第三章 高斯光束基本理论激光由于其良好的方向性、单色性、相干性和高亮度在军事中在已经有了很多应用，激光器发出的光束是满足高斯分布的，因而本章将对高斯光束的基本特性和一些参数进行简单地理论描述。
高斯光束及基本参数激光器产生的光束是高斯光束。
高斯光束依据激光腔结构和工作条件不同，可以分为基模高斯光束、厄米分布高阶模高斯分布、拉盖尔分布高阶模高斯分布和椭圆高斯光束等。
激光雷达常常使用激光谐振腔的最低阶模00TEM 模。
高斯光束的分布函数：)ex p(),(220ar I a r I -= (3-1)从激光谐振腔发出的模式辐射场的横截面的振幅分布遵守高斯分布，即光能量遵守高斯分布，但是高斯光束不是严格的电磁场方程解，而是赫姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解，它可以很好地描述基模激光光束的性质。
稳态传输电磁场满足赫姆霍兹方程：()0,,),,(2=+∇z y x E k z y x E （3-2）式中),,(z y x E 与电场强度的复数表示),,,(t z y x E 间有关系：)exp(),,(),,,(t i z y x E t z y x E ω= （3-3）高斯光束不是式子(2-3)的精确解，而是在缓变振幅近似下的一个特解。
得到220U(,)exp()11r U r z izizZ Z ω=--- （3-4）是赫姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解 ，它可以变形为基模高斯光束的 场强度复振幅的表达式：2222002(x,y,z)exp exp (z)(z)(z)2(z)x y x y U U i k z R ωϕωω⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫++⎪⎪=-+-⎨⎬⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭ （3-5） 其中的(z)ω为振幅衰减到中心幅值1/e 时的位置到光束中心的距离，称为光束在该平面上的光斑半径，(z)R 为平面球面波的曲率半径。
光斑半径最小的平面称为激光光束的束腰，束腰半径为0w 。
假设激光束的波长为λ，以束腰位置作为z 轴方向的参考面，则沿光传播方向上不同截面上光斑半径表示为：222200(z)(1)z z ωω=+ （3-6）2(z)z[1()]R R z z =+ （3-7）球面的曲率半径得到：∞→=R z ,0等相面为平面z Z R Z z 200~,<<等相面亦可近似视为平面 002,Z R Z z =±=取极小值z R Z z →>>,0在远场可将高斯光束近似视为一个由0=z 点出发，半径为z 的球面波。
而且，高斯光束等相面的曲率中心并不是一个固定点，它随着光束的传输而移动。
由已知高斯光束的束腰半径0w 和束腰半径的位置或者知道某给定位置（设其坐标为z ）处的光斑半径()z ω及等相位面曲率半径()z R ,也可以由公式（）和（）转换，都可以唯一确定一个高斯光束。
在式（）中0z 为一个由束腰大小决定的量，称为激光束的共焦参数或瑞利长度，可表示为：20w z πλ= （3-8）当0z z =时，00()z ω=。
在实用中常取0z z ≤范围内高斯光束的准值范围，在这段长度内，高斯光束可以近似认为是平行的。
所以，瑞利长度越长，就意味着高斯光束的准直范围越大，反之亦然。
接着引入一个新的复参数)(z q ，定义为：)()(1)(12z i z R z q πωλ-= （3-9） 其所定义的复参数q 将描述高斯光束基本特征的两个参数)(z ω和)(z R 统一在一个表达式。
如果以)0(0q q =表示0=z 处的q 参数值，并注意到∞→)0(R ，0)0(ωω=,则：)0()0(1)0(1120πωλi R q q -== （3-10）由此得出if i q ==λπω200。
用q 参数来研究高斯光束的传输规律，特别是高斯光束通过光学系统的传输将比使用其他参数更加方便。
高斯光束传播包络双曲线的渐近线与z 轴的交角：00(z)limz zωλθπω→∞==（3-11） 定义为高斯光束的远场发散角。
束腰半径越小，光束发散程度越大。
高斯光束的发散程度，工程上常以全场发散角0022λθθπω=== （3-12） 来描述。
高斯光束薄透镜变换规律由于我们要对激光器输出的高斯光束进行整形所以必然要对高斯光束进行成像变换，将高斯光束经过薄透镜变换是高斯光束的主要应用。
经过薄透镜后，高斯激光光束可以聚焦，也可以压缩发散角进行准直。
下面介绍薄透镜对高斯激光光束的变换规律。
高斯光束的性质，可以由束腰半径和位置来确定，也可以由其复参数q 来决定。
一般研究高斯光束经薄透镜的变换规律，实际上是确定复参数q 决定的束腰半径和位置的变换规律。
以高斯光束传播方向为z 轴，研究复参数的变换规律。
如图所示，入射高斯光束的束腰0ω位于焦距为F 的薄透镜的左侧z 处，经薄透镜变换后的出射的高图 3.1 高斯光束的薄透镜变换斯光束束腰'0ω位于薄透镜右侧'z 处。
此光学系统所对应的光学传递矩阵为''1011101101Z F Z A B z z T T T C D F ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3-13） 经计算后相对应的矩阵元素分别为：1'''11A z FB z z zz FC FD z F=-⎧⎪=+-⎪⎪⎨=-⎪⎪=-⎪⎩ （3-14）由复参数q 的ABCD 定律可得以下式子：000(z)B (z')q '(z)D Aq BAq q Cq Cq D++===++ （3-15）其中，0q 和0'q 分别为入射和出射高斯光束束腰处的复参数：200q q i πωλ== （3-16） 200'''q q i πωλ== （3-17） 由式（），可以确定出射高斯光束的束腰半径和位置分别为：2200242022'(1)z F Fωωπωλ=-+ （3-18）242022(1)'1(1)z F z F z F F πωλ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦（3-19）即为高斯光束经过薄透镜变换应用的基本公式。
而高斯光束新的远场全发散角可以表示为：'θ=（3-20）本章小结以上从理论的角度分析了高斯光束的基本原理和性质以及它的一些重要参数，诸如束腰宽度、等相位面、曲率半径、q参数、瑞利长度、远场半发散角、远场全发散角等。
通过分析上述参数，我们了解到高斯光束的基本特性。
其次，通过高斯光束的参数和性质进一步介绍了高斯光束的通过薄透镜的变换规律，重点对一个薄透镜的变换规律和成像公式进行推导。
第四章 激光变发散角光学系统针对同一激光雷达测量不同大小目标的雷达散射截面时，要求激光雷达出射光束能够覆盖目标的要求，由于激光光束本身发散角极小，不能满足实验要求，就需要在激光器之后添加光学系统以改变出射光束的远场发散角。
本章针对具体实验要求设计激光变发散角光学系统以达到全场发散角在0-200mrad 范围内连续变化。
变发散角光学系统计算与设计由公式（）可知，入射光束束腰越接近薄透镜焦点，则光束新的远场发散角越小，反之亦然。
设计原理为当高斯光束经过两次薄凸透镜变换后，改变第二个透镜与第一个透镜变换后高斯光束束腰位置之间的距离，来实现高斯光束经第二个透镜后远场全发散角的连续变化。
由于激光器出射光是高斯光束，但高斯光束束腰位置的不确定或者束腰位置不在激光器光腔外而在激光器光腔内，使得第一个透镜焦点不能精确落在高斯激光光束的束腰位置，则要计算第一个薄凸透镜镜前距离z 对后续计算的影响。
由公式（）计算，当λ=980nm ，ω0=1.0,1.2，1.4,1.6,1.8mm,z=0-100cm ，F=20mm,30mm 时，经第一个薄凸透镜变换后高斯激光光束束腰位置z ’的规律为：当束腰半径变化，束腰位置距薄凸透镜距离在1米内变化时，透镜后的束腰位置为透镜的焦距，即为当0F z 时，'00/F ωλπω≈，'l F ≈。
第一个薄凸透镜位置距离激光器出光口位置对经过其变换的新高斯光束的束腰半径和束腰位置影响极小，可忽略不计。
如图（（））所示，高斯光束经过焦距分别为20mm 和30mm 的薄凸透镜后，其新形成的高斯光束的束腰位置分别近似为透镜的焦距。
因此实验时可在出光口处附近任意选取合适位置放置第一个透镜，而出射光束束腰位置距透镜距离对后续光束变换基本无影响。
但实验室条件下，第一个透镜仍应尽量靠近激光器出光口位置。
图接着讨论如何选取合适焦距透镜组合，满足移动量20-30mm 内使远场全发散角0-200mrad 连续变化。
由于激光器输出激光束腰半径为毫米数量级，所以先选择束腰半径为1mm 时进行仿真计算。
当30110m ω-=⨯，20,30,40,60F mm =时，用matlab 仿真经透镜变换后新高斯光束的束腰半径和远场发散角大小，如下图由图可知，激光经第一个透镜变换后，新束腰半径为10-2mm数量级左右，即10-5m数量级左右。
透镜焦距越大，经变换后的新束腰半径越大，远场发散角越小，反之亦然。
已知新束腰半径为10-5m数量级左右，现在以此为对象，经过第二个透镜进行变换。
第二个透镜的焦距仍然分别为20,30,40,60mm。
用matlab仿真经透镜变换后新高斯光束的束腰半径和远场发散角大小，如下图由图可知，当束腰半径为10-5m时，透镜距离束腰半径位置0-0.2m变化时，远场发散角基本程线性变化。
图（）右图中，折现拐点分别对应第二个透镜的焦距，经过拐点后，随着透镜距离束腰半径位置的增大，远场发散角也增大，达到200mrad时对应的距离减去透镜焦距即为第二个透镜的移动量。
第二个透镜焦距越小，达到200mrad时所需的移动量越小。
第二个透镜焦距为20mm时，透镜移动量约为60mm，超出设计要求，所以要选择焦距更小的透镜。
实验室选择焦距为15mm的透镜作为第二个透镜以减小移动量，透镜直径为10mm。
当第一个透镜焦距小时，第一次变换得到的束腰半径小，所要求的第二个透镜的离焦移动量较小，但第一次变换后的远场发散角较大，容易使得到达移动后的第二个透镜上的光斑超过透镜直径而损失光能量；第一个透镜焦距大时，移动量会相应增大，但第一次变换后的远场发散角较小，得到达移动后的第二个透镜上的光斑不会超过透镜直径而损失光能量。
第一个透镜的直径大小对实验经过无影响，可根据实际选取。
经过计算以及厂家产品手册产品数据，实验室选择焦距为25.4mm的透镜作为第一个透镜，透镜直径为20mm。
设计要求为波长为980nm的激光器，而实验室具体实验时为532nm激光器。
分别在第一个透镜焦距为25.4mm,第二个透镜焦距为15mm时，分别对波长为532nm和980nm时进行计算仿真，结果如图9090。
![[物理]光学成像系统的传递函数](https://img.taocdn.com/s1/m/b97cf5f076a20029bc642d25.png)
![[物理]光学成像系统的传递函数](https://img.taocdn.com/s1/m/5abec103caaedd3383c4d39f.png)
