试卷
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课程编号：07000303 北京理工大学2008-2009学年第二学期
2007级实变函数试题（B 卷） 班级
学号 姓名 成绩
一、判断是非（将答案写在答题纸上，正确的划“√”，错误的划“╳”，每题2分） 1、设:f X Y →是映射，()1,2,k A X
k ⊆= 。
则(
)
(11k k k k )f
A f ∞
∞
===∩∩A 。
2、集合A 为无限集合的充分必要条件是A 和它的某一个真子集对等。
3、欧式空间中，点集是零测度集合当且仅当它是可数集合。
E 4、设{}k
F 是中非空有界闭集列，且n 12k F F F ⊇⊇⊇⊇ ，则。
1k k F ∞
=≠∅∩5、设E 是可测集合，则E 上的任意有界可测函数都是Lebesgue 可积函数。
6、设A B ∪
是不可数集合，则A 和至少有一个是不可数集合。
B 7、设是欧式空间中点集。
若E ()0m
E =，则不含内点。
E 8、设是欧式空间中可测点集。
则上的单调函数必是Lebesgue 可测函数。
E E 二、选择题（将答案写在答题纸上，每题3分） 1、代数数的全体构成一个：
A. 可数集合；
B. 有限集合；
C. 不可数集合；
D. 测度大于零的可测集合。
2、设是有限集，则n E ⊆ E 为：
A.开集；
B. 闭集；
C.既是开集又是闭集；
D. 既不是开集又不是闭集 3、设()f x 是可测集E 上可测函数，则()E f =∞是： A. 空集；B. 不可测集；C. 可测集；D. 零测度集合。
4、设(){}1n n f x ∞
=是可测集上的一列可测函数，则E ()lim n n f x →∞
是：
A. 可积函数；
B. 不可测函数；
C. 连续函数；
D. 可测函数 5、以下集合中，哪一个是不可数集合：
A. 无理数集合；
B. 系数为有理数的多项式全体；
C.单调函数不连续点全体；
D.直线上互不相交开区间全体。
6、Dirichlet 函数为：
A.Riemann 可积函数；
B.Lebesgue 可积函数；
C.几乎处处连续函数；
D.振幅函数几乎处处为0.
7、设{}n E 是一列单调递增可测集合，则：
)))) A. ；B. ；
(1lim n n n n m E m E ∞→∞=⎛⎞>⎜⎟⎝⎠∪(1lim n n n n m E m E ∞→∞=⎛⎞
=⎜⎟⎝⎠∩C. ；D. 。
(1lim n n n n m E m E ∞→∞=⎛⎞>⎜⎟⎝⎠∩(1lim n n n n m E m E ∞→∞
=⎛⎞
=⎜⎟⎝⎠∪8、下面关于Cantor 集的论述，不正确的为：
A. Cantor 集为完备集；
B. Cantor 集无内点；
C. Cantor 集的测度为1;
D. Cantor 集和区间 [0,1]存在一一对应. 三、简答和计算（4题，每题5分）
1、设是可测集()()()1,,,,k f x f x f x E 上几乎处处有限的可测函数。
给出函数列几乎
处处收敛与依测度收敛的关系。
2、设()f x 是区间[],a b 的有界函数。
给出f 在[],a b 上Riemann 可积的充分必要条件。
3、设()f x 是实值函数，(){}:0A x f x =∈≥ ，()1:n A x f x n ⎧⎫
=∈>−⎨⎬⎩
⎭。
用表示n A A 。
4、设()()[][]1
32009
,0,,0,1.x x f x x x −⎧⎪∈−=⎨⎪∈⎩
∩ ∩1,
计算()[]0,1.f x dx ∫
四、设E 是可测集，()f x 为E 上非负可测函数，若()f x 可积，证明()f x 几乎处处有限，即()...f x a e <∞E
五、（10分）设()f x 是可测集E 上可积函数，()()()1,0,
1,0.x E f g x x E f ∈≥⎧⎪=⎨−∈<⎪⎩证明：
1、是可测函数；
2、()g x ()0..f x a =e 当且仅当对任意有界可测函数()x ϕ，。
()()0E
f x x dx ϕ=∫六、设
f
是可测集合上可积函数。
证明对于任意E 0ε>，存在0δ>，对于E 中子
集A ，只要()m A δ<，就有
().A
f x dx ε<∫
七、（10分）设()f x 是[]0,1上处处有限可测函数，令[](){}0,1:E x f x =∈∈Z ，证明： ()()[]
()0,1lim cos .n
n f x dx m E π→∞
=∫。
