空间中点线面的位置关系复习课件讲解
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第三节空间点线面的位置关系ppt课件
C．不可能平行 是异面直线相矛盾．
答案：C
D．不可能
相交
2．(2013· 东北三校联考)下列命题正确的个数为 ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面；
(
)
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． A．0 C．2 B．1 D．3
解析：①④错误，②③正确． 答案：C
第三节空间点 线面的位置关 系
考纲要求： 点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义， 并了解如下可以作为推理 依据的公理和定理。 ◆公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上 所有的点在此平面内。 ◆公理 2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 ◆公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 有一个过该点的公共直线。 ◆公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ◆定理： 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行， 那 么这两个角相等或互补。 ② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理 解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
P∈α，
且P∈β⇒
_____
α∩ β ＝ l
该点的公共直线
___________ 且P∈l
二、空间直线的位置关系 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线 平行直线：同一平面内， 没有 公共点； 1．位置关系的分类 异面直线：不同在 任何 一个平面内，没有 公共点.
1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设
两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，
由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，
从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系PPT课件(人教版)
4.在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是___直__线__B__C___.
2
课堂互动
题型剖析
题型一 空间中两直线位置关系的判定
【例1】 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是___平__行___； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是___异__面___； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是__相__交____； ④直线AB与直线B1C的位置关系是___异__面___. 解析 根据题目条件知道直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填 “相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线 “平行”.所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而 C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”.同理，直线AB与直 线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”.
或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，那么在这个平面内作
过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有
无数条；而④，也有可能相交，所以错误.
思维升华
空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线 与平面平行.在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免忽 视遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某 些具体的空间图形中，以便于作出正确判断，避免凭空臆断.
题型三 平面与平面的位置关系
【例3】 以下四个命题中，正确的命题有( A )
①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那 么这两个平面平行；
空间点直线平面之间的位置关系复习课PPT课件
空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 等角定理：
那么这两个角相等或互补．
异面直线的求法: 一作(找)二证三求
第26页/共34页
新课讲解 2.直线和平面的三种位置关系的画法
直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
a a A a //
直线与平面平行或相交于一点统称 为直线在平面外！
记为 a
异面直线a和b所成的角的范围：0 90o
第24页/共34页
b
第25页/共34页
上节回顾：
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的画法 用平面来衬托
异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 一一一那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
返回
第12页/共34页
复习引入 平面内两条直线的位置关系
相交直线
a
o
b
相交直线 （有一个公共点）
文字语言
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线.
β
图形语言
·P α
l
P
l
如果平面α和平面β有一条公共直线L ，则平面α和平面β相交 于L ，记作α∩β＝L
符号语言 P，P l,且Pl
作用：①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线第11上页/共．34页
那么这两个角相等或互补．
异面直线的求法: 一作(找)二证三求
第26页/共34页
新课讲解 2.直线和平面的三种位置关系的画法
直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
a a A a //
直线与平面平行或相交于一点统称 为直线在平面外！
记为 a
异面直线a和b所成的角的范围：0 90o
第24页/共34页
b
第25页/共34页
上节回顾：
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的画法 用平面来衬托
异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 一一一那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
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复习引入 平面内两条直线的位置关系
相交直线
a
o
b
相交直线 （有一个公共点）
文字语言
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线.
β
图形语言
·P α
l
P
l
如果平面α和平面β有一条公共直线L ，则平面α和平面β相交 于L ，记作α∩β＝L
符号语言 P，P l,且Pl
作用：①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线第11上页/共．34页
专题三小题专项2空间点线面的位置关系课件共59张PPT
中点，易知当菱形为 PBRD1 时，菱形中的锐角取得最小值，即∠PD1R 最小，设正
方体的棱长为 2，则 PD1＝RD1＝ 5，PR＝2 2，则由余弦定理，得 cos∠PD1R＝
PD212＋PDR1D·R21－D1PR2＝2×5＋55－×8 5＝15<
6－ 4
2＝cos 75°，所以∠PD1R>75°，故③不可
足 l∥n，则由 n⊥β，可得 l⊥β，所以 α⊥β，④正确。故选 D。
答案 D
考向二 异面直线所成的角
【例 2】 (1)(2021·东北三省四市联考)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝2，BC ＝4，AA1＝4 3。过 BC 的平面分别交线段 AA1，DD1 于 M，N 两点，四边形 BCNM 为 正方形，则异面直线 D1M 与 BD 所成角的余弦值为( )
答案 C
(2)，给出下列命题：
①若 m∥α，n⊂α，则 m∥n；
②若 α∩β＝m，m∥n，且 n⊄α，n⊄β，则 n∥α，n∥β；
③若 n⊥α，m⊂β，α∥β，则 m⊥n；
④α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则 m⊥n。
其中真命题的个数是( )
得 OA⊥α，OB⊥β，故 OA⊥m，OB⊥m，则 m⊥γ，又 n⊂γ，所以 m⊥n，④为真
命题。综上，真命题的个数是 3。故选 C。
答案 C
方法悟通 判断空间中点、线、面的位置关系，主要依赖四个公理、平行关系和垂直关系的 有关定义及定理、性质，具体处理时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、 线、面融入模型中，判断会简洁明了。如果要否定一个结论，只需找到一个反例即可。
A．1
B．2
C．3
D．4
答 解析 对①，若 m∥α，n⊂α，则 m∥n 或 m，n 异面，故①为假命题。对②， 案 由线面平行的判定定理知，若 α∩β＝m，m∥n，且 n⊄α，n⊄β，则 n∥α，n∥β，② 与 解 为真命题。对③，若 n⊥α，α∥β，则 n⊥β，又 m⊂β，所以 m⊥n，③为真命题。 析 对④，设 α∩γ＝a，β∩γ＝b，在 γ 内取点 O，作 OA⊥a，OB⊥b，由 α⊥γ，β⊥γ，
空间点线面位置关系(复习)-PPT
• 2. 理解线面位置关系的含义， 能解决简单的证明推理问题 。 • 3. 培养空间想象能力、 逻辑思维能力。
【知识梳理】 1.平面的性质 填一填
表示 基本性质
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上 的两点在一个平 面内,那么：
这条直线上的所有 点都在这个平面内
Al
Bl A
l
B
表示 基本性质
(√ )
一记
外一点有(
)条直线与已知直线平行.
外一点有(
)个平面与已知直线垂直.
外一点有(
)个平面与已知平面平行.
外一点有(
)条直线与已知平面垂直.
且只有一 且只有一 且只有一 且只有一
真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2013·安徽高考)在下列命题中,不是公理的是 ( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都 在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 点的公共直线 【解析】选A.因为B,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不 需要由其他判断加以证明的命题和原理,是公理.而A平行于同一个平 面的两个平面平行是性质定理而不是公理.
[提醒]
(1)三点不一定确定一个平面．当三点共线时，可有无数个平
面．
(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”，
“有且只有”有时也说成“确定”．
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
（5）异面直线所称的角
(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
【知识梳理】 1.平面的性质 填一填
表示 基本性质
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上 的两点在一个平 面内,那么：
这条直线上的所有 点都在这个平面内
Al
Bl A
l
B
表示 基本性质
(√ )
一记
外一点有(
)条直线与已知直线平行.
外一点有(
)个平面与已知直线垂直.
外一点有(
)个平面与已知平面平行.
外一点有(
)条直线与已知平面垂直.
且只有一 且只有一 且只有一 且只有一
真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2013·安徽高考)在下列命题中,不是公理的是 ( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都 在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 点的公共直线 【解析】选A.因为B,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不 需要由其他判断加以证明的命题和原理,是公理.而A平行于同一个平 面的两个平面平行是性质定理而不是公理.
[提醒]
(1)三点不一定确定一个平面．当三点共线时，可有无数个平
面．
(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”，
“有且只有”有时也说成“确定”．
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
（5）异面直线所称的角
(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
第2部分 专题3 第2讲 空间点、线、面的位置关系 课件(共79张PPT)
③平面AEF截正方体所得的截面面积为98；
④点A1与点D到平面AEF的距离相等．
A．①②
B．①④
C．①②③
D．②③④
D [∵CC1与AF不垂直，而DD1∥CC1，
∴AF与DD1不垂直，故①错误；取B1C1的中点
N，连接A1N，GN，可得平面A1GN∥平面AEF，
则直线A1G∥平面AEF，故②正确；把截面AEF
高考串讲·找规律
考题变迁·提素养
1．(2021·全国卷乙)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中
点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A．π2
B．π3
C．π4
D．π6
D [如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1， 所以异面直线PB与AD1所成角等于∠PBC1 的大小．根据P为正方形A1B1C1D1的对角线 B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共线，由 正方体易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1
又因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，而CM ⊂平面ABC，
故CM⊥平面ABD．
所以∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD＝ AC2＋AD2＝4.
在Rt△CMD中，sin∠CDM＝CCMD＝
3 4.
所以直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 43.
命题规律：以空间几何体为载体考查线线角和线面角的定义与计 算，以选择题、填空题的形式呈现，题目难度中等，分值5分．
①
②
1234
③ A．①② C．①②③
④ B．②③ D．②③④
1234
B [作出OP在MN所在平面的射影，若射影垂直于MN，则 OP⊥MN，经验证知②③满足，故选B．]
空间点线面位置关系(复习)ppt课件
[提醒]
(1)三点不一定确定一个平面．当三点共线时，可有无数个平 面．
(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”， “有且只有”有时也说成“确定”．
（5）异面直线所称的角
(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
B)
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重
合;
②两条直线可以确定一个平面; ③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内; ④若M∈α ,M∈β ,α ∩β =l,则M∈l. A.1 B.2 C.3 D.4
5．(2014· 广东高考)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满 足 l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是 A．l1⊥l4 B．l1∥l4 ( )
A,B,C三点不共线 ⇒有且只有一个平 面α,使A∈α, B∈α,C∈α
公理3
如果不重合的两 个平面有一个公 共点,那么它们 有且只有：
P ⇒ P
α∩β=l, 且P∈l
一条过这个点的公 共直线
• 2空间两条直线的位置关系:
①位置关系分类:
相交 平行 任何一个平面 ②基本性质4和等角定理:
2．(2015·江苏高考)已知 l，m 是两条不同的直线，α，β 是两 个不同的平面，下列命题： ①若 l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则 α∥β； ②若 l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则 l∥m； ③若 α∥β，l∥α，则 l∥β； ④若 l⊥α，m∥l，α∥β，则 m⊥β. 其中真命题________( ②④ 写出所有真命题的序号)．
空间点线面位置关系整理 PPT
4．(2011·高考江苏卷)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F 分别是 AP，AD 的中点．
求证：(1)直线 EF∥平面 PCD； (2)平面 BEF⊥平面 PAD.
证明 (1)如图，在△PAD 中，因为 E，F 分别为 AP，AD 的中 点，所以 EF∥PD. 又因为 EF⊄平面 PCD，PD⊂平面 PCD， 所在直线 EF∥平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB＝AD，∠BAD＝60 °，所以△ABD 为正三 角形． 因为 F 是 AD 的中点，所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD，BF⊂平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF⊂平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面平行四边形 ABCD 中， 因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点． 又 M 为 PD 的中点，所以 PB∥MO. 因为 PB⊄平面 ACM，MO⊂平面 ACM， 所以 PB∥平面 ACM.
(2)证明 因为∠ADC＝45°，且 AD＝AC＝1， 所以∠DAC＝90°，即 AD⊥AC. 又 PO⊥平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD， 所以 PO⊥AD.而 AC∩PO＝O， 所以 AD⊥平面 PAC. (3)解 取 DO 中点 N，连接 MN，AN. 因为 M 为 PD 的中点， 所以 MN∥PO，且 MN＝12PO＝1. 由 PO⊥平面 ABCD， 得 MN⊥平面 ABCD.
(3)面面垂直的判定方法： ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
2、垂直关系得转化
专题四 空间角的求法 1．空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角 以及二面角，这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位 置关系进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深 刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几 何的知识熟练解题，空间角的题目一般都是各种知识的交汇点， 因此，它是高考重点考查的内容之一，应引起足够重视．
空间点 直线 平面的位置关系_课件
精品 课件
高中数学必修2
第八章 立体几何初步
空间点、直线、平面的位置关系
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
掌握平面的画法和表示方 法 掌握点、直线、平面关系的符号表 示 理解并掌握平面的三个基本事实和推 论 理解并掌握点、直线、平面的位置关系并会用符号语言表 示
教学重点
掌握点、直线、平面关系的符号表 示理解并掌握平面的三个基本事实和推 论理解并掌握点、直线、平面的位置关系并会用符号语言表 教学示难点
平行直线 异面直线
②从是否共面的角
度 不同在任何一个平面内---------异面直线 相交直线 在同一平面内--------
平行直线
空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三 种
位置关系 相交 平行 异面
公共点个数 只有一个
没有 没有
是否共面 共面 共面 不共面
(1)一支铅笔所在的直线与一个作业本 所在的平面，可能有几种关系？
不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结 论
不共面的四点可以确定四个平面，如 图
用符号表示下列语句，并画出相应的图形 ： （1）点A在平面a内，点B在平面a外； （2）直线a经过平面a外的一点M； （3）直线a既在平面a内，又在平面β内。
平面的基本性质与推 论
理解并掌握点、线、面位置关系的符号表 示 理解并掌握三个基本事实和推 论
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中 抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
平面的概念
桌面 黑板面 平静的水面
平面的形象
几何里的平面是无限延展的.
平面的表示方法
1、平面是无限延展 （但常用平面的一部分表示平面 的2、画法：我们常用矩形）的直观图，即平行四边形表示平 面
高中数学必修2
第八章 立体几何初步
空间点、直线、平面的位置关系
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
掌握平面的画法和表示方 法 掌握点、直线、平面关系的符号表 示 理解并掌握平面的三个基本事实和推 论 理解并掌握点、直线、平面的位置关系并会用符号语言表 示
教学重点
掌握点、直线、平面关系的符号表 示理解并掌握平面的三个基本事实和推 论理解并掌握点、直线、平面的位置关系并会用符号语言表 教学示难点
平行直线 异面直线
②从是否共面的角
度 不同在任何一个平面内---------异面直线 相交直线 在同一平面内--------
平行直线
空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三 种
位置关系 相交 平行 异面
公共点个数 只有一个
没有 没有
是否共面 共面 共面 不共面
(1)一支铅笔所在的直线与一个作业本 所在的平面，可能有几种关系？
不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结 论
不共面的四点可以确定四个平面，如 图
用符号表示下列语句，并画出相应的图形 ： （1）点A在平面a内，点B在平面a外； （2）直线a经过平面a外的一点M； （3）直线a既在平面a内，又在平面β内。
平面的基本性质与推 论
理解并掌握点、线、面位置关系的符号表 示 理解并掌握三个基本事实和推 论
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中 抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
平面的概念
桌面 黑板面 平静的水面
平面的形象
几何里的平面是无限延展的.
平面的表示方法
1、平面是无限延展 （但常用平面的一部分表示平面 的2、画法：我们常用矩形）的直观图，即平行四边形表示平 面
高考数学一轮复习 7.3 空间点、线、面之间的位置关系精品课件 理 新人教A版
∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH. ∴ AH = CG=3，即AH:HD=3:1.
HD GD
（2）证明：∵EF∥GH，且
EF AC
=
1，
3GH AC=1，4∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形.
令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH ⊂平面ABD， P∈FG，FG ⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
.
2.符号语言与数学语言的关系
数学符号语言 A∈a A∈ a A∈a
A∈ a
a⊆α
a∩b=A
数学表达语言 点A在直线a上 点A在直线a外 点A在平面α内 点A在平面α外 直线a在平面α内 直线a,b相交于点A
α∩β=a
平面α,β相交于直线a
二、空间两条直线的位置关系
1.空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面
考点五 异面直线所成的角
在空间四边形ABCD中， AB=CD且其所成的角 是60°，点M,N分别是 BC,AD的中点.求直线 AB与MN所成的角.
【分析】 本题首先要考虑将题目中的直线AB与 CD所成的角是60°反映在图形上 ，故要考虑添加辅 助线，通常取中点将其中的直线进行平移，从而得解.
【解析】取AC的中点P，连结PM,PN，则有
锐角(叫或做直异角面) 直
线a与b所成的角(或夹角).
三、空间直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种： （1）直线在平面内： 有无数个公共点 ；
（2）直线与平面相交： 有且只有一个公共点 ；
（3）直线与平面平行： 没有公共点 ，
直线与平面相交或平行的情况统称 直线在平面外 .
四、平面与平面的位置关系
PM∥AB，且PM= 12AB.PN∥CD，且PN=
HD GD
（2）证明：∵EF∥GH，且
EF AC
=
1，
3GH AC=1，4∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形.
令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH ⊂平面ABD， P∈FG，FG ⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
.
2.符号语言与数学语言的关系
数学符号语言 A∈a A∈ a A∈a
A∈ a
a⊆α
a∩b=A
数学表达语言 点A在直线a上 点A在直线a外 点A在平面α内 点A在平面α外 直线a在平面α内 直线a,b相交于点A
α∩β=a
平面α,β相交于直线a
二、空间两条直线的位置关系
1.空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面
考点五 异面直线所成的角
在空间四边形ABCD中， AB=CD且其所成的角 是60°，点M,N分别是 BC,AD的中点.求直线 AB与MN所成的角.
【分析】 本题首先要考虑将题目中的直线AB与 CD所成的角是60°反映在图形上 ，故要考虑添加辅 助线，通常取中点将其中的直线进行平移，从而得解.
【解析】取AC的中点P，连结PM,PN，则有
锐角(叫或做直异角面) 直
线a与b所成的角(或夹角).
三、空间直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种： （1）直线在平面内： 有无数个公共点 ；
（2）直线与平面相交： 有且只有一个公共点 ；
（3）直线与平面平行： 没有公共点 ，
直线与平面相交或平行的情况统称 直线在平面外 .
四、平面与平面的位置关系
PM∥AB，且PM= 12AB.PN∥CD，且PN=
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思维启迪
解析
探究提高
∵AC∩BD＝M，∴M∈平面
BDC1且M∈平面A1C，
∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M， ∴O∈C1M，即C1，O，M三点 共线．
题型分类·深度剖析
变式训练1 如图所示, 正方体ABCD— A1B1C1D1中，E、F分 别是AB和AA1的中 点．求证：
证明 (1)连接EF，CD1，A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点， ∴EF∥BA1.
1．公理的作用 公理1的作用是判断直 线是否在某个平面内； 公理2及其推论给出了 确定一个平面或判断 “直线共面”的方法；公 理3的作用是如何寻找 两相交平面的交线以及 证明“线共点”的理论依 据；平行公理是对初中 平行线的传递性在空间 中的推广．
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
2．直线与直线的位置关系
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E、C、D1、F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE与D1F必相交，设交点为P， 则由 P∈CE，CE 平面 ABCD，得 P∈平面
(1)E、C、D1、F四点 共面； (2)CE、D1F、DA三线 共点．
ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点．
边BC、CD的中点． ∴BC与AD是异面直线．
(1)求证：BC与AD是 (2)如图，连接AC，BD，
异面直线；
则EF∥AC，HG∥AC，
(2)求证：EG与FH相 因此EF∥HG；同理EH∥FG，
交．
则EFGH为平行四边形．
又EG、FH是▱EFGH的对角线，
∴EG与FH相交． 动 画 展 示
题型分类·深度剖析
理3的作用是如何寻找 两相交平面的交线以及 证明“线共点”的理论依 据；平行公理是对初中 平行线的传递性在空间
异面直线 a，b 所成的角(或夹角)．
中的推广．
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
②范围：0，π2. 3．直线与平面的位置关系有 平行、
相交 、 在平面内 三种情况． 4．平面与平面的位置关系有 平行 、
下：连接MN、
A1C1、AC.
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点， ∴MN∥A1C1. 又∵A1A綊C1C， ∴A1ACC1为平行四边形， ∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，
∴A、M、N、C在同一平面内，故
AM和CN不是异面直线．
题型分类·深度剖析
题型二
空间两直线的位置关系
【例2】 如图所示，正方体 ABCD—A1B1C1D1中，M、N分 别是A1B1、B1C1的中点．问：
相交 两种情况． 5．平行公理
平行于同一条直线 的两条直线互相 平行．
2．正确理解异面直线的 定义：异面直线不同 在任何一个平面内， 没有公共点．不能错 误地理解为不在某一 个平面内的两条直线 就是异面直线．
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
6．定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角 相等或互补 .
2．正确理解异面直线的 定义：异面直线不同 在任何一个平面内， 没有公共点．不能错 误地理解为不在某一 个平面内的两条直线 就是异面直线．
题型分类·深度剖析
题型一
平面基本性质的应用
【例1】在正方体ABCD— A1B1C1D1中，对角线A1C与平 面BDC1交于点O，AC，BD交 于点M，求证：点C1，O，M 共线．
空间点、直线、平面 之间的位置关系
第二章 立体几何
要点梳理
1．平面的基本性质 公理 1：如果一条直线上的 两点 在一 个平面内，那么这条直线上所有的点都 在这个平面内． 公理 2：经过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面．(即可以确定一个平 面) 公理 3：如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么它们有且只有 一条 通过 这个点的公共直线．
题型三
异面直线所成的角
【例3】 正方体ABCD— A1B1C1D1中， (1)求AC与A1D所成角的大小； (2)若E、F分别为AB、AD的 中点，求A1C1与EF所成角的 大小．
1．公理的作用
(1)位置关系的分类
共面直线
平行 相交
异面直线：不同在 任何 一个平面内
公理1的作用是判断直 线是否在某个平面内； 公理2及其推论给出了 确定一个平面或判断 “直线共面”的方法；公
(2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过 空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b， 把 a′与 b′所成的锐角(或直角) 叫作
(1)AM和CN是否是异面直线？ 说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？ 说明理由．
思维启迪
解析
探究提高
(2)是异面直线．证明如下： ∵ABCD—A1B1C1D1是正方体， ∴B、C、C1、D1不共面． 假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面 α，使 D1B 平面 α，
CC1 平面 α， ∴D1、B、C、C1∈α，与
思维启迪
解析
探究提高
如图所示，
∵A1A∥C1C，
∴A1A，C1C 确 定平面 A1C.
∵A1C 平面 A1C，O∈A1C， ∴O∈平面A1C，而O＝平面 BDC1∩线A1C， ∴O∈平面BDC1， ∴O在平面BDC1与平面A1C的 交线上．
题型分类·深度剖析
题型一
平面基本性质的应用
【例1】在正方体ABCD— A1B1C1D1中，对角线A1C与平 面BDC1交于点O，AC，BD交 于点M，求证：点C1，O，M 共线．
动画展示
题型分类·深度剖析
题型二
空间两直线的位置关系
【例2】 如图所示，正方体 ABCD—A1B1C1D1中，M、N分 别是A1B1、B1C1的中点．问：
(1)AM和CN是否是异面直线？ 说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？ 说明理由．
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解析
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解 (1)不是异面
直线．理由如
ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾．
∴假设不成立，即D1B与CC1是 异面直线．
题型分类·深度剖析
变式训练2 已知空间 证明 (1)假设BC与AD共面，不妨设它们
四边形ABCD中，E、 所共平面为α，则B、C、A、D∈α.
H分别是边AB、AD ∴四边形ABCD为平面图形，这与四边形
的中点，F、G分别是 ABCD为空间四边形相矛盾．