08第八章习题解答
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第八章习题解答8-1匀质杆AB 长l ，重G ，沿光滑的圆弧轨道运动如图示。
设当OA 在水平位置时，3arcisn =θ，125gl v A =，求此时轨道对于杆AB 的约束力。
题8－1图解：以杆AB 为研究对象，受力分析A F N 、B F N、G 如图示，杆AB 作定轴转动。
∵53arcsin =θ 53sin =∴θ 54cos =θ 25242sin =θ 2572cos =θ ∵ l R 85=、125gl v A = l g R v A 1516==∴ω l OC 83=AB 杆的质心加速度为OC a ⋅=21ω，OC a ⋅=α2 惯性力主矢*F和主矩*M 方向如图所示，大小为mg l l g m a m F 528315161*1=⋅⋅=⋅=l m a m F 832*2⋅⋅=⋅=ααα222*19243])83(121[ml l m ml M =+=题8－1答案图列平衡方程式∑=0)(F m zO 01924353832=−⋅⋅αml l mg l g 215216=α 0=∑ixF 0sin cos 2cos N *1*2N =−++⋅A B F F F F θθθ 0=∑iyF0cos sin 2sin *1*2N =−−+⋅mg F F F B θθθ mg l g ml F 2158121521683*2=⋅=代入上式得：mg F B4349N =，mg F A 4337N =8-2 匀质杆AB 长l ，重G ，用两根软绳悬挂如图示。
求当其中一根软绳切断，杆AB 开始运动时，另一根软绳中的拉力。
题8－2图解：建立参考基e C−，连体基1e O −和2e B −设当AO 被切断时，BO 的角加速度为1α，AB 杆的角加速度为2α题8－2答案图以杆AB 为研究对象，受力分析如图示重力G ，绳中张力T F 。
杆AB 作平面运动，惯性力主矢*F 和主矩*M 方向如图所示，大小为：C ma F =*，2*αC J M =e C e C e tC C a a a a αω222 ++= ， 02=eC a ω e B e B e tC a a a αω112 +=, 01=e B a ω , B e B a a=α1 e C e B C a a a αα21 +=, eC e B C a m a m a m αα21 += 11*122ααl m ma F e B ==∴ 22*22ααl m ma F e C == 22*121αml M =0)(=∑F m Dz0121442222=+⋅−⋅ααml lmg l ml lg 562=α0)(=∑F m Cz012122222T =−⋅⋅αml l Fmg F 52T =8-3 匀质杆AB 长2l ，重G ，一端A 用长l 的软绳OA 拉住，一端B 放在光滑地面上如图示。
设开始运动时，OA 在水平位置，AB 与铅垂线成θ 角，43=θtg ，速度为零。
求此时AB 杆的角加速度以及B 点的加速度。
题8－3图解：以杆AB 为研究对象，受力分析如图示重力G 、绳索张力T F、光滑面的约束力N F。
杆AB 作平面运动。
惯性力主矢*F和主矩*M 方向如图所示，大小为：cx x ma F =*，cy y ma F =*，ααα22*31)2(121ml l m J M c ===题8－3答案图 在A 点建立杆AB 的连体基1e A−，C 是连体基1上的固定点。
e C e C e tC C a a a a αϖ111 ++= , 01=e C a ϖl l a a e c cx ααθα5454cos 1=⋅⋅== 在B 点建立杆AB 的连体基2e B−，C 是连体基2上的固定点。
e C e C e tCC a a a a αϖ222 ++= , 02=eC a ϖ l l a a ec cy ααθα5353sin 2=⋅⋅== 542⋅⋅−=l a a eBcx α建立平衡方程：∑=0)(F m z B 0535354***=−⋅+⋅+l mg F l F M yx 代入数据：AB 杆的角加速度 l g 209=α，g l a cx 25954==α，B 点的加速度 g l g l a a cxeB 2518209542=⋅+=8-4 上题中，设开始运动时，A 点具有向下的速度，大小为gl ，求该瞬时杆AB 的角加速度以及B 点的加速度。
题8－4图题8－4答案图解：以杆AB 为研究对象，受力分析如图示重力G 、绳索张力T F、光滑面的约束力N F。
杆AB 作平面运动。
l AB 2=、l AD 56=、l BD 58=、lg l gl 6556==ω题8－4答案图在A 点建立杆AB 的连体基1e A−，C 是连体基1上的固定点。
e C e C e tC C a a a a αω111 ++= ， e A e Ae tC a a a αω +=1αθθαωl g a a l v a e C e C A xC 54127cos sin 112+=⋅+⋅−= 在B 点建立杆AB 的连体基2e B−，C 是连体基2上的固定点。
e C e C e tCC a a a a αω222 ++= ， eB e tC a a 22 =αθθαωl g a a a eC e C y C 5395sin cos 022+=⋅+⋅+= 惯性力主矢*F 和主矩*M 方向如图所示，大小为：x C x ma F =*，y C y ma F =*，ααα22*31)2(121ml l m J M C === 列平衡方程式：0)(=∑F m z D0535354***=⋅−+⋅+⋅l mg M l F l F y x05331312592516157222=−++++mgl ml mgl ml ml mgl ααα杆AB 的角加速度 l g 203−=α，g l g l g a Cx 300139)203(54127=−⋅+=， B 点的加速度g g g g a a a a eC e C Cx B 15011542031253001395453222−=⋅−−=⋅+⋅−=αω8-5 长l ，重G 的两根相同的匀质杆AB 与CD 以软绳AC 与BD 相连，并在AB 的中点用铰链O 固定如图示。
求当BD 被剪断的瞬间B 与D 点的加速度。
题8－5图解：以系统为研究对象，主动力为重力mg 和O 点的约束反力，杆AB 作定轴转动，杆CD 作平面运动。
题8－5答案图建立参考基e O−在O 点建立AB 杆的连体基1e O− ，A 是连体基1上的固定点。
在A 点建立AC 杆的连体基2e A− ，C 是连体基2上的固定点。
在C 点建立CD 杆的连体基3e C− ，O 2是连体基3上的固定点。
e C e C e tCC a a a a αω222 ++= ， A e tC a a =2,12αla A =， 02=e C a ω ，AC a e C ⋅=22αα AC a Cx ⋅=∴2α，21la Cy ⋅=αe O e O e tO O a a a a 2222333αω ++=， C e tO a a =23， 023=e O a ω ， 3322ααl a e O = AC a x O ⋅=∴22α，22312ll a y O ⋅+⋅=αα惯性力主矢*F 和主矩*M 方向如图所示，大小为：AC m F x 2*α=、22(31*l l m F y αα+=、12*1121αml M =、32*3121αml M =列平衡方程式：∑=0)(1F m z O 01211213212=−ααml ml 31αα= 再以CD 杆为研究对象∑=0)(F m Cz 02121)22(23231=−++l mg ml l l m l ααα lg 7631==αα0=∑ixF02=AC m α02=αB 点的加速度g l a B 7321==αe D e D e tDD a a a a αϖ333 ++=, C e tD a a =3, 03=e D a ϖ , gl a e D 733=α D 点的加速度 0=Dx a ，g l g l l gl a Dy 7976762=⋅+⋅=8-6 长l ，重G 的两根相同的匀质杆AB 与CD 铰接后一端A 用铰链固定，另一端C 置于光滑水平面上如图示。
求从图示位置无初速地开始运动时，水平面对杆的约束力。
题8－6图解：以杆AB 和杆BC 为研究对象，受力分析如图示G 、C F N 、Ax F 、Ay F。
杆AB 作定轴转动，BC 杆平面平行运动在C 点建立参考基e C−在A 点建立AB 杆的连体基1e A −，在B 点建立BC 杆的连体基2e B−121αl a O =，e O e O e tO O a a a a 2222222αω ++=，122α⋅==l a a B etO ，022=e O a ω ，2222ααla e O = 惯性力主矢*F 和主矩*M 方向如图所示，大小为：1*12αl m F =、12*1121αml M =1*2αml F =、2*32αl m F =、22*2121αml M =题8－6答案图根据达朗贝尔原理以整体为研究对象建立平衡方程∑=0)(F m Az02322432*2*2*1*1=−+++l G M l F M l F （1）以杆BC 为研究对象建立平衡方程∑=0)(F m Bz02342322*2*2*3=−−++l F l F l G M l F NC （2）代入惯性力得023121431214122121212=−+++mgl ml ml ml ml αααα （3）023414312141122222=−−++l F ml mgl ml ml NC ααα （4）运动学约束方程 e C e C e tCC a a a a αϖ222 ++= （5）其中12α⋅==l a a B etC ，02=e C a ω ， 22ααl a e C =（5）在y 轴方向上投影2323021ααl l +−= 得21αα= 代入（3）、（4）式得lg73321==αα水平面对杆的约束力mg F C 74N =8-7 图中，杆AB ，BC 为长度相等，质量不等的两匀质杆。
已知从图示位置无初速地开始运动时，BC 杆中点M 的加速度与铅垂线成 30 角，求两杆质量之比。
题8－7图解：以杆AB 和杆BC 为研究对象，质量分别为AB m 、BC m 。
受力分析如图示重力g m AB 、g m BC 和约束力Ax F 、Ay F 。
AB 杆作定轴转动，BC 杆作平面平行运动。
