不完全信息群体多属性决策的综合评价均值法

min
i =1
∑d ;
i
M
s. t . ∑ w j rij ≥ d i , i = 1 , 2 , …, N ;
j =1
( 2)
3
w j ∈ W , j = 1 , 2 , …, M . 该模型为线性规划模型 , 且可行域非空 . 设其最优解 w 3 属性值 V i3
k uj ( a i ) . 与文献 [ 1 ]类似 , 属性值信息可由以下几种方式给出 :
Ξ 收文日期 :2003211205 ; 修订日期 :2004205223
基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (7001026) 作者简介 : 徐 徐 (1975 - ) ,女 ,浙江温州人 ,讲师 ,硕士 . 研究方向 : 多属性决策 .
i =1
∑w
i
= 1,
α,α> 0 ; w i ≥0 , i = 1 , 2 , …, M } . Ф wj ; ( 2) w i - w j ≥ w 中元素之间的关系可有如下几种形式 : (1) w i ≥
( 3) w i ≥ β α wi ≤ 0 ; ( 5) w i - w j ≥ w m - w n . 如 W 为空集 , 则决策群体给出的 w j ,β> 0 ; ( 4) α i ≤ i +ε i ,ε i ≥
不完全信息群体多属性决策的综合评价均值法
徐 徐1 , 张 翼2 , 洪振杰3
Ξ
(1. 温州大学 信息科学与工程学院 , 浙江 温州 325035 ; 2. 浙江师范大学 数理学院 , 浙江 金华 321004 ;3. 温州师范学院 数学与信息科学学院 ,浙江 温州 325027)
M
Vi =
j =1
∑w r
j ij (
i = 1 , 2 , …, N ) . 显然 , V i 越大方案的综合属性值越大 , 则认为方案 a i 越优 .
在方案择优过程中 , 为了选择权重向量 w = ( w 1 , w 2 , …, wM ) T , 使得所有方案的综合属性值都尽可 能大 , 首先建立如下的线性规划模型 :
V i3
3 3
M j =1
∑
w j rij ( i = 1 , 2 , …, N ) 为 a i 的相对优值 , V i
3
3 3
=
j =1
∑w 3 3 r
j
M
ij (
i = 1 , 2 , …, N )
( i = 1 , 2 , …N ) 之间并未存在一致的大小优劣关系 , 即 Π i ( i = 1 , 2 , …, N ) , V i3 ≥
0 引 言
求解不完全信息群体多属性决策问题的主要途径是利用方案间的两两比较 ,将问题归为求解相应 的非线性规划模型 ,但在具体求解时有相当的难度[1 ] . 另一途径是将问题转化为求解一系列线性规划问 题 ,利用最小遗憾算法 ,通过方案间的比较来确定优势关系 . 然而 ,当决策者 、 供选方案和问题的属性较 [1～2 ] 多时 ,这类求解过程的工作量不容忽视 . 此外 ,对于方案在不同属性下的属性值量纲不统一的问题 , 文献 [ 1～4 ] 中均未作进一步探讨 . 文献 [ 5 ] 利用了规范化矩阵来统一量纲 ,但其研究仅局限于在决策者 提供了确定的属性值和属性权重范围情况下的单人多属性决策问题 . 本文研究属性权重信息和属性效 用信息都不完全的群体多属性决策问题 ,通过构造每一方案在每个属性下的属性值区间 ,利用属性值区 间的期望构造出决策矩阵 ,统一量纲后 ,将决策矩阵转化为规范化决策矩阵 ,兼顾乐观和悲观主义的决 策原则 , 将问题归结为求解两个线性规划问题 ,再利用相对优值和相对劣值的均值进行排序 ,最终构造 了一种新的不完全信息下的群体多属性决策方法 .
属性权重不完全信息有冲突 , 应重新给出 , 直至 W 非空 .
2 规范化决策矩阵和综合评价均值
k k k k 定义 1 记 Uk ij = [ u ij , u ij ] = [ min uj ( a i ) , max uj ( a i ) ] ( k = 1 , 2 , …, K; i = 1 , 2 , …, N ; j = 1 , 2 , …, M ) , k k
第 27 卷第 3 期 2004 年 8 月
浙江师范大学学报 ( 自然科学版) Vol . 27 , No. 3 JOURNAL OF ZHE J IANG NORMAL UNIVERSITY(Nat . Sci . ) Aug. 2004
文章编号 :1001250512 (2004) 0320234204
μ U = ( u ij ) μ
1 ( uij + u ij ) , 并称它为 G 关于 a i 在 f j 下的群体属性值 . 2
定义 4 记 Uμ = ( uij ) N ×M , 并称它为不完全信息下群体多属性决策的决策矩阵 .
N ×M
中的元素 uij 可能是不同量纲 , 为消除不同量纲的影响 , 可将决策矩阵转变为规范化
第 3 期 徐 徐 ,等 : 不完全信息群体多属性决策的综合评价均值法
235
( 1) ujk ( a i ) ≥ujk ( at ) ; ( 2) ujk ( ai ) - ujk ( a t ) ≥ α i ,α i > 0;
k ( 3) ujk ( a i ) ≥ β i uj ( a t ) ,β i > 0; k ( 4) α α i ≤uj ( a i ) ≤ i +ε i;
1 记号和问题的描述
设 G = { DM1 , DM 2 , …, DM K} ( K ≥ 2) 为决策群体 , 其中 DM k ( k = 1 , 2 , …, K) 为第 k 个决策者 . 设决 策问题有 M 个属性 : F = { f 1 , f 2 , …, f M } , 有 N 个供选方案 ai ( i = 1 , 2 , ……, N ) , 记供选方案集为 A = { a1 , a2 , …, aN } , 决策者 DM k 的权重为 pk ( k = 1 , 2 , …, K) . 本文所研究的不完全信息群体多属性决策问题是指属性权重和方案属性值两者均可能未完全给 定 , 并且均以某些线性不等式的形式给出 . 设决策者 DM k ( k = 1 , 2 , …, K) 给出方案 ai ( i = 1 , 2 , …, N ) 关于属性 f j ( j = 1 , 2 , …, M ) 的属性值为
U
j
U
j
的线性规划问题 定义 2 记
[4 ]
.
K K
UG ij
= [ u ij , u ij ] = [
k =1
∑p
k
min k
U
j
ujk
( ai ) ,
k =1
∑p
k
max ujk ( ai ) ] ( i = 1 , 2 , …, N ; j = 1 , 2 , …, M ) , k
U
j
并称它为 G 关于 ai 在 f j 下的群体属性值区间 . 定义 3 记 uij =
3 算 例
例1 设某一厂家要开发一种产品 , 考虑从 3 种产品 ai ( i = 1 , 2 , 3) 中选择一种进行开发 . 现请 3 位 专家 DM 1 , DM2 , DM 3 对产品进行评估 , 3 位专家的权重依次为 p1 = 0 . 5 , p2 = 0 . 3 , p3 = 0 . 2 . 经过协商 , 他 们选定了 4 个属性 f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , 其中 f 1 为总投资额 , f 2 为产品的期望净现值 , f 3 为风险损失值 , f 4 为产 品的市场潜力 ( 可持续发展的能力) . 决策群体确定权重不完全信息如下 : w 2 ≥w 1 ≥w 3 ≥w 4 , w 2 ≥ 2 w1 , w3 ≤ 0 . 3 , w2 - w3 ≤ 0 . 25 , w 4 ≥ 0 . 1 . 各决策者 DM k 独立给出各方案 ai 在每一属性 f j 下的效用值的不完 全信息如表 1 所示 . 表1 各决策者 DM k 独立给出各方案 ai 在每一属性 f j 下的效用值的不完全信息
( 或 V i3 ≤V i3 3 ) 未必成立 .
一个好的方案 , 不仅应在比较理想的情况下相对优值尽可能地大 , 而且应在比较恶劣的情况下其相 对劣值也应尽可能地大 . 为此 , 应兼顾大中取大和小中取大的原则 , 引入综合评价均值概念 . 定义 6 令 L i = ( V i3 + V i3 3 ) / 2 ( i = 1 , 2 , …, N ) , 并称它为方案 ai 的群体综合评价均值 . 按 L i ( i = 1 , 2 , …, N ) 的值由大到小顺序排列即得到方案 ai ( i = 1 , 2 , …, N ) 由优到劣的排序 .
( 5) ujk ( a i ) - ujk ( at ) ≥ujk ( am ) - ujk ( a n ) .
其中 i ≠t ≠m ≠n. 记 Ujk 为由上述形式的信息组成的约束集 , 并称 Ujk 为 DM k 关于属性 f j 的属性值约束 集.
M
设 w j ( j = 1 , 2 , …, M ) 为属性 f j 的权重 , 则属性权重不完全信息约束集 W = Ф w ∩{ w i |
M
min
i =1
∑d ;
i
M
s. t . ∑ w j rij ≥ d i , i = 1 , 2 , …, N .
j =1
( 1)
由于 W 为多胞体 ( 或称线性约束) , 可知该模型为线性模型 , 又 W 非空 , 且 ( rij ) N ×M 为非负矩阵 , 可
3 ) 及相应的综合属性值 知该线性规划可行域非空 , 则必定存在最优解 . 设最优解 w 3 = ( w 13 , w 13 , …, w M