自动控制原理第九章 大学课件
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自动控制原理第九章
6
9-1-3 可观测性的基本概念
考虑线性时变系统,u(t)=0：
x(t ) A(t )x(t ) y (t ) C(t )x(t )
设：初始时刻t0；初始状态x(t0)；时间定义区间：Tt=(t0，t)
在有限时间(t0→t1)内，能由输出y(t) (t↔Tt)唯一确定初态值x(t0), 则称系统在[t0，t1]内是完全可观测的。简称可观测。 若对所有 tf > t0，系统均可观测，则称系统在[t0 ,∞)内完全可观测， 简称系统完全可观测。 若不能由y(t)(t↔Tt)唯一确定所有状态x(t0),则称系统不完全可观测， 简称不可观测。
可观性——系统内部所有变量的运动能由y来反映，即y ~x的关系。
例9-1 x 1 0
y c 1 0 b1 x u 2 b 2
U(s) b1
sX1 1/s -λ1 b2 sX2 1/s -λ2 X1 c1 Y(s)
c 2 x
若系统在所有时刻可控，称为系统是一致可控的。
3）系统不完全可控 状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不可控的。
4
几点说明: ①要求（t0，t1）是有限时间间隔；对转移的形式和路线没有要求， 即可控性表征系统运动的一个定性的特性； ②关于u(t)：对u(t)的幅值没有限制，但要求必须是容许控制，即：
当 R1 R 2 , 且C1 C2 时， rankS=2=n，系统可控 当R1 R 2 , 且C1 C2 时， rankS=1<n，系统不可控
x R 由电路图可知： 1 R 2 , C1 C2时， 1 x 2
i2 i1 C
1
x1
i4 i3 C2x =y 2
即不能通过u使x1,x2到达任意状态。
9-1-3 可观测性的基本概念
考虑线性时变系统,u(t)=0：
x(t ) A(t )x(t ) y (t ) C(t )x(t )
设：初始时刻t0；初始状态x(t0)；时间定义区间：Tt=(t0，t)
在有限时间(t0→t1)内，能由输出y(t) (t↔Tt)唯一确定初态值x(t0), 则称系统在[t0，t1]内是完全可观测的。简称可观测。 若对所有 tf > t0，系统均可观测，则称系统在[t0 ,∞)内完全可观测， 简称系统完全可观测。 若不能由y(t)(t↔Tt)唯一确定所有状态x(t0),则称系统不完全可观测， 简称不可观测。
可观性——系统内部所有变量的运动能由y来反映，即y ~x的关系。
例9-1 x 1 0
y c 1 0 b1 x u 2 b 2
U(s) b1
sX1 1/s -λ1 b2 sX2 1/s -λ2 X1 c1 Y(s)
c 2 x
若系统在所有时刻可控，称为系统是一致可控的。
3）系统不完全可控 状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不可控的。
4
几点说明: ①要求（t0，t1）是有限时间间隔；对转移的形式和路线没有要求， 即可控性表征系统运动的一个定性的特性； ②关于u(t)：对u(t)的幅值没有限制，但要求必须是容许控制，即：
当 R1 R 2 , 且C1 C2 时， rankS=2=n，系统可控 当R1 R 2 , 且C1 C2 时， rankS=1<n，系统不可控
x R 由电路图可知： 1 R 2 , C1 C2时， 1 x 2
i2 i1 C
1
x1
i4 i3 C2x =y 2
即不能通过u使x1,x2到达任意状态。
自动控制原理第9章
• 3)李雅普诺夫第2法
• 9.2
描述函数法
图9.6
非线性控制系统典型结构图
图9.7
非线性元件
• 描述函数法的基本思想是将非线性元件输
出中的基波分量代替实际的非正弦周期信
号，而略去信号中的高次谐波。这样处理
后，就与线性元件在正弦信号信用下的输
出具有形式上的相似，可以仿照幅相频率
特性的定义，建立非线性元件的近似幅相
第9章
非线性控制系统
• 本章先介绍自动控制系统中常见的典型非
线性特性，在此基础上介绍分析非线性控 制系统的常用2种方法——描述函数法和相
平面法。
• 9.1
• 9.1.1
• (1)
非线性控制系统概述
典型的非线性特性
• 图9.1是饱和非线性的静特性。图9.1中e(t) 为非线性环节的输入信号，x (t)为非线性环
继电器总有一定的吸合电压值，所以特性
必然出现死区和回环，学表达式为：
图9.4
继电器特性
（9.4）
• (5)
• 变放大系数特性如图9.5所示。其数学表达 式为： （9.5）
• 9.1.2
非线性系统的特性
• 非线性元件系统与线性控制系统相比，有 如下特点：
-1/N (A)曲线示于图9.21。由：
图9.21
例1的奈氏图
• 用试算法或作图法解得A =2.47。
• ②-1/N(A)与G(jω)的不相交，即ReG(jω)＞1/2时，系统退出自振。ReG(jω)=-1/2时的 K值为临界放大倍数。
• 解得K临=7.5。
• 9.4
• 9.4.1
相轨迹
• 设二阶系统微分方程式的一般形式为：
图9.20
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
自动控制原理(第九章)
15
一、 线性系统的状态空间描述（14）
4、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种：一直接根据 系统的机理建立相应的微分方程或差分方程，继而选择有关 的物理量作为状态变量，从而导出其状态空间表达式；二是 由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态空间表达式。
（1）根据系统机理建立状态空间表达式 通过例题来介绍根据系统机理建立线性定常连续系统 状态空间表达式的方法。
若状态 x 、输入 u 、输出 y 的维数分别为 n, p, q, 则称 n n 矩阵 A(t )及 G (k ) 为系统矩阵或状态矩阵或系数矩阵， 称 n p矩阵 B (t )及 H (k )为控制矩阵或输入矩阵，称 q n 矩阵 C (t ) 及C (k )为观测矩阵或输出矩阵，
12
x (t ) x1 (t ), x 2 (t ), , x n (t )
T
则向量 x (t ) 称为 n 维状态向量。
8
一、 线性系统的状态空间描述（7）
状态空间: 以 n 个状态量作为基底所组成的 n维空间称 为状态空间。 状态轨线： 系统在任一时刻的状态，在状态空间中用 一点来表示，随着时间的推移，系统状态在变化，并在状 态空间中描绘出一条轨迹。这种系统状态向量在状态空间 中随时间变化的轨迹称为状态轨迹或状态轨线。 状态方程： 描述系统状态变量与输入变量之间关系的 一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离 散时间系统）称为系统的状态方程。状态方程表征了系统 由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为 x(t ) f x(t ), u(t ), t 或 x(t k 1 ) f x(t k ), u(t k ), t k
常具有微分方程或差分方程的形式，称为状态方程。另一 T x x1 , x 2 ,, x n 及变量u u1 , u 2 , , u p T 个是表征系统内部变量 T 和输出变量 y y1 , y 2 , , y q 间转换关系的数学式，具有 代数方程的形式，称为输出方程。 仅当在系统具有一定属性的条件下，两种描述才具有 等价关系。
《自动控制原理》第九章 线性系统的状态空间分析与综合
第九章 线性系统的状态空间分析与综合在第一章至第七章中，我们曾详细讲解了经典线性系统理论以及用其设计控制系统的方法。
可以看到，经典线性理论的数学基础是拉普拉斯变换和z 变换，系统的基本数学模型是线性定常高阶微分方程、线性常系数差分方程、传递函数和脉冲传递函数，主要的分析和综合方法是时域法、根轨迹法和频域法，分析的主要内容是系统运动的稳定性。
经典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效的，但其显著的缺点是只能揭示输入-输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入-多输出系统。
在50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。
现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。
在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成熟的理论。
现代控制理论中的许多分支，如最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、随机控制、自适应控制等，均以线性系统理论为基础；非线性系统理论、大系统理论等，也都不同程度地受到了线性系统理论的概念、方法和结果的影响和推动。
现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入-状态-输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入—输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，是一种既适用于单输入--单输出系统又适用于多输入—多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和综合方法。
在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法的不同，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论、线性系统的多变量频域方法等。
由于状态空间法是线性系统理论中最重要和影响最广的分支，加之受篇幅限制，所以本章只介绍线性系统的状态空间法。
9-1 线性系统的状态空间描述1. 系统数学描述的两种基本类型这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。
自动控制原理第九章非线性控制系统PPT课件
02
非线性系统的数学描述
01
02
04
非线性微分方程
非线性微分方程是描述非线性系统动态行为的数学模型之一。
它通常表示为自变量和因变量的函数，其中包含未知函数的导数。
非线性微分方程的解可以描述系统的输出响应与输入信号之间的关系。
解决非线性微分方程的方法通常包括数值解法和解析解法。
03
非线性传递函数是描述非线性系统的另一种数学模型。
非线性系统的特点
研究非线性系统的方法包括解析法、数值法和实验法等。
总结词
解析法是通过数学推导和求解方程来研究非线性系统的行为和特性。数值法则是通过数值计算和模拟来研究非线性系统的行为和特性。实验法则是通过实际实验来研究非线性系统的行为和特性，通常需要设计和构建实验装置和测试系统。
详细描述
非线性系统的研究方法
它类似于线性系统的传递函数，但包含非线性项和饱和项。
非线性传递函数可以表示系统的输入输出关系，并用于分析系统的性能和稳定性。
分析非线性传递函数的方法包括根轨迹法和相平面法等。
01
02
03
04
非线性传递函数
非线性状态方程是描述非线性系统动态行为的另一种数学模型。
非线性状态方程可以用于分析系统的稳定性和动态行为，并用于控制系统设计。
非线性系统仿真软件
非线性系统仿真实例是通过计算机仿真技术对实际非线性系统进行模拟和分析的实例，它可以帮助用户更好地理解非线性系统的特性和行为，并验证仿真模型的正确性和有效性。
常见的非线性系统仿真实例包括电机控制系统、飞行器控制系统、机器人控制系统等，这些实例可以帮助用户更好地了解非线性系统的控制方法和优化策略。
飞行器控制系统
化工过程控制系统
非线性系统的数学描述
01
02
04
非线性微分方程
非线性微分方程是描述非线性系统动态行为的数学模型之一。
它通常表示为自变量和因变量的函数，其中包含未知函数的导数。
非线性微分方程的解可以描述系统的输出响应与输入信号之间的关系。
解决非线性微分方程的方法通常包括数值解法和解析解法。
03
非线性传递函数是描述非线性系统的另一种数学模型。
非线性系统的特点
研究非线性系统的方法包括解析法、数值法和实验法等。
总结词
解析法是通过数学推导和求解方程来研究非线性系统的行为和特性。数值法则是通过数值计算和模拟来研究非线性系统的行为和特性。实验法则是通过实际实验来研究非线性系统的行为和特性，通常需要设计和构建实验装置和测试系统。
详细描述
非线性系统的研究方法
它类似于线性系统的传递函数，但包含非线性项和饱和项。
非线性传递函数可以表示系统的输入输出关系，并用于分析系统的性能和稳定性。
分析非线性传递函数的方法包括根轨迹法和相平面法等。
01
02
03
04
非线性传递函数
非线性状态方程是描述非线性系统动态行为的另一种数学模型。
非线性状态方程可以用于分析系统的稳定性和动态行为，并用于控制系统设计。
非线性系统仿真软件
非线性系统仿真实例是通过计算机仿真技术对实际非线性系统进行模拟和分析的实例，它可以帮助用户更好地理解非线性系统的特性和行为，并验证仿真模型的正确性和有效性。
常见的非线性系统仿真实例包括电机控制系统、飞行器控制系统、机器人控制系统等，这些实例可以帮助用户更好地了解非线性系统的控制方法和优化策略。
飞行器控制系统
化工过程控制系统
石群自动控制原理(第9章)完整版
第九章线性系统的状态空间分析与综合9-1 线性系统的状态空间描述9-2 线性系统的可控性与可观性9-3 线性定常系统的反馈结构及状态观测器9-4 李雅普诺夫稳定性分析9-5 控制系统状态空间设计9凯莱-哈密顿定理设n 阶矩阵A 的特征多项式：则A 满足其特征方程，即推论1 矩阵A 的次幂可表示为A 的n-1阶多项式：式中与A 阵的元素有关。
1110()n n n f I A a a a λλλλλ−−=−=++++ 1110()n n n f A A a A a A a I−−=++++ ()k k n ≥10 , n k mm m A A k n α−==≥∑m α9秩判据线性定常连续系统：其状态完全可控的充分必要条件是：其中，A 为n 维方阵；称为系统的可控性判别阵。
0()()(), (0), 0xt Ax t Bu t x x t =+=≥ 1n rank B AB A B n −⎡⎤=⎣⎦1 n S B AB A B −⎡⎤=⎣⎦9PBH 秩判据线性定常连续系统：其状态完全可控的充分必要条件是：式中，是矩阵A 的所有特征值。
另一种等价描述为：说明：因为这个判据是由波波夫(Popov ) 和贝尔维奇(Belevitch ) 首先提出，并由豪塔斯(Hautus ) 最先指出其可广泛应用性，故称为PBH 秩判据。
0()()(), (0), 0xt Ax t Bu t x x t =+=≥ (1,2,,)i i n λ= [] ; 1,2,,i rank I A B n i nλ−== [] ; rank sI A B n s C−=∀∈9对角线规范型判据线性定常连续系统：矩阵A 的特征值两两相异，变为对角线规范型：系统完全可控的充要条件不包含元素全为零的行12,,,n λλλ 12 0 0 n x x Bu λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0()()(), (0), 0xt Ax t Bu t x x t =+=≥ B4. 输出可控性如果系统需要控制的是输出量，而不是状态，则需要研究系统的输出可控性。
精品课件-自动控制原理-第9章
【例9-6】 已知图9-3所示电路的输入量为电流i，现 指定电容C1和C2上的电压uC1、uC2为输出量， L1、L2、C1和C2 为已知的独立变量。试建立此电路网络的状态空间表达式。
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性 图 9-3 电路系统
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性
解 根据基尔霍夫电流定律，可以得到a、b和c三个节点 处的电流关系分别为
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性
可把上式表示为如下两个一阶微分方程:
u2
(t)
1 C
i(t)i(t )来自1 Lu2 (t)
R L
i(t)
1 L
u1 (t )
取状态变量x1=u2(t)，x2=i(t)，则系统的状态方程为
输出方程
x1
1 C
x2
描x述2 系 统 L1输x出1 量RL与x状2 态 变L1 量u1 间的函数关系式，
通常，对于单变量系统，状态方程习惯写成如下形式:
x1 a11x1 a12x2 a1n xn b1u x2 a21x1 a22x2 a2n xn b2u xn an1x1 an2 x2 ann xn bnu
(9.1)
输出方程为
y=c1x1+c2x2+…+cnxn+du 写成矩阵向量形式为
x1 x2
1
L
0
u
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性
若指定角速度ω为输出，则系统的输出方程为
y x2 0
1
x1 x2
若指定机械旋转部分转角θ为输出，则系统需增加一个
状态量x3=θ，并且有
x3 x2
(9.2)
x Ax Bu
y
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性 图 9-3 电路系统
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性
解 根据基尔霍夫电流定律，可以得到a、b和c三个节点 处的电流关系分别为
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性
可把上式表示为如下两个一阶微分方程:
u2
(t)
1 C
i(t)i(t )来自1 Lu2 (t)
R L
i(t)
1 L
u1 (t )
取状态变量x1=u2(t)，x2=i(t)，则系统的状态方程为
输出方程
x1
1 C
x2
描x述2 系 统 L1输x出1 量RL与x状2 态 变L1 量u1 间的函数关系式，
通常，对于单变量系统，状态方程习惯写成如下形式:
x1 a11x1 a12x2 a1n xn b1u x2 a21x1 a22x2 a2n xn b2u xn an1x1 an2 x2 ann xn bnu
(9.1)
输出方程为
y=c1x1+c2x2+…+cnxn+du 写成矩阵向量形式为
x1 x2
1
L
0
u
第九章 状态空间系统响应、可控性与可观性
若指定角速度ω为输出，则系统的输出方程为
y x2 0
1
x1 x2
若指定机械旋转部分转角θ为输出，则系统需增加一个
状态量x3=θ，并且有
x3 x2
(9.2)
x Ax Bu
y
自动控制原理第9章
新建M文件 打开文件
导入数据Mat文件 将工作空间所有变量和数据保存为数据 Mat文件 设置MATLAB文件搜索路径 设置MATLAB软件参数 界面配置和切换
MATLAB软件帮助
三、界面窗口)
浏览MATLAB软件当前工作目录的文件。
2、工作空间窗口(Work space) 显示当前工作空间中的变量，可以显示每个变量的名称(Name)、值
解：>>
a=conv([1 1],[1 2])
a=
1
3
2
三、常用的基本命令/函数 format short 设置数值显示格式为短格式，显示小数点后4位有效数 字；
format long 设置数值显示格式为长格式，双精度数显示小数点后15 位有效数字，单精度显示小数点后7位有效数字；
clear 清除工作空间中的变量；
工具栏中Simulink启动图标可启动Simulink，当前目录指示器显示 当前的工作目录，目录设置按钮可以设置当前工作目录.
菜单
菜单说明
File:New:M-file File:Open File:Import Data File:Save Workspace as File:Set Path File:Preferences Desktop Help
4、命令窗口（Command Window） MATLAB软件操作最主要的窗口，用于输入命令和数据、运行
MATLAB函数和程序并显示结果； 命令窗口的提示符为“>>” ； 命令窗口显示的数值格式默认为短格式(format short) 。
矩阵编辑器
9.2 MATLAB程序基础
一、MATLAB的变量 赋值语句格式： 变量名=值或表达式 变量被赋值后在工作空间 (Work space) 显示。赋值语句后可以不带
自动控制原理石群9章完整ppt课件
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
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第九章非线性控制系统简介 1 主要内容简介 Description Function（描述函数）Lyapunov（李亚普诺夫）稳定性分析 2 简介简介回顾非线性系统特点
研究非线性系统的意义与方法典型非线性特性的数学描述 3 简介 1. 回顾
到目前为止前面的分析与设计都是基于线性系统的.
许多实际系统在某个操作点附近都可以近似为线性系统. 但是
非线性特性问题仍然不容忽视，本章就非线性控制进行简要介绍. 4 简介 x1 t y1 t x 2 t y 2 t 2. 非线性系统特点 a1 x1 t a 2 x 2 t a1 y1 t a 2 y 2 t
非线性系统与线性控制系统相比，具有一系列新的特点 1
线性系统满足叠加原理，而非线性控制系统不满足叠加原理（指同时满足叠加性与均匀性
虽然非线性系统通过利用非线性滤波，可使系统满足叠加性（如图示），但不可能满足均匀性。
滤波器 I 非线性器件 I X1X2 Y1＋Y2 滤波器 II 非线性器件 II
带滤波器的非线性系统 5 简介 2.
非线性系统特点非线性系统与线性系统相比，具有一系列新的特点:2
非线性系统的稳定性不仅取决于系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关系
对非线性系统而言，稳定性总是针对某一平衡点（状态）讨论的。
所谓平衡点（状态）： xt f x t 设 f x t 0 求出满足的所有xe
即为非线性系统的平衡点 6 简介 2. 非线性系统特点例：对于一由非线性微分方程 x x 1 x 描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即x10 和 x21。
将上式改写为 dx 设t＝0时，系统的初态为x0。
积分上式可得 dt x 1 x x0 e t xt 1 x 0 x 0 e t xt
若初始条件x0＜1，随着时间 1 t t xt0，即平衡状态x10 x0 ln 是小范围稳定的
当x0＞1时， x0 1 0 在tlnx0/x0-1时， xt 这说明x21是不稳定的平衡状态。
一阶非线性系统 7 简介自激振荡（自振）：没有外界周期变化信号
的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频 2. 非线性系统特点
率的稳定周期运动。
非线性系统与线性系统相比，具有一系列新的特点: 3
非线性系统可能存在自激振荡现象（即维持等幅振荡运动）
对于二阶非线性系统，这种自激振荡状态称为极限环。
4
非线性系统在正弦信号作用下，其输出存在极其复杂的情况：
跳跃谐振和多值响应 A 2 2 3 1 . 4 4 .5 跳跃谐振与多值响应 8 简介 2.
非线性系统特点分频振荡和倍频振荡
非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同频率振
荡外，还可能产生倍频振荡和分频振荡。
如图所示波形。
输入信号 t倍频信号
t分频信号 t 倍频振荡与分频振荡 9 简介 3.
研究非线性系统的意义与方法研究非线性系统的意义1）实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。
这些非线性因素的
存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际
系统的控制效果不一致。
线性系统理论无法解释非线性因素所产生
的影响。
2）非线性特性的存在，并非总是对系统产生不良影响。
10 简介 3.
研究非线性系统的意义与方法研究非线性系统的方法
1）相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。
通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的方法。
2）描述函数法是受线性系统频率分析法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。
它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。
3）计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度求解非线性微分方程的一种数值解法。
11 简介 3. 研究非线性系统的意义与方法常见的非线性特性：继电特性
死区特性饱和特性滞环 y y y y M k0 k0 - -a x Δ 0Δ x 0 a x x -M 死区双位
死区滞环双位间隙双位 y y y x x x 12 简介 4. 典型非线性特性的数学描述饱和特性在电子放大器中常见的一种非线性，如图所示.
x饱和装置的输入特性的数学描述如下： b k ke t et e0 -e0 e x t ke 0 signe t et
e0 e0 饱和特性 13 简介 4. 典型非线性特性的数学描述死区特性
死区特性也称为不灵敏区，大量存在各种放大器中。
其特性如图所示。
其数学描述如下： 0 et e0 xt k et e0 signet et e0 xt k et -e0 e0 死区特性 14 简介 4.
典型非线性特性的数学描述间隙特性
存在于齿轮之间。
其特性如图所示。
其数学描述如下： k et e0 xt 0 x xt k et e0 xt 0 bsignet xt 0 b k k -e0 e e0 -b 间隙 15 简介 4.
典型非线性特性的数学描述继电特性
继电特性是根据控制的需要，人为产生的一种非线性特性。
在使用继电特性时，有四种可供选择的形态。
x 1）理想继电特性 M M e 0 xt M e 0 0 e
理想的继电特性 16 简介 4. 典型非线性特性的数学描述继电特性
继电特性是根据控制的需要，人为产生的一种非线性特性。
在使用继电特性时，有四种可供选择的形态。
x2）具有死区的继电特性 M et e0 -e0 e0 et e0xt 0 e0 0 e M et e 0 具有死区的继电特性 17 简介 4. 典型非线性特性的数学描述继电特性
继电特性是根据控制的需要，人为产生的一种非线性特性。
在
使用继电特性时，有四种可供选择的形态。
3）具有磁滞回环的继电特性 x M et 0 et e0 et 0 et e0 Mxt M et 0 et e0 et 0 et e0 -e0 e0 e 0
具有滞环的继电特性 18 简介 4. 典型非线性特性的数学描述继电特性
继电特性是根据控制的需要，人为产生的一种非线性特性。
在使用继电特性时，有四种可供选择的形态。
x4）具有磁滞回环和死区的继电特性 M M e 0 e e0 e 0 e me0 -e0 -me0 e 0 e 0 me0 e e0 0 me0 e0 xt e 0 e0 e me0 M e 0 e me0 e 0 e e0
具磁滞回环和死区的继电特性 19 主要内容简介 Description Function（描述函数）Lyapunov（李亚普诺夫）稳定性分析 (20)。