sin CA, n 1 cos 2 CA, n
30
30
．所以，二面角 B B1 E D 的正弦值为
；
6
6
（Ⅲ）依题意， AB 2, 2,0 ．由（Ⅱ）知 n 1, 1, 2 为平面 DB1 E 的一个法向量，
于是 cos AB, n
求证:AB1⊥平面A1BD.
证法一:设平面 A1BD 内的任意一条直线的方向向量为 m.由共面向量定理,知存在
实数 λ,μ,使 m=λ1 +μ.令1 =a,=b,=c,显然它们不共面,并且
|a|=|b|=|c|=2,a·b=a·c=0,b·c=2.以{a,b,c}为空间的一个基底,则
AB n
AB n
4
3
3
.
．所以，直线 AB 与平面 DB1 E 所成角的正弦值为
3
2 2 6
3
知识框图
典例解析
专题一 应用空间向量证明位置关系
例1 如图所示,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.
求证:(1)MN∥平面PAD;
(2)平面PMC⊥平面PDC.
证明:(1)如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.
设PA=AD=a,AB=b,
则有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).
∵M,N分别为AB,PC的中点,
∴M
,0,0
2
, ,
2 2 2
n EB1 0
2 y z 0
设 n x, y, z 为平面 DB1 E 的法向量，则
