算法分析与设计习题集
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动态规划
15、求出上图中每对结点间的距离的算法，并给出计算结果。
16、已知序列a1，a2，…，an，试设计一算法，从中找出一子序列
ai1< ai2<…< aik
使k达到最大，并讨论其复杂性。
17、设计一个O（n2）时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长的单调递增子序列。
18、旅游预算问题。一个旅行社需要估算乘汽车从某城市到另一城市的最小费用，沿路有若干加油站，每个加油站收费不一定相同。旅游预算有如下规则：若油箱的油过半，不停车加油，除非油箱中的油不可支持到下一站；每次加油时都加满；在一个加油站加油时，司机要花费2元买东西吃；司机不必为其他意外情况而准备额外的油；汽车开出时在起点加满油箱；计算精确到分（1元=100分）。编写算法估计实际行驶在某路线所需的最小费用。
8、利用分治策略，在n个不同元素中找出第k个最小元素。
9、设有n个运动员要进行网球循环赛。设计一个满足以下要求的比赛日程表。
（1）每个选手必须与其它n-1选手各赛一次；
（2）每个选手一天只能赛一次。
10、已知序列{503，87，512，61，908，170，897，275，652，462}，写一个自底向上的归并分类算法对该序列作升序排序，写出算法中每一次归并执行的结果。
19、下图表示城市之间的交通路网，线段上的数字表示费用，单向通行由A->E。试用动态规划的最优化原理求出A->E的最省费用。
20、已知如下图，写出用动态规划求最短路径的递推关系式，并写出求从源点A0到终点A3的最短路径过程。给出求解算法。
6
A1A2
55 2
A0A3
34 4
B1B2
5
21、已知有向图G=<V，E>，试设计一算法以判断对于任意两点u和v，是否存在一条从u到v的路径，并分析其复杂度。
if ( a->data[i]!= a->data[i+1])i++;
else
{
for ( j=i; j<a->length; j++)a->data[j]=a->data[j+1];
a->length--;
}
}
6、分别写出求二叉树结点总数及叶子总数的算法。
①计算结点总数
int CountNode(BinTree *root)
return(num1+num2+1);
}
}
②计算叶子总数
int CountLeafs(BinTree *root)
{
int num1,num2;
if(root==Null) return(0);
else if(root->lchild==Null&&root->rchild==Null)
return(1);
12、设有n个正整数，编写一个算法将他们连接成一排，组成一个最大的多位整数。用贪心法求解本题。
13、对于下图给出的有向网，写出用Dijkstra方法求从顶点A到图中其它顶点的最短路径的算法，并写出执行算法过程中顶点的求解次序及从顶点A到各顶点路径的长度。
14、对于上图给出的有向图，写出最小成本生成树，给出求解算法。
}
a++;
continue;
}
else
{ if (i==0)
return;
a[--i]++;
}
} while (1)
}
main()
{ comb(5,3);
}
24、（组合问题）任取r个自然数，求这r个数的所有排列。
25、编写程序求解骑士巡游问题：在n行n列的棋盘上（如n=8），假设一位骑士（按象棋中“马走日”的行走法）从初始坐标位置(x1，y1)出发，要遍访（巡游）棋盘中的每一个位置一次。请编一个程序，为骑士求解巡游“路线图”（或告诉骑士，从某位置出发时，无法遍访整个棋盘—问题无解骑士巡游）。
Procedure骑士巡游(X1,Y1)
//用x和y表示骑士在棋盘上的位置，采用回溯法求解，骑士巡游可以有以下8个可能方向的走法。
1 2 3 4 5 6 7 8
X+2,Y+2
//
integer k, n, m, X,Y;
integer X(64), S(0:64, 1: 2);
S(0)(0,X1,Y1);
if(j<=t) rf[k…t]=r[j…t]；
}
void MergeSort(S_TBL *p，ElemType *rf)
{/*对*p表归并排序，*rf为与*p表等长的辅助数组*/
ElemType *q1，*q2；
q1=rf；q2=p->elem；
for(len=1；len<p->length；len=2*len)/*从q2归并到q1*/
采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质：
（1）a[i+1]>a，后一个数字比前一个大；
（2）a-i<=n-r+1。
按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：
首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合改为1，2。继续这一过程，得到候选组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因a[2]上的3调整为4，以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于对5不能再作调整，就要从a[2]回溯到a[1]，这时，a[1]=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部解。按上述思想写成程序如下：
X(1)0; k1; m8
while k>0 do
X(k)X(k)+1
while X(k)≤m and not MOVE(k) do
X(k)X(k)+1
repeat
if X(k)≤m then
if k=64 then
print(X,S);return;
else
kk+1; //此处未判是否越界，即栈溢出。//
本题的算法思想是：由于顺序表中元素已按元素值非递减有序排列，值相同的元素比为相邻的元素，因此依次比较相邻两个元素，若值相等，则删除其中一个，否则继续向后查找，直到最后一个元素。实现本题功能的函数如下：
voiddel ( seqlist*a )
{
inti=0, j;
while ( i<a->length)
算法分析与设计习题集
基础篇
1、算法有哪些特点？它有哪些特征？它和程序的主要区别是什么？
2、算法的时间复杂度指的是什么？如何表示？
3、算法的空间复杂度指的是什么？如何表示？
4、设某一函数定义如下：
编写一个递归函数计算给定x的M（x）的值。
本函数是一个递归函数，其递归出口是：
M（x）= x-10x>100
:X(k)=3: S(k)( S(k-1,1)+1, S(k-1,2)+2 );
:X(k)=4: S(k)( S(k-1,1)+2, S(k-1,2)+1 );
:X(k)=5: S(k)( S(k-1,1)+2, S(k-1,2)-1 );
:X(k)=6: S(k)( S(k-1,1)+1, S(k-1,2)-2 );
endif
for ik - 1 to 0 by -1 do
if S(i)=S(k) then
return(FALSE);
endif
repeat
return(TRUE);
ENDMOVE
【程序】
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int r)
{ int i,j;
i=0;
a=1;
do {
if (a-i<=m-r+1
{ if (i==r-1)
{ for (j=0;j<r;j++)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
22、判近亲问题。给定一个家族族谱，为简化问题起见，假设家族中的夫妻关系只表示男性成员。设用线性表存储家族成员，用成员的父指针指向其生父。编写一个在此种族谱表示方式下的算法，判断给定的二个家族成员是否是五代内的近亲。（提示：家族成员的表示方式应与搜索方式相适应。）
23、（组合问题）求出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。
elseif(i<=p->length)
while(i<=p->length)/*若还剩下一个子表，则直接传入*/
q1[i]=q2[i]；
q1<-->q2；/*交换，以保证下一趟归并时，仍从q2归并到q1*/
if(q1!=p->elem)/*若最终结果不在*p表中，则传入之*/
for(i=1；i<=p->length；i++)
else
{
num1=CountLeafs(root->lchild);
num2=CountLeafs(root->rchild);
return(num1+num2);
}
}
分治术
7、有金币15枚，已知其中有一枚是假的，而且它的重量比真币轻。要求用一个天平将假的金币找出来，试设计一种算法（方案），使在最坏情况下用天平的次数最少。
15、求出上图中每对结点间的距离的算法，并给出计算结果。
16、已知序列a1，a2，…，an，试设计一算法，从中找出一子序列
ai1< ai2<…< aik
使k达到最大，并讨论其复杂性。
17、设计一个O（n2）时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长的单调递增子序列。
18、旅游预算问题。一个旅行社需要估算乘汽车从某城市到另一城市的最小费用，沿路有若干加油站，每个加油站收费不一定相同。旅游预算有如下规则：若油箱的油过半，不停车加油，除非油箱中的油不可支持到下一站；每次加油时都加满；在一个加油站加油时，司机要花费2元买东西吃；司机不必为其他意外情况而准备额外的油；汽车开出时在起点加满油箱；计算精确到分（1元=100分）。编写算法估计实际行驶在某路线所需的最小费用。
8、利用分治策略，在n个不同元素中找出第k个最小元素。
9、设有n个运动员要进行网球循环赛。设计一个满足以下要求的比赛日程表。
（1）每个选手必须与其它n-1选手各赛一次；
（2）每个选手一天只能赛一次。
10、已知序列{503，87，512，61，908，170，897，275，652，462}，写一个自底向上的归并分类算法对该序列作升序排序，写出算法中每一次归并执行的结果。
19、下图表示城市之间的交通路网，线段上的数字表示费用，单向通行由A->E。试用动态规划的最优化原理求出A->E的最省费用。
20、已知如下图，写出用动态规划求最短路径的递推关系式，并写出求从源点A0到终点A3的最短路径过程。给出求解算法。
6
A1A2
55 2
A0A3
34 4
B1B2
5
21、已知有向图G=<V，E>，试设计一算法以判断对于任意两点u和v，是否存在一条从u到v的路径，并分析其复杂度。
if ( a->data[i]!= a->data[i+1])i++;
else
{
for ( j=i; j<a->length; j++)a->data[j]=a->data[j+1];
a->length--;
}
}
6、分别写出求二叉树结点总数及叶子总数的算法。
①计算结点总数
int CountNode(BinTree *root)
return(num1+num2+1);
}
}
②计算叶子总数
int CountLeafs(BinTree *root)
{
int num1,num2;
if(root==Null) return(0);
else if(root->lchild==Null&&root->rchild==Null)
return(1);
12、设有n个正整数，编写一个算法将他们连接成一排，组成一个最大的多位整数。用贪心法求解本题。
13、对于下图给出的有向网，写出用Dijkstra方法求从顶点A到图中其它顶点的最短路径的算法，并写出执行算法过程中顶点的求解次序及从顶点A到各顶点路径的长度。
14、对于上图给出的有向图，写出最小成本生成树，给出求解算法。
}
a++;
continue;
}
else
{ if (i==0)
return;
a[--i]++;
}
} while (1)
}
main()
{ comb(5,3);
}
24、（组合问题）任取r个自然数，求这r个数的所有排列。
25、编写程序求解骑士巡游问题：在n行n列的棋盘上（如n=8），假设一位骑士（按象棋中“马走日”的行走法）从初始坐标位置(x1，y1)出发，要遍访（巡游）棋盘中的每一个位置一次。请编一个程序，为骑士求解巡游“路线图”（或告诉骑士，从某位置出发时，无法遍访整个棋盘—问题无解骑士巡游）。
Procedure骑士巡游(X1,Y1)
//用x和y表示骑士在棋盘上的位置，采用回溯法求解，骑士巡游可以有以下8个可能方向的走法。
1 2 3 4 5 6 7 8
X+2,Y+2
//
integer k, n, m, X,Y;
integer X(64), S(0:64, 1: 2);
S(0)(0,X1,Y1);
if(j<=t) rf[k…t]=r[j…t]；
}
void MergeSort(S_TBL *p，ElemType *rf)
{/*对*p表归并排序，*rf为与*p表等长的辅助数组*/
ElemType *q1，*q2；
q1=rf；q2=p->elem；
for(len=1；len<p->length；len=2*len)/*从q2归并到q1*/
采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质：
（1）a[i+1]>a，后一个数字比前一个大；
（2）a-i<=n-r+1。
按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：
首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合改为1，2。继续这一过程，得到候选组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因a[2]上的3调整为4，以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于对5不能再作调整，就要从a[2]回溯到a[1]，这时，a[1]=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部解。按上述思想写成程序如下：
X(1)0; k1; m8
while k>0 do
X(k)X(k)+1
while X(k)≤m and not MOVE(k) do
X(k)X(k)+1
repeat
if X(k)≤m then
if k=64 then
print(X,S);return;
else
kk+1; //此处未判是否越界，即栈溢出。//
本题的算法思想是：由于顺序表中元素已按元素值非递减有序排列，值相同的元素比为相邻的元素，因此依次比较相邻两个元素，若值相等，则删除其中一个，否则继续向后查找，直到最后一个元素。实现本题功能的函数如下：
voiddel ( seqlist*a )
{
inti=0, j;
while ( i<a->length)
算法分析与设计习题集
基础篇
1、算法有哪些特点？它有哪些特征？它和程序的主要区别是什么？
2、算法的时间复杂度指的是什么？如何表示？
3、算法的空间复杂度指的是什么？如何表示？
4、设某一函数定义如下：
编写一个递归函数计算给定x的M（x）的值。
本函数是一个递归函数，其递归出口是：
M（x）= x-10x>100
:X(k)=3: S(k)( S(k-1,1)+1, S(k-1,2)+2 );
:X(k)=4: S(k)( S(k-1,1)+2, S(k-1,2)+1 );
:X(k)=5: S(k)( S(k-1,1)+2, S(k-1,2)-1 );
:X(k)=6: S(k)( S(k-1,1)+1, S(k-1,2)-2 );
endif
for ik - 1 to 0 by -1 do
if S(i)=S(k) then
return(FALSE);
endif
repeat
return(TRUE);
ENDMOVE
【程序】
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int r)
{ int i,j;
i=0;
a=1;
do {
if (a-i<=m-r+1
{ if (i==r-1)
{ for (j=0;j<r;j++)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
22、判近亲问题。给定一个家族族谱，为简化问题起见，假设家族中的夫妻关系只表示男性成员。设用线性表存储家族成员，用成员的父指针指向其生父。编写一个在此种族谱表示方式下的算法，判断给定的二个家族成员是否是五代内的近亲。（提示：家族成员的表示方式应与搜索方式相适应。）
23、（组合问题）求出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。
elseif(i<=p->length)
while(i<=p->length)/*若还剩下一个子表，则直接传入*/
q1[i]=q2[i]；
q1<-->q2；/*交换，以保证下一趟归并时，仍从q2归并到q1*/
if(q1!=p->elem)/*若最终结果不在*p表中，则传入之*/
for(i=1；i<=p->length；i++)
else
{
num1=CountLeafs(root->lchild);
num2=CountLeafs(root->rchild);
return(num1+num2);
}
}
分治术
7、有金币15枚，已知其中有一枚是假的，而且它的重量比真币轻。要求用一个天平将假的金币找出来，试设计一种算法（方案），使在最坏情况下用天平的次数最少。
