第二章材料力学之物体的受力分析全解

第二章杆件的内力.截面法一、基本要求1．了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念；2．掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力；3．熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。

表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。

该图一般以平行于杆件轴线的横坐标x轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。

正的轴力画在x轴上方，负的轴力画在x轴下方。

当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负）。

4）剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。

若以坐标x 表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x 的函数，即)()(S S x M M x F F ==上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。

5）剪力图和弯矩图为了直观地表达剪力F S 和弯矩M 沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的横坐标x 表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。

剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：（1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。

其步骤为：第一，求支座反力。

第二，根据截荷情况分段列出F S (x )和M (x )。

在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。

第三，求控制截面内力，作F S 、M 图。

一般每段的两个端点截面为控制截面。

在有均布载荷的段内，F S =0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。

将控制截面的内力值标在的相应位置处。

分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。

并注明ma xma xMF S、的数值。

（2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和弯矩图。

载荷集度q （x ）、剪力F S （x ）与弯矩M （x ）之间的关系为:)()(S x q dxx dF = )()(S x F dxx dM = )()()(S 22x q dx x dF dxx M d == 根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。

精选全文完整版解：画出杆的扭矩图如图所示。

可知最大弯矩为6kN ·m。

分别根据强度条件和刚度条件选择杆件直径，取其大者。

（1）根据强度条件τmax =M n,maxW p=163.14d3M n,max ≤[]τ得：[]d ≥316M n,max3.14=0.091m=91mm（2）根据刚度条件θ=M n GI p=323.14d 4M n ≤[]θG得：[]d ≥32M n3.14=0.078m=78mmθG由以上计算结果可知，杆所需的直径d=91mm 。

4、起重吊车AB 行走于CD 梁上，CD 梁是由两个同型号的工字钢组成。

已知吊车的自重为5kN ，最大起重量为10kN ，钢材的容许应力[σ]=160MPa ， CD 梁长L=12m ，根据正应力强度条件确定工字钢的截面系数（设荷载平均分配在二工字钢上）。

解：吊车及其起重物的重量由吊车的前后轮承担，各受7.5kN 的力。

37.5kN.m 13.75kN6.25kN1.25kN当吊车行驶到梁中部时，梁有最大弯矩，从附图的弯矩图可知，最大弯矩值为：M max = 37.5 kN.m当吊车行驶到梁的一端时，梁端有最大剪力，从附图的剪力图可知，最大剪力值为： Q max = 13.75kN先以正应力强度选择工字钢型号。

由正应力强度条件（由于梁是由两个工字钢组成）[]M maxσσmax =2W z≤ 得：[]M max σ≥=W z 2117cm 45、平行杆系列化、2、3悬吊着刚性横梁AB 如图（a ）所示。

在横梁上作用着荷载G 。

如杆菌、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A 、I 、E 。

试求：三根杆的轴力N 1，N 2，N 3。

6、已知圆轴受外力偶矩m=2KN，材料的许可切应力[τ]=60MP。

（1）试设计实心圆轴的直径D1；（2）若该轴改为α=d/D=0.8的空心圆轴，试设计空心圆轴的内、外径d2、D2。

7、用钢板制成的工字形截面梁其尺寸及梁上荷载如图所示，已知P=90kN，钢材的容许应力[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，试全面校核梁的强度(按第三强度论)。

第2章拉伸、压缩与剪切§2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例ACF以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。

§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力F N以1－1截面的右段为研究对象：F N沿轴线方向，所以称为轴力。

F N+直观反映轴力与截面位置变化关系；确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。

F N 1A B CF AF B F C F D O OA 段内力F N 1：设截面如图=X 01=−+−+N A B C D F F F F F 05841=−+−+N F F F F FF N 21=∴A B C D F AF BF CF DF N 2F N 3D F DF N 4A B C F AF B F C F D O ：段内力：0=−D C F 03=−−D C F F F ，F N 4= FB C D F B F C F D C D F CF D F N 2= –3F ，F N 4= FA B CF A F B F C F D O2F3F 5FF2、变形规律：横向线——仍为平行的直线，且间距增大。

纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。

3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截面沿杆轴线作相对平移。

轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式σA or =σANor =σAC 45°12B45°AC45°12B 1NF y45°§2-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力ασααcos cos cos ==A F A F αp ααxF N F N α§2-4 材料拉伸时的力学性能常温、静载两个塑性指标：%100%5>δ为塑性材料§2-5 材料压缩时的力学性能σbL，铸铁抗压性能远远大于抗拉性§2-7 失效、安全因素和强度计算§2-8 轴向拉伸或压缩时变形（胡克定律的另一种表达方式）1L 1a a1b伸长为正，缩短为负。