福建省连城县第一中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题【含答案】

连城一中2020-2021—2020学年上期高二年级月考一数学试卷满分150分 考试时间120分钟 第I 卷(选择题，共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是 ( ) A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(4,0)D ．(－4,0)2．双曲线14922=-x y 的渐近线方程是( ) A ． y ＝±32xB ．y ＝±23xC ． y ＝±94xD ． y ＝±49x3.已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．以上均不对4.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A.08B.07C.02D.015.设n m ,是两条不同的直线，βα,两个不同的平面.若βα⊥⊥n m ,，则“n m ⊥”是“βα⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．4B ．2C ．1D ．87.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是 ( ) A.46，45，56B.46，45，53C.47，45，56D.45，47，538．已知椭圆：x 29＋y 2＝1，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x ＋y －5＝0B ．9x －y －4＝0C ．x ＋9y －5＝0D ．x －9y ＋4＝09．若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离大于实轴长，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．10．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆11．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( )A.13B. 23C. 12D.5612．直线与抛物线2x y =交于A,C 两点， B 为抛物线上一点，A,B,C 三点的横坐标依次成等差数列.若△ABC 中， AC 边上的中线BP 的长为3，则△ABC 的面积为（ ） A ．3 B ．32 C ．33 D ．233 第Ⅱ卷(非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年福建省连城县第一中学高一上学期月考（一）数学试题一、单选题1．已知集合{}2|20P x x x =-≥ ，{}|12Q x x =<≤ ，则()RP Q 等于（ ）A ．[)0,1B ．(]0,2C ．()1,2D ．[]1,2【答案】C【解析】先解不等式，化简集合P ，求出RP ，再和Q 求交集，即可得出结果.【详解】由220x x -≥得2x ≥或0x ≤，则{2P x x =≥或}0x ≤，因此{}02RP x x =<<；又{}|12Q x x =<≤，则(){}12RP Q x x ⋂=<<.故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2．函数()0f x =的定义域是（ ）A ．333,,222⎛⎫⎛⎤-∞-⋃- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦B ．333,,222⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据偶次根式被开方数大于等于零、分式分母不为零、0y x =中{}0x x ≠，求解出x 的取值范围即可得到函数定义域. 【详解】由条件可知：320230x x ->⎧⎨+≠⎩，所以3232x x ⎧<⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩，所以定义域为333,,222⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，【点睛】本题考查具体函数的定义域求解，难度较易.求解具体函数的定义域时需要注意：偶次根式被开方数大于等于零、分式分母不为零、0y x =中{}0x x ≠、对数的真数大于零、tan y x =中,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭等.3．下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A ．1y x =-和211x y x -=+B ．0y x =和()1y x R =∈C ．2yx 和()21y x =+D ．2yx=和y =【答案】D【解析】根据函数的定义域和解析式是否相同判断. 【详解】A. 1y x =-的定义域为R ，211x y x -=+的定义域为{}|1x x ≠-，故错误；B. 0y x =和定义域为{}|0x x ≠，y =1定义域为R ,故错误；C. 2yx 和()21y x =+解析式不同，故错误；D.2()1f xx==，定义域为{}0x x >，()1g x ==，定义域为{}0x x >，故正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查相等函数的判断，属于基础题.4．已知函数()f x 在R 上单调递减，若()()4f a f a +≥-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,-+∞ B ．(],2-∞- C ．()2,-+∞ D ．(),2-∞-【答案】B【解析】由已知条件中函数的单调性列出不等式，可得选项.因为函数()f x 在R 上单调递减，()()4f a f a +≥-，所以4a a +≤-，解得2a ≤-， 故选：B. 【点睛】本题考查运用函数的单调性求解抽象不等式的问题，属于基础题. 5．若0,0x y >>，且281x y+=，则xy 有（ ） A ．最大值64 B ．最小值164C ．最小值64D ．最小值12【答案】C【解析】因为0,0x y >>，所以28 164xy x y +=≥=⇒≥，当且仅当4x =，16y =时取等号，故选C.6．设m 为给定的一个实常数，命题2:,420p x R x x m ∀∈-+≥，则“3m ≥”是“命题p 为真命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由2:,420p x R x x m ∀∈-+≥为真命题，可得0∆≤，再利用充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】命题2:,420p x R x x m ∀∈-+≥，若命题p 为真命题，则0∆≤，即1680m -≤，解得2m ≥，32m m ≥⇒≥，反之不成立，所以“3m ≥”是“命题p 为真命题”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件、一元二次不等式恒成立，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.7．关于x 的不等式0ax b -<的解集是()1,+∞，则关于x 的不等式()()30ax b x +->的解集是( )A ．()(),13,-∞-+∞B ．()1,3C ．()1,3-D ．()(),13,-∞⋃+∞【答案】C【解析】关于x 的不等式0ax b -<,即ax b <的解集是()1,,0a b +∞∴=<，∴不等式()()30ax b x +->,可化为()()130x x +-<，解得13x ，∴所求不等式的解集是()1,3-,故选C.8．已知函数()()()()()()()()()2,32,2,,,g x f x g x f x x g x x x F x f x g x f x ⎧≥⎪=-=-=⎨≥⎪⎩则（ ）A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x 的最大值为2C ．()F x 的最大值为7-，无最小值D ．()F x 的最大值为3，最小值为1- 【答案】C【解析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值，所以由232||2x x x -=-得2x =+2x =-结合函数图象可知当2x =-()F x 有最大值7-，无最小值． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的图象，以及函数求最值，同时考查了分析问题的能力和作图的能力，这是一道创新性较强的试题，属于中档题．二、多选题9．下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的 充 分不 必 要条件 B ．命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要 不 充 分 条件 【答案】ABD【解析】选项A:先判断由1a >,能不能推出11a <,再判断由11a<,能不能推出1a >,最后判断本选项是否正确；选项B: 根据命题的否定的定义进行判断即可.选项C:先判断由2x ≥且2y ≥能不能推出224x y +≥,然后再判断由224x y +≥能不能推出2x ≥且2y ≥,最后判断本选项是否正确；选项D:先判断由0a ≠能不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确. 【详解】选项A:根据反比例函数的性质可知：由1a >,能推出11a <,但是由11a<,不能推出1a >,例如当0a <时,符合11a<,但是不符合1a >,所以本选项是正确的；选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.所以本选项是正确的；选项C:根据不等式的性质可知：由2x ≥且2y ≥能推出224x y +≥,本选项是不正确的；选项D: 因为b 可以等于零,所以由0a ≠不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确.故选ABD 【点睛】本题考查了充分性和必要性的判断,考查了命题的否定,属于基础题.10．已知集合()(){}221110A x a x a x =-+++=中有且仅有一个元素，那么a 的可能取值为（ ） A ．1- B ．1C ．53D ．0【答案】BC【解析】讨论二次项系数210a -=或210a -≠，当210a -≠时，0∆=即可求解. 【详解】()()221110ax a x -+++=当210a -=时，即21a =，解得1a =±， 当1a =时，代入方程解得12x =，满足题意； 当1a =-时，方程无解，不满足题意；当210a -≠时，即1a ≠±，0∆=，即()()221410a a +--=，整理可得()()3510a a -+=，解得53a =，满足题意； 故选：BC 【点睛】本题考查了由集合元素个数求参数值，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 11．（多选题）下列表达式的最小值为2的有（ ） A ．当1ab =时，+a b B ．当1ab =时，b aa b+ C ．223a a -+D ．【答案】BC【解析】根据基本不等式及二次函数性质判断． 【详解】解：①对选项A ，当,a b 均为负值时，0a b +<，故最小值不为2; ②对选项B ，因为1ab =，所以,a b 同号，所以0,0b aa b>>，所以2b a a b +≥=，当且仅b a a b =，即1a b ==±时取等号，故最小值为2;③对选项C ，2223(1)2a a a -+=-+，当1a =时，取最小值2;④对选项D2≥=，=，即221a +=时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2. 故选：BC ． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，基本不等式求最值的三个条件：一正二定三相等需同时满足才能确定最值． 12．已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为R B ．()f x 的值域为(,4)-∞C ．若()3f x =，则xD ．()1f x <的解集为(1,1)- 【答案】BC【解析】根据分段函数的形式可求其定义域和值域，从而判断A 、 B 的正误，再分段求C 、D 中对应的方程的解和不等式的解后可判断C 、D 的正误． 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为(,2)-∞，故A 错误； 当1x ≤-时，()f x 的取值范围是(,1]-∞ 当12x -<<时，()f x 的取值范围是[0,4)， 因此()f x 的值域为(,4)-∞，故B 正确； 当1x ≤-时，23x +=，解得1x =（舍去)，当12x -<<时，23x =，解得x x =，故C 正确；当1x ≤-时，21x +<，解得1x <-，当12x -<<时，21x <，解得-11x -<<， 因此()1f x <的解集为(,1)(1,1)-∞--，故D 错误.故选：BC ． 【点睛】本题考查分段函数的性质，对于与分段函数相关的不等式或方程的解的问题，一般用分段讨论的方法，本题属于中档题．三、填空题13．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． （2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解． 14．已知()224,f x x x +=-则()f x ＝________．【答案】x 2－8x ＋12 【解析】利用换元法，令2t x =+，代入即可得到()f x 解析式.【详解】令2t x =+，则2x t =-，()()()22242812f t t t t t ∴=---=-+，()2812f x x x ∴=-+.故答案为：2812x x -+. 【点睛】本题主要考查了复合函数解析式的求法，采取的方法一般是利用换元法来解决，属于基础题．15．若对任意x >0，231xx x ++≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【答案】[15，＋∞）. 【解析】【详解】试题分析：因为x >0，所以21113153x x x x x =≤=++++， 当且仅当1(0)x x x =>即1x =时等号成立，故a 的取值范围是15a ≤， 即1,5a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【考点】不等式的恒成立．四、双空题16．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，函数()()1,221,x x A x x Bf x ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩.（1）56f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦______；（2）若()f f t A ∈⎡⎤⎣⎦，则t 的取值范围是______. 【答案】56 15,48⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据题意，由函数的解析式分析可得5()6f 的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，按t 的取值范围分情况讨论，分析()f t 的取值范围，求出[()]f f t 的解析式，据此分析[()]f f t A ∈的解集，即可得答案．【详解】（1）根据题意，1,()22(1),x x A f x x x B ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，即11,022()12(1),12x x f x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩， 则551()2(1)663f =-=，则51115[()]()63326f f f ==+=；（2）根据题意，分2种情况讨论： ①、当t A ∈时，1()2f t t =+，则有1()12f t <，此时1[()]2(1())22()122f f t f t t t =-=-+=-，若[()]f f t A ∈，即10122t -<，解可得：1142t <， 此时t 的取值范围为1(4，1]2；②、当t B ∈时，()2(1)f t t =-，则有0()2(1)1f t t =-， 其中当314t 时，10()2f t ，此时15[()]()222f f t f t t =+=-，若[()]f f t A ∈，即510222t -，解可得：514t ，舍去 当1324t <时，1()12f t <，此时[()]222(1)42f f t t t =-⨯-=-，若[()]f f t A ∈，即10422t -<，解可得：1528t <， 此时t 的取值为1[2，5)8；综合可得：t 的取值范围为1(4，5)8．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，涉及函数值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，分类讨论是解决本题的关键.五、解答题17．设全集U =R ，集合302x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x =≥，{}23C x a x a =≤≤+.（1）求U C A 和AB ；（2）若A C A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】(1) {}U 23C A x x x =≤-≥或，{}13A B x x ⋂=≤< (2) >3a 或10a -<<【解析】（1）先解出A ，然后进行交集、补集的运算即可；（2）根据题意可得C ⊆A 可讨论C 是否为空集，从而可求出实数a 的取值范围． 【详解】（1）{}23A x x =-<<，{}U 23C A x x x =≤-≥或，{}13A B x x ⋂=≤< （2）由A C A ⋃=知C A ⊆当23a a >+时，即>3a 时，=C ∅，满足条件；当23a a ≤+时，即3a ≤时，22a >-且33a +<，10a ∴-<< 综上，>3a 或10a -<< 【点睛】本题考查描述法的定义，分式不等式的解法，交集、补集的运算，以及子集的定义． 考查了分类讨论的数学思想，属于中档题. 18．设函数()230y axbx a =++≠（1）若不等式230ax bx ++>的解集为()1,3-，求,a b 的值； （2）若1,0,0a b a b +=>>，求14a b+的最小值 【答案】（1）1,2a b =-⎧⎨=⎩；（2）9．【解析】（1）由不等式()0f x >的解集(1,3)-．1-，3是方程()0f x =的两根，由根与系数的关系可求a ，b 值；（2）由1a b +=，将所求变形为1(4)()a ba b ++展开，整理为基本不等式的形式求最小值． 【详解】解析：（1）∵不等式ax 2＋bx ＋3>0的解集为(－1，3)，∴－1和3是方程ax 2＋bx ＋3＝0的两个实根，从而有309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得1,2a b =-⎧⎨=⎩．（2）∵a ＋b ＝1，又a >0，b >0，∴1a ＋4b ＝14a b ⎛+⎫ ⎪⎝⎭ (a ＋b )= 5＋b a＋4a b ≥5＋＝9，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立， ∴14a b+的最小值为9． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，运用基本不等式求最值，属于中档题． 19．已知二次函数()f x 满足()()02,1()2 1.f f x f x x =+-=- （1）求函数()f x 的解析式及单调区间；（2）当[]1,2x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值【答案】（1）f （x ）＝x 2－2x ＋2；f （x ）单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)；（2）最大值5，最小值1． 【解析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）结合()f x 的单调性可得出答案. 【详解】（1）设函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 由f （0）＝2，得c ＝2， 又f (x ＋1)－f （x ）＝2x －1， 得2ax ＋a ＋b ＝2x －1故221a a b =⎧⎨+=-⎩解得：a ＝1，b ＝－2．所以f （x ）＝x 2－2x ＋2．f （x ）＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1函数f （x ）图象的对称轴为x ＝1，且开口向上， 所以f （x ）单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)． （2）f （x ）＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 对称轴为x ＝1∈[－1，2]， 故()()min 11f x f ==， 又f (－1)＝5，f （2）＝2， 所以()()max 15f x f =-= 【点睛】本题考查了利用待定系数法求解析式和二次函数的最值问题，考查了学生对基本知识的掌握情况，较简单.20．某市财政下拨一项专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x (单位：百万元)的函数()M x 单位：百万元)：()50050;10M x x=-+处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x (单位：百万元)的函数()N x (单位：百万元)：()0.2N x x = （1）设分配给植绿护绿项目的资金为x (百万元)，则两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y ，写出y 关于x 的函数解析式和定义域；（2）求出y 的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 【答案】（1）50070105x y x ⎛⎫=-+⎪+⎝⎭，[]0,100x ∈；（2）y 的最大值为52百万元，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40百万元，60百万元．【解析】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为()100x -百万元，由此可得()N x ，再将()N x 与()M x 相加可得y ，再写出定义域即可. （2）将50070105x y x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭变形后利用基本不等式可得最大值以及取得最大值的条件. 【详解】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为()100x -百万元， 所以()()0.2100N x x =-， 所以()500500.210010y x x=-+-+，()0,100x ∈．（2）由（1）可得，()500500500.21007010105x y x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪++⎝⎭72722052≤-=-=， 当且仅当50010x +＝105x+，即40x =时等号成立， 此时1001004060x -=-=，所以y 的最大值为52百万元，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40百万元，60百万元． 【点睛】本题主要考查了函数的应用，基本不等式求最值，属于中档题. 21．已知函数()()211f x ax a x =+--(a ∈R )．（1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）若函数()f x 在[)2,+∞是单调函数，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）(]1,0,5⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】（1）将二次不等式因式分解，讨论a 的范围可得到解集；（2）分0a =和0a ≠两种情况，根据一次函数和二次函数的单调性可得答案. 【详解】（1）由已知得()()+110x ax ->，①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1． ②当a >0时，不等式可化为1x a ⎛⎫-⎪⎝⎭(x ＋1)>0，解得x <－1或x >1a ． ③当a <0时，不等式可化为1x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x ＋1)<0． 若1a <－1，即－1<a <0，则1a<x <－1； 若1a＝－1，即a ＝－1，则不等式的解集为空集； 若1a >－1，即a <－1，则－1<x <1a． 综上所述，当a <－1时，不等式的解集为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当a ＝－1时，不等式解集为∅； 当－1<a <0时，不等式的解集为1,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，－1)； 当a >0时，不等式的解集为(－∞，－1)∪1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭． （2）当0a =时，()1f x x =--是单调递减的函数，满足题意，当0a ≠，若函数()f x 在[)2,+∞是单调函数，则需122a a --≤，解得0a <或15a ≥ ， 综上所述：a 的取值范围：(]1,0,5⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，对于含参的二次不等式问题，先判断二次项系数是否含参，接着讨论参数等于0，不等于0，再看式子能否因式分解，若能够因式分解则进行分解，再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集. 属于中档题. 22．已知函数ky x x=+有如下性质：如果常数0k >，那么该函数在(上是减函数，在)+∞上是增函数． （1）用定义法证明：函数(0)ky x k x=+>在(上是减函数； （2）若函数()24123,21x x f x x --=+()2g x x a =--，若对任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()12g x f x <成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）a>32． 【解析】（1）根据单调性的定义可证明结论； （2）由已知得当[]0,1x ∈时，()()max max f x g x <，由()2412342182121x x x x x f x --=++-++=2412321x x x --+，设21u x =+，利用（1）可得函数的单调性，求得答案. 【详解】（1）证明：设(12,,x x ∀∈，且12x x <有121212()()k k y y x x x x -=+-+()1212()k kx x x x =-+-()211212()k x x x x x x -=-+()12121k x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()121212x x k x x x x -=-, (12,x x ∀∈,12x x k ∴<,120x x k ∴-<，12x x <，120x x ∴-<，()1212120x x kx x x x -∴->，12y y ∴>∴函数(0)ky x k x=+>在(上是减函数， （2）由题意得，当[]0,1x ∈时，()max max ()g x f x ∴< ，又()2412342182121x x x x x f x --=++-++=，设[]21,0,1u x x =+∈，则13u ≤≤， 则[]48,1,3y u u u=+-∈． 由已知性质得，当12u ≤≤，即102x ≤≤时，()f x 单调递减； 当23u ≤≤，即112x ≤≤时，()f x 单调递增， 由()()11103,4,123f f f ⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭，max ()3f x ∴=-， ()[]2,0,1g x x a x =--∈为减函数，故()[]12,2g x a a ∈---，23a ∴-<- ，所以32a >. 【点睛】本题考查运用函数的单调性的定义证明函数的单调性，利用函数的单调性求得函数的最值，解决任意和存在的问题，属于较难题.。

连城一中2024-2025学年上期高二年级月考1数学试卷满分150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知数列 ⋅⋅⋅,则()A ．第30项B ．第31项C ．第32项D ．第33项2．直线34250x y +-=与圆224x y +=的位置关系是（）A ．相交且直线过圆心B ．相交但直线不过圆心C ．相切D ．相离3．在等比数列{}n a 中，1a ，99a 是方程210160x x -+=的两个根，则50a 的值为（）A ．10B ．16C ．4±D ．44．若直线l 的一个方向向量为(，则它的倾斜角为（）A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒5．“6m >”是“方程22470x y mx y m +-+++=是圆的方程”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则14151617a a a a +++的值为（）A ．55B ．52C ．39D ．267．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（）A ．5270x y -+=B ．310x y +-=C ．3240x y -+=D ．230x y --=8．斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设{}n a 为斐波那契数列，()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，其通项公式为1122n nn a ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，设n 是2log 1(14(x x x ⎡⎤⎣-⎦-<+的正整数解，则n 的最大值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知直线1l ：0x ay a +-=和直线2l ：()2310ax a y ---=，下列说法正确的是（）A ．2l 始终过定点21,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．若12l l //，则1a =或3-C ．若12l l ⊥，则0a =或2D ．当0a >时，1l 始终不过第三象限10．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（）A ．2nn a =B ．数列{}n a 单调递减C ．122n n S S +=+D ．数列{lg }n a 是公差为2的等差数列11．已知()()4240P A ，，，，点Q 为圆22:4O x y +=上一动点，过点P 作圆O 的切线，切点分别为M N 、，下列说法正确的是（）A ．若圆()()22:231C x y -+-=，则圆O 与圆C 有四条公切线B ．若x y ，满足224x y +=，则44y -≤+≤C ．直线MN 的方程为210x y +-=D ．12PQ AQ +三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若等比数列{}n a 共有2n 项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{}n a 的所有项之和为．13．已知直线210x y ++=与22:(1)4C x y -+= 交于A ，B 两点，则ABC V 的面积为.14．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在123100++++L 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数()xf x ，设数列{}n a 满足()*121(0)(1)-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n a f f f f f n n n n N ，若存在*n ∈N 使不等式242270n n n ka +-+≤成立，则k 的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知点()()()2,1,2,3,1,3A B C ---；(1)求过点A 且与BC 平行的直线方程；(2)求过点B 且在x 轴和y 轴上截距相等的直线方程．16．已知数列{}n a 满足1112,n n a n a a n++==.(1)求{}n a 的通项公式.(2)求数列2n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.17．证明圆221:4160C x y x +--=与圆222:240C x y y ++-=内切，并求它们的公切线方程．18．已知{}n a 的前n 项和是n S ，且1,2n n S na a ==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()1,1,n n n na n b n n n a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．19．在平面直角坐标系中，圆M是以(1,A B 两点为直径的圆，且圆N 与圆M 关于直线=y x 对称．(1)求圆N 的标准方程；(2)设(0,1),(0,4)C D ，过点C 作直线1l ，交圆N 于P 、Q 两点，P 、Q 不在y 轴上．①过点C 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆N 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；②设直线OP ,DQ 相交于点G ，试讨论点G 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．参考答案：题号12345678910答案C DCBABAAACDAC题号11答案ABD1．C【分析】根据数列的项写出其通项公式，可得到关于n 的方程，解方程即可求得答案.【详解】根据所给数列的项，可以得到其通项n a =故令=32n =，故选：C.2．D【分析】利用圆心到直线的距离来确定正确答案.【详解】圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2，()0,0到直线34250x y +-=52=>，所以直线与圆相离.故选：D 3．C【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合等比数列的下标性质进行求解即可.【详解】依题意，得19916a a ⋅=，而219950a a a ⋅=，所以504a =±．故选：C 4．B【分析】根据已知先求出直线的斜率，进而可求直线的倾斜角．【详解】因为直线l 的一个方向向量为(，所以直线的斜率k ==故直线的倾斜角为120︒．故选：B ．5．A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】若方程22470x y mx y m +-+++=表示圆，则()()224470m m -+-+>，即24120m m -->，解得6m >或2m <-，故“6m >”是“方程22470x y mx y m +-+++=是圆的方程”的充分不必要条件，故选：A 6．B【分析】将每天织的布构成一个等差数列，根据条件求出公差，将要求的14151617a a a a +++转化为公差与首项来求，即可得出答案．【详解】因为从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，所以该女子每天织的布构成一个等差数列{}n a ，其中1303029165,390305390229a S d d ⨯==∴⨯+=∴=．所以1415161711645845585229a a a a a d +++=+=⨯+⨯=．故选：B ．7．A【解析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可.【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径，则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ，则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+=故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.8．A【分析】利用给定条件结合对数的性质构造425n a <，两侧同时平方求最值即可.【详解】由题知n 是2log 15(14(5)xx x ⎡⎤⎣⎦-<+的正整数解，故2log (15)(15)4n nn ⎡⎤⎣⎦+-<+，取指数得((415152n nn+<-，同除2n 得，41515222nn⎛+--< ⎝⎭⎝⎭，4151522255n n⎡⎤⎛⎛-⎥-<⨯ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，即425n a <，根据{}n a 是递增数列可以得到{}2n a 也是递增数列，于是原不等式转化为2812525n a <⨯<.而565,8a a ==可以得到满足要求的n 的最大值为5，故A 正确.故选：A9．ACD【分析】选项A 可由含参直线的定点坐标求法可得；选项B 当1a =时，1l ，2l 重合；选项C 由一般方程垂直时系数关系可得；选项D 化为斜截式后，由斜率和和y 轴上的截距可判断.【详解】选项A ：2l ：(2)310a x y y -+-=，令20310x y y -=⎧⎨-=⎩，得2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，过点21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 正确；选项B ：当1a =时，1l ，2l 重合，故B 错误；选项C ：当12l l ⊥时，由1(32)0a a a ⨯+⨯-=，得0a =或2，故C 正确；选项D ：当0a >时，1l ：11y x a=-+始终过()0,1，斜率为负，不会过第三象限，故D 正确.故选：ACD 10．AC【分析】根据题意，利用12a =，4232a a a =+可求出q 值为2，从而1222n nn a -=⨯=，12(12)2212n n n S +-==--，进一步即可判断选项A 、C ，易知{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，从而可判断选项B ；计算出1lg lg n n a a +-即可判断选项D.【详解】解：由题意可知0q >，根据4232a a a =+，得32242q q q =+，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以1222n nn a -=⨯=，故选项A 正确；由2n n a =，得{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以{}n a 单调递增，故选项B 错误；12(12)2212n n n S +-==--，则212222n n n S S +++=-=，所以选项C 正确；令lg n n b a =，则lg 2nn b =，所以1112lg 2lg 2lg()lg 22n n nn n n b b +++-=-==，所以{lg }n a 是以lg 2为公差的等差数列，选项D 错误.故选：AC.11．ABDy +的取值范围，再由切线求出切点最后得到切点弦方程，最后应用阿氏圆转化为两点间线段最短即可.【详解】圆O 的圆心为()0,0O ，2r =，对于A ：圆C 的圆心为()2,3C ，半径1R =，所以OC r R ==>+，所以两个圆外离，所以有4条公切线，A 正确；对于B ：因为x y ，满足224x y +=，所以(),E x y 是圆O 上的点，所以可令2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，其中[)0,360θ∈︒︒，()[]2sin 4sin 604,4y θθθ+=+=+︒∈-，B 正确；对于C ：若过点P 的直线斜率不存在，此时直线为4x =，不是圆O 的切线，所以圆O 的切线斜率存在，设为k ，则切线方程为()24y k x -=-，圆心到直线的距离为2d =，解得0k =或者43k =，所以切线方程为41033y x =-和2y =，联立22441033x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，解得8565x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，联立2242x y y ⎧+=⎨=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，所以()860,2,,55M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭（或者()860,2,,55N M ⎛⎫- ⎪⎝⎭），所以6252805MNk +==--，直线:22220MN y x x y -=-⇒+-=，C 错误；对于D ：设x 轴上存在点(),0D t 使得圆上任意的一点点(),Q x y 满足12DQ AQ =，即=()2223388164x y t x t ++-=-，所以288016412t t -=⎧⎨-=⎩，解得1t =，所以存在点()1,0D 在圆内使得12DQ AQ =，所以12PQ AQ PQ DQ PD +=+≥=D 正确，故选：ABD【点睛】关键点睛：若能熟练掌握圆的切点弦方程和阿氏圆逆定理则能快速判断CD 选项.12．300【分析】设等比数列{}n a 的奇数项之和为1S ，偶数项之和为2,S 则212S S =，12100S S +=，则可求出1S ,2,S 值，从而得出答案.【详解】设等比数列{}n a 的奇数项之和为1S ，偶数项之和为2S ，则113521n a a a a S -=++++L ，()224621352112n n S a a a a q a a a a S -=++++=++++= ，由题意可得：12100S S +=，即111002S S +=，解得12100,200S S ==，故数列{}n a 的所有项之和是100200300+=.故答案为：300.13．85【分析】利用弦长公式求得AB ，进而求得三角形ABC 的面积.【详解】22:(1)4C x y -+= 的圆心坐标为(1,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线210x y ++=的距离2d <，直线210x y ++=被圆22:(1)4C x y -+=截得的弦长为AB =ABC ∴ 面积为1825S ==.故答案为：85.14．59,5∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】先计算出()f x 的图象关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，利用倒序相加求出12n n a +=，从而得到24(1)21k n n ≥++++，结合对勾函数的单调性得到min 49()(4)5g x g ==，求出k 的取值范围.【详解】因为1()(1)x x x f x f x -+-==1x ==，所以()f x 的图象关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭中心对称．因为121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以121(1)(0)n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加得21n a n =+，所以12n n a +=．由242270n n n ka +-+≤，得21422702n n n k++-+≤，所以22427(1)2(1)2424(1)2111n n n n k n n n n ++++++≥==++++++．令()*24()(1)1g x x x x =++∈+N ，则当01x <<时，()g x 单调递减；当1x >时，()g x 单调递增．又244924(4)5,(3)410(4)554g g g =+==+=>，所以min 49()(4)5g x g ==，所以4959255k ≥+=，即k 的取值范围是59,5∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭．故答案为：59,5∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【点睛】结论点睛：函数的对称性：若()()f x a f x b c ++-+=，则函数()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，若()()f x a f x b +=-+，则函数()f x 关于2a bx +=对称.15．(1)250x y -+=(2)320x y -=或50x y +-=【分析】（1）利用直线平行的斜率关系和直线的点斜式方程求解即可；（2）分类讨论截距是否为0进行求解即可.【详解】（1）直线BC 的斜率：()()33221BC k --==--，故过点A 且与BC 平行的直线方程斜率2BC k k ==.且()2,1,A -故直线方程为：()122y x -=+，即250x y -+=.（2）过点()2,3,B 且在x 轴和y 轴上截距相等的直线方程,当截距为0时,直线过原点，直线方程为：32y x =，即320x y -=；当截距不为0时,由截距相等可设直线方程为：1x ya a+=，代入()2,3,B 得231,5a a a+==，故直线方程为155x y+=即50x y +-=.综上得：直线方程为320x y -=或50x y +-=16．(1)2n a n =(2)21834992n n -+-⨯【分析】（1）根据题意利用累乘法可求得通项公式；（2）由（1）得2212224n nn a n a n n ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，然后利用错位相减法可求得前n 项和.【详解】（1）因为1112,n n a n a a n++==，所以2121a a =，3232a a =，4343a a =，……，11n n a na n -=-，所以23412312341231n n a a a a a a a a nn -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⨯-⋅，所以2na n =，得2n a n =；（2）由（1）得2212224n nn a n a n n ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，令数列2n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则1231111112462(1)244444n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以23411111112462(1)2444444nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以123131111122222444444nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1231111112244444nn n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+++⋅⋅⋅+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1111441221414nn n +⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⨯-⨯ ⎪⎝⎭-121112344n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2234362nn +=-⨯，所以21834992n n n S -+=-⨯所以数列2n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21834992n n -+-⨯.17．证明见解析，切线方程为260x y ++=【分析】根据两圆圆心距与半径的关系即可求证，求解切点坐标，根据向量垂直关系即可求解切线方程.【详解】将圆1C 的方程化成标准方程，得()22220x y -+=，则圆心坐标为()2,0，半径1r ==．将圆2C 的方程化成标准方程，得()2215x y ++=，则圆心坐标为()0,1-，半径2r =两圆心之间的距离12d r r ==-，因此两圆内切（如图）．为求公切线方程，需要求切点坐标．切点是两圆唯一的公共点，其坐标即为方程组22224160240x y x x y y ⎧+--=⎨++-=⎩①②的解．②－①，得42120x y ++=，③即26y x =--．④将④代入②，整理得2440x x ++=．解此方程，得唯一解2x =-，代入④，得=2y -．故切点坐标为()2,2--．切点()2,2--到圆1C 的圆心()2,0的方向向量为()()()()22,024,2----=，并且与切线方向垂直，故向量()4,2是切线的法向量，因此可设切线的一般式方程为420x y C ++=．将切点()2,2--的坐标代入上述方程，解得12C =．因此，所求切线方程为260x y ++=．18．(1)2n a =(2)22244n n T n n n =+++【分析】（1）由递推公式得()11n n n a na n a -=--，有1n n a a -=，即可求解；（2）设数列{}n b 的前2n 项中的奇数项之和为A ，偶数项之和为B ，分别由等差数列求和及裂项相消法求和即可．【详解】（1）由n n S na =①得，当2n ≥时，()111n n S n a --=-②，联立①②得()11n n n a na n a -=--，所以有1n n a a -=，因为12a =，所以2n a =．（2）设数列{}n b 的前2n 项中的奇数项之和为A ，偶数项之和为B ，由（1）知()21,,1,.2n n n b n n n +⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数则()2135213711412n A b b b b n n n -=++++=++++-=+ ，()24621111244668222n B b b b b n n =++++=++++⨯⨯⨯+()111111111224466822241n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，综上：22244n nT A B n n n =+=+++．19．(1)22(2)4x y +-=(2)①7；②点G 在定直线2y =-上.【分析】（1）以AB 为直径的圆，圆心为AB 的中点，半径为||AB 的一半，则可直接得圆M 的方程，然后由对称的性质可得圆N 的圆心和半径，写出圆的标准方程即可.（2）利用点到直线的距离公式，可用1l 的斜率k 表示出四边形EPFQ 的面积，由均值定理可得其最大值；点在定直线上的问题可以用参数k 表示出点的坐标，然后研究纵、横坐标之间的联系，确定其所在直线的方程.【详解】（1）由题意得：M 为线段AB 的中点，故圆M 的圆心坐标为(2,0)M ，半径1||22r AB ==圆M 的方程为：22(2)4x y -+=，因为圆N 关于圆M 关于直线=y x 对称，所以圆N 的圆心为(0,2)N 所以圆N 的标准方程为：22(2)4x y +-=.（2）解：设直线1l 的方程为=+1y kx ，即10kx y -+=，则圆心(0,2)N 到直线1l 的距离1d =||PQ =，（ⅰ）若=0k ，则直线2l 斜率不存在，则||PQ =||4EF =,则1||||2S EF PQ =⋅=若0k ≠，则直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=，则圆心(0,2)N 到直线1l 的距离2d =所以||EF =1||.||2S EF PQ ===7==≤=，当且仅当221k k =，即1k=±时，等号成立.综上所述，因为7=>S 的最大值为7；（ⅱ）设()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程组得：22+(2)=4=+1x y y kx -⎧⎨⎩消y 得()221230k x kx +--=，则12122223,11k x x x x k k -+==++，直线OP 的方程为11y y x x =，直线DQ 的方程为2244y y x x -=+，联立解得121243x x x x x =+则()1211212122121121212121241444462233333kx x y x x y x kx x x x x y x x x x x x x x x x x ++--=⋅=====-+++++，所以12124,23x x G x x ⎛⎫-⎪+⎝⎭，所以点G 在定直线2y =-上。

福建省连城县第一中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题（满分：150分 考试时间：120分钟）第I 卷（选择题 共60分）一、单项选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线310x +=的倾斜角是（ ）A 、30︒B 、60︒C 、120︒D 、135︒2．下列命题正确的是（ ）A 、有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B 、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C 、用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D 、有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱3．设圆心为1C 的方程为22(5)(3)9x y -+-=，圆心为2C 方程为224290x y x y +-+-=，则圆心距等于（ ）A 、5B 、25C 、10D 、4. 若一个三角形采用斜二测画法作直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（ ）倍A .4 B .2C .12D .25．与直线:2l y x =平行，且到l ）A ．2y x =±B ．25y x =±C ．1522y x =-± D ．122y x =-±CDB 1ABC 1D 1A1第7题6．空间直角坐标系中，点()1,2,3A 关于xOy 平面的对称点为点B ，关于原点的对称点为点C ，则,B C 间的距离为（ ）A .5B .14C .25D . 2147．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠DAD 1=45，∠CDC 1=30，那么异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值是 （ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、3 8．对于任意实数a ，点(),2P a a -与圆22:1C x y +=的位置关系的所有可能是（ ）A 、都在圆内B 、都在圆外C 、在圆上、圆外D 、在圆上、圆内、圆外9．在三棱锥P ABC -中,2,2,3AB AC BC PA PB PC ======,若三棱锥P ABC -的顶点均在球O 的表面上，则球O 的半径为( )A .13B .13C .23D .22310.如图1,在等腰三角形ABC 中,90,6,,A BC D E ︒∠==分别是,AC AB 上的点,2,CD BE O ==为BC 的中点.将ADE △沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-.若'A O ⊥平面BCDE ,则'A D 与平面A BC '所成角的正弦值等于( )A 2B .3 C 2 D 2 二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。

福建省连城县第一中学2019-2020学年高二数学上学期月考二试题满分：150分 考试时间：120分钟一．选择题：每题5分，共60分1．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( ) A.08 B ．07 C ．02 D ．012．对于命题p ：双曲线x 24－y 2m 2＝1(m >0)的离心率为2；命题q ：椭圆x 2m2＋y 2＝1(m >0)的离心率为32，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.如图所示是一样本的频率分布直方图,则由图形中的数据,可以估计众数与中位数分别是 ( ) A.12.5 12.5B.12.5 13C.13 12.5D.13 134．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( ) A ．x ＋y ＝5 B.x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y5. 右图为某市去年各月的平均气温(℃)的茎叶图，则这组数据的中位数是( ) A.19B.20C.21.5D.236.设正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( ) A.32 B.22 C.223 D.2337.幂函数3y x =在点(2,8)处的切线方程为（ ）A.1216y x =-B.1216y x =+C.1216y x =--D.1216y x =-+8.如果数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为,方差为s 2,则5x 1+2,5x 2+2,…,5x n +2的平均数和方差分别为 ( ) A.,s 2B.5+2,s2C.5+2,25s 2D.,25s 29．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点， PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12D.3310．在空间四边形ABCD 中，AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→＝( )A ．－1 B.0 C ．1 D ．不确定11.下列求导运算正确的是（ ）A.'1ln x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.()'1x x xe e =+C.()'2cos 2sin x x x x =- D.'2111x x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 12.如图所示，已知F 1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线 B.圆 C ．椭圆 D ．双曲线二．填空题：每题5分，共20分13.某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为________. 14．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)15．命题“∀x ∈R,2x 2－22ax ＋9＞0”为假命题，则实数a 的取值范围为________． 16. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左，右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝________. 三．解答题：共70分17．（10分）已知具有相关关系的两个变量x ，y 的几组数据： (1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；(2)请根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并估计当x ＝20时y 的值．参考公式：∧b ∑∑∑∑====--=--⋅-=ni ini ii ni in i iix n xyx n y x x x y y x x 1221121)()()(,aˆ=x b y ˆ-18．（12分）已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点M (m,4)到其焦点的距离为5. (1)求抛物线C 的方程；(2)若过点M 的双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个顶点为抛物线C 的焦点，求该双曲线的渐近线方程．19.（12分）如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，A1O⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝3.(1)证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；(2)若∠BAD＝60°，求二面角B­OB1­C的余弦值．20.(12分)高二（1）班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:(1)求高二（1）班参加校生物竞赛的人数及分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高.(2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选2人进行某项研究,求至少有1人分数在[90,100]之间的概率.21. (12分)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．22．(12分))已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．(1)求椭圆C 的离心率；(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若△P Q F 2的周长为42，求F 2P ―→·F 2Q ―→的最大值．连城一中2019-2020学年上期高二年级月考二参考答案1.D 2．A 3.B 4．B 5.B 6.D 7. A 8.C 9．D 10．B 11.D 12．B 12.解析：选B 延长F 2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接O Q.因为P Q 是∠F 1PF 2的外角的角平分线，且P Q ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|O Q|＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|O Q|＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B. 13.25 14． 12a ＋14b ＋14c 15．(－∞，－3]∪[3，＋∞) 16.21017.[解] (1)散点图如图所示：...........4分 (2)依题意，x ＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y ＝15×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，∑=ni ix12＝4＋16＋36＋64＋100＝220，∑=n i iiyx 1＝6＋24＋42＋80＋120＝272，∴b ^＝∑∑==--=ni ini ii x n xyx n y x 1221＝272－5×6×7.6220－5×62＝4440＝1.1，∴a ^＝7.6－1.1×6＝1， ∴线性回归方程为y ^＝1.1x ＋1，故当x ＝20时，y ＝23.……………10分 18．解：(1)由抛物线的定义知4＋p2＝5，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y ……5分(2)把M (m,4)代入x 2＝4y 可得m ＝±4，∴点M 的坐标为(±4,4)． ∵抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，∴a ＝1.∴双曲线的方程为y 2－x 2b2＝1(b ＞0)．将M (±4,4)代入上式得b 2＝1615，∴b ＝±415. ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±1415x ，即y ＝±154x ………………………12分 19.解：(1)证明：∵A 1O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD .∵四边形ABCD 是菱形，∴CO ⊥BD . ∵A 1O ∩CO ＝O ，∴BD ⊥平面A 1CO . ∵BD ⊂平面BB 1D 1D ，∴平面A 1CO ⊥平面BB 1D 1D ...........6分(2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，CO ⊥BD ，∴OB ，OC ，OA 1两两垂直，以O 为坐标原点，OB ―→，OC ―→， OA 1―→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝60°， ∴OB ＝OD ＝1，OA ＝OC ＝3，OA 1＝AA 21－OA 2＝ 6.则O (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，A (0，－3，0)，A 1(0,0，6)， ∴OB ―→＝(1,0,0)，BB 1―→＝AA 1―→＝(0，3，6)， OB 1―→＝OB ―→＋BB 1―→＝(1，3，6)． 设平面OBB 1的法向量为n＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧OB ―→·n ＝0，OB 1―→·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，x ＋3y ＋6z ＝0.令y ＝2，得z ＝－1，∴n＝(0，2，－1)是平面OBB 1的一个法向量． 同理可求得平面OCB 1的一个法向量m＝(6，0，－1)，∴mn m n m n⋅⋅>=<,cos ＝13×7＝2121，由图可知二面角B ­OB 1­C 是锐二面角， ∴二面角B ­OB 1­C 的余弦值为2121........................12分 20.【解析】(1)因为分数在[50,60)之间的频数为2,频率为0.008×10=0.08,所以高二（1）班参加校生物竞赛的人数为=25. 分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4,频率为=0.16,所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为=0.016………………………………6分(2)设“至少有1人分数在[90,100]之间”为事件A,将[80,90)之间的4人编号为1,2,3,4,[90,100]之间的2人编号为5,6.在[80,100]之间任取2人的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个. 其中,至少有1人分数在[90,100]之间的基本事件有9个, 根据古典概型概率的计算公式,得P(A)==………………………12分21.解：设正方体的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A-xyz ， (1)依题意，得B (1，0，0)，E⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，A (0，0，0)，D (0，1，0)， 所以BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，12，AD →＝(0，1，0)，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量， 设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ， 则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.................6分(2)依题意，得A 1(0，0，1)，BA 1→＝(－1，0，1)，BE →＝(－1，1，12)，设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0，所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2，1，2)． 设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t ，1，1)(0≤t ≤1)． 又B 1(1，0，1)，所以B 1F →＝(t －1，1，0)，B 1F ⊄平面A 1BE ，若B 1F ∥平面A 1BE ，则B 1F →·n ＝0，∴(t －1，1，0)·(2，1，2)＝0，∴2(t －1)＋1＝0，∴t ＝12，∴F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F 使B 1F ∥平面A 1BE ......................12分22. 解：(1)由题意知|－3ab |a 2＋4b 2＝c ，即3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋4b 2)．化简得a 2＝2b 2，所以e ＝1－b 2a 2＝22...........................................4分 (2)因为△P Q F 2的周长为42，所以4a ＝42，得a ＝2，由(1)知b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，且焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，①若直线l 的斜率不存在，则直线l ⊥x 轴，直线方程为x ＝－1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，F 2P ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，F 2Q ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－22， 故F 2P ―→·F 2Q ―→＝72.....................................................6分②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋，x 2＋2y 2＝2，消去y 并整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，...........8分F 2P ―→·F 2Q ―→＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)2k 2－22k 2＋1＋(k 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋1＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝72－9k 2＋，..........................................10分由k 2＞0可得F 2P ―→·F 2Q ―→∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，72.综上所述，F 2P ―→·F 2Q ―→∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，72，所以F 2P ―→·F 2Q ―→的最大值是72........................................12分。

福建省连城县第一中学2020届高三数学上学期月考二试题文第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。

)1、已知集合P{}3|->=xx，Q{}043|2≤-+=xxx，则=QP I（）A. ),4[+∞- B. ),3(+∞- C. ]1,3(- D. ]1,4[-2、已知复数iiz215+-=（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、若直线:ax+y-1=0 与:3x+(a+2)y+1=0 平行,则a的值为( ).A.1B.-3C.0或-D.1或-34、等差数列{}n a中，14739a a a++=，36927a a a++=，则数列{}n a前9项和9S等于（）A．66 B．99 C．144 D．2975、函数||2sin2xy x=的图象可能是( )A B C D6、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=30°,若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所得的点数分别为a,b,则满足条件的三角形有两个解的概率是( ).A. B. C. D.7、如图在ABC∆中，G为ABC∆的重心，D在边AC上，且3CD DA=u u u r u u u r，则 ( )A 17312GD AB AC=+u u u r u u u r u u u rB 11312GD AB AC=--u u u r u u u r u u u rC 17312GD AB AC=-+u u u r u u u r u u u rD11312GD AB AC=-+u u u r u u u r u u u r8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A. 3πB. 43πC. 12πD. 48πBACGD9、若0a >，0b >且24a b +=，则1ab的最小值为（ ）A ． 12B ． 2 C. 4 D ．1410、已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()11f x f x +=，若()f x 在[]1,0-上是减函数，记()0.5log 2a f =， ()2log 4b f =， ()0.52c f =，则（ ）A ． a b c >>B ． a c b >>C ． b a c >>D ． b a c >> 11、已知函数)20,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f ,0)(,1)(21==x f x f ， 若12||x x -的最小值为12，且21)21(=f ，则()f x 的单调递增区间为（ ） A. 51+2,+2,.66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ B. 15+2,+2,66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦C. 51+2,+2,66k k k Z ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦D. 17+2,+2,66k k k Z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12、已知定义域为),0(+∞，为的导函数，且满足)()('x xf x f -<，则不等式)4()2()2(2-->+x f x x f 的解集是( )．A ． )2,0(B ． ),2(+∞C ． )3,2(D ． ),3(+∞第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将正确答案填入答题卷中。

福建省连城县第一中学2020-2021学年高一数学上学期月考试题（一）一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知集合则等于( ){}{},21|,02|2≤<=≥-=x x Q x x x P ()Q P C R ⋂A ． B ． C ． D ．[)1,0(]2,0()2,1[]2,12．函数的定义域是( )()x x x f 23)32(0-+=A . B.⎦⎤ ⎝⎛-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-23,2323,⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-23,2323,C . D.⎦⎤ ⎝⎛-23,23⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-23,3．下列各组函数中表示同一函数的是( )A ．和B ．和1-=x y 112+-=x x y 0x y =()R x y ∈=1C ．和 D ．和2x y =()21+=x y x x y 2)(=2)(x x y =4．已知函数在上单调递减，若，则实数的取值范围是( )()x f R ()()a f a f -≥+4a A ． B ．[)+∞-,2(]2,-∞-C ． D ．()+∞-,2()2,-∞-5．若，且，则有( )0,0>>y x 182=+y x xy A ．最大值 B ．最小值 C ．最小值 D ．最小值6464164216．设为给定的一个实常数，命题，则“”是“命题m 024,:2≥+-∈∀m x x R x p 3≥m 为真命题”的( )p A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的x 0<-b ax ()+∞,1x 0)3)((>-+x b ax 解集是( )A ．B ．()()+∞⋃-∞-,31,()3,1C ． D.()3,1-()()+∞⋃∞-,31,8.已知函数则( )()()()()()()()()(),,,,2,232⎩⎨⎧≥≥=-=-=x f x g x f x g x f x g x F x x x g x x f A ．)的最大值为，最小值为()x F 31B ．的最大值为，无最小值()x F 72-C ．的最大值为，无最小值()x F 727-D ．的最大值为，最小值为()x F 31-14.已知则＝________．(),422x x x f -=+()x f 15.若对任意恒成立，则的取值范围是________．ax x xx ≤++>13,02a(2)若，求实数的取值范围．A C A =⋃a 18.(12分)设函数()032≠++=a bx ax y (1)若不等式的解集为，求的值；032>++bx ax ()3,1-b a ,(2)若，求的最小值0,0,1>>=+b a b a b a 41+19.(12分)已知二次函数满足()x f ()().12)(1,20-=-+=x x f x f f(1)求函数)的解析式及单调区间；()x f (2)当时，求函数的最大值和最小值[]2,1-∈x ()x f 20．(12分)某市财政下拨一项专款百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维100护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金(单位：百万元)的函数x 单位：百万元)：处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为()x M ();1050050x x M +-=投放资金(单位：百万元)的函数(单位：百万元)：x ()x N ()xx N 2.0=(1)设分配给植绿护绿项目的资金为(百万元)，则两个生态项目五年内带来的生态收x 益总和为，写出关于的函数解析式和定义域；y y x (2)求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？y 21．(12分)已知函数(a ∈R )．()()112--+=x a ax x f (1)解关于的不等式；x ()0>x f (2)若函数在是单调函数，求实数的取值范围。

连城一中2021-2021学年上期高一第一次月考数学试卷 出卷：罗晓芳 审卷：陈长江一、单项选择题(本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．集合{}{},21|,02|2≤<=≥-=x x Q x x x P 那么()Q P C R ⋂等于( )A ．[)1,0B ． (]2,0C ． ()2,1D ．[]2,12．函数()xx x f 23)32(0-+=的定义域是( )A .⎥⎦⎤ ⎝⎛-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-23,2323, B.⎪⎭⎫⎝⎛-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-23,2323,C .⎥⎦⎤ ⎝⎛-23,23 D.⎪⎭⎫⎝⎛∞-23,3．以下各组函数中表示同一函数的是( )A ．1-=x y 和112+-=x x y B ．0x y =和()R x y ∈=1C ．2x y =和()21+=x y D ．xx y 2)(=和2)(x x y = 4．函数()x f 在R 上单调递减，假设()()a f a f -≥+4，那么实数a 的取值范围是( )A ．[)+∞-,2B ．(]2,-∞-C ．()+∞-,2D ．()2,-∞- 5．假设0,0>>y x ，且182=+yx ，那么xy 有( )A ．最大值64B ．最小值641C ．最小值64 D ．最小值21 6．设m 为给定的一个实常数，命题024,:2≥+-∈∀m x x R x p ，那么“3≥m 〞是“命题p 为真命题〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．关于x 的不等式0<-b ax 的解集是()+∞,1，那么关于x 的不等式0)3)((>-+x b ax 的解集是( )A ．()()+∞⋃-∞-,31,B ．()3,1C ．()3,1- D.()()+∞⋃∞-,31,8.函数()()()()()()()()(),,,,2,232⎩⎨⎧≥≥=-=-=x f x g x f x g x f x g x F x x x g x x f 那么( ) A ．()x F )的最大值为3，最小值为1 B ．()x F 的最大值为72-，无最小值 C ．()x F 的最大值为727-，无最小值 D ．()x F 的最大值为3，最小值为1-14.(),422x x x f -=+那么()x f ＝________． 15.假设对任意a x x xx ≤++>13,02恒成立，那么a 的取值范围是________．(2)假设A C A =⋃，求实数a 的取值范围． 18.(12分)设函数()032≠++=a bx ax y(1)假设不等式032>++bx ax 的解集为()3,1-，求b a ,的值；(2)假设0,0,1>>=+b a b a ，求ba 41+的最小值19.(12分)二次函数()x f 满足()().12)(1,20-=-+=x x f x f f(1)求函数()x f )的解析式及单调区间；(2)当[]2,1-∈x 时，求函数()x f 的最大值和最小值20．(12分)某市财政下拨一项专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护工程，植绿护绿工程五年内带来的生态收益可表示为投放资金x (单位：百万元)的函数()x M 单位：百万元)：();1050050xx M +-=处理污染工程五年内带来的生态收益可表示为投放资金x (单位：百万元)的函数()x N (单位：百万元)：()x x N 2.0=(1)设分配给植绿护绿工程的资金为x (百万元)，那么两个生态工程五年内带来的生态收益总和为y ，写出y 关于x 的函数解析式和定义域；(2)求出y 的最大值，并求出此时对两个生态工程的投资分别为多少？21．(12分)函数()()112--+=x a ax x f (a ∈R )．(1)解关于x 的不等式()0>x f ；(2)假设函数()x f 在[)+∞,2是单调函数，求实数a 的取值范围。

连城一中2020—2021学年上期高三年级月考一数学试卷满分150分 考试时间120分钟 命题人： 审题人：第Ⅰ卷（非选择题 共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1． 已知集合,{}=||1|1B x x -<,则A ∩B=( )A.B. C. D.2. “2a >2b ”是“ln a >ln b ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 函数2()21f x mx x =-+的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.()0,1B.(1,)+∞C.[1,)+∞D. [0,)+∞4. 已知函数2211()1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()04f f a =⎡⎤⎣⎦，则实数a =( ) A.0 B.1 C.2 D.35. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )A ．13B ．12C ．23D ．1 6. 函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图象大致为（ ） {}|12x x <<{}|02x x <<{}|01x x <<{}|2x x <7. 用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)( ) A ． 1 B ．2 C ．3 D ． 48．已知定义在上的奇函数，对于都有，当时，，则函数在内所有的零点之和为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列命题中是真命题的有( ) A.∀x ∈R ，2x －1＞0B.∀x ∈N *，(x －1)2＞0C.已知，，则D.命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为 ∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋1 10. 若0＜a ＜1，b ＞c ＞1，则( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫b c a＞1 B.c －a b －a ＞cbC.ca －1＜ba －1D.log c a ＜log b a414=a 313=b 25ln=c c a b >>xy-10 1 Ax y1 02 -2 -1 x y 12 -2 -1 0 Cxy1 -2 -1 0 211. 已知函数f (x )={x 2+4x −3,x ≤1lnx +2,x >1，则函数g (x )=f (x )−ax −1 （a >0）的零点个数可能为( ) A.0B.1C.2D.312. 已知函数满足，且的图象交点为112288(,),(,),,(,),x y x y x y 则集合128128{,y }x x x y y ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+元素有 A.16B.24C.32D.48第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值等于▲14. 已知x >0,y >0，且x +2y =1，则1x +12y的最小值是 ▲ .15. 已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝2，则当f (a )＝2f (a —3)时，实数a 等于___ ▲____. 16. 已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围是 ▲ ；若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是 ▲ . （第一个空2分，第二个空3分）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （10分）设条件p ：实数x 满足22430x ax a -+<, (0)a >条件q ：实数x 满足2280x x +->; 已知q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。

2020-2021学年福建省龙岩市连城一中高二（下）月考数学试卷（一）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数i(2−i)的虚部为()A. −2iB. 2iC. −2D. 22.已知i是虚数单位，在复平面内，复数−2+i和1−3i对应的点间的距离是()A. √5B. √10C. 5D. 253.函数y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)的图象可能是()A.B.C.D.4.将6张不同的贺卡分给4名同学、每名同学至少1张，则不同的分法有()A. 384种B. 960种C. 1560种D. 1620种5.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有()A. 240种B. 192种C. 96种D. 48种6.(1−2x)n的二项展开式中，奇数项的系数和为()A. 2nB. 2n−1C. (−1)n+3n2D. (−1)n−3n27.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1中点，则异面直线B1E与BC1所成角的余弦值为()A. √26B. √212C. −√26D. √248.设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)+xf′(x)>0，下面的不等式在R上恒成立的是()A. f(x)≥0B. f(x)≤0C. f(x)≥xD. f(x)≤x二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.设复数z满足z+|z|=2+i，那么()A. z的虚部为iB. z的虚部为1C. z=−34−i D. z=34+i10.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，其中A，B是双曲线的左、右顶点，P是双曲线上位于第一象限上的动点，记PA，PB的斜率分别是k1，k2.则下列说法正确的是()A. 双曲线C的渐近线方程为y=±2xB. k1k2为定值14C. 双曲线上存在点P，使得k1+k2=1D. 设F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若S△PF1F2=√3b2，则∠F1PF2=π311.已知函数f(x)=mx−lnx+m在区间(1,e)内有唯一零点，则m的可能取值为()A. −ee2+1B. 1e+1C. e−1e+1D. 1+2e12.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AA1=AB=2AD=2，E，F分别为BB1，D1C1的中点，则()A. EF⊥ECB. BD//平面AEFC. 三棱锥C1−CEF外接球的表面积为5πD. 平面A1BCD1被三棱锥C1−CEF外接球截得的截面圆面积为9π8三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(x2+2)(1x2−1)5的展开式的常数项是______．14.已知函数f1(x)=sinx，f n+1(x)=f′n(x)，则f2020(π6)=______ ．15. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且倾斜角为30°的直线l 1与过F 2的直线l 2交于P 点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=90°.则椭圆C 的离心率e = ______ ．16. 如图所示的几何体是由一个正三棱锥P −ABC 与正三棱柱ABC −A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有______ 种.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知(√x +12√x4)n 的展开式中，前三项的系数依次成等差数列． (1)求正整数n ；(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项．18. 已知函数f(x)=x 3−ax −1．(1)若f(x)在R 上为增函数，求实数a 的取值范围； (2)若函数f(x)的单调减区间为(−1,1)，求a 的值．19. 如图，四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB//CD ，PD ⊥AD ，2PD =2AD =2CD =AB =PB ．(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；(2)过PD的平面交AB于点E，且AE=3EB，求平面PAD与平面PCE所成锐二面角的余弦值．20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点(1,32)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为12√27，求直线l的方程．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠APB=π2，∠ABC=π3，PB=2√3，PC=4，点M是AB的中点．(1)求证：CM⊥平面PAB；(2)线段CD上是否存在一点N，使得直线PN与平面PMD所成角的正弦值为√6，8的值，若不存在，请说明理由．若存在，求出CNND+alnx(a∈R且a≠0)．22.已知函数f(x)=1x(1)若a=1，求函数f(x)的极值；(2)若存在x0∈(0,e]，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数i(2−i)=1+2i的虚部为2，故选：D．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：复数−2+i对应复平面内的点A(−2,1)，复数1−3i对应复平面内的点B(1,−3)∴|AB|=√(−2−1)2+(1+3)2=5即复数−2+i和1−3i对应的点间的距离等于5故选：C．由题意不难得到两个复数在复平面内对应点的坐标，再结合直角坐标中两点距离的公式，可得它们的距离．本题给出两个复数，求它们在复平面内对应点之间的距离，考查了复数的几何意义和平面内两点间的距离公式等知识，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由函数图象可知函数在(−∞,0)，(0,+∞)上均为减函数，所以函数的导数值f′(x)<0，因此D正确，故选：D．根据f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；f′(x)≤0时，f(x)单调递减，根据图形可得f′(x)<0，即可判断答案．本题考查函数的单调性与导函数符号的关系：f′(x)≥0时，函数f(x)单调递增；f′(x)≤0时，f(x)单调递减4.【答案】C【解析】解：分两类：第一类有一人分三张卡，其他三人各分一张卡的分法共有C 63⋅C 41⋅A 33=480，第二类有两人各分两张卡，其他两人各分一张卡的方法共有C 62C 42C 21C 11A 22A 22⋅A 44=1080，所以共有480+1080=1560种， 故选：C ．分两类，第一类有一人分三张卡，其他三人各一张卡；第二类有两人各分两张卡，其他两人各分一张卡．本题考查了排列组合以及简单计数问题，还有分类讨论思想，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：分三步：先排甲，有一种方法；再排乙、丙，排在甲的左边或右边各有4种方法；再排其余4人，有A 44种方法， 故共有2×4×A 44=192(种)． 故选：B ．分三步：先排甲；再排乙、丙；最后排其余4人，利用分步计数原理，可得结论． 本题考查排列知识，考查分步计数原理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵在(1−2x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a n x n 中，奇数项的系数和为a 0+a 2+a 4+⋯，偶数项系数和为a 1+a 3+a 5+⋯，令x =1，可得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+⋯+a n =(−1)n ①， 令x =−1，可得a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5+⋯+a n =3n ②， ①+②除以2可得，a 0+a 2+a 4+⋯=(−1)n +3n2，故选：C ．在(1−2x)n 的展开式中，分别令x =1、x =−1，两式相加除以2，可得奇数项的系数和．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则B 1(2,2，2)，E(0,0，1)，B(2,2，0)，C 1(0,2，2)，B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,−1)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，2)，设异面直线B 1E 与BC 1所成角为θ， 则cosθ=|B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23×2√2=√26． ∴异面直线B 1E 与BC 1所成角的余弦值为√26．故选：A ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B 1E 与BC 1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成的角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．8.【答案】A【解析】解：令g(x)=x 2f(x)，则g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]，因为2f(x)+xf′(x)>0，所以当x >0时，g′(x)>0，当x <0时，g′(x)<0， 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减， 所以g(x)min =g(0)=0，所以g(x)≥0，即f(x)≥0． 故选：A ．令g(x)=x 2f(x)，根据条件判断g(x)的单调性，求出g(x)的最小值即可得到正确选项．本题考查了不等式恒成立问题，考查了函数思想，属中档题．9.【答案】BD【解析】解：设z =x +yi(x,y ∈R)，代入z +|z|=2+i ，得x +yi +√x 2+y 2=2+i ， ∴{x +√x 2+y 2=2y =1，解得{x =34y =1． ∴z =34+i ，则z 的虚部为1．故BD 正确，AC 错误． 故选：BD ．设z =x +yi(x,y ∈R)，代入z +|z|=2+i ，整理后利用复数相等的条件求得x 与y 的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，考查复数相等的条件，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：由e =c a=√1+b 2a2=√52，可得b =12a ，则双曲线的渐近线方程为y =±12x ，故A 错误；设P(m,n)，可得b 2m 2−a 2n 2=a 2b 2，又A(−a,0)，B(a,0)， k 1k 2=n m+a⋅n m−a=n 2m 2−a2=n 2a 2n 2b 2=b 2a 2=14，故B 正确； 由于k 1，k 2>0，且k 1≠k 2，则k 1+k 2>2√k 1k 2=2×12=1， 所以双曲线上不存在点P ，使得k 1+k 2=1，故C 错误； 设|PF 1|=s ，|PF 2|t ，由双曲线的定义可得s −t =2a ， 设∠F 1PF 2=α，△PF 1F 2的面积为S ，则S =12stsinα=√3b 2， 即为sinα=2√3b 2st，① 又cosα=s 2+t 2−4c 22st=(s−t)2+2st−4c 22st=4a 2−4c 2+2st2st=1−2b 2st，可得1−cosα=2b 2st，②由①②可得sinα1−cosα=2sin α2cosα22sin 2α2=1tanα2=√3，可得α2=π6，即α=π3，故D 正确． 故选：BD ．由双曲线的离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，b 的等式，求得双曲线的渐近线方程，可判断A ；由直线的斜率公式和点满足双曲线的方程，计算可判断B ；由基本不等式计算可判断C ；由双曲线的定义和三角形的面积公式，结合三角函数的恒等变换，计算可判断D ．本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及直线的斜率公式、基本不等式和三角形的余弦定理、面积公式和三角函数的恒等变换，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：函数f(x)=m x−lnx +m 在区间(1,e)是连续函数，函数f(x)=m x−lnx +m 在区间(1,e)内有唯一零点，可得(2m)(me −1+m)<0， 解得m ∈(0,ee+1)，则m 的可能取值为：1e+1，e−1e+1； 故选：BC ．利用函数的连续性以及零点判断定理，列出不等式，求解即可．本题考查函数的零点判断定理的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.【答案】ACD【解析】解：由题意可得CE ⊥C 1E ，CE ⊥C 1F ，C 1F ⊂平面EFC 1，C 1E ⊂平面EFC 1，C 1F ∩C 1E =E ，从而CE ⊥平面EFC 1，EF ⊂平面EFC 1，从而EF ⊥EC ，故A 正确；取B 1C 1中点G ，可得FG//BD ，根据FG 与平面AEF 相交，可得BD 与平面AEF 相交，故B 错误；三棱锥C 1−CEF 外接球，球心O 是CC 1与C 1F 垂直平分线的交点，半径OC=12CF=12×√1+4=√52，故球的表面积为5π，故C正确；作OH⊥CD1于点H，则OH⊥平面A1BCD1，求得OH=√24，故截面圆的半径r=√54−18=2√2，面积为9π8，故D正确．故选：ACD．利用直线与平面垂直的性质判断A；直线与平面相交的性质判断B；求出球的表面积判断C；直线与平面的简单性质判断D．本题考查直线与平面垂直的位置关系的应用，球的表面积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．13.【答案】3【解析】解：∵而项式(x2+2)(1x2−1)5=(x2+2)⋅(C50⋅1x10−C51⋅1x8+C52⋅1x6−C53⋅1x4+C54⋅1x2−1)，故它的展开式的常数项为C54−2=3，故答案为3．把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.【答案】−√32【解析】解：根据题意，函数f1(x)=sinx，f n+1(x)=f n′(x)，则f2(x)=f1′(x)=cosx，f3(x)=f2′(x)=−sinx，f4(x)=f3′(x)=−cosx，f5(x)=f4′(x)=sinx，……则有f n+4(x)=f n(x)，则f2020(x)=f4(x)=−cosx，故f2020(π6)=−cosπ6=−√32；故答案为：−√32．根据题意，由导数的计算公式求出f2(x)、f3(x)、f4(x)、f5(x)的解析式，分析可得f n+4(x)=f n(x)，据此可得f2020(x)的解析式，将x=π6代入计算可得答案．本题考查导数的计算，涉及导数的计算公式，属于基础题．15.【答案】√3−1【解析】解：由题意可知△PF1F2是直角三角形，且∠PF1F2=30°，∴PF2=c，F1F2=2c，∴PF1=√3c，∵PF1+PF2=2a，即√3c+c=2a，∴e=√3−1，故答案为：√3−1．由题意可知三角形△PF1F2为直角三角形，再利用椭圆的定义，即可得出结果．本题考查了椭圆的定义，直角三角形的计算，属于基础题．16.【答案】12【解析】解：先涂三棱锥P−ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C31×C21×C11×C21=3×2×1×2=12种不同的涂法．故答案为：12先确定完成涂色任务需要分六步，利用组合求出各步的方法数，将各步的方法数乘起来．本题考查利用分布原理求完成事件的方法数、考查涂色问题常用的方法是两个原理．17.【答案】解：(1)∵(√x +2√x 4)n 的展开式中，前三项的系数C n0，C n 1⋅12，C n 2⋅14 依次成等差数列，∴2(C n 1⋅12 )=C n 0+C n 2⋅14，n 2−9n +8=0，求得n =1 (舍去)，或n =8．(2)由于展开式的通项公式为T r+1=C 8r ⋅(12)r ⋅x16−3r4，由于当r =0，4，8 时，x 的幂指数16−3r 4为整数，故有理项为T 1=C 80⋅x 4，T 5=C 84⋅(12)4x ，T 9=C 88⋅(12)8⋅x −2． (3)第r +1项的系数为C 8r⋅(12)r ⋅其中，r =0，1，2，…，8， 检验可得，当r =2或3时，该项的系数C 8r⋅(12)r 最大为7． 故展开式中系数最大的项为：T 3=7x 52，T 4=7x 74．【解析】(1)由题意利用等差数列的定义、二项展开式的通项公式，求得n 的值． (2)由题意利用二项展开式的通项公式，求出展开式的有理项．(3)根据第r +1项的系数为C 8r⋅(12)r ⋅其中，r =0，1，2，…，8，检验可得结论． 本题主要考查等差数列的定义，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵f(x)=x 3−ax −1，∴f′(x)=3x 2−a ，∵函数f(x)在R 上是增函数， ∴f′(x)≥0，即x 2≥13a 在R 上恒成立， ∴a ≤0．(2)令f′(x)<0，即x 2<13a ，①当a ≤0时，显然不等式x 2<13a 无解；②当a >0时，解不等式x 2<13a ，得−√3a 3<x <√3a3， ∴函数f(x)在区间(−√3a 3,√3a3)上单调递减， 由题可知 √3a3=1即a =3；综上所述，存在a =3，使f(x)的单调减区间是(−1,1)；【解析】(1)通过函数f(x)在R 上是增函数，可知f′(x)≥0在R 上恒成立，进而计算即得结论．(2)通过求导且令f′(x)<0即x 2<13a ，分a ≤0、a >0两种情况讨论即可；本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：连接BD ，因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB//CD ，2AD =2CD =AB ， 所以BD ⊥AD ，因为BD =BD ，PD =AD ，PB =AB ， 所以△ABD≌△PBD ，所以∠PDB =∠ABD =90°， 所以PD ⊥BD ，又因为PD ⊥AD ，AD ∩BD =D ，AD 、BD ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥平面ABCD ，又因为PD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)由(1)知DA 、DB 、DP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设AD =PD =CD =1，则AB =2，BD =√3， 过C 作CM ⊥BD 于M ，过E 作EN ⊥BD 于N ， 因为∠CDB =∠CBD =30°，AE =3EB ，所以BM =√32，CM =12，BE =12，BN =√34，EN =14，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−√32,1)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(34,√34,0)， 设平面PCE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =12x −√32y +z =0CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =34x +√34y =0，令x =−1，m ⃗⃗⃗ =(−1,√3,2)， 平面PAD 的法向量为n⃗ =(0,1，0)， 所以平面PAD 与平面PCE 所成锐二面角的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√32√2⋅1=√64．【解析】(1)根据条件得到平面PAD 内直线PD 垂直于平面ABCD 内两相交直线AD 与BD ，再由线面垂直的判定定理得到平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法，求出平面PAD 与平面PCE 所成锐二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由|F 1F 2|=2得c =1，∴F 1(−1,0)，F 2(1,0)，又点(1,32)在椭圆C 上，∴2a =√(1+1)2+(32)2+√(1−1)2+(32)2=4，a =2.则b 2=a 2−c 2=4−1=3．∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)如图，设直线l 的方程为x =ty −1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 把x =ty −1代入x 24+y 23=1，得：(3t 2+4)y 2−6ty −9=0∴{y 1+y 2=6t 3t 2+4y 1y 2=−93t 2+4， ∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(6t 3t 2+4)2−4×−9(3t 2+4)=12√t 2+13t 2+4，∴S =12|F 1F 2||y 1−y 2|=12√t 2+13t 2+4=12√27，解得：t 2=−1718(舍)或t 2=1，所以t =±1． 故所求直线方程为：x ±y +1=0．【解析】本题考查了利用定义求椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，采用了设而不求的数学方法，该题把直线l 的方程设为x =ty −1，避免了讨论直线斜率存在和不存在的情况，此题属中档题．(1)由题意可设椭圆的标准方程，并求出椭圆两个焦点的坐标，又点(1,32)在椭圆C 上，利用椭圆定义可求出长轴长，从而求出椭圆C 的方程；(2)为避免讨论可设过F 1的直线l 的方程为x =ty −1，和椭圆方程联立后化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点纵坐标的和与积，△AF 2B 的面积就是12|F 1F 2||y 1−y 2|=12√27，由此求出t 的值，则直线l 的方程可求．21.【答案】(1)证明：在△PAB 中，因为∠APB =π2，PB =2√3，AB =4，所以PA =2，因为点M 是AB 的中点，所以BM =PM =2， 在△BMC 中，∠MBC =π3，BM =2，BC =4， 由余弦定理定理可得，CM =√BM 2+BC 2−2⋅BM ⋅BC ⋅cos∠MBC =√22+42−2×2×4×12=2√3， 故B M 2+CM 2=BC 2，所以AB ⊥CM ，在△PMC 中，PM =2，CM =2√3，PC =4，所以PC 2=CM 2+PM 2，故PM ⊥CM ， 又AB ∩PM =M ，AB ，PM ⊂平面PAB ，所以CM ⊥平面PAB ；(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系，则M(0,0,0),C(0,2√3,0),D(−4,2√3,0)， 设P(x 0,0，z 0)，N(−λ,2√3,0)(λ∈[0,4])， 在△PAB 中，z 0=PA⋅PB AB=√3，而PM =2，所以x 0=−1，故P(−1,0√3)，设平面PMD 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)，直线PN 与平面PMD 所成的角为θ， 因为MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3),MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2√3,0)， 所以{n ⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +√3z =0−4x +2√3y =0， 令z =1，则n ⃗ =(√3,2,1)， 又PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,2√3,−√3)， 所以sinθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|4√3−√3λ|2√2⋅√λ2−2λ+16=√68，化简可得λ2−10λ+16=0，解得λ=2或λ=8(舍)， 故CNND =1．【解析】(1)利用三角形的边角关系，求出所需线段的长度，然后利用勾股定理证明得到AB ⊥CM ，PM ⊥CM ，结合线面垂直的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，设P(x 0,0，z 0)，N(−λ,2√3,0)(λ∈[0,4])，求出点P 的坐标，再利用线面角的求解公式列出等式求出λ的值，即可得到答案． 本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理的应用，有关空间角的问题，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(1)依题意，当a=1时，f(x)=1x+lnx，定义域为(0,+∞)，f′(x)=−1x2+1x=x−1x2，令f′(x)=0，得x=1，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，所以f(x)极小值=f(1)=1，f(x)无极大值．(2)若存在x0∈(0,e]，使得f(x0)<0成立，即函数f(x)在(0,e]上的最小值小于0，f′(x)=−1x2+ax=ax−1x2，且a≠0，令f′(x)=0，得x=1a，当1a<0，即a<0时，f′(x)<0恒成立，函数f(x)在(0,e]单调递减，f(x)min=f(e)=1e+a，由1e +a<0，得a<−1e，即a∈(−∞,−1e)，当1a ≥e，即0<a≤1e时，f′(x)≤0恒成立，函数f(x)在(0,e]上单调递减，f(x)min=f(e)=1e+a>0，不合题意，当0<1a <e，即a>1e时，在(0,1a)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，在(1a,e)上，f′(x)>0，f(x)为增函数，所以f(x)min=f(1a )=a+aln1a=a(1−lna)，由a(1−lna)<0，得1−lna<0，解得a>e，即a∈(e,+∞)，综上，所以实数a的取值范围是(−∞,−1e)∪(e,+∞)．【解析】(1)代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；(2)求出函数的导数，根据讨论a的范围，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．。