小学数学《最大与最小》练习题(含答案)

小学数学《最大与最小》练习题（含答案）【例1】 （2008年“希望杯”第二试）有一排椅子有27个座位，为了使后去的人随意坐在哪个位置都有人与他相邻，则至少要先坐__________人。

【分析】 将27个座位从左到右每3个一组分成9组，如果每一组的中间座位上都坐了人，那么后去的人无论坐在哪一组的座位上，都将与该组中间座位上的那个人相邻，所以先坐9人符合条件。

如果先坐的人数小于9，那么在刚才的分组中，必定有一组的3个座位上都没有人，那么后去的人坐在这组的中间座位上，将没有人与其相邻，不符合题意。

所以至少要先坐9人。

[前铺] 一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。

问：在乐乐之前已就座的最少有几人？[分析] 将15个座位顺次编为115:号。

如果2号位、5号位已有人就座，那么就座1号位、3号位、4号位、6号位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。

根据这一想法，让2号位、5号位、8号位、11号位、14号位都有人就座，也就是说，预先让这5个座位有人就座，那么乐乐无论坐在哪个座位，必将与已就座的人相邻。

因此所求的答案为5人。

【例2】 （2007年“走进美妙的数学花园”初赛）一个偶数的数字和是40，这个偶数最小是________。

【分析】 当这个数的位数尽可能少时才会取到最小，所以这个数每个数位上的数字应尽可能大，又40944÷=L ，49999为奇数，那么这个偶数最小为59998。

[前铺] 有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为2003，那么这类自然数中最小的是几？[分析] 一个自然数的值要最小，首先要求它的数位最小，其次要求高位的数值尽可能地小。

由于各数位上的数之和固定为2003，要想数位最少，各数位上的数就要尽可能多地取9，而200392225÷=L ，所以满足条件的最小自然数为22295999个L 1442443。

[拓展] 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数中最大的自然数是多少？[分析] 要想使自然数尽量大，数位就要尽量多，如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所以最前面两个数字尽可能地小，最小可取1与0。

故10112358满足条件。

【例3】 将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1234567891011129899100L ，从中划去100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？要想左边保留6个9，必须划掉159-=个数码，不合题意，所以左边:中的1096103只能保留5个9，即保留149:中其余的84个数码。

然后，在:中的5个9，划掉149后面再划掉16个数码，尽量保留较大的数（见下图）：所以所求最大数是999997859606199100L。

同理，要得到最小的数，左边第一个数是1，之后应尽量保留0。

250:中有90个数码，其中有5个0，划掉其余的90585-=个数码，然后在后面再划掉15个数码，尽量保留较小的数（见下图）：所以所求最小数是10000012340616299100L。

【例4】（2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）现将0到9这十个数字分成两部分，每个部分有五个数字，然后各组成一个五位数，则这两个五位数的差（以大减小）最小是________。

【分析】要使这两个五位数的差最小，那么这两个五位数的万位上的数的差应为1，且较大的五位数的后四位应尽可能小，较小的五位数的后四位应尽可能大，而较大的五位数的后四位最小为0123，较小的五位数的后四位最大为9876，还剩下4和5两个数，所以较大的数是50123，较小的数是49876，它们的差为5012349876247-=。

【例5】设自然数n有下列性质：从1、2、…、n中任取50个不同的数，其中必有两数之差等于7，这样的n最大不能超过多少？【分析】当98n=时，将1、2、…、98按每组中两数的差为7的规则分组：(1,8)、(2,9)、……(7,14)、(15,22)、(16,23)、……(90,97)、(91,98)。

一共有49组，所以当任取50个数时，必有两个数在同一组，它们的差等于7。

当99n=时，取上面每组中的前一个数，即1、2、……7、15、……21、29、……35、43、……49、57、……63、71……77、85……91和99，一共50个数，而它们中任两个数的差不为7。

因此n最大不能超过98。

【例6】（2008年“希望杯”第二试）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把它们拼在一起可组成一个新长方体，在这些长方体中，表面积最小的是__________平方厘米。

【分析】由于拼在一起可组成一个新长方体，所以拼接的两个面是完全相同的两个面，拼接成的长方体的面积，即等于原来的两个长方体的面积之和减去拼接在一起的两个面的面积，所以，在拼成的长方体中，表面积最小的为拼接的两个面的面积最大的情况，而原来的长方体中最大的面为54⨯这个面，所以，在拼成的这些长方体中，表面积最小的为：(544335)454218840148⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯=-=（平方厘米）。

【例7】有一些小朋友排成一行，从左到右第一人发一块糖，以后每隔2人发一块糖；从右到左第一人发一个苹果，以后每隔4人发一个苹果，结果有11个小朋友糖和苹果都拿到，那么这些小朋友最多有多少人？【分析】 由题知，从左数每3人中有1人拿到糖，从右数每5人中有一人拿到苹果，[]3,515=，所以每15人中有1人糖和苹果都拿到，由于共11人糖和苹果都拿到，所以糖和苹果都拿到的小朋友中间的人数为：15(111)1151⨯-+=；在他们的左边，最多有4人拿到糖，所以左边最多有3412⨯=人；在他们的右边，最多有2人拿到苹果，所以右边最多有5210⨯=人；所以这些小朋友最多有1511210173++=人。

【例8】 （2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）现有一个袋子，里面装有8种不同颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球各有50个，则在这个袋子中至少要取出__________个玻璃球，才能保证取出的球至少有三种颜色，且有三种颜色的球都至少有10个。

【分析】 要保证取出的球至少有三种颜色，至少应取5021101⨯+=个球；要保证取出的球中有三种颜色的球都至少有10个，那么至少要取502961155⨯+⨯+=个球（否则两种颜色的球各取50个、其余六种颜色的球各取9个，共154个，这样将无法取出的球中有三种颜色的球都至少有10个），由于155101f ，所以至少要取出155个球。

[前铺] 一个口袋中放了相同大小的红、黄、蓝三种颜色的球若干个，小明闭着眼睛从口袋中任意取出7个球，他发现不管怎么取，这7个球中都有红、黄、蓝色的球各至少一个，那么口袋中最多可能有多少个球？[分析] 设红、黄、蓝三种颜色的球的个数分别为a b c 、、，由于不管怎么取，取出的7个球中都有红、黄、蓝色的球各至少一个，所以任两种颜色的球的个数之和都不超过6，即：6a b +≤，6b c +≤，6c a +≤，相加得：2()18a b c ++≤，即9a b c ++≤，且当3a b c === 时满足题意，所以口袋中最多可能有9个球。

【例9】 （2007年湖北省“创新杯”数学邀请赛初赛）红星小学的礼堂里共有座位24排，每排有30个座位，全校650个同学坐到礼堂里开会，至少有________排座位上坐的学生人数同样多。

【分析】 这个礼堂共有2430720⨯=(个)座位。

当650个同学都坐下后，空出了72065070-=(个)座位，当学生人数同样多的排数最少时，空位同样多的排数也最少，这时，当空位同样多的排数为1排时(即每排的空位都各不相同)，至少需要空位232401223702⨯++++=L f ；当空位同样多的排数为2排时，至少需要空位 2(01211)111270⨯++++=⨯L f ；当空位同样多的排数为3排时，至少需要空位3(0127)8470⨯++++=L f ；当空位同样多的排数为4排时，至少需要空位4(0125)6070⨯++++=L p 。

故至少有4排座位上坐的学生人数同样多。

[前铺] 阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就座时，某些排坐着的人数就一样多。

我们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？如果10排人数各不相同，那么最多坐：16151487115L人；+++++=如果最多有2排人数一样，那么最多坐：(1615141312)2140++++⨯=人；如果最多有3排人数一样，那么最多坐：(161514)313148++⨯+=人；如果最多有4排人数一样，那么最多坐：(1615)4142152+⨯+⨯=人。

由于148150f，所以，只有3排人数一样的话将不可能坐下150个人，所p，152150以至少有4排。

【例10】甲地有70吨的货物要运到乙地，大货车的载重量是11吨，小货车的载重量是6吨，大货车运一趟耗油11升，小货车运一趟耗油7升，问：运完这批货物最少耗油__________升。

【分析】下表为各种运货方式大、小货车所用车辆数及空载量、耗油量的图表：大货车（辆）7 6 5 4 3 2 1 0小货车（辆）0 1 3 5 7 8 10 12空载量（吨）7 2 3 4 5 0 1 2耗油量（升）77 73 76 79 82 78 81 84 从图表中可以看出，用大货车6辆，小货车1辆，耗油最少，此时耗油73升。

【例11】有一种商品，买2个要1角钱，买5个要2角钱，买11个要4角钱，小明和小红都有整数角钱，小明的钱最多能买这种商品51个，要是他们的钱合在一起，则最多能买115个这种商品，那么小红的钱最多能买这种商品__________个。

【分析】若小明、小红的钱数多于4角，应先用4角买11个，当钱数不足4角又多于2角时，应用2角买5个，只有当钱数不足2角时，才用1角买2个，这样买到的商品就最多。

由于5111452=⨯+，所=⨯++，所以小明的钱数为：442119⨯++=（角）；11511105以小明与小红共有：410242-=（角），⨯+=（角）；所以小红的钱数为：421923⨯++=（个）。

=⨯++，所以小红的钱最多能买这种商品的个数为：1155262 234521[巩固] （2007年台湾第十一届小学数学世界邀请赛）商店里销售的铅笔有两种包装，五支包装的每包售价6元，七支包装的每包售价7元。

某校至少要购买铅笔111支，请问至少要花费________元。

[分析] 由条件5支包装的售价6元，平均每支65 1.2÷=元，7支包装的每包7元，平均每支÷=元。