最新16 方差、相关系数及比率的显著性检验
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统计学各章计算题公式及解题方法
统计学各章计算题公式及解题方法第四章数据的概括性度量1.组距式数值型数据众数的计算：确定众数组后代入公式计算:下限公式：；上限公式：,其中，L为众数所在组下限，U为众数所在组上限，为众数所在组次数与前一组次数之差，为众数所在组次数与后一组次数之差，d为众数所在组组距2.中位数位置的确定：未分组数据为；组距分组数据为3.未分组数据中位数计算公式：4.单变量数列的中位数:先计算各组的累积次数（或累积频率）—根据位置公式确定中位数所在的组-对照累积次数（或累积频率）确定中位数（该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布)5.组距式数列的中位数计算公式:下限公式：；上限公式：，其中，为中位数所在组的频数，为中位数所在组前一组的累积频数,为中位数所在组后一组的累积频数6.四分位数位置的确定：未分组数据：；组距分组数据：7.简单均值：8.加权均值：，其中，为各组组中值统计学各章计算题公式及解题方法9.几何均值(用于计算平均发展速度）：10.四分位差（用于衡量中位数的代表性)：11.异众比率（用于衡量众数的代表性）:12.极差：未分组数据:；组距分组数据：13.平均差（离散程度)：未分组数据：；组距分组数据:14.总体方差：未分组数据：；分组数据:15.总体标准差：未分组数据：;分组数据:16.样本方差:未分组数据:；分组数据：17.样本标准差：未分组数据：;分组数据：18.标准分数:19.离散系数：第七章参数估计1.的估计值:置信水平α90％0.1 0。
05 1.65495% 0。
05 0.025 1.9699% 0.01 0。
005 2。
58统计学各章计算题公式及解题方法2.不同情况下总体均值的区间估计：总体分布样本量σ已知σ未知大样本（n≥30）正态分布小样本（n<30）非正态分布大样本(n≥30）其中，查p448 ，查找时需查n—1的数值3.大样本总体比例的区间估计：4.总体方差在置信水平下的置信区间为：5.估计总体均值的样本量：，其中，E为估计误差6.重复抽样或无限总体抽样条件下的样本量：，其中π为总体比例第八章假设检验1.总体均值的检验（已知或未知的大样本）[总体服从正态分布，不服从正态分布的用正态分布近似］假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式已知统计量未知拒绝域值决策，拒绝2.总体均值检验（未知，小样本，总体正态分布）假设双侧检验左侧检验右侧检验统计学各章计算题公式及解题方法假设形式已知统计量未知拒绝域值决策，拒绝注：已知的拒绝域同大样本3.一个总体比例的检验（两类结果，总体服从二项分布，可用正态分布近似）（其中为假设的总体比例）假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式统计量拒绝域值决策,拒绝4.总体方差的检验(检验）假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式统计量拒绝域值决策，拒绝5.统计量的参考数值0.1 0。
教育与心理统计学 第六章 方差分析考研笔记-精品
第六章方差分析第一节方差分析概述一.方差分析的定义［用途］定义:用途方差分析也称为变异数分析，是在教育与心理研究中最常用的变量分析方法，其主要功能在于分析测量或实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定测量或实验中因素对反应变量是否存在显著影响。
即用于置信度不变情况下的多组平均数之间的差异检验。
它既可以比较两个以上的样本平均数的差异检验，也可以应用于一个因素多种水平以及多个因素有多种水平的数据分析。
二.方差分析的作用方差分析主要应用于两种以上实验处理的数据分析，同时匕徽两个以上的样本平均数，推断多组资料的总体均数是否相同，也即检验多组数据之间的均数差异是否有统计意义。
在这个意义，也可以将其理解为平均数差异显著性检验的扩展。
当我们用多个t检验来完成这一过程时，相当于从t分布中随机抽取多个t值，这样落在临界范围之外的可能大大增加，从而增加了I型错误的概率，我们可以把方差分析看作t检验的增强版。
方差分析一次检验多组平均数的差异，降低了多次进行两组平均数检验所带来的误差。
在进行方差分析时，设定的假设是综合虚无假设，即假设样本所归属的所有总体的平均数都相等。
如果检验的结果是存在显著性差异，只能说明多组平均数之间存在显著性差异，但是无法确定究竟哪些组之间存在显著性差异，此时需要运用事后检验的方法来确定。
三.方差分析的相关概念一（一）数据的变异（1）变异:统计中的变异是普遍存在的7一般意义上的变异是指标志（包括品质标志和数量标志）在总体单位之间的不同表现。
可变标志的属性或数值表现在总体各单位之间存在的差异，统计上称之为变异,这是广义上的变异，即包括了品质标志和数量标志，有时仅指品质标志和在总体单位之间的不同表现。
注：随机性，即变异性。
（2）组间变异［组间差异］:组间变异表示处理间变异，主要指由于接受不同的实验处理（实验处理效应）而造成的各组之间的变异，可以用两个平均数之间的离差来表示，可将组间离差平方和记为SS AO组间差异可用组间方差来表征，用符号MS B表示。
回归分析中的变量间关系检验方法(六)
回归分析是统计学中一种常用的分析方法，用于研究一个或多个自变量与因变量之间的关系。
在进行回归分析时，我们需要对变量间的关系进行检验，以确保模型的有效性和准确性。
本文将重点介绍回归分析中的变量间关系检验方法，帮助读者更好地理解和运用这一分析工具。
一、相关性分析相关性分析是一种最基本的变量间关系检验方法。
在回归分析中，我们通常使用皮尔逊相关系数来衡量两个连续变量之间的线性关系强度。
皮尔逊相关系数的取值范围在-1到1之间，如果相关系数接近于1，表示两个变量呈正相关关系；如果相关系数接近于-1，表示两个变量呈负相关关系；如果相关系数接近于0，表示两个变量之间没有线性关系。
除了皮尔逊相关系数，我们还可以使用斯皮尔曼相关系数来衡量两个变量之间的非线性关系。
斯皮尔曼相关系数适用于变量不满足正态分布的情况，它是基于秩次的统计量，可以更准确地描述变量之间的关系。
二、多重共线性检验在多元回归分析中，我们常常会面临多重共线性的问题。
多重共线性是指自变量之间存在高度相关或线性关系，这会导致回归系数的估计不准确，模型的解释性变差。
因此，我们需要对自变量之间的共线性进行检验。
一种常用的多重共线性检验方法是计算自变量之间的方差膨胀因子（VIF）。
VIF反映了自变量间的线性相关程度，当VIF值大于10时，表明自变量之间存在较强的共线性，需要对模型进行修正。
另一种方法是使用特征值和条件数来检验自变量间的共线性，通过计算自变量矩阵的特征值和条件数，可以评估模型的稳定性和准确性。
三、残差分析在进行回归分析时，我们需要对模型的残差进行分析，以检验模型的拟合效果和预测能力。
残差是因变量的观测值与模型预测值之间的差异，通过对残差的分布和特征进行分析，可以评估模型的合理性和可靠性。
残差分析包括对残差的正态性、独立性和同方差性进行检验。
我们可以使用正态概率图和残差的直方图来检验残差是否符合正态分布，通过Durbin-Watson统计量来检验残差的自相关性，以及通过残差与拟合值的散点图来检验残差是否具有同方差性。
方差、标准差、协方差和Pearson相关系数及其间的关系
方差、标准差、协方差和Pearson相关系数及其间的关系方差、协方差和Pearson相关系数在机器学习的理论概念中经常出现，本文主要理一下这几个概念及其相互间的关系。
（一）方差：方差是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数，公式如下：上式中mui为样本均值。
方差可以反应样本数据的离散程度，由上式可以看出，方差越大，样本离散程度也越大。
机器学习中，如果某一特征值的离散程度很小，即表示该特征取值很少，可以认为样本在这个特征上基本没有差异，那这个特征对于样本区分没有什么作用，可以将这个特征去除，从而做到特征选择。
（二）标准差：标准差即方差的开平方，不展开了，下面是公式：（三）协方差：协方差描述的是两个变量间的相关性，计算公式如下：也可以用以下公式表示，两者是等价的：cov(X, Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]上式中E[ ]表示求期望，其中E[X]为X特征期望或均值，E[Y]为Y 特征期望或均值。
对比方差和协方差的公式可以看出两者很像，但方差的结果是大于等于0的，当等于0时，说明样本的x特征取值唯一，反应的样本的x特征的离散程度；协方差的取值则可以大于零也可以小于零，当大于零时，说明对应的两个变量x和y与其均值相比都同大于或同小于，即两个变量的变化趋势相同（正相关）；当小于零时，说明对应的两个变量x和y不同时大于或小于其均值，即两个变量的变化趋势相反（负相关）；而当均方根接近零时，说明两个变量基本没有相关性，接近相互独立。
从以上描述可以看出，协方差可以衡量两个变量相关性大小，绝对值越大，说明越相关。
但是，却不好比较多个变量与另外同一个变量间相关性的相对大小，因为量纲没有统一。
为了便于比较不同变量与另外同一个变量间相关性的相对大小，Pearson相关系数被提出了。
Pearson相关系数：如上所述，Pearson相关性系数是为了比较不同变量与另外同一变量间相关性的相对大小，这里要注意的是：Pearson相关性系数衡量的是定距变量间的线性关系，可以用Pearson相关系数来进行特征特征选择。
现代心理与教育统计学 第八章-假设检验(张厚粲)
p值 ＞0.05 ≤0.05 ≤0.01
显著性 不显著 显著 极显著
符号表示
* **
虽然我们比较习惯取α=0.05和α=0.01，但也可以取其 它的显著性水平值，如0.005或0.001。
三、假设检验中的两类错误
（一）定义
错误(I型错误): H0为真时却被拒绝,弃真错误; 错误是 指虚无假设本身是正确的，但由于抽样的随机性而使 检验值落入了拒绝虚无假设的区域，致使我们作出了 拒绝虚无假设的结论，
正解：
1、提出零假设和备择假设 备择假设：用H1表示，即研究假设，希望证实的假设。 H1 ： 1 0 （该班智力水平确实与常模有差异） 1100 零假设：用H0表示，即虚无假设、原假设、无差异假 设。 H0： 1＝0 1 ＝100
2、确定适当的检验统计量
用于假设检验问题的统计量称为检验统计量。与参数 估计相同，需要考虑：
又或者是样本统计量与总体参数之间存在真实的差异， 是一种有差假设，用H1表示。 3.表达方式，如：
H1： X 0 或 X ；1 2 或 1 2 0 。
（二）虚无假设
1.研究人员为了证实研究假设是真的而利用概率论的 反证法所进行的假设，即从研究假设的反面进行假设。
第八章 假设检验
李金德
第一节 假设检验的原理 第二节 平均数的显著性检验 第三节 平均数差异的显著性检验 第四节 方差的差异检验 第五节 相关系数的显著性检验 第六节比率的显著性检验
第一节 假设检验的原理
在统计学中，通过样本统计量得出的差异做出一般性 结论，判断总体参数之间是否存在差异，这种推论过 程称作假设检验（hypothesis testing）
β μ0
统计学各章计算题公式及解题方法
统计学各章计算题公式及解题方法第四章数据的概括性度量1.组距式数值型数据众数的计算：确定众数组后代入公式计算：下限公式：；上限公式：，其中，L为众数所在组下限，U为众数所在组上限，为众数所在组次数与前一组次数之差，为众数所在组次数与后一组次数之差,d为众数所在组组距2.中位数位置的确定：未分组数据为；组距分组数据为3.未分组数据中位数计算公式：4.单变量数列的中位数:先计算各组的累积次数（或累积频率）—根据位置公式确定中位数所在的组—对照累积次数（或累积频率）确定中位数（该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布）5.组距式数列的中位数计算公式：下限公式:；上限公式:,其中，为中位数所在组的频数,为中位数所在组前一组的累积频数，为中位数所在组后一组的累积频数6.四分位数位置的确定：未分组数据：；组距分组数据：7.简单均值:8.加权均值：,其中，为各组组中值统计学各章计算题公式及解题方法9.几何均值(用于计算平均发展速度）：10.四分位差（用于衡量中位数的代表性):11.异众比率(用于衡量众数的代表性）：12.极差：未分组数据:；组距分组数据：13.平均差（离散程度）:未分组数据：；组距分组数据：14.总体方差:未分组数据：；分组数据：15.总体标准差：未分组数据：；分组数据:16.样本方差:未分组数据：;分组数据：17.样本标准差：未分组数据：；分组数据：18.标准分数:19.离散系数：第七章参数估计1.的估计值：置信水平α90％0。
1 0。
05 1。
654 95％0。
05 0.025 1。
9699％0.01 0。
005 2。
58统计学各章计算题公式及解题方法2.不同情况下总体均值的区间估计：总体分布样本量σ已知σ未知大样本（n≥30）正态分布小样本（n〈30）非正态分布大样本（n≥30)其中，查p448 ,查找时需查n—1的数值3.大样本总体比例的区间估计：4.总体方差在置信水平下的置信区间为：5.估计总体均值的样本量：，其中，E为估计误差6.重复抽样或无限总体抽样条件下的样本量:，其中π为总体比例第八章假设检验1.总体均值的检验（已知或未知的大样本）［总体服从正态分布，不服从正态分布的用正态分布近似]假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式已知统计量未知拒绝域值决策,拒绝2.总体均值检验（未知，小样本，总体正态分布)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式统计学各章计算题公式及解题方法已知统计量未知拒绝域值决策，拒绝注：已知的拒绝域同大样本3.一个总体比例的检验(两类结果，总体服从二项分布，可用正态分布近似)(其中为假设的总体比例）假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式统计量拒绝域值决策，拒绝4.总体方差的检验（检验）假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式统计量拒绝域值决策,拒绝5.统计量的参考数值0。
最新stata操作介绍之相关性分析(三)
pwcorr选项说明
选项 obs sig print(#) star(#) listwise 含义 显示计算每个相关系数时使用的观测值个数 显示显著性检验的P值 在屏幕上仅显示达到相应显著性水平的相关系数 在显著的相关系数上打上星号 使用listwise的方法处理缺失值，这样pwcorr就退化成correlate命 令了。所谓listwis。方法是说，如果某一观测值中某个或者多个 变量出现缺失，则将整个观测值删掉，这也正是correlate命令使 用的方法。对于没有缺失值的数据集，这两种方法没有区别
P值<0.05，拒绝原假设 ，即价格和广告支出的 系数不同时为0
16
相关检验和处理
回归分析时通常需要检验数据是否存在多重共线、序列相关和异方差 等问题，如果存在这些问题，则需要对其进行处理。 1.多重共线性的检验和处理 1.1stata中多重共线性检验的命令格式为： vif //该命令用来得到自变量的方差膨胀因子 一般来说，判断多重共线性的标准是(两个标准必须同时满足): *最大的vif大于10; 由判断标准可知 *平均的vif大于1. 不存在多重共线性
10
用pcorr命令实现偏相关分析，其命令为： pcorr, sales price advert
11
回归分析
回归分析时常用的Stata 命令有：regress , predict, test命令。regress, predict, test 是一组命令，它们完成各种简单和多元的普通最小二 乘法回归。 1.regress实现因变量对自变量的回归
三、线性回归分析
相关性分析 回归分析 多重共线性等相关检验和处理
1
线性回归分析的stata应用实例 本部分用到的实例是Big Andy’s Burger Barn的销售 模型。Big Andy的汉堡销售收入取决于单价和广告支 出水平 。因此，这个模型包含两个解释变量和一个 常数项。 sales= α1 +α2*price +α3*advert+ ε 其中，sales为指定城市的月销售额并以千美仄元度量， price是以美元度量的单个汉堡的价格， advert为广告 支出，同样以千美元度量。
相关系数的显著性检验
三、相关系数的等距转换及其合并
• 例如： • 教科书第261页。
四、相关系数的显著性检验
• （一）相关系数的抽样分布
• 制作方法：
• 形态：
• 1．=0时，如果n比较大，则呈正态分布；
•
如果n比较小，则呈t分布。
• 2．0时，如果n很大，则接近于正态分布;
•
如果n比较小，则呈偏态分布。
• 究竟是正偏态还是负偏态，得由值决定。
感谢下 载
可编辑
把协方差变成一个相对量数，即将离差除以各 自的标准差，变成用标准分数表示，然后将两个标 准分数的乘积除以n，所得的商就是积差相关系数。 用公式表示为：
r ( X X )(Y Y )
n X Y
(X X )(Y Y) 2875.60
n=15 代入积差相关的计算公式中，得
r 2875.60 0.74 15 12.90 20.12
4．用下列统计量来计算
X
公式为：
Y
SX
SY
r XY ：根据上表中的数据计算得，
X X 32.40 n
SX
n
n
1
X
13.35
Y Y 38.73 n
SY
n
n
1
Y
20.83
XY 21700
n=15
r 2170015 32.40 38.73 0.74 1413.35 20.83
3．用下列统计量来计算
X
公式为：
Y
X
Y
r XY n X Y
n X Y
XY
解：根据上表中的数据计算得，
X X n
32.40
X
X 2 (X )2 12.90 nn
第十一章 相关分析
第二节 积差相关
计算积差相关系数的基本公式 • 运用标准差与离均差的计算公式
• n为成对数据的数目 • σx表示X变量的样本标准差 • σY 表示Y变量的样本标准差
第二节 积差相关
通常把公式中的 称为协方差。
所谓协方差就是两个变量离均差乘积的平均数，两列变量离 均差的乘积大小，能够反映两列变量的一致性。但不能直接 用协方差表示一致性，因为它有不同的测量单位，是一个很 不稳定的量，为了克服这一缺点，分别用各变量的标准差去 除各自的离均差，使其成为无实际测量单位的标准分数，然 后求其协方差，这样，不同测量单位表示的两列变量的一致 性便可测量，也便于比较。这就是求相关系数的公式中所以 用比率的由来。 相关系数的数值范围在正负1之间的证明
第二节 积差相关
3、相关系数显著性检验当然步骤及方法
① H0:ρ =0条件下，相关系数的显著性检验 对于总体相关系数ρ =0的零假设进行显著性检验时： 当n≥50时，r的抽样分布接近正态，其标准误为：
当n<50时，可用费舍指出的t统计量来检验相关系数的显 著性：
第二节 积差相关
检验的步骤： • 提出假设
第四节 质Байду номын сангаас量的相关
3、多列相关 1）适用资料 两列正态变量资料，其中一列为等距或等比测量数据，另 一列被认为划分为多种变量，称为名义变量。 2）计算公式
式中，Pi为每系列的次数比率，y1为每一名义变量下限的正态曲 线高度，yh 为每一名义变量上线的正态曲线高度，为每一名义变量对 偶的连续变量的平均数，St 为连续变量的标准差。 注意：a）取值范围为－1至1，相关越高，绝对值越接近于1；b）原 始数据代入积差相关的双列次数分布表计算公式，得到的值相等。
教育研究方法作业四
教育研究方法作业四第十章自测题一、填空1. 计学中不能对研究的问题直接进行检验，需要预先建立一个与研究假设相对立的假设，这一假设称为（）。
2. 设检验的过程中，在虚无假设成立的前提下，拒绝虚无假设所犯的错误成为（）。
3. 设检验过程中允许犯第一类错误的概率又称为（）。
4. 体服从正态分布，总体方差已知的条件下，样本平均值的分布为（）。
5. 体服从正态分布，总体方差未知的条件下，样本平均值的分布为（）。
6. 独立样本方差差异性的检验，所用的统计检验的方法主要有（）。
7. 差和总体方差差异性的检验一般用（）。
8. 对于总体非正态，两个相关样本均值差异性的检验所用的非参数检验的方法有（）和（）。
9. 对于总体非正态，两个独立样本平均值差异的显著性检验所用的非参数检验的方法有（）和（）。
10. 对于样本相关系数是否为零的显著性检验，常用的参数检验的方法为（）。
11. 为了检验相关系数是否等于一个不为零的常数，由于在总体相关不为零的前提下，样本相关系数的分布（），所以应首先进行相关系数的正态性的转换。
12. 用于计数资料检验的统计方法主要有（）。
13. 卡方检验法主要用来描述实际观测数据与理论数据之间差异大小，具体计算公式是（）。
14.（）对于数据资料的分布没有严格的要求，而（）往往要求数据在总体上服从一定的分布。
15.（）适用的资料是在四表格中，两因素都是连续型的正态变量，只是被人为划分为两个类的两个因素之间的相关。
二简答题1. 单叙述平均数检验的一般步骤。
2. 假设检验中，作出统计推断的依据是什么。
3. 两个平均数差异性的检验比一个平均数显著性检验增加了那些前提条件。
4. 单叙述计数资料统计分析方法的功能。
5. 简单叙述非参数检验方法与参数检验方法相比的特点。
6. 简单叙述Ｔ检验的条件？7. 单侧检验与双侧检验的区别？8. 方差及方差差异的显著性检验的区别9. 相关系数的显著性及差异显著性检验的方法10. 检验的两类错误的概念与意义11. 简单叙述计数数据的检验方法的特点12. 品质相关的种类与计算方法三、名词解释1.虚无假设，2. 研究假设，3. 第一类错误，4. 第二类错误，5.t检验，6.样本分布四、计算题1. 某年级语文平均成绩为75分，标准差为7分。
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❖ 通过查表得知该班学习障碍学生的比率所属总体 比率0.95的置信区间为2%~18%。 ❖ 将实际的总体比率与查表等到的置信区间进行比 较，实际的总体比率在置信区间内，所以要保留零假 设，拒绝备择假设，也就是说，该班学习障碍学生的 比率与全区没有显著性差异。
四 总体比率之差的显著性检验
❖ 总体比率差异的显著性检验是根据两个样本的比 率来检验两个相应总体的比率是否存在显著性差 异。由于样本性质不同，其检验方法也不同。
查表法
❖ 当p≠q，np<5，这时ppˊ的抽样分布不接近于正 态分布，因此，不能对样本比率与总体比率的差异进行 Z检验，而应该用查表法进行显著性检验。 ❖ 例如，已知某区学习障碍儿童的比率为8%，通过 调查得知某班45名学生中有学习障碍的学生共3人，问 该班学习障碍学生的比率与全区是否有差异？
解：
应在0.01显著性水平拒绝零假设，接受研究 假设
结论：学生初一和初二的数学成绩之间存在 极其显著的相关。
另一种方法：查积差相关系数临界值表
❖ 根据df=8，查附表7，从α=0.01一列中 找到对应的积差相关系数临界值为0.765。
❖ 计算得到的r=0.780，大于表中查到的临 界值。因此应接受该相关关系极其显著 的结论，而拒绝相关关系不显著的零假 设。
16 方差、相关系数及比率的 显著性检验
一 方差的差异性检验
二 相关系数的显著性检验
❖ 仅仅根据计算得到的相关系数还不足以确 定变量之间是否存在相关。只有通过对相 关系数显著性的检验，才能确定相关关系 是否存在。
❖ 对相关系数进行显著性检验包括三种情况 （即三种零假设）：一是ρ=0；二是ρ=ρ0； 三是ρ1=ρ2。本讲主要介绍前两种情况。
❖ 斯皮尔曼等级相关系数的显著性检验，可直接查相关系 数临界值做出判断。
❖ 其它相关系数的显著性检验可根据教材P250－P253页 的各种方法进行。
三 总体比率的假设检验
即对样本比率与总体比率之间是否存在显著差异进行检验。 •正态近似法： •依据： （1）当p=q，无论N的大小，二项分布呈对 称分布；（2）当p<q且 np>=5时，或p>q且nq>=5，二 项分布开始接近正态。 •步骤： •建立假设： •虚无假设：P=P0 ； P P0 ； P P0 ； •备选假设：PP0； P<P0 ； P>P0 ；
系数为零，或者接近于零，样本容 量 n 相当大（n＞50或n＞30）时， r 的抽样分布才接近于正态分布。
⑴．H0：ρ＝0条件下， 相关系数的显著性检验
❖ 检验形式：双侧检验 ❖ 统计量为t，检验计算公式为：
t r n2 1 r2
（19．4）
dfn2
例:经计算,10个学生初一和初二数学成绩的相
关系数为0.780,能否说学生初一和初二的数学成绩
n1=46，n2=48
所以，
Z
p1 p2
(n1p1 n2p2)(n1q1 n2q2)
n1n2(n1 n2)
0.43480.6875 2.47 (2033)(2615) 4648(4648)
当两个样本的容量相等时，上式可以化简为：
S 2pq (p1p2)q (1q2)
P 1P 2
n
2n
因此，总体比率差异的检验统计量为：
Z
p1 p2
(n1p1 n2p2)(n1q1 n2q2)
n1n2(n1 n2)
第二步：计算检验统计量的值
因为 p120/460.4348 q110.43 40.8 5652 p233/480.6875 q210.68 70.5 3125
1．积差相关系数的显著性检验
❖ 相关系数的显著性检验即样本相关系数 与总体相关系数的差异检验。
❖ 包括两种情况： ρ=0和ρ=ρ0 ❖ 对ρ=0的检验是确认相关系数是否显著； ❖ 对ρ=ρ0的检验是确认样本所代表的总
体的相关系数是否为ρ0 。
❖ 根据样本相关系数 r 对总体相关系 数ρ进行推断，是以 r 的抽样分布 正态性为前提的，只有当总体相关
•选择检验统计量并计算 •Z分布
•确定检验形式 •双侧
Z p p' pq n
•单侧
•进行统计推断—查表寻找相应的临界值比较Z与Z ， 从而确定该样本的P是否为小概率，即是否P<0.05。
例
❖ 已知某年某区高考升学率为75%，某校在这一年有300名 学生参加了高考，最后有210人被高校录取，问该校的升 学率与全区的升学率是否相同？
解：第一步：提出假设
H0：p0.75 H1： p0.75
第二步：计算p与pˊ的差（即p―pˊ）与抽样分 布的平均数（即0）的距离有多远（这个差距除以标 准误，就变成了用Z表示）。
Zpp 21/03000.752.00 pq 0.750.25
n
300
第三步：统计决断
因为Z=2.00*>1.96=Z0.05/2，p<0.05，所以拒绝零 假设，接受备择假设，即该校这一年高考的升学率 与全区的升学率有显著的差异。由实际的数据来看， 该校这一年高考的升学率低于全区。
之间存在显著相关?
解：
提出假设 H0：ρ=0，H1： ρ≠0 选择检验统计量并计算
对积差相关系数进行ρ=0的显著性检 验，检验统计量为t
计算
t r n 2 0.780 102 3.524
1 r2
10.7802
统计决断
根据df=10-2=8，查t值表P⑵，得 t(8)0.01=3.355，
|t|＞t(8)0.01,则Ｐ＜0.01，差异极其显著
如果总体比率未知，又假设这两个样本来自同 一个总体（即p1ˊ=p2ˊ=pˊ），那么总体比率可以 用两个样本比率的加权平均数作为估计量，即
p n1p1 n2 p2 n1 n2
q n1q1 n2q2 n1 n2
则得比率差的标准误的估计量为：
pq pq
S
P1P2
n1 n2
(n1p1n2p2)(n1q1n2q2) n1n（ 2 n1n2）
⑵．H0：ρ＝ρ0条件下，
相关系数的显著性检验
❖ ρ≠0时，r的抽样分布呈偏态，不能用上 述公式计算。因此可先将r与ρ都转换成 Zr，因为Zr的分布无论ρ的大小都近似于 正态分布，于是不受ρ＝0这一条件的限 制。检验统计量的计算公式为：
ZZr
Z 1
Zr
Z
n3
n3
（19．5）
2．其它相关系数的显著性检验
四 总体比率之差的显著性检验
❖ 总体比率差异的显著性检验是根据两个样本的比 率来检验两个相应总体的比率是否存在显著性差 异。由于样本性质不同，其检验方法也不同。
查表法
❖ 当p≠q，np<5，这时ppˊ的抽样分布不接近于正 态分布，因此，不能对样本比率与总体比率的差异进行 Z检验，而应该用查表法进行显著性检验。 ❖ 例如，已知某区学习障碍儿童的比率为8%，通过 调查得知某班45名学生中有学习障碍的学生共3人，问 该班学习障碍学生的比率与全区是否有差异？
解：
应在0.01显著性水平拒绝零假设，接受研究 假设
结论：学生初一和初二的数学成绩之间存在 极其显著的相关。
另一种方法：查积差相关系数临界值表
❖ 根据df=8，查附表7，从α=0.01一列中 找到对应的积差相关系数临界值为0.765。
❖ 计算得到的r=0.780，大于表中查到的临 界值。因此应接受该相关关系极其显著 的结论，而拒绝相关关系不显著的零假 设。
16 方差、相关系数及比率的 显著性检验
一 方差的差异性检验
二 相关系数的显著性检验
❖ 仅仅根据计算得到的相关系数还不足以确 定变量之间是否存在相关。只有通过对相 关系数显著性的检验，才能确定相关关系 是否存在。
❖ 对相关系数进行显著性检验包括三种情况 （即三种零假设）：一是ρ=0；二是ρ=ρ0； 三是ρ1=ρ2。本讲主要介绍前两种情况。
❖ 斯皮尔曼等级相关系数的显著性检验，可直接查相关系 数临界值做出判断。
❖ 其它相关系数的显著性检验可根据教材P250－P253页 的各种方法进行。
三 总体比率的假设检验
即对样本比率与总体比率之间是否存在显著差异进行检验。 •正态近似法： •依据： （1）当p=q，无论N的大小，二项分布呈对 称分布；（2）当p<q且 np>=5时，或p>q且nq>=5，二 项分布开始接近正态。 •步骤： •建立假设： •虚无假设：P=P0 ； P P0 ； P P0 ； •备选假设：PP0； P<P0 ； P>P0 ；
系数为零，或者接近于零，样本容 量 n 相当大（n＞50或n＞30）时， r 的抽样分布才接近于正态分布。
⑴．H0：ρ＝0条件下， 相关系数的显著性检验
❖ 检验形式：双侧检验 ❖ 统计量为t，检验计算公式为：
t r n2 1 r2
（19．4）
dfn2
例:经计算,10个学生初一和初二数学成绩的相
关系数为0.780,能否说学生初一和初二的数学成绩
n1=46，n2=48
所以，
Z
p1 p2
(n1p1 n2p2)(n1q1 n2q2)
n1n2(n1 n2)
0.43480.6875 2.47 (2033)(2615) 4648(4648)
当两个样本的容量相等时，上式可以化简为：
S 2pq (p1p2)q (1q2)
P 1P 2
n
2n
因此，总体比率差异的检验统计量为：
Z
p1 p2
(n1p1 n2p2)(n1q1 n2q2)
n1n2(n1 n2)
第二步：计算检验统计量的值
因为 p120/460.4348 q110.43 40.8 5652 p233/480.6875 q210.68 70.5 3125
1．积差相关系数的显著性检验
❖ 相关系数的显著性检验即样本相关系数 与总体相关系数的差异检验。
❖ 包括两种情况： ρ=0和ρ=ρ0 ❖ 对ρ=0的检验是确认相关系数是否显著； ❖ 对ρ=ρ0的检验是确认样本所代表的总
体的相关系数是否为ρ0 。
❖ 根据样本相关系数 r 对总体相关系 数ρ进行推断，是以 r 的抽样分布 正态性为前提的，只有当总体相关
•选择检验统计量并计算 •Z分布
•确定检验形式 •双侧
Z p p' pq n
•单侧
•进行统计推断—查表寻找相应的临界值比较Z与Z ， 从而确定该样本的P是否为小概率，即是否P<0.05。
例
❖ 已知某年某区高考升学率为75%，某校在这一年有300名 学生参加了高考，最后有210人被高校录取，问该校的升 学率与全区的升学率是否相同？
解：第一步：提出假设
H0：p0.75 H1： p0.75
第二步：计算p与pˊ的差（即p―pˊ）与抽样分 布的平均数（即0）的距离有多远（这个差距除以标 准误，就变成了用Z表示）。
Zpp 21/03000.752.00 pq 0.750.25
n
300
第三步：统计决断
因为Z=2.00*>1.96=Z0.05/2，p<0.05，所以拒绝零 假设，接受备择假设，即该校这一年高考的升学率 与全区的升学率有显著的差异。由实际的数据来看， 该校这一年高考的升学率低于全区。
之间存在显著相关?
解：
提出假设 H0：ρ=0，H1： ρ≠0 选择检验统计量并计算
对积差相关系数进行ρ=0的显著性检 验，检验统计量为t
计算
t r n 2 0.780 102 3.524
1 r2
10.7802
统计决断
根据df=10-2=8，查t值表P⑵，得 t(8)0.01=3.355，
|t|＞t(8)0.01,则Ｐ＜0.01，差异极其显著
如果总体比率未知，又假设这两个样本来自同 一个总体（即p1ˊ=p2ˊ=pˊ），那么总体比率可以 用两个样本比率的加权平均数作为估计量，即
p n1p1 n2 p2 n1 n2
q n1q1 n2q2 n1 n2
则得比率差的标准误的估计量为：
pq pq
S
P1P2
n1 n2
(n1p1n2p2)(n1q1n2q2) n1n（ 2 n1n2）
⑵．H0：ρ＝ρ0条件下，
相关系数的显著性检验
❖ ρ≠0时，r的抽样分布呈偏态，不能用上 述公式计算。因此可先将r与ρ都转换成 Zr，因为Zr的分布无论ρ的大小都近似于 正态分布，于是不受ρ＝0这一条件的限 制。检验统计量的计算公式为：
ZZr
Z 1
Zr
Z
n3
n3
（19．5）
2．其它相关系数的显著性检验