2022-2023学年陕西省咸阳市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．命题“30,31x x x ∃>≥+”的否定是（ ） A ．30,31x x x ∃><+ B ．30,31x x x ∀<≥+ C ．30,31x x x ∀><+ D ．30,31x x x ∃<<+【答案】C【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得答案. 【详解】命题“30,31x x x ∃>≥+”的否定是30,31x x x ∀><+． 故选：C.2．若椭圆2213620x y +=上一点P 到右焦点的距离为5，则它到左焦点的距离为（ ）A ．31B ．15C ．7D ．1【答案】C【分析】由椭圆的定义：动点到两定点的距离之和为定值常数.即可得出答案.【详解】椭圆2213620x y +=中，2366a a =⇒=，记椭圆2213620x y +=的左焦点为1F ，右焦点为2F ，则25PF =，由椭圆的定义可知：12212PF PF a +==， 所以11257PF =-=， 故选：C.3．已知01,0a b <<<，则下列大小关系正确的是（ ） A ．2ab b a b << B ．2b ab a b <<C ．2b a b ab <<D ．2a b b ab <<【答案】B【分析】根据不等式性质，不等式两边同时乘负数，改变不等号，不等式两边同时乘正数，不改变不等号，可得答案.【详解】对于A ，因为01,0a b <<<，所以ab >b ，故错误；对于B ，因为01,0a b <<<，所以ab >b ，又因为0a <，所以2a b ab >， 则2b ab a b <<，故正确；易知C ，D 错误.4．已知0x >，0y >，若41x y +=，则()()411x y ++的最大值为（ ）． A ．94B ．14C ．34D ．1【答案】A【分析】由基本不等式求最大值．【详解】()()()()2411941124x y x y +++⎡⎤++≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当41141x y x y +=+⎧⎨+=⎩，即18x，12y =时，等号成立．故选：A ．5．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1,,AB a AD b AA c ===，则1BD =（ ）A ．a b c ++B ．a b c -++C ．a b c -+D ．a b c +-【答案】B【分析】根据空间向量线性运算求解即可. 【详解】连接1AD ，如图所示：111BD AD AB AA AD AB c b a =-=+-=+-.6．已知{}n a 是递增的等比数列，且20a <，则其公比q 满足（ ） A ．1q <- B ．10q -<< C ．1q > D ．01q <<【答案】D【分析】先确定0q >,由20a <得10a <,根据{}n a 的单调性确定q 的取值范围.【详解】{}n a 是等比数列，故11n n a a q -=，当0q <时， {}n a 各项正负项间隔,为摆动数列,故0q >,显然1q ≠，由120a a q =<得10a <，又{}n a 是递增的等比数列，故{}1n q -为递减数列,由指数函数的单调性知01q <<.故选:D7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()03,A y 在抛物线C 上，O 为坐标原点，若6AF =，则OA =（ ）A ．3B ．C ．6D ．【答案】B【分析】根据焦半径公式求出p ，从而可求得0y ，再根据两点间的距离公式即可得解. 【详解】解：由题意可得362pAF =+=，解得6p ， 则2026336y =⨯⨯=，故OA 故选：B.8．已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立； 若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，故必要性不成立； 所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件.故选：A.9．若变量x y ，满足约束条件+4200x y x y x y ≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．7C ．8D ．10【答案】B【分析】根据约束条件，作图表示可行域，根据目标函数的几何意义，可得答案. 【详解】在平面直角坐标系内，可行解域如下图所示:平移直线2y x z =-+，在可行解域内，经过B 点时，直线2y x z =-+在纵轴上的截距最大，解二元一次方程组:()+=4=331=2=1x y x B z x y y ⇒∴-⎧⎧⎨⎨⎩⎩，，，的最大值为2317⨯+=， 故选：B.10．2022年11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”，一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知中国空间站在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度约为351km ，远地点高度约为385km ，地球半径约为6400km ，则该轨道的离心率约为（ ） A ．176768B ．17368C ．385736D ．678513536【答案】A【分析】根据题意求出,a c 即可求解.【详解】由题可知，38564006785a c +=+=，35164006751a c -=+=，解得6768,17a c ==，所以离心率为176768c a =， 故选:A.11．已知数列{}n a ，定义数列{}12n n a a +-为数列{}n a 的“2倍差数列”.若{}n a 的“2倍差数列”的通项公式1122n n n a a ++-=，且12a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．()1122n n +-+ B ．122n n +⋅-C ．()122nn -+ D ．()122nn +-【答案】A【分析】由1122n n n a a ++-=可得11122n n n n a a ++-=，从而得数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为1，公差1d =的等差数列，求得2nn a n =⋅，再根据错位相减法即可得n S .【详解】根据题意得11122,2n n n a a a ++-==，11122n nn na a ++∴-=， ∴数列2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为1，公差1d =的等差数列， ()11,22n nn n a n n a n ∴=+-=∴=⋅， 123122232...2n n S n ∴=⨯+⨯+⨯++⋅， 23412122232...2n n S n +∴=⨯+⨯+⨯++⋅， 23412222...22n n n S n +∴-=++++-⋅()111212222212n n n n n n +++-=-⋅=-+-⋅-，()1212n n +=-+-，()1122n n S n +∴=-+.故选：A.12．已知12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左､右焦点，过1F 作b y x a=-的垂线分别交双曲线的左､右两支于,B C 两点(如图).若22CBF CF B ∠∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =B ．2y x =C ．)31y x =±D ．)31=±y x【答案】C【分析】根据已知条件和双曲线的定义可求得12BF a =，24BF a =，再在12BF F △中运用余弦定理建立关于a ，b ，c 的方程，可求得双曲线的渐近线方程得选项.【详解】解：由22CBF CF B ∠∠=，设2BC CF m ==，由122CF CF a -=得，12BF a =，所以24BF a =，2222221122121124416cos 28BF F F BF a c a BF F BF F F ac∠++-+-==⋅⋅，又112tan F C a k BF F b ∠==得12cos b BF F c ∠=，22244168a c a bac c+-∴=，令1a =，化简得：2220b b --=，得13b =)31y x =±，故选：C.二、填空题13．已知空间向量()6,3,1a =-与()3,,b x y =共线，则x y -=______. 【答案】2-【分析】根据空间向量共线坐标表示列方程求解,x y 的值，即可得x y -的值.【详解】空间向量()6,3,1a =-与()3,,b x y =共线，则存在实数λ，使得a b λ=，则6331x y λλλ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得312,,22x y λ==-=，所以31222x y -=--=-.14．写出一个离心率为22的双曲线方程为___________.【答案】2217y x -=（答案不唯一）【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得22c e a==，即22c a =，假设双曲线的焦点在x 轴且1a =，求出双曲线的标准方程，即可得答案．【详解】根据题意，要求双曲线的离心率22c e a==，则22c a =， 若双曲线的焦点在x 轴，令1a =，则22c =，227b c a =-=，则要求双曲线的方程为2217y x -=，故答案为：2217y x -= (其他符合的也对)15．已知命题[]:1,4,4ap x x x ∃∈+>是假命题，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(,0]-∞【分析】将问题等价转化为[1,4]x ∀∈，4ax x+≤恒成立，利用二次函数的性质即可求解.【详解】命题[]:1,4,4ap x x x ∃∈+>是假命题，即命题[1,4]x ∀∈，4ax x+≤是真命题，也即24a x x ≤-+在[1,4]上恒成立， 令22()4(2)4f x x x x =-+=--+，因为[1,4]x ∈，所以当4x =时函数取最小值， 即min ()(4)0f x f ==，所以0a ≤， 故答案为：(,0]-∞.16．《墨经·经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在远近有端，与于光，故景库内也.”这是中国古代对小孔成像现象的第一次描述.如图为一次小孔成像实验，若物距：像距236:1,12,cos 32OA OB A OB ∠====''，则像高为___________.【答案】32##1.5【分析】利用余弦定理求得9AB =，再根据物距∶像距61=∶,即可求得答案. 【详解】由 23cos 32A OB ''∠=，则23cos 32AOB ∠=，又12OA OB ==，则2222323228821212813232AB OA OB OA OB +-⨯⨯⨯=-=⨯⨯⨯=, 即9AB =，又物距∶像距61=∶， 则1362A B AB ''=⨯=，即像高为32，故答案为：32．三、解答题17．设函数2()6,f x ax ax a =-++∈R ．(1)当1a =时，求关于x 的不等式()0f x <的解集；(2)若关于x 的不等式()0f x >的解集为R ，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){|2x x <-或3}x > (2)(24,0]-【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解， （2）由题意列不等式组求解，【详解】（1）当1a =时，260x x -++<，即260x x -->， 即(2)(3)0x x +->，解得<2x -或3x >，所以当1a =时，不等式()0f x <的解集为{|2x x <-或3}x >． （2）当0a =时，()0f x >的解集为R ，满足题意；当0a ≠时，由20240a a a ->⎧⎨+<⎩，解得240a -<<，综上，实数a 的取值范围是(24,0]-．18．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a 、2a 、5a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2n b =，求数列{}b 的前n 项和n S .【答案】(1)21n a n =- (2)221n nS n =+【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件可得出关于d 的等式，解出d 的值，再利用等差数列的通项公式即可求得n a 的表达式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用裂项相消法可求得n S .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，11a =，则21a d =+，514a d =+，且0d ≠， 又因为1a 、2a 、5a 成等比数列，所以()2114d d +=+，即220d d -=， 又0d ≠，解得2d =， 所以()12121n a n n =+-=-. （2）由（1）知()()21121212121n b n n n n ==--+-+， 所以111111112113355721212121n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 19．在三角形ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos cos 2sin a C c Ab B+= (1)求B ；(2)若B 为锐角，6A π=，BC 边上的中线长AD =ABC 的面积．【答案】(1)6B π=或56π；【分析】⑴利用正弦定理进行边角互换，再结合()sin sin A C B +=求出B ； ⑵在三角形ACD 中利用余弦定理求出边AC ，再利用三角形的面积公式求面积. 【详解】（1）在△ABC 中，因为，cos cos 2sin a C c Ab B+=由正弦定理得sin cos sin cos 2sin sin 0A C C A B B +-=，所以sin()2sin sin 0A C B B +-=，即sin (12sin )0B B -=，又因为sin 0B ≠，所以1sin 2B =， 因为B 是三角形的内角，所以6B π=或56π． （2）因为B 为锐角，所以B π=，△ABC 为等腰三角形，2C π=，在△ABC 中，设AC ＝BC ＝2x ，在△ADC 中，由余弦定理得222222cos773AD AC DC AC DC x π=+-⋅==， 解得x ＝1，所以AC ＝BC ＝2，所以1sin 32ABCS AC BC C =⋅⋅=， 所以三角形的面积为3．20．如图四棱锥S ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，SD ⊥平面ABCD ，点M 是SA 的中点，22AD SD CD AB ====.用空间向量知识解答下列问题：(1)求证：DM ⊥平面SAB ； (2)求平面SAB 与平面SBC 的夹角. 【答案】(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）以D 为原点，DA ，DC ，DS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间坐标运算证明线面垂直即可；（2）由（1）确定平面平面SAB 与平面SBC 的法向量，根据坐标运算即可求得面面夹角的大小. 【详解】（1）证明：AD DC ⊥，SD ⊥平面ABCD ，则DA ，DC ，DS 两两垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2S ，()1,0,1M . ∴()1,0,1DM =，()2,0,2SA =-，()0,1,0AB =.∴()2020DM SA ⎧⋅=++-=⎪，∴DM SA ⊥，DM AB ⊥，又SA AB A ⋂=，SA ，AB ⊂平面SAB ，∴DM ⊥平面SAB .（2）由（1）知DM 为平面SAB 的一个法向量，()0,2,2SC =-，()2,1,0BC =-.设平面SBC 的法向量为(),,m x y z =，则02202020SC m y z y z x y y x BC m ⎧⋅=-==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+==⋅=⎩⎩⎪⎩，令1x =，则2y =，2z =. ∴平面SBC 的一个法向量为()1,2,2m =.∴11o ,c s m DMm DM m DM ⋅⨯===∴平面SAB 与平面SBC 的夹角为π4. 21．已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的左，右焦点分别为12,F F (1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上是否存在点P 使得12PF PF ⊥？若存在，求12PF F △的面积，若不存在，请说明理由.【答案】(1)2214x y += (2)存在，面积为1【分析】(1)根据椭圆中,,a b c 的关系求解；(2)根据12PF PF ⊥可得22003x y +=，联立220022003,1,4x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可求出0y ，进而可求面积. 【详解】（1）椭圆222:1(1)x C y a a +=>=，解得24a =. ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）由（1）知())12,F F， 假设椭圆C 上存在点00(,)P x y ，使得12PF PF ⊥， 则())120000,,0PF PF x y x y ⋅=--⋅-=，即22003x y +=， 联立220022003,1,4x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得220081,33x y ==. ∴椭圆C 上存在点P 使得12PF PF ⊥.1212011122PF F S F F y ∴==⨯=. 22．已知抛物线T 的顶点在坐标原点，焦点与圆F ：22()1x y a +-=（14a >）的圆心重合，T 上一点()1,M m 到焦点F 的距离54FM =. (1)求抛物线T 的方程； (2)过焦点F 的直线l 与抛物线T 和圆F 从左向右依次交于A ，B ，C ，D 四点，且满足22218AB BC CD ++=，求直线l 的方程. 【答案】(1)24x y =(2)1y =+【分析】（1）根据圆心即抛物线焦点位置，设抛物线标准方程为24x ay =，再利用点()1,M m 在抛物线上和抛物线定义建立方程组，解出a 与m 即可；（2）由BC 为圆F 的直径，BF 、CF 为圆F 的半径，将22218AB BC CD ++=化为()()22218AF BF BC DF CF -++-=，再设直线方程，与抛物线方程联立后，根据A ，D 坐标利用抛物线定义进行求解.【详解】（1）∵14a >，∴圆F ：22()1x y a +-=（14a >）的圆心()0,F a 在y 轴正半轴， ∴设抛物线T 的标准方程为24x ay =，准线方程为y a =-，∵()1,M m 在抛物线T 上，∴214am =又∵M 到焦点F 的距离54FM =，∴()1,M m 到准线y a =-的距离54d m a =+=， ∴1=454am m a ⎧⎪⎨+=⎪⎩，∵14a >，∴解得114a m =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴抛物线T 的方程为24x y =.（2）由（1），圆F ：22(1)1y x +-=， 由题意，BC 为圆F 的直径，2BC =，BF 、CF 为圆F 的半径，1BF CF ==， ∵22218AB BC CD ++=，∴()()22218AF BF BC DF CF -++-=， ∴()()2214118AF DF -++-=，设()11,A x y ，()22,D x y ，由抛物线定义，11AF y =+，21DF y =+，∴()()22121141118y y +-+++-=，即221214y y +=， 由题意，直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y =+⎧⎨=⎩，消去x ，整理得()224210y k y -++=（0∆>），∴21242y y k +=+，121y y =.∴()()22222121212242214y y y y y y k +=+-=+-=，解得k =.∴直线l 的方程为1y =+. 【点睛】在解决抛物线焦点弦有关的问题时，常常会使用抛物线的定义.本题利用已知条件中圆的半径和直径，将22218AB BC CD ++=转化为()()22218AF BF BC DF CF -++-=即()()2214118AF DF -++-=，再根据抛物线定义转化为221214y y +=，从而使问题可以通过联立直线与抛物线方程解决.。
陕西省咸阳市秦都区钓台中学2022-2023学年高二化学期末试卷含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。
）1. 下列性质中，能充分说明某晶体是离子晶体的是 ( )A．具有较高的熔点 B．固态不导电，水溶液能导电C．可溶于水 D．固态不导电，熔融状态能导电参考答案：D略2. 不属于大气污染物的是A. N2 B．NO C．NO2 D．SO2参考答案：AB、C、D属于大气污染物。
3. 右图装置中具支试管内盛有pH=4的雨水和生铁片，小试管内为红墨水。
观察：开始导管内液面下降，一段时间后导管内液面回升，略高于小试管液面。
以下有关解释合理的是（）A．生铁片中的碳是原电池的阳极B．生铁片既发生析氢腐蚀，又发生了吸氧腐蚀C．具支试管中溶液pH逐渐减小D．导管内液面下降时，碳极反应式为：O2 + 2H2O + 4e-→ 4OH—参考答案：B略4. 以C n H m COOH所表示的羧酸0.1 mol加成时需碘50.8 g,0.1 mol的该羧酸完全燃烧时，产生CO2和H2O共3.4 mol，该羧酸是（）A.C15H27COOHB.C15H31COOHC.C17H31COOHD.C17H33COOH参考答案：C5. 在同温同压下，某有机物和过量Na反应得到V1 L氢气，另一份等量的有机物和足量的NaHCO3反应得V2 L二氧化碳，若V1＝V2≠0，则有机物可能是 ( )A．B．HOOC—COOHC．HOCH2CH2OH D．CH3COOH参考答案：A6. 下列实验中，没有颜色变化的是A．淀粉溶液中加入稀硫酸 B．鸡蛋清中加入浓硝酸C．淀粉溶液中加入碘酒 D．葡萄糖溶液与新制氢氧化铜浊液混合加热参考答案：A略7. 下列离子方程式错误的是A．氢氧化铝溶解在强碱中：Al(OH)3+OH－=Al(OH)4－B．苯酚钠溶液中通入少量二氧化碳：C6H5O－+H2O+CO2 C6H5OH+HCO3－C．亚硝酸钠与氯化亚铁的反应：NO2－+2H+ + 2Fe2＋= 2Fe3＋+NO↑+H2OD．纸层析实验中铜离子与氨水的显色反应原理：Cu2＋+4NH3·H2O =Cu(NH3)42++4 H2O参考答案：C略8. 能用离子方程式H++OH-=H2O表示的反应是（）A.Cl2+2NaBr=Br2+2NaClB.Na2CO3+2HCl=2NaCl+H2O+CO2↑C.BaCl2+H2SO4=BaSO4↓+2HClD.NaOH+HNO3=NaNO3+H2O参考答案：D略9. 下列关于钠的说法正确的是（）A．钠是活泼的非金属 B．钠与水反应放出氧气C．钠与水反应放出氢气 D．钠不能保存在易燃品煤油中参考答案：C10. 核磁共振氢谱是指有机物分子中的氢原子核所处的化学环境(即其附近的基团)不同，表现出的核磁性就不同，代表核磁性特征的峰在核磁共振图中坐标的位置(化学位移，符号为δ)也就不同。
2017～2018学年第二学期高二年级期中考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数ii+310对应的点的坐标为( A )A ．)3,1(B ．)1,3(C ．)3,1(-D ．)1,3(-2.已知随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，若15.0)6()2(=>=<ξξP P ，则=<≤)42(ξP （ B ）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 3.设)(x f 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数)('x f 的图象可能是（ B ）4.用反证法证明命题：“若0)1)(1)(1(>---c b a ，则c b a ,,中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( B )A ．假设c b a ,,都大于1B ．假设c b a ,,都不大于1C ．假设c b a ,,至多有一个大于1D ．假设c b a ,,至多有两个大于15.用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，从)(*N k k n ∈=到1+=k n 时，等式左边应添加的式子是( B )A ．222)1(k k +- B ．22)1(k k ++ C ．2)1(+k D.]1)1(2)[1(312+++k k6.3名志愿者完成4项工作，每人至少1项，每项由1人完成，则不同的安排方式共有（ D ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 7.在62)12(xx -的展开式中，含7x 的项的系数是（ D ） A ．60 B ．160 C ．180 D ．2408.函数xe xf x2)(=的导函数是（ C ）A ．xe xf 2'2)(= B ．x e x f x 2'2)(= C ．22')12()(x e x x f x -= D ．22')1()(x e x x f x -=9.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处的极值为10，则数对),(b a 为（ C ）A ．)3,3(-B ．)4,11(-C ．)11,4(-D ．)3,3(-或)11,4(-10.若等差数列}{n a 公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{n S n 为等差数列，公差为2d.类似，若各项均为正数的等比数列}{n b 公比为q ，前n 项积为n T ，则等比数列}{n n T 公比为( C )A.2q B ．2q C.q D.n q 11.将3颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率=)|(B A P ( C )A.21691 B.185 C.9160 D.2112.定义在R 上的偶函数)(x f 的导函数为)('x f ，若对任意实数x ，都有2)()(2'<+x xf x f 恒成立，则使1)1()(22-<-x f x f x 成立的实数x 的取值范围为（ B ）A ．}1|{±≠x xB ．),1()1,(+∞--∞C ．)1,1(-D ．)1,0()0,1( - 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设),(~p n B ξ，若有4)(,12)(==ξξD E ，则=p 2/3 14.若函数32)1(21)(2'+--=x x f x f ，则=-)1('f -1 15.如图所示，阴影部分的面积是 32/316.已知函数)(x f 的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，给出关于)(x f 的下列命题：②函数)(x f 在]1,0[是减函数，在]2,1[是增函数； ③当21<<a 时，函数a x f y -=)(有4个零点；④如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最小值为0． 其中所有正确命题是 ①③④ （写出正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）设复数i m m m m z )23()32(22+++--=，试求实数m 的取值，使得 （1）z 是纯虚数； （2）z 对应的点位于复平面的第二象限． 解：（1）复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0分5302303222 =∴⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--m m m m m （2）当复数对应的点在第二象限时，分103102303222<<-∴⎪⎩⎪⎨⎧>++<--m m m m m 18.（本小题满分12分) 在数列}{n a 中，已知)(13,2*11N n a a a a n nn ∈+==+（1）计算432,,a a a 的值，并猜想出}{n a 的通项公式； （2）请用数学归纳法证明你的猜想． 解：（1）72123213112=+⨯=+=a a a ,19213,132********=+==+=a a a a a a于是猜想出分5562-=n a n （2）①当1=n 时，显然成立；②假设当)(*N k k n ∈=时，猜想成立，即562-=k a k 则当1+=k n 时，5)1(6216215623562131-+=+=+-⨯-=+=+k k k k a a a k k k ， 即当1+=k n 时猜想也成立． 综合①②可知对于一切分12562,*-=∈n a N n n 19.（本小题满分12分)“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件.（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望． 解：（1）随机变量X 的可能取值为0,1,23821)0(22021505===C C C X P ，3815)1(22011515===C C C X P ， 191)2(22001525===C C C X P , 所以随机变量X 的分布列为：分62192381380 =⨯+⨯+⨯=∴EX（2）合格机器人的件数可能是0,1,2,3，相应的不合格机器人的件数为3,2,1,0.所以ξ的可能取值为1,3，有题意知：1122213331319(1)()()()()444416P C C ξ==+=，3333331317(3)()()()()444416P C C ξ==+= 所以随机变量ξ的分布列为：分128163161)( =⨯+⨯=∴ξE 20.（本小题满分12分)编号为5,4,3,2,1的五位学生随意入座编号为5,4,3,2,1的五个座位，每位学生坐一个座位．设与座位编号相同的学生人数是X .(1)试求恰好有3个学生与座位编号相同的概率)3(=X P ； (2)求随机变量X 的分布列及均值．解：(1)恰好有3个学生与座位编号相同，这时另两个学生与座位编号不同，所以分412112010)3(5525 ====A C X P(2)随机变量X 的一切可能值为0,1,2,3,4,5. 且121)3(,00)4(,120112011)5(5555=========X P A X P A X P ； 83120459)1(,61120202)2(55155525========A C X P A C X P301112044)]5()4()3()2()1([1)0(===+=+=+=+=-==X P X P X P X P X P X P 随机变量X 的分布列为故分1211205041236281300)( =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 21.（本小题满分12分)已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=（1）若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间；（3）设22)(2+-=x x x g ，若对任意),0(1+∞∈x ，均存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围． 解：（1）2),0(1)('=>+=a x x a x f )0(12)('>+=∴x xx f ， 3)1('=∴f ， 3=∴k又切点)2,1(，所以切线方程为)1(32-=-x y ，即：013=--y x 故曲线)(x f y =在1=x 处切线的切线方程为分4013 =--y x（2）)0(11)('>+=+=x xax x a x f ①当0≥a 时，0)('>x f ，所以)(x f 的单调递增区间为分6),0( +∞②当0<a 时，由0)('=x f ，得ax 1-= 在区间)1,0(a -上0)('>x f ，在区间),1(+∞-a上，0)('<x f . 所以，函数)(x f 的单调递增区间为)1,0(a -，单调递减区间为分8),1( +∞-a（3）由已知，转化为]1,0[,1)1()(,)()(2max max ∈+-=<x x x g x g x f ，2)(max =∴x g 由（2）知，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意． （或者举出反例：存在23)(33>+=ae e f ，故不符合题意．）当0<a 时，)(x f 在)1,0(a -上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减， 故)(x f 的极大值即为最大值，)ln(1)1()(max a af x f ---=-=， 所以2)ln(1<---a ，解得31e a -< 综上：分1213 ea -< 22.（本小题满分12分) 已知函数2()ln(1)f x ax x =++ （1）当14a =-时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围 （3）当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）)1()1(2)1)(2(1121)('->+-+-=++-=x x x x x x x f 令0)('>x f 得11<<-x ，令0)('<x f 得1>x .)(x f ∴在)1,1(-上是增函数，在),1(+∞上是减函数. 2ln 41)1()(+-==∴f x f 极大值，)(x f 无极小值分4（2）因为函数)(x f 在区间[1)+∞，上为减函数， 所以0112)('≤++=x ax x f 对任意的),1[+∞∈x 恒成立， 即)1(21+-≤x x a 对任意的),1[+∞∈x 恒成立，4121)211(2121)21(21)1(2122-=-+-≥-+-=+-x x x分841-≤∴a（3）因为当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立， 即0)1ln(2≤-++x x ax 恒成立，令)0()1ln()(2≥-++=x x x ax x g ， 转化为0)(max ≤x g 即可.1)]12(2[1112)('+-+=-++=x a ax x x ax x g 当0=a 时，1)('+-=x x x g ，0>x ，0)('<∴x g 即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 当0>a 时，令0)('=x g 得，0=x 或121-=ax 若0121≤-a 即21≥a 时，),0(+∞∈x 有0)('>x g ， 则)(x g 在),0[+∞上单调递增，0)0()(=≥g x g ，不满足题设； 若0121>-a 即210<<a 时，)121,0(-∈a x 有0)('<x g ，),121(+∞-∈ax 有0)('>x g ， 则)(x g 在)121,0(-a 上单调递减，在),121(+∞-a上单调递增，无最大值，不满足题设； 当0<a 时，0>x ，0)('<∴x g即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 综上：实数a 的取值范围为分12]0,( -∞。
