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第九章 图9.1设},,,,{y x w v u V =，画出图),(E V G =，其中：（1）)},(),,(),,(),,(),,{(y x y v w v x u v u E =（2）)},(),,(),,(),,(),,{(y x y w x w w v v u E =再求各个顶点的度数。
解（1）见图9.1(a )。
其中顶点u 的度数是2，顶点v 的度数是3，顶点x 的度数是2，顶点y 的度数是2，顶点w 的度数是1。
图9.1 习题1图（2）见图9.1(b )。
其中顶点u 的度数是1，顶点v 的度数是2，顶点x 的度数是2，顶点y的度数是2，顶点w 的度数是3。
9.2 设G 是具有4个顶点的完全图。
（1）画出图G 。
（2）画出G 的所有互不同构的生成子图？解（1）如图9.2(1)所示。
图9.2(1) 习题2图（2） 如图9.6(2)所示﹒ ﹒ ﹒ ﹒ ﹒ ﹒图9.2(2) 习题2图9.3 一个无向简单图，如果同构于它的补图，则称这个图为自互补图。
（1）试画出五个顶点的自互补图。
（2）证明一个自互补图一定只有k 4或14+k 个顶点（k 为整数）。
解（1）(a) (b)图9.3 习题3图 （2）因为n 个顶点的无向完全图有)1(21-n n 条边，所以自互补图有)1(41-n n 条边，因此，k n 4=或14+k 。
9.4 画出两个不同构的简单无向图。
每一个图都仅有6个顶点，且每个顶点都均是3度，并指出这两个图为什么不同构。
解图9.4 习题9.4图9.5 证明任意两个同构的无向图，一定有一个同样的顶点度序列。
顶点度序列是一组按大小排列的正整数。
每一个数对应某一个顶点的度数。
证明两个同构的无向图，度数相同的顶点数目一定相同，这样才能够建立起顶点之间的一一对应关系，进而建立起边的对应关系。
所以，任意二个同构的无向图，一定有一个同样的顶点度序列。
9.6图9.6中所给的图(a )与图(b )是否同构？为什么？(a )(b ) 图9.6 习题6图 解左图9.2（a ）中次数为4的点，与3个度数为1，一个度数为2的顶点相邻接，右图9.2（b ）中度数为4的点，却与3个度数为1，一个度数为3的顶点相邻接。
习题91. 设G 是一个(n ，m)简单图。
证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。
证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。
根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。
（2） =〉G 是完全图 因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。
所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。
G 是完全图 =〉 因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数 。
■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。
与题设m = n+1，矛盾。
因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。
因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。
可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。
最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。
下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。
