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§4 导数的四则运算法则课后训练案巩固提升A组1.已知f(x)=x2+2xf'(1),则f'(0)等于( )A.2B.-2C.-4D.0解析:∵f'(x)=2x+2f'(1),∴f'(1)=2+2f'(1).∴f'(1)=-2.∴f'(x)=2x+2×(-2)=2x-4.∴f'(0)=-4.答案:C2.下列函数中,导函数是偶函数的是( )A.y=sinxB.y=e xC.y=lnxD.y=cosx-12解析:由y=sinx得y'=cosx为偶函数;∵当y=e x时,y'=e x为非奇非偶函数,∴B错;∵y=lnx的定义域为x>0,∴C错;D中y=cosx-12时,y'=-sinx为奇函数,故D错.答案:A3.设f(x)=sinx+cosx,则f(x)在x=π4处的导数f'(π4)=( )A.√2B.-√2C.0D.√22解析:∵f'(x)=cosx-sinx,∴f'(π4)=cosπ4-sinπ4=0.答案:C4.曲线y=sinx+e x在点(0,1)处的切线方程是( )A.x-3y+3=0B.x-2y+2=0C.2x-y+1=0D.3x-y+1=0解析:根据题意知y'=cosx+e x,又曲线y=sinx+e x在点(0,1)处的切线的斜率为cos0+e0=2,因此该切线的方程是y-1=2x,即2x-y+1=0.答案:C5.曲线y=2x3-6x上切线平行于x轴的点的坐标为( )A.(-1,4)B.(1,-4)C.(-1,-4)或(1,4)D.(-1,4)或(1,-4)解析:y'=6x2-6,由y'=0,得x=±1,分别代入y=2x3-6x,得y=-4或y=4,即所求点为(1,-4)或(-1,4).答案:D6.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f'(x)>0的解集为.解析:由f(x)=x2-2x-4lnx,得函数的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2x-2-4x =2x2-2x-4x=2(x+1)(x-2)x,由f'(x)>0,解得x>2.故f'(x)>0的解集为(2,+∞).答案:(2,+∞)7.设f(x)=e x+x e+e a,则f'(x)=.解析:f'(x)=(e x)'+(x e)'+(e a)'=e x+ex e-1.答案:e x+ex e-18.若曲线C:y=x3-2ax2+2ax上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,则实数a的取值范围是.解析:∵曲线在任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,∴y'=3x2-4ax+2a>0恒成立.∴Δ=16a2-24a<0.∴0<a<32.答案:0<a<329.求下列函数的导数:(1)y=x·cosx+√x;(2)y=sin4x4+cos4x4;(3)y=lgxx n.解(1)y'=(x·cosx)'+(√x)'=cosx-x·sinx+12x-12.(2)∵y=sin4x4+cos4x4=(sin2x4+cos2x4)2-2sin2x4·cos2x4=1-12sin2x2=1-12·1-cosx2=3 4+14cosx,∴y'=(34+14cosx)'=-14sinx.(3)y'=(lgx)'x n-lgx·(x n)'(x n)2=x nxln10-lgx·n·x n-1x =xn-1(1ln10-n·lgx)x=1-n·lgx·ln10x n+1·ln10.10.导学号88184024设函数f(x)=ax+1x+b(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析:式;(2)求证:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.(1)解f'(x)=a-1(x+b)2,于是{2a+12+b=3,a-1(2+b)2=0,解得{a=1,b=-1或{a=94,b=-83.∵a,b∈Z,∴f(x)=x+1x-1.(2)证明在曲线y=f(x)上任取一点(x 0,x 0+1x0-1). 由f'(x 0)=1-1(x 0-1)2,知过此点的切线方程为 y-x 02-x 0+1x 0-1=[1-1(x0-1)](x-x 0). 令x=1,得y=x 0+1x 0-1,即切线与直线x=1的交点为(1,x 0+1x 0-1); 令y=x,得y=2x 0-1,即切线与直线y=x 的交点为(2x 0-1,2x 0-1);直线x=1与直线y=x 的交点为(1,1).∴三条直线围成的三角形面积为12|x 0+1x 0-1-1||2x 0-1-1| =12|2x 0-1||2x 0-2|=2. 故所围成的三角形面积为定值2.B 组1.直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点A(1,3),则2a+b 的值为( )A.2B.-1C.1D.-2解析:由条件可知,点A(1,3)在直线y=kx+1上,则k=2.∵点A 在曲线y=x 3+ax+b 上,∴a+b+1=3,即a+b=2.由y=x 3+ax+b,得y'=3x 2+a,∴3+a=k=2.∴a=-1,b=3.∴2a+b=1.答案:C2.导学号88184025函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,c 是两两互不相等的常数),则a f'(a)+b f'(b)+c f'(c)= . 解析:∵f(x)=x 3-(a+b+c)x 2+(ab+bc+ca)x-abc,∴f'(x)=3x 2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca.∴f'(a)=(a-b)(a-c),同理f'(b)=(b-a)(b-c),f'(c)=(c-a)(c-b).代入原式,得a f'(a)+b f'(b)+c f'(c)=0.答案:03.导学号88184026对正整数n,设曲线y=x n (1-x)在x=2处的切线与y 轴交点的纵坐标为{a n },求数列{a n n+1}的前n 项和的公式.解∵y=x n (1-x),∴y'=nx n-1(1-x)-x n =nx n-1-(n+1)x n .∴当x=2时,y'=n ·2n-1-(n+1)2n =-(n+2)·2n-1,f(2)=-2n .∴所求的切线方程为y+2n =-(n+2)·2n-1(x-2),令x=0,则y=(n+1)·2n .∴a n =(n+1)·2n ,an n+1=2n . 故数列{a n n+1}的前n 项和为2(1-2n )1-2=2n+1-2.4.设函数f(x)=x 3+2ax 2+bx+a,g(x)=x 2-3x+2,其中x ∈R,a,b 为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线,求a,b 的值,并写出切线l 的方程.解f'(x)=3x 2+4ax+b,g'(x)=2x-3,由于曲线y=f(x)与y=g(x)在(2,0)处有相同的切线,故有f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1. 由此得{8+8a +2b +a =0,12+8a +b =1,解得{a =-2,b =5.所以切线l 的方程为x-y-2=0.。
（8）导数的四则运算法则1、设()3232f x ax x =++,若()'14f -=,则a 的值等于( ) A. 193 B. 163 C. 133 D. 1032、设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =,则a =( )A.0B.1C.2D.3 3曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A. B. C. D.4、函数()y f x =的导函数()'y f x =的图象如图所示,则()f x 的解析式可能是( )A. ()xf x a = B. ()log a f x x =C. ()xf x xe = D. ()ln f x x x =5、曲线sin y x x =在点,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线与x 轴、直线x π=所围成的三角形的面积为( )A. 22πB. 2πC. 22πD. ()2122π+ 6、下列结论:(1)若cos y x =,则sin y x '=-.(2)若y=,则'y = ()3若()21f x x =,则()2'327f =-. 其中正确的命题的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个7、下列求导运算正确的是( ) A. 211'1x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B. ()21log ln 2x x '= C. ()3'3x x =D. ()2cos 2sin x x x x '=-8、()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()(),f x g x 满足()()f x g x '=',则()f x 与()g x 满足( )A. ()()f x g x =B. ()()0f x g x ==C. ()()f x g x -为常数函数D. ()()f x g x +为常数函数9、在函数38y x x =-的图像上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.010、已知函数32cos ?y x x =+,则y '等于( ) A. 2236?sin x x x -+- B. 22312sin 3x x x -+- C. 22316sin 3x x x -+- D. 22316sin 3x x x -++ 11、曲线21x y x =-在点()1,1处的切线为l ,则l 上的点到圆22430x y x +++=上的点的最近距离是__________.12、若曲线ln y x x =在点P 处的切线平行于直线210x y -+=,则点P 的坐标是__________13、曲线sin3y x =在点,03P π⎛⎫ ⎪⎝⎭处切线的斜率为__________. 14、若()()3log 1f x x =-,则()'2f =__________.15、求下列函数的导数:1. ()()53533443y x x x x =-+;2. y =+3. y =答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：先求出导函数,再代值算出a .()2'36f x ax x =+,∴ ()'1364f a -=-=, ∴ 103a = 故选D.2答案及解析：答案：D 解析：由题意得1'1y a x =-+,所以曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线斜率为1a -,所以12a -=,则3a =,故选D.3答案及解析：答案： B解析： 令,则,在点处的切线斜率为,所以切线方程为,即,与坐标轴的交点为,所以三角形的面积为,故选B.4答案及解析：答案：D解析： 若()x f x a =,则()()''ln ,x x f x a a a x R ==∈,不满足题意,排除A ;若()log a f x x =,则()()1'0,1,ln 0x a f x a a x =>≠≠,不满足题意,排除B ; 若()x f x xe =,则()',x x f x e xe x R =+∈,不满足题意,排除C ,故选D .5答案及解析：答案：A解析：曲线sin y x x =在点处的切线方程为y x =-,所围成的三角形的面积为22π.6答案及解析：答案：C解析：(1)若y cosx =,则sin y x '=-正确, (2)若(),012y x x ==->则1113'1122222y x x =---=--=-=,故(2)错误. ()3若()221x x f x -==,则()3213'222f x x x x --=-=-=-,则()2'327f =-正确. 故正确的命题的个数为2个.7答案及解析：答案：B解析：根据对数函数的求导法则可知B 正确.8答案及解析：答案：C解析：由()()f x g x '=',得()()0f x g x ''-=,即()()0f x g x '-=⎡⎤⎣⎦,所以()()f x g x C -= (C 为常数).9答案及解析：答案：D解析： 设切线的斜率为k ,函数38y x x =-的导数为2'38y x =-,∵切线的倾斜角小于4π,∴斜率k 满足01k ≤<,即20381x ≤-<,解得x ≤x ≤<x 无整数解,故无坐标为整数的点,故应选D.10答案及解析：答案：C 解析：∵1332cos y x x x =++,∴2231'6sin 3y x x x -=+-,应注意的是()cos 'sin x x =-,不要忘记负号,故应选C.11答案及解析：答案：1解析：()1122'111x x x y ---=-=-,∴切线方程为()11y x -=--即20x y +-=,圆心()2,0-到直线的距离d =圆的半径1r =,∴所求最近距离为1.12答案及解析：答案：(,)e e解析：由题意知, 'ln 1y x =+,直线斜率为2,由导数的几何意义,令ln 12x +=,得x e =,所以ln y e e e ==,所以(),P e e .13答案及解析：答案：-3解析：设3u x =,则sin y u =,()'cos ?3'3cos 3cos3x y u x u x ∴=== ∴所求斜率3?cos 33cos 33k ππ⎛⎫==⨯=- ⎪⎝⎭.14答案及解析： 答案：1ln 3解析：∵()()()()()3111ln 31'log 1'1ln 3'x f x x x x =-=-=⎡⎤⎣⎦-- ()l 3'21n f ∴=15答案及解析：答案：1. ()()()()53535353'34'433443'y x x x x x x x x =-++-+ ()()()()4253534215124334209x x x x x x x x =-++-+ 977597756048453660802735x x x x x x x x =-+-+-+- 9751205672x x x =--.2. ∵((221111y x x =+--()214211x x x +==---. ∴4'2'1y x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭()()()()224'141'411x x x x --⋅-==--.3. ∵234y x x x ==++, ∴()23423''234y x x x x x x =++=++.解析：。
§4导数的四则运算法则4．1 导数的加法与减法法则4．2 导数的乘法与除法法则课时目标1.理解导数的四则运算法则.2.能利用导数公式和四则运算法则求解函数的导数．导数的运算法则：(1)[f (x )＋g (x )]′＝______________； (2)[f (x )－g (x )]′＝________________； (3)[f (x )·g (x )]′＝____________________； (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝____________________________.一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝12x，则y ′＝－14xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝32．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.12e 2 B.94e 2 C ．2e 2 D ．e 2 3．已知f (x )＝x 3＋3x＋ln 3，则f ′(x )为( )A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x·ln 34．曲线y ＝x e x＋1在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．2x －y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x －2y ＋2＝05．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于( ) A ．18 B ．－18 C ．8 D ．－86．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 二、填空题7．已知f (x )＝x a，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝______.8．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.9．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位：s ，s 的单位：m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________ m/s.三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝10x；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x ；(3)y ＝2xcos x －3x log 2 009x ； (4)y ＝x ·tan x .11.求过点(1，－1)与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程．能力提升12．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]13．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算． 答 案知识梳理(1)f ′(x )＋g ′(x ) (2)f ′(x )－g ′(x ) (3)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(4)f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0) 作业设计1．B [y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝(12x －12)′＝－14x －32＝－14x x.] 2．A [∵y ′＝(e x)′＝e x，∴k ＝y ′|x ＝2＝e 2.∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为 y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2， 当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.]3．C [(ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误．]4．A [y ′＝e x ＋x e x，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.]5．A [∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′0＝－13f ′－1＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13.∴a ＋b ＝5＋13＝18.]6．A [∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]．∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.]7．4解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4. 8．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x . 9.12516解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴v ＝s ′(4)＝8－316＝12516(m/s)．10．解 (1)y ′＝(10x )′＝10xln 10.(2)y ′＝x ＋cos x ′x －cos x －x ＋cos x x －cos x ′x －cos x2＝1－sin x x －cos x －x ＋cos x 1＋sin x x －cos x2＝－2cos x ＋x sin x x －cos x 2.(3)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x )′2x－3[x ′log 2 009 x ＋(log 2 009x )′x ]＝2x ln 2·cos x －sin x ·2x－3[log 2 009 x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1xlog 2 009 e x ]＝2xln 2·cos x －2xsin x －3log 2 009 x －3log 2 009 e.(4)y ′＝(x tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos x2＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos x2＝sin x cos x ＋x cos 2x ＋sin 2x cos x2＝12sin 2x ＋x cos x 2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x. 11．解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．①∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0.② 又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.12．D [由已知f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.]13．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12.切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. ∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.。
1.曲线y ＝321132x x +上点11,6⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的倾斜角为( )． A ．30° B ．45° C ．90° D ．60°2．设f (x )，则f ′(1)＝( )． A ．16- B ．56 C ．76- D ．763．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )．A ．193B ．163 C ．103 D ．1334．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，单位：秒，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )．A ．0秒，2秒或4秒B ．0秒，2秒或16秒C ．2秒，8秒或16秒D ．0秒，4秒或8秒 5．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )．A ．直角B ．0C ．钝角D ．锐角6．曲线y ＝x sin x 上点,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )． A ．22π B ．π2 C ．2π2 D ．12(2＋π)27．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，132f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，则a ＝__________，b ＝__________. 8．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．9．已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1，求f (x )．10．已知两条曲线f (x )＝sin x ，g (x )＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．参考答案1.答案：B 解析：∵y ＝321132x x +， ∴y ′＝23232111132323232x x x x x x '''⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝x 2＋x ， ∴曲线y ＝321132x x +在点11,6⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的斜率为k ＝(－1)2＋1×(－1)＝0，倾斜角为90°. 2.答案：B 解析：∵f (x )2332x x =---， ∴f ′(x )＝25353322x x --+-， ∴f ′(1)＝235326-+=. 3.答案：B 解析：∵f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，∴f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴f ′(－1)＝3a －18＋6＝4，∴a ＝163. 4.答案：D 解析：∵s ＝414t －4t 3＋16t 2， ∴瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)．令v ＝0可得t ＝0,4或8.5.答案：B 解析：f ′(x )＝(e x sin x )′＝e x ·sin x ＋e x ·cos x ＝e x (sin x ＋cos x )．将x ＝4代入得f ′(4)＝e 4(sin 4＋cos 4)4sin π44⎛⎫+⎪⎝⎭＜0. 故在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为钝角．6.答案：A 解析：y ′＝(x sin x )′＝x ′sin x ＋x (sin x )′＝sin x ＋x cos x . 当x ＝π2-时， k ＝sin πππcos 222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝－1.∴在点ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为y －π2＝π12x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即y ＝－x . ∴y ＝－x 与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为2π2. 7.答案：0 －1 解析：∵f (x )＝ax 2－b sin x ，∴f ′(x )＝2ax －b cos x ， 由条件知cos01,2ππ1cos .332b a b -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得0,1.a b =⎧⎨=-⎩ 8.－4 解析：由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)，∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴212242,(2)2,y y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩①②∴128,2,y y =⎧⎨=⎩ ∴P (4,8)，Q (－2,2)． 又∵抛物线可化为y ＝212x ，∴y ′＝x ， ∴过点P 的切线斜率为y ′4|x =＝4.∴过点P 的切线为：y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.又∵过点Q 的切线斜率为y ′2|x =-＝－2，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立48,22,y xy x=-⎧⎨=--⎩得x＝1，y＝－4，∴点A的纵坐标为－4.9.答案：解：∵f′(x)是一次函数，∴f(x)是二次函数，可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b.把f(x)和f′(x)代入已知方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，整理得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.∴0,20,10.a bb cc-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩解得2,2,1. abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴f(x)＝2x2＋2x＋1.10.解：由于f(x)＝sin x，g(x)＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝f′(x0)＝cos x0，k2＝g′(x0)＝－sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．。
选修第二章§课时作业一、选择题．已知()＝－＋，则′()等于( )．－－－．－＋．－－＋．－－解析：′()＝(－)′＋()′＝－－＋.答案：．若()＝－－，则′()>的解集为( )．(，＋∞) ．(－)∪(，＋∞)．(，＋∞) ．(－)解析：函数的定义域为(，＋∞)，令′()＝－－＝>，可得>，故选.答案：．曲线＝－＋在点()处的切线方程为( )．＝－．＝－＋．＝＋．＝解析：令＝()，则′()＝－＋，则′()＝－＋＝，所以曲线＝－＋在点()处的切线斜率＝′()＝，所以切线方程是－＝(－)，即＝－.答案：．若曲线＝－的一条切线与直线：＝－平行，则与的距离是( )．．．．解析：令′＝－＝，解得＝或＝－(舍去)，故切点坐标为()．点()到直线的距离等于，故与的距离是.答案：二、填空题．设函数()的导数为′()，且()＝＋·′()，则′()＝.解析：′()＝＋′()，令＝，得′()＝＋′()，即′()＝－，则′()＝－，故′()＝－.答案：－．设函数()＝－＋(≠)．若曲线＝()在点(，())处与直线＝相切，则的值为．解析：′()＝－，∴′()＝－.由题意知－＝，∴＝.又切点在直线＝上，∴()＝－＋＝.∴＝.∴＝.答案：． [·北大附中月考]()＝－＋＋的图像存在与直线＝平行的切线，则的取值范围是．解析：本题主要考查导数的几何意义与二次函数性质的综合应用．由题意知，存在使′()＝－＋＝，故Δ＝－≥，得≤.答案：(－∞，]三、解答题．求下列函数的导数：()＝＋；()＝－；()＝－＋＋.解：()′＝()′＋()′＝－.()′＝′＝()′－(－)′＝－(－)－－＝＋－＝＋()′＝′＝′－′＋()′＋()′＝－＋.. ()求曲线＝()＝－在点(，－)处的切线方程；()求过曲线＝()＝－上的点(，－)的切线方程．解：()由题意′()＝－，′()＝，∴点(，－)处的切线的斜率＝，其方程为＋＝－，即－－＝.()设切点为(，)，则＝－，则切点处的导数值′()＝－；若点(，－)为切点，由()知切线方程为－－＝；若点(，－)不为切点，则－＝(≠)，即－＝，∴－－＋＝－.∴－＋＝，即(－)(－－)＝.∴＝或＝－，其中＝舍去．则切点坐标为，∴斜率为′＝×－＝－.。
高中数学选修2-2北师大版计算导数课后练习（含答案）§3 计算导数一、基础过关1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－2 27；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.A ．0B ．1C ．2D ．3 2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.12，2B.12，2或－12，－2C.－12，－2D.12，－23．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5 4．曲线y ＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定5．若f (x )＝10x ，则f ′(1)＝________. 6．曲线f (x )＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为______．7．求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 21－2cos 2x 4. 二、能力提升8．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于( )A ．64B ．32C ．16D ．8 9．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1eB ．－1eC ．－eD ．e10．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.11．求与曲线y＝3x2在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程．12．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，利用导数的定义求h′(2)，并解释其实际意义．三、探究与拓展13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)．。
§4导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则双基达标(限时20分钟)1．下列式子中正确的为()．①(2x＋1)′＝2；②(ln 2)′＝12；③[f(x0)]′＝f′(x0)；④[f(x0)]′＝0.A．①③B．②③C．①④D．②④解析②中ln 2是常数，有(ln 2)′＝0，③中f(x0)表示f(x)在x0处的函数值，也有[f(x0)]′＝0.①，④是正确的，选C.答案 C2．曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程为()．A．y＝x－1 B．y＝－x＋1C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2解析∵点(1，0)在曲线y＝x3－2x＋1上．且y′＝3x2－2，∴过点(1，0)的切线斜率k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1，由点斜式得切线方程为y－0＝1·(x－1)，即y＝x－1.答案 A3．曲线f(x)＝13x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为()．A.π6 B.3π4C.π4 D.π3解析f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，故切线的倾斜角为3π4.答案 B4．曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x，则点P0的坐标是________．解析 设切点坐标为(x 0，y 0)， ∴3x 20＋1＝4，∴x 0＝1或－1. 当x 0＝1时，y 0＝0， 当x 0＝－1时，y 0＝－4， ∴P 0(1,0)或P 0(－1，－4)． 答案 (1,0)或(－1，－4)5．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是s ，s 的单位是m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为____ m/s.解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴v ＝s ′|t ＝4＝8－316＝71316 (m/s)． 答案 71316 6．求y ＝13x－3x 3－7x 2＋1的导数．解 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ′－(3x 3)′－(7x 2)′＋(1)′综合提高 (限时25分钟)7．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )等于( )．A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x ·ln 3＋13 C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x ·ln 3解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误． 答案 C8．已知f (x )＝sin x －cos x ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3′为( )．A ．0B.3－12C.3＋12D ．1解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3是常数，故选A.答案 A9．若f (x )＝x ＋1x 在点x 0处的导数为0，则x 0的值为________．答案 ±110．曲线y ＝e x ＋x 2＋2x ＋1在(0,1)处的切线方程为________．解析 y ′＝e x ＋2x ＋2，斜率k ＝e 0＋2×0＋2＝3. 所以切线方程为y －1＝3(x －0)即3x －y ＋1＝0. 答案 3x －y ＋1＝011．求过点(1，－1)的曲线y ＝x 3－2x 的切线方程．解 设P (x 0，y 0)为切点， 则切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 20－2，故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)， 即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)，又知切线过点(1，－1)代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，解得x 0＝1或x 0＝－12，故所求的切线方程为 y ＋1＝x －1，或y －78＝－54⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12.即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.12．(创新拓展)已知曲线S ：y ＝x 3－6x 2－x ＋6.(1)求S 上斜率最小的切线方程；(2)证明：S 关于切线斜率最小时的切点对称． (1)解 y ′＝3x 2－12x －1＝3(x －2)2－13. 当x ＝2时，y ′最小，最小值为－13.切点为(2，－12)，切线方程为y ＋12＝－13(x －2)， 即13x ＋y －14＝0.(2)证明 设(x 0，y 0)∈S ，(x ，y )是(x 0，y 0)关于(2，－12)的对称点，则。
选修第二章§课时作业一、选择题．函数＝(－)(－)的导数是′＝( )．．－(－)．－(－) ．－－解析：∵＝－(＋)＋，∴′＝()′－(＋)·()′＋()′＝－－.答案：．函数＝的导数是′＝( )．．．．解析：′＝()′＝()′＋()′＝－＝.答案：．曲线＝－在点(，)处的切线的斜率为( )．－．．－．解析：′＝＝，把＝代入得导数值为，即为所求切线的斜率．答案：．经过原点且与曲线＝相切的直线的方程是( )．＋＝或＋＝．－＝或＋＝．＋＝或－＝．－＝或－＝解析：设切点为(，)，因为′＝()′＝，所以切线斜率为，又切线过原点，所以＝＝，即＋＋＝，解得＝－或＝－，从而切点为(－)或(－，)．所以切线方程为＋＝或＋＝.答案：二、填空题．函数＝的导数是．解析：法一：′＝′＝＝＝.法二：∵＝＝－，∴′＝′＝′＝－′＝－×＝.答案：．函数()＝在＝处的导数是．解析：′＝′＝′＝，∴′＝＝＝.答案：．曲线＝在点()处的切线方程为．解析：∵′＝＝，∴切线的斜率＝＝－，∴所求切线方程为－＝－(－)，即＝－＋. 答案：＝－＋三、解答题．求下列函数的导数：()＝－＋θ(θ为常数)；()＝；()＝(－)(＋)．解：()′＝()′－＋(θ)′＝()′＋()′－＋＝－－.()′＝＝＝－.()法一：∵＝(－)(＋)＝＋－－，∴′＝(＋－－)′＝()′＋()′＋()′－[′＋()′]－′＝＋＋－－－＝(＋－－)＋－. 法二：′＝(－)′(＋)＋(－)(＋)′＝(－)(＋)＋(－)＝(＋－－)＋－..[·北京高考节选]已知函数()＝＋＋.若曲线＝()在点(，())处与直线＝相切，求与的值．解：由()＝＋＋，得′()＝(＋)．因为曲线＝()在点(，())处与直线＝相切，所以′()＝(＋)＝，()＝，解得＝，＝.。
高中数学课时分层作业10导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则（含解析）北师大版选修22课时分层作业(十)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin xD [D 中，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ．]2．若对任意实数x ，恒有f ′(x )＝5x 4，f (1)＝－1，则此函数为( )A ．f (x )＝－1＋x 5B ．f (x )＝x 5－2C ．f (x )＝x 4－2D ．f (x )＝x 5＋1B [由f (1)＝－1，排除A ，D ；又对任意实数x ，恒有f ′(x )＝5x 4，则f (x )＝x 5＋c ，故排除C ，选B.]3．曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4)C [∵f (x )＝x 3＋x －2，∴f ′(x )＝3x 2＋1，设P 0(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1．故P 0点坐标为(1,0)或(－1，－4)．]4．设曲线f (x )＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2B ．12C ．－12D ．－2 D [∵f (x )＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴f ′(x )＝－2(x －1)2， ∴f ′(3)＝－12， ∴－a ＝2，即a ＝－2．]5．已知函数f (x )＝12x 2＋4ln x ，若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[5，＋∞)B ．[4,5]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，133 D ．(－∞，4) B [f ′(x )＝x ＋4x，当1≤x 0≤3时， f ′(x 0)∈[4,5]，又k ＝f ′(x 0)＝m ，所以m ∈[4,5]．]二、填空题6．函数y ＝sin x 1＋sin x的导数是________． cos x (1＋sin x )2 [f ′(x )＝cos x (1＋sin x )－sin x cos x (1＋sin x )2＝cos x (1＋sin x )2.] 7．已知f (x )＝x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝________. 23 [∵f (x )＝x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x ， ∴f ′(x )＝2x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝23.] 8．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是s ，s 的单位是m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________．71316 m/s [∵s ′＝2t －3t 2， ∴v ＝s ′(4)＝8－316＝71316m/s.] 三、解答题9．点P 是曲线y ＝f (x )＝e x上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[解] 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线f (x )＝e x相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即 f ′(x 0)＝1．∵f ′(x )＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入f (x )＝e x，得y 0＝1，即P (0,1)．则点P 到直线y ＝x 的最小距离为d ＝|0－1|2＝22. 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．[解] 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1． y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a ＋b ＝1．又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1．由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a ，b ，c 的值分别为3，－11,9.[能力提升练]1．函数f (x )＝x ＋x ln x 在(1,1)处的切线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x －y ＋1＝0B [∵f ′(x )＝(x ＋x ln x )′＝1＋x ′ln x ＋x (ln x )′＝1＋ln x ＋1＝2＋ln x ，∴f ′(1)＝2＋ln 1＝2，∴函数f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.]2．曲线f (x )＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )A.24 B.22 C.322 D. 2C [因为曲线过点(1,2)，所以b ＋c ＝1，又f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ，所以b ＝－1，c ＝2，所以所求的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.故两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0的距离为d ＝|1＋2|2＝322.] 3．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(e ，e) [设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x . ∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e.∴y 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标是(e ，e)．]4．图中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，且a ≠0)的导函数的图像，则f (－1)＝________.－13[f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，由题图①与②知，它们的对称轴都为y 轴，此时a ＝0，与题设不符合，故题图③是f (x )的导函数的图像．由题图③知f ′(0)＝0，a <0，所以a ＝－1，此时f (x )＝13x 3－x 2＋1，所以f (－1)＝－13.] 5．已知函数f (x )＝axx 2＋b ，且f (x )的图像在x ＝1处与直线y ＝2相切．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图像上的任意一点，直线l 与f (x )的图像相切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解] (1)f ′(x )＝a (x 2＋b )－ax ·2x (x 2＋b )2＝ab －ax 2(x 2＋b )2. 因为f (x )的图像在x ＝1处与直线y ＝2相切．所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ ab －a ＝0，1＋b ≠0，a 1＋b ＝2，所以a ＝4，b ＝1， 所以f (x )＝4x x 2＋1. (2)因为f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，所以直线l 的斜率 k ＝f ′(x 0)＝4－4 x 20(x 20＋1)2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x 20＋1)2－1x 20＋1，令t ＝1x 20＋1，t ∈(0,1]， 则k ＝4(2t 2－t )＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－12， 所以k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4.。
4.2导数的乘法与除法法则双基达标 (限时20分钟)1．函数f (x )＝e xx 的导数是( )．A.e x x 2B.e x (x －1)x 2C.e x (1－x )x 2D.e x (1＋x )x 2答案 B2．曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( )．A.π22 B ．π2 C.π44D ．2π2解析 切线方程为y ＝－x ，故围成的三角形的面积为π22. 答案 A3．已知f ′(x )＝4x 3，且f (1)＝－1，则( )．A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝4x 3－5D ．f (x )＝x 4＋2解析 ∵f ′(x )＝4x 3， ∴可设f (x )＝x 4＋c (c 为常数)． 又∵f (1)＝－1，∴1＋c ＝－1， ∴c ＝－2. 答案 B4．曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________．解析 根据题意可设切点为P (x 0，y 0) ，f ′(x )＝2x －3，令f ′(x 0)＝0，即2x 0－3＝0，得x 0＝32，代入曲线方程得y 0＝－94，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－94. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－945．某汽车启动阶段的路程函数s(t)＝2t3－5t2，则t＝2时，汽车的瞬时速度是________．解析s′(t)＝6t2－10t，则s′(2)＝4.答案 46．求下列函数的导数．(1)y＝x2sin x＋2cos x；(2)y＝e x＋1 e x－1.解(1)y′＝(x2sin x)′＋(2cos x)′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＋2(cos x)′＝2x sin x＋x2cos x－2sin x.(2)y′＝(e x＋1)′(e x－1)－(e x＋1)(e x－1)′(e x－1)2＝e x(e x－1)－(e x＋1)e x(e x－1)2＝－2e x(e x－1)2.综合提高(限时25分钟)7．设y＝－2e x sin x，则y′等于()．A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)解析y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．答案 D8．曲线y＝sin xsin x＋cos x－12在点M(π4，0)处的切线斜率为()．A．－12 B.12C．－22 D.22解析y′＝cos x（sin x＋cos x）－（cos x－sin x）sin x（sin x＋cos x）2＝1（sin x＋cos x）2，故y′|x＝π4＝12，∴曲线在点M(π4，0)处的切线的斜率为12.答案 B9．函数y＝lg x在x＝1处的切线方程为_______________________ _________________________________________________．答案 y ＝lg e(x －1) 10．函数f (x )＝ln xx ＋1＋2x (x ＞0)的导数为________． 解析 ∵f (x )＝ln xx ＋1＋2x (x ＞0) ∴f ′(x )＝(ln x )′(x ＋1)－ln x ·(x ＋1)′(x ＋1)2＋(2x )′ ＝1x (x ＋1)－ln x (x ＋1)2＋2x ln 2 ＝1＋1x －ln x (x ＋1)2＋2x ln 2.答案1＋1x －ln x (x ＋1)2＋2x ln 211．曲线S ：y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在点A (0,1)处的切线为l 1：y ＝x ＋1，在点B (3,4)处的切线为l 2：y ＝－2x ＋10，求a 、b 、c 、d .解 找出四个关于a 、b 、c 、d 的方程，联立求解．由已知条件可得y ′＝3ax 2＋2bx ＋c ，故有⎩⎨⎧c ＝1(k 1＝1)，①27a ＋6b ＋c ＝－2(k 2＝－2)，②d ＝1(A ∈S )，③27a ＋9b ＋3c ＋d ＝4(B ∈S )，④将c ＝d ＝1代入②④得 ⎩⎨⎧27a ＋6b ＝－3，27a ＋9b ＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝－13.12．(创新拓展)已知曲线f (x )＝1a x 2－1(a ＞0)在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．解 f ′(x )＝2a x ，则f ′(1)＝2a ，又f (1)＝1a －1，所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1，切线l 的方程为y －1a ＋1＝2a (x －1)．令x ＝0，得y ＝－1a －1；令y ＝0，得x ＝12(a。
