2014年春季哈尔滨工业大学《现代控制理论基础》考试题

现代控制理论基础试题B答案班号姓名题号-一--二二三四五六七八卷面分作业分实验分总分满分值10 10 10 10 10 10 10 10 80 10 10 100 得分值注惫行为规范一•（本题满分io分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。

其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感L2的电流强度。

遵守考场纪律|黑【解答】根据基尔霍夫定律得:L1& R X!X3 uL2X2R X2 X3CX3 X2人&R 1 1X i X3 uL i L1 L1XR 1改写为X2L2X3L2 ，输出方程为y X2X3 \ C1X2C C写成矩阵形式为页）哈工大2010年春季学期所以状态空间表达式为.(本题满分10分)x& X& X&L 1L 2L 2X 1 X 2 X 3单输入单输出离散时间系统的差分方程为y(k 2) 5y(k 1) 3y(k)回答下列问题:(1) 求系统的脉冲传递函数; (2) 分析系统的稳定性;(3)取状态变量为儿(k) y(k)，X 2(k) X 1(k(4)分析系统的状态能观性。

【解答】(1)在零初始条件下进行变换有:5z 3 Y(z)系统的脉冲传递函数:Y(z) R(z)5z 3 (2)系统的特征方程为D(z)特征根为 Z 14.3 ， Z 2 0.7X i X 3r(k L 11) 2r(k)1) r(k)，求系统的状态空间表达式;5z 31，所以离散系统不稳定X 2(k 1) X 1(k 2)r(k 1)y(k 2)r(k 1) 由已知得y(k 2) r(k 1)2r(k) 5y(k1) 3y(k) 2r(k) 5X 1(k 1) 3X 1(k)2r(k) 5 X 2(k) r(k)3%(k)3X ,(k) 5x 2(k)3r(k)于是有：X 2(k 1)3X 1(k) 5X 2(k) 3r(k)x ,(k 1)X 2(k) r(k)(3)由 X 1(k)x,k 1) r(k)，可以得到 y(k)，X 2(k)又因为x i (k 1) 0 1 x i (k) 1 r(k)X 2(k 1) 35 X 2(k)3y(k) 1 0仙X 2(k)(4)系统矩阵为0 1 1 0 0 135G 01，输出矩阵为c 351 0，cGc1 能观性矩阵为Q o C' cG0 0，ran kQ o 12，系统兀全冃匕观。

现代控制理论基础（习题）1-4. 两输入1u 、2u ，两输出1y 、2y 的系统，其模拟结构图如下所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：状态方程111220312135133442423x a x a x a x b u x x x a x a x a x b u xx x =---+⎧⎪=⎨=---+⎪=+⎩输出方程为{1224y xy x ==整理有1261125342001000000001100001000001a a a b u x x u a a a b y x ⎧---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎪⎝⎭⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩求传函：1121126153420010000()()00010000001001000000010001100b G s sI A b s a a a b s a s a a b s --⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=-⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭125342616122234534213415622346242260100det()det 001100(1)(1)det 0(1)det 1101()()()()s a a a s sI A a s a a s a a s a a s a a s a s a a s s a s s a a a a a s s a s a a s a s a a sa s a +++⎛⎫ ⎪- ⎪-= ⎪+ ⎪--⎝⎭+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-⋅-⋅++-⋅⋅+ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭=+-++++++-=+432222346241313441564221313562414232446()()()()a s a a a a s a a s a a s a s a a s a a s s a a s a a a a a a s a a a a s a a a a -+++++++-=+++-+++++-121223141243()b a b a G s b a b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭322134a s a s a s =++ 4153(1)a a s a=-+ 236a a s =- 243126a s a s a a =++- 213141622511321222621()det()(1)b s a b s a b a b s G s sI A a b s b a b s a b s a b a b ⎛⎫++-= ⎪--+++-⎝⎭1-5. 系统的动态特性由下列微分方程描述（1）5732y y y y u u +++=+（2）57332y y y y u u u +++=++列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

哈工大2010年春季学期现代控制理论基础 试题B 答案一．（本题满分10分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。

其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。

【解答】根据基尔霍夫定律得：11132223321L x Rx x u L x Rx x Cxx x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 改写为1131112232231211111R x x x uL L L R x x x L L x x x C C ⎧=--+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-⎪⎩，输出方程为2y x =写成矩阵形式为[]111112222331231011000110010RLL x x L R x x u L L x x C C x y x x ⎧⎡⎤--⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎪⎣⎦⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎪=⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩二．（本题满分10分）单输入单输出离散时间系统的差分方程为(2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++回答下列问题：（1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性；（3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。

【解答】（1）在零初始条件下进行z 变换有：()()253()2()z z Y z z R z ++=+系统的脉冲传递函数：2()2()53Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为2()530D z z z =++=特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。

（3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+由已知得(2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+-[]212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有：212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为12(1)()()x k x k r k +=+所以状态空间表达式为[]112212(1)()011()(1)35()3()()10()x k x k r k x k x k x k y k x k ⎧+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎪=⎢⎥⎪⎣⎦⎩（4）系统矩阵为0135⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦G ，输出矩阵为[]10=c ，[][]01100135⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦cG 能观性矩阵为o 1001⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦c Q cG ，o rank 2=Q ，系统完全能观。

《现代控制理论》练习题判断题1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。

3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

4. 对系统Ax x= ，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。

5. 对一个系统，只能选取一组状态变量；6. 由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的系统矩阵，进而决定系统的动态特性；7. 状态反馈不改变系统的能控性。

8. 若传递函数B A sI C s G 1)()(--=存在零极相消，则对应状态空间模型描述的系统是不能控的；9. 若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是大范围渐近稳定的；10. 相比于经典控制理论，现代控制理论的一个显著优点是可以用时域法直接进行系统的分析和设计。

11. 传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。

12. 状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都是具有物理意义。

13. 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。

14. 互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。

15. 一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置无关。

16. 若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。

17. 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。

18. 如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。

填空题l ．系统状态完全能控是指 。

2．系统状态的能观性是指 。

3．系统的对偶原理： 。

4．对于一个不能控和不能观的系统，按系统结构标准分解为 、 、 、 、的四个子系统。

5．对于单输入单输出系统，系统能控、能观的充要条是 是 。

7．系统平衡状态的渐近稳定性的定义为： 。

10．受控系统∑),,(C B A ，采用状态反馈能镇定的充分必要条件是 。

一．（本题满分10分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。

其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。

【解答】根据基尔霍夫定律得：11132223321L x Rx x u L x Rx x Cx x x++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 改写为1131112232231211111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ⎧=--+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-⎪⎩，输出方程为2y x =写成矩阵形式为[]111112222331231011000110010RLL x x L R x x u L L x x C C x y x x ⎧⎡⎤--⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎪⎣⎦⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎪=⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩二．（本题满分10分）单输入单输出离散时间系统的差分方程为(2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++回答下列问题：（1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性；（3）取状态变量为1()()x k y k =.21()(1)()x k x k r k =+-.求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。

【解答】（1）在零初始条件下进行z 变换有：()()253()2()z z Y z z R z ++=+系统的脉冲传递函数：2()2()53Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为2()530D z z z =++=特征根为1 4.3z =-.20.7z =-.11z >.所以离散系统不稳定。

（3）由1()()x k y k =.21()(1)()x k x k r k =+-.可以得到21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得(2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+-[]212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有：212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为[]112212(1)()011()(1)35()3()()10()x k x k r k x k x k x k y k x k ⎧+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎪=⎢⎥⎪⎣⎦⎩（4）系统矩阵为0135⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦G .输出矩阵为[]10=c .[][]01100135⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦cG 能观性矩阵为o 1001⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦c Q cG .o rank 2=Q .系统完全能观。

、〔10分,每小题1分〕试判断以下结论的正确性,若结论是正确的, 一〔√〕1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数.〔√〕2. 若系统的传递函数不存在零极点对消,则其任意的一个实现均为最小实现.〔×〕 3. 对一个给定的状态空间模型,若它是状态能控的,则也一定是输出能控的.〔√〕4. 对线性定常系统x = Ax ,其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵A的特征值都具有负实部是一致的.〔√〕5.一个不稳定的系统,若其状态彻底能控,则一定可以通过状态反馈使其稳定.〔×〕 6. 对一个系统,只能选取一组状态变量；〔√〕7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性,与系统的输入和输出无关；〔×〕 8. 若传递函数G(s) = C(sI 一A)一1 B 存在零极相消,则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；〔×〕9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的,则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；〔×〕 10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性.二、已知下图电路,以电源电压 u<t>为输入量,求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻 R2 上的电压为输出量的输出方程.〔10 分〕解：〔1〕由电路原理得：二．〔10 分〕图为 R-L-C 电路,设u 为控制量,电感L 上的支路电流和 电容 C 上的电压x 为状态变量,电容 C 上的电压x 为输出量,试求： 网2 2络的状态方程和输出方程,并绘制状态变量图.解：此电路没有纯电容回路,也没有纯电感电路,因有两个储能元件, 故有独立变量.以 电感 L 上 的 电流和 电容两端 的 电压为状态变量 , 即令：i L = x 1 , u c = x 2,由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： • •y y21 =-x x21+ u三、 〔每小题 10 分共 40 分〕基础题〔1〕试求 y - 3y - 2y = u + u 的一个对角规 X 型的最小实现.〔10 分〕Y(s) = s 3 + 1 = (s +1)(s 2 - s +1) = s 2 - s +1 = 1+ 1+ -1 …………4 分不妨令X (s)1 = 1 ,X (s)2 = - 1 …………2 分 于是有 又Y(s)U(s)= 1+ X (s)1U(s)+ X (s)2U(s),所以Y(s) = U (s) + X 1 (s) + X 2 (s) , 即有y = u + x + x …………2 分1 2最终的对角规 X 型实现为则系统的一个最小实现为：=「|2 0 ]+「| 1 ]|u, y = [1 1…………2 分 U (s) s 3 - 3s - 2 (s +1)(s 2 - s - 2) s 2 - s - 2 s - 2 s + 1 L 0 -1-1」U (s) s - 2 U (s) s + 1从上述两式可解出x 1 ,x 2 ,即可得到状态空间表达式如下：〔2〕已知系统 =「| 0 1]| +「|1]|u, y = [1 -2] ,写出其对偶系统,判断该系统的能控性与其对偶系统的能观性.〔10 分〕解答：= 10 3-2+ -12 u…………………………2 分y = [1 2] ……………………………………2 分〔3〕设系统为试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应〔10 分〕 .解(t )=「|e-t 0 ]|L 0 e -2t 」……………………………..…….……..3 分(t) = (t )(0) + j 0t (t )u(t )d τ……….….……….……..3 分=11+ j 0t11d τ ….……..2 分=「| e-t ]| + j t 「| e -(t -t ) ]|d τL e -2t 」 0 |L e -2(t -t )」| .................................................................................... 1 分=(1- e1(1-2= 21 (1 e -2t )………………..1 分〔4〕已知系统 x =01 01x + 11u 试将其化为能控标准型.〔10 分〕 「0 1 ]解： u c = 11 02 , u -c 1 =|L 21 - 21 」| ............2 分 p 1= [0 1]u -c1 = [0 1]-121= [21 - 21].…….1 分 p 2= p 1A = [21- 21]01 01= [21 21].……..1 分 L -2 3」 L 2」「 1 - 1 ] 「 1 1]P = |L 212」| ,P -1 = |L -1 1」| ....................2 分能控标准型为x =「|0 1]|x +「|0]|u........ 4 分 四、设系统为试对系统进行能控性与能观测性分解,并求系统的传递函数.〔10 分〕 解：能控性分解：能观测性分解： 传递函数为g(s) ==(2分)五、试用李雅普诺夫第二法,判断系统 x •=「| 0 1 ]| x 的稳定性.〔10分〕方法一：解： x 1= x 2原点 x =0是系统的惟一平衡状态 .选取标准二次型函数为李雅e普诺夫函数,即当x 1 = 0 ,x 2 = 0 时, v(x) = 0 ；当x 1 丰 0 ,x 2 = 0 时,v(x) = 0 ,因此v(x) 为 负半定.根据判断,可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的. 另选一个李雅普诺夫函数,例如：为正定,而为负定的,且当 x ) w ,有V (x)) w .即该系统在原点处是大 X 围渐进 稳定. 方法二：• • ••L -1 -1」L 0 1」 L 1」解：或者设P =则由 A T P + PA = -I 得+=可知 P 是正定的.因此系统在原点处是大 X 围渐近稳定的六、 〔20 分〕线性定常系统的传函为 Y (s) = s +4U (s) (s + 2)(s +1)〔1〕实现状态反馈,将系统闭环的希翼极点配置为(-4,-3),求反馈阵K .〔5 分〕〔2〕试设计极点为(-10,-10) 全维状态观测器〔5 分〕 . 〔3〕绘制带观测器的状态反馈闭环系统的状态变量图〔4 分〕 〔4〕分析闭环先后系统的能控性和能观性〔4 分〕注明：由于实现是不惟一的,本题的答案不惟一！其中一种答案为：解：〔1〕 Y (s) = s + 4 = s + 4U (s) (s + 2)(s +1) s 2 + 3s + 2系统的能控标准型实现为： X =「| 0 1 ]| X +「|0]| u, y = [4 1]X ……1 分系统彻底可控,则可以任意配置极点……1 分 令状态反馈增益阵为K = [k k ]……1 分1 2则有A - BK =「| 0 1 ]|,则状态反馈闭环特征多项式为又期望的闭环极点给出的特征多项式为： (s + 4)(s + 3) = s 2+ 7s +12由入2 + (k + 3)入 + (k + 2) = s 2 + 7s +12 可得到K = [4 10]……3 分1 2〔2〕观测器的设计：L -k 2 - 2 -k 1- 3」 L -2 -3」 L 1」由传递函数可知,原系统不存在零极点相消,系统状态彻底能观,可以任意配置观测器的极点.……1 分 令E = [e e ]T ……1 分1 2由观测器 = (A - EC)+ Bu + Ey 可得其期望的特征多项式为:f * (s) = f (s) 亭 E = - 311 395T ……4 分〔3〕绘制闭环系统的摹拟结构图第一种绘制方法：……4 分〔注：观测器输出端的加号和减号应去掉！不好意思, 刚发现！！〕第二种绘制方法：〔4〕闭环前系统状态彻底能控且能观,闭环后系统能控但不能观〔因 为状态反馈不改变系统的能控性 ,但闭环后存在零极点对消 ,所以系 统状体不彻底可观测〕……4 分A 卷-+-41 s32x 21 sx1x14+ + y10++22 - 3+ +1 s 222 - 358 -34 322 - 3 + ++1+ + - s1 4 43v u +-++++一、判断题,判断下例各题的正误,正确的打√ , 错误的打×〔每小题1 分,共10 分〕1、状态方程表达了输入引起状态变化的运动,输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程〔√〕2、对于给定的系统,状态变量个数和选择都不是惟一的〔×〕3、连续系统离散化都没有精确离散化,但近似离散化方法比普通离散化方法的精度高〔×〕4、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数〔×〕5、若系统的传递函数存在零极点相消,则系统状态不彻底能控〔×〕6、状态的能空性是系统的一种结构特性,依赖于系统的结构, 与系统的参数和控制变量作用的位置有关〔√〕7、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系〔×〕8、一个传递函数化为状态方程后,系统的能控能观性与所选择状态变量有关〔√ 〕9、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后,系统状态方程解的收敛性,与输入无关〔√〕10、若不能找到合适的李雅普诺夫函数,那末表明该系统是不稳定的〔×〕二、已知系统的传递函数为试分别用以下方法写出系统的实现：(1) 串联分解(2) 并联分解(3) 直接分解(4) 能观测性规X 型〔20 分〕解：2对于s3 +10s2 + 31s + 30 有(1) 串联分解串联分解有多种,如果不将 2 分解为两个有理数的乘积,如2 = 1 8 ,绘制该系统串联分解的结4构图,然后每一个惯性环节的输出设为状态变量,则可得到系统四种典型的实现为：则对应的状态空间表达式为：需要说明的是, 当交换环节相乘的顺序时,对应地交换对应行之间对角线的元素. . 的实现为：〈0 0一311]XX + u则. .的实现为：〈0一311]XX + u挨次类推！！ (2) 并联分解实现有无数种,若实现为〈X = X + 21u只要满足y = [c L 1 c 2 c 3]2 1〔3〕直接分解〔4〕能观测规 X 型三、给定一个二维连续时间线性定常自治系统 = A , t > 0 .现知,对应于两个不同初态的状态响应分别为试据此定出系统矩阵A.〔10 分〕解： x(t) = e At x(0) 可得四、已知系统的传递函数为〔1〕试确定 a 的取值,使系统成为不能控,或者为不能观测；〔2〕在上述 a 的取值下,写出使系统为能控的状态空间表达式,判断系统的能观测性； 〔3〕若a = 3 ,写出系统的一个最小实现.〔15 分〕解：〔1〕因为因此当a = 1 或者a = 2 或者a = 3 时, 浮现零极点对消现象,系统就成为不能控或者不能观测的系统 〔2〕可写系统的能控标准形实现为此问答案不惟一 存在零极相消,系统不能观 〔3〕 a = 3 ,则有G(s) =2 3 一1 3 如例如： s 3 + 10s 2 + 31s +30 = (s + 2) + (s + 3) + (s + 5),则其实现可以为：可写出能控标准形最小实现为此问答案不惟一,可有多种解五、已知系统的状态空间表达式为 〔1〕判断系统的能控性与能观测性； 〔2〕若不能控,试问能控的状态变量数为多少？ 〔3〕试将系统按能控性进行分解； 〔4〕求系统的传递函数.〔15 分〕 解：〔1〕系统的能控性矩阵为U C = [b Ab ]= 10 -20, det U C = 0, rankU C = 1 < 2故系统的状态不能控系统的能观测性矩阵为「 c ] 「 2 5 ]故系统的状态不能观测 4 分〔2〕 rankU = 1 , 因此能控的状态变量数为 1C〔3〕由状态方程式可知是x 能控的, x 是不能控的2 1〔4〕系统的传递函数为1 分2 分G(s) = c (sI - A )-1 b = c (sI - A )-1 b = 5 只与能控子系统有关六、给定系统解李雅普诺夫方程,求使得系统渐近稳定的 a 值 X 围.〔10 分〕七、伺服机电的输入为电枢电压,输出是轴转角,其传递函数为〔1〕设计状态反馈控制器u = -Kx + v ,使得闭环系统的极点为-5 士 j5 ；〔2〕设计全维状态观测器,观测器具有二重极点－15；〔3〕将上述设计的反馈控制器和观测器结合,构成带观测器的反馈控制器,画出闭环系统的状 态变量图；〔4〕求整个闭环系统的传递函数.〔20 分〕 第二章题 A 卷第一题：判断题,判断下例各题的正误,正确的打√ ,错误的打× 〔每小题 1 分,共 10 分〕 11、状态方程表达了输入引起状态变化的运动,输出方程则表达了状态引起输出变化的变换 过程〔 √〕12、对于给定的系统,状态变量个数和选择都不是惟一的〔×〕13、连续系统离散化都没有精确离散化,但近似离散化方法比普通离散化方法的精度高〔×〕3 分2 2 2s + 2U O= |L cA 」| = |L 19 -10」| , det U C = -115 丰 0, rankU O = 214、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数〔×〕15、若系统的传递函数存在零极点相消,则系统状态不彻底能控〔×〕16、状态的能空性是系统的一种结构特性 ,依赖于系统的结构, 与系统的参数和控制变量作 用的位置有关〔 √〕17、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系〔×〕18、一个传递函数化为状态方程后,系统的能控能观性与所选择状态变量有关〔√〕 19、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后,系统状态方程解的收敛性,与输入无 关〔 √〕20、若不能找到合适的李雅普诺夫函数,那末表明该系统是不稳定的〔×〕第二题：已知系统的传递函数为G(s) == ,试分别用以下方法写出系统的实现：(5) 串联分解〔4 分〕 (6) 并联分解〔4 分〕 (7) 直接分解〔4 分〕 (8) 能观测性规 X 型〔4 分〕(9) 绘制串联分解实现时系统的结构图〔4 分〕解：s对于有s 3 +10s 2 + 31s + 30(3) 串联分解 串联分解有三种s = s . 1 . 1 = 1 . s . 1 = 1 . 1 . s s 3 +10s 2 + 31s + 30 (s + 1) (s + 2) (s + 3) (s + 1) (s + 2) (s + 3) (s + 1) (s + 2) (s + 3) = (1)..=.(1).=.(1)对应的状态方程为：(4) 并联分解实现有无数种,其中之三为： 〔3〕直接分解 〔4〕能观测规 X 型 (10) 结构图第二章题 B 卷第一题：判断题,判断下例各题的正误,正确的打√ ,错误的打× 〔每小题 1 分,共 10 分〕 1、状态空间模型描述了输入-输出之间的行为,而且在任何初始条件下都能揭示系统的内部 行为〔 √〕2、状态空间描述是对系统的一种彻底的描述,而传递函数则只是对系统的一种外部描述〔√〕3、任何采样周期下都可以通过近似离散化方法将连续时间系统离散化〔×〕4、对于一个线性系统来说,经过线性非奇妙状态变换后,其状态能控性不变〔 √〕5、系统状态的能控所关心的是系统的任意时刻的运动〔×〕6、能观〔能控〕性问题可以转化为能控〔能观〕性问题来处理〔√〕7、一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的子系统〔√〕8、一个系统的传递函数若有零、 极点对消现象,则视状态变量的选择不同,系统或者是不能控的Y(s) s 3 +10s 2 + 31s + 32U (s) (s 2 + 5s + 6)(s + 1)或者是不能观的〔 √〕9、对于一个给定的系统,李雅普诺夫函数是惟一的〔 ×〕 10、若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的,则称该系统是外部稳定的〔√〕 第二题： 求以下 RLC 网络系统的状态空间模型, 并绘制其结构图.取电压 e_i 为输入,e_o 为输 出.其中 R 1 、R 2 、C 和 L 为常数.第二题图答案:解： 〔状态变量可以另取〕定义状态变量： x 1 为电阻两端电压 v,x 2 为通过电感的电流 i.输入 u 为 e_i ,输出 y 为e_o .使用 基尔霍夫电流定理列 R 1 和 R 2 间节点的电流方程：使用基尔霍夫电压定理列出包含 C 、R 2 、L 回路的电压方程： 最后,输出电压的表达式为： 得到状态空间模型： 结构图为：第三题： 如图所示,系统的输入量为 u 1 和 u 2、输出量为 y 和请选择适当的状态变量,并写出系 统的状态空间表达式,根据状态空间表达式求系统的闭环传递函数：第三题图 解：状态变量如下图所示〔3 分〕从方框图中可以写出状态方程和输出方程〔4〕 状态方程的矩阵向量形式： 系统的传递函数为〔3 分〕：. 解：由电路图可知：图1 ：RC 无源网络可得：选,,=所以可以得到：解：运用公式可得：可得传递函数为：解：先求出系统的.可得：令,X<k>+解：计算算式为：所以：解：由于 A 无特定形式,用秩判据简单.因此,不管 a 去何值都不能够联合彻底能控和彻底能观测解：〔1〕选取李雅普若夫函数V<x>,取,可知：V<0>=0,即〔2〕计算基此可知：即：〔3〕判断和出：为正定.并判断其定号性.对取定和系统状态方程,计算得到：为负半定..对此, 只需判断的不为系统状态方程的解.为此,将带入状态方程, 导表明,状态方程的解只为, 不是系统状态方程的解.通过类似分析也可以得证不是系统状态方程的解. 基此, 可知判断.〔4〕综合可知,对于给定非线性时不变系统,可构造李雅普若夫函数判断满足：V<x>为正定, 为负定；对任意,当,有基此,并根据李雅普若夫方法渐近稳定性定理知：系统原点平衡状态为大X 围渐近稳定.解：可知,系统彻底可控,可以用状态反馈进行任意极点配置. 由于状态维数为 3 维.所以设.系统期望的特征多项式为：而令,二者相应系数相等.得：5 3 ]即： 验证：A 卷二、基础题〔每题 10 分〕1、给定一个二维连续时间线性定常自治系统 = A , t > 0 .现知,对应于两个不同初态的状 态响应分别为试据此定出系统矩阵 A .解： x(t) = e At x(0) 2 分可得e At = 4 4「| 1 (e -t + e 3t )4 分4 e -t + 4 e 3t |「 1 -5 e -t + 3 e 3t |L -1 1 1 ] 21 (e -t + e 3t )」2 ]-1 「| 43 e -t + 41 e 3t -1」| = - 23 e -t + 21e 3t45 e -t + 43e 3t ]|「-1 - 25 e -t + 23e 3t 」 |L 1-2] 1 」| A ==-te3t14-43t =0 = 41 11 2、设线性定常连续时间系统的状态方程为取采样周期T = 1s ,试将该连续系统的状态方程离散化. 解：① 首先计算矩阵指数.采用拉氏变换法：e t = L -1 (s -)-1 = L -1〈-1= L -122)=3 分② 进而计算离散时间系统的系数矩阵.= e T =「|1 0.5 (1- e -2T )] T 「14 分0.4323] 0.1353」|2 分 「3 e -t + 1 e 3t |L 0 e -2T 」|| 将T = 1s 代入得 = e = |L 0 - 4 e -t + 4 e 3t| |- 3 e -t + 1 e 3t |L 2 2 = | 2||L -e -t + e 3t2 2 」|=(j T)B =〈(|j T「|10 |l 0 |L00.5(1- e-2t)] )|「0]「0.5T + 0.25e-2T - 0.25]=|L -0.5e-2T + 0.5 」|「1.0789]= | |③故系统离散化状态方程为xx21 = xx21kk+ u (k ) 2 分3、已知系统的传递函数为〔1〕试确定a 的取值,使系统成为不能控,或者为不能观测；〔2〕在上述a 的取值下,写出使系统为能控的状态空间表达式,判断系统的能观测性；〔3〕若a = 3 ,写出系统的一个最小实现.〔10 分〕解：〔1〕因为因此当a = 1 或者a = 2 或者a = 3 时, 浮现零极点对消现象,系统就成为不能控或者不能观测的系统 3 分〔2〕可写系统的能控标准形实现为此问答案不惟一x =-x + u y =[2a 2 0]x3 分存在零极相消,系统不能观 1 分〔3〕a = 3 ,则有G(s) =可写出能控标准形最小实现为此问答案不惟一,可有多种解三、已知系统的状态空间表达式为3 分〔1〕判断系统的能控性与能观测性；〔2〕若不能控,试问能控的状态变量数为多少？〔3〕试将系统按能控性进行分解；〔4〕求系统的传递函数.〔10 分〕解：〔1〕系统的能控性矩阵为UC= [b Ab]=1-2, det UC= 0, rankUC= 1 < 23 分L0.4323」|dt卜||e-2t 」| J|L 1」故系统的状态不能控系统的能观测性矩阵为「 c ] 「 2 5 ] U O= | | = | | ,detU = -115 丰 0, rankU = 2 C O4 分〔2〕 rankU = 1 , 因此能控的状态变量数为 1 1 分 C〔3〕由状态方程式可知是x 能控的, x 是不能控的 2 分3 分B 卷二、基础题〔每题 10 分〕1、给定一个连续时间线性定常系统, 已知状态转移矩阵个(t) 为 试据此定出系统矩阵 A .解：A =〈dt d(t) 卜Jt =0=t =0「 0 2 ] = | |2、设线性定常连续时间系统的状态方程为取采样周期T = 1s ,试将该连续系统的状态方程离散化.解：① 首先计算矩阵指数.采用拉氏变换法： ② 进而计算离散时间系统的系数矩阵.「 1 T ] 「1 1]= e T = |L 0 1」|将T = 1s 代入得 = e T = |L 0 1」| ③ 故系统离散化状态方程为 3、已知系统的传递函数为试写出系统的能控标准形实现.〔10 分〕解：系统的能控标准形实现为三、试确定下列系统当 p 与 q 如何取值系统既能控又能观.〔10 分〕 解：系统的能控性矩阵为其行列式为 det [b Ab ]= p 2 + p - 12根据判定能控性的定理 , 若系统能控 , 则系统能控性矩阵的秩为 2,亦即行列式值不为2 1〔4〕系统的传递函数为G(s) = c (sI - A )-1 b = c (sI - A )-1 b = 5 只与能控子系统有关2 2 2s + 2L -1 -3」L cA 」 L 19 -10」 故系统的状态不能观测[b Ab]= p2+ p - 12 丰00 , det因此当p 丰3,-4 时系统能控系统能观测性矩阵为其行列式为根据判定能观性的定理, 若系统能观, 则系统能观性矩阵的秩为2, 亦即「c ]det | | = 12q2 - q - 1 丰0L cA」1 1因此当q 丰, - 时系统能观3 41 1综上可知, 当p 丰3, -4 , q 丰, - 时系统既能控又能观3 4。

现代控制理论试卷 1一、(10分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打×(1)用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。

（）(2)线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的能观性不变。

（）(3)若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。

（）(4)状态反馈不改变被控系统的能控性和能观测性。

（）(5)通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时能控和能观的。

（）二、（12分）已知系统1001010,(0)00121x x x⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()x t.三、(12分) 考虑由下式确定的系统：2s+2(s)=43Ws s++，求其状态空间实现的能控标准型和对角线标准型。

四、（9分）已知系统[]210020,011003x x y⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？五、(17分) 判断下列系统的能控性、能观性；叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件并分析下面系统的稳定性.[]xy u x x 11103211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=六、（17分）已知子系统1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求出串联后系统的状态模型和传递函数.七、（15分）确定使系统2001020240021a x x u b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦为完全能控时，待定参数的取值范围。

八、（8分）已知非线性系统 ⎩⎨⎧--=+-=2112211sin 2x a x xx x x试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。

现代控制理论 试卷 1参考答案一、(10分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1) 用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。

哈工大2010年春季学期现代控制理论基础 试题B 答案一．（本题满分10分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。

其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。

【解答】根据基尔霍夫定律得：11132223321L x Rx x u L x Rx x Cx x x++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 改写为1131112232231211111R x x x uL L L R x x x L L x x x C C ⎧=--+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-⎪⎩，输出方程为2y x =写成矩阵形式为[]111112222331231011000110010RLL x x L R x x u L L x x C C x y x x ⎧⎡⎤--⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎪⎣⎦⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎪=⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩二．（本题满分10分）单输入单输出离散时间系统的差分方程为(2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++回答下列问题：（1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性；（3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。

【解答】（1）在零初始条件下进行z 变换有：()()253()2()z z Y z z R z ++=+系统的脉冲传递函数：2()2()53Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为2()530D z z z =++=特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。

（3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得(2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+-[]212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有：212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为12(1)()()x k x k r k +=+所以状态空间表达式为[]112212(1)()011()(1)35()3()()10()x k x k r k x k x k x k y k x k ⎧+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎪=⎢⎥⎪⎣⎦⎩（4）系统矩阵为0135⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦G ，输出矩阵为[]10=c ，[][]01100135⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦cG 能观性矩阵为o 1001⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦c Q cG ，o rank 2=Q ，系统完全能观。

现代控制理论习题附答案现代控制理论习题附答案现代控制理论是控制工程领域中的重要分支，它研究如何利用数学模型来描述和分析控制系统的行为，并设计出相应的控制算法。

掌握现代控制理论对于提高控制系统的性能和稳定性至关重要。

在这篇文章中，我们将介绍一些现代控制理论的习题，并附上相应的答案，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一理论。

1. 问题：给定一个连续时间域的线性时不变系统，其传递函数为G(s) = (s + 1)/(s^2 + 3s + 2)，试求该系统的单位阶跃响应。

答案：单位阶跃响应是指当输入信号为单位阶跃函数时，系统的输出响应。

对于连续时间域的系统，单位阶跃函数可以表示为u(t) = 1，其中t >= 0。

根据系统的传递函数，我们可以使用拉普拉斯变换来求解单位阶跃响应。

首先，将传递函数G(s)进行部分分式分解，得到G(s) = 1/(s + 1) - 1/(s + 2)。

然后，对每一项进行拉普拉斯反变换，得到g(t) = e^(-t) - e^(-2t)。

因此，该系统的单位阶跃响应为g(t) = e^(-t) - e^(-2t)。

2. 问题：给定一个离散时间域的线性时不变系统，其传递函数为G(z) = (0.5z + 0.3)/(z^2 - 0.7z + 0.1)，试求该系统的单位脉冲响应。

答案：单位脉冲响应是指当输入信号为单位脉冲函数时，系统的输出响应。

对于离散时间域的系统，单位脉冲函数可以表示为δ(n)，其中n为整数。

根据系统的传递函数，我们可以使用z变换来求解单位脉冲响应。

首先，将传递函数G(z)进行部分分式分解，得到G(z) = 0.3/(z - 0.5) + 0.2/(z - 0.1)。

然后，对每一项进行z反变换，得到g(n) = 0.5^n - 0.1^n。

因此，该系统的单位脉冲响应为g(n) = 0.5^n - 0.1^n。

3. 问题：给定一个连续时间域的线性时不变系统，其状态空间表示为dx/dt =Ax + Bu，y = Cx + Du，其中A = [[-1, -2], [3, -4]]，B = [[1], [0]]，C = [[1, 0], [0, 1]]，D = [[0], [0]]，试求该系统的零输入响应。

现代控制理论基础（习题）14两输入旳、勺，两输出X、儿的系统，其模拟结构图如下所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

x, = -a t Xj - a2x2 -。

七 + b x ux3 = -a5x^ - a3x3 - a4x4 + h2u x4 = x2 + x3输出方程为忙::X = 1 ~a20、兀+00、0 / 、整理有＜_。

5 0 5 ~a40 b2 < 0 1 1 0) <0 0丿P 1 0 0、V =X,0 0 0 1丿求传函:解：状态方程q(0 °丿'$ + d]% 0、-1%0、厂0 1o) -1 s0 0 0 0,0 0 0 1丿% 0 s + 6 勺0 b2I 0 -1 -1s )<0丿’$ + 0] a2 ci6(-l)-(-l)l+2det仏a60 5 +。

30、a4+ (—1)2+2., det"s + d] a60]a5、T "I S ,I 0\-1=a2s(s + 色)一a4a6 + a2a4 + s'(s + R )($ + a') + a" (s + R )s - a5a6s22 43 2 2 2=a2s a2a.s -a4a(y +a2a4 +5 +(«)+a3)5?+a}a3s +a4s a4a}s -a5a6s2 2=S +(Q] +°3)厂 +(再°3—°5°6 +°2 +°4)$ + (。

]°斗 + + °2°4 一°4°61-5.系统的动态特性由卜•列微分方程描述(1) y + 5y + 7» + 3y = " + 2” (2) y + 5j； + 7» + 3)u〃 + 3〃 + 2«列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

一、填空题（本题含有10个小题，每小题2分，满分共20分）1．若一个单输入单输出线性定常系统∑)(C B,A,的传递函数不存在零极点对消现象，则系统∑)(C B,A,的状态空间表达式必为______实现。

2．一个线性定常系统在施加某一线性状态反馈的前后，它的状态能观性_________________。

3．标量函数22212312()4942128V x x x x x =+++x （其中[]T123x x x =x ）是_____定的。

4．一个单输入单输出线性定常系统静态输出反馈可镇定的充分必要条件是该系统的根轨迹______________。

5．在设计带有状态观测器的线性反馈系统时，控制器的动态特性和_________的动态特性是相互独立的，这个原理称为线性系统的______原理。

6．根据一个系统的传递函数（矩阵）可以写出_______个状态空间表达式。

例如系统()5()7()3()3()()2()y t y t y t y t u t u t u t +++=++&&&&&&&&&的其中一个状 态空间表达式为。

_________________________________________7．一个线性定常系统的输出稳定是其状态稳定的___________条件。

8．如果一个非线性系统针对其某一个平衡点经过小偏差线性化以后所得到的Jacobi 矩阵的特征值中含有两个共轭纯虚数，而其余特征值均具有负实部，则原非线性系统关于该平衡点的稳定性宜用李雅普诺夫______法来判断。

9．线性定常系统510105100050100003009u ⎧-⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=-+⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥-⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎪⎢⎥⎪=⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩x x y x &的状态______能观测。

（注：填“完全”、“完全不”或“不完全”之一）10．已知2212212315541554()915541554s s s s s s s s s s s -+⎡⎤⎢⎥++++-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥++++⎣⎦I A ，其中I 表示2阶单位矩阵，则有t e A =________________。

现代控制理论复习题库一、填空题1. 对任意传递函数00()mnjj j j j j G s b sa s ===∑∑，其物理实现存在的条件是 。

2. 系统的状态方程为齐次微分方程=x Ax ，若初始时刻为0，x (0)=x 0则其解为___）（）（0x x e t x t A =________。

其中， ___t e A __称为系统状态转移矩阵。

3. 对线性连续定常系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定，原因是___整个状态空间中只有一个平衡状态______________。

4. 系统1111(,,)∑=A B C 和2222(,,)∑=A B C 是互为对偶的两个系统，若1∑使完全能控的，则2∑是___完全能控_______的。

5. 能控性与能观性的概念是由__卡尔曼kalman ________提出的，基于能量的稳定性理论是由___lyapunov_______构建的6. 线性定常连续系统=+x Ax Bu ，系统矩阵是_____A______，控制矩阵是_____B_____。

7. 系统状态的可观测性表征的是状态可由 输出反映初始状态 完全反映的能力。

8. 线性系统的状态观测器有两个输入，即_________和__________。

9. 状态空间描述包括两部分，一部分是_状态_方程_______，另一部分是____输出方程______。

10. 系统状态的可控性表征的是状态可由 任意初始状态到零状态 完全控制的能力。

11. 由系统的输入-输出的动态关系建立系统的____传递函数___________，这样的问题叫实现问题。

12.某系统有两个平衡点，在其中一个平衡点稳定，另一个平衡点不稳定，这样的系统是否存在？___不存在_______。

13. 对线性定常系统，状态观测器的设计和状态反馈控制器的设计可以分开进行，互不影响，称为___分离___原理。

14. 对线性定常系统基于观测器构成的状态反馈系统和状态直接反馈系统，它们的传递函数矩阵是否相同？__不相同___。

第一周绪论1、我国人民哪些发明属于在经典控制理论萌芽阶段的发明？（AB）A指南车B水运仪象台C指南针D印刷术2、经典控制理论也可以称为（BD）A现代控制理论B自动控制理论C近代控制理论D古典控制理论3、以下哪些内容属于现代控制理论基础的内容？（AB）A李雅普诺夫稳定性理论B极小值原理C频率响应法D根轨迹法4、传递函数模型假设模型初值不为零。

（X）5、传递函数描述的是单输入单输出的外部描述模型。

（X）6、线性系统理论属于现代控制理论的知识体系中数学模型部分。

（，）7、最优控制理论属于现代控制理论的知识体系中估计方法部分。

（X）8、控制科学的意义下，现代控制理论主要研究（数学建模）和（控制理论方法）的科学问题。

9、现代控制理论在整个控制理论发展中起到了（承上启下）的作用。

10、除了稳定性外，现代控制理论基础还考虑系统（能控性）和（能观测性）两个内部特性。

一、现代控制理论作为一门科学技术，已经得到了广泛的运用。

你还知道现代控制理论具体应用到哪些具体实际的例子么？第二周状态空间描述下的动态方程1、关于输出方程，下列哪些说法是正确的？（BD）A输出方程中状态变量必须是一阶的B输出方程中不含输入的任何阶倒数C输出方程中输入变量可以是任意阶的D输出方程中不含状态变量的任何阶倒数2、关于系统的动态方程，下列哪些说法是正确的？（AB）A系统的状态方程的状态变量的个数是惟一的B系统输出方程的输入输出变量是惟一的C系统输出方程的输入输出变量是不惟一的D系统的状态方程的状态变量是惟一的3、对于一个有多个动态方程表示的系统，下列说法正确的是？（AC）A这些动态方程一定是等价的B这些动态方程经过线性变化后，不能转化为一个动态方程C这些动态方程经过线性变化后，可以转化为一个动态方程D这些动态方程不一定是等价的4、选取的状态向量是线性相关的（X）5、状态向量的选取是不唯一的（/）6、状态向量的个数是不唯一的（X）7、输出方程的选取是不唯一的（/）8、（系统的输出量与状态变量、输入变量关系的数学表达式）称为输出方程。

一、填空题（本题含有10个小题，每小题2分，满分共20分）1．若一个单输入单输出线性定常系统∑)(C B,A,的传递函数不存在零极点对消现象，则系统∑)(C B,A,的状态空间表达式必为______实现。

2．一个线性定常系统在施加某一线性状态反馈的前后，它的状态能观性_________________。

3．标量函数22212312()4942128V x x x x x =+++x （其中[]T123x x x =x ）是_____定的。

4．一个单输入单输出线性定常系统静态输出反馈可镇定的充分必要条件是该系统的根轨迹______________。

5．在设计带有状态观测器的线性反馈系统时，控制器的动态特性和_________的动态特性是相互独立的，这个原理称为线性系统的______原理。

6．根据一个系统的传递函数（矩阵）可以写出_______个状态空间表达式。

例如系统()5()7()3()3()()2()y t y t y t y t u t u t u t +++=++&&&&&&&&&的其中一个状 态空间表达式为。

_________________________________________7．一个线性定常系统的输出稳定是其状态稳定的___________条件。

8．如果一个非线性系统针对其某一个平衡点经过小偏差线性化以后所得到的Jacobi 矩阵的特征值中含有两个共轭纯虚数，而其余特征值均具有负实部，则原非线性系统关于该平衡点的稳定性宜用李雅普诺夫______法来判断。

9．线性定常系统510105100050100003009u ⎧-⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=-+⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥-⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎪⎢⎥⎪=⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩x x y x &的状态______能观测。

（注：填“完全”、“完全不”或“不完全”之一）10．已知2212212315541554()915541554s s s s s s s s s s s -+⎡⎤⎢⎥++++-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥++++⎣⎦I A ，其中I 表示2阶单位矩阵，则有t e A =________________。

现代控制理论期末试题及答案一、选择题1. 以下哪项不是现代控制理论的基本特征？A. 多变量控制B. 非线性控制C. 自适应控制D. 单变量控制答案：D. 单变量控制2. PID控制器中，P代表的是什么？A. 比例B. 积分C. 微分D. 参数答案：A. 比例3. 动态系统的状态方程通常是以什么形式表示的？A. 微分方程B. 代数方程C. 积分方程D. 线性方程答案：A. 微分方程4. 控制系统的稳定性可以通过什么分析方法来判断？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 巴特沃斯准则D. 极点分布答案：C. 巴特沃斯准则5. 控制系统的性能可以通过什么指标来评估？A. 驰豫时间B. 超调量C. 峰值时间D. 准确度答案：A. 驰豫时间二、问答题1. 说明PID控制器的原理和作用。

答：PID控制器是一种常用的控制器，它由比例环节（P）、积分环节（I）和微分环节（D）组成。

比例环节根据控制误差的大小来产生控制量，积分环节用于累积控制误差并增加控制量，微分环节用于预测控制误差的变化趋势并调整控制量。

PID控制器的作用是通过调整上述三个环节的权重和参数，使得控制系统能够尽可能快速地响应控制信号，并且保持控制精度和稳定性。

2. 什么是状态空间法？简要描述其主要思想。

答：状态空间法是用于描述动态系统的一种方法。

其主要思想是将系统的状态表示为一组变量的集合，通过对这些变量的微分方程建模来描述系统的动态行为。

状态空间模型包括状态方程和输出方程，其中状态方程描述了系统状态的变化规律，输出方程描述了系统输出与状态之间的关系。

通过求解状态方程和输出方程，可以得到系统的状态响应和输出响应，进而对系统进行分析和设计。

三、计算题1. 给定一个具有状态方程和输出方程如下的系统，求解其状态和输出的完整响应。

状态方程：\[\dot{x} = Ax + Bu\]\[y = Cx + Du\]其中，矩阵A为\[A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}\]矩阵B为\[B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\]矩阵C为\[C = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\]矩阵D为\[D = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}\]初值条件为：\[x(0) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]输入信号为：\[u(t) = 2 \sin(t)\]答：首先，根据给定的状态方程和初值条件，可以求解出系统的状态响应。