高等数学(一元微积分)04-求极限方法总结

极限求法总结极限是微积分中的一个重要概念，是研究函数变化趋势的基础。

在求解极限的过程中，我们常常会使用一些常用的技巧和方法。

下面我将对常见的极限求法进行总结，详细说明每种方法的步骤和应用场景。

一、直接代入法当函数在某个点有定义并且极限存在时，我们可以通过将变量直接代入函数中计算出极限的值。

例如，对于 f(x) = x^2 - 1，当 x -> 2 时，我们可以将 x 的值替换为 2，计算出 f(2) 的值。

这种方法适用于函数在该点有定义且不产生未定义结果的情况。

二、分子有理化法有些极限问题中，分子含有根式、分母含有分式等情况，为了便于计算，我们可以使用有理化方法。

主要有三种情况：有理化分母、有理化分子和有理化共轭。

1. 有理化分母：当分母中含有根式时，我们可以通过乘上分母的共轭形式，并利用差平方公式，将根式有理化为有理数。

例如，对于f(x) = 1/√x，当 x -> 4 时，我们可以乘上分母的共轭√x，得到f(x) = √x/√x^2，再利用 x^2 - a^2 = (x - a)(x + a) 的差平方公式，化简出分母为 (x - 4)。

接着我们可以直接代入计算。

2. 有理化分子：当分子中含有根式时，我们可以通过乘上分子的共轭形式，并利用和平方公式，将根式有理化为有理数。

例如，对于f(x) = √x + 1，当 x -> 2 时，我们可以乘上分子的共轭√x - 1，得到f(x) = (√x + 1)(√x - 1)/(√x - 1)，再利用 a^2 -b^2 = (a - b)(a + b) 的和平方公式，化简后得到 f(x) = (x - 1)/(√x - 1)。

接着我们可以直接代入计算。

3. 有理化共轭：当分式中含有复杂的分母，我们可以根据分母的共轭形式，将分式有理化为分子和分母之间关于负号的组合。

例如，对于 f(x) = 1/(x + 3)^2，当 x -> -3 时，我们可以将分子和分母都乘上 (x + 3)^2 的共轭 (-x - 3)^2，然后化简分子和分母。

千里之行，始于足下。

极限求解方法总结极限是高等数学中的重要概念，是数学分析和微积分的基础。

在实际问题中，往往需要通过求解极限来得到数学模型的一些重要结果。

本文将对极限求解的方法进行总结与归纳。

1. 基本极限公式：在求解极限问题时，我们首先要生疏一些基本的极限公式，这些公式可以挂念我们快速求解极限问题。

常用的基本极限公式有：- 数列极限：常数数列、等差数列、等比数列、级数等。

- 函数极限：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

2. 替换法：替换法是求解极限问题时常用的一种方法。

通过将极限问题中的变量进行替换，使得计算变得更加简洁。

常用的替换法有以下几种：- 分子分母同时除以最高次数的项；- 用无穷小量代替无穷大量；- 用无穷小量的幂代替无穷小量。

3. 夹逼准则：夹逼准则是求解极限问题的一种重要方法。

通过找到一个上界和一个下界，使得极限问题的解被夹在这两个界之间，可以确定极限的存在性和取值。

常用的夹逼准则有以下几种：- 当函数在某一点四周趋于同一个极限；- 当两个函数的极限分别为一正一负，但两个函数的确定值函数的极限相等。

4. 施瓦茨不等式：第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。

施瓦茨不等式是求解极限问题中常用的一种方法。

它可以用来估量两个函数的内积，从而得到某些函数的极限。

施瓦茨不等式的形式如下：\\[|\\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx|\\leq\\sqrt{\\int_{a}^{b}f^2(x)dx}\\s qrt{\\int_{a}^{b}g^2(x)dx}\\]5. 利用基本不等式：在求解极限问题时，我们可以利用一些基本的不等式来推导和求解极限问题。

常用的基本不等式有以下几个：- 平均值不等式：对于两个正数a和b，平均值不等式可以表示为\\[(a+b)/2≥\\sqrt{ab}\\]- 柯西不等式：对于两个数列或者两个函数，柯西不等式可以表示为\\[\\sum a_kb_k≤(\\sum a_k^2)^{1/2}(\\sum b_k^2)^{1/2}\\]6. 等价无穷小替换法：在求解极限问题时，假如消灭了不适合直接求解的形式，可以尝试使用等价无穷小替换法。

一元函数极限的求法一元函数的极限就是在函数定义域内某一点处接近这个点时，函数取值的趋势。

在数学分析中，极限是一个十分重要的概念，它用于定义连续性、收敛与发散、导数和积分等重要概念。

对于一元函数的极限的求法，我们可以通过直接代入法、极限的四则运算法则、夹挤定理以及极限的极限转换法等多种方法进行求解。

1. 直接代入法直接代入法是最基础的求解一元函数极限的方法，即将自变量的值逐渐逼近极点，观察函数在这个点附近的取值趋势，将自变量的取值代入函数中，求函数在该点的取值。

例如：求函数$f(x)=\dfrac{x-1}{x+3}$在$x=2$处的极限。

解：将$x=2$代入得$f(2)=\dfrac{1}{5}$，因此，$x=2$时$f(x)$的极限为$\dfrac{1}{5}$。

2. 极限的四则运算法则此法则是求解一元函数极限中的基本规则。

对于两个已知极限的函数进行加减、乘除运算时，可以直接套用极限的四则运算法则。

例如：求函数$f(x)=\dfrac{sinx}{x}$在$x=0$处的极限。

解：$lim_{x \to 0}\dfrac{sinx}{x}=lim_{x \to0}\dfrac{sinx}{x}\cdot\dfrac{1}{cosx}=lim_{x \to 0}\dfrac{sinx}{x}\cdot lim_{x \to 0}\dfrac{1}{cosx}=1$，因此，$x=0$时$f(x)$的极限为$1$。

3. 夹挤定理当我们需要求一个函数在某一点处的极限值时，有时我们并不知道函数在该点处是否存在极限，因此我们引入夹挤定理，即用两个已知的存在极限的函数挤压住需要求的函数，从而求出该函数的极限值。

例如：求函数$f(x)=x^2sin\dfrac{1}{x}$在$x=0$处的极限。

解：$\lim_{x \to 0}(-x^2) \leq \lim_{x \to 0} x^2sin\dfrac{1}{x} \leq \lim_{x \to 0} x^2$。

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第一篇：6利用函数连续性（就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0）描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。

确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。

例1设 f（x）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求：当a，b为何值时，f（x）在x=0处的极限存在？当a，b为何值时，f（x）在x=0处连续？注：f（x）=xsin 1/x +a, x< 0b+1, x=0X^2-1, x>0解：f(0)＝b+1左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a＝a左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1f(x)在x＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)，所以a＝-1＝b+1，所以a＝-1，b＝-2第二篇：函数极限的四则运算法则学案课题：§13-3函数极限的四则运算法则（一）学习目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限学习重点：运用函数极限的运算法则求极限学习难点：函数极限法则的运用学习过程一、知识复习1．复习数列极限的四则运算法则(包括乘方的极限的法则)．2．复习几个简单函数的极限．即：二、课堂学习1．指导对上述定理的证明作简要说明．2.探究问题1 根据函数极限定义和函数的图象，说出下列极限，并验证所给结论．(其中f(x)为有理分函数)．所以，若f(x)为有理整函数，则有解：因为当x→x0时，分子、分母皆有极限且分母的极限不为零，因此有判断下列各极限是否存在？如果存在，求其极限；如果不存在，说明理由．三、检测1．求下列极限：2．求下列极限：四、学习小结第三篇：2利用洛必达法则洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。

千里之行，始于足下。

极限计算方法总结极限计算是微积分中的基本概念之一，通过求极限可以揭示函数的性质和趋势，进而在数学和其他学科中发挥重要作用。

本文将总结一些常见的极限计算方法，包括取极限法、洛必达法则、泰勒开放、夹逼定理、变量替换等。

1. 取极限法取极限法是最基本的极限计算方法之一。

通过取自变量趋于某个特定值，可以得到极限的值。

常见的取极限法包括代入法、分解法、分子有理化法、乘法结合法等。

例如，要求函数f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)在x趋于1时的极限，可以通过代入法得到f(1)的值，即1。

因此，f(x)在x趋于1时的极限为1。

2. 洛必达法则洛必达法则是一种常用的求极限法则，适用于形如0/0或无穷小/无穷小的极限。

依据洛必达法则，只需对分子和分母同时求导，然后再取极限即可。

假如得到的极限仍旧是0/0或无穷小/无穷小的形式，则可以重复应用洛必达法则。

例如，要求极限lim(x->0) (sin x / x)，可以对分子和分母同时求导，得到lim(x->0) (cos x / 1) = cos 0 = 1。

3. 泰勒开放泰勒开放是一种将函数在某个点四周开放的方法，用来将简单的函数近似为简洁的多项式。

依据泰勒开放定理，可以将函数f(x)在点x=a处开放为无穷级数。

通过截取这个级数的前几项，可以近似计算函数在该点四周的值和极限。

例如，要求极限lim(x->0) (sin x / x)，可以用泰勒开放公式sin x = x -第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

x^3/3! + x^5/5! + O(x^6)近似，得到lim(x->0) (x - x^3/3! + x^5/5! +O(x^6)) / x = 1 - x^2/3! + x^4/5! + O(x^5)，当x趋近于0时，高阶无穷小项O(x^5)可以忽视，得到极限为1。

4. 夹逼定理夹逼定理是一种通过夹逼的方法来计算极限的方法。

千里之行，始于足下。

求极限的方法总结求极限是微积分中重要的概念之一，常见于求导、定积分以及微分方程等内容中。

求解极限可以通过以下几种方法进行总结：1. 代入法：当函数在极限点处存在时，可以直接将极限点代入函数中计算。

这种方法简单直接，适合于函数在某一点处的极限。

2. 分解因式法：当函数存在不定形式时，可以尝试将函数进行分解因式，从而简化计算。

比如，对于分式函数，可以尝试分解分子和分母，消去公因式，然后再进行计算。

3. 幂指函数法：当函数的极限含有幂指函数时，可以尝试使用幂指函数的性质进行计算。

常用的方法包括使用指数函数的性质、对数函数的性质以及对数和指数函数的换底公式等。

4. 无穷小量法：当函数的极限存在无穷小量时，可以利用无穷小量与极限的定义进行计算。

常用的方法包括使用洛必达法则、夹逼定理、泰勒级数展开等。

其中洛必达法则适用于计算$\\frac{0}{0}$、$\\frac{\\infty}{\\infty}$、$0\\cdot \\infty$型的极限，夹逼定理适用于无穷小量和无穷大量的极限，泰勒级数展开适用于函数可展开成无穷级数的情况。

5. 变量替换法：当函数的极限存在特定变量时，可以进行变量替换，通过对新变量极限进行求解来简化计算。

常用的方法包括使用三角函数的三角恒等式、指数和对数函数的换底公式、幂函数的性质等。

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6. 递推法：当函数的极限存在递推关系时，可以通过递推关系逐步求解极限。

常用的方法包括使用数列极限的性质以及函数关系的性质。

总的来说，求解极限需要根据具体的函数形式和性质进行判断和选择合适的方法。

在实际计算中，也常常需要综合运用多种方法进行求解。

因此，对于学习者来说，熟练掌握不同的求极限方法，灵活运用，可以更加高效地解决复杂的极限计算问题。

千里之行，始于足下。

求极限的方法总结求极限是微积分的重要内容，也是解决数学问题中常用的方法之一。

下面是对求极限的方法进行总结：1. 代入法：当在不断插入一个趋于该极限的数值时，假如函数表达式有意义，且极限存在，则取其极限值作为函数的极限。

2. 四则运算法则：假如函数 f(x) 和 g(x) 在 x = a 处极限都存在，那么可以利用加减乘除等基本运算的极限法则求解。

3. 夹逼定理：当存在两个函数 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，且函数 f(x)，h(x)的极限都为 L，那么 g(x)的极限也为 L。

4. 函数的连续性：假如函数 f(x) 在 x = a 处连续，那么函数 f(x) 在x = a 处也存在极限。

5. 分解因式法：可以通过将函数进行分解因式，使得函数变为两个函数之比，然后利用极限的分解限求解。

6. 无穷小与无穷大：假如 x → a 时，函数 f(x) 的极限为 0，那么称函数 f(x) 为无穷小。

假如 x → a 时，函数 f(x) 的极限为∞或 -∞，那么称函数 f(x) 为无穷大。

通过争辩函数的无穷小和无穷大性质，可以求解极限。

7. 等价无穷小法：假如函数 f(x) 和 g(x) 在 x = a 处极限都为 0，并且极限 lim(x→a) [f(x)/g(x)] 存在且为 L (L ≠ 0)，那么可以使用“等价无穷小”来求解极限。

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8. 数列极限法则：假如数列 {an} 在 n →∞时有极限 L，则函数 f(x) = an 在 x →∞时的极限也为 L。

通过数列的极限法则，可以推导出函数的极限。

9. 泰勒开放：对于光滑函数，可以利用泰勒开放来近似求解极限。

10. 形式不确定型：对于一些形式不确定的极限，可以通过化简、将其转换成其他形式来求解。

11. 极限存在定理：对于一些特定的函数和性质，可以通过极限存在定理来判定函数的极限是否存在。

上述是常用的一些求解极限的方法总结，通过运用这些方法，可以更加精确地求解各种极限问题。

一元函数极限的基本求法一元函数极限的基本求法摘 要：函数的极限及其求法是微积分的基础。

本文主要探讨、总结了求极限的基本方法，对每种方法的特点及注意事项作了说明，并加以实例进行讲解。

关键词：极限；积分；级数；洛必达法则。

1 引言本文介绍了一些求极限的方法有：利用定义求极限，函数连续性求极限、四则运算、两个重要极限、等价无穷小量代替求极限、洛必达法则、泰勒展开式求极限、微分中值定理等等。

在求极限的过程中，会发现一道题可以运用多种方法解答，因此给我们的启示是每种方法之间都有一定的联系。

在求极限时，可以根据不同的形式选择不同的计算方法，合理利用各种计算方法，亦可进行适当的结合，使得求极限的方法更明了，算法更简单。

2 相关的定义和性质 2.1一元函数极限的概念x 趋于∞时的函数极限：设函数)(x f 为定义在[)+∞,a 的函数，A 是一个定数，若对0>∀ε，∃正数M ，使得当M x >时有ε<-A x f )(则称函数)(x f 当x 趋于∞+时以A 为极限，记为A x f x =+∞→)(lim 。

x 趋于0x 时的函数极限：设函数)(x f 在点0x 的某个空心邻域),(00δx U 内有定义，A 为定数，若对0>∀ε，存在正数δ，使得当δ<-<00x x 时有ε<-A x f )(，则称函数)(x f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记为A x f x x =→)(lim 0。

2.2 一元函数极限的性质存在，则必定唯一如果唯一性性质)(lim )(10x f x →的某空心邻域内有界在存在，则如果局部有界性性质0)()(lim )(20x x f x f x x →),()()()(lim )(lim )(300x h x g x f x A x h x f x x x x ≤≤==→→的某空心邻域内有，且在如果迫敛性性质Ax g x x =→)(lim 0则3一元函数极限的计算及多种求法 3.1 利用导数的定义求极限导数的定义：函数()f x 在0x 附近有定义，x ∀∆则00()()y f x x f x ∆=+∆-。

高等数学极限求法总结在高等数学中，极限是一个至关重要的概念，它在微积分、数学分析等领域中扮演着重要角色。

极限求法是数学学习中的一个关键技能，通过正确的方法和技巧能够更快地求解各种极限问题。

本文将系统总结常见的极限求法，包括极限的基本性质、洛必达法则、泰勒展开等内容，帮助读者更好地掌握和运用极限求法。

一、极限的基本性质1. 有界性如果一个函数在某点的一个邻域内有界，那么该函数在该点的极限存在且有限。

2. 夹逼准则如果函数f(x)在点a的某个邻域内除a点以外都满足0≤g(x)≤f(x)≤h(x)，并且lim[g(x)]=lim[h(x)]=L，则由夹逼准则可得lim[f(x)]=L。

二、洛必达法则洛必达法则常用来解决0/0型或∞/∞型的极限。

若lim[f(x)]=0, lim[g(x)]=0，并且lim[f’(x)/g’(x)]存在，则lim[f(x)/g(x)]=lim[f’(x)/g’(x)]。

三、泰勒展开泰勒展开是在某一点附近用多项式逼近一个函数的方法。

简单来说，就是用一个多项式不断逼近原函数，使得在该点附近它们的表现尽量接近。

泰勒展开的公式如下：f(x)≈f(a)+f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)2/2!+⋯+f n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中，f(x)是原函数，a是展开的点，f^(n)(a)表示f(x)在点a处的n阶导数，Rn(x)是泰勒余项，即多项式逼近的误差。

通过以上总结，我们可以看到，极限求法涉及到多方面的知识和技巧，需要结合具体问题选择合适的方法进行求解。

掌握极限求法不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以在数学建模、物理学等领域中发挥重要作用。

希望通过本文的总结，读者能够更加熟练地运用各种极限求法，提升自己的数学水平。

一元函数极限求解的方法及应用极限是微积分中的重要概念，用于描述一个函数或数列在某一点无限接近某个特定值的性质。

在数学分析和实际问题求解中，研究函数极限有助于我们理解函数的性质与行为，并为进一步研究提供了重要的基础。

本文将介绍一元函数极限的求解方法及其在实际应用中的意义。

一、极限的定义与性质1. 极限的定义在数学中，一元函数f(x)的极限可以这样定义：对于任意给定一个数L，如果当自变量x无限接近某个特定值a时，函数值f(x)无限接近L，则称f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作：lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L〗2. 极限的性质极限具有一系列重要的性质，包括保号性、唯一性和四则运算法则等。

- 保号性：如果函数f(x)在某点a的右侧（左侧）取正（负）值，并存在极限lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L〗，那么L也必定为正（负）值。

- 唯一性：如果函数f(x)在某点a的左右两侧都存在极限，且这两个极限相等，则函数f(x)在点a处的极限存在且唯一。

- 四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)在某点a处存在极限，则它们的和差、乘积以及商的极限也存在，且符合相应的运算规则。

二、常见的极限求解方法1. 代入法当函数在某一点存在有限极限时，我们可以通过将该点的横坐标代入函数，求得纵坐标来求解极限值。

2. 分析法通过对函数的分子、分母或复合函数等进行分析，找到函数的特殊性质，从而推导出极限的值。

3. 夹逼定理夹逼定理也被称为夹挤定理或夹逼准则，是一种常用的求解极限的方法。

该定理的核心思想是通过构造两个函数，一个从上方夹逼住待求函数，另一个从下方夹逼住，从而得出极限值。

4. 极限的性质与推导极限具备一系列性质和运算法则，这些性质和法则可以用于极限的求解与推导。

常见的性质和法则包括常数极限、局部有界性、等价无穷小、洛必达法则等。

三、极限在实际问题中的应用1. 物理学中的应用极限在物理学中有广泛的应用。

例如，当我们研究物体在特定速度下的运动时，可以通过计算时间趋于无穷大的极限来求解物体在无穷远处的位置。

极限是数学分析中的重要概念，也是微积分的基础。

求极限的方法有很多种，下面将对常用的几种方法进行总结和解析。

1. 直接代入法直接代入法是最基本的求极限方法，适用于函数单调、连续，且直接代入可知极限值的情况。

具体步骤如下：（1）将极限表达式中的变量替换为具体的数值。

（2）根据函数的定义和性质，计算替换后的表达式。

（3）得出极限值。

2. 因式分解法因式分解法适用于有理函数的极限求解，通过分解函数，消除分子、分母中的共同因子，简化极限表达式。

具体步骤如下：（1）对有理函数进行因式分解。

（2）对分解后的表达式进行约分，消除共同因子。

（3）根据约分后的表达式求极限。

3. 泰勒公式法泰勒公式法是利用泰勒公式将函数展开，近似表示函数在某一点附近的值，从而求解极限。

具体步骤如下：（1）确定函数在某一点附近的泰勒展开式。

（2）根据泰勒展开式求极限。

4. 洛必达法则洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）适用于求解“0/0”或“∞/∞”形式的极限。

该法则通过对分子、分母同时求导，将极限问题转化为导数的极限问题。

具体步骤如下：（1）判断极限形式是否为“0/0”或“∞/∞”。

（2）对分子、分母分别求导。

（3）将求导后的表达式代入原极限表达式。

（4）求解新的极限表达式。

5. 夹逼定理夹逼定理（Squeeze Theorem）适用于求解形如“f(x) = (g(x))/(h(x))”，且当x趋向于某一点时，g(x)和h(x)分别趋向于a和b（a ≠ b）的极限。

具体步骤如下：（1）找到两个函数p(x)和q(x)，使得p(x) ≤ f(x) ≤ q(x)。

（2）证明当x趋向于某一点时，p(x)和q(x)分别趋向于a和b。

（3）根据夹逼定理，得出f(x)趋向于a。

6. 有界函数法有界函数法适用于求解形如“f(x) = g(x)/h(x)”，且当x趋向于某一点时，g(x)趋向于0，h(x)趋向于无穷大的极限。

具体步骤如下：（1）证明g(x)在x趋向于某一点时趋向于0。

一元函数极限求法
杜晶晶，数计学院
摘要：
关键词：
函数极限是微积分学的一个重要的基本概念，极限的方法是研究函数的重要工具，很好理解极限思想,掌握极限的概念和求法成为我们学好高等数学的关键,同时极限概念的深刻理解,也有助于培养我们的逻辑和抽象思维能力,使我们的思维水平由宏观领域逐步进入微观领域。

下面分类型介绍求函数极限的方法。

1.利用定义求极限
1.1极限定义
定义1：设f为定义在[)
,+
a∞
上的函数，为定数.若对任给的，存在正数，
使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或
2.利用两个重要极限求极限
3.利用无穷小的性质求极限
4.利用两边夹法则求极限
5.利用函数的连续性求极限
6.利用洛必达法则求极限
7.利用导数的定义求极限
8.利用等价无穷小替换法求极限
9.利用取对数法求极限
10.利用微分中值定理求极限
11.利用定积分的定义及性质求极限
12.利用泰勒展式求极限
13.利用级数收敛的必要条件求极限
14.利用幂级数的和函数求极限
15.求幂指函数极限方法
16.求分段函数极限方法。

高数求极限的方法总结
求极限的方法总结如下：
1. 代入法：将极限中的变量代入函数中进行计算，看是否能得到确定的值。

2. 夹逼定理：当函数夹在两个其他已知函数之间时，如果这两个函数的极限相等，则函数的极限也相等。

3. 幂指函数的极限：根据函数的幂指形式，分别考虑底数和指数的极限。

4. 分子分母除以最高幂次项：将分子和分母都除以最高幂次项，可以简化计算，并得到函数的极限。

5. 极限的四则运算法则：对于四则运算中的极限，可以将它们分别计算求得极限，然后应用四则运算法则得到最终结果。

6. 奇偶函数的极限：奇函数的极限可表示为对称轴两侧的函数极限之和，偶函数的极限可表示为对称轴两侧的函数极限相等。

7. 自然对数的极限：自然对数的极限是1。

8. e的极限：e是一个常数，其极限是e。

9. 无穷小量的极限：无穷小量的极限为0。

10. 级数的极限：当级数的通项趋于0，且满足柯西准则时，级数收敛。

请注意，在应用这些方法时，需要注意条件的合理性和适用范围，并进行必要的证明。

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学是高等教育中的重要课程之一，其涵盖的内容非常广泛，包括微积分、数理方程和变换等方面。

其中求极限是微积分中的核心内容之一，也是数学建模和应用中常用的方法之一。

本文将介绍求极限的常用方法，并提供相应的例题和详解。

一、用夹逼定理求极限夹逼定理是求极限中常用的方法之一，其思路是通过一个比较大小的框架，来判断所求极限的范围和趋势。

具体而言，假设存在两个函数 f(x) 和 g(x)，满足以下条件：1. 对于 x 属于某个区间 [a, b]，有 f(x) <= g(x)。

2. 在区间 [a, b] 内，f(x) 和 g(x) 的极限均存在，即 lim[f(x)] = A，lim[g(x)] = A。

3. 在区间 [a, b] 内，除有限个点外，f(x) = g(x)。

则可以得到 lim[f(x)] = lim[g(x)] = A。

下面是一个例子：例1：求极限 lim[(x^2 - 4x + 3) / (x - 3)]。

解法：可以将原式改写成 (x - 1)(x - 3) / (x - 3)，即 (x - 1)。

则对于x ∈ (3,∞)，有 0 <= x - 1 <= x - 3，因此：0 <= (x^2 - 4x + 3) / (x - 3) - (x - 1) <= x - 3，而 lim[x - 3] = ∞，因此可用夹逼定理得到所求极限为 lim[(x^2 - 4x + 3) / (x - 3)] = lim[(x - 1)] = 2。

二、用洛必达法则求极限洛必达法则是求导数时的常用方法，在求极限时也可以用到。

具体而言，假设有一个形如 lim[f(x) / g(x)] 的无穷小量，若这个无穷小量的分子和分母都存在极限，并且它们的极限都等于 0 或者±∞，则可以用洛必达法则来求出极限的值。

其中，洛必达法则的形式如下：若 lim[f(x)] = 0，lim[g(x)] = 0，且g'(x) ≠ 0，则 lim[f(x) / g(x)] = lim[f'(x) / g'(x)]。

极限的计算方法总结“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

下面为大家整理的是极限的计算方法总结，希望对大家有所帮助~1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。

首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。

洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。

对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。

3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

求极限的方法总结求极限是微积分中的一个重要概念，它描述的是函数在某一点附近的行为，常用于研究函数的连续性、导数、积分等性质。

在求解极限的过程中，可以通过一些通用的方法来简化计算。

下面将对常见的极限求解方法进行总结。

首先是代入法，即直接将自变量的值代入函数中计算。

这种方法适用于一些基本的极限求解，准确、简单、直观，能够快速得到结果。

但需要注意的是，在使用代入法时，应当确保函数在该点附近有定义，避免出现除数为零等问题。

其次是利用等价无穷小的性质进行极限的转化。

等价无穷小是指当自变量趋于某一值时，与函数变化率相等的无穷小量。

通过将待求的极限转化为等价无穷小的形式，可以简化问题，达到更方便求解的目的。

常见的等价无穷小有正切、正弦、余弦、指数函数等。

利用等价无穷小进行极限的转化，需要具备一定的数学运算和等式变形的能力。

另外一种常用的方法是利用泰勒级数展开。

泰勒级数是用一个差值接近于零的无穷级数来逼近函数的方法，可以将任何光滑的函数表示为一个无穷级数的形式。

通过对待求的函数进行泰勒级数展开，可以将极限问题转化为求级数的收敛性问题，从而简化计算。

但需要注意的是，泰勒级数展开只适用于函数在一定范围内有较好的光滑性质。

此外，还有夹逼定理、洛必达法则等求极限的常用方法。

夹逼定理是指对于函数 f(x)、g(x)、h(x)，如果在某一点 x=a 的某一邻域内，函数g(x)≤f(x)≤h(x)，且 g(x) 和 h(x) 的极限都等于一个常数 L，则 f(x) 的极限也等于 L。

夹逼定理常用于证明某些函数极限存在且相等的情况。

洛必达法则是指对于两个函数f(x) 和 g(x)，如果它们在某一点 x=a 处充分接近且极限相同，那么它们的比值的极限也等于这个相同的极限。

综上所述，求解极限的方法有很多种，不同的方法适用于不同的问题。

在实际运用中，需要根据具体的情况选择合适的方法进行计算。

同时，熟练掌握数学运算和等式变形的技巧，能够更高效地求解极限。