下载文档原格式
2005年浙江省温州市高考数学一模试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. lim x →+∞(12)x=( ) A 0 B 12 C 1 D 不存在2. 已知直线l 的方程是Ax +By +C =0，与直线l 垂直的一条直线的方程是（ ）A Ax −By +C =0B Ax +By −C =0 C Bx −Ay +C =0D Bx +Ay +C =0 3. 已知角θ的终边过点(4, −3)，则cosθ＝（ ） A 45B −45C 35D −354. 函数y =(x −1)2(x ≤1)的反函数是（ ）A y =1+√x(x ≥0)B y =1−√x(x ≥0)C y =1+√x(x ≤1)D y =1−√x(x ≤1)5. 用i 表示虚数单位，则1+i +i 2+...+i 2005=( ) A 0 B 1 C i D 1+i6. 函数y =|lg(x −1)|的图象是( )A B C D7. 已知{a n }是等比数列，a 2−a 1=1，a 5−a 4=8，则{a n }的公比是（ ） A 1 B 2 C −2 D 2或−28. 当x ，y 满足{|x −1|≤1y ≥0y ≤x +1时，则t =x +y 的最大值是（ ）A 1B 2C 3D 59. 已知abcd >0，命题p:ca >db ，命题q:bd >ac ．则命题p 是命题q 的（ ）A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件10. 已知P(2, 0)，对于抛物线y 2=mx 上任何一点Q ，|PQ|≥2，则m 的取值范围是（ ） A (0, 4] B (−∞, 0)∪(0, 4] C [4, +∞) D (−∞, 0)∪[4, +∞)11. 已知A ，B ，C 不共线，OA →+2OB →+3OC →=0→，则∠AOB 、∠BOC 、∠COA 中（ ） A 至少有一个是锐角 B 至少有两个是钝角 C 至多有一个是钝角 D 三个都是钝角12. 已知P 是正四面体S −ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在题中横线上.13. 设集合A={5, 2a}，B={a, b}，A∩B={8}，则A∪B=________．14. 已知△ABC中，∠B=π，AC=√3，BC=1，则∠A=________．315. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：（1）若m⊥α，n // α，则m⊥n．（2）若m⊥n，n // α，则m⊥α．（3）若m⊥α，α // β，则m⊥β．（4）若m⊥α，m⊥β，则α // β．其中正确命题的序号是________（写出所有正确命题的序号）16. 定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项和它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列．这个常数叫做等积数列的公积．已知{a n}是等积数列，且a1=1，公积为2，则这个数列的前n项的和S n=________．三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知f(x)=2√3cos2x+sin2x（1）求f(x)的最小正周期．]时，求f(x)的最大值和最小值．（2）当x∈[0,π218. “好运道”商店举行抽奖促销活动，规定一位顾客可以从0、1、2、…、9这10个号码中抽出5个不同的号码，若有4个以上的号码与中奖号码相同（不计顺序），则有现金奖励，如方框中广告所示．某人买一件商品，若在该商店买，价格是730元，获一次抽奖机会；若在其它商店买，价格是700元．（1）、求参加抽奖，获5000元奖金的概率．（2）、请你利用概率的知识，分析该顾客是否应该在“好运道”商店购买该商品？19. 已知四棱锥P−ABCD．四边形ABCD是边长为1的正方形，PA⊥面ABCD．(I)求证：PC⊥DB．(II)试问：当AP的长度为多少时，二面角D−PC−A的大小为60∘？20. 已知点A(5, 0)和⊙B ：(x +5)2+y 2=36，P 是⊙B 上的动点，直线BP 与线段AP 的垂直平分线交于点Q ．（1）证明点Q 的轨迹是双曲线，并求出轨迹方程． （2）若(BQ →+BA →)⋅QA →=0，求点Q 的坐标．21. 已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项的和．对于任意的n ∈N ∗，都有4S n =(a n +1)2．（1）求数列{a n }的通项公式．（2）若2n ≥tS n 对于任意的n ∈N ∗ 恒成立，求实数t 的最大值． 22. 已知函数f(x)=lnx−2x−4+x4（1）求f(x)的极．（2）求证f(x)的图象是中心对称图形．（3）设f(x)的定义域为D 是否存在[a, b]⊆D ．当x ∈[a, b]时，f(x)的取值范围是[a4，b4]？若存在，求实数a 、b 的值；若不存在，说明理由．2005年浙江省温州市高考数学一模试卷答案1. A2. C3. A4. B5. D6. C7. B8. C9. A 10. D 11. B 12. B13. {3, 5, 8} 14. π615. （1）（3）（4）16. {3n2，n 是正偶数3n−12，n 是正奇数17. 解：∵ f(x)=2√3cos 2x +sin2x =√3cos2x +sin2x +√3=2cos(2x −π6)+√3(I)f(x)的周期是π．(8′)（2） 当x ∈[0,π2]时，−π6≤2x −π6≤5π6．所以当x =π12时，f(x)取到最大值2+√3 (10′)当x =π2时，f(x)取到最小值0．(12′)18. 解：（1）获5000元奖金的概率为：1C 105=1252．(4′)（2）获100元奖金的概率为：C 105˙=25252(8′)．所以参加抽奖所得奖金值的数学期望是5000252+100×25252<20+10=30，该顾客不应该在“好运道”商店购买该商品．（算出期望，指出期望接近30，但有获5000元的机会，应该在“好运道”商店购买该商品，也得满分）(12′) 19. 解：（方法1）以A 为原点，AD 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，以四边形ABCD 的边长为单位长度建立空间直角坐标系．设P(0, 0, ℎ)．(I)PC →=(1,1,−ℎ)，DB →=(−1,1,0)，PC →⋅DB →=(1,1,−ℎ)⋅(−1,1,0)=0，所以PC ⊥DB ．(4′)(II)∵ PA ⊥面ABCD ，∴ PA ⊥DB ．又PC ⊥DB ，∴ DB ⊥面CPA ，所以面CPA 的一个法向量是DB →=(−1,1,0)．(6′) DP →=(−1,0,ℎ)，DC →=(0,1,0)． 设面CPD 的一个法向量为ℎ→=(x,y,1)，则有DP →⋅ℎ→=(−1,0,ℎ)⋅(x,y,1)=−x +ℎ=0，DC →⋅ℎ→=(0,1,0)⋅(x,y,1)=y =0．所以ℎ→=(ℎ,0,1)．(8′)cos⟨ℎ→，DB →>=√2(ℎ2+1)=√2(ℎ2+1)．(10′)由于二面角D −PC −A 的平面角与⟨ℎ→，DB →>相等或互补，∴√2(ℎ2+1)=cos60∘=12，∴ ℎ=1．即当AP 的长度为1时，二面角D −PC −A 的大小为60∘(12′)（方法2）(I)∵ PA ⊥面ABCD∴ PC 在面ABCD 内的射影是AC ．四边形ABCD 是正方形，∴ AC ⊥BD ，由三垂线定理得PC ⊥BD ．(4′)(II)设AC 、BD 交于E ．在面CPA 内，作EF ⊥CP 于F ，连接DF ． ∵ PA ⊥面ABCD ，∴ PA ⊥DB ．又PC ⊥DB ，∴ DB ⊥面CPA ，EF 是DF 在面CPA 上的射影，由三垂线定理得DF ⊥CP ．∠DEF 就是二面角A −PD′−C 的平面角(8′)． 由△CFE ∼△CAP ，得EF =AP⋅CE CP=AP⋅√22√AP 2+2，∴ tan∠DFE =AP √AP 2+2=√33． 解得AP =1．即当AP 的长度为1时，二面角D −PC −A 的大小为60∘．(12′)20. 解：（1）∵ 点Q 在线段AP 的垂直平分线上， ∴ |QP|=|QA|，∴ ||BQ|−|PQ||=||BQ|−|AQ||=6．∴ 点Q 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线．(4′) 其轨迹方程是x 29−y 216=1．(7′)（2）以A 、B 、Q 为三个顶点作平行四边形ABQC ， 则BQ →+BA →=BC →∵ (BQ →+BA →)⋅QA →=0， ∴ BC →⋅QC →=0，∴ 平行四边形ABQC 是菱形， ∴ |BA →|=|BQ →|．(8′)∴ 点Q 在圆(x +5)2+y 2=100上． 解方程组{(x +5)2+y 2=100x 29−y 216=1．(10′) 得Q(−395，±485)或Q(215，±8√65)．(12′)21. 解：（1）∵ 4S 1=4a 1=(a 1+1)2，∴ a 1=1．当n ≥2时，4a n =4S n −4S n−1=(a n +1)2−(a n−1+1)2，∴ 2(a n +a n−1)=a n 2−a n−12，又{a n }各项均为正数， ∴ a n −a n−1=2．数列{a n }是等差数列， ∴ a n =2n −1．( 2)S n =n 2，若2n≥tS n 对于任意的n ∈N ∗恒成立，则t ≤min{2nn 2}．令b n =2nn 2，．当n ≥3时，b n+1b n=2n 2(n+1)2=n 2+(n−1)n+n n 2+2n+1>1．又b 1=2，b 2=1，b 3=89， ∴ min{b n }=min{2nn2}=89．∴ t 的最大值是89．22. 解：（1）f /(x)=x(x−6)4(x−2)(x−4)．(2′)注意到x−2x−4>0，得x ∈(−∞, 2)∪(4, +∞)， 解x(x−6)4(x−2)(x−4)=0得x =6或x =0．当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(0)=ln 12是f(x)的一个极大值，f(6)=ln2+32是f(x)的一个极大值..(4′) （2）点（0, f(0)），（6, f(6)）的中点是(3,34)，所以f(x)的图象的对称中心只可能是(3,34)．(6′)设P （x, f(x)）为f(x)的图象上一点，P 关于(3,34)的对称点是Q(6−x,32−f(x))．∵ f(6−x)=ln4−x 2−x+6−x 4=32−f(x)．∴ Q 也在f(x)的图象上，因而f(x)的图象是中心对称图形．(8′) （3）假设存在实数a 、b ．∵ [a, b]⊆D ，∴ b <2或a >4． 若0≤b <2，当x ∈[a, b]时，f(x)≤f(0)=ln 12<0，而b4≥0 ∴ f(x)≠b4．故此时f(x)的取值范围是不可能是[a4，b 4]．(10′) 若4<a ≤6，当x ∈[a, b]时，f(x)≥f(6)=ln2+32>32，而a4≤32 ∴ f(x)≠a4．故此时f(x)的取值范围是不可能是[a4，b 4]．(12′)若a <b <0或6<a <b ，由g(x)的单调递增区间是(−∞, 0)，(6, +∞)， 知a ，b 是f(x)=x4的两个解．而f(x)−x4=ln x−2x−4=0无解． 故此时f(x)的取值范围是不可能是[a4，b4]．(14′) 综上所述，假设错误，满足条件的实数a 、b 不存在．。
2005年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案（河南安徽山西海南）布谷鸟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页3到10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径kn kkn n P P C k P --=)1()(一、选择题 （1）复数ii 2123--=（A ）i （B ）i - （C ）i -22 （D ）i +-22（2）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I（B ）123I I S C S C S ⊆⋂（）（C ）123I I I C S C S C S ⋂⋂=Φ（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（A ）π28（B ）π8（C ）π24（D ）π4（4）已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（A ）），（2222- （B ）），（22-（C ）），（4242-（D ）），（8181- （5）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）23 （6）已知双曲线)0( 1222>=-a yax 的一条准线与抛物线x y62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（A ）23 （B ）23 （C ）26 （D ）332（7）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin82cos 1)(2++=的最小值为（A ）2（B ）32 （C ）4（D ）34（8）设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图像为下列之一则a 的值为 （A ）1（B ）1-（C ）251-- （D ）251+-（9）设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞ （C ）)3log,(a-∞ （D ）),3(log+∞a（10）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（A ）2 （B ）23 （C ）223 （D ）2（11）在ABC ∆中，已知C B A sin 2tan=+，给出以下四个论断：①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cossin22=+B A ④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 （A ）①③ （B ）②④ （C ）①④（D ）②③ （12）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（A ）18对（B ）24对（C ）30对（D ）36对第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 3．本卷共10小题，共90分二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上（13）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = )3010.02l g ≈（14）9)12(xx -的展开式中，常数项为 （用数字作答）（15）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =（16）在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本大题满分12分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 于函数)(x f y =的图像不相切（18）（本大题满分12分）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小（19）（本大题满分12分）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和,2,1( 0 =>n S n（Ⅰ）求q 的取值范围； （Ⅱ）设1223++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小（20）（本大题满分12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种; 若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望（精确到01.0）（21）（本大题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值（22）（本大题满分12分） （Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log)(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）设正数np p p p 2321,,,, 满足12321=++++np p p p ，证明n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121loglogloglog2005年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案（河南安徽山西海南）参考答案一、选择题：1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D二、填空题： 13．155 14．672 15．1 16．①③④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<-（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）证明：∵ 33|||(sin(2))||2cos(2)|244y x x ππ''=-=-≤所以曲线)(x f y =的切线斜率的取值范围为[-2,2]， 而直线025=+-c y x 的斜率为522>，所以直线025=+-c y x 于函数3()sin(2)4y f x x π==-的图像不相切18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力满分12分方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD.（Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ， 则∠PBE 是AC 与PB 所成的角. 连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90°在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==∠∴PBBE PBE.510arccos所成的角为与PB AC ∴（Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM⋅-22)2(，5625223=⨯=∴AN . ∴AB=2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BNAN ABBNANANB故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21.（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC.510,cos ,2,5||,2||=>=<=⋅==PB AC PB AC PB AC 所以故由此得AC 与PB 所成的角为.510arccos（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.4||,||,.555AN BN AN BN ==⋅=-2cos(,).3||||AN BN AN BN AN BN ⋅∴==-⋅2arccos().3-故所求的二面角为19．（Ⅰ）).,0()0,1(+∞⋃-（Ⅱ）0,100,n S q q >-<<>又因为且或1,12,0,;2n n n n q q T S T S -<<->->>所以当或时即120,0,;2n n n n q q T S T S -<<≠-<<当且时即 1,2,0,.2n n n n q q T S T S =-=-==当或时即20．（Ⅰ）ξ的数学期望为:75.3002.030041.020287.010670.00=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE21．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by ax >>=+则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by ax ，化简得02)(22222222=-+-+ba c a cx a xb a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与a 共线，得 ,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴即232222c ba c a =+，所以36.32222a ba cb a =-=∴=，故离心率.36==ac e（II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by ax 可化为.33222b yx =+设),(y x OM =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①由（1）知.21,23,23222221c bc ac x x ===+22．本小题考查数学归纳法及导数应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力满分12分（Ⅰ）解：对函数()f x 求导数：22()(log )[(1)log (1)]f x x x x x '''=+--2211log log (1)ln 2ln 2x x =--+-22log log (1)x x =-- 于是1()02f '=，当12x <时，22()log log (1)0f x x x '=--<，()f x 在区间1(0,)2是减函数，当12x >时，22()log log (1)0f x x x '=-->，()f x 在区间1(,1)2是增函数，所以21)(=x x f 在时取得最小值，1)21(-=f ，（II ）用数学归纳法证明(ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立(ⅱ)假设当n=k 时命题成立即若正数1232,,,,kp p p p 满足12321kp p p p ++++= ，则121222323222log log log log kkp p p p p p p p k ++++≥-当n=k+1时，若正数11232,,,,k p p p p + 满足112321k p p p p +++++= ，令1232kx p p p p =++++11p q x=，22p q x=， (22)k p q =则1232,,,,kq q q q 为正数，且12321kq q q q ++++= ，由归纳假定知121222323222log log log log kkq q q q q q q q k ++++≥-121222323222log log log log k kp p p p p p p p ++++1212223232222(log log log log log )k k x q q q q q q q q x =+++++2()l o g x k x x ≥-+ ①同理，由1212221kk k p p p x ++++++=- ，可得112222*********log log log k k k k k k p p p p p p +++++++++2(1)()(1)log (1)x k x x ≥--+-- ②综合①、②两式11121222323222log log log log k k p p p p p p p p ++++++22()log (1)()(1)log (1)x k x x x k x x ≥-++--+-- 22()log (1)log (1)k x x x x =-++-- 1(1k k ≥--=-+即当n=k+1时命题也成立根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n 命题成立。
2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第I 卷一、选择题：1．设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下面论断正确的是（ ） A ． I S I ∩（S 2∪S 3）= B ．S 1⊆（ I S 2∩ I S 3）C ． I S I ∩ I S 2 ∩ I S 3=D ．S 1⊆（ I S 2∪ I S 3）2．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 （ ）A ．8π2B ．8πC ．4π2D ．4π3．已知直线l 过点（－2，0），当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）A ．)22,22(-B ．)2,2(-C ．)42,42( D ．)81,81(-4．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）A ．32 B ．33C ．34 D ．23 5．已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A ．23 B ．23 C ．26 D ．332 6．当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．4D ．347．设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象下列之一：则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．251-- D ．251+- 8．设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使x x f 的0)(<取值范围是（ ）A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)3log ,(a -∞D ．),3(log +∞a9．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥1||3,1x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ）A ．2B ．23 C ．223 D ．210．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断：①1cot tan =⋅B A ②2sin sin 0≤+<B A ③1cos sin 22=+B A ④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①④D ．②③ 11．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对 12．复数=--ii 2123（ ）A ．iB ．i -C ．i -22D ．i +-22第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 3．本卷共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．若正整数m 满足)3010.02.(lg ________,102105121≈=<<-m m m 则14．9)12(xx -的展开式中，常数项为 .（用数字作答）15．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m= .16．在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则①四边形BFD ′E 一定是平行四边形.②四边形BFD ′E 有可能是正方形.③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形. ④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D.以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设函数)(),0)(2sin()(x f y x f =<<-+=ϕπϕπ图象的一条对称轴是直线.8π=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切.18．（本小题满分12分） 已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB=90°，PA ⊥底面 ABCD ，且PA=AD=DE=21AB=1，M 是PB 的中点. （1）证明：面PAD ⊥面PCD ； （2）求AC 与PB 所成的角；（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小. 19．（本小题满分12分）设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和S n >0（n=1，2，…）（1）求q 的取值范围； （2）设,2312++-=n n n a a b 记}{n b 的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小. 20．（本小题满分12分） 9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望.（精确到0.01） 21．（本小题满分14分） 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ，证明22μλ+为定值.22．（本小题满分12分）（1）设函数)10)(1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （2）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ， 求证.log log log log 222323222121n p p p p p p p p n n -≥++++2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分）1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. 13．155 14．672 15．1 16．①③④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此 由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）证明：,2|)432cos(2||))432(sin(|||≤-='-='ππx x y所以曲线)(x f y =的切线斜率取值范围为[－2，2]，而直线025=+-c y x 的斜率为225>，所以直线025=+-c y x 与函数)432sin(π-=x y 的图像不相切. 18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分. 方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD.（Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90° 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==∠∴PB BE PBE.510arccos所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM ⋅-22)2(， 5625223=⨯=∴AN . ∴AB=2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅⋅>=<=⋅==PB AC PBAC PB AC PB AC PB AC 所以故（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.).32arccos(.32||||),cos(.54,530||,530||--=⋅=∴-=⋅==故所求的二面角为BN AN BNAN BN AN BN AN BN AN19． 本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分. 解：（Ⅰ）因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得 当;0,11>==na S q n 时),2,1(,011,01)1(,11 =>-->--=≠n qqq q a S q nn n 即时当上式等价于不等式组：),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧<-<-n q q n① 或),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧>->-n q q n②解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q<1. 综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃-（Ⅱ）由得1223++-=n a n a a b .)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=于是)123(2--=-q q S S T n n n).2)(21(-+=q q S n.,0,2,21;,0,0221;,0,2211,,001,0n n n n n n n n n n n n n S T S T q q S T S T q q S T S T q q q q S ==-=-=<<-≠<<->>->-<<-><<->即时或当即时且当即时或当所以或且又因为 20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分.（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .87811=-3个坑都不需要补种的概率,670.0)87()81(303=⨯⨯ C恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(81213=⨯⨯C恰有2个坑需要补种的概率为,041.087)81(223=⨯⨯C3个坑都需要补种的概率为.002.0)87()81(0333=⨯⨯C补种费用ξ的分布为ξ的数学期望为75.3002.030041.020287.010670.00=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE21．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力，满分14分.（I ）解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a cba c a c x x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 （II ）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x OM μλ+==由已知得设 ⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴ .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.22．本小题主要考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.（Ⅰ）解：对函数)(x f 求导数：])1(log )1[()log ()(22'--+'='x x x x x f.2ln 12ln 1)1(log log 22-+--=x x ).1(log log 22x x --=于是.0)21(='f当)(,0)1(log log )(,2122x f x x x f x <--='<时在区间)21,0(是减函数， 当)(,0)1(log log )(,2122x f x x x f x >--='>时在区间)1,21(是增函数.所以21)(=x x f 在时取得最小值，1)21(-=f ，（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明.（i ）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.（ii ）假定当k n =时命题成立，即若正数1,,,221221=+++k k p p p p p p 满足， 则.log log log 222222121k p p p p p p k k -≥+++当1+=k n 时，若正数,1,,,11221221=+++++k k p p p p p p 满足 令.,,,,222211221xp q x pq x p q p p p x k k k ===+++= 则k q q q 221,,, 为正数，且.1221=+++k q q q由归纳假定知.log log log 222222121k q q p p p q k k -≥+++kk k k q q q q q q x p p p p p p 222222121222222121log log log (log log log +++=+++,log )()log 22x x k x x +-≥+ ①同理，由x p p p k k k -=++++++1122212 可得1122212212log log ++++++k k k k p p p p).1(log )1())(1(2x x k x --+--≥ ②综合①、②两式11222222121log log log +++++k k p p p p p p).1()1(log )1(log ))](1([22+-≥--++--+≥k x x x x k x x即当1+=k n 时命题也成立.根据（i ）、（ii ）可知对一切正整数n 命题成立. 证法二：令函数那么常数)),,0(,0)((log )(log )(22c x c x c x c x x x g ∈>--+=],log )1(log )1(log [)(222c cxc x c x c x c x g +--+=利用（Ⅰ）知，当.)(,)2(21取得最小值函数时即x g cx c x == 对任意都有,0,021>>x x2log 22log log 21221222121x x x x x x x x ++⋅≥+ ]1)()[log (21221-++=x x x x . ① 下面用数学归纳法证明结论.（i ）当n=1时，由（I ）知命题成立.（ii ）设当n=k 时命题成立，即若正数有满足,1,,,221221=+++k k p p p p p p11111122212212222121221221222222121log log log log .1,,,,1.log log log ++++++++++==++++=-≥+++--k k k k k k k k p p p p p p p p H p p p p p p k n k p p p p p p 令满足时当由①得到,1)()(],1)()[log (]1)()[log (11111121221212221221221=++++-++++-++≥++++++---k k k k k k p p p p p p p p p p p p H 因为由归纳法假设得到,)(log )()(log )(1111212221221221k p p p p p p p p k k k k -≥++++++++++-- ).1()(1121221+-=++++--≥+++k p p p p k H k k 即当1+=k n 时命题也成立. 所以对一切正整数n 命题成立.。
浙江省2005年高三年级五校联考数学试卷（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题，共50分）注意事情项：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，不能答在试题卷上。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的中四选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集U=R ，集合)(},021|{},1|{N M C x x x N x x M U 则≥-+=≥= （ ）A ．{x |x <2}B ．{x |x ≤2}C ．{x |－1<x ≤2}D ．{x |－1≤x <2}2．满足ii z -++=313111的复数z 是（ ）A ．2+iB ．－2+3iC ．2+2iD ．2－i 3．已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ,S 5=2，S 10=6，则a 16+a 17+a 18+a 19+a 20= （ ）A ．8B ．12C ．16D ．244．已知b OB a OA ==, ，C 为线段AB 上距A 较近的于个三等分点，D 为线段CB 上距C 较近的一个三等分点，则用a 、b 表示OD 的表达式为 （ ）A ．)54(91+ B ．)79(161+ C ．)2(31+ D ．)3(41+ 5．已知y=f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=x －1，那么不等式f (x )<21的解集是（ ）A ．{x |0<x <23}B ．{x |－21<x <0}C ．{x |－21<x <0或0<x <23} D ．{x |x <－21或0≤x <23}6．设函数f (x )是偶函数，且对于任意正实数x 满足f (2+x )=－2f (2－x ),已知f (－1)=4,那么f (－3)的值是 （ ） A ．2 B ．－2 C ．8 D ．－87．如图正面四体ABCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．32arcsinC ．60°D ．36arccos8．已知,1sin ,1sin ,0]2,2[,2a a -=-=<+-∈βαβαππβα若且则实数a 的取值范围 是（ ）A ．（－∞，－2）∪（1，+∞）B ．（－2，1）C ．]2,1(D ．]2,0(9．已知点M(m,n)在直线l ：A x +By+C=0（AB ≠0）的右下方，则Am+Bn+C 的值（ ） A ．与A 同号，与B 同号 B ．与A 同号，与B 异号 C ．与A 异号，与B 同号 D ．与A 异号，与B 异号10．已知点A(1,2)，过点(5,－2)且斜率为k 的直线与抛物线y 2=4x 交于点B 、C ，那么△ABC的形状是 （ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．与k 的值有关第Ⅱ卷（非选择题，共100分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请将答案填在题中的横线上） 11．设,)1()1()1()32(1010221010-++-+-+=-x a x a x a a x 则10210a a a a ++++ =12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知),0(9lim112>-=∞→a a n S n n 则当S n 取最大值时n 的值为13．6个不同大小的数按如图形式随机排列，设 ★ ……第一行 第一行这个数为M 1，M 2、M 3分别表示第二、 ★ ★ ……第二行 三行中的最大数，则满足M 1<M 2<M 3的所有 ★ ★ ★ ……第三行 排列的个数是 . 14．若存在正实数x ，使不等式)1ln(1ln xkxx x +≥+成立，则实数k 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，每小题14分，共84分。
2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷 1至2页，第II 卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题共40分） 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）设全集U =R ，集合M ={x | x >1，P ={x | x 2>1}，则下列关系中正确的是 （A ）M ＝P （B ）P ÜM （C ）M ÜP （ D ）U M P =∅ ð （2）“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的（A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥ ，则向量a 与b 的夹角为（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°（4）从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 （A ）π （B ）2π （C ）4π （D ）6π （5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 （A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D ）cos(α+β)<cosα＋cosβ（6）在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 （A ）BC //平面PDF （B ）DF ⊥平面P A E （C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面PAE ⊥平面 ABC（7）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班42人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （A ）124414128C C C （B ）124414128C A A （C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A（8）函数f (x)=cos x（A ）在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减 （B ）在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减 （C ）在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减（D ）在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分。
绝密★考试结束前2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式 台体的体积公式11221()3V h S S S S =++其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+一．选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数sin(2)6y x π=+的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 2．设全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3,4,5P =，{}3,4,5,6,7Q =，则P ICUQ=A ．{}1,2B ．{}3,4,5C ．{}1,2,6,7D ．{}1,2,3,4,5 3．点(1，－1)到直线10x y -+=的距离是( )A ．21 B ． 32C ．22D ．3224．设()1f x x x =--，则1()2f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦( )A ． 12-B ．0C ．12D ．1 5．在54(1)(1)x x +-+的展开式中，含3x 的项的系数是( )A ．-6B ．6C ．－10D ．106．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数138576131810119则取到号码为奇数的频率是A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.377．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①②都是真命题 D ．①②都是假命题8．已知向量(5,3)a x =-r ，(2,)b x =r ，且a b ⊥r r，则由x 的值构成的集合是A ．{}2,3B ．{}1,6-C ．{}2D ．{}69．函数y=ax 2+1的图象与直线y x =相切，则a =A ．18B ．14C ．12D ．110．设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )121112oyx121112oyx121112oyx121112oyxA ．B ．C ．D ．非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（06数列）一、选择题：1．(2005福建文、理)已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64解：由7916a a +=,得a 8=8,∴817844d -==-,∴a 12=1+8×74=15,选(A)2. (2005广东)已知数列{}n x 满足212x x =，)(2121--+=n n n x x x ， ,4,3=n ． 若2lim =∞→n x x ，则=1x （ B ） A ．23B ．3C ．4D ．5解法一：特殊值法，当31=x 时，3263,1633,815,49,2365432=====x x x x x 由此可推测2lim =∞→n x x ，故选B ．解法二：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴)(21211-----=-n n n n x x x x ，21211-=-----n n n nx x x x 即， ∴{}n n x x -+1是以（12x x -）为首项，以21-为公比6的等比数列，令n n n x x b -=+1，则11111211)21()21(2)21)((x x x x q b b n n n n n -=-⋅-=--==---+-+-+=)()(23121x x x x x x n …)(1--+n n x x+-+-+-+=121211)21()21()2(x x x x …11)21(x n --+3)21(32)21(1)21(12111111x x x x n n ---+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+= ∴2323)21(321111lim lim ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-∞→∞→xx x x n x n x ，∴31=x ，故选B . 解法三：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴0221=----n n n x x x ， ∴其特征方程为0122=--a a ，解得 211-=a ，12=a ， nn n a c a c x 2211+=，∵11x x =，212x x =，∴3211x c -=，3212x c =，∴3)21(3232)21(3211111xx x x x n n n --+=+-⋅-=，以下同解法二．3．(2005湖南文)已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a = （ ）A ．0B ．3-C ．3D ．23 [评述]:本题由数列递推关系式,推得数列{a n }是周期变化的,找出规律,再求a 20.【思路点拨】本题涉及数列的相关知识与三角间的周期关系., 【正确解答】[解法一]:由a 1=0,).(1331++∈+-=N n a a a n n n 得a 2=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅==,0,3,343a a由此可知: 数列{a n }是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a 20=a 2=-.3故选B.[解法二]:设tan n n a α=，则1tan tan3tan()31tan tan 3n n nn a y παπαπα+-===-+，则13n n παα=-＋，由10a =可知，00α=，故数列{n α}是以零为首项，公差为3π-的等差数列，20019()3παα=+⨯-，202019tan tan()3a πα==-=选B【解后反思】这是一道综合利用数列内部之间递推关系进行求解的题目.当我们看到有递推式存在时,不要急于通过代入,达到一个个来求解的目的, 如此这般, 既显得过于复杂,同时破坏了数学的逻辑性,而要通过化简,找到最直接的途径.本题中巧妙的逆用了两角和与差的正切公式,得出此数列为等差数列的结论,顺利达到求解的目的.4．(2005湖南理)已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则l i m 21321111()n n n a a a a a a →∞++++---= （ ）A ．2B ．23 C ．1 D ．21[评析]：本题考查了等差数列，等比数列的通项公式和求和公式及数列极限相关交汇知识。
2005年高考浙江理科数学试题及答案本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页，满分150分.考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按能上能下要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.圆柱的侧面积公式：S cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长.球的体积公式：343V R π=，其中R 是球的半径. 球的表面积公式：24S Rπ=，其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式：12241ˆˆ,ni ii ni x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑， 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1.设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤,则M N =A.[1,2）B.[1,2]C.[2,3]D.[2,3]2. 复数22iz i-=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若点(,9)a 在函数3xy =的图像上，则tan6a π的值为 A.0C.14.不等式|5||3|10x x -++≥的解集是A.[-5，7]B.[-4，6]C.(][),57,-∞-+∞D.(][),46,-∞-+∞5.对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图像关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若函数()sin f x x ω=（ω>0）在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A.23B.32C.2D.37.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 4 23 5 销售额y （万元） 49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元8.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆:C 22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为A.22154x y -= B.22145x y -= C.22136x y -= D.22163x y -= 9.函数2sin 2xy x =-的图像大致是10.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A.6B.7C.8D.911.右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是 A.3B.2C.1D.012. 设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=()λ∈ ，1412A A A A μ= （μ∈ ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点(,0),(,0)(,)C c D d c d ∈ 调和分割点(0,0),(1,0)A B ，则下面说法正确的是A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.,C D 可能同时在线段AB 上D. ,C D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 执行右图所示的程序框图，输入2,3,5l m n ===，则输出的y 的值是14.若6(x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 . 15.设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .16. 已知函数()f x =log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数()f x 的零点*0(,1),x n n n ∈+∈ ,则n = ．三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=．（I ）求sin sin CA的值； （II ）若1cos 4B =，2b =，求ABC ∆的面积S .18.（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员,,A B C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立. （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ. 19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90ACB ∠=︒，EA ABCD ⊥平面，//EF AB ，//FG BC ，//EG AC ，2AB EF =.（Ⅰ）若M 是线段AD 的中点，求证：//GM ABFE 平面; （Ⅱ）若2AC BC AE ==,求二面角A BF C --的大小． 20.（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何（Ⅰ）求数列n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和n S ．21.（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞．设该容器的建造费用为y 千元．（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ． （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ．22.（本小题满分14分）已知动直线l 与椭圆:C 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且OPQ ∆的面积OPQ S ∆其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点,,D E G ，使得2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题1—12 ADDDBCBACBAD 二、填空题13．68 14．4 15．(21)2n nxx -+ 16．2三、解答题 17．解：（I ）由正弦定理，设,sin sin sin a b ck A B C=== 则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C Ab k B B ---== 所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C AB B--= 即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-， 化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=，所以sin 2sin C A =因此sin 2.sin CA = （II ）由sin 2sin CA=得2.c a = 由余弦定理22222212cos cos ,2,4144.4b ac ac B B b a a =+-==+-⨯及得4=a解得a=1。
2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（文科）第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )(A)2π(B) π (C) 2π (D) 4π 2．设全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,3,4,5,6,7U P Q ===，则()UP C Q ＝( )(A) {}1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,2,6,7 (D){}1,2,3,4,5 3．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是( )(A)12 (B)324．设()1f x x x =--，则12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝( )(A) 12- (B)0 (C)12(D) 15．在()()5611x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是( ) (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 106．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，在放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是( ) (A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.377．设αβ、为两个不同的平面，l m 、为两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题8．已知向量()()5,3,2,a x b x =-=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是( ) (A){}2,3 (B){}1,6- (C) {}2 (D) {}6 9．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =( )(A)18(B)14 (C)12 (D)110．设集合(){},|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）第Ⅰ卷 (选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．=++++∞→2321lim nnn （ ）A ．2B ．1C ．21D ．0 2．点（1，－1）到直线01=+-y x 的距离是（ ）A ．21B ．23 C ．22 D ．223 3．设=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=)]21([,1||,11,1||,2|1|)(2f f x x x x x f 则（ ）A ．21B ．134 C ．59-D ．4125 4．在复平面内，复数2)31(1i ii+++对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在8765)1()1()1()1(x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是 （ ）A ．74B ．121C ．－74D ．－1216．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且βα⊂⊂m l ,. 有如下两个命 题：①若m l //,//则βα；②若.,βα⊥⊥则m l 那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题7．设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边 界的阴影部分）是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知4-<k ，则函数)1(cos 2cos -+=x k x y 的最小值是 （ ）A ．1B ．－1C ．12+kD ．12+-k9．设})(|{}.7,6,5,4,3{},5,4,3,2,1{),(12)(P n f N n P Q P N n n n f ∈∈===∈+=记， P Q n f N n Q (},)(|{则∈∈= )Q Q ( =)P（ ）A ．{0，3}B ．{1，2}C ．{3，4，5}D ．{1，2，6，7}10．已知向量a ≠e ，|e |=1满足：对任意∈t R ，恒有|a －t e |≥|a －e |. 则 （ ）A ．a ⊥eB ．a ⊥（a －e ）C ．e ⊥（a －e ）D ．（a +e ）⊥（a －e ）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上. 11．函数∈+=x x xy (2R ，且)2-≠x 的反函数是 . 12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E(如图).现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ， 则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于 .13．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 . 14．从集合{O ，P ，Q ，R ，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）.每排中字母O 、Q 和数字0至多只出现一个的不同排法种 数是 （用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知函数.cos sin sin 3)(2x x x x f +-= （Ⅰ）求)625(πf 的值； NDABC（Ⅱ）设ααπαsin ,2341)2(),,0(求-=∈f 的值.16．已知函数)()(x g x f 和的图象关于原点对称，且.2)(2x x x f += （Ⅰ）求函数)(x g 的解析式； （Ⅱ）解不等式.|1|)()(--≥x x f x g17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线x l 与轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|=2∶1. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线11),1|(|:l P x m x l 为>=上的动点，使21PF F ∠最大的点P 记为Q ，求点Q的坐标（用m 表示）.18．如图,在三棱锥P —ABC 中,,,kPA BC AB BC AB ==⊥点O 、D 分别是AC 、PC 的中点,OP ⊥底面ABC.（Ⅰ）求证OD//平面PAB ； （Ⅱ）当21=k 时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小; （Ⅲ）当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心?P19．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球, 从A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p .（Ⅰ）从A 中有放回地摸球, 每次摸出一个, 有3次摸到红球即停止. ( i ) 求恰好摸5次停止的概率; ( ii ) 记5次之内 (含5次) 摸到红球的次数为ξ, 求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.（Ⅱ）若A 、B 两个袋子中的球数之比为1∶2，将A 、B 中的球装在一起后, 从中摸出一个红球的概率是52, 求p 的值.20．设点)2.(),0,(1-n n n n n x P x A 和抛物线),(:2*∈++=N n b x a x y C n n n 其中n n n x n a ,21421----=由以下方法得到：)2,(,1221x P x 点=在抛物线1121:b x a x y C ++=上，点A 1（x 1，0）到P 2的距离是A 1到C 1上的最短距离，……，点)2,(11n n n x P ++在抛物线上n n n b x a x y C ++=2:上，点1)0,(+n n n P x A 到的距离是A n到C n 上点的最短距离. （Ⅰ）求12C x 及的方程；（Ⅱ）证明}{n x 是等差数列.数学试题（理科）参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。
