魏县一中2010—2011学年度第一学期期中考试高三年级数学试卷（文科）（自测）说明：1．考试时间120分钟，满分150分.2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.. 3.球的体积公式为V =3π34R ，球的表面积公式是S =4πR 2 4．独立重复试验概率公式 k n kk n n p p C k P --=)1()(卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确 1. 集合A =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-+021|x x x ，B =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=N n n y y ,2πsin |,则B A C R ⋂)(=（ ） A . {}1,0,1- B .{}1,1- C .{}1,0 D .{}1- 2.函数y =216x-)2(log 22--x +1的定义域为 （ ）A .[-4,4]B .)2,4[-C .]4,2(D .),2(+∞3.在等比数列{a n }中，若27975=a a a ，则1129a a= （ ）A .9B .1C .2D .34. 在下列函数中，图象关于原点对称的是 （ ）A .y =x sin xB .y =2xx e e -+C .y =x ln xD .y =x 3-2sin x +tan x5.已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+3022y y x y x ，则z ＝2x －y 的取值范围是（ ）A . [-5,7]B . [5,7]C . [4,7]D . [-5,4]6. 当a >0且a ≠1时，把函数x a y -=和x y a log =的图象画在同一平面直角坐标系 中，可以是 （ ）A .①②B .①③C .②③D .③④7.已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，则·等于 （ ） A .-6 B .6 C .7 D .-88.已知函数f (x )满足,1)2()(=+⋅x f x f 且f (1)=2，则f (99)= （ ） A .21B .1C .2D .99 9. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 （ ） A ．13 B ．21 C ．23 D ．3410．若函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d 有极值，则导函数f ’(x )的图象不可能是 （ ）11.已知双曲线13222=-by x 的右焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 （ ）A .2B .3C .332 D . 223 12.某班选派6人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有（ ）A .50种B .70种C .35种D .55种卷Ⅱ(非选择题 共90分)二.填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13.已知二项式 (1+2x )100 的展开式为a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a 100x 100，则)222(log 10010022102a a a a ++++=______. 14.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 ____.15. 已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的四个点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ， SA =2,AB =BC =2，则球O 的表面积为_______.16.过函数f (x )=24x -的图象上一点作切线l ，l 与x 轴、y 轴的交点分别为 A 、B ，则|AB |的最小值为_______.三.解答题（本大题共6小题，计70分，写出必要的解题步骤） 17. (本题满分10分)已知f (x )=6c os 2x -23si n x c os x -3.⑴求f (x )的值域及最小正周期；⑵设锐角△ABC 的内角A 、B 满足f (A )=2f (B )=-23,AB =3，求BC .18．(本题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5=9，S 10=100. ⑴求通项a n ；⑵记数列}{n S n 的前n 项和为T n ，数列}1{11++-n n T S 的前n 项和为U n .求证：U n <2.19．(本题满分12分)甲、乙两位乒乓球选手，在过去的40局比赛中，甲胜24局.现在两人再次相遇. ⑴打满3局比赛，甲最有可能胜乙几局，说明理由；⑵采用“三局两胜”或“五局三胜”两种赛制，哪种对甲更有利，说明理由.（注：计算时，以频率作为概率的近似值.“三局两胜”就是有一方胜局达到两局时， 就结束比赛；“五局三胜”就是有一方胜局达到三局时，就结束比赛） 20.（本题满分12分）已知四棱锥P —ABCD 的底面是正方形，P A ⊥底面ABCD .异面直线PB 与CD 所成的角为45°.求：⑴二面角B —PC —D 的大小；⑵直线PB 与平面PCD 所成的角的 大小.21.(本题满分12分) 已知函数f (x )=31x 3-(a +2)x 2+a (a +4)x +5在区间(-1,2)内单调递减，求a 的取值范围.22．(本题满分12分)已知点P (-1,23)是椭圆E ：12222=+by a x （a >b >0）上一点，F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴.⑴求椭圆E 的方程；⑵设A 、B 是椭圆E 上两个动点，λ=+（0<λ<4，且λ≠2）.求证：直线AB 的斜率等于椭圆E 的离心率；⑶在⑵的条件下，当△P AB 面积取得最大值时，求λ的值.魏县一中2010—2011学年期中考试高三年级数学（文科）参考答案（自测）一．选择题：CCDD ABBA CDCA7．提示:建立坐标系如图.则A (0,0),C (2,2),E (2,1),AC =(2,2),=(2,1).·=6.也可以先用余弦定理求出∠CAE 的余弦.8．提示：)()4(,)(1)2(x f x f x f x f =+=+，f (x )的周期为4.f (99)=f (3)=f (1+2)=21)1(1=f . 12. 提示：这是分组问题.362226C A C +=50. 二．13．答案：100. 提示：令x =21，得1001002210222a a a a ++++ =2100.14. 答案：18.15．答案：8π.提示：三棱锥S —ABC 是长方体的一角，它的外接球的直径和该长方体的外接球的直径相同.2R =22224=++，R =2.16.答案：4.提示：f (x )的图象是半圆x 2+y 2=4(y ≥0),设A (a ,0)，B (0,b ),则直线l 的方程为1=+bya x ，因为直线l 与半圆x 2+y 2=4(y ≥0)相切，所以圆心到直线l 的距离为211122=+b a ，即)11(422b a +=1， 于是a 2+b 2=4(a 2+b 2)(2211ba +)≥16,|AB |=22b a +≥4，a =b 时取等号. 说明：此题主要考查数形结合.此题不要用导数求切线，因为文科不要求y =24x -的导数.三. 解答题17.解：⑴f (x )=3(1+c os2x )- 3sin 2x -3=23 (x x 2sin 212cos 23-) =23c os(2x +6π)……………………………………………3分 f (x )的值域为[-23，23]，周期为π； ……………………4分⑵由f (A )=23c os(2A +6π)=-23得c os(2A +6π)=-1， ∵0<A <2π，6π<2A +6π<67π，∴2A +6π=π，A =125π……………………………………………6分由f (B )=23c os(2B +6π)=-3得c os(2B +6π)=-21，∵0<B <2π，6π<2B +6π<67π，∴2B +6π=32π，B =4π.因此C =3π. ………………………………………………………8分根据正弦定理得3πsin 3sin sin ==CABA BC =2， 所以BC =2sin A =2sin(4π+6π)=226+. ……………………10分 18．解：⑴a 5=a 1+4d =9S 10=10a 1+d 2910⨯=100， 解得a 1=1，d =2， ……………………………………………4分 a n =a 1+(n -1)d =2n -1； ……………………………………………6分⑵S n =212)(n a a n n =+,n nS n =,T n =2)1(+n n ,…………………………8分S n +1-T n +1=(n +1)2-2)2)(1(++n n =2)1(+n n .)111(2)1(2111+-=+=-++n n n n T S n n , ……………………………10分U n =2[)111()4131()3121()211(+-++-+-+-n n ]=2(111+-n )<2. ……………………………………………12分19．解：比赛一局，甲胜的概率约为p =6.04024=.………………………………1分 ⑴甲胜k (k =0,1,2,3)局的概率为k kk p p C k P --=333)1()(.………………2分则0064.0)0(3=P 288.0)1(3=P432.0)2(3=P 216.0)3(3=P ，……………………………………5分因为甲P 3(2)最大，所以甲最有可能胜两局；…………………………6分⑵三局两胜制：甲胜的概率为P 1=648.06.0)1()2(22=⨯+P P ，………………8分五局三胜制：甲胜的概率为P 2=683.06.0)2(6.0)2()3(433≈⨯+⨯+P P P ，……………………………………11分因为P 2>P 1，所以采用“五局三胜制”对甲有利. ……………12分20.解：⑴∵AB ∥CD ，∴∠PBA 就是PB 与CD 所成的角，即∠PBA =45°,……1分于是P A =AB .作BE ⊥PC 于E ，连接ED ，在△ECB 和△ECD 中，BC =CD ，CE =CE ， ∠ECB =∠ECD ， △ECB ≌△ECD ，∴∠CED =∠CEB =90°,∠BED 就是二面角B —PC —D 的平面角.………………………4分设AB =a ，则BD =PB =a 2，PC =a 3，BE =DE =a PC BC PB 36=⨯,cos ∠BED =212222-=⨯-+DE BE BD DE BE ,∠BED =120° 二面角B —PC —D 的大小为120°； ……………………………6分⑵还原棱锥为正方体ABCD —PB 1C 1D 1，作BF ⊥CB 1于F , ∵平面PB 1C 1D 1⊥平面B 1BCC 1，∴BF ⊥平面PB 1CD ,………………………………8分 连接PF ,则∠BPF 就是直线PB 与平面PCD 所成 的角. ……………………………………………10分BF =a 22,PB =a 2,sin ∠BPF =21,∠BPF =30°.所以就是直线PB 与平面PCD 所成的角为30°. …………………12分 注：也可不还原成正方体,利用体积求出点B 到平面PCD 的距离，或用向量法解答.21．解1:f ’(x )=x 2-2(a +2)x +a (a +4)=(x -a )(x -a -4)，……………………………4分 f ’(x )<0的解为(a ,a +4)， ……………………………7分 ∵f (x )在区间(-1,2)内单调递减，∴(-1,2)⊆ (a ,a +4)，……………………………………………………10分 由此得a ≤-1且a +4≥2，a 的范围是[-2，-1]. ………………12分解2:f ’(x )=x 2-2(a +2)x +a (a +4)， …………………2分 ∵f (x )在区间(-1,2)内单调递减，∴f ’(x )≤0在区间(-1,2)上恒成立， …………………4分∵二次函数f ’(x )=x 2-2(a +2)x +a (a +4)的开口向上，∴f ’(-1)=a 2+6a +5≤0且f ’(2)=a 2-4≤0 …………………………………10分解得a 的范围是[-2，-1]. ………………………………………………12分22. 解：⑴∵PF 1⊥x 轴，∴F 1(-1，0)，c =1，F 2(1，0)，|PF 2|=2523222=+）（，2a =|PF 1|+|PF 2|=4，a =2，b 2=3，椭圆E 的方程为：13422=+y x ；…………………3分⑵设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由 λ=+得（x 1+1，y 1-23）+（x 2+1，y 2-23）=λ(1,- 23)， 所以x 1+x 2=λ-2，y 1+y 2=23(2-λ)………① …………………5分又12432121=+y x ，12432222=+y x ，两式相减得3(x 1+x 2)(x 1-x 2)+ 4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0………..② 以①式代入可得AB 的斜率k =212121=--x x y y =ac=e ；……………8分⑶设直线AB 的方程为y =21x +t ， 与124322=+y x 联立消去y 并整理得 x 2+tx +t 2-3=0, △=3(4-t 2)，|AB |=222124215)4(3411||1t t x x k -⨯=-⨯+=-+， 点P 到直线AB 的距离为d =5|2|2-t ,△P AB 的面积为S =21|AB |×d =|2|4232--⨯t t , ………10分 设f (t )=S 2=43-(t 4-4t 3+16t -16) (-2<t <2)， f ’(t )=-3(t 3-3t 2+4)=-3(t +1)(t -2)2，由f ’(t )=0及-2<t <2得t =-1.当t ∈(-2,-1)时，f ’(t )>0，当t ∈(-1,2)时，f ’(t )<0，f (t )=-1时取得最大值481， 所以S 的最大值为29. 此时x 1+x 2=-t =1=λ-2，λ=3. ……………………………………12分。
