初二数学——乘法公式(精选课件)

第十四章 整式的乘法与因式分解
第32课时
整式的乘法（1）——同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
用式子表示为am·an=a m+n（m，n都是正整数）.
1. 计算下列各式，结果用幂的形式
表示：
3
4
________+___________
2
3
4
（1）2 ·2 =____
=
7
2
__________;
3
5
________+_______
a _
（2）a3·a5=____
8
a
=____________.
典型例题
知识点1
am·an=am+n
【例1】计算，结果用幂的形式表示：
（1）32·35=____________；
37
105
（2）103·102=____________；
（1）y2m·ym+1；
（2）（a-b）·（a-b）4；
（3）x4·x6+x5·x5；
（4）-a2·a5+2a·a3·a3.
10. 计算，结果用幂的形式表示：
（1）（x-y）5·（x-y）3·（x-y）；
（2）-a2·a5+a·a3·a3；
（3）x·x2n-3xn·xn+1.
11. 若a4·a2m-1=a11，求m的值.
A．x3+x2
B．x3·x2
C．x·x3
D．x7-x2
（ C ）
( B )
7. 计算下列各式，结果用幂的形式表示：
（1）x6·x2=____________；

§14.3 乘法公式（一）初二数学主讲教师：康学芬第一讲：两数和乘以它们的差1．计算：ababa2ababb2a2b22．公式：两数和乘以它们的差：（平方差公式）ababa2b2两数和与它们的差的积，等于这两数的平方差。

3．先观察图形（1），再用等式表示下图中图形面积的运算：bbaba（1）ababa2b2abab a2 b24．举例：例1．计算（1）a3a3（2）2a3b2a3b（3）12c12c解：（1）a3a3a232a29（2）2a3b2a3b2a23b24a29b2（3）12c12c122c214c2例2．计算19982002解：1998200220002200022000222400000043999996例3．街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规化后，南北向要加上2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？解：a2a2 a24答：改造后的长方形草坪的面积是a24平方米。

5．练习：一、计算（1）（2）x2x2（3）2xy2xy（4）yxxy解：（1）（2）x2x2x222x24（3）2xy2xyy22x2y24x2（4）yxxyx2y2x2y2二、简便计算（1）498502；（2）9991001解：（1）498502500250025002222500004249996（2）99910011000110001100021210000001999999三、用一定长度的篱笆围成一个矩形区域，小明认为围成一个正方形区域面积最大，而小亮认为不一定，你认为如何？解：矩形区域的周长是一定的，设为4a如果围成正文形，那么其边长为a，面积为a2；如果围成一般的矩形，设其长为abb0，则宽必为ab，因而其面积为ababa2b2，因此围成一般的矩形比围成正方形的面积，要小（小b2），所以小明的说法是有道理的。

6．举例：例4．计算：（1）12x12x14x2116x4；（2）xy2xy2xyxyx2y2解：（1）12x12x14x2116x414x214x2116x4116x4116x41256x8（2）xy2xy2xyxyx2y2xyxy2x2y2x2y2x2y22x4y4x2y2x2y2x4y4x4x2y2x2y2y4x4y42x2y22y47．总结：归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，xyyxx2y2②符号变化，xyxyx2y2 x2y2③指数变化，x2y2x2y2x4y4④系数变化，2ab2ab4a2b2⑤换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦连用公式变化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧逆用公式变化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz。

（4）51×49= (50+1)(50-1) =502－12 =2500-1 =2499
（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)= (9x2－16) - (6x2+5x -6)
=3x2－5x+10
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活动5 科学探究
给出下列算式:
32－12=8 =8×1；
52－32=16=8×2；
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二、探求新知
通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加（或减）它们的积的2倍 用符号怎么表述呢？
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
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二、探求新知
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．
解：（1）(3x＋2)(3x－2) =(3x)2－22 =9x2－4；
(3) (-x+2y)(-x-2y)
（2）(b+2a)(2a－b) =(2a+b)(2a－b) =(2a)2－b2 =4a2－b2.
=(-x)2－(2y)2
= x2－4y2
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5
例2 计算
(1) 102×98 (2) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
72－52=24=8×3；
92－72=32=8×4.
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？ 连续两个奇数的平方差是8的倍数.
（2）用含n的式子表示出来（2n+1)2－ (2n－1)2=8n （n为正整数）.
（3）计算 20052－20032= 8016

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方法技能： 公式运用技巧：平方差公式的特点是：左边是两个(liǎnɡ ɡè)二项式相乘，并且这两 个(liǎnɡ ɡè)二项式中，前面一项完全相同，后面一项互为相反数，右边是相同项的平 方，减去相反项的平方．实际计算时，题目中相乘的两个(liǎnɡ ɡè)二项式，往往不是 按公式左边的顺序排列的，这时应把两个(liǎnɡ ɡè)二项式中相同项放在前面，相反项 放在后面，然后再写出乘得的结果． 易错提示： 1．注意系数的变化，不要发生类似于(9x＋4y)(9x－4y)＝9x2－4y2的错误； 2．注意指数的变化，不要发生类似于(ab＋m2n)(ab－m2n)＝ab2－m2n2的错误．
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15．原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2 m，将宽增加 (zēngjiā)2 m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求 改造后正方形绿地的面积．
解：设改造后正方形绿地的边长为x m，则改造前的长是(x＋2) m，宽是(x－ 2) m．根据题意有：2(x2－4)＝x2，可得x2＝8.答：改造后正方形绿地的面积为 8 m2
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16．计算(jìsuàn)：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＋1. 解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＋1＝(22－1)(22＋ 1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＋1＝……＝(216－1)(216＋1)＋1＝232－1＋1＝ 232
12．观察下列各式：1×3＝22－1，3×5＝42－1，5×7＝62－1，7×9＝82－
1，….请将发现的规律用含字母n(n为正整数)的
等式(děngshì)表示(2为n－1)(2n＋1)＝(2n)2－1

练习：P11030-3
练习：
指出下列各式中的错误，并加以改正：
1) (-a-1)2 = -a2-2a-1; 2) (2a+1)2 =4a2+1; 3) (2a-1)2 =2a2 – 2a+1. 解：1) (-a-1)2
= [-(a+1)]2
= (a+1)2
= a +2a+1 2
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a
a2 ab
(a-b) 2=a2 - 2ab+b2
ab b ab a
(a-b)2
ab
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b
a
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(a+b)2=a2+2ab+b2, (a -b)2 =a2-2ab+b2
例1.计算: (x+2y)2, (x-2y)2 ( a+ b)2=a2+2 a b+ b2
解: (x+2y)2=x2+2·x·2y+(2y)2 =x2+4xy+4y2
1) 1022
2) 1992
3) 4982
4) 79.82
解：3) 4982 = (500-2)2
= 5002-2×500×2+22
= 250000-2000+4 = 248004
4)79.82 = (80-0.2)2
=802-2×80×0.2+0.22
= 6400-32+0.04
= 6368.04 2021/5/22
的2倍.
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1.(口答)运用完全平方公式计算：
1) (a+2b)2 2) (-a-2b)2

因此x=-5是原分式方程的解.
随堂练习
1.下列方程是分式方程的是（ B ）
A.
一元一次方程
B.
C. x2-1=0
D. 2x+1=3x 一元二次方程
一元一次方程
2.（2020·海南中考）分式方程 的解是（
A. x=-1
B. x=1 C. x=5
x-2=3
D. x=2
x=5
） C
解分式方程时，不要忘记检验哦.
用平方差公式分解因式 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整 式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位 置，就得到了 a2-b2=(a+b)(a-b)
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这 两个数的差的积.
用完全平方公式分解因式 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到 a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数 的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
分析：将b2看成一个整体a，则原式变形为(b2)2-b2-12，
可以看作a2-b-12.
1 -4
b4-b2-12 =(b2-4)(b2+3) =(b+2)(b-2)(b2+3).
13 1×3+1×(-4)=-1
2.（2020·乐山）已知y≠0，且x2-3xy-4y2=0，则 的值是
__4_或__-_1__.
分析：因为x2-3xy-4y2=0， 即(x-4y)(x+y)=0， 可得x=4y或x=-y， 所以 =4或 =−1.

1 2 2 1 1 xy－ 4 自我诊断 3. 计算：(－xy＋ )(－xy－ )＝ 2 2
.
.
1．(孝感中考)下列计算正确的是( B ) A．b3· b3＝2b3 B．(a＋2)(a－2)＝a2－4 C．(ab2)3＝ab8 D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b 2．计算：(x－y)(－y－x)的结果是( A ) A．－x2＋y2 C．x2－y2 B．－x2－y2 D．x2＋y2
解：原式＝9；
(2)(4m－3n)(4m＋3n)；
解：原式＝16m2－9n2；
1 1 (3)(－2x2＋ )(－2x2－ )； 2 2 1 4 解：原式＝4x － ； 4 2 3 2 3 (4)( x－ y)(－ x－ y)． 3 4 3 4 4 9 解：原式＝－ x2＋ y2. 9 16
7．边长为 acm 的正方形(a＞1)，一组对边的边长增加 1cm，另一组对边的 边长减少 1cm，得到的长方形的面积与原正方形的面积比较，有没有发生 变化？说明你的理由．
14．(青海中考)观察下列各式规律： (x－1)(x＋1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1…
8 x 可得到(x－1)(x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x＋1)＝ －1
7
6
5
4
3
2
； .
n＋1 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋x5＋…x2＋x＋1)＝ x －1
10．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C ) A．x4＋16 C．x4－16 B．－x4－16 D．16－x4
11．已知 m2－n2＝4.那么(m＋n)2(m－n)2 的结果是( C ) A．4 C．16 B．8 D．32

∵a－b＝10，b－c＝5，∴a－c＝15. ∴原式＝ 12(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac)＝ 12[(a－b)2 ＋(b－c)2＋(c－a)2]＝175.
19．【2021·广水期末】[知识生成] 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一
个恒等式． 例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用
A．2 cm2 B．2a cm2 C．4a cm2 D．(a2－1)cm2
【点拨】本题利用了面积法，长方形的面积等于大正 方形的面积减去小正方形的面积，即(a＋1)2－(a－1)2 ＝4a(cm2)．
【答案】C
16．【中考·邵阳】先化简，再求值：(a－2b)(a＋2b)－(a－ 2b)2＋8b2，其中a＝－2，b＝ 1 . 2
(4)根据(3)中的等量关系解决如下问题：若x＋y＝6，xy＝ 11， 2
则(x－y)2＝_1_4______；
[知识迁移] 类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以 得到一个恒等式． (5)根据图③，写出一个代数恒等式： __(_a_＋__b_)_3＝__a_3_＋__3_a_2_b_＋__3_a_b_2＋__b_3___； (6)已知a＋b＝3，ab＝1，利用上面的恒等式求的值． 解：∵a＋b＝3，ab＝1， ∴a3＋2 b3＝（a＋b）3－23ab（a＋b）＝27－ 2 9＝9.
D．－12
8．【中考·白银】若x2＋4x－4＝0，则3(x－2)2－6(x＋
1)(x－1)的值为( B )
A．－6
B．6
C．18
D．30
【点拨】3(x－2)2－6(x＋1)(x－1)＝－3(x2＋4x)＋18，
由x2＋4x－4＝0得x2＋4x＝4，所以原式＝－3×4＋18

3．因式分解与整式乘法有着怎样的关系？ 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，把整式 乘法的平方差公式 (a b)(a b) a2 b2 的等号两 边互换位置，就得到 a2 b2 (a b)(a b) ．
探究新知
4．将 a2 b2 (a b)(a b) 用文字语言表述， 并说明公式中的字母a，b可以表示什么？
（1）(a b)2 c2 a2 2ab b2 c2 ；
不正确． 对分解因式的概念不清，左边是多项式的形 式，右边应是整式乘积的形式，但右边还是多项 式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进 行因式分解.
课堂练习
（2）a4 1 (a2 )2 1 (a2 1)(a2 1) ．
不正确． 因式分解不彻底．
3．因式分解应进行到每一个因式不能分解为止． 4．计算中应用因式分解，可使计算简便．
课堂小结
本图片资源介绍了用平方差公式分解因式，适用于公 式法的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 用平方差公式分解因式.
课堂小结
本图片资源介绍了因式分解的一般步骤，适用于因式 分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 因式分解的一般步骤.
（1）x2 4 与多项式和 （2）a2 36 进行因式
分解？
（1）x2 4 x2 22 (x 2)(x 2) ； （2） a2 36 a2 62 (a 6)(a 6) ．
例题解析
【例1】分解因式：
（1）4x2 9 ； （2） (x p)2 (x q)2 ．
解：（1）4x2 9 (2x)2 32 (2x 3)(2x 3) ； （2）(x p)2 (x q)2 [(x p)+(x q)][(x p) (x q)] (2x p q)( p q) ．
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何 数、单项式或多项式．

1．通过本节课的学习活动，你们认识了什么？ 2．什么样的式子才能使用平方差公式？ 3.你会表述平方差公式的内容吗？
会用字母写出它的表达式吗？ 4.还学到了哪些数学思想方法?
(数形结合思想和整体思想).
思维拓展：
2、观察并计算下列各组算式
4×6 =24 5×5 =25
7×9 =63 8×8 =64
( 可以 ) (y+x)(-x+y) =(y+x)( y-x)=y²-x² ( 可以 ) (-y-x)(x-y) =(-y-x)(-y+x)=y²-x² ( 不可以) (x-y)(-x+y) (不可以 ) (x+y)(-x-y)
两个二项式相乘其中一项相同,另一项互为相反 数,结果是相同项的平方减去相反数项的平方。
如果A=1234567892, B=123456788×123456790, 试比较A与B的大小.
补充练习：
1、运用平方差公式简便计算: 992 - 1
2、(x-y)(x+y)(x2+y2)
3、已知 x2-y2=8 , x+y=-4 ，求x-y的值。
4、如果(x+y-3)2+(x-y+5)2=0,求x2-y2
(5ab+1)(5ab-1)
25a2b2－1
(−0.1x+1)(−0.1x−1) 0.01x2－1
(4k 3)(4k 3)
16k2 - 9
(3y − x)(− x − 3y）
x2 9y2
(-2x-y)(-y+2x) y2-4x2
2m n2m n
n2 4m2
3、用平方差公式计算下列各式 (1) ( y2 x)(x y2 )

乘法公式主讲：蓝豆平方差公式【知识点】平方差公式a+b a−b=a2−b2即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.提示公式中的字母a,b既可以是单项式，也可以是多项式【例题】计算：（1）3a−2b2b+3a（2−x4+y x4+y【答案】（1）9a2−4b2（2）y2−x2【例题】计算：a−1a+1a2+1a4+1【答案】a8−1【例题】已知x2−y2=34,x−y=2，求3y−x的值. 【答案】13完全平方公式【知识点】完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2，a−b2=a2−2ab+b2即两数和（或差）的平方，等于他们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍提示公式中的字母a,b既可以是单项式，也可以是多项式【例题】计算：（1）7x−22（2）−2x+3y2【答案】（1）49x2−28x+4（2）4x2−12xy+9y2【例题】当a=−1,b=1时，求3a+2b3a−2b−a−2b2的值. 【答案】−4完全平方公式【例题】已知a+b=5,ab=−6，求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）a−b2【答案】（1）37（2）49重要公式（补充）【知识点】重要公式（补充）1.三元平方公式a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc a−b+c2=a−b−c2=a+b+c+d2=记忆口诀：平方分大家，组合每种俩【知识点】重要公式（补充）2.立方和、立方差公式a+b a2−ab+b2=a3+b3 a−b a2+ab+b2=a3−b3【知识点】重要公式（补充）3.完全立方公式a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3 a−b3=a3−3a2b+3ab2−b3 a−b4=【例题】运用三元平方公式计算：（1）x+2y+z2（2）2x−3y−4z2【答案】（1）x2+4y2+z2+4xy+2xz+4yz2+9y2+16z2−12xy−16xz+24yz【例题】运用立方和（差）公式计算：（1）x+2x2−2x+4=（2）2a−5b( )=8a3−125b3【答案】（1）x3+8（2）4a2+10ab+25b2【例题】运用完全立方公式计算：（1）x+23=（2）3x−2y3=【答案】（1）x3+6x2+12x+8（2）27x3−54x2y+36xy2−8y3基础知识提前学Practice makes perfect !熟能生巧！。

§14.3 乘法公式（二）初二数学主讲教师：康学芬第二讲：两数和的平方1．计算：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b22．公式：两数和的平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的2倍3．计算：[a+(-b)]2=a2+2⋅a⋅(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2即(a-b)2=a2-2ab+b2两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们乘积的2倍。

4．这两个公式统称为完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b25．举例例1．计算(x+2y)2解：(x+2y)2=x2+2⋅x⋅2y+(2y)2=x2+4xy+4y2例2．计算(-x+2y)2解法一：(-x+2y)2=(-x)2+2⋅(-x)⋅2y+(2y)2=x2-4xy+4y2解法二：(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2⋅2y⋅x+x2=4y2-4xy+x2解法三：(-x+2y)2=[-(x-2y)]2=(x-2y)2=x2-4xy+4y2例3．计算（1）(3x+2y)2（2）(-3x+2y)2（3）(-3x-2y)2解：（1）(3x+2y)2=(3x)2+2⋅3x⋅2y+(2y)2=9x2+12xy+4y2（2）(-3x+2y)2=(2y-3x)2=4y2-12xy+9x2（3）(-3x-2y)2=[-(3x+2y)]2=(3x+2y)2=9x2+12xy+4y2例4．判断（1）(b-4c)2=b2-16c2（）（2）(x-2yz)2=x2+4xyz+4y2z2（）（3）2221124a b a ab b⎛⎫+=++⎪⎝⎭（）（4）(4m-n)2=16m2-4mn+n2（）（5）(-2a-b)2=4a2-4ab+b2（）解：只有（3）是正确的例5．运用公式简便计算（1）1032（2）1982解：（1）1032=(100+3)2=1002+2⨯100⨯3+32=10000+600+9=10609（2）1982=(200-2)2=2002-2⨯200⨯2+22=40000-800+4=39204例6．计算（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c)（2）(3x+y-2)(3x-y+2)解：（1）原式=[(a-3c)+4b][(a-3c)-4b]=(a-3c)2-(4b)2=a2-6ac+9c2-16b2（2）原式=[3x+(y-2)][3x-(y-2)]=9x2-( y2-4y+4)=9x2-y2+4y-4例7．运用完全平方公式计算（1）(x+y+z)2（2）(a-b-c)2解：（1）原式=[(x+y)+z]2=(x+y)2+2⋅(x+y)⋅z+z2=x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2（2）原式=[(a-b)-c]2=(a-b)2-2(a-b)⋅c+c2=a2-2ab+b2-2ac+2bc+c2例8．解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。