳的条件比较苛刻，在实际中从概率分布的角度去验证是无法实现的，所以在实际运用中所指的平稳都是指宽平稳，即协方差平稳。
第11章用时间序列数据计算OLS的其它问题第11章用时间序列数据计算OLS 的其它问题习题11.1令{x t :t =1,2,…}为协方差平稳过程，定义γh =Cov(x t ,x t+h ), h ≥0。
[所以γ0=Var(x t )。
] 证明Corr(x t ,x t+h )= γh /γ0。
11.2令{e t :t =-1,0,1,…}为由独立同分布随机变量组成的序列，它的均值为0，方差为1。
定义以下的随机过程：x t ＝e t －(1/2)e t-1+(1/2)e t-2, t=1,2,…(i) 求出E(x t )和Var(x t )。
它们中的哪个取决于t ？(ii)证明Corr(x t ,x t+1)＝－1/2，Corr(x t ,x t+2)＝1/3。
（提示：最简单的方法是利用问题11.1中的公式。
）(iii)在h >2时，Corr(x t ,x t+h )是多少？(iv) {x t }是渐近不相关过程吗？11.3假设时间序列过程{y t }由y t ＝z ＋e t 产生，其中，t =1,2,…，{e t }是均值为0、方差为2e σ的i.i.d.序列。
随机变量z 不随时间而变化，它的均值为0，方差为2z σ。
假定每个e t 都与z 不相关。
11.4 令{y t :t =1,2,…}遵循（11.20）那样的随机游走，且y 0＝0。
证明 )/(),(h t t y y Corr h t t +=+，其中t ≥1，h >0。
11.5对于美国经济社会，令gprice 代表一般价格水平的每月增长率，gwage 代表每小时工资的每月增长率。
[二者都是通过计算对数之差得到的：gprice = Δlog (price ),gwage =Δlog (wage )。
] 利用WAGEPRC.RAW 中的月度数据，我们估计得到下面的分布滞后模型：321038.040.097.119.00093.---++++-=gwage gwage gwage gwage gprice（.00057）（.052）（.039）（.039）（.039）87654103.104.095.107.081.-----+++++gwage gwage gwage gwage gwage （.039）（.039）（.039）（.039）（.039）1211109016.103.110.159.----++++gwage gwage gwage gwage（.039）（.039）（.039）（.052）283.,317.,27322===R R n(i) 描述估计的滞后分布。
