广东公务员考试行测数量关系之整除.doc

整数的问题对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示：49=4×10+9，235=2×100+3×10+5，7064=7×1000+6×10+4，一、整除整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b 丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.1.整除的性质性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）.例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

例如：3丨6，6丨24，那么3丨24.性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除.例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36.如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的.例如：7与50是互质的，18与91是互质的.性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b 与c互质，那么a能被b×c整除.例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除.性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c 互质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.2.数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.是什么数字？解：18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果b=0，只有a=7，此数是7740；如果b=2，只有a=5，此数是7542；如果b＝4，只有a＝3，此数是7344；如果b＝6，只有a＝1，此数是7146；如果b＝8，只有a＝8，此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.例2 一本老账本上记着：72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把□67.9□写成整数679，它应被72整除.72＝9×8，9与8又互质.按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a＝3.这笔帐是367.92元.例3 在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.解：55＝5×11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.要被5整除，个位数只能是0或5.再考虑被11整除.（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040，7645.例5一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？，要使它被11整除，要满足（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是9876504.再介绍另一种解法.先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11（参见下页除式）.要满足题目的条件，这个数是9876543减6，或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字是0，1，2，3，4中的两个数字.43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此这个数是9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？（答：1023495）例6 某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？与上例题一样，有两种解法.解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：1993500，1993320，1993680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.解二：直接用除式来考虑.2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数是2520，这个七位数要被2520整除.现在用1993000被2520来除，具体的除式如下：因为2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.例7下面这个41位数能被7整除，中间方格代表的数字是几？解：因为111111＝3×7×11×13×37，所以555555＝5×111111和999999＝9×111111都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55□99能被7整除，原数就能被7整除.把55□99拆成两个数的和：55A00＋B99，其中□=A+B.因为7丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.注意，记住111111能被7整除是很有用的.例8 甲、乙两人进行下面的游戏.两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字之一填入下面任一个方格中每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.如果N小于15，当N取哪几个数时，乙能取胜？解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N＝5，甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.上面已经列出乙不能获胜的N的取值.如果N＝1，很明显乙必获胜.如果N＝3或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍.因此，乙必能获胜.考虑N＝7，11，13是本题最困难的情况.注意到1001＝7×11×13，乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2，这个六位数，能被7，11或13整除，乙就能获胜.综合起来，使乙能获胜的N是1，3，7，9，11，13.记住，1001＝7×11×13，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.二、分解质因数一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，….例9○＋（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.解：209可以写成两个质数的乘积，即209＝11×19.不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.这个算式是11×（17＋2）＝209，11×（2＋17）＝209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如360＝2×2×2×3×3×5.还可以写成360＝23×32×5.这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.例10有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？解：我们先把5040分解质因数5040＝24×32×5×7.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24×32×5×7＝7×8×9×10.所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.因为24＝23×3，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.这里有4×2＝8个，即（3＋1）×（1＋1）个，即对于24＝23×3中的23，有（3＋1）种选择：1，2，22，23，对于3有（1＋1）种选择.因此共有（3＋1）×（1＋1）种选择.这个方法，可以运用到一般情形，例如，144＝24×32.因此144的约数个数是（4＋1）×（2+1）＝15（个）.例11在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.解：有8＝7＋1；8＝（3＋1）×（1＋1）两种情况.（1）27＝128，符合要求，37＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.（2）23＝8，8×13＝104，8×17＝136，符合要求.33＝27；只有27×5＝135符合要求.53＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如720＝24×32×5，168＝23×3×7.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是23×3＝24.在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是24×32×5×7＝5040.例12两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？解：180＝22×32×5，30＝2×3×5.对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是90＝2×32×5.就知道另一数是22×3×5＝60.还有一种解法：另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找30，60，90，120，….这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.例13有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？解：把420分解质因数420＝2×2×3×5×7.为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20.分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.例13实质上是把420分解成两个互质的整数.利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.例14将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.6＝2×3，24＝23×3，45＝32×5，65＝5×13，77＝7×11，78＝2×3×13，105＝3×5×7，110＝2×5×11.先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因数7，105应放在第二组中，45放在第一组中，得到第一组：24，65，77，45.第二组：6，78，110，105.在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词--完全平方数.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.例如：4＝2×2，9＝3×3，144＝12×12，625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.例如：144＝32×42，100＝22×52，…例15 甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800＝24×52×7.在它含有的约数中是完全平方数，只有1，22，24，52，22×52，24×52.在这6个数中只有22×52＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）.2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112.例16小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？解：35＝5×7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.记住：对笔价来说，已排除了5，7，10，12这四个数.笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1，2，3，6，9.当然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11，17-9＝8.现在笔价又排除了：1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支13元，蓝笔每支4元.三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如95÷3，48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：65÷3＝21…… 2，38÷5＝7…… 3.上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是被除数÷除数=商……余数.上面两个算式可以写成65＝3×21＋2，38＝5×7＋3.也就是被除数=除数×商+余数.通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.例17 5397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.解：这个质数能整除5397-15＝5382，而5382＝2×31997×13×23.因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.例18求645763除以7的余数.解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成645763→15763→1763→363→13→6.如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：645763→15000→1000→6.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.例19 有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除967，1000，2001的两两之差，即1000-967＝33＝3×11，2001-1000＝1001＝7×11×13，2001-967＝1034＝2×11×47.这个整数是这三个差的公约数11.请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.例如，求出差1000-967与2001-1000，那么差2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）＝1001＋33＝1034.从带余除式，还可以得出下面结论：甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余数是5＋9＝14被13除的余数1.例20 有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为1998＝8×249＋6，所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.这十二个数构成一个循环.按照七天一轮计算天数是日，一，二，三，四，五，六.这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数0，1，2，3，4，5，6 的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被11除的余数是4×5＝20被11除后的余数9.1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.例21 191997被7除余几？解：从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.先写出一列数2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，2×2×2×2＝16，….然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.1997＝3× 665 ＋2.就知道21997被7除的余数，与21997被7除的余数相同，这个余数是4.再看一个稍复杂的例子.例22 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，55，….问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：3＝1×3-0，8=3×3-1，21=8×3-3，55=21×3-8，……不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3-1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以0×3加6再来减1.从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.70 ＝12×5+10.因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.例23 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，….它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5＋12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例24 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：先列出除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，…，再列出除以5余3的数：3，8，13，18，23，28，….这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，列出这一串数是8，23，38，…，再列出除以7余2的数2，9，16，23，30，…，就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.最后再看一个例子.例25在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一个连续的自然数是11.3和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11＋15×3＝56能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除.为了满足“在100至200之间”将54，55，56分别加上3，5，7的最小公倍数105.所求三数是159，160，161.注意，本题实际上是：求一个数（100～200之间），它被3整除，被5除余4，被7除余5.请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处？。

整除是计算中的一种解题技巧，那么什么是整除呢?如果被除数，除数，商都是正整数且余数为0，那么我们就说被除数能够被除数或商整除。

具体举个例子：6÷2=3，这就说明6是能够被2整除，也是能够被3整除的，或者说2或3是能够整除6的。

整除在数量关系的题目中到底是怎样用的，接下来通过几个例题来学习一下。

例1.小李参加了某次竞赛，赛后小王问小李得了第几名，小李说：“我考的分数、名次和我的年龄的乘积是2134”，小王想了想立即说出了小李的竞赛得分和名次，问当年小李的年龄是多少岁?A.14B.13C.12D.11【答案】D。

参考解析：这道题描述的是小李的分数、名次和年龄的乘积的问题，让我们求小李的年龄是多少。

我们知道名次数，年龄都是正整数，而2134也是正整数，说明分数也是正整数，那么我们就知道2134除以年龄等于正整数且没有余数。

所以2134是能够被年龄整除的，那么我们只需要看2134能够被四个选项中哪个整除就可以了。

2134除以141312都是除不尽的，而2134除以11等于194。

所以四个选项只有11能够整除2134，故选D。

例2.小明今年17岁，他邻居家有三个和他年龄相近的小伙伴，已知三位小伙伴的年龄之积为4800，并且小明和年龄最小的伙伴的年龄之和比其他两位伙伴的年龄之和小 4岁，则三位小伙伴中年龄最大的是( )岁。

A.19B.20C.21D.25【答案】B。

参考解析：这道题描述的是四个小伙伴年龄的乘积的事，让我们求三个小伙伴中年龄最大的是多少岁。

我们知道年龄是正整数，说明四个正整数的积是4800，换句话说，4800是能够被四个小伙伴的年龄整除的，当然也能够被最大的年龄整除。

所以我们只需要看四个选项中哪一个是能够整除4800的，很明显4800是不能够被19和21整除的，所以排除A、C选项。

而题干说小明和年龄最小的伙伴的年龄之和比其他两位伙伴的年龄之和小4岁，也就是说小明的年龄+三个伙伴中最小的年龄+4=三个伙伴中最大的年龄+三个伙伴中的中间年龄，因为最小年龄<三个伙伴中的中间年龄，所以最大的年龄<17+4=21岁，所以选择20。

⾏测数量关系技巧：整除法 任何⼀场考试取得成功都离不开每⽇点点滴滴的积累，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测数量关系技巧：整除法”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！⾏测数量关系技巧：整除法 ⾏测题⽬多、时间紧，很好考⽣都想有⼀些技巧性的猜题⽅法，尤其是数量关系部分，⼩编认为，利⽤整除性科学猜题不失为⼀种好⽅法。

⼀、整除的含义 若整数“a”除以⼤于0的整数“b”，商为整数，且余数为0。

那a能被b整除。

⼆、整除核⼼ 判断问题量在题⼲中的整除关系，从⽽排除错误选项。

三、运⽤ (⼀)⽂字描述整除(“平均”，“每”，“倍”…) 例1.⼀个旅游团租车出游，平均每⼈应付车费40元。

后来⼜增加了7⼈，这样每⼈应付的车费是35元，租车费是()元。

A.2000B.1960C.1900D.1850 【答案】B 【解析】租车费=每⼈应付车费×⼈数，，⼈数肯定是整数，就可以⽤整除。

租车费能被35整除，只有B选项满⾜。

例2.教室⾥有若⼲学⽣，⾛了10名⼥⽣后，男⽣⼈数是⼥⽣的2倍，⼜⾛了9名男⽣后，⼥⽣⼈数是男⽣的5倍，问最初教室⾥有多少⼈?A.15B.20C.25D.30 【答案】C 【解析】根据题意，“⾛了10名⼥⽣后，男⽣⼈数是⼥⽣的2倍”，最初教室⾥的⼈数减去10后能够被3整除，验证选项，只有C选项符合。

(⼆)数据体现整除(百分数、分数、⽐例…) 例3.某次英语考试，机械学院有210⼈报名，建筑学院有130⼈报名。

已知两个学院缺考的⼈数相同，机械学院实际参加考试的⼈数是建筑学院实际参加考试⼈数的　。

问建筑学院缺考的⼈数是多少?A.2B.4C.9D.12 【答案】A 【解析】出现了分数，由题“机械学院实际参加考试的⼈数是建筑学院实际参加考试⼈数的”，建筑学院实际参加考试⼈数能被8整除，即(130-选项答案)能被8整除，答案选A。

例4.在⼀次有四个局参加的⼯作会议中，⼟地局与财政局参加的⼈数⽐为5：4，国税局与地税局参加的⼈数⽐为25：9，⼟地局与地税局参加⼈数的⽐为10：3，如果国税局有50⼈参加，⼟地局有多少⼈参加( )。

2019广东公务员行测数量关系答题技巧：整除思想妙用无穷在理科解题中我们会有很多方法，整除是将节约时间体现到极致的一种方法，在绝大多数题目中，使用整除会大幅度缩减我们的常规解题时间。

在一般的行测考试中，题目会给大家若干个条件，无论使用什么方法大家都会发觉所有的条件都是有其作用的，而整除思想却是个例外。

在题目所给的若干个条件中我们只需要挑选其中的一个或者某几个必要的条件就可以解题了，而不需要使用所有的条件，这样就会大大的减少我们的解题时间，而提高我们的效率，这对于绝大多数行测考生而言是非常有利的条件。

接下来我们就来看看怎么利用整除思想快速解题。

一般而言，当题目中所设计到的题目主题本身是不可拆分元素(最小为1个整数单位)，并且出现数据：分数、比例、百分数(小数)、倍数时可以考虑使用整除思想。

举个简单的例子，如果题目中告知全校学生的男女人数之比是3:5，根据题目条件可知，人数一定是整数，所以男生人数一定是3份，女生人数是5份。

所以男生人数一点是3的整数倍，故应能被3整除，同理可知女生人数能够被5整除。

并且通过简单观察可知，全校总人数一定能被8整除，男女生人数差应该能被2整除。

利用我们得到的整除条件，再根据选项数字的整除特性即可确定唯一答案。

我们来看一道经典的例题：【例1】农民张三为专心养鸡，将自己养的猪交由李四合养，已知张三、李四共养猪260头，其中张三养的猪有13%是黑毛猪，李四养的猪有12.5%是黑毛猪，问李四养了多少同非黑毛猪?A.125B.130C.140D.150以题中的12.5%为突破口，为方便观察将其写成分数形式，可以看出，所以李四养的非黑毛猪是7的整数倍，观察选项只有140符合要求，因此答案选C。

当然，有的时候在使用整除时也需要有一定的转换，接下来我们来看一道考试题目：【例2】两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件?A.48B.60C.72D.96例题中的17%为突破口，为方便观察将其写成分数形式，可以看出刑事案件是17的整数倍，甲派出所总案件数是100的整数倍，而甲乙总共才160件，在160以内的100的整数倍只有100，所以甲派出所的总案件数是100，剩余乙派出所总案件数为60。

【公考辅导】数量关系：公考热点之整除及余数问题【公考辅导】数量关系：公考热点之整除及余数问题数学运算部分比较容易把握，尤其是如果熟练应用数字特征法，则在速度和精度上都会有飞跃。

本文就数字特征法的“整除性特征及余数特征”进行剖析，帮助学员解决数量难题。

题型特点：题目中出现“乘以”“除以”“积”“商”“几倍”“一半”“如果……分，剩余……；如果……分，就少……”等类似的词汇，或者直接出现分数时，就是典型的用“整除性及余数特征”进行解题。

题型分类：整除类：（典型特征词汇“乘以”“除以”“积”“商”“几倍”“一半”）【例1】老爷爷说：“把我的年龄加上12，再除以4，然后减去15，再乘以10，恰好是100岁。

”这位老爷爷现在有多少岁？（）A.66B.77C.88D.99【解析】快速读题，发现题目中有“除以4”因此想到用整除性。

年龄加上12以后还可以被4整除，说明原年龄就能被4整除，所以排除B、D；2+2布局类型，因此带入A答案验证，A答案错误，所以选C。

【例2】牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧．有一个过路人牵着一只肥羊从后面甩了上来．他对牧羊人说：你赶来的这群羊有100只吧?”牧羊人答道：“如果这一群羊加上一倍．再加上原来这群羊的一半．又加上原来这群羊的1／4，连你牵着的这只肥羊也算进去．才刚好满足100只．”牧羊人的这群羊一共有（）A.72只B.70只C.36只D.35只【解析】快速读题，发现题目中有“一半”及“1／4”，因此想到用整除性。

“加上原来这群羊的1／4”，说明原羊数能被4整除，所以排除B、D；2+2布局类型，因此带入A答案验证，72只太多了，所以A答案错误，所以选C。

【例3】师徒二人负责生产一批零件，师傅完成了全部工作数量的一半还多30个，徒弟完成了师傅数量的一半，此时还有100个没有完成，师傅徒弟二人已经生产了多少个零件？（）A.320B.160C.480D.580【解析】题目中有“徒弟完成了师傅数量的一半”，看到一半，想到用整除性。

行政职业能力测试之数量关系解题技巧：整除法
数量关系是事业单位考试的必考题型,这部分题一共十道,虽然不是很多,但是做起来比较耗时,主要是因为我们对于数量关系大都应用传统
的列式计算方法,那么今天给大家准备一个比较省时省力的技巧,整除法,能够协助大家节省时间,提升做题效率。

一、整除的概念：
如果A除以B等于C,ABC都是整数,那么我们就说A能够被B整除。

概念很容易理解,并不是很难,那么如何使用整除来计算.比如下边这道题
例：某公司组织员工到外地旅游时租了几辆同样的大巴车，若每辆车
坐32人则有8个人上不了车，若每辆车坐36人则最后一辆车还有12个空座。

问该公司共有员工多少人?
A.156 人
B.168 人
C.175 人
D.182 人
【答案】B。

解析：根据题意可知，该公司的员工总数减去8后能够被32整除，结合选项，只有B满足条件。

二、适用题型
并不是所有题都能够应用整除,那么面对什么样的题型我们能够采用整除这种技巧。

通常情况下在题中出现比例,百分数,分数,倍数的情况下,能够采用整除,比如：
例：某粮库里有三堆袋装大米。

已知第一堆有303袋大米，第二堆有
全部大米袋数的五分之一，第三堆有全部大米袋数的七分之若干。

问
粮库里共有多少袋大米?
A.2585袋
B.3535袋
C.3825袋
D.4115袋
【答案】B。

解析：由题意，所求大米总袋数为5的倍数和7的倍数，故是35的倍数，选择B。

常握好这种技巧,能够协助大家又快又准的计算出答案。

对于数学运算中的基本思想之一数的整除思想既是重点也是难点还是考点。

整除是数学运算中最重要的方法之一，利用整除解决问题会非常的快捷,这种方法可以将一些复杂的问题简单化,甚至常常无视题目所给的大部分条件，只利用某个整除关系即可解决问题,但是学生在应用这个方法的时候往往会出现不知道什么时候用的问题，一个好的方法如果不知道什么时候利用，就失去这种方法的价值。

当题目出现一些明显的整除关系词语的时候,比如倍数,平均，整除这样的字样，或者分数，百分数和比例这样的数字形式,我们比较容易想到用整除法,下面我们就用例题来深入的研究一下。

1、某校二年级3个班的学生排队,每排4人、5人或６人，最后一排都只有２个人，这个学校二年级可能有()名学生。

A 120B122Ｃ121 D12３【参考解析】首先题目中出现每,考虑用整除,有题干条件可知，总人数减2可以分别被4、5和6整除，只有B满足。

2、学校有足球和篮球的数量比为8：7,先买若干个足球,这是足球与篮球的比变为3：2,接着又买进一些篮球,这是足球与篮球数量比为７：6。

已知买进的足球比买进的篮球多3个,原来有足球多少个？A48 Ｂ4２C 36 D 30【参考解析】题目中出现比例，考虑用整除，原来足球与篮球只为为８:7,所以足球数为8的倍数，只有A。

行测数学运算题干中的数字之间往往都有着潜在的联系，最基础的体现就是两个数之间的整除关系。

利用数字之间整除的关系解题是常用的快速解题技巧，所以我们的学员学好整除运用的思想尤为重要。

２０20公务员考试行测备考:逻辑填空学会用遣词造句来辨析２020公务员考试行测备考:逻辑填空学会用遣词造句来辨析逻辑填空是行测必考题型,本身拥有词汇量大、高频词汇多、词语理解与语义理解并重等特点，也是考生在学习中比较难以提升的部分。

为了使大家对于逻辑填空题目能有进一步的提升，给大家介绍一种辨析方法,叫做遣词造句法。

第一、大家得知道遣词造句是什么。

遣:派,送;遣词:排列词语;造句：组织语句。

⾏测数量关系：整除在数学运算题中的应⽤ ⾏测数量关系找到了⽅法，还是能快速答题的！⼩编为⼤家提供⾏测数量关系：整除在数学运算题中的应⽤，⼀起来看看吧！ ⾏测数量关系：整除在数学运算题中的应⽤ 公考⾏测中，数学运算题来源于⽣活实际，因此很多所求的实际量只能是正整数，例如⼈数，某物品的个数等等，根据这⼀特性，我们在求解数学运算题时，找到所求量的整除特性，并结合选项数据就可以快速选出正确选项，节约做题时间以及提⾼得分率了。

今天⼩编就给⼤家介绍⼀些整除思想在实际做题中的运⽤。

⼀、提取整除信息 1、⽂字信息描述整除：“每”、“平均”、“均等”、“均分” 例：有⼀些苹果分给班上的同学，每⼈分得5个，正好分完。

根据上述题⼲信息的描述，我们可以知道苹果的总数可以被5整除。

2、数据体现整除：分数、百分数、倍数、⽐例 例：三年级⼀班的男⼥⽣⼈数之⽐为4:3 根据上述题⼲信息，我们知道该班男⽣⼈数能被4整除，⼥⽣⼈数能被3整除，全班⼈数能被7整除。

⽽如果题⼲中出现分数，百分数，倍数，我们都能将其转化成⽐例的形式，即可得到整除特性。

⼆、例题精讲 例1：某单位原拥有中级及以上职称的职⼯占职⼯总数的62.5%。

现⼜有2名职⼯评上中级职称，之后该单位拥有中级及以上职称的⼈数占总⼈数的7/11。

则该单位原来有多少名职称在中级以下的职⼯?A.25B.27C.29D.31 解析：原来中级以下的占1-62.5%=3/8，后来中级以下的占1-7/11=4/11。

最初中级以下的⼈数能被三整除。

排除A、C;最初中及以下的⼈数减2后能被4整除，排除D,选B. 例2:某书店新买的语⽂辅导书是数学辅导书的3倍，如果每天都卖出40本语⽂辅导书和15本数学辅导书，当数学辅导书卖完以后，还剩下10本语⽂辅导书，该书店进的语⽂和数学辅导书共多少本?A.90B.100C.110D.120 解析：由题意：每天都卖出40本语⽂辅导书和15本数学辅导书，即每天卖出55本书，所以语⽂和数学辅导书总数减10能被55整除。

公务员行测考试整除法说明数量关系是在行测中对大多数考生来说都比较难的部分，但是如果我们能够掌控一类题型的做题思路，相对来说就会对没有那么强的畏难情绪。

下面作者给大家带来关于公务员行测考试整除法说明，期望会对大家的工作与学习有所帮助。

公务员行测考试整除法说明一、整除与除尽的概念1、整除若整数“a”除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除。

2、除尽两数相除，没有余数，这时就说被除数能被除数除尽。

整除是除尽的一种情形。

二、常用小数字的整除判定1、局部看(1)一个数的末位能被2或5整除，这个数就可以被2或5整除;(2)一个数的末两位能被4或25整除，这个数就可以被4或25整除;(3)一个数的末三位能被8或 125 整除，这个数就可以被8或125整除;2、整体看(1)整体作和一个数各位数数字和能被3或9整除，这个数就可以被3或9整除。

(2)整体作差如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除。

三、整除的运用环境1、文字描写整除：明显整除字眼、显现“每”“平均”“倍数”;2、数据体现整除：显现分数、百分数、比例等。

四、整除的运用例1.若干学生住若干房间，如果每间住4人，则有20人没地方住;如果每间住8人，则有一间只有4人住，问共有多少学生?A.30B.34C.40D.44【答案】D。

解析：题干中显现“每”，可以推敲用整除。

每间住4人，则有20人没地方住，说明(总人数-20)能被4整除，20能被4整除，也意味着总人数能被4整除，排除A、B选项。

每间住8人，则有一间只有4人住，说明(总人数-4)能被8整除，排除C选项，故挑选D选项。

例2.公司四名促销员某月共推销新产品100件，甲与丁共推销64件，甲与乙销量的比例为5:3，丙与丁销量的比例为1:2，则甲该月推销了多少件?A.20B.28C.38D.40【答案】D。

解析：题干中显现比例，可以推敲用整除。

公考数量关系中数字整除特性的终极探究（上）有考生反映，明明在考前已经对某些知识点进行了有针对性的记忆，但是在考试的时候，还是记不住，那这是什么原因呢?归根究底就是对知识点并不了解，就比如整除特性，考前死记硬背的背过了，但是在用的时候，就给忘记了，那我们怎么才能加深这部分的记忆呢?现在就对整除特性进行终极探究。

数字的整除特性归根结底，比较常用的就是2、3、4、5、6、7、8、9、11、13这些数字，那我们怎么样才能加深印象呢?在这我们就把整除特性分为三大类：(1)分析末几位数字;(2)分析数字和值;(3)对数字拆分处理。

那为什么要进行这样的分类呢，我们先看下面的分析。

一、分析末几位数字这种情况主要针对于2、5这样的数字，就拿“2”为例，我们知道，只要是偶数就必然能被2整除，为什么呢?我们知道对于任意一个数字abcd，是不是就可以写作abc×10+d，由于abc×10，必然能被2、5整除，所以最终只需要分析d是不是能被2、5整除即可，并且abcd除以2或者5的余数，就是d除以2或者5的余数。

那对于4、25呢?我们知道4×25=100，所以对于abcd来说，由于abcd=ab×100+cd，并且ab×100必然能被4或者25，所以abcd能不能被4或者25整除，就转化为cd，也就是最后两位能不能被4或者25整除，并且abcd除以4或者25的余数，就是cd除以4或者25的余数。

【引申】我们从上面这个分析来看，由于4=22，25=52，是不是就是说对于22，或者52来说，只要分析整数的末两位能不能被22、52整除即可。

同理，那对于8、125呢?我们知道8×125=100，所以对于abcd来说，由于abcd=a×1000+bcd，并且a×1000必然能被8或者125整除，所以abcd能不能被8或者125整除，就转化为bcd，也就是最后三位能不能被8或者125整除，并且abcd 除以8或者125的余数，就是bcd除以8或者125的余数。