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生物统计学 第七章 直线相关与回归分析

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直线相关与直线回归

直线相关与直线回归

案例二：医学研究
总结词
医学研究中，利用直线相关和回归分析探究疾病与危险因素之间的关系。
详细描述
在医学研究中，直线相关和回归分析常被用于研究疾病与危险因素之间的关系。 例如，通过分析吸烟、饮酒、饮食等危险因素与肺癌发病率之间的关系，可以 建立线性模型，从而为预防和治疗提供依据。
案例三：农业研究
总结词
通过假设检验的方法，检验两个变量之间是否存在显著的线性关系。常用的假设检验方法 包括t检验、F检验等。
直线相关系数
直线相关系数是用来量化两个变量之间线性关 系的强度和方向的一个数值，其取值范围为-1 到1。
相关系数的值为1表示完全正相关，值为-1表示 完全负相关，值为0表示无直线相关。
相关系数的绝对值越大，说明两个变量之间的 线性关系越强。
直线相关结果通常以相关系数和散点图等 形式呈现，而直线回归结果则以回归方程 、系数表和预测值等形式呈现。
联系
理论基础
直线相关和回归都基于线性关 系假设，即两个变量之间存在
一条直线的趋势。
应用场景
在某些情况下，直线相关和回 归可以相互转换，例如当一个 变量是另一个变量的函数时。
相互支持
在数据分析过程中，可以先进 行直线相关分析，再基于相关 系数进行直线回归分析，或者 反之。
结果解释
在某些情况下，直线相关和回 归的结果可能相似或一致，例 如当两个变量之间的线性关系
很强时。
04
直线相关与回归的应用
经济预测
预测市场趋势
通过分析历史数据，利用直线相关或回归分析来预测市场趋势， 如股票价格、商品需求等。
评估经济政策效果
通过分析政策实施前后的经济数据，利用直线相关或回归分析来评 估政策效果，为政策制定提供依据。

[课件]第七章 直线回归与相关分析(2)PPT

[课件]第七章 直线回归与相关分析(2)PPT
总变异 随机误差引起 的变异
Y与x之间的直线回归关系 引起的变异
可以证明：
ˆ ˆ ( y y ) ( y y ) ( y y )
2 2
称为y的总平方和， 记为SSy，或SS总
2
称为误差平方和，或者剩余平 方和；记为Q、SS离回归、SSe 或 SS剩余反映了随机误差引起 的变异
a 检验统计量 ： t ～ t 分布 n 2 S a
这 里 ， S S a y/x
2 1 x ( ) 。 n S x x
例 5 ， 以 四 川 白 鹅 体 重 资 料 为 例 ， 检 验 H :0 , H :0 0 A
解 ： 已 计 算 得 到 S 1 6 8 5 , S 3 7 1 5 . 2 1 , x 9 8 . 5 x x y / x
设自变量x共有n个取值，分别为x ，x ，…x ，对于
1 2 n
每一个给定的x 进行了m次重复，得到因变量y的m
i
个观测值，其数据模式如下表所示。 自变量（x） x1 y11
y12
x2
y21 y22
x3
y31 y32
…
… …
xn
yn1 yn2
y13
┆ 依变量（y） y1m
y23
y33
…
…
yn3
┆ ynm
F1,12,0.01 ＝ 9.33 ， F ＞ F0.01 。结论是 Y 与 X 之间存在极显著的
回归关系。
（三）系数b和a的t检验
（1）b的显著性检验
x 和 y 之间的线性关系的显著 性程度是由 决定的。
0 说明两变量间不存在线 性关系； 0 说明两变量间 关系
对 的直接检验进行。

重庆大学生物统计学_第七章 直线回归与

重庆大学生物统计学_第七章 直线回归与

两变量或多变量之间的关系，总起来说可以分为
两种：一种是函数关系，例如气体定律PV＝RT中
的各个量依公式的关系而存在，三个两中若有两 个已知时，第三个就能精确求出。这种关系的例 子，在生物界中是极少见的。生物界中，大量存 在的情况是，一种变量受另一变量的影响。两者 之间既有关系，但又不存在完全确定的函数关系。 知道其中一个变量，并不能精确求出另一变量。 下面举几个例子加以说明。
另一种是平行关系，它们互为因果或共同受到另外因素的影响。如黄牛的体长和 胸围之间的关系，猪的背膘厚度和眼肌面积之间的关系等都属于平行关系。
统计学上采用回归分析 （regression analysis）研究呈因果关系的相关变量间的关 系。表示原因的变量称为自变量，表示结果的变量称为依变量。
研究“一因一果”，即一个自变量与一个依变量的回归分析称为一元回归分析； 研究“多因一果”，即多个自变量与一个依变量的回归分析称为多元回归分析。
表2－2 每一 NaCl 含量下干物重 10 次重复值
NaCl含量(克/1000克土壤)
0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8
1
干
2
重
3
4
(mg/dm2)
重
5
复
6
值
7
8
9
10
80 90 95 115 130 115 135 100 85 89 94 106 125 137
75 107 115 103 103 128 128 89 93 92 110 110 143 127 91 103 115 113 128 132 155 79 92 120 108 131 121 132 101 78 95 121 117 129 148 85 105 95 110 121 112 117 83 93 105 108 114 120 134 79 85 98 111 116 130 132

[课件]第七章 直线回归与相关分析(1)PPT

[课件]第七章 直线回归与相关分析(1)PPT


熟悉：一元线性回归与相关分析的应用。 了解：直线回归的意义、方差分析与t检验对方程及 回归系数进行假设检验的基本思想。
讲授内容

第一节 回归与相关的基本概念


第二节 直线回归分析
第三节 直线相关
第一节 回归及相关的概念
前面各章我们讨论的问题都只涉及一个变量 （试验指标），如产量、发芽率等，未对变量 之间的关系进行研究。
2 ˆ ( y y ) i 和 i 达到最小的直线为回归线 。 i 1 n
a , b 应使得回归估计值 y 与实际观测值 y 的偏差平方
2 2 ˆ L ( y y ) ( y a bx ) 最小 i i i i i 1 i 1 n n
根据微积分学中求极值 的方法，令 L 对 a , b 的一阶偏导数 0 ，即
变量x 变量y
x1 y1
x2 y2
… …
xn yn
2、散点图（scatter diagram）的绘制

为了直观地看出x和y之间的关系，可以将每对观测值在坐标
系里描点，得到的图称为散点图。
例 1，土壤内 NaCl 的含量对植物的生长有很大的影响，
NaCl含量过高，将增加组织没无机盐的积累，抑制植物 的生长。表中的数据，是每 1000 克土壤中所含 NaCl 的 不同克数（ X ），对植物单位叶面积干物质重的影响 （Y）。根据这7对数据作出相应的散点图
SP SSx
称为x的离均差平方和， 记为SSx
得到b后，由方程组中第一个方程可算出a，
a y b x
a 叫做 样本回归截距 ，它是数学模型中总体 回归截距 的无偏估
b 叫做 样本回归系数 ，它是数学模型中总体 回归系数 的无偏估

生物统计学课件7、回归与相关分析

生物统计学课件7、回归与相关分析

VS
最大似然法
最大似然法是一种基于概率的参数估计方 法，通过最大化似然函数来估计参数。这 种方法在某些情况下比最小二乘法更有效 ，尤其是在存在离群值或异常值的情况下 。
多元回归模型的假设检验
线性假设检验
线性假设检验是检验自变量与因变量之间是 否存在线性关系。如果线性假设不成立，可 能需要考虑其他形式的回归模型。
02
参数检验、非参数检验。
常用的假设检验方法
03
t检验、F检验、卡方检验等。
线性回归模型的预测与解释
1 2
预测
利用回归模型预测因变量的取值。
解释
通过回归系数解释自变量对因变量的影响程度和 方向。
3
实际应用
在生物医学研究中，线性回归分析常用于探索变 量之间的关系，如疾病与基因、环境因素之间的 关系等。
SUMMAR Y
01
回归与相关分析概述
定义与概念
回归分析
研究因变量与一个或多个自变量之间 关系的统计方法，通过建立数学模型 来描述变量之间的依赖关系。
相关分析
研究两个或多个变量之间关系的统计 方法，描述变量之间的关联程度和方 向。
回归与相关分析的分类
线性回归分析
因变量与自变量之间呈现线性关系的回归分 析。
共线性诊断
共线性是指自变量之间存在高度相关性的情 况。共线性可能导致回归系数不稳定，影响 模型的预测精度。因此，需要进行共线性诊 断，并采取措施缓解共线性问题。
多元回归模型的预测与解释
预测
多元回归模型可以用于预测因变量的取值。根据建立的回归方程和给定的自变量值，可 以计算出因变量的预测值。
解释
多元回归模型可以用于解释自变量对因变量的影响程度。通过分析回归系数的大小和符 号，可以了解各个自变量对因变量的贡献程度和影响方向。

生物统计学-第七章-直线相关与回归分析

生物统计学-第七章-直线相关与回归分析

量
平行关系
两个以上变量之间共同 受到另外因素的影响
人的身高和体重之间的关系
兄弟身高之间的关系
为了确定相关变量之间的关系，首 先应该收集一些数据，这些数据应 该是成对的，然后在直角坐标系上 描述这些点，这一组点集称为散点 图。
散点图(scatter diagram)
为了研究父亲与成年儿子身高 之间的关系，卡尔.皮尔逊测 量了1078对父子的身高。把 1078对数字表示在坐标上，如 图。用水平轴X上的数代表父 亲身高，垂直轴Y上的数代表 儿子的身高，1078个点所形成 的图形是一个散点图。它的形
直线相关与回归分析直线相关与回归分析第七章平均数标准差方差分析多重比较集中点离散程度差异显著性一个变量产量施肥量播种密度品种pvrt气体压强长方形面积身高与胸围体重施肥量与产量溶液的浓度与od值人类的年龄与血压温度与幼虫孵化不完全确定的函数关系相关关系一个变量的变化受另一个变量或几个变量的制约因果关系平行关系两个以上变量之间共同受到另外因素的影响动物的生长速度受遗传营养等影响子女的身高受父母身高的影响人的身高和体重之间的关系兄弟身高之间的关系scatterdiagramscatterdiagram两个变量间关系的性质正向协同变化或负向协同变化和程度关系是否密切两个变量间关系的类型直线型或曲线型是否有异常观测值的干扰正向直线关系负向直线关系曲线关系散点图直观地定性地表示了两个变量之间的关系
状象一块橄榄状的云，中间的
点密集，边沿的点稀少，其主 要部分是一个椭圆。
散点图(scatter diagram)
两个变量间关系的性质（正向协同变化或 负向协同变化）和程度（关系是否密切） 两个变量间关系的类型（直线型或曲线型） 是否有异常观测值的干扰
4 3 2 1

第7章_直线回归与相关分析

第7章_直线回归与相关分析

不能用精确的数学公式来表示。
如 产量与施肥量的关系，
病虫害发生时期与温度的关系，
小麦单位面积产量与单位面积穗数、每穗
粒数、千粒重的关系等，
上一张 下一张 主 页
退 出
这些变量间都存在着十分密切的关系，但 由于随机误差的影响，不能由一个或几个变量 的值精确地求出另一个变量的值。这样的变量 在生物界中是大量存在的，统计学中把这类变 量称为相关变量。
( x x )2，记作 SS x。
xy
a叫做样本回归截距，是总体回归截距的
最小二乘估计值也是无偏估计值，是回归直线
与y轴交点的纵坐标，当x=0时， y =a； ˆ
上一张 下一张 主 页
退 出
b叫做样本回归系数，是总体回归系数
的最小二乘估计值也是无偏估计值，表 示x改变一个单位，y平均改变的数量，b的 符号反映了x影响y的性质，b的绝对值大小 反映了x影响y的大小；
退 出
统计学上采用相关分析研究呈平行关系
的相关变量之间的关系。
对两个变量间的直线关系进行相关分析
称为直线相关分析（也叫简单相关分析）；
对多个变量进行相关分析时，研究一个
变量与多个变量间的线性相关称为复相关分
析；
上一张 下一张 主 页
退 出
研究其余变量保持不变的情况下两个变量
间的线性相关称为偏相关分析。在相关分析中，
所以
ˆ y y b( x x )
上一张 下一张 主 页
退 出
于是
ˆ ˆ ˆ ( y y )( y y) b( x x )( y y) b( x x )[( y y ) b( x x )] b( x x )( y y ) b( x x ) b( x x ) b SPxy b SS x

生物统计学课件 7、回归与相关分析

生物统计学课件 7、回归与相关分析

第一节 直线回归
㈡数据整理
由原始数据算出一级数据6个： ΣX＝1182 ΣY＝32650 ΣXY＝3252610 320
ΣX 2＝118112 ΣY 2＝896696700 n＝12
Байду номын сангаас
再由一级数据算出二级数据5个：
SSX＝ ΣX 2 － (ΣX) 2 /n＝1685.00 SSY＝ ΣY 2 － (ΣY ) 2 /n ＝831491.67 SP＝ ΣXY － ΣX ΣY /n ＝36585.00
280
80
X＝ΣX/n ＝98.5 Ӯ ＝ΣY/n ＝2720.8333
㈢计算三级数据
b ＝ SP/ SSX ＝21.7122 ＝36585÷1685
a＝ Ӯ －bX＝582.1816 ＝2720.8333－ 21.7122×98.5 得所求直线回归方程为：
y ＝ 582.1816 + 21.7122 x
第一节 直线回归
二、建立直线回归方程
340
例7.1 在四川白鹅的生产性能研究中， 得到如下一组n = 12（只）关于雏鹅重（g） 与70日龄重（10g）的关系的数据，其结 300 果如下表，试予分析。
解 ㈠描散点图
本例已知雏鹅70日龄重随雏鹅重的变 260 化而变化，且不可逆；又据散点图反映的 趋势来看，在80—120g的重量范围， 70日 龄重随雏鹅重呈上升的线性变化关系。
程 y ＝ 582.1816 + 21.7122 x可用于预测。
而是多元回归。
第二节 直线相关
一、相关的含义
二、相关系数
如果两个变量X和Y，总是X和Y 相互 前已述及，具有线性回归关系的
制约、平行变化，则称X和Y为相关关系。 双变量中，Y变量的总变异量分解为：

生物统计学课件回归与相关分析

生物统计学课件回归与相关分析

影响因素分析
市场预测
多元线性回归可用于分析多个自变量 对因变量的影响，以及各因素之间的 交互作用。
在市场营销中，多元线性回归可用于 预测市场需求和销售量，基于产品特 性、价格、竞争对手等多个因素。
社会经济因素分析
在经济、社会学等领域，多元线性回 归可用于研究多个因素对某一结果的 影响，如收入、教育程度等对个人幸 福感的影响。
线性回归模型
定义
线性回归模型是一种最简单的回 归分析形式，其中因变量和自变 量之间的关系可以用一条直线来
描述。
公式
(Y = beta_0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ldots + beta_pX_p + varepsilon)
解释
(Y)是因变量，(beta_0, beta_1, ldots, beta_p) 是模型的参数， (X_1, X_2, ldots, X_p) 是自变量， (varepsilon) 是误差项。
R语言介绍与操作
01
R语言是一种开源的统计计算语言 ，具有强大的数据处理和可视化 能力。
02
操作步骤：安装并打开R语言环境 ，导入数据，使用适当的函数进 行回归或相关分析，可视化结果 ，解读分析结果。
Python数据分析库介绍与操作
Python是一种通用编程语言，常用于数据分析。
操作步骤：安装Python和相关的数据分析库（如NumPy、Pandas和SciPy）， 导入数据，使用库函数进行回归或相关分析，可视化结果，解读分析结果。
解释
(Y)是因变量，(beta_0, beta_1, ldots, beta_{np}) 是模型的参数，(X_{ij}) 是自变量， (varepsilon) 是误差项。

生物统计学：第七章 直线回归与相关分析

生物统计学：第七章 直线回归与相关分析

特别要指出的是：利用直线回归方程进行预 测或控制时，一般只适用于原来研究的范围，不 能随意把范围扩大，因为在研究的范围内两变量 是直线关系，这并不能保证在这研究范围之外仍 然是直线关系。若需要扩大预测和控制范围，则 要有充分的理论依据或进一步的实验依据。利用 直线回归方程进行预测或控制，一般只能内插， 不要轻易外延。
（三）、相关系数的显著性检验
统计学家已根据相关系数r显著性t检验法计算出了 临界r值并列出了表格。 所以可以直接采用查表法对相 关系数r进行显著性检验。
先根据自由度 n-2 查临界 r 值 ( 附表8 )， 得 r0.05(n2) ，r0.01(n2)。若|r|＜ r0.05(n2)，P＞0.05，则相 关系数r不显著，在r的右上方标记“ns”；若 r0.05(n2) ≤|r|＜ r0.01(n2) ，0.01＜P≤0.05，则相关系数 r 显 著，在r的右上方标记“*”；若|r|≥ r0.01(n2) ，P ≤ 0.01， 则相关系数 r 极显著，在 r 的右上方标记 “**”。
第七章 直线回归与相关分析
在试验研究中常常要研究两个变量间的关系。 如：人的身高与体重、作物种植密度与产量、食品价格与需
求量的关系等。 两个关系 依存关系：依变量Y随自变量X变化而变化。
—— 回归分析 互依关系：依变量Y与自变量X间的彼此关系.
—— 相关分析
一 直线回归
（一）、直线回归方程的建立 对于两个相关变量x和y，如果通过试验或调查 获得它们的n对观测值： （x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn） 为了直观地看出x和y间的变化趋势，可将每一 对观测值在平面直角坐标系描点，作出散点图。
y)2 y)2
SPxy 2 SSxSS y
SPxy SS x

生物统计学-直线回归

生物统计学-直线回归

2 (3)随机误差是相互独立的，且呈正 态分布，服从N (0, )
三、直线回归的假设检验
建立样本直线回归方程，只是完成了统
计分析中两变量关系的统计描述，研究者还须
回答它所来自的总体的直线回归关系是否确实
存在，即是否对总体有 0 ？
回归系数的方差分析
理解回归中，方差分析的基本思想，需要对
相关变量间的关系一般分为两种: 一种是因果关系，即一个变量的变化受另一 个或几个变量的影响。如仔猪的生长速度受遗 传特性、营养水平、饲养管理条件等因素的影 响，子代的体高受亲本体高的影响； 另一种是平行关系，它们互为因果或共同受
到另外因素的影响。如黄牛的体长和胸围之间
的关系，猪的背膘厚度和眼肌面积之间的关系
确定性的，只要知道了其中两个变量的值就可
以精确地计算出另一个变量的值，这类变量间
的关系称为函数关系。
另一类是 变 量 间不存在完全的确定性关系， 不能用精确的数学公式来表示。 如黄牛的体长与体重的关系；仔猪初生重与 断奶重的关系；猪瘦肉率与背膘厚度、眼肌面 积、胴体长等的关系等等，这些变量间都存在 着十分密切的关系，但不能由一个或几个变量 的值精确地求出另一个变量的值。像这样一类 关系在生物界中是大量存在的，统计学中把这 些变量间的关系称为相关关系，把存在相关关 系的变量称为相关变量。
回归和相关的主要区别：相关分析只能研究两个变量 之间相关的程度和性质或一个变量与多个变量之间相 关的程度，而不能用一个变量或多个变量去预测、控 制另一个变量的变化
第二节 直线回归分析
直线回归分析
一元回归
回归 分析
直线回归 曲线回归 多元线性回归 多元非线性回归
多元回归
直线回归：用直线回归方程表示两个数量变量间依存 关系的统计分析方法，是回归分析中最简单的一种， 故又称为简单回归

生物统计学第7章 回归与相关

生物统计学第7章 回归与相关
假设H0： β1=β2 ，HA： β1≠β2
检验统计量为
t
b1 b2 sb1 b2
~ t(n1 n2
4)
s b1b2
s2 y/x
s2 y/x
SSx1 SSx2
s2 y/x
(n1
Q1 Q2 2) (n2
2)
t t 当
α(n1n2 4 ) 时，接受HA，即两样本所属总体的回归系数不相等
样本相关系数：从随机样本的数据计算得来的相关系数，用符号r代表
对某一定的总体来说， ρ是一个常量。
从同一总体中随机抽取的各样本的r值是随机变动的，不是一个常量，且可 以通过实验或测量的样本数据来计算它。
将SP除以n-1，消除了样本容量 的影响，得样本的协方差
(xi x)( yi y)
MP i n 1
i
U
SS y
Q
SP2 SSx
bSP b2SSx
F
MSU MSQ
~
F(dfU，dfQ )
例7.5 用F测验对例7.2所求回归方程作回归显著性测验。
F
MSU MSQ
b2SSx Q (n 2)
b2
s2 y/x
SSx
( b )2 sb
t2
7.2.3.2 两个回归系数相比较的显著性检验
由两个样本的回归系数b1，b2，测验其所属总体的回归系数β1、β2是否相等
7.1.2 回归的概念
两个相关变量之间，有时表现为一个变量依赖于另一个变量的从属关系。 对于这种情况的两个变量可以区分为自变量（记为X）和依变量（记为Y）。
回归关系：一般自变量X是固定的（试验时预先确定的），并且没有试验 误差或试验误差很小，依变量Y则是随自变量X的变化而变化，且受试验误 差的影响较大。这种关系称为回归关系，

生物统计学习题集答案

生物统计学习题集答案

生物统计学习题集参考答案第一章概论一、填空1 变量按其性质可以分为连续变量和非连续变量。

2 样本统计数是总体参数的估计量。

3 生物统计学是研究生命过程中以样本来推断总体的一门学科。

4 生物统计学的根本内容包括_试验设置、统计分析_两大局部。

5 统计学的开展过程经历了古典记录统计学、近代描述统计学现代推断统计学3个阶段。

6 生物学研究中，一般将样本容量n大于等于30称为大样本。

7 试验误差可以分为__随机误差、系统误差两类。

二、判断〔-〕1 对于有限总体不必用统计推断方法。

〔-〕2 资料的准确性高，其准确性也一定高。

(+) 3 在试验设计中，随机误差只能减少，而不可能完全消除。

〔+〕4 统计学上的试验误差，通常指随机误差。

三、名词解释样本：从总体中抽出的假设干个体所构成的集合称为样本。

总体：具有一样的个体所构成的集合称为总体。

连续变量：是指在变量*围内可抽出*一*围的所有值。

非连续变量：也称离散型变量，表示变量数列中仅能取得固定数值并且通常是整数。

准确性：也称准确度指在调查或试验中*一试验指标或性状的观测值与真实值接近的程度。

准确性：也称准确度指在调查或试验中同一试验指标或性状的重复观测值彼此接近程度的大小。

第二章试验资料的整理与特征数的计算一、填空1 资料按生物的性状特征可分为___数量性状资料_变量和__变量性状资料_变量。

2 直方图适合于表示__计量、连续变量_资料的次数分布。

3 变量的分布具有两个明显根本特征，即_集中性_和__离散性_。

4 反映变量集中性的特征数是__平均数__，反映变量离散性的特征数是__变异数〔标准差〕_。

5 样本标准差的计算公式s=√∑〔*-*横杆〕平方/(n-1)。

二、判断( - ) 1 计数资料也称连续性变量资料，计量资料也称非连续性变量资料。

( - ) 2 条形图和多边形图均适合于表示计数资料的次数分布。

〔 +〕3 离均差平方和为最小。

〔 + 〕4 资料中出现最多的那个观测值或最多一组的中点值，称为众数。

直线回归与相关分析PPT课件

直线回归与相关分析PPT课件

变量
关系
反）
性质：正（负）相关——方向一致（相
相关
一元直线相关（简单相关）
第9页/共72页
将计算回归方程为基础的统计分析方法称为回 归分析，将计算相关系数为基础的统计分析方 法称为相关分析。
原则上两个变数中Y含有试验误差而X不含试验 误差时着重进行回归分析；Y和X均含有试验误
差时则着重去进行相关分析。
• 已知： b=－1.0996,
第29页/共72页
yˆ a bx
yy
SSy ( y y)2 [(y yˆ) x
SSy ( y y)2 [(y yˆ) ( yˆ y)]2
[( y yˆ)2 2( y yˆ)( yˆ y) ( yˆ y)2 ]
( y yˆ)2 2 ( y yˆ)( yˆ y) ( yˆ y)2
• b2
(x x)2 b2[
x2 (
x)2 n
]
b2 SS x
b
(x
x)(
y
y)
b[
xy
x
n
y
]
bSP
[ (x x)( y y)]2 (x x)2
[
xy
x
n
y
x2
( x)2
n
]2
SP 2 SS x
第35页/共72页
• ∴ S2回＝SdSf回回
sy x
＝SS回 ,
Q n2
SS2d离Sf离＝离
第4页/共72页
2. 自变数与依变数
回归关系（因果关系）
两个变数间的关系若具有原因和反应(结果)的性质，则称这 两个变数间存在因果关系，并定义原因变数为自变数(independent
variable)，以 X 表示；定义结果变数为依变数(dependent variable)， 以 Y 表示。

第7章 直线回归与相关分析

第7章 直线回归与相关分析

y y ( x x)
y x
总体资料直线回 归的数学模型
总体回归截踞
总体回归系数 随机误差
y ( x x)
总体回归截踞 总体回归系数 随机误差
α：它是y的本底水平，即x对y没有任何作用时，y的数量 表现。 βx：它描述了因变量y的取值改变中，由y与自变量x的线 性关系所引起的部分，即可以由x直接估计的部分。 误差：它描述了因变量y的取值改变由x以外的可能与y有 关的随机和非随机因素共同引起的部分，即不能由 x直接 估计的部分。
ˆ y) ( y y ˆ) ( y y) ( y
2 2
2
回归平方和 U
离回归平方和 Q
ss
y
U Q
ˆ y ) 2 [ y b ( x x ) y ]2 U (y b 2 ( x x) b 2 ss x bsp ( sp ) 2
2 sy /x
2

sy / x SSx
回归系数的标准误
b 2 b t ( ) 2 sb sb
2
2 2 2
2
sb
sy / x SSx
b SSx b t 2 2 s y / x / SSx sy / x
2
U b
2
ss bsp
x
(sp)
2
ss
x
U t F Q /(n 2)
相关关系
X身高
Y体重
在大量测量各种身高人群的体重时会发现，虽然在同样身高 下，体重并不完全一样。但在每一身高下，都有一个确定的 体重分布与之相对应;
X体重
Y身高
在大量测量各种体重人群的身高时会发现，虽然在同样体重 下，身高并不完全一样。但在每一体重下，都有一个确定的 身高分布与之相对应;

生物统计学VIII直线回归与相关分析

生物统计学VIII直线回归与相关分析
(1) 常量 α：是总体回归截距，是回归直线在纵坐标的截距，它 是 y 的本底水平，即 x 对 y 没有任何作用时 y 的数量表现。 它属于不能用 x 来估计的部分。 (2) β x 部分：β 为总体回归系数，β x 表示依变量 y 的取值改变 中，由 y 与自变量 x 的线性回归关系所引起变化的部分，即 可由 x 直接估计的部分。 (3) 回归估计误差 ϵ：为随机误差，也称为回归估计误差（errors of regression）或残差（residual） 。它表示依变量 y 的取值改 变中由自变量 x 以外的其他所有未进入该模型或未知但可能 与 y 有关的随机和非随机因素共同引起变化的部分，即不能 由 x 直接估计的部分。
相关分析研究的是两个变量间相关程度和性质或一个变量与 多个变量之间相关的程度。
本章摘要
第一节：回归和相关的概念
第二节：直线回归分析
第三节：直线相关
（一）直线回归方程的建立 回归：对于变量 x 的每一个可能值 xi ，都有随机变量 yi 的 一个分布与之对应 当 x = xi 时，yi 的平均数 µy|x=xi （称为 y 的条件平均数 conditional mean）与之是相对应的 这种情况下，可利用直线回归方程（linear regression equation）来描述 x 与 y 的均值的关系，其一般形式为 ˆ y = a + bx 该式被称为 “y 依 x 的直线回归方程”。其中，
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本章摘要
第一节：回归和相关的概念
第二节：直线回归分析
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第七章
直线相关与 回归分析
平均数 标准差 方差分析 多重比较
集中点 离散程度
差异显著性
施肥量 一个变量
品种
（产量） 播种密度
在实际研究中，事物之间的相互 关系涉及两个或两个以上的变量， 只要其中的一个变量变动了，另 一个变量也会跟着发生变动，这 种关系称为协变关系，具有协变 关系的变量称为协变量。
因果关系 一个变量的变化受另一个变量或几个变量的制约
x
施肥量 (可以严格地人为控制)
y
产量
自变量(independent variable)
因变量(dependent variable)
如果对x（非随机变量或随机变量）的每一个 可能的值，都有随机变量y的一个分布相对应， 则称随机变量y对变量x存在回归(regression) 关系。
研究“一因一果”，即一个自变量与一个 依变量的回归分析称为一元回归分析
直线回归分析
曲线回归分析
研究“多因一果”，即多个自变量与一个 依变量的回归分析称为多元回归分析。
多元线性回归分析 多元非线性回归分析
相关关系
X身高
Y体重
➢ 在大量测量各种身高人群的体重时会发现，虽然在同样身高 下，体重并不完全一样。但在每一身高下，都有一个确定的 体重分布与之相对应;
状象一块橄榄状的云，中间的
点密集，边沿的点稀少，其主 要部分是一个椭圆。
散点图(scatter diagram)
两个变量间关系的性质（正向协同变化或 负向协同变化）和程度（关系是否密切） 两个变量间关系的类型（直线型或曲线型） 是否有异常观测值的干扰
4 3 2 1
123456
正向直线关系
4 3 2 1
S=πr2 圆的面积
协
变
PV=RT 气体压强
量
S=a b 长方形面积
确定的函数关系
协
施肥量与产量

温度与幼虫孵化
变
人类的年龄与血压
量
身高与胸围、体重
溶液的浓度与OD值
不完全确定的函数关系 (相关关系)
因果关系 一个变量的变化受另一个
相
变量或几个变量的制约
关
动物的生长速度受遗传、营养等影响
变
子女的身高受父母身高的影响
对两个变量间的直线关系进行相关分析称为简 单相关分析（也叫直线相关分析）；
对多个变量进行相关分析时，研究一个变量与 多个变量间的线性相关称为复相关分析；研究 其余变量保持不变的情况下两个变量间的线性 相关称为偏相关分析。
第二节：直线回归 Linear Regression 简单回归(Simple Regression)
截距(intercept) 回归截距
与x值相对应的依变量y的点估计值
yˆ a bx
y
b=0
a>0,b>0 a=0
a>0,b<0
a<0,b>0
0
x
变温量度1
X
平均温度（℃） 11.8 14.7 15.6 16.8 17.1 18.8 19.5 20.4
变天量数2
Y
历期天数（d ） 30.1 17.3 16.7 13.6 11.9 10.7 8.3 6.7
1
最小
n
n
Q ( y yˆ )2 ( y a bx)2
1
1
n
n
Q ( y yˆ )2 ( y a bx)2
1
1
根据微积分学中的求极值的方
法，令Q对a、b的一阶偏导数
等于0，即：
Q a
2
(
y
a
bx)
0
Q b
2( y
a
bx)x
0
a y bx
b
xy
( x)( x2 ( x)2
X体重
Y身高
➢ 在大量测量各种体重人群的身高时会发现，虽然在同样体重 下，身高并不完全一样。但在每一体重下，都有一个确定的 身高分布与之相对应;
身高与体重之间存在相关关系。
两变量x、y均为随机变量，任一变量的每一可 能值都有另一变量的一个确定分布与之对应， 则称这两个变量存在相关（correlation）关 系。
y) / /n
n
b (x x)(y y) SPxy
(x x)2
SSx
yˆ a bx 基本性质
n
Q ( y yˆ )2
为最小值
1
( y yˆ) 0
(x, y)
yˆ a bx
a y bx
yˆ y b(x x)
回归方程的中心化形式
X
平均温度（℃） 11.8 14.7 15.6 16.8 17.1 18.8 19.5 20.4
123456
曲线关系
4 3 2 1
123456
负向直线关系
散点图直观地、定性地表示了两个 变量之间的关系。为了探讨它们之 间的规律性，还必须根据观测值将 其内在关系定量地表达出来。
定量研究
回归(regerssion) 相关(correlation)
在生物学中，研究两个变量间的关 系，主要是为了探求两变量的内在 联系，或从一个变量X（可以是随机 变量，也可以是一般的变量），去 推测另一个随机变量Y。
Y
历期天数（d ） 30.1 17.3 16.7 13.6 11.9 10.7 8.3 6.7
x 134.7
x2 2323.19
收集数据
散点图
天数（天）
40
yˆ a bx
30
20
10
0 10 12 14 16 18 20 22
温度（℃）
黏虫孵化历期平均温度与历期天数关系 图
回归直线在平面坐标系中的位置取决于a,b的取值。
yˆ a bx
y
最小二乘法
(method of least square)
n
( y yˆ )2
一、直线回归方程的建立 二、直线回归的数学模型和基本假定 三、直线回归的假设检验 四、直线回归的区间估计
一、直线回归方程的建立
直线回归就是用来描述 一个变量如何依赖于另 一个变量
温度
天数
直线回归方程(linear regression equation)
自变量
Y^=a+bx
斜率(slope) 回归系数(regerssion coefficient)
量
平行关系
两个以上变量之间共同 受到另外因素的影响
人的身高和体重之间的关系
兄弟身高之间的关系
为了确定相关变量之间的关系，首 先应该收集一些数据，这些数据应 该是成对的，然后在直角坐标系上 描述这些点，这一组点集称为散点 图。
散点图(scatter diagram)
为了研究父亲与成年儿子身高 之间的关系，卡尔.皮尔逊测 量了1078对父子的身高。把 1078对数字表示在坐标上，如 图。用水平轴X上的数代表父 亲身高，垂直轴Y上的数代表 儿子的身高，1078个点所形成 的图形是一个散点图。它的形