金老师教育培训---中考数学压轴题专题16函数动点问题中三角形存在性17题9页

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综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1),且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．．求得抛物线的解析式为x x 41y 2+-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上,且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形,求D 点的坐标；⑶连接OA 、AB,如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似?若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论：按OB 为边和对角线两种情况 2。

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论. ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解.练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过02P E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，及原点(00)O ，．（1)求抛物线的解析式．(由一般式．．．得抛物线的解析式为223y x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ,过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在,说明理由．(3）如果符合（2)中的Q 点在x 轴的上方,连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△练习2、如图，四边形OABC C在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D处。

九年级数学专题函数中动点与三角形的存在性问题本节内容中均为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、方程及分类讨论思想等知识，其共同点是都涉及有特殊要求的三角形的存在性问题.能力训练：1.如图,抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴交于点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),点D是抛物线的顶点,E是线段AB 的中点.(1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;(2)F(x,y)是抛物线上的动点:①当x>1,y>0时,求△BDF的面积的最大值;②当∠AEF=∠DBE时,求点F的坐标.2.如图1,图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m(k<0)与y2=ax2+b(a>0)的部分图像围成的封闭图形,已知A(1,0),B(0,1),D(0,-3)。

(1)直接写出这两个二次函数的表达式;(2)判断图形ABCD是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形ABCD上),并说明理由;(3)如图2,连接BC,CD,AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似(其中点C与点E是对应顶点)的点E 的坐标.3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx-1经过点A(-2,1)和点B(-1,-1),抛物线C2:y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M.(1)求抛物线C1的表达式.(2)直接用含t的代数式表示线段MN的长.(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值.(4)在(3)的条件下,设抛物线C1与y轴交于点P,点M在y轴右侧抛物线C2上,连接AM交y轴于点K,连接KN,在平面内有一点Q,连接KQ和QN,当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时,请直接写出点Q的坐标.4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.且直线y=x-6过点B,与y轴交于点D,点C与点D关于x轴对称,点P是线段OB上一动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线BD于点N.(1)求抛物线的函数解析式;(2)当△MDB的面积最大时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点Q,使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.5.如图,在平面直角坐标系中,函数y=-ax2+2ax+3a(a>0)的图像交x轴于点A、B,交y轴于点C,它的对称轴交x轴于点E.过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,连接DE并延长交y轴于点F,交抛物线于点G.直线AF交CD于点H,交抛物线于点K,连接HE、GK.(1)点E的坐标为 ;(2)当△HEF是直角三角形时,求a的值;(3)判断HE与GK有怎样的位置关系?请说明理由.6.将抛物线C:y=(x-2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1,再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2.(1)直接写出抛物线C1,C2的解析式;(2)如图1,点A在抛物线C1(对称轴l右侧)上,点B在对称轴l上,△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,求点A的坐标;x与抛物线(3)如图2,直线y=kx(k≠0,k为常数)与抛物线C2交于E,F两点,M为线段EF的中点;直线y=-4kC2交于G,H两点,N为线段GH的中点.求证:直线MN经过一个定点.7.如图,抛物线y=ax 2+94x+c 经过点A(-1,0)和点C(0,3)与x 轴的另一交点为点B,点M 是直线BC 上一动点,过点M 作MP∥y 轴,交抛物线于点P.(1)求该抛物线的解析式;(2)在抛物线上是否存在一点Q,使得△QCO 是等边三角形?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)以M 为圆心,MP 为半径作⊙M,当⊙M 与坐标轴相切时,求出⊙M 的半径.8.如图,抛物线y=12x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左边),与y 轴交于点C.直线y=12x-2经过B 、C 两点.(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是抛物线上的动点,过点P 且垂直于x 轴的直线与直线BC 及x 轴分别交于点D 、M.PN⊥BC,垂足为N.设M(m,0).①点P 在抛物线上运动,若P 、D 、M 三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外).请直接写出符合条件的m 的值;②当点P 在直线BC 下方的抛物线上运动时,是否存在一点P ，使△PNC 与△AOC 相似.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.9.如图,抛物线y=ax2+bx+8(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点B(8,0),与y轴交于点C,顶点为D,连接AC,BC,BC与抛物线的对称轴l交于点E.(1)求抛物线的表达式;S△ABC时,求点P的坐标;(2)点P是第一象限内抛物线上的动点,连接PB,PC,当S△PBC=35(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点,在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.10.如图所示,抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点M为抛物线的顶点.(1)求点C及顶点M的坐标;(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点,连接BN、CN,求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标;(3)若点D是抛物线对称轴上的动点,点G是抛物线上的动点,是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点G的坐标;若不存在,试说明理由;(4)直线CM交x轴于点E,若点P是线段EM上的一个动点,是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC 相似若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.11.如图,抛物线经过点A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)点P(m,n)是抛物线上的动点,当-3<m<0时,试确定m的值,使得△PAC的面积最大;(3)抛物线上是否存在不同于点B的点D,满足DA2-DC2=6,若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.。

y =-y =-2020中考数学经典压轴专项突破 -三角形存在性问题板块一、等腰三角形存在性1. 如图，已知一次函数7y x =-+与正比例函数34y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．（备用图）2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t (单位：秒)(1)求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；(2)当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；(3)当902t <<时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；(4)当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形？请写出解答过程．板块二、直角三角形3.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当△P AE是直角三角形时，求点P的坐标．4.如图所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M 可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线上时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N 运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设04x≤≤（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ 为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．WQPNMFDBA板块三、相似三角形存在性 5. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+3+与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H ．（1）直接填写：a = ，b = ，顶点C 的坐标为 ； （2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标．FP WQN A B（备用图）三、测试提高1. 如图，已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且01t <<．（1）填空：点C 的坐标是_____，b ＝_____，c ＝_____； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．。

中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）； （3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。

函数与直角三角形的存在性问题解题策略以线段AB为边的直角三角形构造方法如右图所示：A BABCABCEFEF直角三角形的另一个顶点在以A在以AB为直径的圆上，或过A、B且与AB垂直的直线上（A、B两点除外）.解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论，通常这类问题的解题策略有：(1)几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算.如图，若∠ACB=90°，过点A、B作经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F.则△AEC∾△CFB．从而得到线段间的关系式解决问题.(2)代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验.经典例题【例1】(2022春•绿园区期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到线段PR，连结QR．设四边形APRQ与Rt△ABC的重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t(t >0)秒．(1)线段AP的长为(用含t的代数式表示)．(2)当点R恰好落在线段BC上时，求t的值．(3)求S与t之间的函数关系式．(4)当△CPR为直角三角形时，直接写出t的值．【例2】(2022春•成华区校级期中)如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A(-2，6)的直线交x 轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27．(1)求直线AB的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段AB上(不与点A、B重合)，过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE 的长为y(y≠0)，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】如图，在平面直角坐标系中，C (8，0)、B (0，6)是矩形ABOC 的两个顶点，点D 是线段AB 上的一个动点(不与A 、B 重合)，双曲线y =k x(k >0)经过点D ，与矩形ABOC 的边AC 相交于点E ．(1)如图①，当点D 为AB 中点时，k 的值为，点E 的坐标为．(2)如图②，当点D 在线段AB 上的任意位置时(不与A 、B 重合)，连接BC 、DE ，求证：BC ∥DE ．(3)是否存在反比例函数上不同于点D 的一点F ，满足：△ODF 为直角三角形，∠ODF =90°，且tan ∠DOF =13，若存在，请直接写出满足以上条件时点D 的横坐标，若不存在，请说明理由．【例4】(2022•巴南区自主招生)已知在平面直角坐标系中，二次函数y =18x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，A (-4，0)，B (12，0)，C (0，-6)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)如图1，点P 为直线BC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作PD ∥y 轴交直线BC 于点D ，过点P 作PE ∥BC 交x 轴于点E ，求PD +22BE 的最大值及此时点P 的坐标；培优训练一、解答题1.(2022秋•南关区校级月考)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，动点F从点A出发沿折线AC-CB向终点B运动，在AC上的速度为每秒3个单位长度，在BC上的速度为每秒1个单位长度．当点F不与点C重合时，以CF为边在点C的右上方作等边△CFQ，设点P的运动时间为t(秒)，点F到AB的距离为h．(1)AC=；(2)求h与t的函数关系式，并写出t的取值范围；h时，求t的值；(3)当点F在AC边上运动，且点Q到AB的距离为12(4)取AB边的中点D，连结FD、CD，当△FCD是直角三角形时，直接写出t的值．2.(2021•罗湖区校级模拟)如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB．(1)求抛物线的函数解析式；(2)当△AOB为直角三角形时，求t的值；(3)如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．3.(2012•芜湖县校级自主招生)学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°的值为A.12B.1 C.32D.2(2)对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是．(3)已知sinα=35，其中α为锐角，试求sadα的值．4.(2022秋•法库县期中)如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，-1)，与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为(1，n)．(1)则k=，b=，n=；(2)若函数y=kx+b的值大于函数y=x+1的函数值，则x的取值范围是；(3)求四边形AOCD的面积；(4)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点P的坐标．5.(2022秋•同安区期中)如图，直线y=2x-2分别与x轴、y轴交于A点与B点，函数y=2x2+2nx+n的图象经过B点．点P是抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D．(1)求该二次函数的解析式；(2)连接AD，当△ABD为直角三角形时，求BD的长；(3)将△BDP绕点B逆时针旋转45°，得到△BD'P'，当点P的对应点P'落在坐标轴上时，请求出点P的坐标．6.(2022秋•禅城区校级期中)如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知A(6，0)，(1)写出点B，点C的坐标和△ABC的面积；(2)直线l经过A、B两点，求直线AB的解析式；S△ABC？若存在，求出点D的坐标；若(3)点D是在直线AB上的动点，是否存在动点D，使得S△ACD=12不存在，请说明理由；(4)如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．7.(2022秋•工业园区校级期中)如图，已知点P是第一象限内二次函数y=-x2+2mx+3m2(m>0)图象上一点，该二次函数图象与x轴交于A、B两点(A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC．(1)线段AB的长为(用含m的代数式表示)；(2)当m=1时，点D与C点关于二次函数图象对称轴对称，若AD平分∠CAP，求点P的坐标；(3)若△ABC是直角三角形，点E是AP与BC的交点，则AEPE的最小值是多少？直接写出答案即可．8.(2022秋•西湖区期中)如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以BC为一边向下作矩形BDEC，其中DB=3．M为线段AB上的动点(且不与A、B重合)，过M作MN⊥DE，交DB于点N．(1)如图1，以MN为边作矩形MNPQ，使边NP在线段DE上，点Q在AC上．①当MN为5时，矩形MNPQ的面积为；②设MN=x，矩形MNPQ的面积为y，试求出y关于x的函数表达式；③矩形MNPQ的面积y是否有最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．(2)如图2，过点N作AB的平行线，交线段AC于点F，连接MF，若△MNF为直角三角形，请直接写出线段MN的长度．9.(2022秋•梁溪区校级期中)如图1，Rt△MCD中，∠MCD=90°，MD=5，CD=4．O为边MD上一点，以O为圆心，MO为半径的⊙O与边CD相切于点F，交MC、MD于点E、N．点A、B分别在线段MN、MC上(不与端点重合)，且满足ANBM =54．(1)①求MO的长；②设BM=x，AD=y，求y与x之间的函数关系式；(2)如图2，作AP∥MC，交CD于点P，连接AB，BP．①当△ABP为直角三角形时，求BM的长；②当点E关于BP的对称点E′落在边MD上时，请直接写出DEME的值．10.(2022秋•市北区期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，y2=-13x+b的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C(m，5)．(1)填空：m=，b=；(2)求△ACD的面积；(3)在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(4)点P在线段AD上，连接CP，若△ACP是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标．11.(2022秋•南湖区校级期中)在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，E是AB边上一动点，以1cm/s的速度从点B出发，到A停止运动；F是BC边上一动点，以2cm/s的速度从点B出发，到点C停止运动．设动点运动的时间为t(s)，△DEF的面积为S(cm2)(1)求S关于t的函数表达式，并求自变量t的取值范围．(2)当△DEF是直角三角形时，求△DEF的面积．12.(2022秋•罗湖区校级期中)建立模型：(1)如图1，等腰直角三角形ABC的直角顶点在直线l上．过点A作AD⊥l交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，求证：△ADC≌△CEB模型应用：(2)如图2，在平面直角坐标系中，直线l1：y=2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式；(3)如图3，在平面直角坐标系，点B(6，4)，过点B作AB⊥y交于点A，过点B作BC⊥x交于点C，P 为线段BC上的一个动点，点Q(a，2a-4)位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．13.(2022秋•天桥区期中)如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y=x，直线l2与x轴交于点A，与y轴交于点B(0，3)，与l1交于点C(2，m)．(1)求出直线l2的函数关系式；(2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1、l2交于点M、N，①当点M在点N的上方，且满足MN=OB时，请求出点M与点N的坐标；②当点M在点N的下方时，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．14.(2022秋•甘井子区校级月考)抛物线y=x2+bx+c过A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称．(1)抛物线的解析式是，△ABD的面积为；(2)在直线AD下方的抛物线上存在点P，使△APD的面积最大，求出最大面积．(3)当t≤x≤t+1时，函数y=x2+bx+c的最小值为5，求t的值．(4)若点M在y轴上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时M点的坐标．15.(2022秋•荣县校级月考)如图，已知一条直线过点(0，4)，且与抛物线y=1x2交于A、B两点，其中点4A的横坐标是-2(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标；(2)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限；点N(0，1)，当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？16.(2022秋•汉川市校级月考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为(4，0)，B点坐标为(-1，0)，连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t 秒．(1)求二次函数的解析式．(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．17.(2022秋•鼓楼区校级月考)如图，抛物线y=1x2-x-3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，4与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4，-3)．(1)请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；(2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m(m≥0)，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l 交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；(3)若点Q是对称轴上的点，且△ADQ为直角三角形，求点Q的坐标．18.(2022春•武侯区校级期中)【模型建立】：(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；【模型应用】：(2)如图②，已知直线l1：y=-2x+4与x轴交于点A、与y轴交于点B，将直线l1绕点A顺时针旋转45°至直线l2，求直线l2的函数表达式；(3)如图③，平面直角坐标系内有一点B(-4，-6)，过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P 是线段AB上的动点，点D是直线y=3x+3上的动点且在第三象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．19.(2022秋•齐齐哈尔月考)综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，3)．当x-4和x=2时，二次函数y=a2+bx+c(a≠0)的函数值y相等，连接AC、BC．(1)求抛物线的解析式；(2)判断△ABC的形状，并说明理由；(3)若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC 边上的P处，则t的值为，点P的坐标为；(4)抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF以AC为直角边的直角三角形？若不存在请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标．20.(2022秋•双流区校级月考)如图1，平面直角坐标系中，直线y=-3x+m交x轴于点A(4，0)，交y轴正4半轴于点B．(1)求△AOB的面积；(2)如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB=BC，P为射线AB(不含A点)上一点，过点P作y轴的平行线交射线AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点N，使△PQN是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．21.(2022秋•大连月考)如图，矩形OABC顶点B的坐标为(8，3)，定点D的坐标为(12，0)，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形PQR，设运动时间为t秒，△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S．(1)当t=时，△PQR的边QR经过点B；(2)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围．22.(2022秋•思明区校级月考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C(0，3)，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．(1)求这个二次函数及直线BC的表达式．(2)过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值．(3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠NMO 为直角，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．23.(2022秋•越秀区校级月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(0，2)，以AB为边向右作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，二次函数y=12x2+bx-2的图象经过点C．(1)求二次函数的解析式；(2)平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出直线l平移的最远距离；(3)将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折，得到△AB'C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．24.(2022秋•石阡县月考)如图1，一次函数y=kx-2(k≠0)的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=3x (x<0)的图象交于点B(-3，b)，连接OB．(1)b=，k=．(2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得△OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，C是线段AB上一点(不与点A，B重合)，过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD．若四边形OCBD的面积为3，求点C的坐标．。

2.（2019·郑州外外国语测试）如图所示，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A( ,0)，在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）.
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B、O、C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
（3）如图2所示，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
图1图2
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵y=x过点B（2，t），
∴t=2，即B（2,2），
将A、B两点坐标代入抛物线解析式，得：
，
解得：a=2，b=－3，
∴抛物线的解析式为：y=2x2－3x；
（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于F，如图所示，
设C（t，2t2－3t），则E(t，0)，D（t，t），点C在第四象限，
（2）由y= x2－ x－2得：C(0,－2),由勾股定理得：BC=2 ,
由C(0,－2),B(4,0)得直线BC的解析式为：y= x－2，
设P（m， m2－ m－2），则Q(m， m－2)，
过Q作QM⊥y轴于M，则QM∥AB，
∴ ,即 ，
∴CQ= ,
PQ=－ m2+2m,PC= =m ，
①当CQ=PQ时，
(1)求抛物线的解析式;
(2)求线段PQ的最大值及此时点P的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点G,使△BCG为直角三角形?若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，－1），

题型特点三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．解题思路①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；②分类讨论，画图；③建等式，对结果验证取舍．对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题．难点拆解①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为 1；②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．1.（2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误!未找到引用源。

的图象经过点(2，4)，且与直线错误!未找到引用源。

交于A，B两点．（1）求抛物线的函数解析式．（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标．（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2009广西钦州）如图，已知抛物线错误!未找到引用源。

与坐标轴交于A，B，C三点，A点的坐标为(﹣1，0)，过点C的直线错误!未找到引用源。

与x 轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0<t<1．（1）点C的坐标是____________，b=_______，c=______．（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）．（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．3.（2012海南）如图，顶点为P(4，﹣4)的二次函数图象经过原点(0，0)，点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M，N关于点P对称，连接AN，ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点A的坐标是(6，﹣3)，求△ANO的面积．（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①证明：∠ANM=∠ONM；②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．4.（2011湖北天门）在平面直角坐标系中，抛物线错误!未找到引用源。

第三讲中考压轴题专题之三角形存在性问题板块一、等腰三角形存在性1．在平面直角坐标系中，已知A（1，2）、B（3，0），AB＝2．在坐标轴上找点P，使A、B、P三点构成等腰三角形，这样的点P有（）个．A．5B．6C．7D．82．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为．3．（2016滨州）如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2014兰州）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．板块二、直角三角形5．如图，二次函数y＝x2+bx+c图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为M，△MAB为直角三角形，图象的对称轴为直线x＝﹣2，点P是抛物线上位于A，C两点之间的一个动点，则△P AC的面积的最大值为（）T5 T7 T8 A．B．C．D．36．将抛物线y＝﹣2x2﹣1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（）A．个单位B．1个单位C．个单位D．个单位7．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D 作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为．8．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．当△P AC为直角三角形时点P的坐标．9．（2015连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y＝x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？10．（2016黄岗）如图，抛物线y＝﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l 交抛物线于点Q．（1）求点A、点B、点C的坐标；（2）求直线BD的解析式；（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．板块三、等腰直角三角形11．已知⼀次函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，将该函数图象绕点A旋转45°，旋转后的图象对应的函数关系式是．12．二次函数y＝x2+bx+c的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则b+2c＝．13．如图，P是抛物线C：y＝2x2﹣8x+8对称轴上的一个动点，直线x＝k平行于y轴，分别与直线y ＝x、抛物线C交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的k为．14．（2019青龙县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C （0，3），且OB＝OC．直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点Q是抛物线的顶点，设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m．（1）求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标．（2）连接CQ，直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系．（3）连接P A、PD，当m为何值时S△APD＝S△DAB？（4）在直线AD上是否存在一点H，使△PQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．【解答】解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，与坐标轴的交点P1，P2，P3，P4，P5符合题意；作AB的垂直平分线，与坐标轴的交点P6，P7符合题意，故选：C．2．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10，∵D为OA的中点，∴OD＝AD＝5，①当PO＝PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；②当OP＝OD时，如图1所示：则OP＝OD＝5，PC＝＝3，∴点P的坐标为：（3，4）；③当DP＝DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED＝90°，DE＝＝3；分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE＝5﹣3＝2，∴点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE＝5+3＝8，∴点P的坐标为：（8，4）；综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．3．【解答】解：（1）令y＝0得﹣x2﹣x+2＝0，∴x2+2x﹣8＝0，x＝﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x＝0，得y＝2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象①AB为平行四边形的边时，∵AB＝EF＝6，对称轴x＝﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积＝6×＝．②当点E在抛物线顶点时，点E（﹣1，），设对称轴与x轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积＝×6×＝．（3）如图所示，①当C为等腰三角形的顶角的顶点时，CM1＝CA，CM2＝CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN＝＝，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为等腰三角形的顶角的顶点时，∵直线AC解析式为y＝﹣x+2，∴线段AC的垂直平分线为y＝x与对称轴的交点为M3（﹣1．﹣1），∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．4．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+mx+n得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）存在．抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，则D（，0），∴CD＝＝＝，如图1，当CP＝CD时，则P1（，4）；当DP＝DC时，则P2（，），P3（，﹣），综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，﹣）；（3）当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，则B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），∴FE＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，∵S△BCF＝S△BEF+S△CEF＝×4×EF＝2（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x，而S△BCD＝×2×（4﹣）＝，∴S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x+（0≤x≤4），＝﹣（x﹣2）2+当x＝2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）．5．【解答】解：∵x＝﹣＝﹣2，且a＝1，∴b＝4；则，抛物线：y＝x2+4x+c；∴AB＝x B﹣x A＝＝＝2，点M（﹣2，c﹣4）；∵抛物线是轴对称图形，且△MAB是直角三角形，∴△MAB必为等腰直角三角形，则有：AB＝2＝2|c﹣4|，解得：c＝3；∴抛物线：y＝x2+4x+3，且A（﹣3，0）、B（﹣1，0）、C（0，3）．过点P作直线PQ∥y轴，交直线AC于点Q，如右图；设点P（x，x2+4x+3），由A（﹣3，0）、C（0，3）易知，直线AC：y＝x+3；则：点Q（x，x+3），PQ＝（x+3）﹣（x2+4x+3）＝﹣x2﹣3x；S△P AC＝PQ×OA＝×（﹣x2﹣3x）×3＝﹣（x+）2+，∴△P AC有最大面积，且值为；故选：C．6．解：设抛物线向上平移a（a＞1）个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，且这些交点能构成直角三角形，则有平移后抛物线的解析式为：y＝﹣2x2﹣1+a，AM＝a，∵抛物线y＝﹣2x2﹣1与y轴的交点M为（0，﹣1），即OM＝1，∴OA＝AM﹣OM＝a﹣1，令y＝﹣2x2﹣1+a中y＝0，得到﹣2x2﹣1+a＝0，解得：x＝±，∴B（﹣，0），C（，0），即BC＝2，又△ABC为直角三角形，且B和C关于y轴对称，即O为BC的中点，∴AO＝BC，即a﹣1＝，两边平方得：（a﹣1）2＝，∵a﹣1≠0，∴a﹣1＝，解得：a＝．故选：A．7.【解答】解：如图，连接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短，可得当CD⊥AB时，CD最短，即线段EF的值最小，此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，即×4×3＝×5•CD，解得CD＝2.4，∴线段EF长的最小值为2.4．故答案为：2.48．【解答】解：∵直线y＝x+2过点B（4，m），∴m＝6，∴B（4，6）．将A、B两点坐标代入抛物线解析式得：，解得：∴抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6．①若A为直角顶点，如图1，设AC的解析式为：y＝﹣x+b，将A点代入y＝﹣x+b得b＝3∴AC的解析式为y＝﹣x+3，由，解得：或（舍去）令P点的横坐标为3，则纵坐标为5，∴P（3，5）；②若C为直角顶点，如图2，令，解得：x＝或x＝（舍去），令P点的横坐标为，则纵坐标为，∴P（，）；故答案为：（3，5）或（，）．9．【解答】解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，∴y＝×（﹣2）2＝1，A点的坐标为（﹣2，1），设直线的函数关系式为y＝kx+b，将（0，4），（﹣2，1）代入得，解得，∴直线y＝x+4，∵直线与抛物线相交，∴x+4＝x2，解得：x＝﹣2或x＝8，当x＝8时，y＝16，∴点B的坐标为（8，16）；（2）如图1，连接AC，BC，∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2＝325．设点C（m，0），同理可得AC2＝（m+2）2+12＝m2+4m+5，BC2＝（m﹣8）2+162＝m2﹣16m+320，①若∠BAC＝90°，则AB2+AC2＝BC2，即325+m2+4m+5＝m2﹣16m+320，解得：m＝﹣；②若∠ACB＝90°，则AB2＝AC2+BC2，即325＝m2+4m+5+m2﹣16m+320，解得：m＝0或m＝6；③若∠ABC＝90°，则AB2+BC2＝AC2，即m2+4m+5＝m2﹣16m+320+325，解得：m＝32；∴点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）（3）设M（a，a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，在Rt△MQN中，由勾股定理得MN＝＝a2+1，又∵点P与点M纵坐标相同，∴+4＝a2，∴x＝，∴点P的横坐标为，∴MP＝a﹣，∴MN+3PM＝+1+3（a﹣）＝﹣a2+3a+9，∴当a＝﹣＝6，又∵﹣2≤6≤8，∴取到最大值18，∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．10．【解答】解：（1）∵令x＝0得；y＝2，∴C（0，2）．∵令y＝0得：﹣＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．（2）∵点C与点D关于x轴对称，∴D（0，﹣2）．设直线BD的解析式为y＝kx﹣2．∵将（4，0）代入得：4k﹣2＝0，∴k＝．∴直线BD的解析式为y＝x﹣2．（3）如图1所示：∵QM∥DC，∴当QM＝CD时，四边形CQMD是平行四边形．设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），则M（m，m﹣2），∴﹣m2+m+2﹣（m﹣2）＝4，解得：m＝2，m＝0（不合题意，舍去），∴当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；（4）存在，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形，∴①当∠QBD＝90°时，由勾股定理得：BQ2+BD2＝DQ2，即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2+20＝m2+（﹣m2+m+2+2）2，解得：m＝3，m＝4（不合题意，舍去），∴Q（3，2）；②当∠QDB＝90°时，由勾股定理得：BQ2＝BD2+DQ2，即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2＝20+m2+（﹣m2+m+2+2）2，解得：m＝8，m＝﹣1，∴Q（8，﹣18），（﹣1，0），综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．11．【解答】解：如图1，∵⼀次函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，∴A（0，1），B（﹣2，0），当直线y＝x+1绕点A顺时针旋转45°后的图象为直线l，过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，过B作BE⊥FD延长线于E，则△ABD为等腰直角三角形，易得△ADF≌△DBE（AAS），设AF＝a，则DE＝a，∵点A（0，1），点B（﹣2，0），∴DF＝BE＝OF＝1+a，EF＝ED+DF＝a+1+a＝OB＝2，∴a＝，∴DF＝OF＝1+a＝，∴D（﹣，），设直线l的解析式为y＝kx+1，则＝﹣k+1，解得k＝﹣，∴y＝﹣x+1；如图2，直线y＝x+1绕点A逆时针旋转45°后的图象为直线l，过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，作DE⊥x轴于E，则△ABD为等腰直角三角形，易得△ADF≌△BDE（AAS），设DF＝b，则DE＝b，∵点A（0，1），点B（﹣2，0），∴AF＝BE＝1+b，BO＝BE+OE＝b+1+b＝OB＝2，∴b＝，∴D（﹣，﹣），设直线l的解析式为y＝kx+1，则﹣＝﹣k+1，解得k＝3，∴y＝3x+1；综上，旋转后的图象对应的函数关系式是y＝﹣x+1或y＝3x+1．故答案为y＝﹣x+1或y＝3x+1．12．【解答】解：由已知，得C点的坐标为：（0，c），，，．过D作DE⊥AB于点E，则2DE＝AB，即，得：，所以或．又b2﹣4c＞0，所以．又OC＝OB，即：，得：．故答案为：2．13．【解答】解：∵直线x＝k分别与直线y＝x、抛物线y＝2x2﹣8x+8交于点A、B两点，∴A（k，k），B（k，2k2﹣8k+8），AB＝|k﹣（2k2﹣8k+8）|＝|2k2﹣9k+8|，①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠P AB＝90°，此时P A＝AB＝|k﹣2|，即|2k2﹣9k+8|＝|k﹣2|，解得k＝或1或3；②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA＝90°，此时PB＝AB＝|k﹣2|，结果同上．故答案为：或1或3．14．【解答】解：（1）直线y＝x+1与抛物线交于A点，则点A（﹣1，0）、点E（0，1）．∵OB＝OC，C（0，3），∴点B的坐标为（3，0），故抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），将点C的坐标代入，得﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，∴函数的对称轴为x＝1，故点Q的坐标为（1，4）．（2）CQ＝AE，且CQ∥AE，理由：∵Q（1，4），C（0，3），∴CQ＝＝，CQ的解析式为y＝x+3，又∵AE＝＝，直线AE的解析式为y＝x+1，∴CQ＝AE，CQ∥AE，（3）∵，∴，，∴点D的坐标为（2，3）．如图1，过点P作y轴的平行线，交AD于点K，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点K（m，m+1）∴S△P AD＝＝＝＝×4×3．解得m＝0或1．（4）存在，点P的坐标为（0，3）或．设点H（t，t+1），点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而点Q（1，4），①当∠QPH＝90°时，如图2，过点P作y轴的平行线，过点H、点Q作x轴的平行线，交过点P且平行于y轴的直线于点M、G，∵∠GQP+∠QPG＝90°，∠QPG+∠HPM＝90°，∴∠HPM＝∠GQP，∠PGQ＝∠HMP＝90°，PH＝PQ，∴△PGQ≌△HMP（AAS），∴PG＝MH，GQ＝PM，即4﹣n|＝|t﹣m|，|1﹣m|＝|n﹣（t+1）|，解得m＝2或n＝3．当n＝3时，3＝﹣m2+2m+3，解得m1＝0，m2＝2（舍去），∴点P（0，3）．②当∠PQH＝90°时，如图3所示，同理可得m1＝0，m2＝3（舍去），故点P为（0，3）．③当∠PHQ＝90°时，如图4，同理可得n＝2，解得m1＝1+（舍去），m2＝1﹣．故点P（1﹣，2）．综上可得，点P的坐标为（0，3）或（1﹣，2）．。

学习必备欢迎下载中考数学压轴题——三角形存在性一、解答题1.如图，已知直线l1的解析式为y=3x+6，直线l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l2经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1＜t＜10）．（1）求直线l2的解析式．（△2）设PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式．（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？答案：（1）由题意，知B(0，6)，C(8，0).设直线l2的解析式为y=kx+b，则，解得，b=6．∴l2的解析式为．（2）解法一：如图，过P作PD⊥l2于△D，则PDC∽△BOC．∴．由题意知，OA=2，OB=6，OC=8，学习必备欢迎下载∴，PC=10－t∴，∴∴解法二：如图，过Q作QD⊥x轴于△D，则CQD∽△CBO．∴．由题意知，OA=2，OB=6，OC=8．∴，∴，．（3）根据等腰三角形的基本特征画出图形，进行分类讨论，再表达出相对应的个线段的长度建立等式来进行求解．要想使△PCQ为等腰三角形，需满足CP=CQ，或QC=QP，或PC=PQ．①当CP=CQ时（如图①），得10－t=t，解得t=5．②当QC=QP时（如图②），过Q作QD⊥x轴于D，则．∵△QDC∽△BOC，∴，即，解得．③当PC=PQ时（如图③），过P作PD⊥l2于D，则∵△CDP∽△COB，∴．∴，解得．综上所述，当t=5，或，或时，△PCQ为等腰三角形．2.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(-3,0)、C，且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a、b、c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结△M N，将BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．解题思路：（1）由题意，得,解之得（2）由（1）得当y=0时，x=-3或1，，∴B（1，0），A（-3，0），C（0，）∴OA=3，OB=1，OC=.易求得AC=，BC=2，AB=4学习必备欢迎下载∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=60°又由BM=BN=PN=PM知四边形PMBN为菱形，∴PN∥AB，∴，∴过P做PE⊥AB于E，在△R t PEM中，∠PME=∠B=，PM=∴ME=又OM=BM-OB=故OE=1，∴P(-1，）（3）学习必备欢迎下载由（1）、（2）知抛物线①若∠BQN=90°∵BN的中点到对称轴的距离大于1，而∴以BN为直径的圆不与对称轴相交，∴∠BQN≠，即此时不存在符合条件的Q点②若∠BNQ=90°，当∠NBQ=60°，则Q、E重合，此时∠BNQ≠当∠NBQ=30°，则Q、P重合，此时∠BNQ≠的对称轴为直线x=-1，且∠ACB=90°，，；即此时不存在符合条件的Q点③若∠QBN=时，延长NM交对称轴于点Q，此时，Q为P关于x轴的对称点。

二轮复习2023-2024年中考数学重要考点名校模拟题分类汇编专题16——二次函数压轴题存在性三角形专项训练（重庆专用）(1)求直线AC的解析式；(2)如图1，连接BC，点P为直线AC、�1之间第二象限抛物线上的一动点，轴交直线�1点F，过点P作푃 ∥퐵 交AC于点E，求푃 +坐标；，进而可求．轴，∴��∥푃 ，∴퐵�푃�=퐵�� ，设�푃=�，则푃�,−12�2,+4∴푃 =3， =4−52=32，∴푃 =푃 2+ 2=325，∴抛物线向右平移3个单位，向上平移∴�=−�−3−�−3+4+当�=−3时，�=−23×−3+4=6，∴ −3,6，∴ =6−42+32=13，∴ ′�= ′ ′= =13，�∴ ∥ �， ∥ ′�， ′ =132，直线�2为：�=−23�，∵� ⊥�1，∴�2⊥�3，∴∠�1�퐵1=∠�2�퐵2，��(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，若P点为抛物线上位于第一象限的点，连接�푃、퐵 交于点E，当푃 �大时，求P点的坐标及푃 � 的最大值；(3)如图3，在（2）中将△�� 沿直线� 平移得△�′�′ ′，点A、O、C的对应点分′′′′′′ ′푃为直角三角形时，请直接写出∵퐵6,0， 0,23，∴直线퐵 的解析式为�设푃�,−36�2+233�则��,−33�+23，�个单位，得到新抛物线的值，最后求最��+3与x轴交于�−1,0,퐵3,0两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，P为直线BC上方的抛物线上一点，푃�∥�轴交BC于D点，过点D作于E点．设�=푃�+102� ，求m的最大值及此时P点坐标；(3)在（2）中m取得最大值时条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，点为平移后的抛物线的对称轴上一点．使得对于�=−�2+2�+3，当�=∴ (0，3)，设直线퐵 的解析式为�=푞�+把퐵(3,0)代入得，∴0=3푞+3，解得푞=−1，∴直线퐵 的解析式为�=−�+∴�(�，−�+3)，∴푃�=−�2+2�+3−−�+∵�(−1,0)， (0，3)，∴� =12+32=10，∴102� =12� ⋅� ，连接��，∴102� =12� ⋅� =�△�� ∵�△�� =�△�퐵 −�△��퐵，∴�△�� =1×4×3−1(−�+0,6．(1)求抛物线的解析式：(2)点P是直线퐵 上方抛物线上一点，过点P作푃 ∥�轴交퐵于点F，求 +퐵 的最小值，及此时点P的坐标；(3)如图2，x轴上有一点�−1,0，将抛物线向x轴正方向平移，使得抛物线恰好经过点得到新抛物线y1，点D是新抛物线�1与原抛物线的交点，点E是直线当△�� 是以��为腰的等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点(1)求抛物线的解析式；(2)点�是位于直线� 上方的抛物线上任意一点，过点的坐标；∴푃�=−35�2−125�5�，∵푃 ∥퐵 交�轴于点∴∠푃 �=∠ 퐵�如图2，分别过F点向y轴作垂线，过C点向直线�=∴∠ =∠ � =90°，∵∠ =∠ �=90°，∴∠ =∠ �，∴∠ � =∠ =90°，∵∠ =90°，∠� +∠ �=90°=∴∠� =∠ ，∵ = ，�(1)求抛物线的解析式；(2)�为抛物线的顶点，连接퐵�，点푃为抛物线上点 、푃作푃�∥퐵�交直线퐵 于点�，连接��，求四边形点的坐标；−∵�=12�2−52�+2=12(�−52)2−∴顶点�(52,−98)，∵퐵 2+ �2=퐵�2，∴50+(�+1)2+(12�2−52�∴50+10�−15=5(�2−5∴�=8或�=−1（舍），∵퐵�2+ �2=퐵 2，∴(�+1)2+(12�2−52�−3)2∴(�+1)(�−4)(�−2)(�−∴�=4（与퐵重合，舍去）或�∵퐵�2+ 퐵2=� 2，∴(�−4)2+(12�2−52�+2)2+∴�=3或�=4（与퐵重合，舍去）∴�(3,−1)，【答案】（1）y=x2﹣2x﹣，﹣两点的坐标代入得，解得：；设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线则，解得：，S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB•OC+QP•BF+QP•OF=×4×3+（﹣x2+3x）×3=﹣（x﹣）2+．当x=时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；（3）设点Q的坐标为（m，m﹣3），∵O（0，0），C（0，﹣3），∴OC=3，QC==|m|，QO=．△QOC为等腰三角形分三种情况：①当OC=QC时，3=|m|，解得：m=±，此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）；②当OC=QO时，3=，解得：m=3或m=0（舍去），此时点Q的坐标为（3，0）；③当QC=QO时，有|m|=，解得：m=，此时点Q的坐标为（，﹣）．点坐标为（，﹣（﹣，﹣﹣0）或（，﹣）依据二次函数的性质求解可得；在线段(1)求抛物线的函数解析式．(2)在第一象限的抛物线上有一动点P，过点P作푃 ∥�轴交直线交直线BD于点F．求23푃 −푃 的最大值，并求出此时点(3)在（2）的条件下，将原抛物线�=−22�2+��+�沿着射线得到新抛物线�'，新抛物线�'与原抛物线交于点Q，点）根据相似三角形的性质，把图象的平移转化为水平和左右平移，则设向下平移九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为线段퐵 上方抛物线上的一点，过点P作푃 ∥�푃 ∥� 交直线퐵 于点F，求△푃 周长的最大值及此时点(3)在（2）的条件下，将抛物线�=��2+��+4�≠0沿射线的周长最大，据此求解即可；。

第1节 函数中动点与三角形的存在性本节4个案例，其中案例1主要是以三角形之间的面积关系为主线，探索三角形的存在；案例2则是用分类思想讨论等腰三角形的存在；案例3讨论直角三角形存在的个数问题；案例4研究的是相似三角形的存在性．方程思想、分类思想、数形结合都渗透其中．案例1（20XX 年重庆市A 卷第25题）如图1，对称轴为直线1-=x 的抛物线c bx ax y ++=2)0(≠a 与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为)0,3(-.（1）求点B 的坐标；（2）已知1=a ，C 为抛物线与y 轴的交点.① 若点P 在抛物线上，且BOC POC S S ∆∆=4，求点P 的坐标；② 设点Q 是线段AC 上的动点，作x QD ⊥轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值.【思路探究】（1）由抛物线的对称性可直接写出点B 的坐标；（2）由1=a 和抛物线与x 轴的两个交点坐标直接写出抛物线的解析式，以及抛物线与y 轴的交点坐标，①要求BOC POC S S ∆∆=4，注意到两个三角形有一条公共边OC ，因此以这条边为底边，面积的关系就转化成这条边上的高之间的关系，也就是点P 与B 横坐标之间的关系，问题由此得解；②由于点Q 是线段AC 上的动点，点D 在抛物线上，且y QD //轴，因此它们的横坐标相同，可建立关于它们横坐标的函数关系式，然后根据函数的性质求线段QD 长度的最大值【动感设计】打开“2013重庆市A 卷第25题”，点击按钮“面积4倍(1)”，“面积4倍(2)”，观察此时P 点运动到的位置，体会分类讨论在解题中的作用，再点击按钮“Q 点运动/停止”，同时观察坐标系内函数图象（红色）,体会二次函数最值的情形.【试题解答】（1）由题意知，点A 、B 关于直线1-=x 对称，点A 的坐标为)0,3(-，∴点B 的坐标为)0,1(（2）∵抛物线过点A 、B ，且1=a ，∴抛物线的解析式为)1)(3(-+=x x y ，即322-+=x x y∵当0=x 时，3-=y ∴点C 的坐标为)3,0(- ①过点P 作OC PH ⊥于点H ，如图2. ∵PH OC S POC ⋅=∆21，OB OC S BOC ⋅=∆21 又BOC POC S S ∆∆=4，∴OB PH 4=，即4=x 或4-当4=x 时，21=y ；当4-=x 时，5=y ；∴点P 的坐标为)21,4(或)5,4(-；②设直线AC 的解析式为b kx y +=，则⎩⎨⎧-==+-303b b k ，解得⎩⎨⎧-=-=31b k ， ∴直线AC 的解析式为3--=x y ， 设)3,(--m m Q ∵点Q 在线段AC 上，∴03<<-m由于x QD ⊥轴，且点D 在抛物线上，∴点)32,(2-+m m m D∴49)23(3)32(3222++-=--=-+--=m m m m m m QD ∴当23-=m 时，QD 长度最大，最大值为49. 【易错点评】根据两个三角形的面积关系探求点P 的坐标时，疏于观察图形，不能发现两个三角形有一条公共边的隐含条件，从而找不到解决问题的突破口，或很繁琐的根据点P 的坐标求POC ∆的面积后列方程求解.另外，最后一问中用点D 、Q 的纵坐标表达式求线段QD 长度的函数关系式时符号容易出错.【反思与启迪】观察能导致发现，题中告诉我们“BOC POC S S ∆∆=4”引导我们去观察两个POC ∆、BOC ∆，发现它们有一条公共边OC ，从而将三角形面积之间的关系转化成线段之间的关系，得出点P 的横坐标，使问题顺利解决，解题的成功要靠正确思路的选择，观察能引导你发现正确而简捷的思路.【变式练习】（20XX 年兰州市第28题）如图3，在平面直角坐标系xOy中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分1C 与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分2C 组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C 的坐标为)23,0(-，点M 是抛物线2C ：m mx mx y 322--=（0<m ）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．案例2（20XX 年湘西州第25题）如图1，已知抛物线4412++-=bx x y 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点坐标为)0,2(-A .（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求C 点坐标，连接AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；（3）试判断AOC ∆与COB ∆是否相似？并说明理由;（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使ACQ ∆为等腰三角形，若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.【思路探究】（1）由抛物线4412++-=bx x y 与x 轴相交于)0,2(-A ，将点)0,2(-A 代入抛物线的解析式中，解方程可得b 的值，再根据求二次函数对称轴的公式或用配方法写出它的对称轴方程；（2）在抛物线的解析式中，令0=x ，求与y 轴的交点C 的坐标；令0=y ，求与x 轴的交点B ；再将B 、C 两点的直线解析式中，解方程组求线段BC 所在直线的解析式；（3）在直角坐标系中A 、B 、C 三点的坐标有了，因而线段OA 、OB 、OC 、AC 、BC 线段的长度也就有了，试试“两边对应成比例并且夹角对应相等的两个三角形相似”或用“三边对应成比例的两个三角形相似” 判断AOC ∆与COB ∆是否相似（4）对于是否存在类的探究题，通常是假设存在，本题探究在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，因此设点Q 的坐标为),3(m ，根据A 、C 、Q 三点的坐标，求出线段AC 、AQ 、CQ 的长，但由于没有明确等腰三角形的底和腰，因此要分AQ AC =、CQ CA =、QC QA =三种情况一一讨论.【动感设计】打开“20XX 年湘西州第25题”，点击按钮“等腰三角形ACQ(1)”，“等腰三角形ACQ(2)”，“等腰三角形ACQ(3)”，观察右侧度量值“AC-CQ ”、“QA-CQ ”的变化，体会不同的等腰三角形。

函数图象中的存在性问题------因动点产生的直角三角形问题1、在直角坐标平面内，O 为原点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过A （-1，0）和点B （0，3），顶点为P 。

（1）求二次函数的解析式及点P 的坐标；（2）如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形，求点Q 的坐标。

2、 已知点P 是函数x y 21=（x >0）图像上一点，P A ⊥x 轴于点A ，交函数xy 1=（x >0）图像于点M , PB ⊥y 轴于点B ，交函数xy 1=（x >0）图像于点N .（点M 、N 不重合） （1）当点P 的横坐标为2时，求△PMN 的面积；（2）证明：MN ‖AB ；（如下左图）（3）试问：△OMN 能否为直角三角形？若能，请求出此时点P 的坐标；若不能，请说明理由.（备用图）3、．如图，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x xy 图像上的一点，且△ABP 是直角三角形． （1）求点P 的坐标；（2）如果二次函数的图像经过A 、B 、P 三点，求这个二次函数的解析式；（3）如果第（2）小题中求得的二次函数图像与y 轴交于点C ，过该函数图像上的点C 、点P 的直线与x 轴交于点D ，试比较∠BPD 与∠BAP 的大小，并说明理由．4、如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？。

y=-y=-中考压轴题十大类型之三角形存在性问题板块一、等腰三角形存在性1.如图，已知一次函数7y x=-+与正比例函数34y x=的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．（备用图）2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t (单位：秒) (1)求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；(2)当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； (3)当902t <<时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；(4)当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形？请写出解答过程．板块二、直角三角形3. 如图，已知直线112y x =+与轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)． （1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标．4. 如图所示，矩形ABCD 的边长AB =6，BC =4，点F 在DC 上，DF =2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动．连接FM 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线上时，可得△FMN ，过△FMN 三边的中点作△PWQ ．设动点M 、N 的速度都是1个单位/秒，M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题： （1）说明△FMN ∽△QWP ；（2）设04x ≤≤（即M 从D 到A 运动的时间段）．试问x 为何值时，△PWQ 为直角三角形？当x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？ （3）问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值．yM板块三、相似三角形存在性5. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+3+与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H ． （1）直接填写：a = ，b = ，顶点C 的坐标为 ； （2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标．（备用图）FP WQ N A CB三、测试提高1. 如图，已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且01t <<．（1）填空：点C 的坐标是_____，b ＝_____，c ＝_____； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．。

中考数学压轴题专题--函数图象中点的存在性问题（很好的⼀个专题训练并有试题详细解析及参考答案）1、如图1，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的⼤⼩；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1．详细解析及参考答案：（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂⾜为H ．在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，所以AH ＝1，OH 3A (13)-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，设y ＝ax (x －2)，代⼊点A (13)-，可得3a =．图2 所以抛物线的表达式为23323(2)y x x =-=．（2）由22323331)y x x ==- 得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,．所以3tan BOM ∠=．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A (13)-、B (2,0)、M 3(1,，得3tan 3ABO ∠=，23AB =233OM =．所以∠ABO ＝30°，3OAOM=因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①如图3，当BA OABC OM ==时，2BC ===．此时C (4,0)．②如图4，当BC OABA OM==时，6BC ===．此时C (8,0)．图3 图4考点伸展：在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底⾓的等腰三⾓形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底⾓为30°的等腰三⾓形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．图52、如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（⽤含b 的代数式表⽰）；（2）请你探索在第⼀象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的⾯积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直⾓顶点的等腰直⾓三⾓形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进⼀步探索在第⼀象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三⾓形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1详细解析及参考答案：（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂⾜分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ??+??=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3 （3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =?时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14bb =-．解得8b =±Q 为(1,2．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

专题17 函数动点问题中平行四边形存在性类型一、平行四边形存在性结论：A C B DA CB Dx x x xy y y y+=+⎧⎨+=+⎩类型二、特殊平行四边形存在性1. 矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2. 菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解.3. 正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.1.如图，直线y=334x-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=234ax x c++经过B、C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，当△BEC的面积最大时，求出点E的坐标和最大值；（3）在（2）条件下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.2.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3).（1）求抛物线的解析式与顶点M的坐标；（2）求△BCM的面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx－5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y 轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）如图2所示，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y 轴平行的直线与BC、CE分别交于点F、G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H 的坐标及最大面积；（3）点M是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N是反比例函数y=kx图象上一点，若以点B、C、M、N为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k的值.4.如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式．（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F，M，G，N为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．5.如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-4,0)，B(1,0)，C（0,3），点P在抛物线上，且在x轴的上方，点P的横坐标记为t.（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P作y轴的平行线交直线AC于点M，交x轴于点N，若MC平分∠PMO，求t的值.（3）点D在直线AC上，点E在y轴上，且位于点C的上方，那么在抛物线上是否存在点P，使得以点C、D、E、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.图1 图26.如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，直线y ＝﹣x +4与抛物线y ＝﹣12x 2+bx +c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；（3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝﹣x交第二象限于点E，与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y 轴交于点C，EC∥x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M，若以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．9.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．10.（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(0，3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2，0)，与反比例函数kyx=（x>0）的图象交于点B(a，4).（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数kyx=（x>0）的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标.12.如图1，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．图1 图213.如图，一次函数122y x=-+分别交y、x轴于A、B两点，抛物线2y x bx c=-++过A，B两点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直于x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N. 求当t取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在(2)的情况下，以A，M、N、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标.14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH⊥x轴于点H，再过点F作FG⊥x轴于点G，得到矩形EFGH．在点E的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．15.如图所示，平面直角坐标系中直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点，抛物线y =ax 2+bx －3经过A 、C 两点，点C 坐标为（a ，5）. 点M 为直线AC 上一点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为F ，交抛物线于点N .（1）求抛物线解析式；（2）是否存在点M ，使得以点D 、E 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M 的坐标，如果没有，请说明理由.16.如图，已知二次函数23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的图象经过点A (4,0),与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点C (m ,0) （0<m <4），过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D .（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，设△ACE ，△DEF 的面积分别为S 1，S 2，若S 1=4S 2，求m 的值； （3）点H 是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且平行四边形DEGH 的周长取最大值时，求点G 的坐标.17.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．18.如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心做菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P 作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．。

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）专题16二次函数与动点综合问题二次函数与动点问题的背景是特殊图形,考查问题也是二次函数的有个性质和特殊图形的性质，体现的数学思想方法主要是数形结合思想和分类讨论思想，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中,特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或三角函数、线段或面积的最值.解决“动点型问题”的关键是动中求静，灵活运用“动中求静”，找到并运用不变的数、不变的量、不变的关系，建立函数关系及综合应用代数、几何知识解决问题. 根据题意灵活运用特殊三角形和四边形的相关性质、判定、定理知识确定二次函数关系式，通过二次函数解析式或函数图象判定“动点型问题”涉及的线与线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积，还有存在、最值等问题.【例1】（2022•本溪二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点M是线段AB上方抛物线上一动点，以AB为边作平行四边形ABMD，连接OM，若OM 将平行四边形ABMD的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标；（3）如图2，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A匀速运动，同时点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→O→B匀速运动，当点P到达点A时，P、Q同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，点G在坐标平面内，使以B、P、Q、G为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的t值．【例2】（2022•沈北新区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P和动点Q同时出发，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值及此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得∠ACM＝15°？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2022•三亚模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，3）两点，点P为抛物线的顶点，连接AB、BP．（1）求抛物线的解析式；（2）求∠PBA的度数；（3）如图2，点M从点O出发，沿着OA的方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时点N从点A 出发，沿着AB的方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，ME⊥x轴交AB于点E，NF⊥x轴交抛物线于点F，连接MN、EF．①当EF∥MN时，求点F的坐标；②在M、N运动的过程中，存在t使得△BNP与△BMN相似，请直接写出t的值．【例4】（2021•长沙模拟）在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”．（1）已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4，6，m﹣1，求m的值．（2）已知Rt△ABC是“调和三角形”，它的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c．①求a：b：c的值；②若△ABC周长的数值与面积的数值相等，求a，b，c的值．（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发以每秒2个单位c长度的速度沿路线A→B→C运动，动点Q 从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，设y＝PQ2．①求y关于t的函数关系式；②求y的最小值．1．（2021•遵化市模拟）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．2．（2020•市中区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，D（4﹣4，0）．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）在第一象限的抛物线上取一点G，使得S△GCB＝S△GCA，再在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得∠GBE＝45°，求E点的坐标．3．（2020•项城市三模）如图，抛物线经过A（﹣3，0），C（5，0）两点，点B为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，过点P作PM⊥BD，交BC于点M，以PM为正方形的一边，向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长NM交AC于点E．①当t为何值时，点N落在抛物线上；②在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由．4．（2018•泉山区三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2018•扬州）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△P AQ相似时，求t的值；（3）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．6．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．7．（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．8．（2019•乐山）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan ∠CAB＝．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②在①的条件下，当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③在①的条件下，当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．9．（2019•西宁）如图①，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，以A为顶点的抛物线经过点B，点P是抛物线上一点，连接OP，AP．（1）求抛物线的解析式；（2）若△AOP的面积是3，求P点坐标；（3）如图②，动点M，N同时从点O出发，点M以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动，点N以个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NE∥x轴交直线AB于点E．若设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使四边形AMNE是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．10．（2019•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．11．（2019•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y 轴的正半轴上，连接AC，OA＝3，tan∠OAC＝，D是BC的中点．（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F．①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．12．（2021•高明区校级模拟）在平面直角坐标系中，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB∥x轴，如图1，C（1，0），且OC：OA＝AC：BC＝1：2．（1）A点坐标为，B点坐标为；（2）求过A、B、C三点的抛物线表达式；（3）如图2，抛物线对称轴与AB交于点D，现有一点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一点Q从点D与点P同时出发，以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动．当点P到达B 点时，点P、Q同时停止运动，问点P、Q运动到何处时，△PQB面积最大，试求出最大面积．13．（2020•香洲区校级一模）如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）．点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处．（1）若抛物线y＝ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；（2）若点M是（1）中的抛物线对称轴上的一点，点N是坐标平面内一点，是否存在M，N使以A，M，N，E为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线l⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S 与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）14．（2020•南充一模）如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣n）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为5．动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过P作PN⊥x轴交BC于M，交抛物线于N．（1）求抛物线的解析式；（2）当M在线段BC上，MN最大时，求运动的时间；（3）经过多长时间，点N到点B、点C的距离相等？15．（2020•潮南区模拟）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式．（2）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．（3）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．16．（2020•潮州模拟）如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝2OA＝4．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，当直线OC平分∠ACP时，求点P的坐标；（3）如图2，点G是线段AC的中点，动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒个单位长度的速度向终点C运动，若E、F两点同时出发，运动时间为t 秒．则当t为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的？17．（2021•饶平县校级模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．18．（2020•山西模拟）综合与实践如图，抛物线y＝与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动，设运动的时间为t秒．（1）求点A，B，C的坐标；（2）求t为何值时，△BDE是等腰三角形；（3）在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．19．（2020•雁塔区校级模拟）将抛物线C1：y＝﹣x2+3沿x轴翻折，得抛物线C2．（1）请求出抛物线C2的表达式；（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．20．（2020•清江浦区模拟）如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）．点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处．（1）若抛物线y＝ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；（2）若点M是（1）中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使△AME为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线l⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S 与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）21．（2022•济宁三模）如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22．（2022•望花区模拟）如图1，已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（﹣1，0）、点C的坐标为（0，3）．（1）请写出该抛物线的函数表达式和点B的坐标；（2）如图2，有两动点D、E在△COB的边上运动，运动速度均为每秒5个单位长度，它们分别从点C 和点B同时出发，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：①当t为何值时，△BDE的面积等于；②在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．。

二次函数中考压轴题（三角形与存在性问题）解析精选【例1】. 已知：如图一，抛物线c bx ax y 2++=与x 轴正半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线2x y -=经过A 、C 两点，且AB=2. （1）求抛物线的解析式；（2）若直线DE 平行于x 轴并从C 点开始以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于点E 、D ，同时动点P 从点B 出发，沿BO 方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O 时，直线DE 与点P 都停止运动，连DP ，若点P 运动时间为t 秒 ；设OPED OPED s ⋅+=，当t 为何值时，s 有最小值，并求出最小值。

（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）在y x 2=-中，由x=0得y=－2，∴C （0，－2）。

由 y=0得 x=2，∴A （2，0）。

∵AB=2，∴B （4，0）。

∴可设抛物线的解析式为()()y a x 2x 4=--，代入点C （0，－2）得1a 4=-。

∴抛物线的解析式为()()2113y x 2x 4x x 2442=---=-+-。

（2）由题意：CE=t ，PB=2t ，OP=4－2t 。

∵ED ∥BA ，∴△CED ∽△COB 。

∴ED CE OB CO =，即ED t42=。

∴ED=2t 。

∴()()()222t+42t ED OP 41s ===ED OP 2t 42t 4t +8t t 1+1-+=⋅⋅----。

∴当t=1时，()2t 1+1--有最大值1。

∴当t=1时，ED OPs ED OP+=⋅的值最小，最小值是1。

（3）存在。

设BC 所在直线的解析式为y=kx+b ，由B （4，0），C （0，－2）得4k+b=0b=2⎧⎨-⎩，解得1k=2b=2⎧⎪⎨⎪-⎩，∴C 所在直线的解析式为1y=x 22-。