最新16 方差、相关系数及比率的显著性检验
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统计学各章计算题公式及解题方法
统计学各章计算题公式及解题方法第四章数据的概括性度量1.组距式数值型数据众数的计算：确定众数组后代入公式计算:下限公式：；上限公式：,其中，L为众数所在组下限，U为众数所在组上限，为众数所在组次数与前一组次数之差，为众数所在组次数与后一组次数之差，d为众数所在组组距2.中位数位置的确定：未分组数据为；组距分组数据为3.未分组数据中位数计算公式：4.单变量数列的中位数:先计算各组的累积次数（或累积频率）—根据位置公式确定中位数所在的组-对照累积次数（或累积频率）确定中位数（该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布)5.组距式数列的中位数计算公式:下限公式：；上限公式：，其中，为中位数所在组的频数，为中位数所在组前一组的累积频数,为中位数所在组后一组的累积频数6.四分位数位置的确定：未分组数据：；组距分组数据：7.简单均值：8.加权均值：，其中，为各组组中值统计学各章计算题公式及解题方法9.几何均值(用于计算平均发展速度）：10.四分位差（用于衡量中位数的代表性)：11.异众比率（用于衡量众数的代表性）:12.极差：未分组数据:；组距分组数据：13.平均差（离散程度)：未分组数据：；组距分组数据:14.总体方差：未分组数据：；分组数据:15.总体标准差：未分组数据：;分组数据:16.样本方差:未分组数据:；分组数据：17.样本标准差：未分组数据：;分组数据：18.标准分数:19.离散系数：第七章参数估计1.的估计值:置信水平α90％0.1 0。
05 1.65495% 0。
05 0.025 1.9699% 0.01 0。
005 2。
58统计学各章计算题公式及解题方法2.不同情况下总体均值的区间估计：总体分布样本量σ已知σ未知大样本（n≥30）正态分布小样本（n<30）非正态分布大样本(n≥30）其中，查p448 ，查找时需查n—1的数值3.大样本总体比例的区间估计：4.总体方差在置信水平下的置信区间为：5.估计总体均值的样本量：，其中，E为估计误差6.重复抽样或无限总体抽样条件下的样本量：，其中π为总体比例第八章假设检验1.总体均值的检验（已知或未知的大样本）[总体服从正态分布，不服从正态分布的用正态分布近似］假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式已知统计量未知拒绝域值决策，拒绝2.总体均值检验（未知，小样本，总体正态分布）假设双侧检验左侧检验右侧检验统计学各章计算题公式及解题方法假设形式已知统计量未知拒绝域值决策，拒绝注：已知的拒绝域同大样本3.一个总体比例的检验（两类结果，总体服从二项分布，可用正态分布近似）（其中为假设的总体比例）假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式统计量拒绝域值决策,拒绝4.总体方差的检验(检验）假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式统计量拒绝域值决策，拒绝5.统计量的参考数值0.1 0。
教育与心理统计学 第六章 方差分析考研笔记-精品
第六章方差分析第一节方差分析概述一.方差分析的定义［用途］定义:用途方差分析也称为变异数分析，是在教育与心理研究中最常用的变量分析方法，其主要功能在于分析测量或实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定测量或实验中因素对反应变量是否存在显著影响。
即用于置信度不变情况下的多组平均数之间的差异检验。
它既可以比较两个以上的样本平均数的差异检验，也可以应用于一个因素多种水平以及多个因素有多种水平的数据分析。
二.方差分析的作用方差分析主要应用于两种以上实验处理的数据分析，同时匕徽两个以上的样本平均数，推断多组资料的总体均数是否相同，也即检验多组数据之间的均数差异是否有统计意义。
在这个意义，也可以将其理解为平均数差异显著性检验的扩展。
当我们用多个t检验来完成这一过程时，相当于从t分布中随机抽取多个t值，这样落在临界范围之外的可能大大增加，从而增加了I型错误的概率，我们可以把方差分析看作t检验的增强版。
方差分析一次检验多组平均数的差异，降低了多次进行两组平均数检验所带来的误差。
在进行方差分析时，设定的假设是综合虚无假设，即假设样本所归属的所有总体的平均数都相等。
如果检验的结果是存在显著性差异，只能说明多组平均数之间存在显著性差异，但是无法确定究竟哪些组之间存在显著性差异，此时需要运用事后检验的方法来确定。
三.方差分析的相关概念一（一）数据的变异（1）变异:统计中的变异是普遍存在的7一般意义上的变异是指标志（包括品质标志和数量标志）在总体单位之间的不同表现。
可变标志的属性或数值表现在总体各单位之间存在的差异，统计上称之为变异,这是广义上的变异，即包括了品质标志和数量标志，有时仅指品质标志和在总体单位之间的不同表现。
注：随机性，即变异性。
（2）组间变异［组间差异］:组间变异表示处理间变异，主要指由于接受不同的实验处理（实验处理效应）而造成的各组之间的变异，可以用两个平均数之间的离差来表示，可将组间离差平方和记为SS AO组间差异可用组间方差来表征，用符号MS B表示。
回归分析中的变量间关系检验方法(六)
回归分析是统计学中一种常用的分析方法，用于研究一个或多个自变量与因变量之间的关系。
在进行回归分析时，我们需要对变量间的关系进行检验，以确保模型的有效性和准确性。
本文将重点介绍回归分析中的变量间关系检验方法，帮助读者更好地理解和运用这一分析工具。
一、相关性分析相关性分析是一种最基本的变量间关系检验方法。
在回归分析中，我们通常使用皮尔逊相关系数来衡量两个连续变量之间的线性关系强度。
皮尔逊相关系数的取值范围在-1到1之间，如果相关系数接近于1，表示两个变量呈正相关关系；如果相关系数接近于-1，表示两个变量呈负相关关系；如果相关系数接近于0，表示两个变量之间没有线性关系。
除了皮尔逊相关系数，我们还可以使用斯皮尔曼相关系数来衡量两个变量之间的非线性关系。
斯皮尔曼相关系数适用于变量不满足正态分布的情况，它是基于秩次的统计量，可以更准确地描述变量之间的关系。
二、多重共线性检验在多元回归分析中，我们常常会面临多重共线性的问题。
多重共线性是指自变量之间存在高度相关或线性关系，这会导致回归系数的估计不准确，模型的解释性变差。
因此，我们需要对自变量之间的共线性进行检验。
一种常用的多重共线性检验方法是计算自变量之间的方差膨胀因子（VIF）。
VIF反映了自变量间的线性相关程度，当VIF值大于10时，表明自变量之间存在较强的共线性，需要对模型进行修正。
另一种方法是使用特征值和条件数来检验自变量间的共线性，通过计算自变量矩阵的特征值和条件数，可以评估模型的稳定性和准确性。
三、残差分析在进行回归分析时，我们需要对模型的残差进行分析，以检验模型的拟合效果和预测能力。
残差是因变量的观测值与模型预测值之间的差异，通过对残差的分布和特征进行分析，可以评估模型的合理性和可靠性。
残差分析包括对残差的正态性、独立性和同方差性进行检验。
我们可以使用正态概率图和残差的直方图来检验残差是否符合正态分布，通过Durbin-Watson统计量来检验残差的自相关性，以及通过残差与拟合值的散点图来检验残差是否具有同方差性。
方差、标准差、协方差和Pearson相关系数及其间的关系
方差、标准差、协方差和Pearson相关系数及其间的关系方差、协方差和Pearson相关系数在机器学习的理论概念中经常出现，本文主要理一下这几个概念及其相互间的关系。
（一）方差：方差是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数，公式如下：上式中mui为样本均值。
方差可以反应样本数据的离散程度，由上式可以看出，方差越大，样本离散程度也越大。
机器学习中，如果某一特征值的离散程度很小，即表示该特征取值很少，可以认为样本在这个特征上基本没有差异，那这个特征对于样本区分没有什么作用，可以将这个特征去除，从而做到特征选择。
（二）标准差：标准差即方差的开平方，不展开了，下面是公式：（三）协方差：协方差描述的是两个变量间的相关性，计算公式如下：也可以用以下公式表示，两者是等价的：cov(X, Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]上式中E[ ]表示求期望，其中E[X]为X特征期望或均值，E[Y]为Y 特征期望或均值。
对比方差和协方差的公式可以看出两者很像，但方差的结果是大于等于0的，当等于0时，说明样本的x特征取值唯一，反应的样本的x特征的离散程度；协方差的取值则可以大于零也可以小于零，当大于零时，说明对应的两个变量x和y与其均值相比都同大于或同小于，即两个变量的变化趋势相同（正相关）；当小于零时，说明对应的两个变量x和y不同时大于或小于其均值，即两个变量的变化趋势相反（负相关）；而当均方根接近零时，说明两个变量基本没有相关性，接近相互独立。
从以上描述可以看出，协方差可以衡量两个变量相关性大小，绝对值越大，说明越相关。
但是，却不好比较多个变量与另外同一个变量间相关性的相对大小，因为量纲没有统一。
为了便于比较不同变量与另外同一个变量间相关性的相对大小，Pearson相关系数被提出了。
Pearson相关系数：如上所述，Pearson相关性系数是为了比较不同变量与另外同一变量间相关性的相对大小，这里要注意的是：Pearson相关性系数衡量的是定距变量间的线性关系，可以用Pearson相关系数来进行特征特征选择。
现代心理与教育统计学 第八章-假设检验(张厚粲)
p值 ＞0.05 ≤0.05 ≤0.01
显著性 不显著 显著 极显著
符号表示
* **
虽然我们比较习惯取α=0.05和α=0.01，但也可以取其 它的显著性水平值，如0.005或0.001。
三、假设检验中的两类错误
（一）定义
错误(I型错误): H0为真时却被拒绝,弃真错误; 错误是 指虚无假设本身是正确的，但由于抽样的随机性而使 检验值落入了拒绝虚无假设的区域，致使我们作出了 拒绝虚无假设的结论，
正解：
1、提出零假设和备择假设 备择假设：用H1表示，即研究假设，希望证实的假设。 H1 ： 1 0 （该班智力水平确实与常模有差异） 1100 零假设：用H0表示，即虚无假设、原假设、无差异假 设。 H0： 1＝0 1 ＝100
2、确定适当的检验统计量
用于假设检验问题的统计量称为检验统计量。与参数 估计相同，需要考虑：
又或者是样本统计量与总体参数之间存在真实的差异， 是一种有差假设，用H1表示。 3.表达方式，如：
H1： X 0 或 X ；1 2 或 1 2 0 。
（二）虚无假设
1.研究人员为了证实研究假设是真的而利用概率论的 反证法所进行的假设，即从研究假设的反面进行假设。
第八章 假设检验
李金德
第一节 假设检验的原理 第二节 平均数的显著性检验 第三节 平均数差异的显著性检验 第四节 方差的差异检验 第五节 相关系数的显著性检验 第六节比率的显著性检验
第一节 假设检验的原理
在统计学中，通过样本统计量得出的差异做出一般性 结论，判断总体参数之间是否存在差异，这种推论过 程称作假设检验（hypothesis testing）
β μ0
统计学各章计算题公式及解题方法
统计学各章计算题公式及解题方法第四章数据的概括性度量1.组距式数值型数据众数的计算：确定众数组后代入公式计算：下限公式：；上限公式：，其中，L为众数所在组下限，U为众数所在组上限，为众数所在组次数与前一组次数之差，为众数所在组次数与后一组次数之差,d为众数所在组组距2.中位数位置的确定：未分组数据为；组距分组数据为3.未分组数据中位数计算公式：4.单变量数列的中位数:先计算各组的累积次数（或累积频率）—根据位置公式确定中位数所在的组—对照累积次数（或累积频率）确定中位数（该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布）5.组距式数列的中位数计算公式：下限公式:；上限公式:,其中，为中位数所在组的频数,为中位数所在组前一组的累积频数，为中位数所在组后一组的累积频数6.四分位数位置的确定：未分组数据：；组距分组数据：7.简单均值:8.加权均值：,其中，为各组组中值统计学各章计算题公式及解题方法9.几何均值(用于计算平均发展速度）：10.四分位差（用于衡量中位数的代表性):11.异众比率(用于衡量众数的代表性）：12.极差：未分组数据:；组距分组数据：13.平均差（离散程度）:未分组数据：；组距分组数据：14.总体方差:未分组数据：；分组数据：15.总体标准差：未分组数据：；分组数据:16.样本方差:未分组数据：;分组数据：17.样本标准差：未分组数据：；分组数据：18.标准分数:19.离散系数：第七章参数估计1.的估计值：置信水平α90％0。
1 0。
05 1。
654 95％0。
05 0.025 1。
9699％0.01 0。
005 2。
58统计学各章计算题公式及解题方法2.不同情况下总体均值的区间估计：总体分布样本量σ已知σ未知大样本（n≥30）正态分布小样本（n〈30）非正态分布大样本（n≥30)其中，查p448 ,查找时需查n—1的数值3.大样本总体比例的区间估计：4.总体方差在置信水平下的置信区间为：5.估计总体均值的样本量：，其中，E为估计误差6.重复抽样或无限总体抽样条件下的样本量:，其中π为总体比例第八章假设检验1.总体均值的检验（已知或未知的大样本）［总体服从正态分布，不服从正态分布的用正态分布近似]假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式已知统计量未知拒绝域值决策,拒绝2.总体均值检验（未知，小样本，总体正态分布)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式统计学各章计算题公式及解题方法已知统计量未知拒绝域值决策，拒绝注：已知的拒绝域同大样本3.一个总体比例的检验(两类结果，总体服从二项分布，可用正态分布近似)(其中为假设的总体比例）假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式统计量拒绝域值决策，拒绝4.总体方差的检验（检验）假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式统计量拒绝域值决策,拒绝5.统计量的参考数值0。
最新stata操作介绍之相关性分析(三)
pwcorr选项说明
选项 obs sig print(#) star(#) listwise 含义 显示计算每个相关系数时使用的观测值个数 显示显著性检验的P值 在屏幕上仅显示达到相应显著性水平的相关系数 在显著的相关系数上打上星号 使用listwise的方法处理缺失值，这样pwcorr就退化成correlate命 令了。所谓listwis。方法是说，如果某一观测值中某个或者多个 变量出现缺失，则将整个观测值删掉，这也正是correlate命令使 用的方法。对于没有缺失值的数据集，这两种方法没有区别
P值<0.05，拒绝原假设 ，即价格和广告支出的 系数不同时为0
16
相关检验和处理
回归分析时通常需要检验数据是否存在多重共线、序列相关和异方差 等问题，如果存在这些问题，则需要对其进行处理。 1.多重共线性的检验和处理 1.1stata中多重共线性检验的命令格式为： vif //该命令用来得到自变量的方差膨胀因子 一般来说，判断多重共线性的标准是(两个标准必须同时满足): *最大的vif大于10; 由判断标准可知 *平均的vif大于1. 不存在多重共线性
10
用pcorr命令实现偏相关分析，其命令为： pcorr, sales price advert
11
回归分析
回归分析时常用的Stata 命令有：regress , predict, test命令。regress, predict, test 是一组命令，它们完成各种简单和多元的普通最小二 乘法回归。 1.regress实现因变量对自变量的回归
三、线性回归分析
相关性分析 回归分析 多重共线性等相关检验和处理
1
线性回归分析的stata应用实例 本部分用到的实例是Big Andy’s Burger Barn的销售 模型。Big Andy的汉堡销售收入取决于单价和广告支 出水平 。因此，这个模型包含两个解释变量和一个 常数项。 sales= α1 +α2*price +α3*advert+ ε 其中，sales为指定城市的月销售额并以千美仄元度量， price是以美元度量的单个汉堡的价格， advert为广告 支出，同样以千美元度量。
相关系数的显著性检验
三、相关系数的等距转换及其合并
• 例如： • 教科书第261页。
四、相关系数的显著性检验
• （一）相关系数的抽样分布
• 制作方法：
• 形态：
• 1．=0时，如果n比较大，则呈正态分布；
•
如果n比较小，则呈t分布。
• 2．0时，如果n很大，则接近于正态分布;
•
如果n比较小，则呈偏态分布。
• 究竟是正偏态还是负偏态，得由值决定。
感谢下 载
可编辑
把协方差变成一个相对量数，即将离差除以各 自的标准差，变成用标准分数表示，然后将两个标 准分数的乘积除以n，所得的商就是积差相关系数。 用公式表示为：
r ( X X )(Y Y )
n X Y
(X X )(Y Y) 2875.60
n=15 代入积差相关的计算公式中，得
r 2875.60 0.74 15 12.90 20.12
4．用下列统计量来计算
X
公式为：
Y
SX
SY
r XY ：根据上表中的数据计算得，
X X 32.40 n
SX
n
n
1
X
13.35
Y Y 38.73 n
SY
n
n
1
Y
20.83
XY 21700
n=15
r 2170015 32.40 38.73 0.74 1413.35 20.83
3．用下列统计量来计算
X
公式为：
Y
X
Y
r XY n X Y
n X Y
XY
解：根据上表中的数据计算得，
X X n
32.40
X
X 2 (X )2 12.90 nn
第十一章 相关分析
第二节 积差相关
计算积差相关系数的基本公式 • 运用标准差与离均差的计算公式
• n为成对数据的数目 • σx表示X变量的样本标准差 • σY 表示Y变量的样本标准差
第二节 积差相关
通常把公式中的 称为协方差。
所谓协方差就是两个变量离均差乘积的平均数，两列变量离 均差的乘积大小，能够反映两列变量的一致性。但不能直接 用协方差表示一致性，因为它有不同的测量单位，是一个很 不稳定的量，为了克服这一缺点，分别用各变量的标准差去 除各自的离均差，使其成为无实际测量单位的标准分数，然 后求其协方差，这样，不同测量单位表示的两列变量的一致 性便可测量，也便于比较。这就是求相关系数的公式中所以 用比率的由来。 相关系数的数值范围在正负1之间的证明
第二节 积差相关
3、相关系数显著性检验当然步骤及方法
① H0:ρ =0条件下，相关系数的显著性检验 对于总体相关系数ρ =0的零假设进行显著性检验时： 当n≥50时，r的抽样分布接近正态，其标准误为：
当n<50时，可用费舍指出的t统计量来检验相关系数的显 著性：
第二节 积差相关
检验的步骤： • 提出假设
第四节 质Байду номын сангаас量的相关
3、多列相关 1）适用资料 两列正态变量资料，其中一列为等距或等比测量数据，另 一列被认为划分为多种变量，称为名义变量。 2）计算公式
式中，Pi为每系列的次数比率，y1为每一名义变量下限的正态曲 线高度，yh 为每一名义变量上线的正态曲线高度，为每一名义变量对 偶的连续变量的平均数，St 为连续变量的标准差。 注意：a）取值范围为－1至1，相关越高，绝对值越接近于1；b）原 始数据代入积差相关的双列次数分布表计算公式，得到的值相等。
教育研究方法作业四
教育研究方法作业四第十章自测题一、填空1. 计学中不能对研究的问题直接进行检验，需要预先建立一个与研究假设相对立的假设，这一假设称为（）。
2. 设检验的过程中，在虚无假设成立的前提下，拒绝虚无假设所犯的错误成为（）。
3. 设检验过程中允许犯第一类错误的概率又称为（）。
4. 体服从正态分布，总体方差已知的条件下，样本平均值的分布为（）。
5. 体服从正态分布，总体方差未知的条件下，样本平均值的分布为（）。
6. 独立样本方差差异性的检验，所用的统计检验的方法主要有（）。
7. 差和总体方差差异性的检验一般用（）。
8. 对于总体非正态，两个相关样本均值差异性的检验所用的非参数检验的方法有（）和（）。
9. 对于总体非正态，两个独立样本平均值差异的显著性检验所用的非参数检验的方法有（）和（）。
10. 对于样本相关系数是否为零的显著性检验，常用的参数检验的方法为（）。
11. 为了检验相关系数是否等于一个不为零的常数，由于在总体相关不为零的前提下，样本相关系数的分布（），所以应首先进行相关系数的正态性的转换。
12. 用于计数资料检验的统计方法主要有（）。
13. 卡方检验法主要用来描述实际观测数据与理论数据之间差异大小，具体计算公式是（）。
14.（）对于数据资料的分布没有严格的要求，而（）往往要求数据在总体上服从一定的分布。
15.（）适用的资料是在四表格中，两因素都是连续型的正态变量，只是被人为划分为两个类的两个因素之间的相关。
二简答题1. 单叙述平均数检验的一般步骤。
2. 假设检验中，作出统计推断的依据是什么。
3. 两个平均数差异性的检验比一个平均数显著性检验增加了那些前提条件。
4. 单叙述计数资料统计分析方法的功能。
5. 简单叙述非参数检验方法与参数检验方法相比的特点。
6. 简单叙述Ｔ检验的条件？7. 单侧检验与双侧检验的区别？8. 方差及方差差异的显著性检验的区别9. 相关系数的显著性及差异显著性检验的方法10. 检验的两类错误的概念与意义11. 简单叙述计数数据的检验方法的特点12. 品质相关的种类与计算方法三、名词解释1.虚无假设，2. 研究假设，3. 第一类错误，4. 第二类错误，5.t检验，6.样本分布四、计算题1. 某年级语文平均成绩为75分，标准差为7分。
方差分析的概念与应用
方差分析的概念与应用方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或两个以上样本均值是否存在显著差异。
通过对不同组之间的方差进行比较，判断样本均值之间是否存在显著性差异。
方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中，是一种重要的统计工具。
一、方差分析的基本概念方差分析是一种用于比较多个总体均值是否相等的统计方法。
在进行方差分析时，我们通常将数据分为不同的组别，然后比较这些组别之间的均值差异是否显著。
方差分析的基本思想是通过比较组间变异与组内变异的大小，来判断总体均值是否存在显著差异。
在方差分析中，有三种不同的方差：1. 总体方差（Total Variance）：所有数据点与总体均值之间的离差平方和。
2. 组间方差（Between-group Variance）：各组均值与总体均值之间的离差平方和，反映了不同组别之间的差异。
3. 组内方差（Within-group Variance）：各组内部数据点与各自组均值之间的离差平方和，反映了组内数据的离散程度。
二、方差分析的应用领域1. 实验设计：方差分析广泛应用于实验设计中，用于比较不同处理组之间的均值差异，判断实验处理是否显著。
2. 医学研究：在医学研究中，方差分析常用于比较不同药物治疗组的疗效差异，评估治疗效果的显著性。
3. 市场调研：在市场调研中，方差分析可用于比较不同产品或广告策略对消费者行为的影响，帮助企业制定营销策略。
4. 教育评估：在教育领域，方差分析可用于比较不同教学方法或教育政策对学生成绩的影响，评估教育改革效果。
三、方差分析的步骤进行方差分析时，通常需要按照以下步骤进行：1. 提出假设：明确研究问题，提出原假设（各组均值相等）和备择假设（至少有一组均值不相等）。
2. 收集数据：根据研究设计，收集各组数据。
3. 方差分析：计算总体方差、组间方差和组内方差，进行方差分析。
4. 判断显著性：通过计算F值，比较P值与显著性水平，判断各组均值是否存在显著差异。
异方差的检验的新方法
√1−���������2���
性水平α，查 t 分布表得������������(������ − 2)的值，若|������| > ������������(������ − 2)，表明存在异方差
2
2
性，反之则为同方差。对多元线性回归而言，对每个������������������都可以重复上述步骤，
一、异方差模型
经典线性回归模型的一个重要假设就是回归方程误差项 εi 具有相同的方差， 也称方差齐性，其经典线性回归模型可以表示为
y=β1 +β2 x2 +β3 x3 +…+β������ x������ +ε
(1)
假设有 n 组观察值(y������，x������2，x������3，…，x������������)，i=1，2，…，n，则(1)
=
∑ ������̃���2��� ������
② 构造辅助回归函数���̂���2 = ������0 + ������1������1������ + ������2������2������ + ⋯ + ������������������������������ + ������������
并且var(������������) = ������2 = ������0 + ������1������1������ + ������2������2������ + ⋯ + ������������������������������
(1.2)
在（1.2）式中，������1, ������2, … , ������������ 表示某个解释变量或者全部。检验的原假设为
性水平α，查 t 分布表得������������(������ − 2)的值，若|������| > ������������(������ − 2)，表明存在异方差
2
2
性，反之则为同方差。对多元线性回归而言，对每个������������������都可以重复上述步骤，
一、异方差模型
经典线性回归模型的一个重要假设就是回归方程误差项 εi 具有相同的方差， 也称方差齐性，其经典线性回归模型可以表示为
y=β1 +β2 x2 +β3 x3 +…+β������ x������ +ε
(1)
假设有 n 组观察值(y������，x������2，x������3，…，x������������)，i=1，2，…，n，则(1)
=
∑ ������̃���2��� ������
② 构造辅助回归函数���̂���2 = ������0 + ������1������1������ + ������2������2������ + ⋯ + ������������������������������ + ������������
并且var(������������) = ������2 = ������0 + ������1������1������ + ������2������2������ + ⋯ + ������������������������������
(1.2)
在（1.2）式中，������1, ������2, … , ������������ 表示某个解释变量或者全部。检验的原假设为
心理统计学 第七章假设检验
α和β 的关系就像翘翘板， 的关系就像翘翘板， 就大， α小β 就大， α大β 就小
β
α
四、单侧与双侧检验
• 1.双侧检验：只强调差异 1.双侧检验： 双侧检验 而不强调方向性的检验。 而不强调方向性的检验。
H 0 : µ = µ0
• 2.单侧检验：既强调差异 2.单侧检验： 单侧检验 又强调方向性的检验。 又强调方向性的检验。
• （二）两类错误的关系
• • • • • 1. α+β不等于1 不等于1 是在两个不同前提下的概率。 α和β是在两个不同前提下的概率。 2. α和β不可能同时增大或减小 增大样本容量n 可同时减小两类错误。 增大样本容量n，可同时减小两类错误。 3.统计检验力 统计检验力1 3.统计检验力1-β。
解： 提出假设：用μ1表示受过早期教育的儿童的平均智商。单侧检验，提出假设： ⑴提出假设 Ho： H1： Ho：μ1≤μo=100 H1：μ1＞μo=100 选择并计算统计量： ⑵选择并计算统计量：由于总体方差已知，样本平均数服从正态分布。
⑶查表确定临界值：Z0.05=1.645 查表确定临界值： 统计决断： p<0.05。 ⑷统计决断：Z=1.84> Z0.05=1.645 ，p<0.05。 p<0.05 落在拒绝区域，所以拒绝零假设，接受备择假设。 即应该认为受过良好早期教育的儿童智力高于一般水平。 即应该认为受过良好早期教育的儿童智力高于一般水平。
Ⅰ型错误：也称α型错误或弃真错误，即H0为真拒绝H0（拒 为真拒绝H 型错误：也称α型错误或弃真错误， 绝了一个本应接受的假设）； 绝了一个本应接受的假设）； 型错误：也称β型错误或取伪错误， 为假接受H Ⅱ型错误：也称β型错误或取伪错误，即H0为假接受H0（接 受了一个本应拒绝的假设）。 受了一个本应拒绝的假设）。 负责任的态度是无论做出什么决策， 负责任的态度是无论做出什么决策， 都应该给出该决策可能犯错误的概率。 都应该给出该决策可能犯错误的概率。
β
α
四、单侧与双侧检验
• 1.双侧检验：只强调差异 1.双侧检验： 双侧检验 而不强调方向性的检验。 而不强调方向性的检验。
H 0 : µ = µ0
• 2.单侧检验：既强调差异 2.单侧检验： 单侧检验 又强调方向性的检验。 又强调方向性的检验。
• （二）两类错误的关系
• • • • • 1. α+β不等于1 不等于1 是在两个不同前提下的概率。 α和β是在两个不同前提下的概率。 2. α和β不可能同时增大或减小 增大样本容量n 可同时减小两类错误。 增大样本容量n，可同时减小两类错误。 3.统计检验力 统计检验力1 3.统计检验力1-β。
解： 提出假设：用μ1表示受过早期教育的儿童的平均智商。单侧检验，提出假设： ⑴提出假设 Ho： H1： Ho：μ1≤μo=100 H1：μ1＞μo=100 选择并计算统计量： ⑵选择并计算统计量：由于总体方差已知，样本平均数服从正态分布。
⑶查表确定临界值：Z0.05=1.645 查表确定临界值： 统计决断： p<0.05。 ⑷统计决断：Z=1.84> Z0.05=1.645 ，p<0.05。 p<0.05 落在拒绝区域，所以拒绝零假设，接受备择假设。 即应该认为受过良好早期教育的儿童智力高于一般水平。 即应该认为受过良好早期教育的儿童智力高于一般水平。
Ⅰ型错误：也称α型错误或弃真错误，即H0为真拒绝H0（拒 为真拒绝H 型错误：也称α型错误或弃真错误， 绝了一个本应接受的假设）； 绝了一个本应接受的假设）； 型错误：也称β型错误或取伪错误， 为假接受H Ⅱ型错误：也称β型错误或取伪错误，即H0为假接受H0（接 受了一个本应拒绝的假设）。 受了一个本应拒绝的假设）。 负责任的态度是无论做出什么决策， 负责任的态度是无论做出什么决策， 都应该给出该决策可能犯错误的概率。 都应该给出该决策可能犯错误的概率。
方差分析检验显著性
• 找出影响产品质量的关
• 对每个工艺生产的产品
• 通过多重比较，找出影
的影响
键因素
进行质量检测
响产品质量的关键因素
• 提出改进措施，提高产
品质量
案例分析：农业试验研究
研究目的
实验设计
• 分析不同施肥方案对农作物产量的影响
• 选择四个不同的施肥方案
• 找出提高农作物产量的最佳施肥方案
• 对每个施肥方案下的农作物进行产量测定
• 计算得出F统计量和显著
• 根据方差分析结果，解
对产品销售量的影响
销策略
性水平
释不同市场营销策略对产品
• 找出提高产品销售量的
• 对每个市场营销策略下
• 通过多重比较，找出提
销售量的影响
最佳市场营销策略
的产品进行销售量测定
高产品销售量的最佳市场营
• 提出改进措施，提高产
销策略
品销售量
05
方差分析的优缺点与注意事项
方差分析的优点
思路清晰，易于理解
• 方差分析通过比较不同因素引起的变异大小，来判断因素对实验结果的影响
• 分析过程逻辑性强，易于理解
统计功效高
• 方差分析能够有效地检验实验假设是否成立
• 对于小样本数据，方差分析也具有较高的统计功效
方差分析的缺点
对数据要求较高
计算过程较复杂
• 方差分析要求实验数据服从正态分布和方差齐性
方差分析的基本思想
• 把总的变异分解为各个因素引起的变异
• 通过比较不同因素引起的变异大小，来判断因素对实验结果的影响
方差分析的用途
• 研究不同因素对实验结果的影响
• 检验实验假设是否成立
• 优化实验设计
显著性检验
显著性检验T检验零假设，也称稻草人假设，如果零假设为真，就没有必要把X纳入模型，因此如果X确定属于模型，则拒绝零假设Ho，接受备择假设H1，(Ho:B2=0 H1：B2≠0)假设检验的显著性检验法:t=（b2-B2）/Se(b2)服从自由度为（n-2）的t分布，如果令Ho:B2=B2*,B2*是B2的某个数值(若B2*=0)则t=（b2-B2*）/Se(b2)=（估计量—假设值）/假设量的标准误。
可计算出的t值作为检验统计量，它服从自由度为（n-2）的t分布，相应的检验过程称为t检验。
T检验时需知：①，对于双变量模型，自由度为（n-2）；②,在检验分析中，常用的显著水平α有1%，5%或10%，为避免选择显著水平的随意性，通常求出p值，p值充分小，拒绝零假设；③可用半边或双边检验。
双边T检验：若计算的ItI超过临界t值，则拒绝零假设。
显著性水平临界值t单边检验：用于B2系数为正，假设为Ho:B2<=0, H1：B2>0显著性水平临界值tF检验（多变量）（联合检验）F=[R2/(k-1)]/(1-R2)(n-k)=[ESS(k-1)]/RSS(n-k).n为观察值的个数，k为包括截距在内的解释变量的个数，ESS(解释平方和)= ∑y^i2RSS(残差平方和)= ∑ei2TSS(总平方和)= ∑yi2=ESS+RSS.判定系数r2=ESS/TSSF与R2同方向变动，当R2=0（Y与解释变量X不想关），F为0，R2值越大，F 值也越大，当R2取极限值1时，F值趋于无穷大。
F检验（用于度量总体回归直线的显著性）也可用于检验R2的显著性—R2是否显著不为0，即检验零假设式(Ho:B2=B3=0)与检验零假设R2为0是等价的。
虚拟变量虚拟变量即定性变量，通常表明具备或不具备某种性质，虚拟变量用D表示。
方差分析模型：仅包含虚拟变量的回归模型。
若：Yi=B1+B2Di+Ui,Di—1，女性；—0，男性B2为差别截距系数，表示两类截距值的差异，B2=E(Yi/Di=1)-E(Yi/Di=0)通常把取值为0的一类称为基准类、基础类、参照类、比较类，研究结论与基准类的选择没有关系。
多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结
多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结常用的参数检验方法包括：回归系数的t检验、回归系数的显著性检验、决定系数（R-square）和方差分析（ANOVA）。
1.回归系数的t检验：回归系数的t检验用于检验回归系数是否显著。
在这里，我们假设零假设为回归系数等于0，备择假设为回归系数不等于0。
如果t值的绝对值大于临界值（通常取2），则拒绝零假设，即认为回归系数显著。
2.回归系数的显著性检验：回归系数的显著性检验用于检验回归系数是否显著不等于0。
一般情况下，我们使用p值来进行显著性检验。
如果p值小于显著性水平（通常取0.05），则拒绝零假设，即认为回归系数显著。
3. 决定系数（R-square）：决定系数用于衡量模型的拟合程度，表示因变量中能被自变量解释的比例。
决定系数的取值范围为0到1，越接近1表示模型的拟合程度越好。
但是，决定系数本身不能代表模型的好坏，因为它不考虑模型中所使用的自变量的数量和质量等因素。
4.方差分析（ANOVA）：方差分析用于检验模型整体的显著性。
方差分析的原假设为自变量对因变量没有影响，备择假设为自变量对因变量有影响。
通过计算方差分析中的F值来进行检验，如果F值大于临界值（通常取4），则拒绝原假设，认为模型整体显著。
在多元回归模型中，参数之间也存在一些相关关系。
1.多重共线性：多重共线性是指自变量之间存在高度相关性。
在多重共线性存在的情况下，模型的参数估计可能不准确，标准误差会增大。
可以通过计算自变量之间的相关系数矩阵来判断是否存在多重共线性，如果相关系数的绝对值大于0.7，则存在多重共线性。
2.自变量之间的相关性：自变量之间的相关性可以影响模型的解释和预测能力。
如果自变量之间存在高度相关性，可能需要对自变量进行筛选或变换，以减少相关性。
3.变量的重要性：通过参数的t检验或显著性检验可以确定回归系数的显著性，从而判断变量的重要性。
如果一些变量的回归系数显著，说明该变量对因变量有显著影响。
心理学中随机误差的计算公式
心理学中随机误差的计算公式一、集中量1.算术平均数：2.中位数：3.众数：4.加权算术平均数：5.几何平均数：6.调和平均数：二、差异量1.四分差：2.平均差：3.标准差：4.方差：5.差异系数：6.百分等级分数：7.标准分数：三、相关量1.积差相关系数：2.斯皮尔曼等级相关系数：3.肯德尔和谐系数：式中：4.点二列相关系数：5.二列相关系数：6.多系列相关系数：7.四分相关系数：8.Φ相关系数：9.列联相关系数：四、推断统计1.二项分布概率：2.二项分布平均数：3.二项分布标准差：4.正态分布曲线：5.标准正态分布曲线：6.平均数抽样分布标准误：五、总体平均数的显著性检验1.已知：2.未知但n＞30：3.未知但n≤30：六、平均数差异的显著性检验1.相关大样本（n=n1=n2＞30）：2.相关小样本（n=n1=n2≤30）：3.独立大样本（n1＞30、n2＞30）：4.独立小样本（n1≤30或n2≤30）：七、方差齐性检验1.两个独立样本：2.两个相关样本：八、方差分析1.完全随机设计：组间方差：组内方差：（1）总平方和：总自由度：（2）组间平方和：组间自由度：（3）组内平方和：组内自由度：2.随机区组设计：处理水平差异显著性检验：组间方差：误差方差：区组差异显著性检验：区组方差：误差方差：（1）总平方和：总自由度：（2）组间平方和：组间自由度：（3）区组平方和：区组自由度：（4）误差平方和：误差自由度：3.在F检验拒绝H0后：（1）完全随机设计：（2）随机区组设计：九、总体比率的假设检验1.2.两个独立样本比率差异的显著性检验：3.两个相关样本比率差异的显著性检验： b、c为不和谐频数十、检验1.单项表的检验：自由度：2.双项表的检验：自由度：3.独立样本四格表的检验：自由度：4.相关样本四格表的检验：自由度：十一、相关系数的显著性检验1.积差相关系数的检验：（1）且n≥50：（2）且n＜50：自由度：（3）：（4）两个相关系数差异的显著性检验：2.斯皮尔曼等级相关系数的检验：自由度：3.肯德尔和谐系数的检验：自由度：4.点二列相关系数的检验：自由度：5.二列相关系数的检验：6.多系列相关系数的检验：自由度：7.四分相关系数的检验：8.Φ相关系数的检验：自由度：9.列联相关系数的检验：自由度：。
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❖ 通过查表得知该班学习障碍学生的比率所属总体 比率0.95的置信区间为2%~18%。 ❖ 将实际的总体比率与查表等到的置信区间进行比 较，实际的总体比率在置信区间内，所以要保留零假 设，拒绝备择假设，也就是说，该班学习障碍学生的 比率与全区没有显著性差异。
四 总体比率之差的显著性检验
❖ 总体比率差异的显著性检验是根据两个样本的比 率来检验两个相应总体的比率是否存在显著性差 异。由于样本性质不同，其检验方法也不同。
查表法
❖ 当p≠q，np<5，这时ppˊ的抽样分布不接近于正 态分布，因此，不能对样本比率与总体比率的差异进行 Z检验，而应该用查表法进行显著性检验。 ❖ 例如，已知某区学习障碍儿童的比率为8%，通过 调查得知某班45名学生中有学习障碍的学生共3人，问 该班学习障碍学生的比率与全区是否有差异？
解：
应在0.01显著性水平拒绝零假设，接受研究 假设
结论：学生初一和初二的数学成绩之间存在 极其显著的相关。
另一种方法：查积差相关系数临界值表
❖ 根据df=8，查附表7，从α=0.01一列中 找到对应的积差相关系数临界值为0.765。
❖ 计算得到的r=0.780，大于表中查到的临 界值。因此应接受该相关关系极其显著 的结论，而拒绝相关关系不显著的零假 设。
16 方差、相关系数及比率的 显著性检验
一 方差的差异性检验
二 相关系数的显著性检验
❖ 仅仅根据计算得到的相关系数还不足以确 定变量之间是否存在相关。只有通过对相 关系数显著性的检验，才能确定相关关系 是否存在。
❖ 对相关系数进行显著性检验包括三种情况 （即三种零假设）：一是ρ=0；二是ρ=ρ0； 三是ρ1=ρ2。本讲主要介绍前两种情况。
❖ 斯皮尔曼等级相关系数的显著性检验，可直接查相关系 数临界值做出判断。
❖ 其它相关系数的显著性检验可根据教材P250－P253页 的各种方法进行。
三 总体比率的假设检验
即对样本比率与总体比率之间是否存在显著差异进行检验。 •正态近似法： •依据： （1）当p=q，无论N的大小，二项分布呈对 称分布；（2）当p<q且 np>=5时，或p>q且nq>=5，二 项分布开始接近正态。 •步骤： •建立假设： •虚无假设：P=P0 ； P P0 ； P P0 ； •备选假设：PP0； P<P0 ； P>P0 ；
系数为零，或者接近于零，样本容 量 n 相当大（n＞50或n＞30）时， r 的抽样分布才接近于正态分布。
⑴．H0：ρ＝0条件下， 相关系数的显著性检验
❖ 检验形式：双侧检验 ❖ 统计量为t，检验计算公式为：
t r n2 1 r2
（19．4）
dfn2
例:经计算,10个学生初一和初二数学成绩的相
关系数为0.780,能否说学生初一和初二的数学成绩
n1=46，n2=48
所以，
Z
p1 p2
(n1p1 n2p2)(n1q1 n2q2)
n1n2(n1 n2)
0.43480.6875 2.47 (2033)(2615) 4648(4648)
当两个样本的容量相等时，上式可以化简为：
S 2pq (p1p2)q (1q2)
P 1P 2
n
2n
因此，总体比率差异的检验统计量为：
Z
p1 p2
(n1p1 n2p2)(n1q1 n2q2)
n1n2(n1 n2)
第二步：计算检验统计量的值
因为 p120/460.4348 q110.43 40.8 5652 p233/480.6875 q210.68 70.5 3125
1．积差相关系数的显著性检验
❖ 相关系数的显著性检验即样本相关系数 与总体相关系数的差异检验。
❖ 包括两种情况： ρ=0和ρ=ρ0 ❖ 对ρ=0的检验是确认相关系数是否显著； ❖ 对ρ=ρ0的检验是确认样本所代表的总
体的相关系数是否为ρ0 。
❖ 根据样本相关系数 r 对总体相关系 数ρ进行推断，是以 r 的抽样分布 正态性为前提的，只有当总体相关
•选择检验统计量并计算 •Z分布
•确定检验形式 •双侧
Z p p' pq n
•单侧
•进行统计推断—查表寻找相应的临界值比较Z与Z ， 从而确定该样本的P是否为小概率，即是否P<0.05。
例
❖ 已知某年某区高考升学率为75%，某校在这一年有300名 学生参加了高考，最后有210人被高校录取，问该校的升 学率与全区的升学率是否相同？
解：第一步：提出假设
H0：p0.75 H1： p0.75
第二步：计算p与pˊ的差（即p―pˊ）与抽样分 布的平均数（即0）的距离有多远（这个差距除以标 准误，就变成了用Z表示）。
Zpp 21/03000.752.00 pq 0.750.25
n
300
第三步：统计决断
因为Z=2.00*>1.96=Z0.05/2，p<0.05，所以拒绝零 假设，接受备择假设，即该校这一年高考的升学率 与全区的升学率有显著的差异。由实际的数据来看， 该校这一年高考的升学率低于全区。
之间存在显著相关?
解：
提出假设 H0：ρ=0，H1： ρ≠0 选择检验统计量并计算
对积差相关系数进行ρ=0的显著性检 验，检验统计量为t
计算
t r n 2 0.780 102 3.524
1 r2
10.7802
统计决断
根据df=10-2=8，查t值表P⑵，得 t(8)0.01=3.355，
|t|＞t(8)0.01,则Ｐ＜0.01，差异极其显著
如果总体比率未知，又假设这两个样本来自同 一个总体（即p1ˊ=p2ˊ=pˊ），那么总体比率可以 用两个样本比率的加权平均数作为估计量，即
p n1p1 n2 p2 n1 n2
q n1q1 n2q2 n1 n2
则得比率差的标准误的估计量为：
pq pq
S
P1P2
n1 n2
(n1p1n2p2)(n1q1n2q2) n1n（ 2 n1n2）
⑵．H0：ρ＝ρ0条件下，
相关系数的显著性检验
❖ ρ≠0时，r的抽样分布呈偏态，不能用上 述公式计算。因此可先将r与ρ都转换成 Zr，因为Zr的分布无论ρ的大小都近似于 正态分布，于是不受ρ＝0这一条件的限 制。检验统计量的计算公式为：
ZZr
Z 1
Zr
Z
n3
n3
（19．5）
2．其它相关系数的显著性检验
四 总体比率之差的显著性检验
❖ 总体比率差异的显著性检验是根据两个样本的比 率来检验两个相应总体的比率是否存在显著性差 异。由于样本性质不同，其检验方法也不同。
查表法
❖ 当p≠q，np<5，这时ppˊ的抽样分布不接近于正 态分布，因此，不能对样本比率与总体比率的差异进行 Z检验，而应该用查表法进行显著性检验。 ❖ 例如，已知某区学习障碍儿童的比率为8%，通过 调查得知某班45名学生中有学习障碍的学生共3人，问 该班学习障碍学生的比率与全区是否有差异？
解：
应在0.01显著性水平拒绝零假设，接受研究 假设
结论：学生初一和初二的数学成绩之间存在 极其显著的相关。
另一种方法：查积差相关系数临界值表
❖ 根据df=8，查附表7，从α=0.01一列中 找到对应的积差相关系数临界值为0.765。
❖ 计算得到的r=0.780，大于表中查到的临 界值。因此应接受该相关关系极其显著 的结论，而拒绝相关关系不显著的零假 设。
16 方差、相关系数及比率的 显著性检验
一 方差的差异性检验
二 相关系数的显著性检验
❖ 仅仅根据计算得到的相关系数还不足以确 定变量之间是否存在相关。只有通过对相 关系数显著性的检验，才能确定相关关系 是否存在。
❖ 对相关系数进行显著性检验包括三种情况 （即三种零假设）：一是ρ=0；二是ρ=ρ0； 三是ρ1=ρ2。本讲主要介绍前两种情况。
❖ 斯皮尔曼等级相关系数的显著性检验，可直接查相关系 数临界值做出判断。
❖ 其它相关系数的显著性检验可根据教材P250－P253页 的各种方法进行。
三 总体比率的假设检验
即对样本比率与总体比率之间是否存在显著差异进行检验。 •正态近似法： •依据： （1）当p=q，无论N的大小，二项分布呈对 称分布；（2）当p<q且 np>=5时，或p>q且nq>=5，二 项分布开始接近正态。 •步骤： •建立假设： •虚无假设：P=P0 ； P P0 ； P P0 ； •备选假设：PP0； P<P0 ； P>P0 ；
系数为零，或者接近于零，样本容 量 n 相当大（n＞50或n＞30）时， r 的抽样分布才接近于正态分布。
⑴．H0：ρ＝0条件下， 相关系数的显著性检验
❖ 检验形式：双侧检验 ❖ 统计量为t，检验计算公式为：
t r n2 1 r2
（19．4）
dfn2
例:经计算,10个学生初一和初二数学成绩的相
关系数为0.780,能否说学生初一和初二的数学成绩
n1=46，n2=48
所以，
Z
p1 p2
(n1p1 n2p2)(n1q1 n2q2)
n1n2(n1 n2)
0.43480.6875 2.47 (2033)(2615) 4648(4648)
当两个样本的容量相等时，上式可以化简为：
S 2pq (p1p2)q (1q2)
P 1P 2
n
2n
因此，总体比率差异的检验统计量为：
Z
p1 p2
(n1p1 n2p2)(n1q1 n2q2)
n1n2(n1 n2)
第二步：计算检验统计量的值
因为 p120/460.4348 q110.43 40.8 5652 p233/480.6875 q210.68 70.5 3125
1．积差相关系数的显著性检验
❖ 相关系数的显著性检验即样本相关系数 与总体相关系数的差异检验。
❖ 包括两种情况： ρ=0和ρ=ρ0 ❖ 对ρ=0的检验是确认相关系数是否显著； ❖ 对ρ=ρ0的检验是确认样本所代表的总
体的相关系数是否为ρ0 。
❖ 根据样本相关系数 r 对总体相关系 数ρ进行推断，是以 r 的抽样分布 正态性为前提的，只有当总体相关
•选择检验统计量并计算 •Z分布
•确定检验形式 •双侧
Z p p' pq n
•单侧
•进行统计推断—查表寻找相应的临界值比较Z与Z ， 从而确定该样本的P是否为小概率，即是否P<0.05。
例
❖ 已知某年某区高考升学率为75%，某校在这一年有300名 学生参加了高考，最后有210人被高校录取，问该校的升 学率与全区的升学率是否相同？
解：第一步：提出假设
H0：p0.75 H1： p0.75
第二步：计算p与pˊ的差（即p―pˊ）与抽样分 布的平均数（即0）的距离有多远（这个差距除以标 准误，就变成了用Z表示）。
Zpp 21/03000.752.00 pq 0.750.25
n
300
第三步：统计决断
因为Z=2.00*>1.96=Z0.05/2，p<0.05，所以拒绝零 假设，接受备择假设，即该校这一年高考的升学率 与全区的升学率有显著的差异。由实际的数据来看， 该校这一年高考的升学率低于全区。
之间存在显著相关?
解：
提出假设 H0：ρ=0，H1： ρ≠0 选择检验统计量并计算
对积差相关系数进行ρ=0的显著性检 验，检验统计量为t
计算
t r n 2 0.780 102 3.524
1 r2
10.7802
统计决断
根据df=10-2=8，查t值表P⑵，得 t(8)0.01=3.355，
|t|＞t(8)0.01,则Ｐ＜0.01，差异极其显著
如果总体比率未知，又假设这两个样本来自同 一个总体（即p1ˊ=p2ˊ=pˊ），那么总体比率可以 用两个样本比率的加权平均数作为估计量，即
p n1p1 n2 p2 n1 n2
q n1q1 n2q2 n1 n2
则得比率差的标准误的估计量为：
pq pq
S
P1P2
n1 n2
(n1p1n2p2)(n1q1n2q2) n1n（ 2 n1n2）
⑵．H0：ρ＝ρ0条件下，
相关系数的显著性检验
❖ ρ≠0时，r的抽样分布呈偏态，不能用上 述公式计算。因此可先将r与ρ都转换成 Zr，因为Zr的分布无论ρ的大小都近似于 正态分布，于是不受ρ＝0这一条件的限 制。检验统计量的计算公式为：
ZZr
Z 1
Zr
Z
n3
n3
（19．5）
2．其它相关系数的显著性检验