A-level物理：弹簧串并联劲度系数k的推导及应用 (一)
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A-level物理：弹簧串并联劲度系数k的推导及应用 (一)
在A-level 物理 AS考试中，我们有时会见到对弹簧串并联系统的考核。
例如2005年春季的选择题20题：
此题已知条件中给出了弹簧的三种组合方式 X Y Z，在悬挂重物之后，需要将弹簧的总伸长量从小到大来排列。
遇到这类题目，我们第一时间想到的，就是与弹簧类问题联系密切的胡克定律（Hooke’s Law）F=kx.
Hooke’s law: The extension produced in an object is proportional to the force producing it, provided the elastice limit is not
exceeded.
这里面F是对弹簧施加的load，x则是弹簧的伸长量（extension），而k就是弹簧的劲度系数(force constant or spring constant)了。
如果是单个弹簧悬挂重物的系统，那么无论是求弹簧的伸长量x，还是求弹簧的劲度系数k，都很简单，无非就是对公式变形，再带入已知量，求未知量的过程。
如果是类似上面题目的由若干弹簧串并联组合而成的系统，题目的难度就上了一个层次。
但是掌握了弹簧串并联系统劲度系数的公式之后，此类问题将迎刃而解。
当两弹簧串联时，总劲度系数k = k1k2k1+k2
当两弹簧并联时，总劲度系数k = k1+k2
注意，劲度系数的求法与电学中计算总电阻的公式正好相反！同学们记住这一条就能很好的记忆上述公式。
扩展开来，在遇到多个弹簧串并联时，总劲度系数分别为：
串联：1k= 1k1+1k2 + …
并联：k = k
1+ k
2
+ …
那么上述公式是如何得出的呢， CIE教材里面并未给出具体的推导过程。
如果同学们对弹簧系统进行仔细的受力分析，不难得出：
弹簧1和2在串联时：弹簧的总伸长量为所有弹簧伸长量之和，即 x=x
1+x
2
.
假设弹簧受到拉力F，弹簧1伸长x
1= F / k
1
, 弹簧2伸长x
2
= F / k
2
，则
总伸长x= F / k
1+ F / k
1
，新的劲度系数k=F/x = 1/(1/k
1
+1/k
2
)，整理可得
1/k=1/k
1+1/k
2
弹簧1和2在并联时：弹簧的load被各个子弹簧分摊。
假设两根弹簧的
伸长量是x，则受力F = k1*x+k2*x，而F=kx，故新的劲度系数k = k
1+ k
2
回到上面的题目，题目中说各个子弹簧是similar的，即可以理解为它们的劲度系数k相等。
对于X来说，此系统由两个弹簧并联组成，故总劲度系数K
x
=k+k=2k
对于Y来说，此系统是由两个并联弹簧再与两个并联弹簧串联组成的，两个并联弹簧的劲度系数我们已经知道是2k，那么总劲度系数
1/K
y =1/2k+1/2k 故K
y
=k
对于Z来说，此系统是由两个并联弹簧再与一个弹簧串联组成的，总总劲
度系数 1/K
z = 1/2k+1/k 故 K
z
=23 k
由此，我们得到 K
x > K
y
>K
z
,由于 F= kx, 而三个系统 X,Y, Z均悬挂了
相同的load，故F相同，所以 k与伸长量x成反比， Xx<Xy<Xz
系统X的伸长量最小，系统Z的伸长量最大，选项A为正确答案。
下面是08年秋季的21题，跟上面的题目非常类似，同学们自己动手算一下，以巩固刚刚讲的公式:
此题的A B和C系统的劲度系数在之前的题目中已经求解过，同学们只需计算D系统的劲度系数，在与其他三个进行比较即可。
注意此题问的是最大伸长量，而不是最大的劲度系数。
正确答案为C。
