【小初高学习】2018北师大版高中数学必修四学案：第二章 5 从力做的功到向量的数量积(一)

课题 2.5 从力做的功到向量的数量积学习目标1.知识与技能（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感、态度与价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.学习重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义，运算律.学习难点：运算律的理解学习方法：以讲学稿为依托的多媒体辅助教学方式.学习过程一、课前预习指导：仔细阅读课本91----93页内容，完成以下预习检测平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量________ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为__.二、新课学习问题探究一平面向量数量积的含义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为0.1 向量的数量积是一个数量，而不再是向量．对于两个非零向量a与 b.当______________时，a·b>0；当_________时，a·b＝0，即a⊥b；当θ∈⎝⎛⎦⎥⎤π2，π，a·b<0.2 我们把|a|cos θ叫做向量a在b方向上的射影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的射影，其中θ为向量a与b的夹角．由数量积的定义a·b＝|a||b|cos θ可得：|a|cos θ＝_______；|b|cos θ＝_____.例如，|a|＝1，|b|＝1，a与b的夹角θ＝120°，则a在b方向上的射影为________，b在a方向上的射影为____. 问题探究二向量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a(交换律)；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)③a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律)．1 请你证明a·b＝b·a.2 证明(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(提示：分λ＝0，λ>0，λ<0三种情况讨论)3 下面是证明分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c的过程，请你补充完整．证明：当a＋b与向量c夹角为直角时，如图(1)所示，向量a＋b在向量c方向上的射影|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝___；向量a在向量c方向上的射影为|a|cos〈a，c〉＝OA1，向量b在c方向上的射影为|b|cos〈b，c〉＝OB1，易知OA1与OB1互为相反数，即OA1＋OB1＝0.以|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉＝|a＋b|cos〈a＋b，c〉．两边乘以|c|得：______________＋______________＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉，∴a·c＋b·c＝(a＋b)·c，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.当a＋b与向量c夹角为锐角时，如图(2)所示，向量a＋b在向量c方向上的射影为|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝______；向量a在向量c方向上的射影为|a|cos〈a，c〉＝_____，向量b在c方向上的射影为|b|cos〈b，c〉＝______，（3）∵OC1＝OA1＋A1C1，A1C1＝OB1，∴_____＝______＋_____，∴____________________＝_______________＋_________________．两边同乘以|c|得：|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝|a||c|cos〈a，c〉＋|b||c|cos〈b，c〉，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.当a＋b与向量c夹角为钝角时，如图(3)所示，同理可证得(a＋b)·c＝a·c＋b·c.问题4 某同学由实数乘法的三条性质：①ab＝0⇒a＝0或b＝0；②ab＝bc，b≠0⇒a ＝c；③(ab)c＝a(bc)；类比得到向量数量积的三条结论：①a·b＝0⇒a＝0或b＝0；②a·b＝b·c，b≠0⇒a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)，这三条结论成立吗？请简要说明．问题探究三平面向量数量积的性质根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)当〈a，b〉＝0时，a·b＝________；当〈a，b〉＝π时，a·b＝________；当〈a，b〉＝π2时，a·b＝__；(2)a·a＝_____或|a|＝a·a＝a2；(3)cos θ＝_________；(4)|a·b|_____|a||b|;(5)(a＋b)2＝________________；(6)(a－b)2＝________________；(7)(a＋b)·(a－b)＝_________. 例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3，求|a＋b|，|a－b|.例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．三、当堂检测1．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为( ) A．2 B．2 3 C．6 D．122．已知|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是 ( )A．60° B．30° C．135° D．45°3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________.四、课堂小结五、课后作业六．板书设计七．教（学）后反思。

从力做功到向量的数量积【学习目标】（1） 理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义. （2） 体会平面向量的数量积与向量投影的关系. （3） 掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【学习重点】向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律. 【学习难点】运算律的理解 【知识衔接】1.已知a (x 1, y 1) b (x 2, y 2) 求a +b ，a b的坐标；2.已知a (x, y)和实数λ, 求λa的坐标；3.已知),(),,(2211y x B y x A ，求AB 的坐标；4.向量a 、b 共线的两种判定方法：a ∥b( )▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁、▁▁▁▁▁。

【学习过程】1.由力做的功：W = |F |•|s |cos ， 是F 与s 的夹角；可以定义：平面向量数量积（内积）的定义，a •b = |a ||b |cos ， 并规定0与任何向量的数量积为0。

2.向量夹角的概念：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁。

范围0 ≤ ≤180 。

由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；要注意的几个问题： ①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定。

②两个向量的数量积称为内积，写成a •b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。

③在实数中，若a 0，且a •b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a •b =0，不能推出b =0。

因为其中cos 有可能为0.这就得性质2.④已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a •b = b •c a = c如右图：a •b = |a ||b |cos = |b ||OA|Oa cbb •c = |b ||c |cos = |b ||OA| a •b =b •c 但a c⑤在实数中，有(a •b )c = a (b •c )，但是(a •b )c a (b •c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3.问题(1).射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.定义：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的射影。

§5从力做的功到向量的数量积问题导学1．向量数量积的定义及几何意义活动与探究1已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°．(1)求a·b；(2)求a在b上的射影．迁移与应用(1)在题设不变的情况下，求b在a上的射影；(2)把“a与b的夹角θ＝120°”换成“a∥b”，求a·b．(1)数量积的符号同夹角的关系：①若a·b＞0⇔θ为锐角或零角；或a与b至少有一个为0；②若a·b＝0⇔θ＝π2③若a·b＜0⇔θ为钝角或平角．(2)求平面向量数量积的方法①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ．②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b．2．平面向量数量积的运算活动与探究2已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求①a·b；②(a＋b)2；③(a－b)2；④a2－b2；⑤(2a＋3b)·(3a－2b)．迁移与应用1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为45°，则a·a＋a·b＝__________．2．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)＝__________．向量数量积的运算中要注意的问题：(1)两向量的数量积是数量，不是向量，注意区分其运算性质与数乘向量、实数与实数乘积的差异．(2)向量数量积与代数式运算三个相近公式． (a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2； (a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2．(3)向量数量积的表示中的“·”，既不能省略，也不能写成“×”． 3．求向量的模活动与探究3(1)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( )． A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8(2)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a ＋2b |．迁移与应用已知平面向量a ，b ，|a|＝1，|b|＝2，a ⊥(a －2b )，求|3a ＋b|，|a －2b|．求向量的模的常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方． (2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．4．求向量的夹角问题活动与探究4已知|a|＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．迁移与应用1．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a·(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大小为__________． 2．已知非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|． 求：(1)a 与a ＋b 的夹角； (2)a 与a －b 的夹角．向量夹角的求法：(1)求向量的夹角要利用公式cos θ＝a·b|a||b|，通常分别要求a·b和|a|·|b|的值．(2)对于不方便单独求出a·b与|a|·|b|的值的问题，可寻求两者的关系，转化条件解方程(组)．(3)要注意向量夹角的取值范围为[0，π]，涉及到具体几何图形问题要注意向量的方向，区分几何图形的内角与向量夹角的关系．5．解决有关垂直问题活动与探究5已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若对两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－k a ＋t b垂直，试求k的最小值．迁移与应用已知a，b是两个非零向量，若a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，试求a 与b的夹角θ．向量垂直的应用(1)理论依据：a⊥b⇔a·b＝0．(2)利用向量垂直求参数的取值，通常是由向量垂直，转化为数量积为0，再利用方程或函数的思想来求解．当堂检测1．若|a|＝5，|b|＝6，〈a，b〉＝60°，则a·b＝()．A．15 B．15 3 C．15 2 D．102．已知|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角为()．A．150°B．120°C．60°D．30°3．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()．A．a∥b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b4．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋3b|＝__________．5．已知两个非零向量a，b，夹角θ＝120°，且(a－3b)⊥(7a＋5b)，问是否存在实数λ，满足(a－4b)⊥(λa－b)?提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。

从力做的功到向量的数量积预习课本P93～96，思考并完成以下问题1．向量的夹角的范围是什么？2．向量数量积的几何意义是什么？3．向量数量积有哪些性质？4．向量数量积的运算满足哪些运算律？[新知初探]1．向量的夹角(1)定义：已知非零向量a和b(如图所示)，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a和b的夹角，当θ＝0°时，向量a和b同向；当θ＝180°时，向量a和b反向．(2)垂直：如果向量a和b的夹角是90°，我们就说向量a与b垂直，记作a⊥b.规定：零向量可与任一向量垂直．[点睛]两向量的夹角的范围是[0，π]，但要注意，前提是共起点时才能指出夹角，若不满足，可先进行平移．2．向量的数量积(1)投影：若非零向量a，b的夹角为θ，则|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影)．(2)数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cos θ叫作a与b 的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.(3)数量积的特殊情况：当两个向量相等时，a·a＝|a|2.当两个向量e1，e2是单位向量时，e1·e2＝cos θ.(4)几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos θ的乘积．[点睛](1)两个向量的数量积是两个向量之间的乘法，它与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时只能写成a·b，而不能写成a×b或ab.(2)向量的数量积为一实数，可正、可负、可为0.这不同于数乘向量，其结果仍为向量．3．向量的数量积的性质(1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)|a|＝a·a；(4)cos θ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)；(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a (交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c (分配律)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a≠0，且a·b＝a·c，则b＝c ()(2)在△ABC中，∠A＝60°，则AB与CA的夹角为60°()(3)对任意两个向量a，b，都有a·b≤|a||b| ()答案：(1)×(2)×(3)√2．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1 B．2C．3 D．4解析：选C ①②③显然正确．对于④，|a·b |＝|a ||b |·|cos θ|(设θ为a ，b 的夹角)，a·b ＝|a ||b |cos θ，故a·b ≤|a·b |，故④错误．对于⑤，(a·b )2＝(|a |·|b |cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ≠a 2·b 2(设θ为a ，b 的夹角)，故⑤错误．3．设向量a ，b 均为单位向量，且(a ＋b )2＝1，则a 与b 的夹角为 ( ) A. π3 B. π2 C. 2π3D. 3π4解析：选C (a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝2＋2a·b ＝1，则a·b ＝－12.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝－12，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.4．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________.解析：a·b ＝|a ||b |cos 30°＝2×3×32＝3. 答案：3平面向量数量积的运算[典例] (1)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：①a ·b; ②(a ＋b )·(a －2b )．(2)如图，设正三角形ABC 的边长为2，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ， 求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .[解] (1)①由已知得a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. ②(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a |＝|b |＝|c |＝2，且a 与b ，b 与c ，c 与a 的夹角均为120°， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． [活学活用]1．已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________． 解析：已知向量a ，b 的夹角θ＝60°，故b 在a 上的投影为|b |cos θ＝2cos 60°＝2×12＝1.答案：12．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________.解析：因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝⎝⎛⎭⎫AD ＋12AB ·(AD －AB ) ＝AD 2－12AD ·AB －12AB 2＝2.答案： 2向量模的问题 [典例] 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3.求|a ＋b |，|a －b |.[解] 由题意知a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252.因为|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝25＋25＋2×252＝75， 所以|a ＋b |＝5 3.同理因为|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a·b ＝25， 所以|a －b |＝5. [一题多变]1．[变设问]本例的条件不变，求|3a ＋b |.解：∵a ·b ＝|a ||b |cos θ＝252，∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ＝513.2．[变条件，变设问]本例的已知条件若改为|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，如何求|3a ＋b |的值？ 解：因为|3a －2b |2＝9a 2－12a·b ＋4b 2 ＝9×25－12a·b ＋4×25 ＝325－12a·b ， 又因为|3a －2b |＝5，所以325－12a·b ＝25，即a·b ＝25.所以|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400. 所以|3a ＋b |＝20.求向量的模的常用思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等．两个向量的夹角与垂直问题[典例] (1)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，依题意有：(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.[答案]π3(2)解：设a 与b 的夹角为θ.由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ②②－①得23b 2－46a ·b ＝0， ∴2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2， ∴|a |＝|b |，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2|b |2＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.求向量a ，b 的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a ·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a ·b |a ||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在个别含有|a |，|b |与a ·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． [活学活用]1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，且(3a －2b )⊥a ，则a 与b 的夹角为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选A 由(3a －2b )⊥a ，得(3a －2b )·a ＝3|a |2－2a·b ＝0⇒a·b ＝32|a |2＝32，又a·b ＝|a |·|b |cos〈a ，b 〉，所以cos 〈a ，b 〉＝323＝32⇒〈a ，b 〉＝π6.2．已知|a |＝2，|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，求使向量2a ＋λb 与λa －3b 的夹角为锐角时λ的取值范围．解：设向量2a ＋λb 与λa －3b 的夹角为θ. ∵向量2a ＋λb 与λa －3b 的夹角为锐角， ∴(2a ＋λb )·(λa －3b )|2a ＋λb ||λa －3b |＞0，即(2a ＋λb )·(λa －3b )＞0， 2λa 2＋(λ2－6)a·b －3λb 2＞0. ∵a 2＝|a |2＝2，b 2＝|b |2＝1， a·b ＝|a ||b |cos 45°＝2×1×22＝1， ∴4λ＋λ2－6－3λ＞0，即λ2＋λ－6＞0， ∴λ＜－3或λ＞2.设2a ＋λb ＝k (λa －3b )＝kλa －3kb ，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，λ＝－3k ，∴λ2＝－6， 即此时λ不存在，向量2a ＋λb 与λa －3b 不共线．综上，向量2a ＋λb 与λa －3b 的夹角为锐角时，λ＜－3或λ＞2.层级一 学业水平达标1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 由题意，知a·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为32，则a·b 等于 ( )A ．3 B.92 C ．2D.12解析：选B 设a 与b 的夹角为θ.∵|a |cos θ＝32，∴a·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝92.3．若|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为135°，则a ·(－b )等于 ( )A ．12B ．－12C ．12 2D ．－12 2解析：选C ∵a ·(－b )＝－a·b ＝－|a |·|b |cos 135°＝－4×6×⎝⎛⎭⎫－22＝12 2. 4．若AB ·BC ＋AB 2＝0，则△ABC 为 ( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选A AB ·BC ＋AB ·AB ＝0， AB ·(BC ＋AB )＝0，AB ·AC ＝0， ∴AB ⊥AC ，∴∠A ＝90°. ∴△ABC 为直角三角形．5．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝ ( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．1解析：选B ∵|a ＋b |＝13， ∴(a ＋b )2＝13，即a 2＋2a·b ＋b 2＝13， 也就是|a |2＋2|a ||b |cos θ＋|b |2＝13.将θ＝120°，|a |＝3代入可得|b |2－3|b |－4＝0. 解得|b |＝4或|b |＝－1(舍去)．6．已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3. 答案：37．如果a ，b ，a －b 的模分别为2,3，7，则a 与b 的夹角为________．解析：设a 与b 的夹角为θ，由|a －b |2＝a 2－2a·b ＋b 2，得7＝13－12cos θ，即cos θ＝12.又0≤θ≤π，故θ＝π3.答案：π38．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，则BC ·CA ＋AB ·BC ＝________. 解析：注意到BC 与CA ，AB 与BC 所成的角都是等边三角形的外角，为120°，故BC ·CA ＋AB ·BC ＝2×(2×2×cos 120°)＝－2.答案：－29．设非零向量a 和b ，它们的夹角为θ.(1)若|a |＝5，|b |＝4，θ＝150°，求a 在b 方向上的投影和a 与b 的数量积； (2)若a·b ＝9，|a |＝6，|b |＝3，求b 在a 方向上的投影和a 与b 的夹角θ. 解：(1)a 在b 方向上的投影为 |a |cos θ＝5cos 150°＝－532，a·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4×cos 150°＝－10 3. (2)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝a·b |a |＝96＝32. ∵cos θ＝a·b |a ||b |＝96×3＝12，且0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.10．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.(1)计算|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(ka －b )? 解：由已知，a ·b ＝4×8×⎝⎛⎭⎫－12＝－16. (1)∵(4a －2b )2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2 ＝16×16－16×(－16)＋4×64 ＝3×162， ∴|4a －2b |＝16 3. (2)若(a ＋2b )⊥(ka －b )， 则(a ＋2b )·(ka －b )＝0. ∴ka 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，∴k ＝－7.层级二 应试能力达标1．(重庆高考)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π解析：选A 由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0，∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. 2．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是 ( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形解析：选B ∵AB ＝DC ，即一组对边平行且相等，AC ·BD ＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD 为菱形．3．已知|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，a 与b 的夹角为90°，b 与c 的夹角为45°，则a·(b·c )为( ) A ．0 B ．a C ．bD ．c解析：选B a·(b·c )＝a ·(|b ||c |·cos 45°)＝a ·⎝⎛⎭⎫1×2×22＝a .故选B. 4．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP ＝2PM ，则AP ·(PB ＋PC )等于( ) A. 49 B. 43 C ．－43D ．－49解析：选A ∵AM ＝1，且AP ＝2PM ，∴|AP |＝23.如图，AP ·(PB ＋PC )＝AP ·2PM ＝AP · AP ＝(AP )2＝⎝⎛⎭⎫232＝49.5．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 解析：由|a ＋b |2＝|a －b |2知a·b ＝0. 又|a －b |2＝4|a |2， ∴|a |2－2a·b ＋|b |2＝4|a |2.∴|b|2＝3|a|2，∴|b|＝3|a|.∴cos θ＝(a＋b)·(a－b)4|a|2＝|a|2－|b|24|a|2＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.答案：2π36. 如图，圆O的半径为1，点A，B，C是圆O上的点，且∠AOB＝30°，AC＝2AB，则OA·BC＝________.解析：∵∠AOB＝30°，AC＝2AB，∴∠AOC＝2∠AOB＝60°.∴OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝1×1×cos 60°－1×1×cos 30°＝1－32.答案：1－327．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°.(1)求(2a－b)·(a＋b)；(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．解：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝1×4×12＝2，∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12.8．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7.(1)求a与b的夹角θ；(2)是否存在实数μ使μa＋b与a－2b垂直？解：(1)∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|.∴(a ＋b )2＝c 2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2.∴a·b ＝c 2－a 2－b 22＝|c |2－|a |2－|b |22＝49－9－252＝152. 又∵a·b ＝|a ||b |cos θ，∴152＝3×5×cos θ. ∴cos θ＝12，θ＝60°. (2)∵(μa ＋b )⊥(a －2b )，∴(μa ＋b )·(a －2b )＝0.∴μa 2－2b 2－2μa ·b ＋a ·b ＝0.∴9μ－2×25－2μ×152＋152＝0. ∴μ＝－8512. ∴存在μ＝－8512，使得μa ＋b 与a －2b 垂直．。

[核心必知]1．平面向量数量积的概念(1)向量的夹角a和b，如图所示，作AOB＝θ叫作向量a与b(2)规定：零向量与任一向量垂直．(3)向量b在a方向上的射影①定义：如图，OA＝a，OB＝b，过点B作BB1⊥OA于点B1则OB1＝|b|cos θ.|b|cos_θ叫作向量b在a方向上的射影．②数值特征：续表(4)向量的数量积2.数量积的性质(1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos_θ．(2)若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b.通常记作a⊥b⇔a·b＝0．(3)|a|(4)cos θ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|.当且仅当a∥b时等号成立．3．数量积的运算律若给定向量a，b，c和实数λ，则数量积满足：(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘向量结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．[问题思考]1．向量b在a方向上的射影仍是一个向量，对吗？提示：不对．向量b在a方向上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于两向量夹角θ的取值范围．2．两向量a与b的数量积是一个向量，对吗？提示：不对．向量的数量积是一个实数，其值可正，可负，可以为0.讲一讲1．已知向量a 与b 的夹角θ＝120°，且|a |＝4，|b |＝2，求 (1)a ·(－b )；(2)(a －2b )·(a ＋b )[尝试解答] (1)∵向量a 与b 的夹角θ＝120°， ∴向量a 与－b 的夹角为180°－θ＝60°. ∴a ·(－b )＝|a |·|b |·cos 60°＝4·2·12＝4.(2)(a －2b )·(a ＋b ) ＝a 2＋a ·b －2b ·a －2b 2＝|a |2－a ·b －2|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－2|b |2＝42－4×2×cos 120°－2×22＝12.1．求两向量数量积的一般步骤是： (1)求向量a 与b 的夹角θ； (2)分别求|a |，|b |； (3)计算a ·b ＝|a ||b |cos θ.2．对于形如本讲(2)的数量积运算，类似于多项式的乘法运算，但注意展开时两向量的“积”为数量积，需用“·”连接，不能写成ab 或a ×b .练一练1．[多维思考] 在本讲的条件不变的情况下，求：(1)(a －b )2；(2)(a ＋2b )·(a －3b )． 解：(1)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a |·|b |cos 120°＋|b |2＝42－2×4×2×(－12)＋22＝28.(2)(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－3a ·b ＋2b ·a －6b 2＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a |·|b |×cos 120°－6|b |2＝42－4×2×(－12)－6×22＝－4.讲一讲2．已知|a |＝|b |＝2，(1)若a ·b ＝22，试求a 与b 的夹角； (2)若a 与b 的夹角为150°，试求|a ＋b |. [尝试解答] (1)设a 与b 的夹角为θ，则：cos θ＝a ·b |a ||b |＝222·2＝22.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°. (2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a |·|b |cos 150°＋|b |2＝22＋2×2×2×(－32)＋22＝8－4 3. ∴|a ＋b |＝8－43＝6－ 2.1．求向量的夹角主要是利用数量积的变形公式cos θ＝a ·b|a ||b |.求解时应抓住两个“积”考虑，一是数量积a ·b ，二是模的积|a ||b |，同时注意向量夹角的取值范围是[0，π]．2．求向量的长度，关键是合理运用性质|a |＝a 2，以及数量积公式a ·b ＝|a |·|b |cos θ. 练一练2. 已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．∵|a |＝|b |＝|a －b |.∴△OAB 是等边三角形，设其边长为m . 则a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos 60° ＝m 2＋12m 2＝32m 2.|a ||a ＋b |＝m （a ＋b ）2＝m a 2＋2a ·b ＋b 2＝m |a |2＋2|a ||b |cos 60°＋|b |2＝m m 2＋2m 2×12＋m 2＝3m 2.设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a ||a ＋b |＝32m 23m2＝32. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角为30°.讲一讲3．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a ＋k b 与a －k b 垂直？ [尝试解答] ∵(a ＋k b )⊥(a －k b )， ∴(a ＋k b )·(a －k b )＝0，∴a 2－(k b )2＝0，即|a |2－k 2|b |2＝0， 又|a |＝3，|b |＝4， ∴9－16k 2＝0，得k ＝±34，∴当k ＝±34时，向量a ＋k b 与a －k b 垂直．有关向量的垂直问题是向量数量积的重要应用之一，解决该类问题主要运用性质a ⊥b ⇔a ·b＝0，同时注意运算时要正确把握向量数量积的运算律．练一练3．已知a ，b 是非零向量，且满足(3a －b )⊥a ，(4a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角是( ) A.56π B.23π C.π3 D.π6解析：选D 设a 与b 的夹角为θ，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧（3a －b ）·a ＝0，（4a －b ）·b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧3|a |2－a ·b ＝0，4a ·b －|b |2＝0， ∴|a |＝13a ·b ，|b |＝2a ·b . ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝3a ·b 2a ·b ＝32. ∵0≤θ≤π，∴θ＝π6.设正三角形ABC 的边长为2，＝b ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .[错解] ∵△ABC 为正三角形，且边长为 2. ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝|a |·|b cos 60°＋|b ||c |cos 60°＋|c |·|a |cos 60° ＝3×(2)2×12＝3.[错因] 错解在于未正确理解向量夹角的含义，向量a 与b 、b 与c ，c 与a 的起点均不同，所以它们夹角并非60°，应是120°.[正解] ∵△ABC 为正三角形，边长为2， ∴向量a 与b ，b 与c ，c 与a 的夹角均为120°. |a |＝|b |＝|c |＝2， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝3a ·b ＝3|a ||b |cos 120° ＝3×(2)2×(－12)＝－3.1．设向量a ·b ＝40，|b |＝10，a 在b 方向上的射影为( ) A ．4 B ．4 3C ．4 2D ．8＋32解析：选A ∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴a 在b 方向上的射影．|a |cos θ＝a ·b |b |＝4010＝4. 2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝ ( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8解析：选D 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.3．若e 1，e 2是夹角为π3的单位向量，且a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，则a ·b 等于( )A ．1B ．－4C ．－72 D.72解析：选 C a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋4e 1·e 2－3e 1·e 2＋2e 22＝－6|e 1|2＋|e 1||e 2|cos π3＋2|e 2|2＝－6＋12＋2＝－72.4．(新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则＝________.答案：25．(全国新课标)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________． 解析：依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝32(负值舍去)．答案：3 26．已知|a |＝1，|b |＝2，设a 与b 的夹角为θ.(1)若θ＝π3，求|a －b |； (2)若a 与a ＋b 垂直，求θ.解：(1)∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |cos π3＋|b |2 ＝1－22×12＋2 ＝3－ 2 ∴|a －b |＝3－ 2.(2)若a 与a ＋b 垂直，则a ·(a ＋b )＝0，∴a 2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－|a |2＝－1. ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－11×2＝－22.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.一、选择题1．已知|b |＝3，a 在b 方向上的射影是32，则a ·b ＝( )A ．3 B.92C ．2 D.12解析：选B 设a ，b 的夹角为θ(0≤θ≤π)依题意，|a |cos θ＝32，而|b |＝3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝92.2．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝() A. 2 B. 3 C. 5 D.7解析：选B ∵|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝1－4×12＋4＝3，∴|a ＋2b |＝ 3.3．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选C 设向量a 与向量b 的夹角为θ(0≤θ≤π)，由条件得a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝2＋a 2＝3＝|a ||b |cos θ＝1×6×cos θ，所以cos θ＝12，又因为0≤θ≤π，所以θ＝π3.4．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝() A ．4 B ．3C ．2D ．0解析：选D ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0.∵a ∥b ，∴b ⊥c .∴b ·c ＝0，∴c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2b ·c ＝0.二、填空题5．已知|a |＝1，|b |＝3，|a －b |＝4，则|a ＋b |＝________．解析：由|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2得16＝1－2a ·b ＋9，2a ·b ＝－6∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1－6＋9＝4|a ＋b |＝2.答案：26．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，且|2a ＋b |＝10，则向量a 与a －2b 的夹角为________． 解析：由|2a ＋b |＝10得，4|a 2|＋4a ·b ＋|b |2＝10，∴4·12＋4a ·b ＋22＝10，∴a ·b ＝12， ∴a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝1－2×12＝0. 故a ⊥(a －2b )，即a 与a －2b 的夹角为90°.答案：90°7．已知e 1，e 2是夹角为2π3的单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则k 的值为________．解析：∵a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22＝k ＋(1－2k )×1×1×cos 2π3－2 ＝2k －52＝0， ∴k ＝54.答案：548．设a ，b ，c 是三个任意的非零向量，且互不平行，以下四个命题：①|a |＋|b |>|a ＋b |；②若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0；③向量a ，b 满足：a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；④若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影长．其中正确的命题是________(填序号)解析：①正确，根据三角形两边之和大于第三边；②错误，由a ≠0，a ·b ＝0可得b ＝0或a ⊥b ；③错误，a ·b >0时a 与b 可以同向；④错误，|b |cos θ表示b 在a 方向上的射影，不是长度，故正确的个数只有1个．答案：①三、解答题9．已知|a |＝3，|b |＝4，且(a ＋2b )·(2a －b )≥4，求a 与b 的夹角θ的范围．解：由(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝2×32－2×42＋3a ·b ≥4得a ·b ≥6， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b 3×4≥63×4＝12. 又θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 10．已知a ⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值．解：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，又由已知得[a ＋(t －3)b ]·[－k a ＋t b ]＝0，∴－k a 2＋t (t －3)b 2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴－4k ＋t (t －3)＝0.∴k ＝14(t 2－3t ) ＝14(t －32)2－916(t ≠0)． 故当t ＝32时，k 取最小值－916.。

第二章平面向量§5从力做的功到向量的数量积（第1课时）一、教学目标：1、通过实例，理解向量数量积运算的含义、几何意义、物理意义。

2、掌握向量数量积的重要性质。

3、体会平面向量数量积运算与向量投影的关系。

4、由物理问题实例引入，使学生体会到数学与物理的密切联系，认识到数学和其他知识的联系，感受数学作为解决问题的工具的作用。

二、教学重点：1、对向量数量积的运算含义、几何意义的理解和运用。

2、探究向量数量积的性质，并理解。

三、教学难点：对向量数量积的含义与向量投影概念的理解。

四、教学工具：多媒体、黑板、直尺五、教学方法情景创设、提出问题、思考交流、探究讨论、讲解答疑六、教学过程提问引入问题1: 我们前面共同研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？问题2:什么叫力做功？实例分析：如图所示，一物体在拉力F的作用下沿光滑的斜坡运动的位移是S，在运动过程中物体受到哪几个力的作用？请分析这些力做功的情况。

由公式W＝|F| |S| cosθ可知拉力F与位移S的夹角θ∈（0º，90º），W＞0，拉力做正功支持力N与位移S的夹角θ＝90º，W＝0，支持力不做功。

重力G与位移S的夹角θ∈（90º，180º），W＜0，重力做负功。

提问：在这个公式中功W、力F、位移S分别是什么量？力对物体所做的功W（数量）可以看作力F（向量）和位移S（向量）进行某种运算的结果。

引入课题―――向量的数量积。

平面向量数量积的定义已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cosθ叫作a和b的数量积（或内积），记作a●b=|a||b|cosθ注：a●b中的“●”不能少，也不能用“×”代替， a●b是向量的一种运算，a×b是向量的另一种运算。

思考：向量的数量积是一个什么量？由数量积公式可看出，a●b的结果是一个数量，这个数量的大小与这两向量的长度以及夹角有关。

2.5从力做的功到向量的数量积 一、新旧知识连接：力做的功：||||cos W F S F S θ==， θ是F 与S 的夹角二、我能自学：②.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a b = 并规定0与任何向量的数量积为0。

⋅③. 两向量所成角θ的判断，向量夹角的概念：θ范围④．讨论向量的投影（射影）向量a b 在上的投影⑤．讨论θ，0,,,0,222πππθθθπθθπ===<<<<得到数量积的相关性质；⑥．数量积相关运算律 。

三、巩固训练1．判断下列各题正确与否：①若a = 0，则对任一向量b ，有a •b = 0.②若a ≠ 0，则对任一非零向量b ，有a •b ≠ 0.③若a ≠ 0，a •b = 0，则b = 0.④若a •b = 0，则a 、b 至少有一个为零.⑤ 若a ≠ 0，a •b = a •c ，则b = c .⑥若a •b = a •c ，则b = c 当且仅当a ≠ 0时成立.⑦对任意向量a 、b 、c ，有(a •b ) •c ≠ a • (b •c ).⑧对任意向量a ，有a 2 = |a |2.2.2.()1(,120,32220b a b a -==求的夹角为与3.已知都是非零向量，且573-+垂直， b a b a 274--与垂直，求b a 、的夹角。

4．设两个向量1e 、2e ，满足2||1=e ，1||2=e ，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解：421=e ，122=e ，121=⋅e e∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+⋅++=+⋅+t t e t e e t e t e t e e e t∴ 071522<++t t 217-<<-t 设)(722121e t e e e +=+λ )0(<λ 14,21472722-=-=⇒=⇒⎩⎨⎧==⇒λλλt t t t∴ -=t 214时，2172e e t +与21e t e +的夹角为π， ∴ t 的取值范围是)21,214()214,7(---- 。

学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．知识点一平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确．知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．梳理与多次式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“·”．类型一向量数量积的运算性质例1给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．反思与感悟向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b ＝0并不能得出a ＝0或b ＝0.特别是向量的数量积不满足结合律． 跟踪训练1 设a ，b ，c 是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法： ①(a ·b )·c －(c ·a )·b ＝0； ②(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直； ③(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的是________．(填序号) 类型二 平面向量数量积有关的参数问题 命题角度1 已知向量垂直求参数值例2 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )·b ，且b ⊥c ，则t ＝________________. 反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0.跟踪训练2 已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 等于( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3 已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， 则k 的取值范围为________．反思与感悟 由两向量夹角θ的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量a ，b ，θ∈[0，π2)⇔a ·b >0，θ∈(π2，π]⇔a ·b <0.跟踪训练3 设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．1．下面给出的关系式中正确的个数是( )①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是( ) A ．60° B ．30° C ．135° D ．45°3．已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为( )A ．1B ．0C ．2D ．34．已知正三角形ABC 的边长为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值是( )A.32B.12 C ．－32D ．－125．已知|a |＝2，|b |＝1，(2a －3b )·(2a ＋b )＝9. (1)求a 与b 之间的夹角θ； (2)求向量a 在a ＋b 上的射影．1．数量积对结合律不一定成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，若b 与c 不共线，则两者不相等． 2．在实数中，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，因为其中cos θ有可能为0.3．在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0，则a ＝c ，在向量中a ·b ＝b ·c ，b ≠0D /⇒a ＝c .答案精析知识梳理 知识点一正确 错误 正确 错误 知识点二(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 (a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a 题型探究 例1 ④ 跟踪训练1 ③ 例2 2跟踪训练2 C 例3 (0,1)∪(1，＋∞)跟踪训练3 解 设向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为θ. 根据题意，得cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.化简，得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当θ＝π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角． 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴实数t 的取值范围是(－7，－142)∪(－142，－12)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.C 5．(1)θ＝π3 (2)577。

从力做的功到向量的数量积●教学目标1．通过实例，正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2．掌握平面向量的数量积的5个重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.●教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用●教学难点平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解●教学方法启发引导式启发学生在理解力的做功运算的基础上，逐步理解夹角、射影及向量的数量积等概念，并掌握向量的5个重要性质。

●教具准备多媒体辅助教学●教学过程教案设计说明（1）教学理念——以教师为主导，学生为主体教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，因此在教学中不断引导学生去思考，学会去学习。

本节课有较多的概念及性质，尽可能给机会让学生参与，因此在教学过程中设置种种问题或习题，引导学生去观察，分析和概括，增强学生的参与意识，教给了学生获取知识的途径，使学生真正成了教学的主体，通过这样，使学生学有所思，思有所获，产生一种成就感，提高学生的学习兴趣。

（2）教学方法——启发引导式本节课的重点是向量的数量积，围绕这个教学重点，在教学过程中始终贯彻“教师为主导、学生为主体、训练为主线、思维为主攻”，设置种种问题或习题，引导学生去观察，分析和概括，逐步领悟数学知识的本质。

（3）教学手段——多媒体辅助教学为了使所创设的问题情景自然有趣，直观，同时为了增大课程容量，更好的突出重点，突破难点，提高课堂效率，因此在教学中利用多媒体演示，既加强教师、学生、媒体三者互动，发挥学生主体作用，提高了学习效率，同时缩短教师板书时间，保证教学任务的完成。

§从力做的功到向量的数量积．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的)几何问题．(难点[基础·初探]教材整理向量的夹角及数量积阅读教材～内容，完成下列问题．．向量的夹角()射影θ叫作向量在方向上的投影数量(也叫投影)．()数量积已知两个非零向量与，我们把θ叫作与的数量积(或内积)，记作·，即·＝θ，其中θ是与的夹角．()规定零向量与任一向量的数量积为.()几何意义与的数量积等于的长度与在方向上射影θ的乘积，或的长度与在方向上射影θ的乘积．()性质①若是单位向量，则·＝·＝θ.②若⊥，则·＝；反之，若·＝，则⊥，通常记作⊥⇔·＝.③＝＝.④θ＝(≠)．⑤对任意两个向量，，有·≤，当且仅当∥时等号成立．()运算律已知向量，，与实数λ，则：①交换律：·＝·；②结合律：(λ)·＝λ(·)＝·(λ)；③分配律：·(＋)＝·＋·.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()两向量的数量积仍是一个向量．( )()若·＝，则＝或＝.( )()设与的夹角为θ，则θ>⇔·>.( )()对于任意向量，，总有(·)＝·.( )()＝.( )【解析】()×.两向量的数量积是一个数量．()×.∵·＝θ＝，∴＝或＝或θ＝.()√.()×.由数量积定义知，错；()×＝θ)＝θ).【答案】()×()×()√()×()×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：。