湖南省新田一中高中数学 32 函数模型及其应用课后习题(无答案) 新人教A版必修1

湖南省新田一中高中数学必修二课时作业：3.3.3、3.3.4基础达标1．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是 ( )． A.10 B ．2 2 C. 6 D ．2解析 |OP |最小值即为O 到直线x ＋y －4＝0的距离，∴d ＝|－4|2＝2 2. 答案 B2．过点(1，2)且与原点的距离最大的直线方程是( )．A ．2x ＋y －4＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0 解析 当直线与点(1，2)和(0，0)的连线垂直时，距离最大，设A (1，2)，O (0，0)，则k OA ＝2－01－0＝2. 故所求直线的斜率为－12. 由点斜式得y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案 B3．若动点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为( )． A ．3 2 B ．2 3 C ．3 3D ．4 2 解析 根据已知条件可以知道，AB 的中点M 一定在处于l 1，l 2之间且与l 1，l 2距离相等的直线上，即M 在直线x ＋y －6＝0上，M 到原点距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，由点到直线的距离公式得d ＝|－6|2＝3 2. 答案 A4．(2020·温州高一检测)若点(2，－k )到直线5x ＋12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析 d ＝|5×2＋12×（－k ）＋6|52＋122＝|16－12k |13，由题意知|16－12k |13＝4，即|4－3k |13＝1，∴k ＝－3或k ＝173. 答案 －3或1735．两直线l 1：3x ＋4y ＋5＝0，l 2：6x ＋by ＋c ＝0间的距离为3，则b ＋c 等于________．解析 由题意可知：l 1∥l 2，则36＝4b ≠5c ，即b ＝8，c ≠10.又由于l 1与l 2间的距离为3，则|c －10|62＋82＝3，得c ＝－20或40，则b ＋c ＝－12或48. 答案 －12或486．直线l 在x 轴上的截距为1，又有两点A (－2，－1)，B (4，5)到l 的距离相等，则l 的方程为________．解析 显然l ⊥x 轴时符合要求，此时l 的方程为x ＝1；设l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵点A ，B 到l 的距离相等，∴|－2k ＋1－k |k 2＋1＝|4k －5－k |k 2＋1. ∴|1－3k |＝|3k －5|，∴k ＝1，∴l 的方程为x －y －1＝0.综上，l 的方程为x ＝1，或x －y －1＝0.答案 x ＝1，或x －y －1＝07．如图所示，已知A (－2，0)，B (2，－2)，C (0，5)，过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 将△ABC 分成两部分，求此两部分面积的比．解 法一 由已知可得k AB ＝－12，过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y ＝0.直线AC 的方程为5x －2y ＋10＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，5x －2y ＋10＝0，得直线l 与AC 的交点坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，56，所以|CP ||CA |＝|x P ||x A |＝56， 所以两部分的面积之比为5262－52＝2511. 法二 由两点式得直线AB 的方程为y ＋22＝x －2－4，即x ＋2y ＋2＝0.设过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y ＋m ＝0，将点M (－4，2)的坐标代入得m ＝0，所以过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y ＝0，此直线将三角形的面积分成两部分，其中△CPQ 的边PQ 上的高d 1＝105＝25，△ABC 的边AB 上的高d 2＝125＝1255，△CPQ 的面积与△ABC 的面积之比为S △CPQ S △ABC ＝|PQ |·d 1|AB |·d 2＝d 21d 22＝2536， 所以两部分的面积之比为25361－2536＝2511. 能力提升8．x ，y 满足x ＋y ＋1＝0，求x 2＋y 2－2x －2y ＋2的最小值为( )． A ．2 B.92C ．3D ．4 解析 原式可化为(x －1)2＋(y －1)2，其几何意义为点P (x ，y )和点Q (1，1)间距离的平方，而点(x ，y )在直线x ＋y ＋1＝0上．设d 为Q 点到直线x ＋y ＋1＝0的距离，由|PQ |≥d 得 （x －1）2＋（y －1）2≥|1＋1＋1|2， 即x 2＋y 2－2x －2y ＋2≥92.故所求最小值为92. 答案 B9．若直线被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°，其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)解析 两平行线间的距离为d ＝|3－1|x ＋1＝2，由图知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°. 答案 ①⑤10．直线l 1过点A (0，1)，l 2过点B (5，0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程．解 (1)若直线l 1，l 2的斜率存在，设直线的斜率为k ，由斜截式得l 1的方程y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，由点斜式可得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0，因为直线l 1过点A (0，1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|－1－5k |（－1）2＋k 2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125， ∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.(2)若l 1、l 2的斜率不存在，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上所述，满足条件的直线方程有两组：l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0；或l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.。

第3章 函数的应用★达标练习1. 函数32)(+-=x x f x 的零点个数是（ ）.A.0B.1C.2D.32.设()833-+=x x f x ，用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()()025.1,05.1,01<><f f f ，则方程的根落在区间（ ）.A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定5.偶函数)(x f 在[0，a ]（0>a ）上是单调函数，且0)()0(<a f f ，则方程0)(=x f 在区间[a -，a ]内根的个数为 .6. 四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程()i f x （1,2,3,4i =）关于时间x （1x >）的函数关系是212324(),()2,()l o g ,()2x f x x f x x f x x f x ====，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是 .7.已知函数312)(--+=x x x f . （1）求函数)(x f y =的定义域；（2）若函数a x f y +=)(在区间（-2，2）上有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围.8.甲商店某种商品9月份（30天，9月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）函数关系如图（一）所示，该商品日销售量Q （件）与时间t （天）函数关系如图（二）所示.（1）写出：图（一）表示的销售价格与时间的函数关系式)(t f P =，图（二）表示的日销售量与时间的函数关系式)(t g Q =及日销售金额M (元) 与时间的函数关系)(t h M =；（2）乙商店销售同一种商品，在９月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t（天）之间的函数关系为22102750N t t =--+（0>t ），比较9月份每天两商店销售金额的大小.第三章函数的应用。

高中数学 3-2-1函数模型及其应用同步练习 新人教A 版必修1双基达标限时20分钟1．当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )． A ．y ＝100x B ．y ＝log 100x C ．y ＝x 100D ．y ＝100x解析 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝100x增长速度最快． 答案 D2．y 1＝2x，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，当2＜x ＜4时，有( )． A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 2＞y 3＞y 1解析 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y 2＝x 2，y 1＝2x，y 3＝log 2x ，故y 2＞y 1＞y 3. 答案 B3．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )． A ．300只 B ．400只 C ．500只 D ．600只解析 由x ＝1时，y ＝100，得a ＝100把x ＝7代入，得y ＝100log 28＝300. 答案 A4．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·(0.5)x＋b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1＝a1＋b ，1.5＝a 2＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x＋2，所以3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75 (万件)． 答案 1.75万件5．假设某商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A ，那么广告效应D ＝a A －A ，当A ＝________时，取得最大广告效应，此时收入R ＝________. 解析 D ＝a A －A ＝－(A －a2)2＋a 24，∴当A ＝a 2，即A ＝a 24时，D 最大．此时R ＝a A ＝a 22.答案a 24 a 226．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案： 甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．[来源:学。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）一、选择题 1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ＜0，x (x －4)，x ≥0，则函数f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4 2．(2013·长沙质检)已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )的对应表 x 1 2 3 4 5 6 f (x ) 136.13 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 则函数f (x )存在零点的区间有( )A ．区间[1,2]和[2,3]B ．区间[2,3]和[3,4]C ．区间[2,3]，[3,4]和[4,5]D ．区间[3,4]，[4,5]和[5,6]3．(2011·高考课标全国卷)在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0B.⎝⎛⎭⎫0，14C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎝⎛⎭⎫12，34 4．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．(2013·郑州市质量检测)已知函数f (x )＝(15)x －log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0 ＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0二、填空题6．函数f (x )＝(x －2)ln x x －3的零点个数是________． 7．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0可得 其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．8．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式 af (－2x )＞0的解集是 ________．三、解答题9．判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]；(2)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]．10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.求证：存在x 0∈(0，12)，使f (x 0)＝x 0.一、选择题1．(2012·高考湖南卷)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π] 时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π) 且x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )＞0. 则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．82．(2013·潍坊调研)若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x ) 的图象上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ， x >0－x 2－4x ， x ≤0，则 此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对二、填空题3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1， x ＞0，－x 2－2x ， x ≤0， 若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．4．(2013·湖南十校联考)已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋54＝－f ⎝⎛⎭⎫x －54，当x ∈[－1,4]时，f (x )＝ x 2－2x ，则函数f (x )在区间[0,4]上的零点组成的集合为________；在区间[0，2 013]上的 零点的个数为________．三、解答题5．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的取值范围．。

湖南省新田一中高中数学必修一 3-2 函数模型及其应用课后习题（无答案）一、选择题1．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费．某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水为( )A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨2．某种商品2020年提价25%,2020年欲恢复成原价，则应降价( )A．30% B．25%C．20% D．15%3．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为( )A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝144.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A．10元B．20元C．30元 D.403元5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100二、填空题6.有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为________．(围墙厚度不计)7．(2020·高考福建卷)某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图(1)，则最优设计方案如图(2)，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3)，则铺设道路的最小总费用为________．8．现有含盐7%的食盐水为200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6% 以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是________．三、解答题9．某企业生产一种产品时，固定成本为5 000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2 500元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入的函数为R(x)＝5x －12x2(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)．(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量为多少时，企业所得的利润最大？10. (2020·高考湖南卷)如图，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v>0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S成正比，比例系数为110；(2)其他面的淋雨量之和，其值为12.记y为E移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时， (1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．一、选择题1．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000 元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人 出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )A ．2 800元B ．3 000元C ．3 800元D ．3 818元2．(2020·江门质检)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销 售100元国家要征附加税x 元(叫做税率x %)，则每年销售量将减少10x 万瓶，如果要 使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x 的最小值为( )A ．2B ．6C ．8D ．103．我国从德国引进一套新型生产技术设备，已知该设备的最佳使用年限是使“年均消 耗费用最低”的年限(年均消耗费用＝年均成本费用＋年均保养费)，该设备购买的总费用为50 000元，使用中每年的专业检测费用为6 000元，前x 年的总保养费y 满足y ＝ ax 2＋bx ，已知第一年的总保养费为1 000元，前两年的总保养费为3 000元，则这种设备的最佳使用年限为________年．4．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后， 血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交 通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少 量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)三、解答题5．(2020·高考湖南卷)某企业接到生产3 000台某产品的A 、B 、C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2、2、1(单位：件)．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别 生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k (k 为 正整数)．(1)设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A 、B 、C 三种部件生产需要的时间；(2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最 短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．。

基础达标1．下列命题中错误的是 ( )．A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误．答案 D2．设l是直线，α、β是两个不同平面 ( )．A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α、β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．答案 B3．(2012·淄博高一检测)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A­BCD中，下列命题正确的是 ( )．A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ADC⊥平面ABC.答案 D4．一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面的距离分别是2 cm，3 cm，这条线段与平面α所成的角是________．解析如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.答案 30°5．(2012·琼海高一检测)在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，BC ＝CD ＝2，AB ⊥AD ，沿BD 将△ABD 折起，使得AC ＝1，则二面角A ­BD ­C 的平面角的正弦值为________．解析 在平面四边形ABCD 中，取BD 的中点E ，由条件知A 、E 、C 共线，且为BD 的垂直平分线，又在△ABD 中，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝1，∴BD ＝2，∴AE ＝12BD ＝22；在△CBD 中，BC ＝DC ＝2， ∴CE ＝62，沿BD 折叠后，∠AEC 为二面角A ­BD ­C 的平面角，又AC ＝1 ∴在△AEC 中，AE 2＋AC 2＝CE 2，∠EAC ＝90°，∴sin ∠AEC ＝AC EC ＝26＝63. 答案63 6．如图所示，三棱锥P ­ABC 的底面在平面α上，且AC ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ，点P ，A ，B 是定点，则动点C 运动形成的图形是________．解析 ∵平面PAC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，AC ⊂平面PAC ，且平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，∴AC ⊥平面PBC .又∵BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，∴动点C 运动形成的图形是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点． 答案 一个圆，但要去掉两个点7．如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .(1)证明：BD ⊥平面PAC ；(2)若PA ＝1，AD ＝2，求二面B ­PC ­A 的正切值．(1)证明 ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD .同理由PC ⊥平面BDE 可证得PC ⊥BD .又PA ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面PAC .(2)解 如图，设BD 与AC 交于点O ，连接OE .∵PC ⊥平面BDE ，BE 、OE ⊂平面BDE ，∴PC ⊥BE ，PC ⊥OE .∴∠BEO 即为二面角B ­PC ­A 的平面角．由(1)知BD ⊥平面PAC .又OE 、AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥OE ，BD ⊥AC .由矩形ABCD 为正方形，∴BC ＝AC ＝22，BO ＝12BD ＝ 2. 由PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD 得PA ⊥BC .又BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB .而PB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥PB .在Rt △PAB 中，PB ＝PA 2＋AB 2＝5，在Rt △PAC 中，PC ＝PA 2＋AC 2＝3.在Rt △PBC 中，由PB ·BC ＝PC ·BE 得BE ＝253. 在Rt △BOE 中，OE ＝BE 2－BO 2＝23. ∴tan ∠BEO ＝BO OE＝3，即二面角B ­PC ­A 的正切值为3.能力提升8．一个二面角的两个面分别经过另一个二面角的两个面的垂线，那么这两个二面角的关系是 ( )．A ．互余B ．互补C ．无法确定D ．互余或互补解析 如图，构造正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，在二面角B ­CC 1­D 1和二面角A ­A 1D 1­C 1中，平面A 1C 1⊥平面BC 1，平面A 1D ⊥平面CD 1，且A 1D 1⊥平面CD 1，平面AD 1转动时保持垂直关系不变，而二面角的大小改变，比如二面角E ­A 1D 1­C ，∴这两个二面角关系无法确定，因此本题选C.答案 C9．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．解析 过点K 作KM ⊥AF 于M 点，连接DM ，易得DM ⊥AF ，与折前的图形对比，可知由折前的图形中D 、M 、K 三点共线，且DK ⊥AF ，于是△DAK ∽△FDA ， ∴AK AD ＝AD DF ，∴t 1＝1DF ，∴t ＝1DF. ∵DF ∈(1，2)，∴t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 10．如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的菱形，∠DAB ＝60°，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD . (1)求证：AD ⊥PB ；(2)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ？并证明你的结论．(1)证明 设G 为AD 的中点，连接PG ，BG ，如图．∵△PAD 为正三角形，∴PG ⊥AD .在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，G 为AD 的中点，∴BG ⊥AD .又BG ∩PG ＝G ，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.(2)解当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.设F为PC的中点，则在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E.∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.。

3.2.2 函数模型的应用实例[课时作业] [A 组 基础巩固]1．据调查，某地铁的自行车处在某星期日的库存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车数x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( ) A ．y ＝0.1x ＋800(0≤x ≤4 000) B ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000) C ．y ＝－0.1x ＋800(0≤x ≤4 000) D ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)解析：根据题意总收入分为两部分：普通车存车费为0.2x 元，变速车费用(4 000－x )×0.3元．∴y ＝0.2x ＋1 200－0.3x ＝－0.1x ＋1 200，故选D.答案：D2．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (副)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副解析：由5x ＋4 000≤10x ，解得x ≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．答案：D3.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A ．310元B ．300元C ．290元D ．280元解析：设函数模型为y ＝kx ＋b ，将(1,800)，(2,1300)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝8002k ＋b ＝1 300∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝500b ＝300∴y ＝500x ＋300令x ＝0时y ＝300，故选B.答案：B4．用长度为24 m 的材料围成一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，隔墙长度应为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：设隔墙长度为x m ，则矩形的一边长为x m ，另一边长为24－4x 2m ，∴S ＝x ·24－4x2＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18(0<x <6) ∴当x ＝3时，S 取最大值．故选A.答案：A5．如图表示人的体重与年龄的关系，则( )A ．体重随年龄的增长而增加B ．25岁之后体重不变C ．体重增加最快的是15岁至25岁D ．体重增加最快的是15岁之前解析：∵函数不是增函数，∴A 错；[25,50]上为增函数，故B 错；[0,15]上线段增长比[15,25]上线段增长快．答案：D6．某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和支付费用如表所示：A m 3，那么只付基本费3元和每户每月的定额保险费C 元；若用气量超过A m 3，那么超出部分付超额费，每立方米为B 元．又知保险费C 元不超过5元，根据上述条件及数据求出A 的值为________，B 的值为________．解析：一月：4＝3＋C ，∴C ＝1元，由此可判断二月、三月用气量超过A m 3. 二月：14＝(25－A )B ＋C+3 三月：19＝(35－A )B ＋C+3 解得A ＝5， B ＝12.答案：5127．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．解析：L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元． 答案：2 5008．某汽车油箱中存油22 kg ，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩余量y (kg)与流出时间x (分钟)之间的函数关系式为________． 解析：流速为22200＝11100，x 分钟可流11100x .答案：y ＝22－11100x9．某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：前8年在正常情况下，该产品产量将平稳增长．已知2010年为第一年，前4年年产量f (x )(万件)如表所示：(1)画出2010～2013(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求之； (3)2016年(即x ＝7)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2016年的年产量应为多少？解析：(1)如图所示(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝43a ＋b ＝7，解得a ＝1.5，b ＝2.5，∴f (x )＝1.5x ＋2.5.检验：f (2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1.f (4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2016年的年产量为f (7)＝1.5×7＋2.5＝13(万件)，又年产量要减少30%，即为13×70%＝9.1(万件)，即2016年的年产量应为9.1万件．10．某DVD 光盘销售部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，每张DVD 光盘的进价是6元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：(1)并写出其定义域；(2)问这个销售部销售的DVD 光盘销售单价定为多少时才能使日均销售利润最大？最大销售利润是多少？解析：(1)根据图表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40张， ∴P (x )＝480－40(x －7)＝－40x ＋760， 由x >0且－40x ＋760>0，得0<x <19， ∴P (x )关于x 的函数关系式为P (x )＝－40x ＋760(0<x <19)．(2)设日均销售利润为y 元，于是可得y ＝(－40x ＋760)(x －6)－300＝－40x 2＋1 000x －4 860 ＝－40(x －252)2＋1 390，当x ＝12.5时，y 有最大值，最大值为1 390元．故只需将销售单价定为12.5元，就可使日均销售利润最大，最大为1 390元．[B 组 能力提升]1．甲、乙两个工厂2014年1月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加且每月增加的产值相等，乙厂的产值逐月增加且每月增长的百分率相同，已知2014年12月份两厂的产值相等，则2014年7月份产值高的工厂是( )A ．甲厂B ．乙厂C ．产值一样D ．无法确定解析：可考虑指数函数模型与一次函数模型的图象比较．由题可知甲厂产值是一次函数模型增长，而乙厂产值是指数函数模型增长，可将它们的大致图形画出．故7月份时甲厂产值高．答案：A2.如图所示，开始时桶1中有a 升水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a ·e－nt，那么桶2中的水就有y 2＝a －a e－nt.假设经过5分钟桶1和桶2的水相等，则再过多少分钟桶1中的水只有a8( )A ．7分钟B ．8分钟C ．9分钟D ．10分钟解析：由题意：a e－5n＝a －a e－5n，e －n＝(12)，再经过t 分钟，桶1中的水只有a 8，得a e －n (t ＋5)＝a 8，解得t ＋55＝3，即t ＝10，故选D. 答案：D3.如图所示，表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系．有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ，晚到1 h ；②骑自行车者做变速运动，骑摩托车者做匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h 后追上骑自行车者．其中正确信息的序号是________．解析：观察图象，先看时间易知①正确．骑摩托车者行驶的路程和时间的函数图象是直线，所以为匀速运动；而骑自行车行驶的路程与时间的函数图象为折线，所以是变速运动，因此②正确，图象交点的横坐标为4.5，故③正确．答案：①②③4．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：①如不超过200元，则不予优惠；②如超过200元但不超过500元的按标价给予9折优惠；③如超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分，给予8折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样的商品，则应付款________元． 解析：由题意可知，设消费金额为x 元，应付款为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x≤200，0.9x ，200＜x≤500，－＋0.9×500，x ＞500， 由①168＜200所以第一次购物的消费金额为168元． ②200＜423≤500第二次购物的消费金额为4230.9＝470(元)．所以x ＝168＋470＝638＞500，y ＝0.8×(638－500)＋0.9×500＝560.4(元)．答案：560.45．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解析：(1)由表中数据知，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系不可能是常数函数，从而用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t，Q ＝a ·log b t 中的任意一个描述时都应有a ≠0，此时上述三个函数均为单调函数，这与表格中所提供的数据不符合，所以选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述，把表格中的三组数据分别代入Q ＝at 2＋bt ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.所以描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系为函数Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)当t ＝－－322×1200＝150(天)时，西红柿种植成本最低为Q ＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/102kg)．6．有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln aa －x，x≤6，x －4.4x －4，x>6描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N ＋)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)求证：当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]，当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，试确定相应的学科． 解析：(1)当x ≥7时，f (x ＋1)－f (x )＝0.4－－，而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)(x －4)>0， 故函数f (x ＋1)－f (x )单调递减．故当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降的． (2)由题意，可知0.1＋15ln aa －6＝0.85，整理得a a －6＝e 0.05，解得a ＝e0.05e0.05－1·6＝20.50×6＝123∈(121,127]．由此可知，该学科为乙学科．。

024 测标题 §3.2函数模型及其应用(二)一．选择题1.某种商品2007年提价25%，2008年要恢复原价，则应降价 ( ) A.30% B.25%C.20%D.15%2.某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，则这种细菌由一个繁殖成4096个需经过的时间是 ( ) A.12小时 B.4小时 C.3小时 D.2小时3.今有一组数据，如下表所示，则近似满足下列数据的函数是 ( )x 1 2 3 4 5 y356.999.0111 A.指数函数 B.反比例函数 C.一次函数D.二次函数4. 点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y与点P 走过的路程x 的关系如图，那么点P 所走的图形是 ( )PABCDO POOOPP l xl 2y tO5. 如下图所示，点Ｐ在边长为1的正方形的边上运动， 设M 是CD 边的中点，则当点Ｐ沿着A —B —C —M 运动时， 以点Ｐ经过的路程x 为自变量，三角形APM 的面积函数的图象 形状大致是（ ）二．填空题6.1992年底，世界人口已达到54.8亿，若世界人口的年平均增长率为x ，2008年底人口数为y 亿，那么y 与x 之间的函数关系为_______________．7.某种动物繁殖数量y （只）与时间x(年)的关系为y=alog 2(x+1),设这种动物第1年有100只，到第7年它们发展到_____________只.8.芒幕电子公司7年来生产VCD 总产量y(万台，即前t 年年产量的和)与时间t(年)的函数关系如图所示，下列四种说法：其中正确的说法是__________．①前3年中，总产量增长的速度越来越快； ②前3年中，总产量增长的速度越来越慢;③第3年后，这种产品停止生产； ④第3年后，总产量保持为100万台．三．解答题9.某自来水厂的蓄水池有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨，其中0≤t≤24．(1)从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最小水量是多少？(2)若蓄水池中的水量少于80吨时，就全出现供水紧张现象，请问，在一天24小时内，有几小时出现供水紧张现象？37tO100y③答案：CCA 6. y=54.8(1+x)167.300 8.②③④9. （1）6小时，蓄水池中的存水量最少为40吨。

1.函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点.(2)几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与________有交点⇔函数y＝f(x)有________.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________________，那么函数y＝f(x)在区间__________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个______也就是f(x)＝0的根.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数Y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点无交点零点个数3.对于在区间[a，b]上连续不断且________________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间____________，使区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.题型一判断函数在给定区间上零点的存在性例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3].题型二函数零点个数的判断例2若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________.题型三二次函数的零点分布问题例3已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围.题型四 数形结合思想在函数零点问题中的应用例4已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0). (1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.一、选择题1.已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]上的图象如图所示，给出下列四个选项，其中不正确的是 ( )A.函数f [g (x )]的零点有且仅有6个B.函数g [f (x )]的零点有且仅有3个C.函数f [f (x )]的零点有且仅有5个D.函数g [g (x )]的零点有且仅有4个2.方程|x 2－2x |＝a 2＋1 (a >0)的解的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 3. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )A.(－2，－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1,2)二、填空题 4.已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________.5.已知函数y ＝f (x ) (x ∈R )满足f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则 y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为________.6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0， 若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.7.设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为____________.三、解答题8.(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围.9.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a2，3a >2c >2b ，求证： (1)a >0且－3<b a <－34； (2)函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|<574.。

3.2.2函数模型的应用实例班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v (单位:米/秒)和燃料的质量M (单位:千克)、火箭(除燃料外)的质量m (单位:千克)的函数关系式是v=2 000·ln(1+M m ).当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.2．某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得该地区沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加值y (单位:万公顷)关于年数x 的函数关系较为近似的是A.y =0.2xB.y =110(x 2+2x )C.y =2x 10D.y =0.2+log 16x3．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y=5x+4 000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( )A.200副B.400副C.600副D.800副4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y ={4x,1≤x <10,x ∈N2x +10,10≤x <100,x ∈N 1.5x,x ≥100,x ∈N,其中,x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若应聘的面试人数为60人，则该公司拟录用人数为A.15B.40C.25D.1305．有一批材料可以建成200 m 的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等的矩形,如图所示,则围成的矩形场地的最大面积为 m 2(围墙厚度不计).6．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数;t 表示时间,单位:小时;y 表示病毒个数),则k= ,经过5小时,1个病毒能繁殖为 个.7．一工厂对某种原料的全年需求量是Q 吨，为保证生产又节省开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后立即购进.已知每次订购费用是a 元，工厂每天使用的原料数量相同，仓库贮存原料的年保管费用是b 元／吨，问全年订购多少次，才能使订购费用与保管费用之和最少?8．我们知道:人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度I 用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平L 1表示，它们满足以下公式：L 1=10∙lg II 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0=1×10−2W/m 2，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答以下问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10−12W/m 2，耳语的强度是1×10−10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10−8W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？【能力提升】通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大,表示接受能力越强),x 表示提出和讲授概念的时间(单位:分钟),可以有以下公式:f(x)={−0.1x 2+2.6x +43,0<x ≤1059,10<x ≤16−3x +107,16<x ≤30.(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少分钟?(2)开讲5分钟时与开讲20分钟时比较,学生的接受能力何时强一些?(3)一道数学难题,需要55的接受能力以及13分钟的时间,老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题?答案【基础过关】1．e6-1【解析】当v=12 000米/秒时,2 000·ln(1+Mm )=12 000,∴ln(1+Mm)=6,∴Mm=e6-1.2．C【解析】由题意得,当x=1时,y=0.2,排除B;当x=2时,y=0.4,排除D;当x=3时,y=0.76,排除A.故选C.3．D【解析】由5x+4 000≤10x,解得x≥800,即日产手套至少800副时才不亏本.4．C【解析】若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25满足题意；若1.5x ＝60，则x＝40＜100不合题意.故拟录用人数为25人.5．2 500【解析】设矩形场地的宽为x m,则矩形场地的长为(200-4x)m,则矩形场地的面积S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500(0<x<50),∴x=25时,S max=2 500.6．2ln2 1 024【解析】当t=0.5时,y=2,∴2=e 12k,∴k=2ln 2,∴y=e2t ln 2,当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.7．解：由题意得：订购费与全年保管费用之和为y=na+Q2∙1n∙b.而y=na+Q2∙1n∙b≥2√na∙bQ2n=√2abQ，当na=bQ2n时等号成立；即当n=bQ2a时，y min=√2abQ.【解析】本题考查函数模型及其实际应用.8．(1)由题意可知：树叶沙沙声的强度是I 1＝1×10－12W/m 2，则I 1I 0＝1，所以L I 1＝10lg1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I 2＝1×10－10W/m 2，则I 2I 0＝102，所以L I 2＝10lg102＝20，即耳语的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是I 3＝1×10－8W/m 2，则I 3I 0＝104， 所以，L I 3＝10lg104＝40，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝.(2)由题意知：0≤ I I ＜50即0≤10lgII 0＜50， 所以，1≤II 0＜105，即10－12≤I ＜10－7.所以新建的安静小区的声音强度I 大于或等于10－12W/m 2，同时应小于10－7W/m 2.【解析】(1)代入公式L I ＝10lg 1I 0即可. (2)列出L I 满足的条件，解不等式.【能力提升】(1)当0<x≤10时,f(x)=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9.故f(x)在0<x≤10时,函数值越来越大,最大值为f(10)=-0.1×(10-13)2+59.9=59. 当10<x≤16时,f(x)=59.当x>16时,f(x)的值越来越小,且f(x)<59,因此,开讲10分钟后,学生达到最强接受能力(为59),能维持6分钟.(2)f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5,f(20)=-3×20+107=47<53.5,故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些.(3)当0<x≤10时,令f(x)=55,解得x=6(x=20舍去).当x>16时,令f(x)=55,解得x=1713. 因此学生达到(含超过)55的接受能力时间为1713-6=1113(分钟)<13(分钟). 故老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.。

3.2.2函数模型的应用实例班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:米/秒)和燃料的质量M(单位:千克)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:千克)的函数关系式是v=2 000·ln(1+).当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.2．某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得该地区沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加值y(单位:万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是A.y=0.2xB.y=(x2+2x)C.y=D.y=0.2+log16x3．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y=5x+4 000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( )A.200副B.400副C.600副D.800副4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：,其中,代表拟录用人数，代表面试人数，若应聘的面试人数为60人，则该公司拟录用人数为A.15B.40C.25D.1305．有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等的矩形,如图所示,则围成的矩形场地的最大面积为m2(围墙厚度不计).6．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt(其中k为常数;t表示时间,单位:小时;y表示病毒个数),则k= ,经过5小时,1个病毒能繁殖为个.7．一工厂对某种原料的全年需求量是Q吨，为保证生产又节省开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后立即购进.已知每次订购费用是元，工厂每天使用的原料数量相同，仓库贮存原料的年保管费用是元／吨，问全年订购多少次，才能使订购费用与保管费用之和最少?8．我们知道:人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2 ()表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平表示，它们满足以下公式：(单位为分贝，，其中，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答以下问题：(1)树叶沙沙声的强度是，耳语的强度是，恬静的无线电广播的强度是，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度的范围为多少？【能力提升】通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大,表示接受能力越强),x表示提出和讲授概念的时间(单位:分钟),可以有以下公式:f(x)=.(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少分钟?(2)开讲5分钟时与开讲20分钟时比较,学生的接受能力何时强一些?(3)一道数学难题,需要55的接受能力以及13分钟的时间,老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题?3.2.2函课后作业·详细答案课后作业·详细答案【基础过关】1．e6-1【解析】当v=12 000米/秒时,2 000·ln(1+)=12 000,∴ln(1+)=6,∴=e6-1.2．C【解析】由题意得,当x=1时,y=0.2,排除B;当x=2时,y=0.4,排除D;当x=3时,y=0.76,排除A.故选C.3．D【解析】由5x+4 000≤10x,解得x≥800,即日产手套至少800副时才不亏本.4．C【解析】若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25满足题意；若1.5x ＝60，则x＝40＜100不合题意.故拟录用人数为25人.5．2 500【解析】设矩形场地的宽为x m,则矩形场地的长为(200-4x)m,则矩形场地的面积S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500(0<x<50),∴x=25时,S max=2 500.6．2ln2 1 024【解析】当t=0.5时,y=2,∴2=,∴k=2ln 2,∴y=e2t ln 2,当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024. 7．解：由题意得：订购费与全年保管费用之和为而，当时等号成立；即当时，【解析】本题考查函数模型及其实际应用.8．(1)由题意可知：树叶沙沙声的强度是＝－，则＝，所以＝＝，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是＝－，则＝，所以＝＝，即耳语的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是＝－，则＝，所以，＝＝，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝.(2)由题意知：＜即＜，所以，＜，即－＜－.所以新建的安静小区的声音强度I大于或等于－，同时应小于－. 【解析】(1)代入公式＝即可.(2)列出满足的条件，解不等式.【能力提升】(1)当0<x≤10时,f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9.故f(x)在0<x≤10时,函数值越来越大,最大值为f(10)=-0.1×(10-13)2+59.9=59.当10<x≤16时,f(x)=59.当x>16时,f(x)的值越来越小,且f(x)<59,因此,开讲10分钟后,学生达到最强接受能力(为59),能维持6分钟.(2)f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5,f(20)=-3×20+107=47<53.5,故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些.(3)当0<x≤10时,令f(x)=55,解得x=6(x=20舍去).当x>16时,令f(x)=55,解得x=17.因此学生达到(含超过)55的接受能力时间为17-6=11(分钟)<13(分钟). 故老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.。

湖南省新田一中高中数学必修一 1-2 函数及其表示 课后习题（无答案）一、选择题1．(2020·保定质检)下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x2．(2020·常德统一考试)函数y ＝1－lg x ＋2的定义域为( )A ．(0,8]B ．(2,8]C ．(－2,8]D ．[8，＋∞)3．(2020·高考江西卷)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x x C ．y ＝e x D ．y ＝sin x x4．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝log 2x B ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2 5．(2020·郴州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －1x ≥01x x ＜0，若f (a )＝a ，则实数a 的值为( )A ．±1B ．－1C ．－2或－1D ．±1或－2二、填空题6．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出x 1 2 3f (x ) 1 3 1x 1 2 3g (x ) 3 2 1则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))＞g (f (x ))的x 的值是________．7．函数y ＝f (x )的定义域为[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________．8．已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，则f (3)＝________. 三、解答题9．若函数f (x )＝x ax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．10．(2020·娄底质检)某人开汽车沿一条直线以60 km/h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离x (km) 表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象．一、选择题1．(2020·邵阳四校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 28－x ， x ≤0f x －1－f x －2， x ＞0， 则f (3)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－32．(2020·高考北京卷)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟) 为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ c x ，x <A ，c A ，x ≥A ，(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16二、填空题3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1， x ≤0－x －12， x >0.则使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．4．(2020·高考湖南卷)给定k ∈N *，设函数f ：N *→N *满足：对于任意大于k 的正整数n ，f (n )＝n －k .(1)设k ＝1，则其中一个函数f 在n ＝1处的函数值为________．(2)设k ＝4，且当n ≤4时，2≤f (n )≤3，则不同的函数f 的个数为________．三、解答题5．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0. (1)求f (g (2))和g (f (2))的值；(2)求f (g (x ))和g (f (x ))的表达式．。