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1[1].3三角函数的诱导公式(二)

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课 题：1.3三角函数的诱导公式（二）教学目的：能熟练掌握诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证教学重点：诱导公式教学难点：诱导公式的灵活应用授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+kααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+kααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k公式二： 用弧度制可表示如下：αα-sin 180sin(=+︒） ααπ-sin sin(=+）αα-cos 180cos(=+︒） ααπ-cos cos(=+）ααtan 180tan(=+︒） ααπtan tan(=+）公式三： αα-sin sin(=-）ααcos cos(=-）ααtan tan(-=-）公式四： 用弧度制可表示如下：ααsin 180sin(=-︒） ααπsin sin(=-）αα-cos 180cos(=-︒） ααπ-cos cos(=-）ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-）公式五： 用弧度制可表示如下：αα-sin 360sin(=-︒） ααπ-sin 2sin(=-）ααcos 360cos(=-︒） ααπcos 2cos(=-）ααtan 360tan(-=-︒） ααπtan 2tan(-=-）二、讲解范例：例1．求下列三角函数的值(1) sin240º； (2)45cos π；(3) cos(-252º)；(4) sin （-67π） 解：（1）sin240º=sin(180º+60º)＝－sin60º=23-(2) 45cos π=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4ππ=4cos π-=22-； (3) cos(-252º)=cos252º= cos(180º+72º)=－cos72º=－03090；(4) sin （-67π）=－sin 67π=－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6ππ=sin 6π=21 说明：本题是诱导公式二、三的直接应用．通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本例中的（3）可使用计算器或查三角函数表．例2．求下列三角函数的值(1)sin(-119º45′)；(2)cos 35π；(3)cos(-150º)；(4)sin 47π 解：(1)sin(－119º45′)=－sin119º45′=－sin(180º-60º15′)= －sin60º15′=－08682 (2)cos 35π=cos(32ππ-)=cos 3π=21 (3)cos(-150º)=cos150º=cos(180º-30º) =－cos30º=23-； (4)sin 47π=sin(42ππ-)=－sin 4π=22- 说明：本题是公式四、五的直接应用，通过本题的求解，使学生在利用公式四、五求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本题中的（1）可使用计算器或查三角函数表． 例3．求值：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-631π－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-310π－sin 1011π 略解：原式=-sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+674ππ-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+342ππ-sin 1011π =-sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6ππ-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3ππ+sin 10π =sin 6π+cos 3π+sin 10π =21+21+03090=13090 说明：本题考查了诱导公式一、二、三的应用，弧度制与角度制的换算，是一道比例1略难的小综合题．利用公式求解时，应注意符号．例4．求值：sin(-1200º)·cos1290º+cos(-1020º)·sin(-1050º)+tan855º解：原式＝－sin(120º+3·360º)cos(210º+3·360º)+cos(300º+2·360º)[-sin(330º+2·360º)]+tan(135º+2·360º)＝－sin120º·cos210º－cos300º·sin330º+tan135º＝－sin(180º－60º)·cos(180º+30º)－ cos(360º－60º)·sin(360º-30º)+)45180cos()45180sin(︒-︒︒-︒ =sin60º·cos30º+cos60º·sin30º－tan45º=23·23+21·21-1=0 说明：本题的求解涉及了诱导公式一、二、三、四、五以及同角三角函数的关系．与前面各例比较，更具有综合性．通过本题的求解训练，可使学生进一步熟练诱导公式在求值中的应用．例5．化简：)sin()5cos()4cos()3sin(αππαπααπ--⋅---⋅+ 略解：原式=)]sin([)cos(cos )sin(απαπααπ+-⋅+⋅+=ααcos cos =1 说明：化简三角函数式是诱导公式的又一应用，应当熟悉这种题型．例6．化简：)()2cos()2sin(])12([sin 2])12([sin Z n n n n n ∈--+-⋅+++⋅αππαπαπα 解：原式=)2cos()2sin(]2)sin[(2]2)sin[(αππαππαπαπ----+++n n n n =ααπααπcos sin )sin(2)sin(-++ =ααααcos sin sin 2sin -- =αcos 3- 说明：本题可视为例5的姐妹题，相比之下，难度略大于例5．求解时应注意从所涉及的角中分离出2π的整数倍才能利用诱导公式一．例7．求证：)sin()cos()2cos()4sin()tan()sin()cos()4cos()3sin(πααπαπαππαπαπαπαπα++---=-----+- 证明：左边=)cos()sin()sin()cos(cos ]4)sin[(απαπαπαπαπαπ-------+-+ =ααααααπcos sin sin cos cos )sin(-++ =ααααααcos sin sin cos sin cos 22⋅--=()()ααααααααsin cos sin cos cos sin )sin (cos -+⋅- =ααααcos sin cos sin +⋅，右边=ααααsin cos cos sin --⋅-=ααααcos sin cos sin +⋅， 所以，原式成立．例8．求证ααααα3tan )360sin()540sin(1)180cos()cos(1=-︒+-︒+︒+- 证明：左边＝ααααααααsin sin 1cos cos 1sin )180sin(1cos cos 1--=--︒- ＝αααααααα2222cos cos sin sin sin sin 1cos cos 1=--＝tan 3α＝右边， 所以，原式成立．说明：例7和例8是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用，具有一定的综合性．尽管问题是以证明的形式出现的，但其本质是等号左、右两边三角式的化简．例9．已知παπαπ22321)cos(<<-=+，．求：)2sin(απ-的值． 解：已知条件即21cos =α， 又παπ223<<， 所以：)cos 1(sin )2sin(2αααπ---=-=-=23)21(12=- 说明：本题是在约束条件下三角函数式的求值问题．由于给出了角α的范围，因此，α的三角函数的符号是一定的，求解时既要注意诱导公式本身所涉及的符号，又要注意根据α的范围确定三角函数的符号．例10．已知223)360tan(1)720tan(1+=︒--︒++θθ,求: )2(cos 1)](sin 2)cos()sin()([cos 222πθπθθπθπθπ--⋅-+-⋅++-的值 解：由223)360tan(1)720tan(1+=︒--︒++θθ，得 222tan )224+=+θ（，所以22224222tan =++=θ 故 )2(cos 1)](sin 2)cos()sin()([cos 222πθπθθπθπθπ--⋅-+-⋅++- =θθθθθ222cos 1]sin 2cos sin [cos ⋅++ =1＋tan θ＋2tan 2θ =1+2)22(222⋅+222+= 说明：本题也是有约束条件的三角函数式的求值问题，但比例9要复杂一些．它对于学生熟练诱导公式及同角三角函数关系式的应用．提高运算能力等都能起到较好的作用． 例11．已知)32tan()0()3cos(326αππαπαπ-≠=+<<，求，m m 的值． 解：因为）（332παπαπ+-=-， 所以：)]3(cos[)32cos(παπαπ+-=-=)3cos(πα+-＝－m 由于，326παπ<<所以，2320παπ<-< 于是：)32(cos 1)32sin(2απαπ--=-=21m -， 所以：tan()32cos()32sin()32(απαπαπ--=-=m m 21-- 说明：通过观察，获得角3πα+与角απ-32之间的关系式απ-32=π-（3πα+），为顺利利用诱导公式求cos(απ-32)的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当善于引导学生观察，充分挖掘的隐含条件，努力为解决问题寻找突破口，本题求解中一个鲜明的特点是诱导公式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造出来，在思维和技能上显然都有较高的要求，给我们全新的感觉，它对于培养学生思维能力、创新意识，训练学生素质有着很好的作用．例12．已知cos 32=β，角βα-的终边在y 轴的非负半轴上，求cos ()βα32-的值． 解：因为角βα-的终边在y 轴的非负半轴上，所以：βα-=)(22Z k k ∈+ππ，于是 2（βα-）=)(4πππ∈+k k从而 ，)(432Z k k ∈++-=-ππββα所以 ]4)c o s [()32c o s (πβπβαk +-=-=)cos(βπ-=βcos -=32- 说明：本题求解中，通过对角βα-的终边在y 轴的非负半轴上的分析而得的βα-=)(22Z k k ∈+ππ，还不能马上将未知与已知沟通起来．然而，当我们通过观察，分析角βα32-的结构特征，并将它表示为2（βα-）β-后，再将βα-=ππk 22+代入，那么未知和已知之间随即架起了一座桥梁，它为利用诱导公式迅速求值扫清了障碍．通过本题的求解训练，对于培养学生的观察分析能力以及思维的灵活性和创造性必将大有裨益．三、课堂练习：1．已知sin α+π)＝ －21，则)7cos(1πα+-的值是（ ） （A ）332 (B) －2 (C)－332 (D)±332 2．式子)690sin(630sin )585cos(︒-+︒︒-的值是 （ ） （A ）22 (B)2 (C)32 (D)- 32 3．α，β，γ是一个三角形的三个内角，则下列各式中始终表示常数的是（ ）（A ）sin(α+β)+sin γ (B)cos(β+γ)- cos α(C)sin(α+γ)-cos(-β)tan β (D)cos(2β+γ)+ cos2α4．已知：集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==Z k k x x P ,3)3(sin |π，集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈--==Z k k y y Q ,3)21(sin |π，则P 与Q 的关系是 （ ）． （A ）P ⊂Q (B)P ⊃Q (C)P=Q (D)P ∩Q=φ5．已知ααπααπsin )2cos(,cos )2sin(=-=-对任意角α均成立．若f (sin x )=cos2x ，则f (cos x )等于（ ）．（A ）-cos2x(B)cos2x (C) -sin2x (D)sin2x 6．已知923)cos()cos(31=----θθπ，则)5sin()3cos(πθθπ+--的值等于 ． 7．54cos 53cos 52cos 5cos ππππ+++= ． 8．化简：)360cos()180cos()360tan()900sin()sin(︒---+︒-︒--︒--ααααα所得的结果是 ． 9．求证ααααα3cot )360cos()540cos(1)180sin()sin(1=-︒+-︒+︒--． 10．设f(x )=)(])12[(cos )(sin )(cos 222Z n x n x n x n ∈-+-⋅+πππ， 求f (6π)的值． 答案与提示1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．±43 7．0 8．－2cos α 9．提示：左边利用诱导公式及平方关系，得αα33sin cos ，右边利用倒数关系和商数关系，得αα33sin cos ，所以左边=右边． 10．41． 提示：分n=2k ，n=2k+1(k ∈z)两种情况讨论，均求得f (x )=sin 2x ．故f (6π)=41． 四、小结 应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1︒用“- α”公式化为正角的三角函数；2︒用“2k π + α”公式化为[0，2π]角的三角函数；3︒用“π±α”或“2π - α”公式化为锐角的三角函数五、课后作业：六、板书设计（略）七、、课后记：。

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高中数学 人教A版必修4 第1章 1.3三角函数的诱导公式(二)

高中数学 人教A版必修4 第1章 1.3三角函数的诱导公式(二)


研一研·问题探究、课堂更高效 (2)诱导公式五的推导：
§1.3（二）
π 问题 1 若 α 为任意角，那么 －α 的终边与角 α 的终边有怎 2 样的对称关系？ 本 课 π 时 答 角 α 的终边与 －α 的终边关于直线 y＝x 对称． 栏 2 目 π 开 问题 2 设角 α 与单位圆交于点 P(x， y)， 则 － 2 关
y.
所以，对任意角 α
sin α .
π 都有：sin2－α＝
cos α
π ，cos2－α＝
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 诱导公式六
π ，cos2＋α＝
§1.3（二）
(1)诱导公式六： π sin2 ＋α＝ cos α
本 课 时 栏 目 开 关
填一填·知识要点、记下疑难点
§1.3（二）
2．诱导公式五～六的记忆 π π －α， ＋α 的三角函数值，等于 α 的异名三角函数值， 2 2 本
课 时 栏 目 开 关
前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号， 记忆口诀 为“函数名改变，符号看象限”.
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.3（二）
α 与单位圆交于点 P′，写出点 P′的坐标．
答 P′(y，x)．
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.3（二）
问题 3 根据任意角三角函数的定义，完成下列填空：
本 课 时 栏 目 开 关
sin α＝ y ，cos α＝ x ；
π sin2 －α＝
x
π ，cos2－α＝
§1.3（二）
本 课 时 栏 目 开 关
§1.3（二）
【学习要求】 1．掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化 简与证明问题． 本 课 时 2．对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与 栏 目 个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力． 开 关 现问题、解决问题的能力．
1.3三角函数的诱导公式(二)

1.3三角函数的诱导公式(二)

课 题：1.3正弦、余弦的诱导公式（二）教学目的：学会关于90︒ k ± α两套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。

教学重点：诱导公式教学难点：诱导公式的灵活应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、讲解新课：诱导公式5：（课件1.3.7）sin(90︒ -α) = cos α, cos(90︒ -α) = sin α.tan(90︒ -α) = cot α, cot(90︒ -α) = tan α. sec(90︒ -α) = csc α, csc(90︒ -α) = sec α诱导公式6：（课件1.3.8） sin(90︒ +α) = cos α, cos(90︒ +α) = -sin α.tan(90︒ +α) = -cot α, cot(90︒ +α) = -tan α. sec(90︒ +α) = -csc α, csc(90︒+α) = sec α如图所示 sin(90︒ +α) = M’P’ = OM = cos αcos(90︒ +α) = OM’ = PM = -MP = -sin α或由6式：sin(90︒ +α) = sin[180︒- (90︒ -α)] = sin(90︒ -α) = cos αcos(90︒ +α) = cos[180︒- (90︒ -α)] = -sin(90︒ -α) = -cos α二、讲解范例： 例1)2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+-+--=+-+---+k k k 求证： 证：α-ααα=α+α-α+α=sin cos cos sin cot tan sin cos 左边 α-ααα=α+α-αα-=s i n c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n 右边 左边 = 右边 ∴等式成立例2的值。

三角函数的诱导公式(2)

三角函数的诱导公式(2)

小结 达到角的统一，能求值的要求出值．
利用诱导公式进行化简， 主要是进行角的转化， 最终
给定一个角 ，终边与角 的终边关于直线 y x 对 称的角与角 有什么关系？它们的三角函数之间又有 什么关系？能否说明？
sin(

2
) cos
2
O
公式 五
如何求 的三角函数值？ 2


2
)]
( cos )sin( )[ sin( )]sin[4 ( sin cos [ cos( )] 2
2

2
)]


( cos )sin [( sin )]sin(

sin tan . cos
sin(π -α) = sinα cos(π -α) = -cosα tan(π -α) = -tanα
诱导公式小结:
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 概括如下： 2k k Z , , 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面
加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.
口诀: “函数名不变，符号看象限”．
例2
sin α＋3πcosα＋π 化简： . 3 tanα＋πcos －α－π
2 2
2
sin α· －cos α －sin α· cos α 解 原式＝ ＝ 3 3 tan α· cos α＋π －tan α· cos α sin2α· cos α sin2αcos α sin α ＝ sin α ＝sin αcos2α＝cos α＝tan α. 3 · cos α cos α
cos( ) sin 2

cos( ) sin 2
第一章 1.3(二) 三角函数的诱导公式(二)

第一章 1.3(二) 三角函数的诱导公式(二)

§1.3 三角函数的诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题. 2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．知识点一 诱导公式五 诱导公式五知识点二 诱导公式六 诱导公式六知识点三 诱导公式的推广与规律1．sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin α. 2．诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．1．诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( × ) 提示 诱导公式五、六中的角α是任意角．2．诱导公式五、六与诱导公式一～四的主要区别在于函数名称要改变．( √ ) 提示 由诱导公式一～六可知其正确． 3．sin ⎝⎛⎭⎫k π2－α＝±cos α.( × )提示 当k ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫k π2－α＝sin(π－α)＝sin α.4．口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号．( × ) 提示 应看原三角函数值的符号.题型一 利用诱导公式求值例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值． 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 反思感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．跟踪训练1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值等于( ) A.23 B ．－23 C.53 D ．±53 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 A解析 因为⎝⎛⎭⎫α＋π4＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23. 题型二 利用诱导公式证明三角恒等式例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明证明 ∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos αsin α ＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．反思感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)整合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．跟踪训练2 证明：sin (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2αcos (π－α)tan (α－3π)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫7π6－2α＝－cos α. 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明证明 因为左边＝sin (－α)cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α(－cos α)tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝sin αcos αcos ⎝⎛⎭⎫π3＋2αsin αcos αcos α⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－cos α＝右边，所以等式成立．诱导公式的综合应用典例 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (π＋α)sin (－α).(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简与求值 解 (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.[素养评析] (1)解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．(2)掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果，通过运算促进数学思维的发展，提升数学运算的数学核心素养.1．已知sin α＝513，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α等于( ) A.513 B.1213 C ．－513 D ．－1213 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝－513. 2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－α等于( ) A ．－13 B.13 C.233 D ．－233考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 B解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13. 3．(2018·泰安高一检测)若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－32考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式求值 答案 A4．(2018·江西赣州联考)设tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α等于( )A ．3B ．2C ．1D ．－1 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简、求值 答案 B 解析sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝－tan α－11－tan α＝－3－11－3＝2.5．求证：sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ).考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简、证明 证明 右边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边， 所以原等式成立．1．诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类：①α＋k ·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．(2)以上两类公式可以归纳为：k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成⎝⎛⎭⎫0，π2内的三角函数值”这种方式求解． 用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：一、选择题1．已知cos α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2等于( ) A.14 B ．－14 C.154 D ．－154 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 答案 A解析 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝14. 2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A.15B ．－15C ．－265D.265.考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 答案 B解析 cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α的结果是( ) A ．1 B ．sin 2α C ．－cos 2α D ．－1 考点 异名诱导公式的综合 题点 异名诱导公式的综合应用 答案 C解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α， cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α， tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α， 所以原式＝cos α(－sin α)cos αsin α＝－cos 2α，故选C.4．已知sin(π＋α)＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫α－32π的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－22考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式求值 答案 A解析 由sin(π＋α)＝12，得sin α＝－12，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α＝12. 故选A.5．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α等于( ) A.355B.377C.31010D.13考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式求值 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2tan α＋3sin β＝－5，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又α为锐角，sin 2α＋cos 2α＝1， 可得sin α＝31010.6．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cosA ＋C2＝sin B D ．sinB ＋C 2＝cos A2考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明 答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cosA ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 项不正确； ∵B ＋C ＝π－A ， ∴sinB ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 项正确． 7．计算：sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°等于( ) A ．89 B ．90 C.892D ．45考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 C解析 ∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，…，∴sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝44＋12＝892.二、填空题8．(2018·锦州高一检测)已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝ . 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 －223解析 因为－π<α<－π2，所以－7π12<5π12＋α<－π12.又cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13>0. 所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. 由⎝⎛⎭⎫π12－α＋⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝π2， 得cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫5π12＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. 9．(2018·吉林长春外国语学校)化简sin (－x )cos (π－x )sin (π＋x )cos (2π－x )－sin (π－x )cos (π＋x )cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos (－x )＝ .考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简 答案 0 解析sin (－x )cos (π－x )sin (π＋x )cos (2π－x )－sin (π－x )cos (π＋x )cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos (－x )＝(－sin x )(－cos x )(－sin x )cos x －sin x (－cos x )sin x cos x＝－1＋1＝0.10．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝ . 考点 题点答案 1解析 原式＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin (45°－θ)cos (45°－θ)＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin[90°－(45°＋θ)]cos[90°－(45°＋θ)]＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)cos (45°＋θ)sin (45°＋θ)＝1.11．给出下列三个结论，其中正确结论的序号是 ． ①sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角； ②若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13；③若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－1tan α. 考点 综合应用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明 答案 ③解析 由诱导公式二，知α∈R 时，sin(π＋α)＝－sin α，所以①错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝13，当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos [(2k ＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以②错误．若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α－sin α＝－1tan α，所以③正确．三、解答题12．(2018·银川高一检测)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35， 求⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫α＋32π·sin ⎝⎛⎭⎫32π－α·tan 2()2π－α·tan ()π－α÷⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值． 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简、求值 解 因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35， 所以cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝(－cos α)(－cos α)tan 2α(－tan α)sin α(－sin α)＝tan α＝±34. 13．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 考点 综合运用诱导公式化简与求值题点 综合运用诱导公式求值解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α，∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.14．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)等于() A ．2 B ．－2 C ．0 D.23考点题点答案 B15．(2018·湖北孝感八校联考)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α－sin (－α)的值． 考点 综合运用诱导公式化简与求值题点 综合运用诱导公式化简、求值解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α，且cos α≠0.∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.。