学而思高中完整讲义集合.板块三.集合的运算.学生版

1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 知识内容排列组合问题的常用方法总结1组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．直接法（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）【例1】 从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有 ．【例2】 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A ．124414128C C C B ．124414128C A A C ．12441412833C C C AD ．12443141283C C C A【例3】 在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有（ ）A ．30个B ．35个C ．20个D ．15个【例4】 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，⑴从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？典例分析【例5】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？【例6】有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷．从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？【例7】若x A∈，则1Ax∈，就称A是伙伴关系集合，集合11{101234}32M=-，，，，，，，的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．15B．16C．82D．52【例8】 从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为______．A ．3264C C ⋅B ．2364C C ⋅C ．510CD ．3264A A ⋅【例9】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街3条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【例10】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有______种．【例11】 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【例12】设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则TS的值为（）A．20128B．15128C．16128D．21128【例13】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过5次跳动质点落在点(10)，（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为．【例14】从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有________种（用数字作答）【例15】 在AOB 的边OA 上有1234A A A A ，，，四点，OB 边上有12345B B B B B ，，，，共9个点，连结线段(1415)i j A B i j ≤≤，≤≤，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，和睦线的对数共有：（ ）A ．60B ．80C ．120D ．160【例16】 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？⑴ A 、B 必须当选； ⑵ A 、B 都不当选； ⑶ A 、B 不全当选； ⑷ 至少有2名女生当选；⑸ 选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．【例17】 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ） A ．150种 B ．180种 C ．300种 D ．345种【例18】 从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）A ．85B ．56C ．49D ．28【例19】 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ） A ．14 B ．24 C ．28 D ．48【例20】 要从10个人中选出4个人去参加某项活动，其中甲乙必须同时参加或者同时不参加，问共有多少种不同的选法？【例21】 有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？【例22】 某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ） A ．288种 B ．72种 C ．42种 D ．36种【例23】 某班有30名男生，30名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为（ ）A ．221302046C C CB ．555503020C C C -- C ．514415*********C C C C C --D ．322330203020C C C C +【例24】用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个⑴数字1不排在个位和千位⑵数字1不在个位，数字6不在千位．【例25】甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，5人的名次排列共有_______（用数字作答）种不同情况．【例26】某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（）A．45种B．56种C．90种D．120种【例27】用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（）A．120B．72C．48D．36【例28】某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）A．120种B．48种C．36种D．18种【例29】从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有_____种（用数字作答）．【例30】从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（）A．108种B．186种C．216种D．270种【例31】甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【例32】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_______种（用数字作答）．【例33】用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A．48个B．36个C．24个D．18个【例34】一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种【例35】 2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ）A ．36B ．42C ． 48D ．60【例36】 从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为______．A ．3264C C ⋅B ．2364C C ⋅C ．510CD ．3264A A ⋅【例37】 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有 种（用数字作答）．【例38】 给定集合{1,2,3,,}n A n =L ，映射:n n f A A →满足：①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；②任取n m A ∈，若2m ≥，则有{(1),(2),,()}m f f f m ∈L ．则称映射f ：n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．表1 表2⑴已知表2表示的映射f ：44A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；⑵若映射f ：1010A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____．【例39】 将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有__________种．【例40】 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种【例41】 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，⑴从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？i 1 2 3 ()f i2 3 1 i1 2 3 4 ()f i 3i12 3 4 ()f i 23 1 4【例42】 正整数122221(1)n n n a a a a a n n --∈>N L L ，称为凹数，如果12n a a a >>>L ，且2122n n n a a a -->>>L ，其中{0129}(12)i a i ∈=L L ，，，，，，，请回答三位凹数12313()a a a a a ≠共有 个（用数字作答）．【例43】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A ．36种 B ．12种 C ．18种 D ．48种【例44】 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_______种．（用数字作答）【例45】 某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A ，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？【例46】 从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有（ ）A ．5557105C A A 种B ．5557105AC P 种 C ．55107C C 种D ．55710C A【例47】 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）A ．4441284C C C 种 B ．34441284C C C 种 C ．4431283C C A 种D ．444128433C C C A 种【例48】 袋中装有分别编号为1,2,3,4的4个白球和4个黑球，从中取出3个球，则取出球的编号互不相同的取法有（ ）A．24种 B．28种 C．32种 D．36种．【例49】现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人．【例50】将4个小球任意放入3个不同的盒子中，⑴若4个小球各不相同，共有多少种放法？⑵若要求每个盒子都不空，且4个小球完全相同，共有多少种不同的放法？⑶若要求每个盒子都不空，且4个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例51】将7个小球任意放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空，⑴若7个小球完全相同，共有多少种不同的放法？⑵若7个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例52】四个不同的小球，每球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中．⑴随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？⑵四个盒都不空的放法有多少种？⑶恰有一个空盒的放法有多少种？⑷恰有两个空盒的放法有多少种？⑸甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？【例53】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点()，处（允许重复过此点），则质点不同的运30动方法共___________种；若经过m次跳动质点落在点()0n，处（允许重复过此点），其中m n≥，且m n-为偶数，则质点不同的运动方法共有_______种．【例54】设集合{12345}I=，，，，，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【例55】f是集合{1234}N=，，的映射，g是集合N到集合M的映M=，，，到集合{123}射，则不同的映射f的个数是多少？g有多少？满足()()()()8+++=f a f b f c f d的映射f有多少？满足[()]f g，有多少？=的映射对()f g x x【例56】排球单循坏赛，胜者得1分，负者0分，南方球队比北方球队多9支，南方球队总得分是北方球队的9倍，设北方的球队数为x．⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分；⑵证明：6x=；x=或8⑶证明：冠军是一支南方球队．【例57】 已知集合{}1,2,3,4A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意,()i A f i i ∈≠．设1234,,,a a a a 是1,2,3,4的任意的一个排列，定义数表12341234()()()()a a a a f a f a f a f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（ ） A ．216 B ．108 C ．48 D ．24间接法（直接求解类别比较大时） 【例58】 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？【例59】 从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（ ）A ．36B ．48C ．52D ．54【例60】 以三棱柱的顶点为顶点共可组成 个不同的三棱锥．【例61】 设集合{}1,2,3,,9S =L ，集合{}123,,A a a a =是S 的子集，且123,,a a a 满足123a a a <<，326a a -≤，那么满足条件的子集A 的个数为（ ）A ．78B ．76C ．84D ．83【例62】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36【例63】 某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3 人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ） A ．45种 B ．56种 C ．90种 D ．120种【例64】 对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2,4”，“2,3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是_________．【例65】已知集合{5}C=，，，从这三个集合中各取一个元素构A=，{12}B=，，{134}成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．33B．34C．35D．36【例66】甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．【例67】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内，⑴只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？⑵没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？⑶每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？【例68】在排成44⨯的方阵的16个点中，中心4个点在某一个圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任选3个点构成三角形，其中至少有一顶点在圆内的三角形共有（）A．312个B．328个C．340个D．264个【例69】从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（ ） A ．70种 B ．112种 C ．140种D ．168种【例70】 若关于x y ，的方程组22117ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，且所有解都是整数，则有序数对()a b ，的数目为（ ）A ．36B ．16C ．24D ．32【例71】 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ） A ．70种 B ．80种 C ．100种 D ．140种【例72】 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．30种 D ．36种【例73】 {}129，，，A =L ，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的A 的子集个数为_____．【例74】 在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_______个．【例75】 在AOB ∠的OA 边上取4个点，在OB 边上取5个点（均除O 点外），连同O 点共10个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作出三角形的个数为多少？【例76】，，，，a b c d e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是（）A．20B．16C．10D．6【例77】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A．18B．24C．30D．36【例78】三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成___ _个三角形．【例79】从5名奥运志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）A．24种B．36种C．48种D．60种【例80】某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种（）A．1320B．288C．1530D．670【例81】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的选法有_____种（用数字作答）。

1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m nn n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 知识内容基本计数原理的综合应用组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．基本计数原理的综合应用【例1】用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）【例2】若自然数n使得作竖式加法(1)(2)n n n++++均不产生进位现象．则称n为“可连数”．例如：32是“可连数”，因323334++不产生进位现象；23不是“可连数”，因232425++产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为（）A．27B．36C．39D．48【例3】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？【例4】如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答）典例分析【例5】如图，一环形花坛分成A B C D，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48【例6】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种．（以数字作答）【例7】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．【例8】某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）【例9】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成_______个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【例10】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A．2000B．4096C．5904D．8320【例11】同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）A．6种 B．9种 C．11种 D．23种【例12】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）A．504B．210C．336D．120【例13】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（）A．15种B．12种C．9种D．6种【例14】如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为（用数字作答）.【例15】 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．328C ．360D ．648【例16】 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为129，，， 的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种．987654321A ．72B ．108C ．144D ．192【例17】 足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种。

学而思高中完整讲义：三角函数.板块三.三角恒等变换.学生版题型一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式【例1】 cos79cos34sin79sin34+=（ ）。

A 12B 1 2 3【例2】 已知4cos 5α=-，(,)2παπ∈，则cos()4πα-=（ ）。

2 B 2C 7272 【例3】 在平面直角坐标系中，已知两点(cos80,sin80)A =，(cos20,sin 20)B =，则||AB 的值是（ ）A 12 2 3D 1【例4】 若3sin sin 1αβ-=，1cos cos 2αβ-=-，则cos()αβ-=（ ） A 12B 12- C 33 【例5】 已知3sin(30)5α+=，60150α<<，则cos α=（ ）343- 343+ 433- 433+【例6】 sin15cos15+=（ ）。

A 12B223 6【例7】 若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β的值是（ ）。

A 1725B 35C725D 15【例8】 已知1sin 4α=-，3(,)2παπ∈，3(,2)2πβπ∈，则αβ+是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角典例分析C 第三象限角D 第四象限角【例9】 已知向量(cos75,sin 75)a =，(cos15,sin15)b =，那么||a b -的值为（ ）A 12B2D 1【例10】 已知34παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--=（ ）A 2B 2-C 1D 1-【例11】 sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）。

A 12- B 12C【例12】 已知1tan 41tan αα-=+tan()4πα-=（ ）。

A4 B 4 C 4-- D 4-【例13】 已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+=（ ） A 1318B 1322C322D 16【例14】 已知sin cos θθ-，(0)2πθ≤≤，则sin cos θθ+=（ ）B 23C 13D 1【例15】 在ABC 中，sin cos A A +的取值范围是（ ）A(1,- B (, C (,2] D (1,1]- 【例16】 sin70sin30cos70cos30a =+，cos71cos30sin71sin30b =+，则,a b 的大小关系是 。

1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m nn n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）知识内容排列组合问题的常用方法总结2⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）【例1】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有 种．【例2】 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种．【例3】 ()15a b c d +++有多少项？【例4】 有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？【例5】 不定方程12350...100x x x x ++++=中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组．【例6】 5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少种不同的带法．【例7】将7个完全相同的小球任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？【例8】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【例9】有10个三好学生名额，分配到高三年级的6个班里，要求每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案．【例10】某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配方案共有_____种．【例11】10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？插空法（当需排的元素不能相邻时）【例12】从1231000L，，，，个自然数中任取10个互不连续的自然数，有多少种不同的取法．【例13】某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）A．12B．16 C．24 D．32【例14】三个人坐在一排8个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．【例15】要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．【例16】马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_____种．（用数字作答）【例17】为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为．（用数字作答）【例18】一排9个座位有6个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有______种不同的坐法．【例19】某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同发言顺序的种数为（）A．360B．520C．600D．720【例20】在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？【例21】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．捆绑法（当需排的元素有必须相邻的元素时）【例22】4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？【例23】四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种．【例24】某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有【例25】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种．【例26】四个不同的小球放入编号为1234，，，的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______种．（用数字作答）除序法（平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列．）【例27】6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？【例28】6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？【例29】用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？【例30】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？【例31】甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种【例32】某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿，再从5所一般大学中选3所填在第二档次的3个志愿栏内，其中，校必选，且B在C前，问此考生共有种不同的填表方法（用数B C字作答）．递推法【例33】一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？用转换法解排列组合问题【例34】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【例35】6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．【例36】从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的取法．【例37】某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【例38】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．.板块八.排列组合问题的常用方法总结2.题库 11【例39】 求()10a b c ++的展开式的项数．【例40】 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【例41】 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？。

题型一 集合的基本运算【例1】若{}|1,I x x x =-∈Z ≥，则I N = ．【例2】已知全集{(,)|R ,R}I x y x y =∈∈，{(1,1)}P =，表示I P ．【例3】若集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==，且A B A =，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或0【例4】若{}{}{},,|,A a b B x x A M A ==⊆=，求B M ．【例5】已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则AB 等于（ ）A ．∅B ．{1,3}-C ．RD ．[1,3]-【例6】若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = ．典例分析板块三.集合的运算N M = N N = N M = N =∅】已知集合{{}22,3,21A a B a a ==-+，若{}3B =-，求实数,B A B ． B =（ ，求R()AB ，R ()A B)U M N ．【例13】已知{}2|43,M y y x x x ==-+∈R ，{}2|28,N y y x x x ==-++∈R ，则__________M N =．【例14】已知{|2820,,}A x x m n m n ==+∈Z ，{|1218,,}B x x m n m n ==+∈Z ，则AB中最小的正整数是 _________．【例15】设2{|20}A x x ax b =-+=，2{|6(2)50}B x x a x b =++++=，若12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，求AB ．【例16】设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若()U A B =∅，求m 的值．【例17】 x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|bya x - =1,a >0,b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是_________【例18】 集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B ∅和A ∩C =∅同时成立N M = N N = N M = N =∅{}2|190A x x =-=，56B x -+={2|2x x x +B ≠∅，C =∅，求实数的值．B A = B B =，则)()B A A B D ．()()()U U U A B A B = 全集{1,2,3,,10}U =，{1,2,3,4,5}A =，{4,5,B ={3,5,7,9}B ，A B ，()U AB ，UA B ，()A B CB =∅，则)()U U A B U = B U =，则)()UUA B =∅B =∅，则A B ==∅个 B ． C ．2个 D ．】设集合{{}{1,21,2,3,2,A C ===B =）C {(,)|B x y y =≠()IA B 等于（A ．∅ B 设集合,,()UU R B A B =.()B C ； ()AB C .)B ，)B ，(()U C C B ，()U C B ，并比较它们的关系()()U U M N 等于________________下列表示图形中的阴影部分的是)()C B C)()B A C )()B B C)B C集{|20I x x =≤且x 为{3,5},{7,19}IIB A B ==，{2,17}IIAB =，求集合BN中有M N中有5I IN中有个元素．则集合N中元素的个数（）IB．4 D．53N。

第一章：集合与简易逻辑讲义第一节：集合的概念Part One ：基础知识（记住有以下6点） 1、集合的概念①集合：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集. ②元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , } ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 3、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5.集合的表示方法：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} ②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分 如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}③文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 6.集合的分类：a:以元素的个数分类：①有限集：含有有限个元素的集合 ②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x b:以元素的种类分：点集，数集，等Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：集合的三大性的考查1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （2）好心的人 （3）1，2，2，3，4，5．2.设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ） （A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4. 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？题型二：集合的表示方法的考查 1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} ②{-2，-4，-6，-8，-10}③{ 1, 5, 25, 125, 625 }= ;④ { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}=2、用列举法表示下列集合 ①{x ∈N|x 是15的约数}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ④},)1(|{N n x x n∈-= ⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x 题型三：集合的分类的考查1、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集第二节：子集 全集 补集（集合与集合的关系） Part One ：基础知识（记住有以下8点）1.子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A :A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A 读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合2.集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B3.真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A4..人为规定：空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A （在考虑集合问题时千万不能忘记空集这个特殊集合） 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆5.含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n 2，所有真子集的个数是n 2-1，非空真子集数为2-n6.易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合 如 Φ⊆{0}Φ={0}，Φ∈{0} 7、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示8. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作AC S ，即CSA=},|{A x S x x ∉∈且 2、性质：CS （CSA ）=A ，CSS=φ，CS φ=S Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：对子集等基本概念的考查1. 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示2.判断下列写法是否正确①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A 3.（1）填空：N___Z, N___Q, R___Z, R___Q ， Φ___{0}（2）若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ⊆B 正确吗？ （3）是否对任意一个集合A ，都有A ⊆A ，为什么？ （4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A ，高一年级同学组成的集合B ，则A 、B 的关系为 . 题型二：利用集合的关系来求解具体问题（重点！）1．若{}{}A B m x m x B x x A ⊆+≤≤-=≤≤-=,112|,43|，求是实数m 的取值范围.)1(-≥m2．已知{}{}A C B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆ 题型三：全集与补集有关问题1.已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求C U A2. 已知S ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x ≤1｝，B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，讨论A 与C S B 的关系Part Three ：练习1、已知全集U ＝｛x ｜－1＜x ＜9｝，A ＝｛x ｜1＜x ＜a ｝，若A ≠φ，则a 的取值范围是 （A ）a ＜9 （B ）a ≤9 （C ）a ≥9 （D ）1＜a ≤92、已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a2－a ＋2｝如果CUA ＝｛－1｝，那么a 的值为3、已知全集U ，A 是U 的子集，φ是空集，B ＝CUA ，求CUB ，CU φ，CUU4、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求CUA.5、已知U=R ，A=｛x|x2+3x+2<0｝, 求CUA.6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求CUA.7、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=CUN ，N=CUP ，则M 与P 的关系是（ ） M=CUP ，（B ）M=P ，（C ）M ⊇P ，（D ）M ⊆P.8、设全集U={2,3,322-+a a },A={b,2},A C U ={b,2},求实数a 和b 的值.9.已知S ＝｛a ，b ｝，A ⊆S ，则A 与CSA 的所有组对共有的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （D ）10..设全集U （U ≠φ），已知集合M 、N 、P ，且M ＝CUN ，N ＝CUP ，则M 与P 的关系是 11..已知U=﹛（x ，y ）︱x ∈﹛1，2﹜，y ∈﹛1，2﹜﹜，A=﹛（x ，y ）︱x-y=0﹜，求UA12..设全集U=﹛1，2，3，4，5﹜，A=﹛2，5﹜，求U A 的真子集的个数13. 若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB= .14.. 已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B= 15.. 已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x ∈U}，求CUA 、m 第二节:交集和并集Part One ：基础知识（记住有以下6点）1．交集的定义 一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A B （读作‘A 交B ’）， 即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}． 2．并集的定义 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’）， 即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝． 3..交集、并集的性质 用文图表示 (1)若A ⊇B,则A B=B, A B=B(2)若A ⊆B 则A B=A A B=A(3)若A=B, 则A A=A A A=A(4)若A,B 相交，有公共元素，但不包含 则A B A,A B B A BA, A BB(5) )若A,B 无公共元素，则A B=Φ①交集的性质 (1)A A=A A Φ=ΦA B=B A (2)A B ⊆A, A B ⊆B ．BA②并集的性质 (1)A A=A (2)A Φ=A (3)A B=B A (4)A B ⊇Ａ,A B ⊇B 联系交集的性质有结论：Φ⊆A B ⊆A ⊆A B ．4. 德摩根律：(CuA) (CuB)= Cu (A B), (CuA) (CuB)= Cu(A B)(可以用韦恩图来理解)． 结合补集，还有①A (CuA)=U, ②A (CuA)= ΦPart Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：基础的交集与并集的计算：注意数集的交集和并集运算的图像法 例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.例2 设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B.例3 A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.例4设A=｛x|x 是锐角三角形｝，B=｛x|x 是钝角三角形｝，求A B.例5设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B. 例6设A=｛(x,y)|y=-4x+6｝,｛(x,y)|y=5x-3｝,求A B.例7已知A 是奇数集,B 是偶数集，Z 为整数集，求A B,A Z,B Z,A B,A Z,B Z.8 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1()B C A U ⋂{},8,1=()BA C U ⋂{}6,2= ()(){},7,4=⋂BC A C U U 则集合A=例9．设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又A B={9},求实数m 的值.例10.设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又A B={3，5}，A ∩B={3}，求实数a,b,c 的值.. 例11. 已知集合A={y|y=x2-4x+5},B={x|y=x -5}求A ∩B,A ∪B ．Part Three ：练习1．P=｛a2,a+2,-3｝,Q=｛a-2,2a+1,a2+1｝,P Q=｛-3｝,求a ．2..已知全集U=A B=｛1,3,5,7,9｝,A (CUB)=｛3,7｝, (CUA) B=｛5,9｝.则A B=____．3 已知A ＝{x| x2－ax ＋a2－19=0}, B={x| x2－5x ＋8=2}, C={x| x2＋2x －8=0},若ο/⊂A ∩B ，且A ∩C ＝ο/，求a 的值4.. 已知元素(1, 2)∈A ∩B ，并且A ＝{(x, y)| mx －y2＋n=0},B={(x, y)| x2－my －n=0},求m, n 的值5. 已知集合A={x|x2+4x-12=0}、B={x|x2+kx-k=0}.若B B A = ，求k 的取值范围6. 若集合M 、N 、P 是全集S 的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A.P N M )( B ．P N M )( C ．P C N M S )( D ．P C N M S )(集合中段测试 一、选择题1、下列六个关系式：①{}{}a b b a ,,⊆ ②{}{}a b b a ,,= ③Φ=}0{ ④}0{0∈ ⑤}0{∈Φ ⑥}0{⊆Φ 其中正确的个数为( ) (A) 6个 (B) 5个 (C) 4个 (D) 少于4个 2．下列各对象可以组成集合的是（ ）MN P第9题（A ）与1非常接近的全体实数 （B ）某校2002-2003学年度笫一学期全体高一学生 （C ）高一年级视力比较好的同学 （D ）与无理数π相差很小的全体实数3、已知集合P M ,满足M P M = ，则一定有（ ）(A) P M = (B)P M ⊇ (C) M P M = (D) P M ⊆4、集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 的元素个数为（ ） (A)10个 (B)8个 (C)18个 (D) 15个5．设全集U=R ，M={x|x.≥1}， N ={x|0≤x<5},则（C U M ）∪（C U N ）为（ ）（A ）{x|x.≥0} （B ）{x|x<1 或x≥5} （C ）{x|x≤1或x≥5} （D ）{x| x 〈0或x≥5 }6．设集合{}x A ,4,1=，{}2,1x B =，且{}x B A ,4,1=⋃，则满足条件的实数x 的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个.7．已知集合M ⊆{4,7,8},且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个8．已知全集U ＝{非零整数}，集合A ＝{x||x+2|>4, x ∈U}, 则C U A ＝（ ） （A ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 } （B ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 } （C ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 } （D ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 }9、已知集合{}}8,7,3{},9,6,3,1{,5,4,3,2,1,0===C B A ，则C B A )(等于 (A){0,1,2,6} (B){3,7,8,} (C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}10、满足条件{}{}1,01,0=A 的所有集合A 的个数是（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个11、如右图，那么阴影部分所表示的集合是（ ）(A))]([C A C B U (B))()(C B B A (C))()(B C C A U (D)B C A C U )]([ 12．定义A －B={x|x ∈A 且x ∉B}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，则A －（A －B ）等于（ ）(A)B (B){}3,2 (C) {}5,4,1 (D) {}6 二．填空题13．集合P=(){}0,=+y x y x ，Q=(){}2,=-y x y x ，则A ∩B= 14．不等式|x-1|>-3的解集是 15．已知集合A= 用列举法表示集合A=16 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1(){},8,1=⋂B C A U {},6,2=B ()(){},7,4=⋂B C A C U U 则集合A= 三．解答题17．已知集合A={}.,0232R a x ax R x ∈=+-∈1）若A 是空集，求a 的取值范围； 2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； 3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围18．已知全集U=R ，集合A={},022=++px xx {},052=+-=q x x x B {}2=⋂B A C U 若，试用列举法表示集合A集合单元小结基础训练 参考答案C ；2．B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.C ；7.D ；8.B ；9.C ；10.D ；11.C ；12.B;13. (){}1,1-; 14.R; 15. {}5,4,3,2,0; 16{}8,5,3,1 ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈N x17.1)a>89 ; 2）a=0或a=89；3）a=0或a≥89 18.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,319*．CUA={}321≤≤=x x x 或 CUB={}2=x x A ∩B=A A ∩（CUB ）=φ （CUA ）∩B={}3212≤<=x x x 或1 20*． a=－1或2≤a≤3.。

【最新整理，下载后即可编辑】集合一、章节结构图123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩二、复习指导1．新课标知识点梳理在高中数学中，集合的初步知识与常用逻辑用语知识，与其它内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，准确表述数学内容，更好交流的基础．集合知识点及其要求如下：1．集合的含义与表示(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．1集合的概念及其运算(一)(一)复习指导本节主要内容：理解集合、子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，会用集合的有关术语和符号表示一些简单\的集合．高考中经常把集合的概念、表示和运算放在一起考查．因此，复习中要把重点放在准确理解集合概念、正确使用符号及准确进行集合的运算上．1．集合的基本概念(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合．集合中每个对象叫做这个集合的元素．集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作．(3)集合可分为有限集与无限集．(4)集合常用表示方法：列举法、描述法、大写字母法、图示法及区间法．(5)元素与集合间的关系运算；属于符号记作“∈”；不属于，符号记作“∉”．2．集合与集合的关系对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含集合A，记作A⊆B(读作A包含于B)，这时也说集合A是集合B的子集．也可以记作B⊇A(读作B包含A)①子集有传递性，若A⊆B，B⊆C，则有A⊆C.②空集是任何集合的子集，即⊆A③真子集：若A⊆B，且至少有一个元素b∈B，而b∉A，称A是B的真子集．记作A B(或B∉A)．④若A⊆B且B⊆A，那么A=B⑤含n(n∈N*)个元素的集合A的所有子集的个数是：2的n次方个．(二)解题方法指导例1．选择题：(1)不能形成集合的是( )(A)大于2的全体实数(B)不等式3x －5＜6的所有解(C)方程y =3x +1所对应的直线上的所有点(D)x 轴附近的所有点(2)设集合62},23|{=≥=x x x A ，则下列关系中正确的是( )(A)x A (B)x ∉A (C){x }∈A (D){x }A(3)设集合},214|{},,412|{Z Z ∈+==∈+==k k x x N k k x x M ，则( ) (A)M =N(B)M N (C)M N (D)M ∩N =例2．已知集合}68{N N ∈-∈=x x A ，试求集合A 的所有子集．例3．已知A ={x ｜－2＜x ＜5}，B ={x ｜m +1≤x ≤2m －1}，B ≠，且B ⊆A ，求m 的取值范围．例4*．已知集合A ={x ｜－1≤x ≤a }，B ={y ｜y =3x －2，x ∈A }，C ={z ｜z =x 2，x ∈A }，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围．1．2集合的概念及其运算(二)(一)复习指导(1)补集：如果A ⊆S ，那么A 在S 中的补集s A ={x ｜x ∈S ，且x ≠A }．(2)交集：A ∩B ={x ｜x ∈A ，且x ∈B }(3)并集：A ∪B ={x ｜x ∈A ，或x ∈B }这里“或”包含三种情形：①x ∈A ，且x ∈B ；②x ∈A ，但x ∉B ；③x ∈B ，但x ∉A ；这三部分元素构成了A ∪B(4)交、并、补有如下运算法则全集通常用U 表示．U (A ∩B )=(U A )∪(U B )；A ∩(B ∪C )=(A ∩B )∪(A ∩C )(A∪B)=(U A)∩(U B)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)U(5)集合间元素的个数：card(A∪B)=card(A)+card(B)－card(A∩B)集合关系运算常与函数的定义域、方程与不等式解集，解析几何中曲线间的相交问题等结合，体现出集合语言、集合思想在其他数学问题中的运用，因此集合关系运算也是高考常考知识点之一．(二)解题方法指导例1．(1)设全集U={a，b，c，d，e}．集合M={a，b，c}，集合N={b，d，e}，那么(U M)∩(U N)是( )(A)(B){d} (C){a，c} (D){b，e}(2)全集U={a，b，c，d，e}，集合M={c，d，e}，N={a，b，e}，则集合｛a，b}可表示为( )(A)M∩N(B)(U M)∩N(C)M∩(U N) (D)(U M)∩(U N)例2．如图，U是全集，M、P、S为U的3个子集，则下图中阴影部分所表示的集合为( )(A)(M∩P)∩S(B)(M∩P)∪S(C)(M∩P)∩(U S) (D)(M∩P)∪(U S)例3．(1)设A={x｜x2－2x－3=0}，B={x｜ax=1}，若A∪B=A，则实数a 的取值集合为____；(2)已知集合M={x｜x－a=0}，N={x｜ax－1=0}，若M∩N=M，则实数a 的取值集合为____．例4．定义集合A－B={x｜x∈A，且x B}．(1)若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}则N－M等于( )(A)M(B)N(C)｛1，4，5 } (D){6}(2)设M、P为两个非空集合，则M－(M－P)等于( )(A)P(B)M∩P(C)M∪P(D)M例5．全集S={1，3，x3+3x2+2x}，A={1，|2x－1|}.如果sA={0}，则这样的实数x是否存在?若存在，求出x；若不存在，请说明理由．例 题 解 析1．1 集合的概念及其运算(1)例1分析：(1)集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的；(2)注意“∈”与“⊆”以及x 与{x }的区别；(3)可利用特殊值法，或者对元素表示方法进行转换．解：(1)选D ．“附近”不具有确定性．(2)选D ．(3)选B ． 方法一：N M ∉∉21,21故排除(A)、(C)，又N ∉∉43,43M ，故排除(D)． 方法二：集合M 的元素.),12(41412Z ∈+=+=k k k x 集合N 的元素=+=214k x Z ∈+k k ),2(41．而2k ＋1为奇数，k ＋2为全体整数，因此M N ．小结：解答集合问题，集合有关概念要准确，如集合中元素的三性；使用符号要正确；表示方法会灵活转化．例2分析：本题是用{x ｜x ∈P }形式给出的集合，注意本题中竖线前面的代表元素x ∈N ．解：由题意可知(6－x )是8的正约数，所以(6－x )可以是1，2，4，8；可以的x 为2，4，5，即A ={2，4，5}．∴A 的所有子集为，{2}，{4}，{5}，{2，4}，{2，5}，{4，5}，{2，4，5}．小结：一方面，用{x ｜x ∈P }形式给出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；另一方面，含n (n ∈N*)个元素的集合A 的所有子集的个数是：+++210n nn C C C n n n C 2=+ 个． 例3分析：重视发挥图示法的作用，通过数轴直观地解决问题，注意端点处取值问题．解：由题设知⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m ， 解之得，2≤m ＜3．小结：(1)要善于利用数轴解集合问题．(2)此类题常见错误是：遗漏“等号”或多“等号”，可通过验证“等号”问题避免犯错．(3)若去掉条件“B ≠”，则不要漏掉⊆A 的情况．例4*分析：要首先明确集合B 、C 的意义，并将其化简，再利用C ⊆B 建立关于a 的不等式．解：∵A ＝[－1，a ]，∴B ={y ｜y =3x －2，x ∈A }，B =[－5，3a －2]⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤-=∈==∴1],,0[10],1,0[01],1,[}.,|{222a a a a a C A x x z z C (1)当－1≤a ＜0时，由C ⊆B ，得a 2≤1≤3a －2无解；(2)当0≤a ＜1时，1≤3a －2，得a =1；(3)当a ≥1时，a 2≤3a －2得1≤a ≤2综上所述，实数a 的取值范围是[1，2]．小结：准确理解集合B 和C 的含义(分别表示函数y =3x －2，y =x 2的值域，其中定义域为A )是解本题的关键．分类讨论二次函数在运动区间的值域是又一难点．若结合图象分析，结果更易直观理解．1．2 集合的概念及其运算(2)例1分析：注意本题含有求补、求交两种运算．求补集要认准全集，多种运算可以考虑运算律．解：(1)方法一：∵U M ={b ，c }，U N ={a ，c } ∴(U M )∩(U N )=，答案选A方法二：(U M )∩(U N )= U (M ∪N )=∴答案选A方法三：作出文氏图，将抽象的关系直观化．∴答案选A(2)同理可得答案选B小结：交、并、补有如下运算法则U (A ∩B )=(U A )∪(U B )；A ∩(B ∪C )=(A ∩B )∪(A ∩C )U (A ∪B )=(U A )∩(U B )；A ∪(B ∩C )=(A ∪B )∩(A ∪C )例2分析：此题为通过观察图形，利用图形语言进行符号语言的转化与集合运算的判断．解：∵阴影中任一元素x 有x ∈M ，且x ∈P ，但x ∉S ，∴x ∈U S ．由交集、并集、补集的意义．∴x ∈(M ∩P )∩(U S )答案选D ．小结：灵活进行图形语言、文字语言、符号语言的转化是学好数学的重要能力．例3解：(1)由已知，集合A ={－1，3}， ⎪⎩⎪⎨⎧=/=∅=0}1{0a a a B ∵A ∪B =A 得B ⊆A∴分B =和}1{a B =两种情况．当B ＝时，解得a =0；当}1{a B =时，解得a 的取值}31,1{- 综上可知a 的取值集合为⋅-}31,1,0{ (2)由已知，⎪⎩⎪⎨⎧=/=∅==0}1{0},{a aa N a M ∵M ∩N =M ⇔M ⊆N当N =时，解得a =0；M ={0} 即M ∩N ≠M ∴a =0舍去当}1{aN =时，解得11±=⇔=a aa 综上可知a 的取值集合为{1，－1}．小结：(Ⅰ)要重视以下几个重要基本关系式在解题时发挥的作用：(A ∩B )⊆A ，(A ∩B )⊆B ；(A ∪B )⊇A ，(A ∪B )⊇B ；A ∩U A =，A ∪U A =U ；A ∩B =A ⇔A ⊆B ，A ∪B =B ⇔A ⊆B 等．(Ⅱ)要注意是任何集合的子集．但使用时也要看清题目条件，不要盲目套用．例4解：(1)方法一：由已知，得N －M ={x ｜x ∈N ，且x ∉M }={6}，∴选D方法二：依已知画出图示∴选D ．(2)方法一：M －P 即为M 中除去M ∩P 的元素组成的集合，故M －(M －P )则为M 中除去不为M ∩P 的元素的集合，所以选B ．方法二：由图示可知M =(M ∩P )∪(M －P )选B ．方法三：计算(1)中N－(N－M)={2，3}，比较选项知选B．小结：此题目的检测学生的阅读理解水平及适应、探索能力，考查学生在新情境中分析问题解决问题的能力．事实证明，虽然这类问题内容新颖，又灵活多样，但其涉及的数学知识显得相对简单和基础，要勇于尝试解题．例5*解：假设这样的x存在，∵S A={0}，∴0∈S，且｜2x－1｜∈S．易知x3＋3x2＋2x＝0，且｜2x－1｜=3，解之得，x=－1．当x=－1时，S={1，3，0}，A={1，3}，符合题设条件．∴存在实数x=－1满足S A={0}．。

题型一：数学归纳法基础【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111111112()2341242n n n n-+-++=+++-++时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）A.n=k+1时命题成立B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立D. n=2（k+2）时命题成立【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=8时该命题不成立D ．当n=8时该命题成立【例4】利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 132++k k【例5】用数学归纳法证明),1(11122*+∈≠--=++++N n a aa a a a n n，在验证n=1时，典例分析板块三.数学归纳法1n a +，证明：当题型三：证明恒等式与不等式1tan 2n ++b 、c ，使等式)1(2n n +arctan+2)(12(2-n n 1，．证明：对任意，，已知t∈R，∈N．*)11n n a a +++2)2=；②)(y f n b +求证：为偶数．。