正弦定理的证明方法四种

复习指津　ＺＨＯＮＧＸＵＥ　ＪＩＡＯＸＵＥ　ＣＡＮＫＡＯ　

三棱柱中正弦定理与余弦定理的证明及应用　

广西柳州市鹿寨中学（５４５６００）谢忠　

众所周知，三角形与四面体都各有其正弦定理与余　

弦定理，三棱柱中亦有正弦定理与余弦定理，即在三棱　柱ＡＢＣ—Ａ　Ｂ　Ｃ　中，有：　正弦定理：三棱柱的三个侧面面积的比等于其相对　

二面角的正弦的比：　

一　一　ｓｉｎ（ＡＡ１）　ｓｉｎ（ＢＢ１）　ｓｉｎ（ＣＣ１）’　余弦定理：三棱柱的任一侧面面积的平方等于其他　

两个侧面面积的平方和，再减去这两个侧面面积与其所　

夹二面角余弦的积的两倍：　Ｓ　一Ｓ；＋Ｓ；一２Ｓ２Ｓ３ｃｏｓ（ＡＡ１）．　（其余二式略写）　

这里，Ｓ　，Ｓ　，Ｓ。分别表示侧棱ＡＡ１，ＢＢ　，ＣＣ　所对　侧面的面积，（ＡＡ　）表示以侧棱ＡＡ　为棱的二面角，　

（ＢＢ　）表示以侧棱ＢＢ　为棱的二面角，（ＣＣ　）表示以侧　棱ＣＣ１为棱的二面角．　

Ｃ　

Ｃ　

图１　证明：三棱柱ＡＢＣ—Ａ　Ｂ　Ｃ　如图１．任取一与它的　

侧棱垂直的平面ａ，设Ａ，Ｂ，Ｃ在ａ的射影分别为Ａ　，Ｂ　，　

Ｃ　．　在△Ａ　Ｂ　Ｃ　中由正弦定理与余弦定理得　

一　一　．①　ｓｉｎＡ　ｓｉｎＢ　ｓｉｎＣ＇　

Ｂ　Ｃ　。一Ａ　Ｃ　。＋Ａ　Ｂ　一２Ａ　Ｃ　・Ａ　Ｂ　ｃｏｓＡ　．　②　

在①中各分子乘以三棱柱的侧棱长ｚ即得　

一　一　ｓｉｎ（ＡＡ１）　ｓｉｎ（ＢＢ１）　ｓｉｎ（ＣＣ１）‘　在②中两边遍乘Ｚ　即得　

Ｓ　一Ｓ；＋Ｓ；－－２Ｓ２Ｓ３ｃｏｓ（ＡＡ１）．　正、余弦定理证毕．定理的应用举例如下：　

【例１】求证：平行六面体的两个对棱截面面积的　

平方和等于四个侧面面积的平方和．　

Ｃ　

图２　证明：如图２，在三棱柱和ＡＢＣ—Ａ１Ｂ　Ｃ　和ＡＢＤ—　

Ａ　Ｂ　Ｄ　中用余弦定理得：　

ｓＥ　一　＋ｓＬ　一２　Ｓｍ　ｃｏｓ（ＡＡ　），③　

ｓｈ．一　＋　一２　，Ｓ　．ＣＯＳＥ＇Ｋ－（ＡＡ　）］．④　

注意　一ＳｃＤ　，　＝Ｓｍ　，　

③＋④即得　

正弦定理的19种证明

一、正弦定理

正弦定理是一个数学定理，说明每一个三角形的内角与临边之间的关系，为了方便研究，其通常使用三大正弦的另外三个隐函数的缩写形式的等式形式表示，即：

sin A/a = sin B/b = sin C/c

二、正弦定理的19种证明

1、积分技巧。积分是比较常见的证明正弦定理的方法，它涉及解决三角形的三角函数内角A和B之间关系的非线性微分方程，以及三元正弦定理的性质，例如通过解决变量θ的积分，以获得正弦定理的证明。

2、几何图形对比。通过对比几何形状来证明正弦定理，即A与C有同样的形状，C与B也有相同的形状。显然，相应两个角度之间的正弦值不变，因此就有了正弦定理。

3、证明三角形三条边的关系。正弦定理证明三角形三条边有特定的关系，具体来说，通过三条边之间的一个三角几何关系，基于一对对比几何象限将三条边映射到三个内角，然后进一步推出正弦定理。

4、斜率技巧。斜率技巧也是证明正弦定理的常用手段。可以把三个内角中的两个角的Wrangel公式（斜率相等为例）结合起来，然后将此结果用三角函数表示出来，并用它们三个内角之间的正弦值对比实现等式证明。

5、角平分线公式。角平分线公式也是常用的证明正弦定理的方法，即证明一个给定的三角形的外角等于两个内角的和，并用此结论建立正弦和余弦的三角函数，由此将正弦定理证明出来。

6、椭圆公式。椭圆公式也是证明正弦定理的手段之一。它依赖于椭圆的对称性，将椭圆抽象为三角形的形式，从而推进正弦定理的证明。

7、按照等式技术。这种证明方法最常见，首先用角平分线技术证明一个给定的三角形的外角等于两个内角的和，然后将结论进行三角函数表示，建立正弦和余弦的三角函数，最后用斜率技术将等式推进，从而证明正弦定理的真实性。

8、解三角形的相交技巧。使用相交技巧作为证明正弦定理的方法，首先从三角形的基本定义出发，将三角形中所有的点都定义一次，三角形中角A、B、C所在直线两边各定义一次，最后证明三角形中角A、B、C所在直线相交，并用此结论来证明正弦定理。

正弦定理的几种证明方法

正弦定理是三角学中的重要定理，它可以用于求解任何三角形中的未知边和角，下面将介绍几种证明正弦定理的方法：

证明方法一：三角形的面积法

设三角形ABC的三边长度分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C。根据三角形面积公式，可以得到：

S(三角形ABC)=0.5*a*h1=0.5*b*h2=0.5*c*h3

其中h1、h2、h3分别为三角形ABC对应边的高，可以通过正弦函数关系得到：

h1 = b * sinC

h2 = c * sinA

h3 = a * sinB

代入前面的面积公式，得到：

S(三角形ABC) = 0.5 * a * b * sinC = 0.5 * b * c * sinA =

0.5 * c * a * sinB

移项整理后得到正弦定理：

a / sinA = b / sinB = c / sinC

证明方法二：向量法

在平面直角坐标系中，设三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。根据向量的定义，可以得到： \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (x2 - x1, y2 - y1)

\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (x3 - x1, y3 - y1)

根据向量的数量积公式，可以得到：

\vec{AB}， = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2} = a

\vec{AC}， = \sqrt{(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2} = c

又根据向量的叉积公式，可以得到：

而叉积的模也可以通过坐标计算得到：

综上，可以得到正弦定理的向量形式：

证明方法三：海伦公式法

根据海伦公式，三角形ABC的面积S可以通过三角形的周长p和三条边的长度a、b、c计算得到：

S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}

第 1 页 共 2 页 利用向量统一正、余弦定理的证明

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法，［1］人教版中等职业教育国家规划教材《数学》（提高版）是用向量的数量积（内积）给出证明的，如是在证明正弦定理时用到：作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文通过三角函数的定义，利用向量相等和向量的模统一正、余弦定理的证明，方法较为简单。从本文的证明中又一次显示数学中“数”与“形”的完美结合。

定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则

（1）（正弦定理）==；

（2）（余弦定理）

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A。

证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=（0，0）、B=（c,0），又由任意角三角函数的定义可得：

C=（bcos A,bsin A），以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))

=C′（-acos B,asin B）。

根据向量的运算：

=（-acos B,asin B），

=-=（bcos A-c,bsin A）,

（1）由=：得

asin B=bsin A,即

=。 第 2 页 共 2 页

同理可得：=。

∴==。

(2)由=（b-cos A-c）2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A。

同理：

c2=a2+b2-2abcos C；

b2=a2+c2-2accos B。