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2.5 一元二次方程的根与系数的关系
回顾一元二次方程根与系数的关系，又快又准地完成下列各题。
1. 如果x x 12、是方程4x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=____x x 12=_____。
2. 如果x x 12、是方程x x 2350--=的两个根，那么x x 12+=____x x 12=_____。
3. 下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（ ）
A. x x 2230+-=
B. x x 2230-+=
C. 22302x x --=
D. 3610
2x x -+= 4. 如果一元二次方程x x 2320+-=的两个根为x x 12、，那么x x 12+与x x 12的值分别为（
） A. 3，2 B. --32， C. 32，- D. -32，
请同学们结合方程根（解）的概念及利用根与系数的关系，偿试完成下列各题。
5、已知方程02=++b ax x 的两个根分别是2与3，则=a ，=b .
6、已知方程022=-+kx x 的一个根是1，则另一个根是 ，k = .
7. 如果x x 12、是方程x x 2310-+=的两个根，则求出下列代数式的值。
①1
1
12x x + ②x12x2+x1x22 ③x21+x22
8、已知方程032=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是
9、已知方程0452=+-mx x 的两实根差的平方为144，则m ＝ 。
10、已知1x 、2x 是方程0132=+-x x 的两根，则1112422
1++x x 的值为。
北师大版九年级上册2.5 一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则方程的另一个解是（）A．2 B．﹣1 C．0 D．﹣22. 已知方程，下列判断正确的是（）B．方程两实数根的积等于C．方程有两个不相等的实数根D．方程无实数根3. 已知是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是（）A．B．C．D．4. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（）A．B．C．D．A．x﹣3x+2＝0 B．x+3x-2＝0 C．x+3x+2＝0 D．x﹣3x﹣2＝0 6. 一元二次方程的两实数根为，则的值为（）A．B．C．D．7. 设，是一元二次方程的两个根，那么的值等于（）A．B．C．D．A．0 B．7 C．13 D．69. 已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是（）B．C．D10. 已知，是方程的两根，则代数式的值是（）A．B．C．D．二、填空题11. 关于x的方程有一个根为，则另一个根为 _____．12. 已知α、β是方程的两个根，则_______________．13. 方程的两根为，，则______．14. 已知方程的两根分别为、，则的值为______．三、解答题16. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若，求k的值．17. 先化简，再求值，其中，是方程的两个根．18. 关于x的一元二次方程有两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)若是方程的两个根，且，求m的值．19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求a的取值范围；(2)若满足，求a的值．。
5 一元二次方程的根与系数的关系知识点 1 利用根与系数的关系求代数式的值1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋10x ＋16＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是( ) A ．－10 B ．10 C ．－16 D ．162．2017·怀化若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－33．设x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，则x 12＋x 22的值为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．124．若方程x 2－3x －4＝0的两根分别为x 1和x 2，则1x 1＋1x 2的值是( )A ．1B ．2C ．－34D ．－435．若x 1，x 2是一元二次方程2x 2－5x ＋1＝0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：(1)(x 1－3)(x 2－3)；(2)(x 1＋1)2＋(x 2＋1)2.知识点 2 利用根与系数的关系求方程的根及待定字母的值6．教材习题2.8第3题变式题若关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根为－1，则另一个根为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．37．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则m ＋n 的值是( )A ．－10B ．10C ．－6D ．28．2017·呼和浩特已知关于x 的一元二次方程x 2＋(a 2－2a )x ＋a －1＝0的两个实数根互为相反数，则a 的值为( )A ．2B ．0C ．1D ．2或09．若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋k 2＝0的两根互为倒数，则k ＝________． 10．若方程3x 2－8x ＋m ＝0的两根之比为3∶2，求m 的值．11．一元二次方程x 2－3x －1＝0与x 2－3x ＋3＝0的所有实数根的和等于( ) A ．－3 B ．－6 C ．6 D ．312．若关于x 的一元二次方程的两个实数根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是( ) A ．x 2＋3x －2＝0 B ．x 2－3x ＋2＝0 C ．x 2－2x ＋3＝0 D ．x 2＋3x ＋2＝013．2017·仙桃若α，β为方程2x 2－5x －1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为( )A ．－13B ．12C ．14D ．1514．已知实数a ，b 满足a 2－6a ＋4＝0，b 2－6b ＋4＝0，且a ≠b ，则b a ＋ab的值是________．15．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，求(m＋2)(n ＋2)的最小值．16．已知关于x的一元二次方程x2＋3x－m＝0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若两实数根分别为x1和x2，且x12＋x22＝11，求m的值．17．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数根是x1和x2.(1)求k的取值范围；(2)如果x1＋x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值．18．已知关于x的一元二次方程k2x2＋(2k－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)k为何值时，x1与x2互为倒数？19．已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．20.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长．1．A 2.D 3．C 4．C5．解：根据题意，得x 1＋x 2＝52，x 1x 2＝12.(1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝12－3×52＋9＝2.(2)(x 1＋1)2＋(x 2＋1)2＝x 12＋2x 1＋1＋x 22＋2x 2＋1＝x 12＋x 22＋2(x 1＋x 2)＋2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋2＝(52)2－2×12＋2×52＋2＝1214.6．D 7．A 8．B 9．－110．解：设方程的两根分别为3n ，2n ， ∴5n ＝83，6n 2＝m 3，∴n ＝815，∴m ＝18n 2＝18×(815)2＝12825.11．D 12．B ． 13．B . 14．715．解：∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－2tx ＋t 2－2t ＋4＝0的两实数根， ∴m ＋n ＝2t ，mn ＝t 2－2t ＋4，∴(m ＋2)(n ＋2)＝mn ＋2(m ＋n )＋4＝t 2－2t ＋4＋2×2t ＋4＝t 2＋2t ＋8＝(t ＋1)2＋7. ∵方程有两个实数根，∴Δ＝(－2t )2－4(t 2－2t ＋4)＝8t －16≥0，∴t ≥2，∴(t ＋1)2＋7≥(2＋1)2＋7＝16. 即(m ＋2)(n ＋2)的最小值是16.16．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2＋3x －m ＝0有实数根， ∴Δ＝32＋4m ≥0， 解得m ≥－94.(2)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝－m ， 而x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝11， ∴(－3)2＋2m ＝11， 解得m ＝1.17．解：(1)∵方程有实数根， ∴b 2－4ac ＝22－4(k ＋1)≥0， 解得k ≤0.(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝k ＋1，则x 1＋x 2－x 1x 2＝－2－(k ＋1)．由已知，得－2－(k ＋1)＜－1， 解得k ＞－2. 又由(1)得k ≤0， ∴－2＜k ≤0. ∵k 为整数， ∴k 的值为－1或0.18．解：(1)依题意，得(2k －1)2－4k 2>0，且k ≠0， 解得k <14且k ≠0.(2)由x 1·x 2＝1k 2＝1，得k ＝±1，而k <14且k ≠0，所以k ＝－1.19 (1)证明：一元二次方程x 2－(m －3)x －m 2＝0中， ∵a ＝1，b ＝－(m －3)＝3－m ，c ＝－m 2，∴b 2－4ac ＝(3－m )2－4×1×(－m 2)＝5m 2－6m ＋9＝5(m －35)2＋365＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．(2)由根与系数的关系，得x 1·x 2＝ca＝－m 2≤0，x 1＋x 2＝m －3. ∵|x 1|＝|x 2|－2， ∴|x 1|－|x 2|＝－2.若x 1≥0，x 2≤0，上式化简得x 1＋x 2＝－2， ∴m －3＝－2，即m ＝1， 方程化为x 2＋2x －1＝0，解得x 1＝－1＋2，x 2＝－1－2；若x 1≤0，x 2≥0，上式化简得－(x 1＋x 2)＝－2， ∴x 1＋x 2＝m －3＝2，即m ＝5， 方程化为x 2－2x －25＝0， 解得x 1＝1－26，x 2＝1＋26.20．解：(1)∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1·x 2＝m 2＋5，∴(x 1－1)(x 2－1)＝x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＝m 2＋5－2(m ＋1)＋1＝28， 解得m ＝－4或m ＝6. 当m ＝－4时，原方程无解， ∴m ＝6.(2)①当7为底边长时，此时方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝4(m ＋1)2－4(m 2＋5)＝0， 解得m ＝2，∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.∵3＋3＜7，∴不能构成三角形．②当7为腰长时，设x1＝7，代入方程得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得m＝10或m＝4.当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，解得x＝7或x＝15.∵7＋7＜15，∴不能构成三角形；当m＝4时，方程变为x2－10x＋21＝0，解得x＝3或x＝7.∵3＋7>7，∴能构成三角形．此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.即这个三角形的周长为17.。
北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（01）一、选择题（共18小题）1．若关于x的方程x2+x﹣a+＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a＞2D．a＜22．若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有两个相等实数根，则c的值是（）A．﹣1B．1C．﹣4D．43．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k的非负整数值是（）A．1B．0，1C．1，2D．1，2，35．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2＝0有实数根，则整数a的最大值为（）A．﹣1B．0C．1D．26．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．4x2﹣5x+2＝0B．x2﹣6x+9＝0C．5x2﹣4x﹣1＝0D．3x2﹣4x+1＝0 7．方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有两个实数根，则m的取值范围（）A．m＞B．m≤且m≠2C．m≥3D．m≤3且m≠2 8．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＞且m≠2C．﹣＜m＜2D．＜m＜29．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥B．k＞C．k＜D．k≤10．关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m≤C．m≥D．m≤11．下列方程有两个相等的实数根的是（）A．x2+x+1＝0B．4x2+2x+1＝0C．x2+12x+36＝0D．x2+x﹣2＝012．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）A．（x﹣1）2＝0B．x2+2x﹣19＝0C．x2+4＝0D．x2+x+l＝0 13．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为（）A．9B．10C．9或10D．8或1014．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定15．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一16．一元二次方程x2+x+＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定根的情况17．一元二次方程4x2+1＝4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根18．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1二、填空题（共7小题）19．关于x的方程kx2﹣4x﹣＝0有实数根，则k的取值范围是．20．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．21．一元二次方程x2﹣5x+c＝0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c＝．（只需填一个）．22．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．23．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．24．关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为．25．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0无解，则a的取值范围是．三、解答题（共5小题）26．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．27．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．28．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．29．已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值．30．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（01）参考答案一、选择题（共18小题）1．C；2．B；3．B；4．A；5．B；6．A；7．B；8．D；9．D；10．D；11．C；12．B；13．B；14．B；15．D；16．B；17．C；18．D；二、填空题（共7小题）19．k≥﹣6；20．m＜﹣4；21．4；22．k≥1；23．k＜2且k≠1；24．3；25．a＜﹣1；三、解答题（共5小题）26．；27．；28．；29．；30．；北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（02）一、选择题（共14小题）1．方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b 的大致图象可能是（）A．B．C．D．3．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0D．k＞且k≠0 4．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a＞1C．a≤1D．a＜15．若关于x的方程x2+2x+a＝0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a＞1C．a≤1D．a≥16．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2 7．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠0 8．判断一元二次方程式x2﹣8x﹣a＝0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（）A．12B．16C．20D．249．已知一元二次方程2x2﹣5x+3＝0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根10．若一元二次方程x2+2x+a＝0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a≤4C．a≤1D．a≥111．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1＝0B．2x2﹣x+1＝0C．4x2﹣2x﹣3＝0D．x2﹣6x＝0 12．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能13．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8＝0B．2x2﹣4x+3＝0C．9x2+6x+1＝0D．5x+2＝3x2 14．一元二次方程2x2+3x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定二、填空题（共11小题）15．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．16．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（写出一个即可）．17．关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（填序号）．18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．19．关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m＝．20．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1＝0有两个相等的实数根，那么k的值等于．21．关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是．22．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是．23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5＝0没有实数根，则m的取值范围是．24．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝，b＝．25．已知关于x的方程x2﹣2x+a＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题（共5小题）26．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2＝2，求实数m的值．27．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4＝0有两个相等的实数根，求m的值．28．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝p2，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）29．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．30．已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1＝0有两个相等的实数根．（1）求m的值；（2）解原方程．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（02）参考答案一、选择题（共14小题）1．C；2．B；3．A；4．A；5．B；6．D；7．D；8．C；9．A；10．C；11．A；12．C；13．C；14．A；二、填空题（共11小题）15．；16．0；17．①③；18．a＞﹣且a≠0；19．﹣1；20．3；21．m＞；22．m ≤1；23．m＜；24．4；2；25．a≤1；三、解答题（共5小题）26．；27．；28．；29．；30．；北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（03）一、选择题（共13小题）1．若关于x的方程式x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（）A．2B．1C．0.5D．0.252．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1＝0B．x2+x+1＝0C．x2﹣x+1＝0D．x2﹣x﹣1＝0 3．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4B．﹣4C．1D．﹣14．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1＝0B．x2+x+1＝0C．（x﹣1）（x+2）＝0D．（x﹣1）2+1＝06．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．7．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac满足的条件是（）A．b2﹣4ac＝0B．b2﹣4ac＞0C．b2﹣4ac＜0D．b2﹣4ac≥08．若+|n﹣2|＝0，且关于x的一元二次方程ax2+mx+n＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥8B．a＜8且a≠0C．a≤8D．a≤8且a≠0 9．下列方程没有实数根的是（）A．x2+4x＝10B．3x2+8x﹣3＝0C．x2﹣2x+3＝0D．（x﹣2）（x﹣3）＝1210．一元二次方程x2﹣2x+m＝0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m≤111．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1D．k≥且k≠1 12．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4＝0B．x2﹣2x+5＝0C．x2﹣2x＝0D．x2﹣2x﹣3＝0 13．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）A．m≤B．m≤且m≠0C．m＜1D．m＜1且m≠0二、填空题（共12小题）14．如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，那么m＝．15．关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为．16．若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．17．如果关于x的方程x2﹣2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是．18．一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．19．关于x的一元二次方程x2﹣3x+b＝0有两个不相等的实数根，则b的取值范围是．20．若一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．21．已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是．22．关于x的反比例函数y＝的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△P AB的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+＝0的根的情况是．23．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．24．关于x的一元二次方程x2+a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k值为．三、解答题（共5小题）26．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+＝0有两个相等的实数根，求k的值．27．一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0．（1）若方程有两实数根，求m的范围．（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，求m．28．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2＝16﹣x1x2，求实数m的值．29．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．30．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（03）参考答案一、选择题（共13小题）1．D；2．D；3．D；4．D；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C；10．D；11．C；12．B；13．B；二、填空题（共12小题）14．9；15．6；16．；17．k＜1；18．k＜；19．b＜；20．9；21．0；22．没有实数根；23．k＜；24．a＞0；25．﹣3；三、解答题（共5小题）26．；27．；28．；29．；30．；。
数学北师大版九年级上册2一、选择题1.假定关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，那么另一个根为〔〕A. -2B. 2C. 4D. -32.设a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A. 2021B. 2021C. 2021D. 20213.以下一元二次方程中，两个实数根之和为1的是( )A. x²+x+2=0B. x²+x-2=0C. x²-x+2=0D. x²-x-2=04.假设一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=〔〕A. -3B. 3C. -1D. 15.在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程x2-〔2m-1〕x+4〔m-1〕=0的两根，那么m的值是〔〕A.4B.-1C.4或-1D.-4或16.m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，那么〔m+2〕〔n+2〕的最小值是〔〕A.7B.11C.12D.167.关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，那么m2〔〕=〔〕A.B.C.4D.﹣48.关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0异样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；② (m-1)2+(n-1)2≥2；③-1≤2m-2n≤1.其中正确结论的个数是〔〕A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题9.关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，那么方程的另一个根为________．10.实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，那么________.11.假定x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，那么x12x2+x1x22的值是________．12.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，那么m2+3m+n=________13.关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，那么实数m的取值范围是________．14.经过学习，喜好思索的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕，当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1= ，x2= ，于是：x1+x2= ，x1•x2= 、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论处置以下效果：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根区分为x1，x2，且x12+x22=1，那么k的值为________．三、解答题15.关于x的一元二次方程x2＋x＋m2-2m＝0有一个实根为-1，求m的值及方程的另一个实根.16.关于x的方程〔的两根之和为，两根之差为1，•其中a,b,c是△ABC的三边长．〔1〕求方程的根；〔2〕试判别△ABC的外形．17.关于x的一元二次方程有两个不等实根〔1〕务实数k的取值范围．〔2〕假定方程两实根满足，求k的值．18.关于x的一元二次方程〔x-1〕〔x-4〕=p2，p为实数．〔1〕求证：方程有两个不相等的实数根；〔2〕p为何值时，方程有整数解．〔直接写出三个，不需说明理由〕19.设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求以下代数式的值．〔1〕x12＋x22；〔2〕；〔3〕x12＋x22－3x1x2.20.关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．〔1〕求m的取值范围；〔2〕当x12+x22=6x1x2时，求m的值．21.在关于x的分式方程①和一元二次方程〔2﹣k〕x2+3mx+〔3﹣k〕n=0②中，k、m、n 均为实数，方程①的根为非正数．〔1〕求k的取值范围；〔2〕当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；〔3〕当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1〔x1﹣k〕+x2〔x2﹣k〕=〔x1﹣k〕〔x2﹣k〕，且k 为负整数时，试判别|m|≤2能否成立？请说明理由．答案解析局部一、选择题1.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】解答: 设一元二次方程的另一根为，那么依据一元二次方程根与系数的关系，得-1+ =-3，解得：=-2．应选A．剖析: 依据一元二次方程根与系数的关系，应用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根2.【答案】C【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2021=0的根，∴a2+a﹣2021=0，∴a2=﹣a+2021，∴a2+2a+b=﹣a+2021+2a+b=2021+a+b，∵a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=2021﹣1=2021．应选C．【剖析】先依据一元二次方程的解的定义失掉a2=﹣a+2021，那么a2+2a+b=2021+a+b，然后依据根与系数的关系失掉a+b=﹣1，再应用全体代入的方法计算．3.【答案】D【考点】一元二次方程根的判别式及运用，一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：A．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故不契合题意；B．两根之和=－1，故不契合题意；C．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故不契合题意；D．两根之和=1，故契合题意．故答案为：D．【剖析】依据根与系数的关系和根的判别式可求解。
北师大版九年级上册 2.5 一元二次方程 的根与系数的关系 同步练习（含答案）一、选择题：1、已知21,x x 是一元二次方程04722=+-x x 的两根，则21x x +与21x x ⋅的值分别是（ ）A 、2,27-- B 、2,27- C 、2,27 D 、2,27-2、已知一元二次方程0252=+-x x 的两根分别是21,x x ，则2121x x x x ⋅-+的值是（ ）A 、7-B 、3-C 、7D 、33、若关于x 的一元二次方程022=+-m x x 的有一个根是 -1，则另一个根是（ ）A 、1B 、3-C 、3D 、44、已知3是关于x 的方程052=+-c x x 的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）A 、2-=xB 、2=xC 、5=xD 、6=x5、如果关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两个根分别是1,221==x x ，则p ，q 的值分别是（）A 、2,3-B 、23-，C 、32-，D 、32，6、已知实数21,x x 满足721=+x x ，1221=⋅x x ，则以21,x x 为根的一元二次方程是（ ）A 、012172=+-x xB 、01272=++x xC 、01272=-+x xD 、01272=--x x7、已知一元二次方程0132=--x x 的两根分别是21,x x ，则221221x x x x +的值是（ ）A 、6-B 、6C 、3-D 、38、已知21,x x 是关于x 的一元二次方程032=-+bx x 的两根，且满足532121=-+x x x x ，那么b =（ ）A 、4B 、4-C 、3D 、3-二、填空题：9、关于x 的方程062=-+kx x 的一个根为-3，则另一个根是________；10、已知一元二次方程0562=--x x 的两根分别是b a ,，则=+ba 11_______； 11、已知21,x x 是一元二次方程012=-+x x 的两根，则=+2221x x _______； 12、已知关于x 的一元二次方程032=--x x 的两个实数根分别是βα，，则=++)3)(3(βα_______；三、解答题：13、已知方程0652=-+kx x 的一个根为2，求另一个根的k 的值；14、设21,x x 是一元二次方程05722=+-x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）2221x x +；（2）221)(x x -；15、已知21,x x 是一元二次方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值； （1）)1)(1(21++x x ； （2）1221x x x x +；16、已知关于x 的方程01)4(222=+---a x a x ；（1）当a 为何值时，方程的一根为0？（2）当a 为何值时，两根互为相反数？（3）求证：无论a 为何值，方程的两根不可能互为倒数；参考答案：1~8 CDCBA ACA9、2；10、56-； 11、3；12、9；13、另一根为53-；7-=k ； 14、（1）435；（2）49； 15、（1）2512231)1)(1(212121-=+--=+++=++x x x x x x ； （2）314)(21212212122211221-=-+=+=+x x x x x x x x x x x x x x ； 16、（1）当a=1时，方程的一根为0；（2）当a =2时，两根互为相反数；（3）互为倒数的两个数的积为1， ∴12121-=+-=⋅a x x解得：a =-1这时方程为2x 2+3x +2=0∵△=32-4×2×2=-7<0 方程没有实数根∴方程的两根不可能互为倒数；。
北师大版九年级上册第二章一元二次方程2.5一元一次方程的根与系数的关系同步练习1.如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么x1+x2= ,x1·x2= .2.利用根与系数的关系,求出下列方程的两根之和、两根之积.(1)x2+4x=1;(2)2x2+4x-3=0;(3)x2+2(x-4)=0.3.已知方程x2-2x-1=0,则此方程( )A.无实数根B.两根之和为-2C.两根之积为-1D.有一根为-1+4.已知一元二次方程x2-6x+C=0有一个根为2,则另一根为( )A.2B.3C.4D.85.已知方程x2+2x-1=0的两根分别是x1,x2,则=( )A.2B.-2C.-6D.66.已知一元二次方程y2-3y+1=0的两个实数根分别为y1,y2,则(y1-1)(y2-1)的值为.7.利用根与系数的关系,求出下列方程的两根之和、两根之积.(1)4x2-6x=0;(2)2x2+1=3x;(3)2(x2-4x)+3=0.8.已知关于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0(m为实数).(1)求证：方程有两个不相等的实数根;(2)当m为何值时,方程的两根互为相反数?求出此时方程的解.9.已知一元二次方程x2-3x-1=0的两个根分别是x1,x2,则x2+x1的值为( )A.-3B.3C.-6D.610.如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等的实数根x1,x2满足x1x2-2x1-2x2-5=0,那么a的值为( )A.3B.-3C.13D.-1311.已知x=-2是方程x2+mx-6=0的一个根,则方程的另一个根是,m的值是.12.若关于x的方程x2+(a-1)x+a2=0的两根互为倒数,则a= .13.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0(k为常数).(1)求证：方程有两个不相等的实数根;(2)设x1,x2为方程的两个实数根,且x1+2x2=14,试求出方程的两个实数根和k的值.14.已知x1=q+p,x2=q-p是关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根,求p、q的值.参考答案1.-2.(1)解：原方程化为一般形式,得x2+4x-1=0,这里a=1,b=4,c=-1.Δ=42-4×1×(-1)=20>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-4,x1·x2=-1.(2)解：这里a=2,b=4,c=-3.Δ=42-4×2×(-3)=40>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-2,x1·x2=-.(3)解：原方程化为一般形式,得x2+2x-8=0,这里a=1,b=2,c=-8.Δ=22-4×1×(-8)=36>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-2,x1·x2=-8.3.C4.C5.A6.-17.(1)解：这里a=4,b=-6,c=0.Δ=(-6)2-4×4×0=36>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=,x1·x2=0.(2)解：原方程化为一般形式,得2x2-3x+1=0, 这里a=2,b=-3,c=1.Δ=(-3)2-4×2×1=1>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=,x1·x2=.(3)解：原方程化为一般形式,得2x2-8x+3=0, 这里a=2,b=-8,c=3.Δ=(-8)2-4×2×3=40>0,∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=4,x1·x2=.8.解：(1)证明：∵a=1,b=m+2,c=2m-1,∴Δ=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4>0,∴方程有两个不相等的实数根.(2)∵方程两根互为相反数,∴-(m+2)=0,解得m=-2,即当m=-2时,方程两根互为相反数.当m=-2时,原方程化为：x2-5=0,解得：x1=,x2=-.9.A10.B11.3 -112.-113.解：(1)证明：∵Δ=(-6)2-4×1×(-k2)=36+4k2>0, ∴方程有两个不相等的实数根.(2)由题意知x1+x2=6,又∵x1+2x2=14,∴x2=(x1+2x2)-(x1+x2)=14-6=8.∴x1=6-8=-2.∴-k2=x1·x2=(-2)×8=-16.∴k=±4.14.解：由题意,得解得或。
北师⼤版-数学-九年级上册-2.5⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系同步测试⼀元⼆次⽅程根与系数的关系考试总分： 100 分考试时间：90分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ ⼀、选择题（共 10 ⼩题，每⼩题 3 分，共30 分）1.若关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2+2x +k =0⽆实数根，则k 值可以是（） A.?5B.0C.1D.32.⼀元⼆次⽅程2x 2+1=2√2x 的根的情况是（） A.只有⼀个根 B.有两个不等的实数根 C.有两个相等的实数根D.⽆实数根3.已知实数a ，b 分别满⾜a 2?6a +4=0，b 2?6b +4=0，且a ≠b ，则a 2+b 2的值为（） A.36B.50C.28D.254.若关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2+bx +c =0的两个实数根分别为x 1=?2，x 2=4，则b +c 的值是（） A.?10B.10C.?6D.?15.⽅程3x 2?2=1?4x 的两个根的和为（） A.43B.13C.?23D.?436.关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2+2(m ?1)x +m 2=0的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 1+x 2>0，x 1x 2>0，则m 的取值范围是（）A.m ≤12B.m ≤12且m ≠0C.m <1D.m <1且m ≠07.已知关于x 的⽅程ax 2+bx +c =0的两根分别为?3和1，则⽅程bx 2+cx +a =0的两根为（） A.?13和1 B.12和1 C.13和?1D.?12和?18.⽅程x 2?(m +6)x +m 2=0有两个相等的实数根，且满⾜x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是（） A.?2或3 B.3 C.?2D.?3或29.⼀元⼆次⽅程(x +1)2+2016=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有⼀个实数根D.⽆实数根10.对于⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c=0，有9a+3b+c=0和4a?2b+c=0成⽴，则b+ca 的值为（）A.7B.?7C.5D.?5⼆、填空题（共 10 ⼩题，每⼩题 3 分，共 30 分）11.如果关于x的⽅程3x2?mx+3=0有两个相等的实数根，那么m的值为________．12.关于x的⼀元⼆次⽅程(a?1)x2?2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的范围是________．13.已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+x?k=0的⼀个根是x=1，则另⼀个根是________．14.已知α、β是关于x的⼀元⼆次⽅程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满⾜β=?α(1+β)，则m的值是________．15.关于x的⼀元⼆次⽅程(m?1)x2?mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．16.若⼀个⼀元⼆次⽅程的两个根分别是1、3，请写出⼀个符合题意的⼀元⼆次⽅程________．17.设⼀元⼆次⽅程x2?3x?1=0的两根为m，n，则mn=________．18.若关于x的⼀元⼆次⽅程mx2+3x+4=0有实数根，则m的取值范围是________．19.⽅程6+3x=9?(x?2)2的根的判别式的值是________．+20.已知⾮零实数a，b(a≠b)满⾜a2+a?2015=0，b2+b?2015=0，则1a1=________．b三、解答题（共 5 ⼩题，每⼩题 8 分，共 40 分）21.已知，关于x的⼀元⼆次⽅程x2?2x?m=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若a，b是此⽅程的两个根，且满⾜(a2?2a+2)(2b2?4b?1)=3，求m的值．22.已知关于x的⼀元⼆次⽅程mx2?(m?1)x?1=0．(1)求证：这个⼀元⼆次⽅程总有两个实数根；(2)若x1，x2是关于x的⼀元⼆次⽅程mx2?(m?1)x?1=0的两根，且x2x1+x1x2=2x1x2+1，求m的值．23.已知关于x的⼀元⼆次⽅程(x?m)2+6x=4m?3有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设⽅程的两实数根分别为x1，x2，求代数式3x1x2?(x1+x2)2的最⼤值．24.(1)填空：我们知道⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根x1，x2，则x1+x2=________，x1x2=________24.(2)请运⽤上⾯你发现的结论，解答问题：已知x1，x2是⽅程x2?x?1=0的两根，不解⽅程求下列式⼦的值：①x12+x22；②(x1+1)(x2+1)；(3)α、β是关于x的⽅程4x2?4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满⾜(α?1)(β?1)?1=9100，求m的值．25.已知：关于x的⽅程x2?(k+3)x+3k=0的两根为α，β．(1)是否存在实数k使1α+1β=23成⽴？若成⽴，求k的值；若不成⽴，说明理由；(2)若Rt△ABC的⼀边长为4，另两边长恰好是此⽅程的两根α，β，求Rt△ABC的周长．答案1.D2.C3.C4.A5.D8.C9.D10.B11.±612.a<2且a≠113.?214.15.m≠2且m≠116.x2?4x+3=017.?118.m ≤916且m ≠019.?3 20.1201521.解：(1)根据题意得△=(?2)2?4(?m)≥0，解得m ≥?1；(2)∵a ，b 是此⽅程的两个根，∴a 2?2a ?m =0，b 2?2b ?m =0，∴a 2?2a =m ，b 2?2b =m ，∴(m +2)(2m ?1)=3，整理得2m 2+3m ?5=0，解得m 1=?52，m 2=1，∵m ≥?1，∴m 的值为1．22.(1)证明：由题意得，m ≠0，△=(m ?1)2?4m ×(?1)=(m +1)2，∵(m +1)2≥0，即△≥0，故这个⼀元⼆次⽅程总有两个实数根；(2)解：x 1+x 2=m?1m，x 1x 2=?1m，∵x2x 1+x 1x 2=2x 1x 2+1，∴(x 1+x 2)2?2x 1x 2x 1x 2=2x 1x 2+1，∴(m?1m )2?2?(?1=2?(?1m)+1，整理得，m 2+m ?1=0，∴m =1+√52或m =1√52．23.解：(1)关于x 的⼀元⼆次⽅程(x ?m)2+6x =4m ?3可化为x 2?(2m ?6)x +m 2?4m +3=0，∵此⽅程有实数根，∴△≥0，即△=?4(m 2?4m +3)=?8m +24≥0，解得m ≤3；(2)∵⽅程的两实数根分别为x 1，x 2，∴x 1x 2=m 2?4m +3，x 1+x 2=2m ?6，∴3x 1x 2?(x 1+x 2)2=3(m 2?4m +3)?(2m ?6)2=3m 2?12m +9?4m 2?36+24m =?m 2+12m ?15，∴最⼤值为4×(?1)×(?15)?1224×(?1)=60?144?4=21．24.?b a ca (2)∵x 1，x 2是⽅程x 2?x ?1=0的两根，∴x 1+x 2=1，x 1x 2=?1，①x 12+x 22=(x 1+x 2)2?2x 1x 2=1+2=3；②(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=?1+1+1=1．(3)∵α、β是关于x 的⽅程4x 2?4mx +m 2+4m =0的两个实根，∴α+β=m ，αβ=m 2+4m4，∵(α?1)(β?1)?1=9100，∴αβ?(α+β)+1?1=9100，即：m 2+4m4?m =9100，化简得：m 2=925故m =±35，⼜△=16m 2?16m 2?16m ≥0，解得：m ≤0，故m =?35． 25.解：(1)存在．∵α+β=k +3，αβ=3k ，⽽1α+1β=23，∴α+βαβ=23，∴k+33k =23，解得k =3，当k =3时△=0，∴实数k =1使1α+1β=23成⽴；(2)解⽅程x 2?(k +3)x +3k =0得α=k ，β=3，当4为斜边时，α2+β2=42，即k 2+32=16，解得k 1=√7，k 2=?√7（舍去），此时Rt △ABC 的周长=4+3+√7=7+√7；当4为直⾓边时，42+β2=k 2，即k 2+32=16，解得k 1=5，k 2=?5（舍去），此时Rt △ABC 的周长=4+3+5=12．。
北师大版九年级（上)数学*2.5一元二次方程根与系数的关系同步检测（原创)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一元二次方程x 2+kx ﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（ ） A ．3B ．﹣1C ．﹣3D ．﹣22．若方程32x -4x-4=0的两个实数根分别为1x ，2x ，则12x x + =（ ） A ．-4B ．3C ．−43D ．433．若方程2240x x --=的两个实数根为α,β，则α2+β2的值为（ ） A ．12B ．10C ．4D ．-44．若α，β是一元二次方程3x 2+2x －9=0的两根，则+βααβ的值是（ ）.A ．427B ．－427C ．－5827D ．58275．已知实数1x ，2x 满足127x x +=，1212x x =，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是（ ）A ．27120x x -+=B ．27120x x ++=C ．27120x x +-=D ．27120x x --=6．关于的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是( ) A ．-1或5B ．1C ．5D ．-17．若m 、n 是一元二次方程x 2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn 的值是（ ） A ．-7B ．7C ．3D ．-38．若1x 、2x 是一元二次方程2750x x -+=的两根，则1211+x x 的值是（ ）A ．75B ．75-C ．57D ．57-二、填空题9．设x 1、x 2是一元二次方程x 2-mx -6=0的两个根，且x 1+x 2=1，则x 1=______，x 2=______． 10．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2018＝0有一个根为x ＝﹣1，则a+b ＝____．11．关于x 的方程2x 2－ax ＋1＝0一个根是1，则它的另一个根为________．12．已知一元二次方程2430x x -+=的两根1x ，2x ，则211124x x x x -+=_______.13．已知x 1，x 2是方程x 2+6x+3＝0的两实数根，则2112x x x x +的值为_____． 14．若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋k 2＝0的两根互为倒数，则k ＝____．15．若两个不等实数m 、n 满足条件：m 2﹣2m ﹣1=0，n 2﹣2n ﹣1=0，则m 2+n 2的值是 ．三、解答题16．已知12x x ，是一元二次方程2310x x --=的两根，不解方程求下列各式的值：(1)2212x x +.(2)1211+x x ． 17．已知方程x 2＋3x －1＝0的两实数根为α，β，不解方程求下列各式的值． (1)α2＋β2；(2)α3β＋αβ3；(3)βααβ＋. 18．已知x=﹣1是方程x 2+mx ﹣5=0的一个根，求m 的值及方程的另一个根． 19．甲、乙两人同解一个二次项系数为1的一元二次方程，甲抄错了常数项，解得两根分别为3和2，乙抄错了一次项系数，解得两根分别为－5和－1，求原来的方程. 20．已知关于x 的一元二次方程()25410a x x ---=．()1若该方程有实数根，求a 的取值范围． ()2若该方程一个根为1-，求方程的另一个根．21．已知关于x 的方程220x ax a ++-=.（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.参考答案1．C 【解析】试题分析：根据根与系数的关系可得出两根的积，即可求得方程的另一根．设m 、n 是方程x 2+kx ﹣3=0的两个实数根，且m=x=1；则有：mn=﹣3，即n=﹣3；故选C ． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解． 2．D 【解析】试题分析：如果一元二次方程a +bx+c=0的两根为和，则+=，=，根据方程可得：+=.考点：韦达定理 3．A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得2αβ+=，4αβ=-，再利用完全平方公式变形()2222αβαβαβ+=+-，代入即可求解.【详解】解：Q 方程2240x x --=的两个实数根为,αβ，2αβ∴+=，4αβ=-，()22224812αβαβαβ∴+=+-=+=；故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 4．C 【解析】分析：根据根与系数的关系可得出α+β=-23、αβ=-3，将其代入+βααβ=()22αβαβαβ+-中即可求出结论．详解：∵α、β是一元二次方程3x 2+2x-9=0的两根， ∴α+β=-23，αβ=-3， ∴+βααβ=22βααβ+=()22αβαβαβ+-=()22()23583327--⨯-=--． 故选C ．点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a 、两根之积等于ca是解题的关键． 5．A 【解析】 【详解】由根与系数的关系可知，以1x ，2x 为根的一元二次方程是27120x x -+=， 故选A ．考点：根与系数的关系． 6．D 【解析】 【分析】设方程的两根为1x 、2x ，根据根与系数的关系得到12x x a +=，122x x a ⋅=，由于22125x x =+，变形得到()2121225x x x x +-⋅=，则2450a a --=，然后解方程，满足0≥V 的a 的值为所求. 【详解】设方程的两根为1x 、2x ，则12x x a +=，122x x a ⋅=，Q 22215x x +=，∴()2121225x x x x +-⋅=， ∴2450a a --=， ∴15a =，21a =-，Q 280a a =-≥V ，∴1a =-.故选：D . 【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的根与系数的关系：若方程的两根为1x 、2x ，则12bx x a +=-，12c x x a⋅=，也考查了一元二次方程的根的判别式. 7．B 【解析】解：∵m 、n 是一元二次方程x 2－5x －2=0的两个实数根，∴m +n =5，mn =-2，∴m+n －mn=5-（-2）=7．故选A ． 8．A 【解析】 【详解】这里a=1，b=-7，c=5，由题意知，x 1x 2=5，x 1+x 2=7， 则1211+x x =121275x x x x += 故选A9．﹣2 3 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合已知条件进行分析解答即可. 【详解】∵x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣mx ﹣6=0的两个根，且x 1+x 2=1， ∴11m--=，解得：m=1， ∴原方程为：x 2-x-6=0， 解此方程得：x 1=-2，x 2=3. 故答案为：（1）-2；（2）3.熟知“若x 1、x 2是一元二次方程2(0)0 ax bx c a ++=≠的两个实数根，则12b x x a+=-”是解答本题的关键. 10．2018 【解析】 【分析】把x=-1代入方程，整理即可求出a+b 的值． 【详解】解：把x=-1代入方程有： a+b-2018=0， 即a+b=2018． 故答案是：2018． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，可以求出代数式的值． 11．12． 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设方程的另一个根为m ，根据根与系数的关系得到1•m=12，解得m=12． 考点：根与系数的关系． 12．0 【解析】∵12x x 、是方程24+30x x -=的两个根，∴211124303x x x x ，-+=⋅=， ∴21143x x -=-，∴211124330x x x x -+⋅=-+=.13．10．试题分析：∵1x ，2x 是方程的两实数根，∴由韦达定理，知126x x +=-，123x x =，∴2112x x x x +=2121212()2x x x x x x +-=2(6)233--⨯=10，即2112x x x x +的值是10．故答案为10．考点：根与系数的关系． 14．-1 【解析】x 1x 2= k 2=1,k =1±.k=1时，0<n ， 舍去.所以k =-1. 15．6 【解析】试题分析：∵两个不等实数m 、n 满足条件：m 2﹣2m ﹣1=0，n 2﹣2n ﹣1=0， ∴m 、n 是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根．∴m+n=2，mn=﹣1． ∴()()2222m n m n 2mn 2216+=+-=-⨯-=． 16．(1)11；(2)-3. 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到123x x +=，121x x =-；（1）将2212x x +变形成21212()2x x x x +-的形式再将值代入计算即可;（2）将1211+x x 变形成1212x x x x +的形式，再将值代入计算即可;【详解】根据根与系数的关系，得123x x +=，121x x =-．(1)2222121212()232(1)11x x x x x x +=+-=-⨯-=．(2)12121211331x x x x x x ++===--． 【点睛】考查了根与系数的关系：若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．17．（1）11；（2）－11；（3）－11【解析】【分析】根据根与系数的关系得到α＋β＝−3，αβ＝−1，（1）利用完全平方公式变形得到α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ，然后利用整体代入的方法计算；（2）利用因式分解得到α3β＋αβ3＝αβ(α2＋β2)，然后利用整体代入的方法计算；（3）根据分式加法变形得到22βααβαβαβ＋＋＝，然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵α，β是方程x2＋3x－1＝0的两个实数根，∴α＋β＝－3，αβ＝－1，(1)α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－3)2－2×(－1)＝11，(2)α3β＋αβ3＝αβ(α2＋β2)＝(－1)×11＝－11，(3)2211111βααβαβαβ＋＋＝＝＝－－.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与系数关系，牢记两根之和是ba-，两根之积是ca是解题关键，也考查了代数式的变形能力．18．m=﹣4，另一根是5．【解析】试题分析：先根据方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入方程即可得到关于m的方程，求得m的值，然后代入原方程，最后再解方程即可.试题解析：由题意得，解得则原方程可化为，解得，所以另一个根为-5．考点：1.方程的根的定义；2.解一元二次方程19．2550x x -+= 【解析】 【分析】解法一：利用甲乙解出的根，可以得出两个一元二次方程，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程。
2.5 一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1.若方程3x 2-4x-4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=（ ） A ．-4 B ．3C ．-43D ．432.一元二次方程x 2-3x-2=0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1=-1，x 2=2B ．x 1=1，x 2=-2C ．x 1+x 2=3D ．x 1x 2=23.关于x 的一元二次方程：x 2-4x-m 2=0有两个实数根x 1、x 2，则m 2（1211x x +）=（ ） A ．44m B ．-44m C ．4D ．-44. 若x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x-1=0的两个根，则x 12-x 1+x 2的值为（ ） A ．-1B ．0C ．2D ．35.若关于x 的一元二次方程x 2-3x+p=0（p ≠0）的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2-ab+b 2=18，则a bb a+的值是（ ） A ．3B ．-3C ．5D ．-56.已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6-2x 的两根，则x 1-x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．-43B ．83C ．-83D ．43 7.定义运算：a ⋆b=a （1-b ）．若a ，b 是方程x 2-x+14m=0（m ＜0）的两根，则b ⋆b-a ⋆a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关8.设α、β是一元二次方程x 2+2x-1=0的两个根，则αβ的值是（ ） A ．2B ．1C ．-2D ．-19.已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax-2b=0的两实数根，且x 1+x 2=-2，x 1•x 2=1，则b a的值是（ ） A ．14 B ．-14C ．4D ．-110.已知关于x 的一元二次方程x 2+mx-8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m 的值分别为（ ） A ．4，-2B ．-4，-2C ．4，2D ．-4，211.若关于x 的方程x 2-2x+c=0有一根为-1，则方程的另一根为（ ） A ．-1B ．-3C ．1D ．312.已知关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-2，则另一个根为（ ） A ．5B ．-1C ．2D ．-5二、填空题1.设m 、n 是一元二次方程x 2+2x-7=0的两个根，则m 2+3m+n= . 2.已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x-1=0的两根，则1211x x += . 3.设x 1、x 2是方程x 2-4x+m=0的两个根，且x 1+x 2-x 1x 2=1，则x 1+x 2= ，m= ． 4.方程2x 2-3x-1=0的两根为x 1，x 2，则x 12+x 22= ．5.关于x 的一元二次方程x 2+2x-2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是 ． 6.已知一元二次方程x 2+3x-4=0的两根为x 1、x 2，则x 12+x 1x 2+x 22= . 7.关于x 的方程2x 2-ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为 . 8.设x 1、x 2是方程5x 2-3x-2=0的两个实数根，则1211x x +的值为 . 9.设一元二次方程x 2-3x-1=0的两根分别是x 1，x 2，则x 1+x 2（x 22-3x 2）= . 10.设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x-2018=0的两个实数根，则m 2+3m+n= .三、解答题1.关于x 的一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值． 2.已知关于x 的一元二次方程x 2-6x+（2m+1）=0有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围． 3.关于x 的方程（k-1）x 2+2kx+2=0．（1）求证：无论k 为何值，方程总有实数根． （2）设x 1，x 2是方程（k-1）x 2+2kx+2=0的两个根，记S=2112x x x x ++x 1+x 2，S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值；若不能，请说明理由．4.已知关于x 的一元二次方程x 2-2x+m-1=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．5.已知在关于x的分式方程11kx--=2①和一元二次方程（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1-k）+x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．参考答案一、选择题1. D；2.C；3.D；4.D；5.D；6.D；7.A；8.D；9.A；10.D；11.D；12.B.二、填空题1.5；2.-2；3.4；3；4.134；5. m＞12；6.13；7.12；8.-32；9.3；10.2016.三、解答题1.解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，∴△=22-4×1×2m=4-8m＞0，解得：m＜12．∴m的取值范围为m＜12．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，∴x1+x2=-2，x1•x2=2m，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1•x2=4-4m=8，解得：m=-1．当m=-1时，△=4-8m=12＞0．∴m的值为-1．2.解：（1）根据题意得△=（-6）2-4（2m+1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，而2x1x2+x1+x2≥20，所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．3.解：（1）当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=-1，此时该方程有实根；当k≠1时，方程是一元二次方程，∵△=（2k）2-4（k-1）×2=4k2-8k+8=4（k-1）2+4＞0，∴无论k为何实数，方程总有实数根，综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．（2）由根与系数关系可知，x 1+x 2=-21k k -，x 1x 2=21k -， 若S=2，则2112x x x x ++x 1+x 2=2，即()21212122x x x x x x +-+x 1+x 2=2， 将x 1+x 2、x 1x 2代入整理得：k 2-3k+2=0， 解得：k=1（舍）或k=2， ∴S 的值能为2，此时k=2． 4.解：（1）∵原方程有两个实数根， ∴△=（-2）2-4（m-1）≥0， 整理得：4-4m+4≥0， 解得：m ≤2；（2）∵x 1+x 2=2，x 1•x 2=m-1，x 12+x 22=6x 1x 2， ∴（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=6x 1•x 2， 即4=8（m-1）， 解得：m=32． ∵m=32＜2， ∴符合条件的m 的值为32． 5.解：（1）∵关于x 的分式方程11k x --=2的根为非负数， ∴x ≥0且x ≠1， 又∵x=12k +≥0，且12k +≠1， ∴解得k ≥-1且k ≠1，又∵一元二次方程（2-k ）x 2+3mx+（3-k ）n=0中2-k ≠0， ∴k ≠2，综上可得：k ≥-1且k ≠1且k ≠2；（2）∵一元二次方程（2-k ）x 2+3mx+（3-k ）n=0有两个整数根x 1、x 2，且k=m+2，n=1时， ∴把k=m+2，n=1代入原方程得：-mx 2+3mx+（1-m ）=0，即：mx 2-3mx+m-1=0， ∴△＞0，即△=（-3m ）2-4m （m-1），且m ≠0， ∴△=9m 2-4m （m-1）=m （5m+4）＞0，则m＞0或m＜-45；∵x1、x2是整数，k、m都是整数，∵x1+x2=3，x1•x2=1mm-=1-1m，∴1-1m为整数，∴m=1或-1，由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠-1∴把m=1代入方程mx2-3mx+m-1=0得：x2-3x+1-1=0，x2-3x=0，x（x-3）=0，x1=0，x2=3；（3）|m|≤2成立，理由是：由（1）知：k≥-1且k≠1且k≠2，∵k是负整数，∴k=-1，（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，∴x1+x2=-3322m mk k=--=-m，x1x2=()4332k nk--=n，x1（x1-k）+x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），x12-x1k+x22-x2k=x1x2-x1k-x2k+k2，x12+x22═x1x2+k2，（x1+x2）2-2x1x2-x1x2=k2，（x1+x2）2-3x1x2=k2，（-m）2-3×43n=（-1）2，m2-4n=1，n=214m-①，△=（3m）2-4（2-k）（3-k）n=9m2-48n≥0②，把①代入②得：9m2-48×214m-≥0，m2≤4，则|m|≤2，∴|m|≤2成立．。
