2014中考数学压轴题专题第二讲1

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇1．（浙江省杭州市）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝41x2＋1，点C 的坐标为（－4，0），平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q （x ，y ）在抛物线上，点P （t ，0）在x 轴上．（1）写出点M 的坐标；（2）当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ①求t 关于x 的函数解析式和自变量x②当梯形CMQP 的两底的长度之比为1 :2时，求t1．解：（1）∵OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC ，且AB ＝OC ＝4∵A ，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴，∴A ，B 的横坐标分别是2和－2代入y ＝41x2＋1，得A （2，2），B （－2，2） ∴M （0，2） ················································· 2分 （2）①过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，连接CM 则QH ＝y ，PH ＝x －t由△PHQ ∽△COM ，得：2y ＝4tx ，即t ＝x －2y ∵Q （x ，y ）在抛物线y ＝41x2＋1上∴t ＝－21x2＋x －2 ··········································· 4分当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时，t ＝－4，解得x ＝1±5 当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x ＝±2∴x 的取值范围是x ≠1±5且x ≠±2的所有实数 ········································ 6分 ②分两种情况讨论：ⅰ）当CM ＞PQ 时，则点P 在线段OC 上∵CM ∥PQ ，CM ＝2PQ ，∴点M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍 即2＝2(41x2＋1)，解得x ＝0 ∴t ＝－21×02＋0－2＝－2 ········································································· 8分 ⅱ）当CM ＜PQ 时，则点P 在OC 的延长线上 ∵CM ∥PQ ，CM ＝21PQ ，∴点Q 纵坐标为点M 纵坐标的2倍 即41x2＋1＝2×2，解得：x ＝±32 ························································· 10分当x ＝－32时，得t ＝－21×(－32)2－32－2＝－8－32 当x ＝32时，得t ＝－21×(32)2＋32－2＝32－8 ································ 12分 2．（浙江省台州市）如图1，Rt △ABC ≌Rt △EDF ，∠ACB ＝∠F ＝90°，∠A ＝∠E ＝30°．△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转，DE ，DF 分别交线段．．AC 于点M ，K ． （1）观察：①如图2、图3，当∠CDF ＝0°或60°时，AM ＋CK _______MK （填“＞”，“＜”或“＝”）．②如图4，当∠CDF ＝30°时，AM ＋CK _______MK （只填“＞”或“＜”）．（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM ＋CK _______MK ，证明你所得到的结论． （3）如果MK 2＋CK 2＝AM 2，请直接写出∠CDF 的度数和AM MK的值． 2．解：（1）①＝ ②＞ ················································································· 4分 （2）＞ ································································································ 6分 证明：作点C 关于FD 的对称点G ，连接GK 、GM 、GD 则GD ＝CD ，GK ＝CK ，∠GDK ＝∠CDK ∵D 是AB 的中点，∴AD ＝CD ＝GD ∵∠A ＝30°，∴∠CDA ＝120°∵∠EDF ＝60°，∴∠GDM ＋∠GDK ＝60° ∠ADM ＋∠CDK ＝60°∴∠ADM ＝∠GDM ． ·············································································· 9分 又∵DM ＝DM ，∴△ADM ≌△GDM ，∴GM ＝AM∵GM ＋GK ＞MK ，∴AM ＋CK ＞MK ． ······················································· 10分 （3）∠CDF ＝15°，AMMK＝23． ···························································· 12分 DB CF EM K 图1DBC (F ,K )EM 图2DBC A FEK图3(M )DBCAF EM K图4DBCAF EMKG3．（浙江省台州市）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP ＝AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点，HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ．（1）求证：△DHQ ∽△ABC ；（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值；（3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？3．解：（1）∵A 、D 关于点Q 成中心对称，HQ ⊥AB ， ∴∠HQD ＝∠C ＝90°，HD ＝HA∴∠HDQ ＝∠A ． ··················································································· 3分 ∴△DHQ ∽△ABC ． ··············································································· 4分 （2）①如图1，当0＜x≤2.5时ED ＝10－4x ，QH ＝AQ ·tan ∠A ＝43x 此时y ＝21(10－4x )·43x ＝－23x2＋415x ······················································ 6分当x＝45时，y 最大＝3275················································ 7分 ②如图2，当2.5＜x≤5时ED ＝4x －10，QH ＝AQ ·tan ∠A ＝43x此时y ＝21(4x －10)·43x ＝23x2－415x ······························ 9分当x ＝5时，y 最大＝475∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x 415234152322y 的最大值是475． ····················································· 10分（3）①如图1，当0＜x≤2.5时若DE ＝DH ，∵DH ＝AH ＝A QA ∠cos ＝45x ，DE ＝10－4x∴10－4x ＝45x ，∴x ＝2140显然ED ＝EH ，HD ＝HE 不可能； ···························································· 11分 ②如图2，当2.5＜x≤5时（0＜x≤2.5）（2.5＜x≤5）（图1）（图2）若DE ＝DH ，则4x －10＝45x ，∴x ＝1140； ·················································· 12分 若HD ＝HE ，此时点D ，E 分别与点B ，A 重合，x ＝5； ······························· 13分 若ED ＝EH ，则△EDH ∽△HDA∴DH ED ＝AD DH ，即x x 45104-＝x x245，∴x ＝103320 ············································ 14分 ∴当x 的值为2140，1140，5，103320时，△HDE 是等腰三角形．4．（浙江省温州市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，过点B 作射线BB l ∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD ＝AB ，并求出此时DE 的长度； （2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值；（3）以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后的图形为A ′C ′．①当t ＞53时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′的面积为S ， 求S 关于t 的函数关系式；②当线段A ′C ′与射线BB 1有公共点时，求t 的取值范围 （写出答案即可）． 4．解：（1）∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4∴AB ＝2243＋＝5 ················································································ 1分∵AD ＝5t ，CE ＝3t ，∴当AD ＝AB 时，5t ＝5∴t ＝1 ·································································································· 2分 ∴AE ＝AC ＋CE ＝3＋3t ＝6 ········································································ 3分 ∴DE ＝6－5＝1 ······················································································ 4分 （2）∵EF ＝BC ＝4，G 是EF 中点，∴GE ＝2 当AD ＜AE （即t ＜23）时，DE ＝AE －AD ＝3＋3t －5t ＝3－2t 若△DEG 与△ACB 相似，则EG DE ＝BC AC 或EG DE ＝ACBC∴223t -＝43或223t -＝34∴t ＝43或t ＝61 ······················································································ 6分 当AD ＞AE （即t ＞23）时，DE ＝AD －AE ＝5t －(3＋3t )＝2t －3 D B HAEGF CB 1若△DEG 与△ACB 相似，则EG DE ＝BC AC 或EG DE ＝ACBC∴232-t ＝43或232-t ＝34∴t ＝49或t ＝617 ···················································································· 8分 综上所述，当t ＝43或61或49或617时，△DEG 与△ACB 相似 （3）①由轴对称变换得AA ′⊥DH ，CC ′⊥DH ∴AA ′∥CC ′易知OC ≠AH ，故AA ′≠CC ′∴四边形ACC ′A ′是梯形 ······································· 9分∵∠A ＝∠A ，∠AHD ＝∠ACB ＝90° ∴△AHD ∽△ACB ，AC AH ＝BC DH ＝ABAD∴AH ＝3t ，DH ＝4t ∵sin ∠ADH ＝sin ∠CDO ，∴AD AH ＝CDCO即53＝35-t CO ，∴CO ＝3t －59∴AA ′＝2AH ＝6t ，CC ′＝2CO ＝6t －518····················· 10分∵OD ＝CD ·cos ∠CDO ＝(5t －3)×54＝4t －512∴OH ＝DH －OD ＝512············································································ 11分 ∴S ＝21(AA ′＋CC ′ )·OH ＝21(6t ＋6t －518)×512＝572t －25108 ························· 12分 ②65≤t≤3043 ···················································· 14分 略解：当点A ′落在射线BB 1上时（如图甲），AA ′＝AB ＝5∴6t ＝5，∴t ＝65当点C ′落在射线BB 1上时（如图乙），易得CC ′∥AB故四边形ACC ′B 是平行四边形∴6t －518＝5，∴t ＝3043故65≤t≤30435．（浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端D B HAEG F CB 1C ′ O A ′D B HA EG FCB 1（图乙）C ′ OD B H AEGF C B 1(A ′) （图甲）点A ，D ），连结PC ，过点P 作PE ⊥PC 交AB 于E ．（1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围．5．解：（1）假设存在这样的点Q∵PE ⊥PC ，∴∠APE ＋∠DPC ＝90° ∵∠D ＝90°，∴∠DPC ＋∠DCP ＝90° ∴∠APE ＝∠DCP ，又∵∠A ＝∠D ＝90° ∴△APE ∽△DCP ，∴DC AP ＝DPAE，∴AP ·DP ＝AE ·DC 同理可得AQ ·DQ ＝AE ·DC∴AQ ·DQ ＝AP ·DP ，即AQ ·(3－AQ )＝AP ·(3－AP )∴AP 2－AQ 2＝3AP －3AQ ，∴(AP ＋AQ )(AP －AQ )＝3(AP －AQ )∵AP ≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3 ··························································· 2分 ∵AP ≠AQ ，∴AP ≠23，即P 不能是AD 的中点 ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在所以，当P 不是AD 的中点时，总存在这样的点Q 满足条件此时AP ＋AQ ＝3 ········································································ 3分 （2）设AP ＝x ，AE ＝y ，由AP ·DP ＝AE ·DC 可得x (3－x )＝2y∴y ＝21x (3－x )＝－21x2＋23x ＝－21(x －23)2＋89∴当x ＝23（在0＜x ＜3范围内）时，y 最大值＝89∴BE 的取值范围为87≤BE ＜2 ······················································ 5分 6．（浙江省湖州市）如图，已知直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于E 和F ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）连结EF ，设△BEF 与△BFC 的面积之差为S ，问：当CF 为何值时S 最小，并求出这个最小值． BCA P D EB CA PDEQ6．解：（1）由题意得A （0，2），B （2，2），C （3，0） 设所求抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝24a ＋2b ＋c ＝29a ＋3b ＋c ＝0解得⎩⎨⎧a ＝－32b ＝34c ＝2·························································· 3分 ∴抛物线的解析式为y ＝－32x2＋34x ＋2 (4)（2）设抛物线的顶点为G ，则G （1，38），过点G 作GH ⊥AB 于则AH ＝BH ＝1，GH ＝38－2＝32∵EA ⊥AB ，GH ⊥AB ，∴EA ∥GH ∴GH 是△BEA 的中位线，∴EA ＝2GH ＝34 ····························过点B 作BM ⊥OC 于M ，则BM ＝OA ＝AB∵∠EBF ＝∠ABM ＝90°，∴∠EBA ＝∠FBM ＝90°－∠ABF ∴Rt △EBA ≌Rt △FBM ，∴FM ＝EA ＝34∵CM ＝OC －OM ＝3－2＝1，∴CF ＝FM ＋CM ＝37 ········································ 8分 （3）设CF ＝a ，则FM ＝a －1或1－a ∴BF 2＝FM 2＋BM 2＝(a －1)2＋22＝a2－2a ＋5∵△EBA ≌△FBM ，∴BE ＝BF 则S △BEF＝21BE ·BF ＝21BF 2＝21(a2－2a ＋5) ·············································· 9分 又∵S △BFC＝21FC ·BM ＝21×a ×2＝a ························································· 10分 ∴S ＝21(a2－2a ＋5)－a ＝21a2－2a ＋25 即S＝21(a －2)2＋21 ·············································································· 11分 ∴当a ＝2（在0＜a ＜3范围内）时，S 最小值＝21 ··························································································· 12分7．（浙江省衢州市、丽水市、舟山市）△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30°，AB ＝32．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O （如图），△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转． （1）当点B 在第一象限，纵坐标是26时，求点B 的横坐标； （2）如果抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴经过点C ，请你探究：①当a ＝45，b ＝－21，c ＝－553时，A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； ②设b ＝－2am ，是否存在这样的m 的值，使A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．7．解：（1）∵点O 是AB 的中点，∴OB ＝21AB ＝3 ··········································· 1分 设点B 的横坐标是x （x ＞0），则x2＋(26)2＝(3)2 ································· 2分 解得x 1＝26，x 2＝－26（舍去） ∴点B··········································· 4分 （2）①当a ＝45，b ＝－21，c ＝－553时， 得y ＝45x2－21x －553 即y ＝45( x －55)2－20513 ···································· 5分 以下分两种情况讨论情况1：设点C 在第一象限（如图甲），则点C 的横坐标为55OC ＝OB ·tan30°＝3×33＝1 ································ 6分由此，可求得点C 的坐标为（55，552） ················ 7分（甲）点A 的坐标为（－5152，515） ∵A ，B 两点关于原点对称，∴点B 的坐标为（5152，－515) 将x ＝－5152代入y ＝45x2－21x －553，得y ＝515，即等于点A 的纵坐标； 将x ＝5152代入y ＝45x2－21x －553，得y ＝－515，即等于点B 的纵坐标． ∴在这种情况下，A ，B 两点都在抛物线上． ······················································· 9分 情况2：设点C 在第四象限（如图乙），则点C 的坐标为（55，－552） 点A 的坐标为（5152，515），点B 的坐标为（－5152，－515） ∵当x ＝5152时，y ＝－515；当x ＝－5152时，y ＝515 ∴A ，B 两点都不在这条抛物线上． ·································································· 10分（情况2另解：经判断，如果A ，B 两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A ，B 两点不可能都在这条抛物线上）②存在．m 的值是1或－1． ············································································ 12分 （y ＝a (x －m )2－am2＋c ，因为这条抛物线的对称轴经过点C ，所以－1≤m ≤1．当m ＝±1时，点C 在x 轴上，此时A ，B 两点都在y 轴上．因此当m ＝±1时，A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上）8．（浙江省宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ABCD 的顶点A 的坐标为（－2，0），点D 的坐标为（0，32），点B 在x 轴的正半轴上，点E 为线段AD 的中点，过点E 的直线l 与x 轴交于点F ，与射线DC 交于点G ． （1）求∠DCB 的度数；（2）当点F 的坐标为（－4，0）时，求点G 的坐标；（3）连结OE ，以OE 所在直线为对称轴，△OEF 经轴对称变换后得到△OEF ′，记直线EF ′与射线DC 的交点为H ．①如图2，当点G 在点H 的左侧时，求证：△DEG ∽△DHE ； ②若△EHG 的面积为33，请直接写出点F 的坐标．（图2）（图1）（备用图）8．解：（1）在Rt △AOD 中，∵tan ∠DAO ＝AODO ＝232＝3∴∠DAB ＝60° ··········································································· 2分∵四边形ABCD 是平行四边形∴∠DCB ＝∠DAB ＝60° ······························································· 3分 （2）∵四边形ABCD 是平行四边形∴CD ∥AB ，∴∠DGE ＝∠AFE 又∵∠DEG ＝∠AEF ，DE ＝AE∴△DEG ≌△AEF ， ····································································· 4分 ∴DG ＝AF ，∴AF ＝OF －OA ＝4－2＝2∴点G 的坐标为（2，32） ························································· 6分 （3）①∵CD ∥AB ，∴∠DGE ＝∠OFE∵△OEF 经轴对称变换后得到△OEF ′∴∠OFE ＝∠OF ′E ，∴∠DGE ＝∠OF ′E ············································ 7分 在Rt △AOD 中，∵E 是AD 的中点，∴OE ＝21AD ＝AE 又∵∠EAO ＝60°，∴∠EOA ＝∠AEO ＝60° 而∠EOF ′＝∠EOA ＝60°，∴∠EOF ′＝∠AEO∴AD ∥OF ′ ················································································· 8分 ∴∠OF ′E ＝∠DEH ，∴∠DEH ＝∠DGE 又∵∠HDE ＝∠EDG∴△DEG ∽△DHE ······································································· 9分 ②点F 的坐标为F 1（－13＋1，0），F 2（－13－5，0）··················· 12分 解答如下（原题不作要求，仅供参考）：过点E 作EM ⊥直线CD 于M ，∵CD ∥AB ，∴∠EDM ＝∠DAB ＝60° ∴EM ＝DE ·sin60°＝2×23＝3 ∵S △EHG＝21GH ·EM ＝21GH ·3＝33∴GH ＝6∵△DEG ∽△DHE ，∴DG DE ＝DEDH∴DE 2＝DG ·DH当点H 在点G 的右侧时，设DG ＝x ，则DH ＝x ＋6∴4＝x (x ＋6)，解得x 1＝－3＋13，x 2＝－3－13（舍去） ∵△DEG ≌△AEF ，∴OF ＝AO ＋AF ＝－3＋13＋2＝13－1 ∴F 1（－13＋1，0）当点H 在点G 的左侧时，设DG ＝x ，则DH ＝x －6。

2014年全国各地中考数学压轴题及答案解析（二）21．（江苏无锡）如图，菱形ABCD 的边长为2cm ，∠DAB ＝60°．点P 从A 点出发，以cm /s 的速度，沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从A 点出发，以1cm /s 的速度，沿射线AB 作匀速运动．当P 运动到C 点时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为t s ．（1）当P 异于A 、C 时，请说明PQ ∥BC ；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？解：（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ＝2，∠BAC ＝∠DAB又∵∠DAB ＝60°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝30°如图1，连接BD 交AC 于点O∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝AC∴OB ＝AB ＝1，∴OA ＝，AC ＝2运动t 秒时，AP ＝t ，AQ ＝t ，∴＝＝又∵∠P AQ ＝∠CAB ，∴△P AQ ∽△CAB∴∠APQ ＝∠ACB ，∴PQ ∥BC （2）如图2，设⊙P 与BC 切于点M ，连接PM ，则PM ⊥BC在Rt △CPM 中，∵∠PCM ＝30°，∴PM ＝PC ＝－t由PQ ＝AQ ＝t ，即 －t ＝t解得t ＝4－6，此时⊙P 与边BC 有一个公共点如图3，⊙P 过点B ，此时PQ ＝PB ∵∠PQB ＝∠P AQ ＋∠APQ ＝60°∴△PQB 为等边三角形∴QB ＝PQ ＝AQ ＝t ，∴t ＝1∴当4－6＜t≤1时，⊙P 与边BC 有2个公共点如图4，⊙P 过点C ，此时PC ＝PQ 即2－t ＝t ，∴t ＝3－∴当1＜t≤3－时，⊙P 与边BC 有一个公共点当点P 运动到点C ，即t ＝2时，⊙P 过点B此时⊙P 与边BC 有一个公共点∴当t ＝4－6或1＜t ≤3－或t ＝2时，⊙P 与菱形ABCD 的边BC 有1个公共点当4－6＜t≤1时，⊙P 与边BC 有2个公共点22．（江苏苏州）如图，正方形ABCD 的边AD 与矩形EFGH 的边FG 重合，将正方形AB CD 以lcm /s 的速度沿FG 方向移动，移动开始前点A 与点F 重合．在移动过程中，边AD 始终与边FG 重合，连接CG ，过点A 作CG 的平行线交线段GH 于点P ，连接PD ．已知正方形ABCD 的边长为lcm ，矩形EFGH 的边FG 、GH 的长分别为4cm 、3cm．设正方形移动CD图4时间为x （s ），线段GP 的长为y （cm ），其中0≤x≤2.5．（1）试求出y 关于x 的函数关系式，并求当y ＝3时相应x 的值；（2）记△DGP 的面积为S 1，△CDG 的面积为S 2，试说明S 1－S 2是常数；（3）当线段PD 所在直线与正方形ABCD 的对角线AC 垂直时，求线段PD 的长．解：（1）∵CG ∥AP ，∴∠CGD ＝∠P AG∴tan ∠CGD ＝tan ∠P AG ，Error: Reference source not found ∴＝∵GF ＝4，CD ＝DA ＝1，AF ＝x ，∴GD ＝3－x ，AG ＝4－x ∴＝，即y ＝Error: Reference source not found∴y 关于x 的函数关系式为y ＝Error: Reference source not found 当y ＝3时，Error: Reference source not found＝3，解得x ＝2.5（2）∵S 1＝GP ·GD ＝·Error: Reference source not found·(3－x)＝S 2＝GD ·CD ＝(3－x)·1＝∴S 1－S 2＝－＝，即为常数（3）延长PD 交AC 于点Q ∵正方形ABCD 中，AC 为对角线，∴∠CAD ＝45°∵PQ ⊥AC ，∴∠ADQ ＝45°∴∠GDP ＝∠ADQ ＝45°∴△DGP 是等腰直角三角形，∴GD ＝GP∴3－x ＝Error: Reference source not found，解得x ＝found∵0≤x≤2.5，∴x ＝Error: Reference source not found 在Rt △DGP 中，PD ＝Error: Reference source not found＝(3－x)＝23．（江苏连云港）如图，甲、乙两人分别从A （1，）、B （6，0）两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以4km /h 的速度行走，t h 后，甲到达M 点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达O 点前，MN 与AB 不可能平行．（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长，设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．HH FEP GH HF E P G解：（1）∵A （1，），∴OA ＝2，∠AOB ＝60°假设MN ∥AB ，则有＝∵OM ＝2－4t ，ON ＝6－4t ，∴＝ 解得t ＝0即在甲、乙两人到达O 点前，只有当t ＝0时，△OMN ∽△OAB ∴MN 与AB 不可能平行（2）∵甲达到O 点时间为t ＝＝，乙达到O 点时间为t ＝＝∴甲先到达O 点，∴t ＝或t ＝时，O 、M 、N 三点不能构成三角形①当t＜时，若△OMN ∽△OBA ，则有 ＝解得t ＝2＞，∴△OMN 与△OBA 不相似②当 ＜t ＜时，∠MON ＞∠OAB ，显然△OMN 与△OBA 不相似③当t ＞ 时， ＝ ，解得t ＝2＞∴当t ＝2时，△OMN ∽△OBA（3）①当t ≤时，如图1，过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为H 在R t △MOH 中，∵∠AOB ＝60°∴MH ＝OM ·sin60°＝( 2－4t )× ＝( 1－2t)∴NH ＝ ( 4t －2 )＋( 6－4t)＝5－2t∴s ＝[ ( 1－2t )]2＋( 5－2t )2＝16t2－32t ＋28②当 ＜t ≤时，如图2，作MH ⊥x 轴，垂足为H 在R t △MNH 中，MH ＝ ( 4t －2 )＝( 2t －1)NH ＝ ( 4t －2 )＋( 6－4t)＝5－2t∴s ＝[ ( 1－2t )]2＋( 5－2t )2＝16t2－32t ＋28③当t ＞ 时，同理可得s ＝[ ( 1－2t )]2＋( 5－2t )2＝16t2－32t ＋28综上所述，s ＝16t2－32t ＋28∵s ＝16t 2－32t ＋28＝16( t －1)2＋12∴当t ＝1时，s 有最小值为12∴甲、乙两人距离的最小值为2km24．（江苏南通）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10厘米，BC ＝12厘米，D 是BC 的中点．点P 从B 出发，以a 厘米/秒（a ＞0）的速度沿BA 匀速向点A 运动，点Q 同时以1厘米/秒的速度从D 出发，沿DB 匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t 秒．（1）若a ＝2，△BPQ ∽△BDA ，求t 的值；（2）设点M 在AC 上，四边形PQCM 为平行四边形．①若a ＝，求PQ 的长；②是否存在实数a ，使得点P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．CBDAQ P解：（1）∵BC ＝12，D 是BC 的中点∴BD ＝C D ＝6∵a ＝2，∴BP ＝2t ，DQ ＝t ，BQ ＝6－t ∵△BPQ ∽△BDA ，∴＝∴＝，∴t ＝（2）①∵a ＝，∴BP ＝t∵四边形PQCM 为平行四边形，∴PQ ∥AC ∴△BPQ ∽△BAC ，∴＝∴＝，∴t ＝，∴BP ＝∵AB ＝AC ，∴PQ ＝BP ＝②不存在理由：假设存在实数a ，使得点P 在∠ACB的角平分线上则四边形PQCM 为菱形，∴BP ＝PQ ＝CQ ＝6＋t 由①知，＝，∴＝∴t ＝－＜0∴不存在实数a ，使得点P 在ACB 的角平分线上25．（江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系xO y 中，已知直线l 1：y ＝x 与直线l 2：y ＝－x ＋6相交于点M ，直线l 2与x 轴相交于点N ．（1）求M 、N 的坐标；（2）在矩形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝2，边AB 在x 轴上，矩形ABCD 沿x 轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD 与△OMN 的重合部分的面积为S ，移动的时间为t （从点B 与点O 重合时开始计时，到点A 与点N 重合时计时结束）．直接写出S 与自变量t 之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，S 的值最大？并求出最大值．解：（1）对于y ＝－x ＋6，令y ＝0，得x ＝∴点N 的坐标为（6，0）CB DAQ P MBA CDOB由题意，得解得∴点M 的坐标为（4，2）（2）当0≤t≤1时，S ＝t2当1＜t≤4时，S ＝t －当4＜t＜5时，S ＝－ t2＋t －当5≤t＜6时，S ＝－t ＋当6≤t≤7时，S ＝(7－t)2（3）解法一：当0≤t≤1时，S 最大＝当1＜t≤4时，S 最大＝当4＜t＜5时，S ＝－(t －)2＋∴当t ＝时，S 最大＝当5≤t＜6时，S 最大＝当6≤t≤7时，S 最大＝综上可知，当t ＝时，S解法二：由（2）中的函数关系式可知，S 当4＜t＜5时，S ＝－(t －)2＋∴当t ＝时，S 的值最大，且最大值是 26．（江苏模拟）已知抛物线与x 轴交于B 、C （1，0）两点，与y 轴交于点A ，顶点坐标为（，－）．P 、Q 分别是线段AB 、OB 上的动点，它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速运动，速度均为每秒1个单位，设P 、Q 运动时间为t （0≤t ≤4）．（1）求此抛物线的解析式，并求出P 点的坐标（用t 表示）；（2）当△OPQ 面积最大时求△OBP 的面积；（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？（4）△OPQ 是否可能为等边三角形？若可能请求出t 的值；若不可能请说明理由，并改变Q 点的运动速度，使△OPQ 为等边三角形，求出Q 点运动的速度和此时t 的值．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a (x －)2－∵抛物线过点C （1，0）∴0＝a (1－)2－，∴a ＝∴y ＝(x －)2－令y ＝0，得x 1＝1，x 2＝4，∴B （4，0）令x ＝0，得y ＝3，∴A （0，3）A MCD B A C DBB∴AB ＝＝5过点P 作PM ⊥y 轴于M 则△AMP ∽△AOB ，∴＝＝即＝＝，∴AM ＝t ，PM ＝t ∴P （t ，3－t ）（2）过点P 作PN ⊥x 轴于N ∴S △OPQ＝OQ ·PN ＝·t ·(3－t)＝－t2＋t ＝－(t －)2＋∴当t ＝ 时，△OPQ 面积最大此时OP 为AB 边上的中线∴S △OBP＝S △AOB＝××3×4＝3（3）若∠OPQ ＝90°，则OP 2＋PQ 2＝OQ 2∴( t)2＋(3－ t)2＋(t －t)2＋(3－t)2＝t2解得t 1＝3，t 2＝15（舍去）若∠OQP ＝90°，则PM ＝OQ ∴t ＝t ，∴t ＝0（舍去）∴当t ＝3时，△OPQ 为直角三角形（4）∵OP 2＝( t)2＋(3－ t)2，PQ 2＝(t － t)2＋(3－ t)2∴OP ≠PQ ，∴△OPQ 不可能是等边三角形设Q 的速度为每秒k 个单位时，△OPQ 为等边三角形则OQ ＝2PM ，∴kt ＝2·t ，得k ＝PN ＝OP ＝OQ ，∴3－t ＝ ·t ∴t ＝27．（江苏模拟）如图，在梯形纸片ABCD 中，BC ∥AD ，∠A ＋∠D ＝90°，tan A ＝2，过点B 作BH ⊥AD 于H ，BC ＝BH ＝2．动点F 从点D 出发，以每秒1个单位的速度沿DH 运动到点H 停止，在运动过程中，过点F 作FE ⊥AD 交折线D －C －B 于点E ，将纸片沿直线EF 折叠，点C 、D 的对应点分别是点C 1、D 1．设F 点运动的时间是t （秒）．（1）当点E 和点C 重合时，求t 的值；（2）在整个运动过程中，设△EFD 1或四边形EFD 1C 1与梯形ABCD 重叠部分面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式和相应自变量t 的取值范围；（3）平移线段CD ，交线段BH 于点G ，交线段AD 于点P ．在直线BC 上是否存在点Q ，使△PGQ 为等腰直角三角形？若存在，求出线段BQ 的长；若不存在，说明理由．解：（1）过点C 作CK ⊥AD 于K则四边形BHKC 是矩形，∴HK ＝BC ＝2，CK ＝BH ＝2在Rt △CKD 中，∠DCK ＋∠D ＝90°∵∠A ＋∠D ＝90°，∴∠DCK ＝∠AD 1ABCFEDHAB CDH备用图AB CDH K∴tan ∠DCK ＝tan A ＝2，即＝2∴DK ＝4，即t ＝4（2）∵＝tan A ＝2，BH ＝2，∴AH ＝1∴AD ＝AH ＋HK ＋DK ＝1＋2＋4＝7①当0＜t≤3.5时，重叠部分为△EFD 1由题意，D 1F ＝DF ＝t在Rt △EFD 中，∠DEF ＋∠D ＝90°∵∠A ＋∠D ＝90°，∴∠DEF ＝∠A∴tan ∠DEF ＝tan A ＝2，即＝2，∴EF ＝t ∴S ＝S △EFD 1＝D 1F ·EF ＝t ·t ＝ t2②当3.5＜t≤4时，重叠部分为四边形AFEM过点M 作MN ⊥AD 于N则tan A ＝D 1A ＝2t －7，＝tan A ＝2，得AN ＝MN＝tan D 1＝tan D ＝cot A ＝即 ＝ ，得MN ＝ ( 2t －7)∴S ＝S △EFD 1 － S △MD 1A ＝ t 2－ ( 2t －7 )·( 2t －7)＝－ t 2＋ t －③当4＜t≤5时，重叠部分为五边形AFEC 1MS ＝S △C 1D 1FE － S △MD 1A ＝ ( t －4＋t )·2－ ( 2t －7 )·( 2t －7)＝－ t 2＋ t －④当5＜t≤6时，重叠部分为梯形AFEBS ＝S 梯形AFEB ＝ ( 6－t ＋7－t)·2＝－2t ＋13（3）①当点P 为直角顶点时作QO ⊥AD 于O ，则∠GPH ＋∠QPO ＝90°∵∠GPH ＋∠PGH ＝90°，∴∠PGH ＝∠QPO又∵PG ＝PQ ，∠GHP ＝∠POQ ＝90°∴△GHP ≌△POQ ，∴HP ＝OQ ＝2，PO ＝OQ ＝1∴BQ ＝HO ＝3②当点Q 为直角顶点时同①可证△BQG ≌△OQP ，∴BQ ＝OQ ＝2③当点G 为直角顶点时同①可证△BQG ≌△HGP ，∴BG ＝HP ＝2GH ＝2BQ∵BG ＋GH ＝BH ，∴2BQ ＋BQ ＝2，∴BQ ＝∴在直线BC 上存在点Q ，使△PGQ 为等腰直角三角形，线段BQ 的长为3，2，28．（江苏模拟）如图1，直线l ：y ＝－x ＋3分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，等腰Rt △CDE 的斜边C D 在x 轴上，且C D ＝6．若直线l 以每秒3个单位的速度向上匀速运动，同时点C 从（6，0）开始以每秒2个单位的速度向右匀速运动（如图2），设运动后直线l 分别交x 轴、y 轴于N 、M 两点，以OM 、ON 为边作如图所示的矩形OMPN ．设运动时间为t 秒．（1）运动t 秒后点E 坐标为______________，点N 坐标为______________（用含t 的代数式表示）；（2）设矩形OMPN 与运动后的△CDE 的重叠部分面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围；（3）若直线l 和△CDE 运动后，直线l 上存在点Q 使∠OQC ＝90°，则当在线段MN 上符111A B C DH P O QG A B C DH P O G (Q )A B C DH P G Q合条件的点Q 有且只有两个时，求t 的取值范围；（4）连接PC 、PE ，当△PCE 是等腰三角形时，直接写出t 的值．解：（1）E （9＋2t ，3），N （4＋4t ，0）（2）运动t 秒时，ON ＝4＋4t ，OC ＝6＋2t ，OD ＝12＋2t 当点N 与点C 重合时，4＋4t ＝6＋2t ，得t ＝1当点E 在边PN 上时，4＋4t ＝9＋2t ，得t ＝2.5当点N 与点D 重合时，4＋4t ＝12＋2t ，得t ＝4①当1＜t≤2.5时，重叠部分为等腰Rt △CFN CN ＝FN ＝4＋4t －(6＋2t)＝2t －2∴S ＝(2t －2 )2＝2t 2－4t ＋2②当2.5＜t＜4时，重叠部分为四边形CEGN ND ＝12＋2t －(4＋4t)＝8－2t∴S ＝S △CDE－S △NGD＝×6×3－(8－2t)2＝－2t 2＋16t －23③当t ≥4时，重叠部分为△CDE ∴S ＝×6×3＝9（3）①当直线l 过点C ，即C 、N 重合时，则线段MN 上只存在一点Q 使∠OQC ＝90°由（2）知，此时t ＝1②以OC 为直径作⊙O ′，当直线l 切⊙O ′ 于点Q 时，则线段MN 上只存在一点Q 使∠OQC ＝90°OO ′＝O ′Q ＝OC ＝3＋tO ′N ＝ON －OO ′＝4＋4t －(3＋t)＝1＋3t 由＝sin ∠O ′NQ ＝sin ∠MNO ＝得＝，解得t ＝3所以当在线段MN 上符合条件的点Q 有且只有两个时，t 的取值范围是1＜t＜3（4）t ＝，t ＝，t ＝，t ＝1提示：∵P （4＋4t ，3＋3t ），C （6＋2t ，0），E （9＋2t ，3∴PC 2＝(2t －2)2＋(3＋3t)2PE 2＝(2t －5)2＋(3t)2，CE 2＝18若PC ＝PE ，则(2t －2)2＋(3＋3t)2＝(2t －5)2＋(3t)2解得t ＝若PC ＝CE ，则(2t －2)2＋(3＋3t)2＝18解得t ＝（舍去负值）若PE ＝CE ，则(2t －5)2＋(3t)2＝18解得t ＝1或t ＝29．（江苏模拟）如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c A 、B （A 在B 的左侧），连接AC 、BC ，得等边△ABC ．点的速度向点A 运动，同时点Q 从点C 出发，以每秒个单位的速度向y 轴负方向运动，连接PQ 交射线BC 于点D ，当点P 到达点A 时，点Q 停止运动．设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）设△PQC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；（3）以点P 为圆心，PB 为半径的圆与射线BC 交于点E ，试说明：在点P 运动的过程中，线段DE 的长是一定值，并求出该定值．解：（1）∵抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 的顶点为C （0，－）∴抛物线的对称轴是y 轴，∴b ＝0可设抛物线的解析式为y ＝ax2－∵△ABC 是等边三角形，且CO ⊥AB ，CO ＝∴AO ＝1，∴A （－1，0）把A （－1，0）代入y ＝ax 2－，得a ＝∴抛物线的解析式为y ＝x2－（2）当0＜t＜1时，OP ＝1－t ，CQ ＝t ∴S ＝CQ ·OP ＝·t ·(1－t)＝－ t2＋t 当1＜t＜2，OP ＝t －1，CQ ＝t ∴S ＝CQ ·OP ＝·t ·(t －1)＝ t2－t（3）连接PE ，过D 作DH ⊥y 轴于H ，设DH ＝a ①当0＜t＜1时∵PB ＝PE ，∠PBE ＝60°∴△PBE 为等边三角形∴BE ＝PB ＝t ∵△QDH ∽△QPO ∴＝，即＝∴a ＝，∴DC ＝1－t∴DE ＝CB －EB －DC ＝2－t －(1－t)＝1②当1＜t＜2时同理，△QDH ∽△QPO ，得＝∴＝∴a ＝，∴DC ＝t －1∴DE ＝DC ＋CE ＝t －1＋(2－t)＝1综上所述，在点P 运动的过程中，线段DE 的长是定值230．（河北）如图，点A （－5，0），B （－3，045°，CD ∥AB ，∠CDA ＝90°．点P 从点Q （4，0度运动，运动时间为t 秒．（1）求点C 的坐标；（2）当∠BCP ＝15°，求t 的值；（3）以点P为圆心，PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 解：（1）∵∠BCO ＝∠CBO ＝45°，∴OC ＝OB ＝3又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴点C 的坐标为（0，3）（2）当点P 在点B 右侧时，如图2若∠BCP ＝15°，得∠PCO ＝30°故OP ＝OC ·tan30°＝此时t ＝4＋当点P 在点B 左侧时，如图3由∠BCP ＝15°，得∠PCO ＝60°故OP ＝OC ·tan60°＝3此时t ＝4＋3∴t 的值为4＋或4＋3（3）由题意知，若⊙P 与四边形ABCD 的边相切，有以下三种情况：①当⊙P 与BC 相切于点C 时，有∠BCP ＝90°从而∠OCP ＝45°，得到OP ＝3，此时t ＝1②当⊙P 与CD 相切于点C 时，有PC ⊥CD 即点P 与点O 重合，此时t ＝4③当⊙P 与AD 相切时，由题意，∠DAO ＝90°∴点A 为切点，如图4PC 2＝P A 2＝(9－t)2，PO 2＝(t －4)2于是(9－t)2＝(t －4)2＋32，解得：t =5.6∴t 的值为1或4或5.631．（河北模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6．点P 从点A 出发沿AB 以每秒2个单位长的速度向点B 匀速运动；点Q 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动．运动过程中DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线PB －BC 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点P 到达点B 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒．（1）当t ＝______________秒，直线DE 经过点B ；当t ＝______________秒，直线DE 经过点A ；（2）四边形DPBE 能否成为直角梯形？若能，求t 的值；若不能，请说明理由；（3）当t 为何值时，点E 是BC 的中点？（4）以E 为圆心，EC 长为半径的圆能否与AB 、AC 、PQ 同时相切？若能，直接写出t 的值；若不能，请说明理由．解：（1）；2提示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6∴BC ＝＝ ＝8当直线DE 经过点B 时，连接QB ，则PB ＝QB ∴(10－2t)2＝t2＋82，解得t ＝（舍去）或t ＝当直线DE 经过点A 时，AP ＝AQ ∴2t ＝6－t ，即t ＝2（2）①当DE ∥PB 时，四边形DPBE 是直角梯形BQ ADCPEBQ ADCP (E )此时∠APQ ＝90°，由△AQP ∽△ABC ，得＝即＝，解得t ＝②当PQ ∥BC 时，四边形DPBE 是直角梯形此时∠AQP ＝90°，由△APQ ∽△ABC ，得＝即＝，解得t ＝（3）连接QE 、PE ，作EG ⊥PB 于G ，则QE ＝PE ∵QE 2＝t2＋42PE 2＝PG 2＋EG 2＝(10－2t －×4)2＋(×4)2∴t2＋42＝(10－2t －×4)2＋(×4)2解得t ＝（舍去）或t ＝（4）不能设⊙E 与AB 相切于F 点，连接EF 、EP 、EQ 则EC ＝EF ，EQ ＝EP ，∠ECQ ＝∠EFP ＝90°∴△ECQ ≌△EFP ，∴QC ＝PF∴∠C ＝90°，∴⊙E 与AC 相切于C 点∴AC ＝AF ，∴AQ ＝AP 又AD ＝AD ，DQ ＝DP∴△ADQ ≌△ADP ，∴∠ADQ ＝∠ADP ＝90°又∠QDE ＝90°，∴A 、D 、E 三点在同一直线上由（1）知，此时t ＝2，AQ ＝6－t ＝4∵AB ＝10，AC ＝6，∴sin B ＝＝＝设EC ＝EF ＝x ，则EB ＝＝x ∴EC ＋EB ＝BC ，∴x ＋x ＝8∴x ＝3，∴EC ＝EF ＝3∴AE ＝＝＝3易知△ADQ ∽△ACE ，∴＝∴＝，∴AD ＝∴ED ＝AE －AD ＝3－＝＝而EC ＝3＝，∴ED ＞EC ∴此时⊙E 与PQ 相离∴⊙E 不能与AB 、AC 、PQ 同时相切32．（山东青岛）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，连接DE ．点P 从点D 出发，沿DE 方向匀速运动，速度为1cm /s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为2cm /s ，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ⊥AB ？（2）当点Q 在B 、E 之间运动时，设五边形PQBCD 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t ，使PQ 分四边形BCDE 两部分的面积之比为S △PQE :S 五边形PQBCD＝1 :29？若存在，求出此时t 的值以及点E 到PQ 的距离h ；若不存在，请说明理由．A BC备用图EDAB C DBQ ADC P EBQAD CPEBQ ADCEPGBQ ADC PEF1①Rt△ABC C90ºAC6BC8－＋×12当t＝2时，PM＝(4－2)＝，ME＝(4－2)＝EQ＝5－2×2＝1，MQ＝ME＋EQ＝＋1＝PQ＝＝∵PQ·h＝，∴h＝×＝33．（山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4），以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P 从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G．当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H B B解：（1）A （1，4）由题意，可设抛物线解析式为y ＝a (x －1)2＋4∵抛物线过点C （3，0）∴0＝a (3－1)2＋4，∴a ＝－1∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋4即y ＝－x2＋2x ＋3（2）∵A （1，4），C （3，0）∴可求直线AC 的解析式为y ＝－2x ＋6P （1，4－t ） 将y ＝4－t 代入y ＝－2x ＋6中，解得点E 的横坐标为x ＝1＋∴点G 的横坐标为1＋，代入抛物线的解析式中，可求点G 的纵坐标为4－∴GE ＝( 4－ )－( 4－t )＝t －又点A 到GE 的距离为 ，C 到GE 的距离为2－即S △ACG ＝S △AEG ＋ S △CEG ＝ EG · ＋ EG ( 2－ )＝ ·2( t － )＝－ ( t －2)2＋1当t ＝2时，S △ACG 的最大值为1（3）t ＝或t ＝20－8提示：∵A （1，4），C （3，0），∴AB ＝4，BC ＝2∴AC ＝ ＝2，∴cos ∠BAC ＝ ＝ ＝∵PE ⊥AB ，AP ＝t ，∴AE ＝ ＝t ∴CE ＝2－t若EQ ＝CQ ，则在矩形ABCD 内存在点H ，使四边形CQEH 为菱形过点Q 作QN ⊥EC 于N ，则CE ＝2CN在Rt △QNC 中，CN ＝CQ ·cos ∠ACD ＝CQ ·cos ∠BAC ＝t ∴2－ t ＝ t ，解得t ＝若CE ＝CQ ，则在矩形ABCD 的AD 边上存在点H ，使四边形CQHE 为菱形∴2－t ＝t ，解得t ＝20－834．（山东模拟）把Rt △ABC 和Rt △DEF 按图1摆放（点C 与点B 、C （E ）、F 在同一条直线上．∠BAC ＝∠DEF ＝90°，∠ABC ＝45°，BC ＝＝8．如图2，△DEF 从图1的位置出发，以1个单位/秒的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△DEF 的顶点F 出发，以3个单位/秒的速度沿FD 向点D 匀速移动．当点P 移动到点D 时，P 点停止移动，△DEF 也随之停止移动．DE 与AC 相交于点Q ，连接BQ 、PQ ，设移动时间为t （s ）．（1）设△BQE 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）当t 为何值时，三角形DPQ 为等腰三角形？（3）是否存在某一时刻t ，使P 、Q 、B 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．(E )AD图1A D图2PQ解：（1）∵∠ACB ＝45°，∠DEF ＝90°，∴∠EQC ＝45°∴EC ＝EQ ＝t ，∴BE ＝9－t ∴y ＝BE ·EQ ＝(9－t)t 即y ＝－ t2＋t （0＜t≤）（2）在Rt △DEF 中，∵∠DEF ＝90°，DE ＝6，EF ＝8∴DF ＝＝＝10①当DQ ＝DP 时，则6－t ＝10－3t ，解得t ＝2②当PQ ＝PD 时，过P 作PG ⊥DQ 于G 则DH ＝HQ ＝(6－t)∵HP ∥EF ，∴△DHP ∽△DEF ∴＝，即 ＝ ，解得t ＝③当QP ＝QD 时，过Q 作QH ⊥DP 于H 则DH ＝HP ＝ ( 10－3t)可得△DHQ ∽△DEF ，∴ ＝即 ＝ ，解得t ＝（3）假设存在某一时刻t ，使P 、Q 、B 三点在同一条直线上过P 作PK ⊥BF 于K ，则△PKF ∽△DEF ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝∴PK ＝ t ，KF ＝t∵P 、Q 、B 三点共线，∴△BQE ∽△BPK ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得t ＝即当t ＝秒时，P 、Q 、B 三点在同一条直线上35．（山东模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BD ⊥AC 于D ，且BD ＝8cm ．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2cm /s ；同时直线PQ 由点B 出发沿BA 方向匀速运动，速度为1cm /s ，运动过程中始终保持PQ ∥AC ，直线PQ 交AB 于P ，交BC 于Q ，连接PM ，设运动时间为t （s ）．（1）当四边形PQCM 是等腰梯形时，求t 的值；（2）当点M 在线段PC 的垂直平分线上时，求t 的值；（3）当t 为何值时，①△PQM 是等腰三角形；②△PQM 是直角三角形；（4）是否存在时刻t ，使以PM 为直径的圆与BC 相切？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．AD P QABD EFPQC G ABD E FHQCPAD PQ解：（1）作PE⊥AC于E，作QF⊥AC于F 若四边形PQCM是等腰梯形，则ME＝CF 易知四边形PQFE是矩形，∴EF＝PQ∴PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC∴AB＝AC，∴PQ＝PB＝t，∴EF＝t∴AB＝10，BD＝8，∴AD＝＝6易证△APE∽△ABD，∴＝即＝，∴AE＝6－t∴ME＝AE－AM＝6－t－2t＝6－tCF＝AC－(AE＋EF)＝10－(6－t＋t)＝4－t由ME＝CF，得6－t＝4－t，解得t＝∴当t＝s时，四边形PQCM是等腰梯形（2）若点M在线段PC的垂直平分线上，则MP＝MC 作MG⊥AB于G，则△AMG∽△ABD∴＝＝，∴＝＝∴AG＝t，MG＝t∴PG＝10－t－t＝10－t在Rt△GPM中，MP2＝(t)2＋(10－t)2＝t2－44t＋100又∵MC2＝(10－2t)2＝4t2－40t＋100由MP＝MC，得t2－44t＋100＝4t2－40t＋100解得t1＝，t2＝0（舍去）∴当t＝s时，点M在线段PC的垂直平分线上（3）①若PQ＝PM，则t2＝t2－44t＋100即8t2－55t＋125＝0△＝(－55) 2－4×8×125＝－975＜0，方程无实数解若MP＝MQ，则点M在线段PQ的垂直平分线上作PE⊥AC于E，∴EM＝PQ＝t由（1）知，AE＝6－t∵AE＋EM＝AM，∴6－t＋t＝2t解得t＝若PQ＝MQ，作PE⊥AC于E，作QF⊥AC于F由（1）知，QF＝PE∴△APE∽△ABD，∴＝即＝，∴QF＝PE＝8－t又FM＝AM－(AE＋EF)＝2t－(6－t＋t)＝t－6∴MQ2＝(8－t)2＋(t－6)2＝t2－32t＋100由PQ＝MQ，得t2＝t2－32t＋100解得t1＝，t2＝10（舍去）∴当t＝s或t＝s时，△PQM是等腰三角形②若∠MPQ＝90°，则AM＝6－t∴2t＝6－t，∴t＝若∠PMQ＝90°，则PM2＋QM2＝PQ2∴t2－44t＋100＋t2－32t＋100＝t2即12t2－95t＋250＝0△＝(－55) 2－4×8×125＝－2975＜0，方程无实数解若∠PQM＝90°，作PE⊥AC于E则AE＝6－t，EM＝PQ＝t∵AE＋EM＝AM，∴6－t＋t＝2tEACFBDPQMAC BDPQMGEAC BDPQMEAC BDPQMFAC BDPQMEAC BDPQM∴t＝∴当t＝s或t＝s时，△PQM是直角三角形（4）设PM的中点为N，分别过P、N、M作BC的垂线，垂足为G、K、H易证△PBG∽△BCD，△MCH∽△BCD∴＝，＝∵AC＝10，AD＝6，∴DC＝4∴BC＝＝4∴＝，＝∴PG＝t，MH＝(10－2t)∴NK＝(PG＋MH)＝(10－t)若以PM为直径的圆与BC相切，则PM＝2NK∴PM2＝4NK2∴t2－44t＋100＝(10－t)2解得t1＝，t2＝∴当t＝s或t＝s时，以PM为直径的圆与BC相切36．（内蒙古包头、乌兰察布）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点D在BC上，且CD＝3cm．现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以l cm/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25cm/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P 作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．解：（1）能．∵点P的速度为l cm/秒，点Q的速度为1.25cm/秒，t＝1秒∴AP＝1，BQ＝1.25∴QD＝BC－CD－BQ＝5－3－1.25＝0.75∵PE∥BC，∴△APE∽△ACD∴＝，即＝∴PE＝0.75，∴PE＝QD∴四边形EQDP是平行四边形（2）∵AC＝4，BC＝5，AP＝t，BQ＝1.25t∴CP＝4－t，CQ＝5－1.25t∴＝，＝＝∴＝，∴PQ∥AB（3）①当∠EQD＝90°时易证△EDQ∽△ADC，∴＝A图1图1AC BDPQMG HKNA图1图1A图1图1显然点Q 在点D 右侧，DQ ＝1.25t －2，EQ ＝PC ＝4－t ∴＝，解得t ＝2.5②当∠DEQ ＝90°时易证△DEQ ∽△DCA ，∴＝∵PE ∥BC ，∴△APE ∽△ACD ，∴＝∵AC ＝4，CD ＝3，∴AD ＝5∴＝，∴AE ＝1.25t ，DE ＝5－1.25t 显然点Q 在点D 右侧，DQ ＝1.25t －2∴＝，解得t ＝3.1∴当t ＝2.5秒或t ＝3.1秒时，△EDQ 为直角三角形37．（内蒙古呼伦贝尔）如图①，在平面直角坐标系内，Rt △ABC ≌Rt △FED ，点C 、D 与原点O 重合，点A 、F 在y 轴上重合，∠B ＝∠E ＝30°，AC ＝FD ＝．△FED 不动，△ABC 沿直线BE 以每秒1个单位的速度向右平移，直到点B 与点E 重合为止．设平移时间为x （秒），平移过程中AB 与EF 的交点为M ．（1）求出图①中点B 的坐标；（2）如图②，当x ＝4秒时，求出过F 、M 、A 三点的抛物线的解析式；此抛物线上有一动点P ，以点P 为圆心，以2为半径的⊙P 在运动过程中是否存在与y 轴相切的情况，若存在，直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设移动x 秒后两个三角形重叠部分的面积为S ，求出整个运动过程中S 与x 的函数关系式．解：（1）如图①，在Rt △ABC 中，AC ＝，∠B ＝30°∴BC ＝AC ＝3，∴B （－3，0）（2）如图②，∵x ＝4，∴A （4，），B （1，0）过M 作MH ⊥BE 于H由题意，OE ＝BC ＝3，∴BE ＝2∵∠B ＝∠E ，∴MB ＝ME∴BH ＝BE ＝1，∴OH ＝2，MH ＝∴M （2，）设抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c ，把F 、M 、A 三点坐标代入 解得∴抛物线的解析式为y ＝x2－x ＋P 1（2，）或P 2（－2，3）提示：若半径为2的⊙P 与y 轴相切，那么点P 的横坐标为2或－2A图1图1当x ＝2时，y ＝x2－x ＋＝当x ＝－2时，y ＝x2－x ＋＝3∴存在符合条件的点P ，坐标为P 1（2，）或P 2（－2，3）（3）当点B 、O 重合时，x ＝3，所以整个运动过程可分为两个阶段：①当0≤x＜3时，如图③BO ＝3－x ，CD ＝x ，OG ＝CH ＝BO ＝ ( 3－x)FG ＝－ ( 3－x )＝x∴S ＝S 梯形FDCH －S △FGM＝ [ ＋ ( 3－x )]·x －·x ··x＝－ x2＋x②当3≤x ≤6时，如图④，BE ＝3－( x －3)＝6－x∴S ＝S △BME ＝ ( 6－x )· ( 6－x )·＝ x2－x ＋3综上所述，S 与x 的函数关系式为：S ＝38．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，Ox 轴正半轴上，且OA ＝4，AB ＝2，将△OAB 沿某条直线翻折，使OA 与y 轴正半轴的OC 重合．点B 的对应点为点D ，连接AD 交OB 于点E ．（1）求AD 所在直线的解析式：（2）连接BD ，若动点M 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿射线AO 运动，线段AM 的垂直平分线交直线AD 于点N ，交直线BD 于点Q ．设线段QN 的长为y （y ≠0），点M 的运动时间为t 秒，求y 与t 之问的函数关系式（直接写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接MN ，当t 为何值时，直线MN 与过D 、E 、O 三点的圆相切，解：（1）由题意，△OAB ≌△OCD ∴OC ＝OA ＝4，CD ＝AB ＝2∴D （2，4）设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A （4，0），D （2，4）代入 解得∴y ＝－2x ＋8（2）由B （4，2），D （2，4），可得直线BD 的解析式为y ＝－x ＋6∵直线NQ 垂直平分线段AM∴NH ⊥AM ，AH ＝MH ＝AM ＝×2t ＝t备用图B D OC M H G BDE M∴OH ＝4－t ，∴H （4－t ，0）∴点Q 、N 的横坐标为为4－t∴QH ＝－(4－t)＋6＝t ＋2，NH ＝－2(4－t)＋8＝2t 当0＜t＜2时，点Q 在点N 上方y ＝QN ＝t ＋2－2t ＝－t ＋2当t＞2时，点Q 在点N 下方y ＝QN ＝2t －(t ＋2)＝t －2（3）过点D 作DF ⊥OA 于F ，则CD ∥OF ，CD ＝OF ＝2∴OA ＝4，∴AF ＝OF ＝2∴DF ⊥OA ，∴OD ＝AD ，∠ODC ＝∠DOF ＝∠DAF ∴△OAB ∴△OCD ，∴∠COD ＝∠AOB∴∠COD ＋∠AOD ＝90°，∴∠OED ＝∠AOB ＋∠OAD ＝90°∴OD 为经过D 、E 、O 三点的圆的直径，OD 的中点O ′ 为圆心在Rt △OCD 中，OD ＝＝2tan ∠COD ＝＝，tan ∠ODC ＝＝2∵NH 垂直平分线段AM ，∴∠NMA ＝∠NAM∴∠DOA ＝∠NAM ，∠NMA ＝∠DOA ，∴MN ∥OD设直线MN 与⊙O ′ 相切于G 点，连接O ′G ，作GK ⊥OA 于K ，MI ⊥则∠OO ′G ＝∠O ′GM ＝90°∵MI ⊥OD ，∴四边形O ′IMG 为矩形∴IM ＝O ′G ＝，MG ＝O ′I∴OI ＝，OM ＝，∴MG ＝O ′I ＝∴KG ＝1，MK ＝，∴OK ＝3，∴G （3，1）∴OM ＋AM ＝OA ，∴＋2t ＝4，∴t ＝同理可求当t ＝时，切点G （－1，3）∴当t ＝或t ＝时，直线MN 与过D 、E 、O 1，3）39．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点A ，与正比例函数y ＝－x 的图象交于点B ，过B 点作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，C （0，8）．（1）求直线AB 的解析式；（2）动点M 从点A 出发沿线段AO 以每秒1个单位的速度向终点O 匀速移动，过点M 作x 轴的垂线交折线A －B －O 于点P ．设M 点移动的时间为t 秒，线段BP 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，动点Q 同时从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿折线O －C －B 向点B 移动，当动点M 停止移动时，点Q 同时停止移动．当t 为何值时，△BPQ 是等腰三角形？备用图备用图解：（1）∵BC⊥y轴，点C为垂足，C（0，8）∴点B的纵坐标为8∴y＝－x，当y＝8时，x＝－6，∴B（－6，8）把（－6，8）代入y＝x＋b，得8＝－6＋b，∴b＝14 Array∴直线AB的解析式为y＝x＋14（2）由题意得AM＝t∴直线AB：y＝x＋14交x轴于点A∴A（－14，0），∴OA＝14过点B作BD⊥x轴于点D∴B（－6，8），∴BD＝8，OD＝6∴AD＝14－6＝8，∴AB＝＝810∴∠BAD45°cos∠DOB∵BP ＝ ( t －8 )，BK ＝ ( 14－t )∴( t －8 )＝ ( 14－t )，解得t ＝综上，当t ＝2或t ＝10或t ＝ 或t ＝时，△BPQ 是等腰三角形40．（哈尔滨模拟）如图，直线y ＝ x ＋12分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，直线BC 交x 轴于点C ，且AB ＝AC ．（1）求直线BC 的解析式；（2）点P 从点C 出发沿线段CO 以每秒1个单位的速度向点O 运动，过点P 作y 轴的平行线，分别交直线BC 、直线AB 于点Q 、M ，过点Q 作QN ⊥AB 于点N ．设点P 的运动时间为t （秒），线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）若经过A 、N 、Q 三点的圆与直线BC 交于另一点K ，当t 为何值时，KQ : AQ ＝ :10？解：（1）∵直线y ＝ x ＋12分别与x∴A （－9，0），B （0，12），∴OA ＝9，OB ＝12∴AB ＝ ＝15，∴sin ∠BAO ＝ ＝∵AB ＝AC ，∴AC ＝15，∴C （6，0）设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b∴ 解得∴直线BC 的解析式为y ＝－2x ＋12（2）由题意，PC ＝t ，∴OP ＝6－t∴点P 的横坐标为6－t∴PM ＝ ( 6－t )＋12，PQ ＝－2( 6－t )＋12∴MQ ＝PM －PQ ＝20－ t∵∠AMP ＋∠MAP ＝∠AMP ＋∠MQN ＝90°∴∠MQN ＝∠MAP ＝∠BAO∴sin ∠MQN ＝sin ∠BAO ＝ ∴MN ＝MQ ·sin ∠MQN ＝ ( 20－ t )＝16－ t∴d ＝16－ t （0≤t ＜6）（3）连接AK 、AQ∵∠ANQ ＝90°，∴AQ 为经过A 、N 、Q 三点的圆的直径∴∠AKQ ＝90°∵OB ＝12，OC ＝6，∴BC ＝ ＝6由S △ABC ＝ AC ·OB ＝ BC ·AK ，得AK ＝6∵KQ : AQ ＝ :10，∴设KQ ＝m ，则AQ ＝m在Rt△AKQ中，AK2＋KQ2＝AQ2∴(6)2＋m2＝(m)2，m＝2∴AQ＝m＝10∵tan∠BCO＝＝2，∴PQ＝PC·tan∠BCO＝2t 在Rt△AQP中，AP2＋PQ2＝AQ2∴(15－t)2＋(2t)2＝(10)2解得t1＝1，t2＝5∴当t＝1或t＝5时，KQ:AQ＝:10。

24. (2014?广州)(本小题满分14分)已知平面直角坐标系中两定点A( -1, 0), B( 4, 0),抛物线「过点A B,顶点为C.点P( m n)( n<0)为抛物线上一点.(1) 求抛物线的解析式与顶点C的坐标.(2) 当/ APB为钝角时，求m的取值范围.(3) 若」，当/ APE为直角时，将该抛物线向左或向右平移t ( • I )个单位，点P、2 2C移动后对应的点分别记为「-、」，是否存在t ,使得首尾依次连接A E」所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由.【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法；(2) 存在性问题，相似三角形；(3) 最终问题，轴对称，两点之间线段最短a-b-2^0解得：；16滋+ 4占-4 = 01 , 3抛物线解析式为；' ■::2 2一b 3 3 1 .顶点横坐标，将：- 代入抛物线得r -2a2 2 2] 3⑵如图，当二七三—时,设' ,1 2 3沪一沪一2过-作直线' | 轴，.；匸匚亠；一MED-出FD.AE_DF_1 a~-2b = -2【答案】(1)解:依题意把.丨「的坐标代入得：_x,-_x n~ 22 2 4-心.. ------------------------ =------------------ ------ （注意用整体代入法）知+1 2 3严-尹2解得—丄工.：——二当「在止丄N之间时，―二—.丁「或二:•〔:: 一时，_■_■ 11 为钝角.（3）依题意m>3,且山哥二吋■■刊3厂2）设丨'移动- :厂向右，-，向左）玖3+盒*（和厂字）2 8连接又匚「’」的长度不变.四边形周长最小，只需最小即可将一"一］沿T轴向右平移5各单位到处13三“「上一最小，且最小为，此时「「--2医讣+—兰2 8[(3^t)k+b = 2"直+2 28 即^ "'I.：28 28二宀厶：」，解得:28 281541；沿.T轴对称为厂•••当且仅当、B、r三点共线时, 二■:.J., 设过的直线为-二,代入如图7,梯形O中，土」二，八E J厂-，丄’:，芒；—四，二：|，点二为线段CD上一动点（不与点C重合），ABCS 关于BE的轴对称图形为丄三，连接一丁，设二，..，_匸「的面积为的面积为：.（1）当点「落在梯形ABCD的中位线上时，求.丁的值；、、一爲…卄（2）试用」.表示，，并与出」.的取值氾围；S.（3）当的外接圆与，丄相切时，求，的值.【答案】解：（1）如图1,£:为梯形丄二「二的中位线，则CH 二HB=2，过点匸作>:丄上二于点丄，则有:厂厂一、一；.工一’厂一■.在―二中，有.在二_ a 中，■■一 d 口厂卩工丁又m :：.<-■-- ■丿厂-+解得:（2）如图2,二：交」「于点「，厂r二「了与吭上关于，亏对称, 则有:—二，又-亠」二:伽-出CJ 护黑€又川二上与二—关于丄丄对称，-工;「二•'江岚,-，「门二"；|-- 二邑二涯二隆二工（0“金）■ 5 汕16（3）如图3,当m；文的外接圆与，匕，相切时，则匚「为切点• 的圆心落在丄丄的中点，设为二则有.口」”过点[作，「丄y丄汇.mT 连接—「得恥=耐?,则陀=『罔占韦i又匸亠二一―亠..色辿」x2石丄耐+竺+《丄+竺2 2 2 2 2 2 2 解得：.〔—「*•[ :...-二丄匚（舍去）.笙匕（J2+20舛川9-8常右16 16① ② ③24. (2013?广州)(本小题满分14分)已知AB是O O的直径，AB=4,点C在线段AB的延长线上运动，点D在O O上运动(不与点B重合)，连接CD，且CD=OA.(1) 当OC= 2 .2时(如图12)，求证：CD是O O的切线;(2) 当OC> 2.2时，CD所在直线于O O相交，设另一交点为E,连接AE.①当D为CE中点时，求△ ACE的周长；②连接OD,是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE-ED的值；若不存在，请说明理由。

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇1．（浙江省杭州市）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝41x2＋1，点C 的坐标为（－4，0），平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q （x ，y ）在抛物线上，点P （t ，0）在x 轴上． （1）写出点M 的坐标； （2）当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时．①求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；②当梯形CMQP 的两底的长度之比为1 :2时，求t 的值．1．解： （1）∵OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC ，且＝OC ＝4∵A ，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴，∴A ，B 的横坐标分别是2和－2代入y ＝41x2＋1，得A （2，2），B （－2，2）∴M （0，2） ················································· 2分（2）①过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，连接CM 则QH ＝y ，PH ＝x －t由△PHQ ∽△COM ，得：2y ＝4tx ，即t ＝x －2y ∵Q （x ，y ）在抛物线y ＝41x2＋1上∴t ＝－21x2＋x －2 ··········································· 4分当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时，t ＝－4，解得x ＝1±5 当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x ＝±2∴x 的取值范围是x ≠1±5且x ≠±2的所有实数 ········································· 6分 ②分两种情况讨论：ⅰ）当CM ＞PQ 时，则点P 在线段OC 上∵CM ∥PQ ，CM ＝2PQ ，∴点M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍即2＝2(41x2＋1)，解得x ＝0∴t ＝－21×02＋0－2＝－2 ········································································· 8分ⅱ）当CM ＜PQ 时，则点P 在OC 的延长线上∵CM ∥PQ ，CM ＝21PQ ，∴点Q 纵坐标为点M 纵坐标的2倍即41x2＋1＝2×2，解得：x ＝±32·························································· 10分 当x ＝－32时，得t ＝－21×(－32)2－32－2＝－8－32当x ＝32时，得t ＝－21×(32)2＋32－2＝32－8 ································ 12分2．（浙江省台州市）如图1，Rt △ABC ≌Rt △EDF ，∠ACB ＝∠F ＝90°，∠A ＝∠E ＝30°．△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转，DE ，DF 分别交线段．．AC 于点M ，K ． （1）观察：①如图2、图3，当∠CDF ＝0°或60°时，AM ＋CK _______MK （填“＞”，“＜”或“＝”）．xy OB C A 11 P Q M xyOBC A11P QH M②如图4，当∠CDF ＝30°时，AM ＋CK _______MK （只填“＞”或“＜”）．（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM ＋CK _______MK ，证明你所得到的结论．（3）如果MK 2＋CK 2＝AM 2，请直接写出∠CDF 的度数和AMMK的值．2．解：（1）①＝ ②＞ ···················································································· 4分 （2）＞ ································································································ 6分 证明：作点C 关于FD 的对称点G ，连接GK 、GM 、GD 则GD ＝CD ，GK ＝CK ，∠GDK ＝∠CDK ∵D 是AB 的中点，∴AD ＝CD ＝GD ∵∠A ＝30°，∴∠CDA ＝120°∵∠EDF ＝60°，∴∠GDM ＋∠GDK ＝60° ∠ADM ＋∠CDK ＝60°∴∠ADM ＝∠GDM ． ·············································································· 9分 又∵DM ＝DM ，∴△ADM ≌△GDM ，∴GM ＝AM∵GM ＋GK ＞MK ，∴AM ＋CK ＞MK ． ······················································· 10分 （3）∠CDF ＝15°，AMMK＝23． ···························································· 12分3．（浙江省台州市）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP ＝AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点，HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ．（1）求证：△DHQ ∽△ABC ；（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？3．解：（1）∵A 、D 关于点Q 成中心对称，HQ ⊥AB ， ∴∠HQD ＝∠C ＝90°，HD ＝HA∴∠HDQ ＝∠A ． ··················································································· 3分 ∴△DHQ ∽△ABC ． ··············································································· 4分 （2）①如图1，当0＜x≤2.5时ED ＝10－4x ，QH ＝AQ ·tan ∠A ＝43x D B C A F E M K 图1 DB C A (F ,K ) E M图2 D B C A F E K 图3(M )D B C A FE M K 图4DBC AFEMKG此时y ＝21(10－4x )·43x ＝－23x2＋415x ······················································ 6分当x＝45时，y 最大＝3275 ················································· 7分 ②如图2，当2.5＜x≤5时ED ＝4x －10，QH ＝AQ ·tan ∠A ＝43x 此时y ＝21(4x －10)·43x ＝23x2－415x ······························ 9分 当x ＝5时，y 最大＝475∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝⎪⎩⎪⎨⎧-+-x x x x 415234152322 y 的最大值是475． ····················································· 10分（3）①如图1，当0＜x≤2.5时若DE ＝DH ，∵DH ＝AH ＝A QA ∠cos ＝45x ，DE ＝10－4x∴10－4x ＝45x ，∴x ＝2140显然ED ＝EH ，HD ＝HE 不可能； ····························································· 11分 ②如图2，当2.5＜x≤5时若DE ＝DH ，则4x －10＝45x ，∴x ＝1140； ·················································· 12分若HD ＝HE ，此时点D ，E 分别与点B ，A 重合，x ＝5； ································ 13分若ED ＝EH ，则△EDH ∽△HDA∴DH ED ＝AD DH ，即x x 45104-＝x x245，∴x ＝103320 ············································ 14分 ∴当x 的值为2140，1140，5，103320时，△HDE 是等腰三角形．4．（浙江省温州市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，过点B 作射线BB l ∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD ＝AB ，并求出此时DE 的长度； （2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值；（3）以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后 的图形为A ′C ′． ①当t ＞53时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′的面积为S ， 求S 关于t 的函数关系式；②当线段A ′C ′与射线BB 1有公共点时，求t 的取值范围（写出答案即可）．4．解：（1）∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4∴AB ＝2243＋＝5 ················································································ 1分∵AD ＝5t ，CE ＝3t ，∴当AD ＝AB 时，5t ＝5∴t ＝1 ·································································································· 2分BH G F B 1（0＜x≤2.5）（2.5＜x≤5）（图1）（图2）∴AE ＝AC ＋CE ＝3＋3t ＝6 ········································································ 3分 ∴DE ＝6－5＝1 ······················································································ 4分 （2）∵EF ＝BC ＝4，G 是EF 中点，∴GE ＝2当AD ＜AE （即t ＜23）时，DE ＝AE －AD ＝3＋3t －5t ＝3－2t若△DEG 与△ACB 相似，则EG DE ＝BC AC 或EG DE ＝ACBC∴223t -＝43或223t -＝34∴t ＝43或t ＝61 ······················································································ 6分当AD ＞AE （即t ＞23）时，DE ＝AD －AE ＝5t －(3＋3t )＝2t －3若△DEG 与△ACB 相似，则EG DE ＝BC AC 或EG DE ＝ACBC∴232-t ＝43或232-t ＝34∴t ＝49或t ＝617 ····················································································· 8分综上所述，当t ＝43或61或49或617时，△DEG 与△ACB 相似（3）①由轴对称变换得AA ′⊥DH ，CC ′⊥DH∴AA ′∥CC ′ 易知OC ≠AH ，故AA ′≠CC ′∴四边形ACC ′A ′是梯形 ········································ 9分∵∠A ＝∠A ，∠AHD ＝∠ACB ＝90°∴△AHD ∽△ACB ，AC AH ＝BC DH ＝ABAD∴AH ＝3t ，DH ＝4t∵sin ∠ADH ＝sin ∠CDO ，∴AD AH ＝CDCO即53＝35-t CO ，∴CO ＝3t －59∴AA ′＝2AH ＝6t ，CC ′＝2CO ＝6t －518····················· 10分∵OD ＝CD ·cos ∠CDO ＝(5t －3)×54＝4t －512 ∴OH ＝DH －OD ＝512············································································· 11分∴S ＝21(AA ′＋CC ′ )·OH ＝21(6t ＋6t －518)×512＝572t －25108 ························· 12分②65≤t≤3043 ····················································· 14分 略解：当点A ′落在射线BB 1上时（如图甲），AA ′＝AB ＝5∴6t ＝5，∴t ＝65当点C ′落在射线BB 1上时（如图乙），易得CC ′∥AB 故四边形ACC ′B 是平行四边形∴6t －518＝5，∴t ＝3043故65≤t≤3043D B HA EG F C B 1C ′O A ′B H GF B 1（图乙） C ′ OD B H AE GF C B 1(A ′) （图甲）5．（浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点A ，D ），连结PC ，过点P 作PE ⊥PC 交AB 于E ．（1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围．5．解：（1）假设存在这样的点Q∵PE ⊥PC ，∴∠APE ＋∠DPC ＝90° ∵∠D ＝90°，∴∠DPC ＋∠DCP ＝90°∴∠APE ＝∠DCP ，又∵∠A ＝∠D ＝90°∴△APE ∽△DCP ，∴DC AP ＝DP AE，∴AP ·DP ＝AE ·DC 同理可得AQ ·DQ ＝AE ·DC∴AQ ·DQ ＝AP ·DP ，即AQ ·(3－AQ )＝AP ·(3－AP )∴AP 2－AQ 2＝3AP －3AQ ，∴(AP ＋AQ )(AP －AQ )＝3(AP －AQ )∵AP ≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3 ·························································· 2分 ∵AP ≠AQ ，∴AP ≠23，即P 不能是AD 的中点∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在所以，当P 不是AD 的中点时，总存在这样的点Q 满足条件此时AP ＋AQ ＝3 ······································································· 3分 （2）设AP ＝x ，AE ＝y ，由AP ·DP ＝AE ·DC 可得x (3－x )＝2y∴y ＝21x (3－x )＝－21x2＋23x ＝－21(x －23)2＋89∴当x ＝23（在0＜x ＜3范围内）时，y 最大值＝89∴BE 的取值范围为87≤BE ＜2 ····················································· 5分6．（浙江省湖州市）如图，已知直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于E 和F ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）连结EF ，设△BEF 与△BFC 的面积之差为S ，问：当CF 为何值时S 最小，并求出这个最小值．B CA P D EB CA PDEQ6．解：（1）由题意得A （0，2），B （2，2），C （3，0） 设所求抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝24a ＋2b ＋c ＝29a ＋3b ＋c ＝0解得⎩⎨⎧a ＝－32b ＝34c ＝2·························································· 3分∴抛物线的解析式为y ＝－32x2＋34x ＋2 (4)（2）设抛物线的顶点为G ，则G （1，38），过点G 作GH ⊥AB 则AH ＝BH ＝1，GH ＝38－2＝32∵EA ⊥AB ，GH ⊥AB ，∴EA ∥GH ∴GH 是△BEA 的中位线，∴EA ＝2GH ＝34·····························过点B 作BM ⊥OC 于M ，则BM ＝OA ＝AB∵∠EBF ＝∠ABM ＝90°，∴∠EBA ＝∠FBM ＝90°－∠ABF∴Rt △EBA ≌Rt △FBM ，∴FM ＝EA ＝34∵CM ＝OC －OM ＝3－2＝1，∴CF ＝FM ＋CM ＝37········································ 8分（3）设CF ＝a ，则FM ＝a －1或1－a ∴BF 2＝FM 2＋BM 2＝(a －1)2＋22＝a2－2a ＋5∵△EBA ≌△FBM ，∴BE ＝BF则S △BEF＝21BE ·BF ＝21BF 2＝21(a2－2a ＋5) ··············································· 9分又∵S △BFC＝21FC ·BM ＝21×a ×2＝a ························································· 10分∴S＝21(a2－2a ＋5)－a ＝21a2－2a ＋25即S＝21(a －2)2＋21·············································································· 11分∴当a ＝2（在0＜a ＜3范围内）时，S 最小值＝21··························································································· 12分7．（浙江省衢州市、丽水市、舟山市）△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30°，AB ＝32．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O （如图），△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转． （1）当点B 在第一象限，纵坐标是26时，求点B 的横坐标； （2）如果抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴经过点C ，请你探究：①当a ＝45，b ＝－21，c ＝－553时，A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； ②设b ＝－2am ，是否存在这样的m 的值，使A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．7．解：（1）∵点O 是AB 的中点，∴OB ＝21AB ＝3 ··········································· 1分 设点B 的横坐标是x （x ＞0），则x2＋(26)2＝(3)2 ······························· 2分解得x 1＝26，x 2＝－26（舍去） ∴点B············································· 4分（2）①当a ＝45，b ＝－21，c ＝－553时， 得y ＝45x2－21x －553 即y ＝45( x －55)2－20513 ···································· 5分 以下分两种情况讨论情况1：设点C 在第一象限（如图甲），则点C 的横坐标为55OC ＝OB ·tan30°＝3×33＝1 ································ 6分由此，可求得点C 的坐标为（55，552） ················ 7分点A 的坐标为（－5152，515）∵A ，B 两点关于原点对称，∴点B 的坐标为（5152，－515)将x ＝－5152代入y ＝45x2－21x －553，得y ＝515，即等于点A 的纵坐标； 将x ＝5152代入y ＝45x2－21x －553，得y ＝－515，即等于点B 的纵坐标． ∴在这种情况下，A ，B 两点都在抛物线上．························································ 9分 情况2：设点C 在第四象限（如图乙），则点C 的坐标为（55，－552） 点A 的坐标为（5152，515），点B 的坐标为（－5152，－515） ∵当x ＝5152时，y ＝－515；当x ＝－5152时，y ＝515 ∴A ，B 两点都不在这条抛物线上． ··································································· 10分（情况2另解：经判断，如果A ，B 两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A ，B 两点不可能都在这条抛物线上）②存在．m 的值是1或－1． ············································································ 12分 （y ＝a (x －m )2－am2＋c ，因为这条抛物线的对称轴经过点C ，所以－1≤m ≤1．当m ＝±1时，点C 在x 轴上，此时A ，B 两点都在y 轴上．因此当m ＝±1时，A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上）8．（浙江省宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ABCD 的顶点A 的坐标为（－2，0），点D 的坐标为（0，32），点B 在x 轴的正半轴上，点E 为线段AD 的中点，过点E 的直线l 与x轴（甲）（乙）交于点F ，与射线DC 交于点G ． （1）求∠DCB 的度数；（2）当点F 的坐标为（－4，0）时，求点G 的坐标；（3）连结OE ，以OE 所在直线为对称轴，△OEF 经轴对称变换后得到△OEF ′，记直线EF ′与射线DC 的交点为H ．①如图2，当点G 在点H 的左侧时，求证：△DEG ∽△DHE ； ②若△EHG 的面积为33，请直接写出点F 的坐标．（1）在Rt △AOD 中，∵tan ∠DAO ＝AODO＝232＝3∴∠DAB ＝60° ··········································································· 2分 ∵四边形ABCD 是平行四边形∴∠DCB ＝∠DAB ＝60° ······························································· 3分（2）∵四边形ABCD 是平行四边形∴CD ∥AB ，∴∠DGE ＝∠AFE 又∵∠DEG ＝∠AEF ，DE ＝AE∴△DEG ≌△AEF ， ····································································· 4分 ∴DG ＝AF ，∴AF ＝OF －OA ＝4－2＝2∴点G 的坐标为（2，32）·························································· 6分 （3）①∵CD ∥AB ，∴∠DGE ＝∠OFE∵△OEF 经轴对称变换后得到△OEF ′∴∠OFE ＝∠OF ′E ，∴∠DGE ＝∠OF ′E ············································ 7分在Rt △AOD 中，∵E 是AD 的中点，∴OE ＝21AD ＝AE又∵∠EAO ＝60°，∴∠EOA ＝∠AEO ＝60° 而∠EOF ′＝∠EOA ＝60°，∴∠EOF ′＝∠AEO∴AD ∥OF ′ ················································································· 8分 ∴∠OF ′E ＝∠DEH ，∴∠DEH ＝∠DGE 又∵∠HDE ＝∠EDG∴△DEG ∽△DHE ········································································ 9分 ②点F 的坐标为F 1（－13＋1，0），F 2（－13－5，0） ················· 12分 解答如下（原题不作要求，仅供参考）：过点E 作EM ⊥直线CD 于M ，∵CD ∥AB ，∴∠EDM ＝∠DAB ＝60° ∴EM ＝DE ·sin60°＝2×23＝3 ∵S △EHG＝21GH ·EM ＝21GH ·3＝33∴GH ＝6（图2）（图1）（备用图）。

2014年广东中考数学专项复习：压轴题1.设都是实数，且．我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．（1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若实数c，d满足，且，当二次函数是闭区间上的“闭函数”时，求的值答案：解：（1）是；由函数的图象可知，当时，函数值随着自变量的增大而减少，而当时，；时，，故也有，所以，函数是闭区间上的“闭函数”．（2）因为一次函数是闭区间上的“闭函数”，所以根据一次函数的图象与性质，必有：①当时，，解之得．∴一次函数的解析式为．②当时，，解之得．∴一次函数的解析式为．…故一次函数的解析式为或．（3）由于函数的图象开口向上，且对称轴为，顶点为，由题意根据图象，分以下两种情况讨论：①当时，必有时，且时，，即方程必有两个不等实数根，解得，．而0，6分布在2的两边，这与矛盾，舍去；②当时，必有函数值的最小值为，由于此二次函数是闭区间上的“闭函数”，故必有，从而有，而当时，，即得点；又点关于对称轴的对称点为，由“闭函数”的定义可知必有时，，即，解得，．故可得，符合题意．综上所述，为所求的实数．2.如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形.现将小长方形绕点顺时针旋转至,旋转角为. （1）当点恰好落在边上时，求旋转角的值；（2）如图2，为中点，且0°＜＜90°，求证：；（3）小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由.答案：3.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为1:2．若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）在中，当y=0时，x=-1；当y=5时，x=4．A(-1，0)、B(4，5)将A(-1，0)、B(4，5)分别代入y＝ax2＋bx－3中，得解得，．∴所求解析式为y＝x2-2x-3（2）①设直线AB交y轴于点E，求得E（0，1），∴OA=OE，∠AEO=45°,∠ACP=∠AEO=45°, ∴．设，则，∴．∴．∴PD的最大值为．②当m=0或m=3时，PC把△PDB分成两个三角形的面积比为1:2．4.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，–1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限．(1)如图，若该抛物线过A，B两点，求b，c的值；(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与直线AC交于另一点Q．①点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，求点M的坐标；②取BC的中点N，连接NP，BQ．当取最大值时，点Q的坐标为________.答案：解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3）∴点B的坐标为（4，-1）．∵抛物线过A（0，-1），B（4，-1）两点，∴抛物线的函数表达式为：（2）∵A（0，-1），C（4，3），∴直线AC的解析式为：y=x-1．设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P的坐标为（2，1），且P在直线AC上．∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m-1），则平移后抛物线的函数表达式为：∴P（m，m-1），Q（m-2，m-3）．过点P作PE∥x轴，过点Q作QF∥y轴，则PE=m-（m-2）=2，QF=（m-1）-（m-3）=2①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长）．由A（0，-1），B（4，-1），P（2，1）可知，△ABP0为等腰直角三角形，且BP⊥AC，BP=如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y=∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1，∵B（4，-1），∴-1=4+b1，解得b1=-5，∴直线l1的解析式为：y=x-5．②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为如答图2，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，-1）．由A（0，-1），F（2，-1），P0（2，1）可知：△AFP为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为过点F作直线l2∥AC，交抛物线y=∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，∵F（2，-1），∴-1=2+b2，解得b2=-3，∴直线l2的解析式为：y=x-3．②5.如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F 的坐标；（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．（4）连接B、C，点G是线段AB上一点，作GQ平行于x轴交线段BC与点Q，过G作GM ⊥x轴与M，过Q作QN⊥x轴与N，求矩形GQNM面积的最大值和G点的坐标.答案：解：（1）∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴当y=0时，x=-3，即A点坐标为（-3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），将A（-3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；（2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，-m2-2m+3），则m＜0，-m2-2m+3＜0．∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴对称轴为直线x=-1，顶点D的坐标为（-1，4），设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（-1，0），AG=2．∵直线AB的解析式为y=x+3，∴当x=-1时，y=-1+3=2，∴E点坐标为（-1，2）．（3）设P点坐标为（-1，n）．∵B（0，3），C（1，0），∴BC2=12+32=10．分三种情况：①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB2+BC2=PC2，即（0+1）2+（n-3）2+10=（1+1）2+（n-0）2，化简整理得6n=16，解得n=②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB2+PC2=BC2，2222化简整理得n2-3n+2=0，解得n=2或1，∴P点坐标为（-1，2）或（-1，1），∵顶点D的坐标为（-1，4），∴PD=4-2=2或PD=4-1=3，∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t2=2，t3=3；③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC2+PC2=PB2，即10+（1+1）2+（n-0）2=（0+1）2+（n-3）2，化简整理得6n=-4，解得n=(4)略6.如图，在Rt△ABC中，AB=AC=24，一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止．在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD=QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（1）在整个运动过程中，设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请直接写出．．．．．S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围；（2）当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t=4秒时，以PQ为斜边在PQ右侧作等腰直角三角形PQF，将四边形PEQF绕点P 旋转，PE与线段AB相交于点M，PF与线段AC相交于点N．试判断在这一旋转过程中，四边形PMAN的面积是否发生变化？若发生变化，求出四边形PMAN的面积y与PM的长x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；若不发生变化，求出此定值．答案：。

1.如图,抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点.点A的横坐标为﹣3,点B在y轴上,点P是y轴左侧抛物线上的一动点,横坐标为m,过点P作PC⊥x轴于C,交直线AB于D.(1)求抛物线的解析式;(2)当m为何值时,S四边形OBDC=2S△BPD;(3)是否存在点P,使△PAD是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.2.如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C.(1)直接写出A、D、C三点的坐标;(2)若点M在抛物线上,使得△MAD的面积与△CAD的面积相等,求点M的坐标;(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.3.如图,抛物线y=(x﹣3)2﹣1与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)求点A,B,D的坐标;(2)连接CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连接AE,AD,求证:∠AEO=∠ADC;(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.4.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(﹣1,4),且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(﹣3,0).(1)求二次函数的表达式;(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值;(3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分?并求出所有满足条件的N点的坐标.5.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A(﹣2,0)和点B,与y轴交于点C,直线x=1是该抛物线的对称轴.(1)求抛物线的解析式;(2)若两动点M,H分别从点A,B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行,当点M到达原点时,点H立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动,当点M到达抛物线的对称轴时,两点停止运动,经过点M的直线l⊥x轴,交AC或BC于点P,设点M的运动时间为t秒(t＞0).求点M的运动时间t与△APH 的面积S的函数关系式,并求出S的最大值.6.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C分别在y轴,x轴上,∠ACB=90°,OA=,抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B(2,),与y轴交于点D.(1)求抛物线的表达式;(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上?请说明理由;(3)延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED∥AC的理由.7.如图,二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象经过点A(1,4),对称轴是直线x=﹣,线段AD平行于x轴,交抛物线于点D.在y轴上取一点C(0,2),直线AC交抛物线于点B,连结OA,OB,OD,BD.(1)求该二次函数的解析式;(2)求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标;(3)设点F是BD的中点,点P是线段DO上的动点,问PD为何值时,将△BPF沿边PF翻折,使△BPF与△DPF 重叠部分的面积是△BDP的面积的?8.如图,已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B(0,1)和点C,且图象C′过点A(2﹣,0).(1)求二次函数的最大值;(2)设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s,若s是关于x的方程=0的根,求a的值;(3)若点F、G在图象C′上,长度为的线段DE在线段BC上移动,EF与DG始终平行于y轴,当四边形DEFG 的面积最大时,在x轴上求点P,使PD+PE最小,求出点P的坐标.9.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(5,0).B(﹣1,0)两点,过点A作直线AC⊥x轴,交直线y=2x于点C;(1)求该抛物线的解析式;(2)求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标,判定点A′是否在抛物线上,并说明理由;(3)点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA′于点M,是否存在这样的点P,使四边形PACM 是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.10.如图,已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点,=,连接AB、AD、BD,弦AB不经过圆心O,延长AB到E,使BE=AB,连接EC,F是EC的中点,连接BF.(1)若⊙O的半径为3,∠DAB=120°,求劣弧的长;(2)求证:BF=BD;(3)设G是BD的中点,探索:在⊙O上是否存在点P(不同于点B),使得PG=PF?并说明PB与AE的位置关系.11.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE.(1)求证:AC平分∠DAB;(2)求证:△PCF是等腰三角形;(3)若tan∠ABC=,BE=7,求线段PC的长.12.△ABC为等边三角形,边长为a,DF⊥AB,EF⊥AC,(1)求证:△BDF∽△CEF;(2)若a=4,设BF=m,四边形ADFE面积为S,求出S与m之间的函数关系,并探究当m为何值时S取最大值;(3)已知A、D、F、E四点共圆,已知tan∠EDF=,求此圆直径.13.如图,PQ为圆O的直径,点B在线段PQ的延长线上,OQ=QB=1,动点A在圆O的上半圆运动(含P、Q两点),以线段AB为边向上作等边三角形ABC.(1)当线段AB所在的直线与圆O相切时,求△ABC的面积(图1);(2)设∠AOB=α,当线段AB、与圆O只有一个公共点(即A点)时,求α的范围(图2,直接写出答案);(3)当线段AB与圆O有两个公共点A、M时,如果AO⊥PM于点N,求CM的长度(图3).14.如图1,已知在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=8,cosB=,点P是边BC上的动点,以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F(点F在点E的右侧),射线CE与射线BA交于点G.(1)当圆C经过点A时,求CP的长;(2)联结AP,当AP∥CG时,求弦EF的长;(3)当△AGE是等腰三角形时,求圆C的半径长.15.如图,平面直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣x+b(b为常数,b＞0)的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C,与y轴相交于点D、E,点D在点E上方.(1)若直线AB与有两个交点F、G.①求∠CFE的度数;②用含b的代数式表示FG2,并直接写出b的取值范围;(2)设b≥5,在线段AB上是否存在点P,使∠CPE=45°?若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由. 16.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,过点O作OD⊥AB于点D,延长DO交⊙O于点P,过点P作PE⊥AC 于点E,作射线DE交BC的延长线于F点,连接PF.(1)若∠POC=60°,AC=12,求劣弧PC的长;(结果保留π)(2)求证:OD=OE;(3)求证:PF是⊙O的切线.17.如图,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠BPC=60°,过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D.(1)求证:△ADP∽△BDA;(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;(3)若AD=2,PD=1,求线段BC的长.18.如图1,AB为半圆的直径,O为圆心,C为圆弧上一点,AD垂直于过C点的切线,垂足为D,AB的延长线交直线CD于点E.(1)求证:AC平分∠DAB;(2)若AB=4,B为OE的中点,CF⊥AB,垂足为点F,求CF的长;(3)如图2,连接OD交AC于点G,若=,求sin∠E的值.19.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C作⊙O的切线CM.(1)求证:∠ACM=∠ABC;(2)延长BC到D,使BC=CD,连接AD与CM交于点E,若⊙O的半径为3,ED=2,求△ACE的外接圆的半径.20.已知:如图,P是⊙O外一点,过点P引圆的切线PC(C为切点)和割线PAB,分别交⊙O于A、B,连接AC,BC.(1)求证:∠PCA=∠PBC;(2)利用(1)的结论,已知PA=3,PB=5,求PC的长.21.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,⊙O是△BEF 的外接圆.(1)求证:AC是⊙O的切线.(2)过点E作EH⊥AB于点H,求证:CD=HF.22.已知:如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P,连结PD.(1)求证:PD是⊙O的切线.(2)求证:PD2=PB•PA.(3)若PD=4,tan∠CDB=,求直径AB的长.23.如图,在△ABC中,以AC为直径作⊙O交BC于点D,交AB于点G,且D是BC中点,DE⊥AB,垂足为E,交AC 的延长线于点F.(1)求证:直线EF是⊙O的切线;(2)若CF=5,cos∠A=,求BE的长.24.如图,已知AB是⊙O的直径,BP是⊙O的弦,弦CD⊥AB于点F,交BP于点G,E在CD的延长线上,EP=EG,(1)求证:直线EP为⊙O的切线;(2)点P在劣弧AC上运动,其他条件不变,若BG2=BF•BO.试证明BG=PG;(3)在满足(2)的条件下,已知⊙O的半径为3,sinB=.求弦CD的长.25.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,⊙O为△ABC的内切圆.(1)求⊙O的半径;(2)点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动,以P为圆心,PB长为半径作圆,设点P运动的时间为t s,若⊙P与⊙O相切,求t的值.26.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线,交BC于E.(1)求证:点E是边BC的中点;(2)求证:BC2=BD•BA;(3)当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时,求证:△ABC是等腰直角三角形.27.如图,AB是⊙O的直径,延长AB至P,使BP=OB,BD垂直于弦BC,垂足为点B,点D在PC上.设∠PCB=α,∠POC=β.求证:tanα•tan=.28.如图,已知等边△ABC,AB=12,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DF⊥AC,垂足为F,过点F作FG⊥AB,垂足为G,连结GD.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)求FG的长;(3)求tan∠FGD的值.29.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE•CA.(1)求证:BC=CD;(2)分别延长AB,DC交于点P,过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F,若PB=OB,CD=,求DF的长.30.阅读材料:已知,如图(1),在面积为S的△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,内切圆O的半径为r.连接OA、OB、OC,△ABC被划分为三个小三角形.∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC•r+AC•r+AB•r=(a+b+c)r.∴r=.(1)类比推理:若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆),如图(2),各边长分别为AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求四边形的内切圆半径r;(2)理解应用:如图(3),在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=21,CD=11,AD=13,⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD 的内切圆,设它们的半径分别为r1和r2,求的值.。

2014年中考数学压轴题精编—广东篇1．广东省（中山市、汕头市、东莞市等）如图，已知P 是线段AB 上的任意一点（不含端点A ，B ），分别以AP 、BP 为斜边在AB 的同侧作等腰直角△APD 和△BPE ，连接AE 交PD 于点M ，连接BD 交PE 于点N ．（1）求证：①MN ∥AB ；②MN 1＝AP 1＋BP1； （2）若AB ＝4，当点P 在AB 上运动时，求MN的取值范围．2．广东省（中山市、汕头市、东莞市等）如图（1），（2）所示，矩形ABCD 的边长AB ＝6，BC ＝4，点F 在DC 上，DF ＝2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动．连接FM 、MN 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线时，可得△FMN ，过△FMN 三边的中点作△PQW ．设动点M 、N 的速度都是1个单位／秒，M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题： （1）说明△FMN ∽△QWP ；（2）设0≤x ≤4（即M 从D 到A 运动的时间段）．试问x 为何值时，△PQW 为直角三角形？当x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？（3）问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值．图（1）图（2）A P DB N M E3．（广东省广州市）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是弧 ⌒APB上的任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC 的面积为S ，若2DE S＝34，求△ABC 的周长．4．（广东省广州市）如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－21x ＋b 交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．CP D O B A E5．（广东省深圳市）如图是一圆形纸片，AB 是直径，BC 是弦，将纸片沿弦BC 折叠后，劣弧BC 与AB 交于点D ，得到BDC ︵．（1）若BD ︵＝CD ︵，求证：BDC ︵必经过圆心O ；（2）若AB ＝8，BD ︵＝2CD ︵，求BC 的长．6．（广东省深圳市）如图，抛物线y ＝ax2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2，0），B （－1，－3）． （1）求抛物线的解析式；（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．7．（广东省深圳市）如图1，以点M （－1，0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－33x －335与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ． （1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（2）如图2，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP : PH ＝3 :2，求cos ∠QHC 的值；（3）如图3，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN ·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．8．（广东省珠海市）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝6，AC ＝4，D 是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连结P A 、PB 、PC 、PD ．（1）当BD 的长度为多少时，△P AD 是以AD 为底边的等腰三角形？并证明；（2）若cos ∠PCB ＝55，求P A 的长．9．（广东省珠海市）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6）．将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上．（1）直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；（2）过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；（3）若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h＝PM－MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PM＜MN、PM＝MN、PM＞MN成立的x的取值范围．10．（广东省佛山市）一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法．请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：如图，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）若∠BAC是锐角，请探索在直线AB上有多少个点D，能保证△ACD∽△ABC（不包括全等）？（2）请对∠BAC进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD∽△ABC（不包括全等）的点D的个数．AB C12．（广东省茂名市）如图，在直角坐标系xO y 中，正方形OCBA 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，点B坐标为(6，6)，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，且3a －b ＝－1． （1）求a ，b ，c 的值；（2）如果动点E 、F 同时分别从点A 、点B 出发，分别沿A →B 、B →C 运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E 到达终点B 时，点E 、F 随之停止运动．设运动时间为t 秒，△EBF 的面积为S ． ①试求出S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；②当S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以点E 、B 、R 、F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R 的坐标；如果不存在，请说明理由．13．（广东省茂名市）已知⊙O 1的半径为R ，周长为C ．（1）在⊙O 1内任意作三条弦，其长分别是l 1、l 2、l 3．求证：l 1＋l 2＋l 3＜C ； （2）如图，在直角坐标系xO y 中，设⊙O 1的圆心O 1（R ，R ）． ①当直线l ：y ＝x ＋b （b ＞0）与⊙O 1相切时，求b 的值；②当反比例函数y ＝xk（k ＞0）的图象与⊙O 1有两个交点时，求k 的取值范围．（备用图）（备用图）14．（广东省湛江市）如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P ，PD ⊥AC 于点D ，且PD 与⊙O 相切．（1）求证：AB ＝AC ；（2）若BC ＝6，AB ＝4，求CD 的值． 15．（广东省湛江市）如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为（－3，－4），线段OB 绕原点逆时针旋转后与x 轴的正半轴重合，点B 的对应点为点A ．（1）直接写出点A 的坐标，并求出经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点C ，使BC ＋OC 的值最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果点P 是抛物线上的一个动点，且在x 轴的上方，当点P 运动到什么位置时，△P AB 的面积最大？求出此时点P 的坐标和△P AB 的最大面积．B16．（广东省肇庆市）已知二次函数y ＝x2＋bx ＋c ＋1的图象过点P （2，1）． （1）求证：c ＝－2b －4；（2）求bc 的最大值；（3）若二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0）、B （x 2，0），△ABP 的面积是43，求b 的值．17．（广东省清远市）在⊙O 中，点P 在直径AB 上运动，但与A 、B 两点不重合，过点P 作弦CE ⊥AB ，在AB ︵上任取一点D ，直线CD 与直线AB 交于点F ，弦DE 交直线AB 于点M ，连接CM ． （1）如图1，当点P 运动到与O 点重合时，求∠FDM 的度数；（2）如图2、图3，当点P 运动到与O 点不重合时，求证：FM ·OB ＝DF ·MC ．图1 AB O (P )F D C EM 图2ABO FD C EMP 图3 B O FD CE M P18．（广东省河源市、梅州市）如图，△ABC 中，点P 是边AC 上的一个动点，过P 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：PE ＝PF ；（2）当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由； （3）若在AC 边上存在点P ，使四边形AECF 是正方形，且BCAP＝23，求此时∠A 的大小．19．（广东省河源市、梅州市）如图，直角梯形OABC 中，OC ∥AB ，C （0，3），B （4，1），以BC 为直径的圆交x 轴于E ，D 两点（D 点在E 点右方）． （1）求点E 、D 的坐标；（2）求过B 、C 、D 三点的抛物线的函数关系式；（3）过B 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．AB NF D C E M PE D A B CF 20．（广东省高州市学科竞赛暨重点中学提前招生考试）已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ．（1）当△ABC 为直角三角形时，求b 2－4ac 的值；（2）当△ABC 为等边三角形时，求b2－4ac 的值．21．（广东省高州市学科竞赛暨重点中学提前招生考试）已知一次函数y 1＝2x ，二次函数y 2＝mx2－3(m －1)x ＋2m －1的图象关于y 轴对称． （1）求二次函数y 2的解析式；（2）是否存在二次函数y 3＝ax2＋bx ＋c ，其图象经过点（－5，2），且对于任意一个实数x ，这三个函数所对应的函数值y 1、y 2、y 3都有y 1≤y 3≤y 2成立？若存在，求出函数y 3的解析式；若不存在，请说明理由． 22．（广东省高州市学科竞赛暨重点中学提前招生考试）如图，在△ABC 中，∠ABC 为锐角，AB ≠AC ，∠BAC ≠90º，D 为线段BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边在AD 的左侧作正方形ADEF ，连结BF ． （1）当BF ⊥BC 时，求∠ABC 的大小；（2）若AB ＝24，BC ＝3，在（1）的条件下，设正方形ADEF 的边DE 与线段BF 相交于点P ，当线段BP 的长取最大值时，求正方形ADEF 与△ABC 重叠部分的面积．23．（广东省高州市学科竞赛暨重点中学提前招生考试）甲船从A 港出发顺流匀速驶向B 港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻沿原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B 港．乙船从B 港出发逆流匀速驶向A 港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A 港的距离S 1、S 2（km ）与行驶时间t （h ）之间的函数图象如图所示．（1）求甲船到B 港的距离S 与行驶时间t 之间的函数关系式；（2）求救生圈在水中漂流的路程；（3）求甲船发现救生圈落入水中时，甲船到救生圈的距离．24．（广东省高州市学科竞赛暨重点中学提前招生考试）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y ＝－23x ＋b 与y 轴交于点P ，与边OA 交于点D ，与边BC 交于点E ．（1）若直线y ＝－23x ＋b 平分矩形OABC 的面积，求b 的值； （2）在（1）的条件下，当直线y ＝－23x ＋b 绕点P 顺时针旋转时，与直线BC 和x 轴分别交于点N 、M ，问：是否存在ON 平分∠CNM 的情况？若存在，求线段DM 的长；若不存在，请说明理由；（3）在（1）的条件下，将矩形OABC 沿DE 折叠，若点O 落在边BC 上，求出该点坐标；若不在边BC 上，求将（1）中的直线沿y 轴怎样平移，使矩形OABC 沿平移后的直线折叠，点O 恰好落在边BC 上．备用图备用图OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OAcm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒． （1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值， 并求出这个定值；（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时，抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上 一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段 MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ分成两部分的面积之比25. 如图11，已知抛物线y =ax 2+bx +2交x 轴于A （﹣1，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D 的坐标；（2）若点E 在x 轴上，且以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标；（3）若点P 在y 轴右侧，过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q ′．是否存在点P ，使Q ′恰好落在x轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．26.（6分）要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x；（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同）。

中考数学专题复习——压轴题1.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积； （2） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a bac a b 44,22）2. （08浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ；(1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.3. （08浙江温州）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=o，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．y x O B CA T yx O BC A T4.（08山东省日照市）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？5、（2007浙江金华）如图1，已知双曲线y=xk(k>0)与直线y=k ′x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限.试解答下列问题：(1)若点A 的坐标为(4，2).则点B 的坐标为 ；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为 ； （2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y=xk(k>0)于P ，Q 两点，点P 在第一象限.①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；②设点A.P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn 应满足的条件；若不可能，请说明理由.6. （2008浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由. P图 3BD 图 2 B图 1A BCD ER P H Q7.(2008浙江义乌)如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =12，求22BE DG +的值． 8. (2008浙江义乌)如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ．（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t ≥0)，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4． ①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ②当42<<t 时，求S 关于t 的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线．．AB ．．上是否存在点P ，使PDE ∆为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由．（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.10.(2008山东烟台)如图，抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点. （1）求抛物线2L 对应的函数表达式；（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.11.2008淅江宁波)2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A 地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时． （1）求A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A 地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？（3）A 地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B 地．若有一批货物（不超过10车）从A 地按外运路线运到B 地的运费需8320元，其中从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B 地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？12.(2008淅江宁波)如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸．．．的短边长为a ． （1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步 将矩形的短边AB 与长边AD 对齐折叠，点B 落在AD 上的点B '处，铺平后得折痕AE ；第二步 将长边AD 与折痕AE 对齐折叠，点D 正好与点E 重合，铺平后得折痕AF ． 则:AD AB 的值是 ，AD AB ，的长分别是 ， ．（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……都是矩形． ②本题中所求边长或面积都用含a 的代数式表示．（4）已知梯形MNPQ 中，MN PQ ∥，90M =o∠，2MN MQ PQ ==，且四个顶点M N P Q ，，，都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．13.（2008山东威海）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．14．（2008山东威海）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数xky =的图象上． （1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（5，0），点Q 的坐标为（0，3），把线段PQ 向右平 移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P 1Q 1， 则点P 1的坐标为 ，点Q 1的坐标为．AB CD BC ADE GHF FE B '4开2开8开16图1图2图3a C D A BE F NM友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．15．（2008湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.16.(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；（2）当1t 时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标； （3） 连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．图117.(2008年辽宁省十二市)如图16，在平面直角坐标系中，直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．18.(2008年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60o后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1619.(2008年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？20.(2008年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且AB 5sin ∠OAB=55. （1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.y ODEC FA B21.(2008年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上，且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C 若C 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标X A ,X B 是关于X 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根: (1) 求m ，n 的值(2) 若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数的解析式 (3) 过点D 任作一直线`l 分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ，则11CM CN+的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由22.(2008年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；(3)△AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. ACO BNDML`23.(天津市2008年)已知抛物线c bx ax y ++=232，（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；（Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．24.(2008年大庆市)如图①，四边形AEFG 和ABCD 都是正方形，它们的边长分别为a b ，（2b a ≥），且点F 在AD 上（以下问题的结果均可用a b ，的代数式表示）．（1）求DBF S △；（2）把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的DBF S △；（3）把正方形AEFG 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，DBF S △是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由． .25. （2008年上海市）已知24AB AD ==，，90DAB ∠=o，AD BC ∥（如图13）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．DCBAEFGGF EABCD ①②（1）设BE x ，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长； （3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．26. （2008年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30o的两条公路的AB 段和CD 段（村子和公路的宽均不计），点M 表示这所中学．点B 在点M 的北偏西30o 的3km 处，点A 在点M 的正西方向，点D 在点M 的南偏西60o 的处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD 某处），甲村要求管道建设到A 处，请你在图①中，画出铺设到点A 和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB 某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？27. （2008年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． B ADME C图13 B ADC 备用图28.（2008年江苏省南通市）已知双曲线kyx=与直线14y x=相交于A、B两点.第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线kyx=上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线kyx=于点E，交BD 于点C.（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.DBC E NOAMyx29.（2008年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）P'图②A Q CPB图①A Q CPB图1压轴题答案1. 解：（ 1）由已知得：310c b c =⎧⎨--+=⎩解得 c=3,b =2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO BOFD S S S ∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅=11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9（3）相似如图，=====所以2220BD BE +=, 220DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且AO BO BD BE ==所以AOB DBE ∆∆:.2. (1) ∵A ，B 两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，32)， ∴381032OAB tan =-=∠，∴︒=∠60OAB当点A ´在线段AB 上时，∵︒=∠60OAB ，TA=TA ´， ∴△A ´TA 是等边三角形，且A T TP '⊥， ∴)t 10(2360sin )t 10(TP -=︒-=，)t 10(21AT 21AP P A -==='， ∴2TPA )t 10(83TP P A 21S S -=⋅'=='∆， 当A ´与B 重合时，AT=AB=460sin 32=︒，所以此时10t 6<≤.(2)当点A ´在线段AB 的延长线，且点P 在线段AB(不与B 重合)上时， 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E 是TA ´与CB 的交点)， 当点P 与B 重合时，AT=2AB=8，点T 的坐标是(2，又由(1)中求得当A ´与B 重合时，T 的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，6t 2<<.(3)S 存在最大值 ○1当10t 6<≤时，2)t 10(83S -=， 在对称轴t=10的左边，S 的值随着t 的增大而减小，∴当t=6时，S 的值最大是32.○2当6t 2<≤时，由图○1，重叠部分的面积EB A TP A S S S '∆'∆-=∵△A ´EB 的高是︒'60sin B A ， ∴23)4t 10(21)t 10(83S 22⨯----=34)2t (83)28t 4t (8322+--=++-=当t=2时，S 的值最大是34；○3当2t 0<<，即当点A ´和点P 都在线段AB 的延长线是(如图○2，其中E 是TA ´与CB 的交点，F 是TP 与CB 的交点)，∵ETF FTP EFT ∠=∠=∠，四边形ETAB 是等腰形，∴EF=ET=AB=4，∴3432421OC EF 21S =⨯⨯=⋅=综上所述，S 的最大值是34，此时t 的值是2t 0≤<. 3. 解：（1）Q Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．Q 点D 为AB 中点，132BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠=o Q ，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△， DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=g ．（2）QR AB Q ∥，90QRC A ∴∠=∠=o．C C ∠=∠Q ，RQC ABC ∴△∽△， RQ QC AB BC ∴=，10610y x-∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． （3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =． A BCD ER P H QM 2 11290∠+∠=o Q ，290C ∠+∠=o ，1C ∴∠=∠． 84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=， 1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655x -+=， 6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．tan QR BAC CR CA ==Q ， 366528x -+∴=，152x ∴=．综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形．4. 解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ．∴ △AMN ∽ △ABC ． ∴ AM AN AB AC=，即43x AN=．∴ AN ＝43x ． ……………2分 ∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） ……………3分 （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ． 在Rt △ABC 中，BC． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC=，即45x MN=．∴ 54MN x =，∴ 58OD x =． …………………5分过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ．HQA B CD E R PHQB图 1BD 图 2Q∴ BM QM BC AC=．∴ 55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线B C 相切．…………………………………7分 （3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP ．∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2． 故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 ……………………………………8分 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ．∴ 2PEF ABCS PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴()2322PEF S x ∆=-． ……………………………………………… 9分 MNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-． (10)分当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． ……………………11分 综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2． …………………………12分5. 解：（1）（-4，-2）；（-m,-km）(2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的，所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ 一定是平行四边形②可能是矩形，mn=k 即可不可能是正方形，因为Op 不能与OA 垂直.解：（1）作BE ⊥OA ， P图 4BP 图 3∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o=∴B(∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以42+=,解得3k =-,的以直线AB 的解析式为4y x =+ （2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o,∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA==6. 解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o=B(∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以42+=,解得k =, 以直线AB的解析式为4y =+ （2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o, ∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA=如图，作B E ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30°∴GD=12BD=+,∴32,OH=OE+HE=OE+BG=37222+=∴D(2,72) (3)设OP=x,则由（2）可得D(,22x x +)若ΔOPD的面积为：1(2)224x x +=g解得：x =7. 解:(1)①,BG DE BG DE =⊥ ………………………………………………………………2分 ②,BG DE BG DE =⊥仍然成立 ……………………………………………………1分在图（2）中证明如下∵四边形ABCD 、四边形ABCD 都是正方形 ∴ BC CD =，CG CE =， 090BCD ECG ∠=∠=∴BCG DCE ∠=∠…………………………………………………………………1分∴BCG DCE ∆≅∆ （SAS ）………………………………………………………1分∴BG DE = CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠= ∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥ …………………………………………………………………………1分（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立 …………………………………………………2分简要说明如下∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，且AB a =，BC b =，CG kb =，CE ka =(a b ≠，0k >)∴BC CG bDC CE a==，090BCD ECG ∠=∠= ∴BCG DCE ∠=∠∴BCG DCE ∆∆:………………………………………………………………………1分∴CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠= ∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥ ……………………………………………………………………………1分（3）∵BG DE ⊥ ∴22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+ 又∵3a =，2b =，k =12∴ 222222365231()24BD GE +=+++= ………………………………………………1分 ∴22654BE DG += ………………………………………………………………………1分 8. 解：（1）①2AB = ……………………………………………………………………………2分842OA ==，4OC =，S 梯形OABC=12 ……………………………………………2分②当42<<t 时，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积=直角梯形OABC 面积－直角三角开DOE 面积 2112(4)2(4)842S t t t t =--⨯-=-+-…………………………………………4分 （2） 存在 ……………………………………………………………………………………1分123458(12,4),(4,4),(,4),(4,4),(8,4)3P P P P P --- …（每个点对各得1分）……5分 对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二： ① 以点D 为直角顶点，作1PP x ⊥轴Rt ODE ∆Q 在中，2OE OD =∴，设2OD b OE b ==，.1Rt ODE Rt PPD ∆≈∆，（图示阴影） 4b ∴=，28b =，在上面二图中分别可得到P 点的生标为P （－12，4）、P （－4，4）E 点在0点与A 点之间不可能；② 以点E 为直角顶点同理在②二图中分别可得P 点的生标为P （－83，4）、P （8，4）E 点在0点下方不可能.以点P 为直角顶点同理在③二图中分别可得P 点的生标为P （－4，4）（与①情形二重合舍去）、P （4，4）， E 点在A 点下方不可能.综上可得P 点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－83，4）、 P （8，4）、P （4，4）．下面提供参考解法二：以直角进行分类进行讨论（分三类）：第一类如上解法⑴中所示图22P DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) 的中点坐标为b (-,b)2，直线DE 的中垂线方程：1()22b y b x -=-+，令4y =得3(8,4)2bP -．由已知可得2PE DE =222232(8)(42)42b b b b -+-=+2332640b b -+=解得121883b b P P ==∴=3b，将之代入（-8，4）（4，4)、22(4,4)P -； 第二类如上解法②中所示图22E DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) ，直线PE 的方程：122y x b =-+，令4y =得(48,4)P b -．由已知可得PE DE =即2222(48)(42)4b b b b -+-=+22(28)b b =-解之得 ，123443b b P P ==∴=，将之代入（4b-8，4）（8，4)、48(,4)3P - 第三类如上解法③中所示图22D DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) ，直线PD 的方程：1()2y x b =-+，令4y =得(8,4)P b --．由已知可得PD DE =2222844b b +=+12544b b P P ==-∴=，将之代入（-b-8，4）（-12，4)、6(4,4)P -（6(4,4)P -与2P 重合舍去）．综上可得P 点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－83，4）、 P （8，4）、P （4，4）．事实上，我们可以得到更一般的结论： 如果得出AB a OC b ==、、OA h =、设b ak h-=，则P 点的情形如下直角分类情形 1k ≠1k =P ∠为直角1(,)P h h1(,)P h h -2(,)P h h -E ∠为直角3(,)1hkP h k -+ 2(,)2h P h -4(,)1hk P h k - D ∠为直角5((1),)P h k h -+3(0,)P h 6((1),)P h k h --4(2,)P h h -9.10.11. 解：（1）设A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x千米，由题意得1201023x x+=， ·················································································· 2分解得180x=．A ∴地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米． ·········································· 4分 （2）1.8180282380⨯+⨯=（元），∴该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元． ······················· 6分 （3）设这批货物有y 车，由题意得[80020(1)]3808320y y y -⨯-+=， ··················································· 8分 整理得2604160y y -+=，解得18y =，252y =（不合题意，舍去）， ······················································· 9分∴这批货物有8车． ······················································································ 10分12. 解：（114a ，． ········································································· 3分（2 ·············· 5分（无“相等”不扣分有“相等”，比值错给1分） （3）设DG x =，在矩形ABCD 中，90B C D ∠=∠=∠=o，90HGF ∠=o Q ，90DHG CGF DGH ∴∠=∠=-∠o ，HDG GCF ∴△∽△，12DG HG CF GF ∴==， 22CF DG x ∴==． ····················································································· 6分 同理BEF CFG ∠=∠． EF FG =Q ， FBE GCF ∴△≌△，14BF CG a x ∴==-． ·················································································· 7分CF BF BC +=Q ，1244x a x a ∴+-=， ················································································· 8分解得x =．即14DG a =． ······················································································· 9分 （4）2316a ， ······························································································· 10分2278a -． 12分13. 解：（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ． ……………1分 ∵ AB ∥CD ，∴ DG ＝CH ，DG ∥CH ．∴ 四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1．∵ DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°，∴ △AGD ≌△BHC （HL ）．∴ AG ＝BH ＝2172-=-GH AB ＝3． ………2分 ∵ 在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴ DG ＝4．∴ ()174162ABCD S +⨯==梯形． ………………………………………………3分 （2）∵ MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，∴ ME ＝NF ，ME ∥NF ．∴ 四边形MEFN 为矩形．∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ ∠A ＝∠B ．∵ ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， ∴ △MEA ≌△NFB （AAS ）．∴ AE ＝BF ． ……………………4分 设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ． ……………5分 ∵ ∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴ △MEA ∽△DGA ．∴ DGME AG AE =． ∴ ME ＝x 34． …………………………………………………………6分∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN 矩形． ……………………8分 当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649．……………9分 （3）能． ……………………………………………………………………10分由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34．若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ．即 =34x 7－2x ．解，得 1021=x ． ……………………………………………11分∴ EF ＝21147272105x -=-⨯=＜4．∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形．14. 解：（1）由题意可知，()()()131-+=+m m m m ． 解，得 m ＝3． ………………………………3分∴ A （3，4），B （6，2）；∴ k ＝4×3=12． ……………………………4分 （2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴 上时，设M 1点坐标为（x 1，0），N 1点坐标为（0，y 1）．∵ 四边形AN 1M 1B 为平行四边形，∴ 线段N 1M 1可看作由线段AB 向左平移3个单位，A B E FGH A B E F G H再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．由（1）知A 点坐标为（3，4），B 点坐标为（6，2），∴ N 1点坐标为（0，4－2），即N 1（0，2）； ………………………………5分 M 1点坐标为（6－3，0），即M 1（3，0）． ………………………………6分设直线M 1N 1的函数表达式为21+=x k y ，把x ＝3，y ＝0代入，解得321-=k ．∴ 直线M 1N 1的函数表达式为232+-=x y ． ……………………………………8分②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设M 2点坐标为（x 2，0），N 2点坐标为（0，y 2）． ∵ AB ∥N 1M 1，AB ∥M 2N 2，AB ＝N 1M 1，AB ＝M 2N 2， ∴ N 1M 1∥M 2N 2，N 1M 1＝M 2N 2．∴ 线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称．∴ M 2点坐标为（-3，0），N 2点坐标为（0，-2）． ………………………9分设直线M 2N 2的函数表达式为22-=x k y ，把x ＝-3，y ＝0代入，解得322-=k ，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为232--=x y ．所以，直线MN 的函数表达式为232+-=x y 或232--=x y ． ………………11分（3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分 15. 解：(1)解法1：根据题意可得：A (-1,0)，B (3,0)；则设抛物线的解析式为)3)(1(-+=x x a y (a ≠0)又点D (0，-3)在抛物线上，∴a (0+1)(0-3)=-3，解之得：a =1∴y =x 2-2x -3 ····················································································· 3分 自变量范围：-1≤x ≤3 ········································································ 4分解法2：设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2(a ≠0)根据题意可知，A (-1,0)，B (3,0)，D (0，-3)三点都在抛物线上∴⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a ，解之得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴y =x 2-2x -3 ··································································· 3分自变量范围：-1≤x ≤3 ····················································· 4分(2)设经过点C “蛋圆”的切线CE 交x 轴于点E ，连结CM ， 在Rt △MOC 中，∵OM =1，CM =2，∴∠CMO =60°,OC =3 在Rt △MCE 中，∵OC =2，∠CMO =60°，∴ME =4∴点C 、E 的坐标分别为(0，3)，(-3,0) ··········································· 6分∴切线CE 的解析式为3x3y +=·················································· 8分(3)设过点D (0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y =kx -3(k ≠0) ······················ 9分由题意可知方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=3232x x y kx y 只有一组解 即3232--=-x x kx 有两个相等实根，∴k =-2 ······································· 11分∴过点D “蛋圆”切线的解析式y =-2x -3 ·············································· 12分16.解：（1）6OP t =-，23OQ t =+．（2）当1t =时，过D 点作1DD OA ⊥，交OA 于1D ，如图1， 则53DQ QO ==，43QC =，1CD ∴=，(13)D ∴，． （3）①PQ 能与AC 平行． 若PQ AC ∥，如图2，则OP OAOQ OC=， 即66233t t -=+，149t ∴=，而703t ≤≤， 149t ∴=．②PE 不能与AC 垂直．若PE AC ⊥，延长QE 交OA 于F ，如图3，则233t QF OQ AC OC +==．23QF t ⎫∴=+⎪⎭．图1。

中考数学专题复习——压轴题1.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.（1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22）.2. 已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ；(1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.3. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．4.在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？5、如图1，已知双曲线y=xk(k>0)与直线y=k ′x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限.试解答下列问题：(1)若点A 的坐标为(4，2).则点B 的坐标为 ；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为 ；（2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y=xk(k>0)于P ，Q 两点，点P 在第一象限.①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；②设点A.P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn 应满足的条件；若不可能，请说明理由.P 图 3BD 图 2B图 1A BC D ER P H Q6. 如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.7.如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =12，求22BE DG +的值．8.如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ．（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t ≥0)，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4． ①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ②当42<<t 时，求S 关于t 的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线．．AB ．．上是否存在点P ，使PDE ∆为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由．9.如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.10.如图，抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点. （1）求抛物线2L 对应的函数表达式；（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.11 2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A 地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．（1）求A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A 地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？（3）A 地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B 地．若有一批货物（不超过10车）从A 地按外运路线运到B 地的运费需8320元，其中从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B 地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？12.如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸．．．的短边长为a ． （1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步 将矩形的短边AB 与长边AD 对齐折叠，点B 落在AD 上的点B '处，铺平后得折痕AE ；第二步 将长边AD 与折痕AE 对齐折叠，点D 正好与点E 重合，铺平后得折痕AF ． 则:AD AB 的值是 ，AD AB ，的长分别是 ， ．（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L ”型图案，它的四个顶点E F G H ，，，分别在“16开”纸的边AB BC CD DA ，，，上，求DG 的长．（4）已知梯形MNPQ 中，MN PQ ∥，90M =∠，2MN MQ PQ ==，且四个顶点M N P Q ，，，都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．ABCD BCA D EGHF FE B '4开2开8开16开 图1图2 图3a13.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．14．如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数xky 的图象上． （1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（5，0），点Q 的坐标为（0，3），把线段PQ 向右平 移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P 1Q 1， 则点P 1的坐标为 ，点Q 1的坐标为．C D A BE F NM友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．15．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.16.将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；（2）当1t 时，如图1，将OP Q △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；（4） 连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．图117.如图16，在平面直角坐标系中，直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．18.(2008年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19.(2008年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？20.(2008年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且AB sin ∠OAB=5. （1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式； （2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积Q NR S ∆，求QMN S ∆∶Q NR S ∆的值.21.(2008年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上，且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C 若C 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标X A ,X B 是关于X 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根:(1) 求m ，n 的值(2) 若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数的解析式 (3) 过点D 任作一直线`l 分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ，则11CM CN+的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由22.(2008年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. (1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；(3)△AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22）23.(天津市2008年)已知抛物线c bx ax y ++=232，（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；L`（Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．24.(2008年大庆市)如图①，四边形AEFG 和ABCD 都是正方形，它们的边长分别为a b ，（2b a ≥），且点F 在AD 上（以下问题的结果均可用a b ，的代数式表示）．（1）求DBF S △；（2）把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的DBF S △； （3）把正方形AEFG 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，DBF S △是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由． .25. （2008年上海市）已知24AB AD ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥（如图13）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；（3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．26. （2008年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设DCBAEFGGF EACD ①②B ADME C图13 B A D C 备用图管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60的处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道建设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？27.（2008年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设△AQP的面积为y（2cm），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．C C28. （2008年江苏省南通市）已知双曲线k y x =与直线14y x =相交于A 、B 两点.第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线ky x=上的动点.过点B 作BD ∥y 轴于点D.过N（0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线ky x=于点E ，交BD 于点C.（1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值.（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式.（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA ＝pMP ，MB ＝qMQ ，求p －q 的值.29. （2008年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km ．现要求：在一边长为30km 的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？ （2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？ 答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km 的正方形城区示意图，供解题时选用）P '图①图1 图2 图3 图4压轴题答案1. 解：（ 1）由已知得：310c b c =⎧⎨--+=⎩解得c=3,b =2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO BOFD S S S ∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅=11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9（3）相似如图，===所以2220BD BE +=, 220DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且2AO BO BD BE ==, 所以AOBDBE ∆∆.2. (1) ∵A ，B 两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，32)， ∴381032OAB tan =-=∠，∴︒=∠60OAB当点A ´在线段AB 上时，∵︒=∠60OAB ，TA=TA ´， ∴△A ´TA 是等边三角形，且A T TP '⊥， ∴)t 10(2360sin )t 10(T P -=︒-=，)t 10(21AT 21AP P A -==='，∴2TPA )t 10(83T P P A 21S S -=⋅'=='∆， 当A ´与B 重合时，AT=AB=460sin 32=︒，所以此时10t 6<≤.(2)当点A ´在线段AB 的延长线，且点P 在线段AB(不与B 重合)上时， 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E 是TA ´与CB 的交点)， 当点P 与B 重合时，AT=2AB=8，点T 的坐标是(2，又由(1)中求得当A ´与B 重合时，T 的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，6t 2<<.(3)S 存在最大值 ○1当10t 6<≤时，2)t 10(83S -=， 在对称轴t=10的左边，S 的值随着t 的增大而减小，∴当t=6时，S 的值最大是32.○2当6t 2<≤时，由图○1，重叠部分的面积EB A TP A S S S '∆'∆-=∵△A ´EB 的高是︒'60sin B A ， ∴23)4t 10(21)t 10(83S 22⨯----=34)2t (83)28t 4t (8322+--=++-=当t=2时，S 的值最大是34；○3当2t 0<<，即当点A ´和点P 都在线段AB 的延长线是(如图○2，其中E 是TA ´与CB 的交点，F 是TP 与CB 的交点)，∵ETF FTP EFT ∠=∠=∠，四边形ETAB 是等腰形，∴EF=ET=AB=4，∴3432421OC EF 21S =⨯⨯=⋅=综上所述，S 的最大值是34，此时t 的值是2t 0≤<. 3. 解：（1）Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．点D 为AB 中点，132BD AB ∴==．90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△， DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=． （2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．C C ∠=∠，RQC ABC ∴△∽△，RQ QC AB BC ∴=，10610y x-∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． （3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=，290C ∠+∠=， 1C ∴∠=∠．84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=，1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655x -+=， 6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点， 于是点R 为EC 的中点，ABCD ERP H QM 21 HQA BCD E R PHQ11224CR CE AC ∴===．tan QR BAC CR CA ==，366528x -+∴=，152x ∴=．综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形．4. 解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ．∴ △AMN ∽ △ABC ．∴ AM AN AB AC=，即43x AN =．∴ AN ＝43x ． ……………2分∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） ……………3分 （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ． 在Rt △ABC 中，BC． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC=，即45x MN=．∴ 54MN x =， ∴ 58OD x =． …………………5分过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC=．∴ 55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线B C 相切．…………………………………7分（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP ． B图 1BD 图 2Q∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 ……………………………………8分 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ， ∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ．∴ 2PEF ABCS PF AB S ∆∆⎛⎫=⎪⎝⎭． ∴ ()2322PEF S x ∆=-． ……………………………………………… 9分 MNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-．……………………10分当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． ……………………11分 综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2． …………………………12分5. 解：（1）（-4，-2）；（-m,-km）(2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的，所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ一定是平行四边形 ②可能是矩形，mn=k 即可不可能是正方形，因为Op 不能与OA 垂直.解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o=∴B(P图 4∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以42+=,解得3k =-,的以直线AB 的解析式为4y x =+ （2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o,∴ΔAPD 是等边三角形，=6. 解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o=∴B(∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以42+=,解得k =, 以直线AB的解析式为4y =+ （2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o, ∴ΔAPD 是等边三角形，如图，作B E ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30°∴GD=12BD=,∴32,OH=OE+HE=OE+BG=37222+=∴D(2,72)(3)设OP=x,则由（2）可得D(,22x x +)若ΔOPD的面积为：13(2)224x x += 解得：x=所以7. 解:(1)①,BG DE BG DE =⊥ ………………………………………………………………2分②,BG DE BG DE=⊥仍然成立 ……………………………………………………1分在图（2）中证明如下∵四边形ABCD 、四边形ABCD 都是正方形∴ BC CD =，CG CE =， 090BCD ECG ∠=∠=∴BCG DCE ∠=∠…………………………………………………………………1分 ∴BCG DCE ∆≅∆ （SAS ）………………………………………………………1分∴BG DE = C B G C D E∠=∠ 又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠=∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥ …………………………………………………………………………1分（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立 …………………………………………………2分简要说明如下∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，且AB a =，BC b =，CG kb =，CE ka =(a b ≠，0k >)∴BC CG bDC CE a==，090BCD ECG ∠=∠= ∴BCG DCE ∠=∠∴BCGDCE ∆∆………………………………………………………………………1分 ∴CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠=∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥ ……………………………………………………………………………1分（3）∵BG DE ⊥ ∴22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+ 又∵3a =，2b =，k =12∴222222365231()24BD GE +=+++= ………………………………………………1分∴22654BE DG +=………………………………………………………………………1分 8. 解：（1）①2AB = ……………………………………………………………………………2分842OA ==，4OC =，S 梯形OABC =12 ……………………………………………2分 ②当42<<t 时，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积=直角梯形OABC 面积－直角三角开DOE 面积2112(4)2(4)842S t t t t =--⨯-=-+-…………………………………………4分（2） 存在 ……………………………………………………………………………………1分123458(12,4),(4,4),(,4),(4,4),(8,4)3P P P P P --- …（每个点对各得1分）……5分对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二： ① 以点D 为直角顶点，作1PP x ⊥轴Rt ODE ∆在中，2OE OD =∴，设2OD b OE b ==，.1Rt ODE Rt PPD ∆≈∆，（图示阴影）4b ∴=，28b =，在上面二图中分别可得到P 点的生标为P （－12，4）、P （－4，4）E 点在0点与A 点之间不可能；② 以点E 为直角顶点同理在②二图中分别可得P 点的生标为P （－83，4）、P （8，4）E 点在0点下方不可能.以点P 为直角顶点同理在③二图中分别可得P 点的生标为P （－4，4）（与①情形二重合舍去）、P （4，4）， E 点在A 点下方不可能.综上可得P 点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－83，4）、 P （8，4）、P （4，4）．下面提供参考解法二：以直角进行分类进行讨论（分三类）： 第一类如上解法⑴中所示图22P DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) 的中点坐标为b (-,b)2，直线DE 的中垂线方程：1()22by b x -=-+，令4y =得3(8,4)2b P -DE =得2332640b b -+=解得 121883b b P P ==∴=3b，将之代入（-8，4）（4，4)、22(4,4)P -；第二类如上解法②中所示图22E DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) ，直线PE 的方程：122y x b =-+，令4y =得(48,4)P b -．由已知可得PE DE =即化简得22(28)b b =-解之得 ，123443b b P P ==∴=，将之代入（4b-8，4）（8，4)、48(,4)3P - 第三类如上解法③中所示图22D DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) ，直线PD 的方程：1()2y x b =-+，令4y =得(8,4)P b --．由已知可得PD DE =即12544b b P P ==-∴=，将之代入（-b-8，4）（-12，4)、 6(4,4)P -（6(4,4)P -与2P 重合舍去）．综上可得P 点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－83，4）、 P （8，4）、P （4，4）．事实上，我们可以得到更一般的结论：如果得出AB a OC b ==、、OA h =、设b ak h-=，则P 点的情形如下9.10.11. 解：（1）设A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x 千米，由题意得1201023x x+=， ········································································································ 2分 解得180x =．A ∴地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米． ······················································ 4分 （2）1.8180282380⨯+⨯=（元），∴该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元． ······························ 6分 （3）设这批货物有y 车，由题意得[80020(1)]3808320y y y -⨯-+=， ································································· 8分整理得2604160y y -+=，解得18y =，252y =（不合题意，舍去）， ······································································ 9分 ∴这批货物有8车． ············································································································ 10分12. 解：（114a ，． ····························································································· 3分（2 ·················· 5分（无“相等”不扣分有“相等”，比值错给1分） （3）设DG x =，在矩形ABCD 中，90B C D ∠=∠=∠=，90HGF ∠=，90DHG CGF DGH ∴∠=∠=-∠，HDG GCF ∴△∽△，12DG HG CF GF ∴==， 22CF DG x ∴==． ············································································································ 6分 同理BEF CFG ∠=∠． EF FG =，FBE GCF ∴△≌△，14BF CG a x ∴==-． ········································································································ 7分CF BF BC +=，124x a x ∴+-=， ······································································································· 8分解得x =．即14DG a =． ··············································································································· 9分 （4）2316a ， ······················································································································· 10分2278a -． 12分 13. 解：（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ． ……………1分∵ AB ∥CD ， ∴ DG ＝CH ，DG ∥CH ．∴ 四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1．∵ DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°，∴ △AGD ≌△BHC （HL ）．∴ AG ＝BH ＝2172-=-GH AB ＝3． ………2分 ∵ 在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴ DG ＝4．∴ ()174162ABCD S +⨯==梯形． ………………………………………………3分 （2）∵ MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，∴ ME ＝NF ，ME ∥NF ．∴ 四边形MEFN 为矩形．∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ ∠A ＝∠B ．∵ ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， ∴ △MEA ≌△NFB （AAS ）．∴ AE ＝BF ． ……………………4分 设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ． ……………5分 ∵ ∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴ △MEA ∽△DGA ．∴ DGME AG AE =． ∴ ME ＝x 34． …………………………………………………………6分∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN 矩形． ……………………8分当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649．……………9分（3）能． ……………………………………………………………………10分由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34．若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ．即 =34x 7－2x ．解，得 1021=x ． ……………………………………………11分∴ EF ＝21147272105x -=-⨯=＜4． ∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142=⎪⎭⎫ ⎝⎛=MEFNS 正方形． 14. 解：（1）由题意可知，()()()131-+=+m m m m ． 解，得 m ＝3． ………………………………3分∴ A （3，4），B （6，2）；∴ k ＝4×3=12． ……………………………4分 （2）存在两种情况，如图：A B E FG HA B E F G H①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴 上时，设M 1点坐标为（x 1，0），N 1点坐标为（0，y 1）．∵ 四边形AN 1M 1B 为平行四边形，∴ 线段N 1M 1可看作由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．由（1）知A 点坐标为（3，4），B 点坐标为（6，2），∴ N 1点坐标为（0，4－2），即N 1（0，2）； ………………………………5分 M 1点坐标为（6－3，0），即M 1（3，0）． ………………………………6分设直线M 1N 1的函数表达式为21+=x k y ，把x ＝3，y ＝0代入，解得321-=k ．∴ 直线M 1N 1的函数表达式为232+-=x y ． ……………………………………8分②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设M 2点坐标为（x 2，0），N 2点坐标为（0，y 2）．∵ AB ∥N 1M 1，AB ∥M 2N 2，AB ＝N 1M 1，AB ＝M 2N 2， ∴ N 1M 1∥M 2N 2，N 1M 1＝M 2N 2．∴ 线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称．∴ M 2点坐标为（-3，0），N 2点坐标为（0，-2）． ………………………9分设直线M 2N 2的函数表达式为22-=x k y ，把x ＝-3，y ＝0代入，解得322-=k ，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为232--=x y ．所以，直线MN 的函数表达式为232+-=x y 或232--=x y ． ………………11分（3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分 15. 解：(1)解法1：根据题意可得：A (-1,0)，B (3,0)；则设抛物线的解析式为)3)(1(-+=x x a y (a ≠0)又点D (0，-3)在抛物线上，∴a (0+1)(0-3)=-3，解之得：a =1∴y =x 2-2x -3 ············································································································ 3分 自变量范围：-1≤x ≤3 ··························································································· 4分解法2：设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2(a ≠0)根据题意可知，A (-1,0)，B (3,0)，D (0，-3)三点都在抛物线上∴⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a ，解之得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴y =x 2-2x -3 ····················································································· 3分自变量范围：-1≤x ≤3··································································· 4分(2)设经过点C “蛋圆”的切线CE 交x 轴于点E ，连结CM ， 在Rt △MOC 中，∵OM =1，CM =2，∴∠CMO =60°,OC =3 在Rt △MCE 中，∵OC =2，∠CMO =60°，∴ME =4∴点C 、E 的坐标分别为(0，3)，(-3,0) ······················································ 6分。