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2019-2020学年九年级数学下册 第三章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 3.4.1 圆周角定

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北师大版九年级下册数学《圆周角和圆心角的关系》圆说课教学课件复习指导

北师大版九年级下册数学《圆周角和圆心角的关系》圆说课教学课件复习指导

1 1 AOB 2
2 1 BOC 2
又∵∠AOB=2 ∠BOC
C
O
1
2
A
B
1 1 AOB 1 2BOC BOC 22
2
2
即∠ACB= 2 ∠BAC
知识技能： 2.如图，A、B、C、D 是⊙O 上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD 与∠BAD 的大小
解：∵∠BCD=100°
A
∴优弧所对的圆心角
练习：
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
图１
不是
图２
是
图３
不是
图４
不是
图５
做一做
如 图 ， ∠AOB=80° 。
︵ （1）请你画出几个 AB所对的圆周角。这几个圆周角有什么关
系 呢 ？ 请你与同伴进 行交流。
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？你是怎样
发 现 的 ？与同伴进行 交流。
过点C作直径CD.由1可得: ∠∠AACCDD+=∠12∠BCADO=D,1∠(∠BCADOD=+∠12 ∠BBOODD), ∴ ∠ACB = 1∠AO2B.
2
AD B
●O
C证明Βιβλιοθήκη 周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
︵
︵
已知：如图，∠ACB 是 AB所对的圆周角，∠AOB 是 AB所对的圆心角。
如图，A、B表示灯塔，暗礁分 布在经过A、B两点的一个圆形
区域内，优弧AB上任一点C都 是有触礁危险的临界点， ∠ACB就是“危险角”，当船 位于安全区域时，∠α与“危险 角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外） ， 与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 。

3.4+圆周角和圆心角的关系第1课时+圆周角定理课件2023-2024学年+北师大版九年级数学下册+

3.4+圆周角和圆心角的关系第1课时+圆周角定理课件2023-2024学年+北师大版九年级数学下册+

归纳新知
由上面的问题可以看出，∠ABC是圆上的一种新的 角，这种角我们称为圆周角.你能归纳出其完整定义吗？
定义：顶点在圆上，且角的两边分别与圆还有另
一个交点的角叫做圆周角.
A
C
圆心角和圆周角 有什么关系吗？
E
B D
归纳新知
A
C
E
B D
（1）在上图中，当球员在B，D，E处射门时，他所 处的位置对球门AC分别形成三个角∠ABC，∠ADC， ∠AEC.这三个角的大小有什么关系？
第3章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角定理
复习导课
请画出一个圆心角，并说明圆心角的特点.
O
A
B
特点：顶点在圆心，角的两边与圆相交.
复习导课
A
C
E
B D
图中∠ABC的顶点位置与圆心角的顶点位置有什么 不同？它的两边与圆有什么位置关系？
∠ABC的顶点在圆上，而圆心角的顶点在圆心； ∠ABC的两边与圆相交.
是△ABO的外角，
O
∴∠AOC=∠A+∠B.
∵OA=OB，∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠A. 即 ABC = 1 AOC .
B
2
归纳新知
如果∠ABC的两边都不经过圆心，那么结果会怎样？ 你能利用特殊结果把问题解决吗？
① 点 O 在 ∠ ABC 内 部 时 ， 只要作出直径BD，将这个角转 化为上述情况的两个角的和即 可证出.
归纳新知
A
三个张角∠ABC，∠ADC 和∠AEC有什么关系呢？它们 会相等吗？
C O
E
B
D
∠ABC，∠ADC和∠AEC是同弧（弧AC）所对 的圆周角，根据我们所学的圆周角定理可知，它们 都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相 等.即∠ ABC=∠ADC=∠AEC.

北师大版九年级数学下册第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系(教案)

北师大版九年级数学下册第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系(教案)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆周角和圆心角的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这两个概念的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和几何学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间想象能力，通过对圆周角和圆心角的观察、比较和分析，形成对圆相关概念的形象认识；
2.提高学生的逻辑推理能力，通过探索圆周角定理及其推论，学会运用严密的数学语言进行论证；
3.增强学生的数学应用意识，将所学知识应用于解决实际问题，培养解决生活中圆相关问题的能力；
4.培养学生的团队合作精神，通过小组讨论、合作探究，提高沟通与协作能力；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角定理和圆心角、弧和弦的关系这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角和圆心角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示圆周角和圆心角的关系及动态变化。
Hale Waihona Puke 五、教学反思在今天的课堂中，我们探讨了圆周角和圆心角的关系，我发现学生们对这个话题的兴趣还是挺高的。通过提问和互动，我可以看出他们对圆的相关概念有了初步的理解。不过，我也注意到在讲解圆周角定理的证明过程中，有一部分学生似乎跟得有些吃力。这让我意识到，对于这类逻辑推理较强的内容，我们需要更加耐心和细致地进行引导。
-在实际问题中识别并运用圆周角和圆心角的关系。

3.4圆周角和圆心角的关系教学设计2023-2024学年数学北师大版九年级下册

3.4圆周角和圆心角的关系教学设计2023-2024学年数学北师大版九年级下册
2.拓展建议：
-鼓励学生在课后进行自主探究，尝试运用圆周角和圆心角的关系解决更复杂的问题。
-建议学生尝试设计一些有趣的几何图形，如正多边形和圆的组合，观察圆周角和圆心角在这些图形中的变化规律。
-引导学生关注生活中的圆形设计，如城市规划中的圆形广场、交通标志等，分析其中圆周角和圆心角的应用。
-鼓励学生进行小组合作，共同研究圆周角和圆心角在其他学科领域的应用，如物理中的圆周运动、天文学中的行星轨迹等。
解答：
连接OC，OA，OB。
由于O是弦AB的中点，根据圆的性质，OC垂直于AB。
在ΔOAC和ΔOBC中，OA=OB（半径相等），OC=OC（公共边），∠OAC=∠OBC（直角相等），所以ΔOAC≌ΔOBC（HL）。
因此，∠AOC=∠BOC，所以∠ACB=2∠AOC。
题型二：应用圆周角定理
题目：在圆中，弦AB和弦CD相交于点E，且∠AEC=80°，求∠BED的度数。
3.巩固练习（10分钟）
-设计具有层次性的练习题，让学生独立完成。题目包括基础题、综合题和应用题，涵盖圆周角和圆心角的知识点。
-学生完成练习题后，教师选取部分答案进行展示和讲解，强调解题过程中的注意事项和易错点。
-组织学生进行小组讨论，共同分析题目，培养合作精神和问题解决能力。
4.课堂提问（5分钟）
2.讲授新课（20分钟）
-教师通过讲解和动态演示，介绍圆周角定理及其推论，解释圆周角等于其所对圆心角的一半。
-引导学生通过实际作图，观察圆内接四边形的对角互补现象，加深对圆周角推论的理解。
-讲解圆心角、弧、弦的关系，强调圆心角相等时，其所对的弧和弦也相等。
-结合实际例子，说明圆周角和圆心角在生活中的应用，激发学生学习兴趣。
教学资源拓展

圆周角与圆心角的关系 说课 课件2023-2024学年北师大版九年级数学下册

圆周角与圆心角的关系 说课 课件2023-2024学年北师大版九年级数学下册
回顾旧知，导入新课
定理证明，得到推论
教材分析 总结归纳，认识定义
课堂总结，例题巩固
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？
答：这些圆周角都等于圆心角
A
B
∠AOB 的一半．
O
猜想：圆周角的度数等于对应弧
的圆心角度数的一半。
D
E
C
教法与学法分析
学情分析
回顾旧知，导入新课
定理证明，得到推论
教材分析 总结归纳，认识定义
和探索能力，并能在探索过程中形成自己的
观点，虽然观点不一定完全正确，但能在与
同学的交流及老师的引导下最终形成正确的
认识。
知识上：学生已经了解圆中的基本概念，会
判断圆心角，基本掌握圆心角的相关性质。
教材分析
学情分析
教法与学法分析
教学过程分析
教法分析
本节课的教学内容，推理论证的难度较大，本节又是本
章的一个重点，根据学生的年龄阶段正处在感性认识逐步成
课堂总结，例题巩固
议一议 在下图中，改变∠AOB 的度数，你得到的结论还成立吗？
怎样证明你的猜想？
A
B
O
已知：∠C是AB 所对的圆周角，∠AOB是AB 所对的圆心角．
AB
1
2
求证：∠C=
∠ AOB．
定理证明，得到推论
教材分析 总结归纳，认识定义
课堂总结，例题巩固
A
做一做 如图，∠AOB=80°．
B
O
（1）请你画出几个 AB 所对的圆周角，这几个
圆周角有什么关系？与周围同学进行交流．
答：通过度量可以发现：∠ADB，
A
∠ACB，∠AEB 这几个圆周角相等且等于

九年级数学下册 3.4 圆周角和圆心角的关系 借弧转化“二角”素材 (新版)北师大版

九年级数学下册 3.4 圆周角和圆心角的关系 借弧转化“二角”素材 (新版)北师大版

借弧转化“二角”圆周角、圆心角的度数都与所对弧的度数息息相关,适时利用弧与圆周角、圆心角的相关结论，可将圆周角与圆心角互相转化，从而求得圆周角、圆心角的度数.一、由弧把圆心角转化为圆周角例1 如图1，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点∠AOC ＝130°，则∠D等于（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．50° 解析：∵∠BOC ＝180°-∠COA ＝180°-130°=50°, ∴∠D ＝12∠BOC =25°.故,选A. 方法总结：本题运用了圆周角等于同弧所对圆心角的一半这一性质，把圆心角转化为圆周角.二、由弧把圆周角转化为另一圆周角例2 如图2所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，17040A ∠=∠=°，°，则C ∠= 度．解析：∵∠B ＝∠1 -∠A ＝70°-40°=30°, ∴∠C ＝∠B =30°.方法总结：这里运用了同弧所对圆周角相等这一性质，把圆周角进行转化,为求未知角创造条件.三、由弧把圆周角转化为圆心角例3 如图3，已知圆心角∠ACB 的度数为100°，则圆周角∠AOB 等于_______. 解析：∵∠ACB =100°,∴优弧»AB 的度数为：200°, ∴¼ACB 的度数为：360°—200°＝160°, ∴∠AOB ＝¼ACB 的度数＝160°. 方法总结：运用圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半,把圆心角的度数转化为弧的度数,再由周角为360°得出另一段劣弧的度数,最后由圆心角的度数等于它所对弧的度数求得圆心角的度数.四、由弧把圆周角转化为特殊角图1 图2图3例4 已知如图4,线段AB 是O ⊙的直径，C D E 、、是O ⊙上的点，则12∠+∠= .解析：连结AC 、BC ，则∠1=∠ABC , ∠2=∠CAB ,∴∠1+∠2＝∠ABC +∠CAB ,而AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠1+∠2＝∠ABC +∠CAB ＝90°.方法总结：由于直径所对圆周角为90°,则借助于同弧所对圆周角相等这一性质,把圆周角进行转化直角三角形的两个锐角,可得两个角的和.图4。

九年级数学下册3.4圆周角和圆心角的关系如何利用圆周角性质证明线段成比例素材北师大版(new)

【问题】五、如何利用圆周角性质证明线段成比例？难易度：★★★★★关键词：定理的应用答案：利用圆周角的性质证明对应角相等，推导三角形相似,得出线段成比例。

【举一反三】典题：如图，AD是⊙O的直径，点A、B、C在⊙O上，AE是△ABC的高，求证：AE·AD=AB·AC思路导引:根据同弧所对的圆周角相等，证明两三角形相似，推导出对应线段成比例。

标准答案：证明：∵所对的圆周角是∠ADB和∠ACB∴∠ADB=∠ACB∵∠ABD=∠AEC=90°∴△ABD∽△AEC∴=∴AE·AD=AB·AC尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。

This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release ofthis article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。

圆周角课件

11、如图，在⊙O中，B⌒C=2⌒DE， ∠ BOC=84°，求 ∠A
的度数。
7.如图,圆O中,AB是直径,半径CO⊥AB,
D是CO的中点,DE∥AB,求∠ABE的度数.
C
E
D
A O
B
五、补充知识
1.如图,在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小.
A
2.若∠BAD=80°,求∠C的大小.
●O
即：∠ABC = 1 ∠AOC
2
四、巩固训练：
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大
小.
解: ∠A= 1∠BOC=25°.
2
B C
●O A
2.练习:在下列各图中， ∠α１＝ 70°，∠α２＝ 60°，
C
７５º α１
A
O
B A
C α２ O １２０º
B
∠α３＝ 120°，∠α４＝ 140° .
B
D
3.若∠BCD=120°,求∠A的大小.
C
由此，你能得到什么结论
圆周角定理推论： 圆内接四边形对角互补。 （注：顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形）
. O
A
B
7、如图(1),在⊙O中,∠BAD =50°,求∠C的大小.
∠C=130º
A
C D
B
●O
B
D
EA ●O
●O
B
C (1)
A
C
(2)
(3)
8、如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?
为什么? ∠B=∠D=∠E
9、如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗?∠C=90º
10、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如 果∠ADB=35º，求∠BOC的度数。

北师大版九年级数学下册《圆——圆周角和圆心角的关系》教学PPT课件(6篇)


D
O2
O1
E
B
F
新知探究
【跟踪训练】
1.圆内接四边形ABCD中，∠A, ∠B, ∠C的度数之比是
135°
1：2：3，则这个四边形最大角的度数是_________.
D
A
2.四边形ABCD内接于圆，AD∥BC，AB+CD=AD+BC ,
25
若AD=4，BC=6，则四边形ABCD的面积为_______.
A
A
O
O
BB
C
C
课堂小测
3. 如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ D ）
A
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
O
B
C
课堂小测
4 . 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E.若
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ A）
A.30°
B.40°
C.50°
B
D.60°
D
C
OC垂直平分AD
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
A
平行
(2)OC与BD的位置关系是___________;
4
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.
O1
O
B
新知探究
4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解：连接AO并延长交⊙O于点E，
3 . 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆
心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况?
A
C
过点B作直径BD.由1可得:

北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》说课稿

北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册3.4《圆周角和圆心角的关系》这一节主要介绍了圆周角定理和圆心角定理。

通过这一节的学习，使学生能够了解并理解圆周角和圆心角之间的关系，能够运用这些定理解决一些与圆相关的问题。

在教材中，通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和定理有一定的理解。

但是，对于圆的相关知识，尤其是圆周角和圆心角的关系，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的平面几何知识过渡到圆的相关知识，通过实例和练习，让学生理解和掌握圆周角定理和圆心角定理。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生了解圆周角定理和圆心角定理，能够运用这些定理解决一些与圆相关的问题。

2.过程与方法：通过观察、分析和推理，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探索精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：圆周角定理和圆心角定理的表述和理解。

2.教学难点：圆周角定理和圆心角定理的证明和运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

2.教学手段：利用多媒体课件和黑板进行教学。

六. 说教学过程1.导入：通过一些与圆相关的问题，引导学生思考圆周角和圆心角的关系。

2.讲解：讲解圆周角定理和圆心角定理的表述和证明，通过实例让学生理解这些定理的应用。

3.练习：让学生做一些相关的练习题，巩固所学知识。

4.拓展：引导学生思考圆周角定理和圆心角定理在其他几何问题中的应用。

七. 说板书设计板书设计如下：圆周角定理：1.圆周角等于它所夹的弧的圆心角的一半。

2.圆周角等于它所对的圆周角的一半。

圆心角定理：1.圆心角等于它所夹的弧的圆周角的一半。

2.圆心角等于它所对的圆心角的一半。

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h
图K－22－10
17
第1课时 圆周角定理
三、解答题
13．如图K－22－11，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝ BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.
证明：∵AB＝BC，∴A︵B＝B︵C. ∵∠ADB 是A︵B所对的圆周角，∠BDC 是B︵C所对的圆周角， ∴∠ADB＝∠BDC，即 DB 平分∠ADC.
h
11
第1课时 圆周角定理
8．A，B，C三点在⊙O上，OD⊥BC于点D，∠BOD＝40°，则∠BAC
等于 ( B )
A．20°
B．40°或140°
C．40°
D．20°或160°
[解析] B 连接OB，OC.
∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠BOC＝2∠BOD＝80°，∴劣弧BC的度数为80°.
当点A在优弧BC上时，∠BAC＝40°；
h
25
h 图K－22－13
21
第1课时 圆周角定理
解：(1)∵AO⊥BD，∴A︵D＝A︵B，∴∠AOB＝2∠ACD. ∵∠AOB＝80°，∴∠ACD＝40°.
(2)如图，①当点 C1 在A︵B上时，∠AC1D＝∠ACD＝40°； ②当点 C2 在A︵D上时， ∵∠AC2D＋∠ACD＝180°，∴∠AC2D＝140°. 综上所述，∠ACD 的度数为 40°或 140°.
h
8
第1课时 圆周角定理
6．如图K－22－5，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，
则∠OAB的度数为( A )
A．25°
B．50°
C．60°
D．30°
图K－22－5
h
9
第1课时 圆周角定理
7．2018·菏泽 如图K－22－6，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则
∠OBA的度数是( D)
h
13
第1课时 圆周角定理
[解析] C 作点 B 关于 MN 的对称点 C，连接 AC 交 MN 于点 P，则点 P 就是所 求作的点．此时 PA＋PB 最小，且等于 AC 的长．连接 OA，OC，∵∠AMN＝30°， ∴∠AON＝60°，∴A︵N的度数是 60°，则B︵N的度数是 30°，根据垂径定理得︵CN 的度数是 30°，则∠AOC＝90°.又 OA＝OC＝2，∴AC＝2 2.故选 C.
h
14
第1课时 圆周角定理
二、填空题
10．如图K－22－8，将三角尺中60°角的顶点放在圆心O上，斜边和 一直角边分别与⊙O相交于A，B两点，P是优弧AB上任意一点(与A，B 不重合)，则∠APB＝____30____°.
h
图K－22－815
第1课时 圆周角定理
11．如图K－22－9，在边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在
(2)如图，连接 OB，则 OB＝8. ∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°. ∵OB＝OC，∴∠OBD＝30°.
1 又∵OD⊥BC 于点 D，∴OD＝2OB＝4.
h
20
第1课时 圆周角定理
15．2017·武汉期末 如图K－22－13，在⊙O中，半径OA与弦BD 垂直，点C在⊙O上，∠AOB＝80°. (1)若点C在优弧BCD上，求∠ACD的度数； (2)若点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的度数．
h
22
第1课时 圆周角定理
16．如图K－22－14，A，B，C，D是⊙O上的四点，AB＝AC，AD 交BC于点E，AE＝2，ED＝4，求AB的长．
解：∵在⊙O 中，AB＝AC， ∴A︵B＝A︵C，∴∠ABC＝∠D. 又∵∠BAE＝∠DAB， ∴△ABE∽△ADB，∴AABD＝AAEB， 即 AB2＝AE·AD＝2×(2＋4)＝12， ∴AB＝2 3(负值已舍去)．
h
图K－22－14
23
第1课时 圆周角定理
素养提升
探究题 如图K－22－15，已知BC是⊙O的一条弦，A是⊙O的优弧 BAC上的一个动点(点A与点B，C不重合)，∠BAC的平分线AP交⊙O 于点P，∠ABC的平分线BE交AP于点E，连接BP. (1)求证：P 为B︵C的中点； (2)PE 的长度是否会随点 A 的运动而变化？ 请说明理由．
12．如图K－22－10所示，在⊙O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则 ∠ABO的度数为___5_0_° ___．
[解析] 连接 OC，由题意得∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝ 2(∠CDA＋∠BAC)＝80°.∵OA＝OB(都是半径)， ∴∠ABO＝∠OAB＝12(180°－∠AOB)＝50°.
第三章 圆
4 圆周角和圆心角的关系
h
1
第三章 圆
第1课时 圆周角定理
课堂达标
素养提升
h
2
第1课时 圆周角定理
课堂达标
一、 选择题
1．如图K－22－1，A，B，C是⊙O上的三点，若∠OBC＝50°， 则∠A的度数是( A )
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
图K－22－1
h
3
第1课时 圆周角定理
2．如图K－22－2，AB是⊙O的直径，若∠BOC＝80°，则∠BCA
等于( C )
A．100° B．105°
C．90°
D．40°
图K－22－2
h
4
第1课时 圆周角定理
3．如图K－22－3，A，B，C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平
行四边形，OF⊥OA交圆O于点F，则∠CBF等于( B )
A．12.5°
当点A在劣弧BC上时，∠BAC＝140°.
h
12
第1课时 圆周角定理
9．如图 K－22－7，MN 是半径为 2 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，
∠AMN＝30°，B 为弧 AN 的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PABiblioteka ＋PB 的最小值为( C )
A．4 2
B．2
C．2 2
D．4
图K－22－7
图K－22－11
h
18
第1课时 圆周角定理
14．如图K－22－12，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点， 且满足∠BAC＝∠APC＝60°. (1)求证：△ABC是等边三角形； (2)求圆心O到BC的距离OD.
图K－22－12
h
19
第1课时 圆周角定理
解：(1)证明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠APC＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC 是等边三角形．
B．15°
C．20°
D．22.5°
[解析] B ∵四边形 ABCO 是平行四边形，∴OA＝BC，OA∥BC.
又∵OA＝OB＝OC，∴△OBC 是等边三角形，∴∠COB＝60°. ∵OF⊥OA，∴OF⊥BC，∴∠BOF＝∠COF＝30°，
图K－22－3
1 ∴∠CBF＝2∠COF＝15°.故选 B.
h
5
h
图K－22－1524
第1课时 圆周角定理
解：(1)证明：∵AP 平分∠BAC，∴BAP＝∠CAP， ∴B︵P＝C︵P，即 P 为B︵C的中点． (2)PE 的长度不会随点 A 的运动而变化． 理由：∵∠BAP＝∠CAP，∠CAP＝∠CBP，∴∠BAP＝∠CBP. ∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＋∠BAE＝∠CBE＋∠CBP， 即∠BEP＝∠EBP，∴PE＝PB. ∵P 为B︵C的中点，即 PB 为定长， ∴PE 的长度为定值，即 PE 的长度不会随点 A 的运动而变化．
h
7
第1课时 圆周角定理
5．在半径为 1 的圆中，长度等于 2的弦所对的弧的度数为( D )
A．90°
B．145°
C．270°
D．90°或 270°
[解析] D 如图，连接 OA，OB.∵在⊙O 中，AB＝ 2，OA＝OB＝1， ∴AB2＝OA2＋OB2，∴△AOB 为直角三角形，且∠AOB＝90°， 即长度等于 2的弦所对的弧长有两段：一段所对圆心角为 90°，另 一段所对圆心角为 270°，∴长度等于 2的弦所对的弧的度数为 90° 或 270°.故选 D.
A．64°
B．58°
C．32°
D．26°
图K－22－6
h
10
第1课时 圆周角定理
[解析] D 如图，设 OC 交 AB 于点 E. 由 OC⊥AB，得︵AC＝B︵C，∠OEB＝90°， ∴∠3＝2∠1＝64°， 在 Rt△OBE 中．∵∠OEB＝90°， ∴∠B＝90°－∠3＝90°－64°＝26°.故选 D.
第1课时 圆周角定理
4．2017·贵港 如图K－22－4，A，B，C，D是⊙O上的四个点，
B是弧AC的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC＝40°，则
∠AMB的度数不可能是( D )
A．45°
B．60°
C．75°
D．85°
图K－h22－4
6
第1课时 圆周角定理
[解析] D 连接OA，OB，∵B是弧AC的中点， ∴∠AOB＝2∠BDC＝80°. 又∵M是OD上一点， ∴40°＝∠BDC≤∠AMB≤∠AOB＝80°. 则不符合条件的只有85°.故选D.
25
格点上，则∠AED的余弦值是____5 ____．
[解析] ∵∠AED 与∠ABC 都是︵AD所对的圆周角，∴∠AED
＝∠ABC.在 Rt△ABC 中，AB＝2，AC＝1，根据勾股定理，
得 BC＝ 5， ∴cos∠AED＝cos∠ABC＝ 25＝2 5 5.
图K－22－9
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16
第1课时 圆周角定理