有理数的乘方 (1)

1.5.1有理数的乘方（1）一、教学目标1.知识与技能：掌握理解乘方的意义以及几个相关的概念，正确进行乘方运算。

2.过程与方法：经历折纸数学游戏的过程，迁移正方形面积正方体体积的表示，类比得到乘方的表示，发展观察归纳总结能力。

3.情感态度价值观：体会乘法与乘方的关系，感受事物之间的普遍联系。

二、教学重难点分析1.教学重点：理解乘方的意义，能利用乘方运算法则进行有理数的乘方运算。

2.教学难点：有理数乘方的计算法则的探索及利用法则进行计算三、教学过程1.情境引入教师提出折纸游戏，每对折一次，层数变为原来的两倍，如下：次数层数1 224=2×238=2×2×2416=2×2×2×2532=2×2×2×2×2……302×2×2×…×230个2相乘思考：当对折30次后，层数变为30个2相乘，那么有没有一种更简便的方法来表示30个2相乘呢？引出课题：有理数的乘方（1）2.定义生成思考：讲到乘方，我们联想到了一个方的概念，正方形和正方体，边长为a,它们的面积和体积分别是什么？如何表示？学生说，教师板书：2a a a⋅=（读作a的平方或a的二次方）3⋅⋅=（读作a的立方或a的三次方）a a a a又例如：4记作，读作“2的四次方”(2)(2)(2)(2)(2)--⨯-⨯-⨯--52222222()()()()()()-5555555-⨯-⨯-⨯-⨯--记作，读作“的五次方” 猜想：假设a a a a ⋅⋅⋅= 4a 读作 a 的四次方 ...a a a ⋅⋅⋅ n a读作 a 的n 次方n 个总结：一般地，n 个相同的因数a 相乘，即...a a a ⋅⋅⋅，记作n a ，读作“a 的n次方”定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方........a a a =n 个说明：当n a 看作a 的n 次方的结果时，也可读作a 的n 次幂。

●课题有理数的乘方（一）●教学目标（一）教学知识点1．有理数乘方的意义．2．能进行有理数的乘方运算．（二）能力训练要求1．在现实背景中，理解有理数乘方的意义．2．能进行有理数的乘方运算．（三）情感与价值观要求通过师生共同交流，渗透利用数学知识解决实际问题的思想，以激发学生学习的兴趣，树立解决问题的信心．●教学重点有理数乘方的意义．●教学难点1．理解有理数乘方的意义上有困难．2．合理进行乘方运算．●教学方法讲练结合法●教具准备细胞分裂示意图投影片四张第一张：练习（记作§2．10．1 A）第二张：例1（记作§2．10．1 B）第三张：例2（记作§2．10．1 C）第四张：法则（记作§2．10．1 D）●教学过程Ⅰ．创设情景问题，引入课题［师］我们知道，每个生物体都是由细胞组成．动物由动物细胞组成，植物由植物细胞组成．活的细胞和生物体一样，也经过生长、衰老、死亡几个阶段．细胞本身的繁殖是以细胞分裂方式进行的．大家来观察一幅某种细胞分裂示意图：（出示“细胞分裂示意图”）这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．想一想：经过5小时，这种细胞由1个能分裂成多少个？［生］1个细胞30分钟后分裂成2个，1个时分裂成4个，1．5小时后分裂成8个，2小时后分裂成16个，……，5小时后，这种细胞由1个能分裂成1024个．［师］对，1个细胞30分钟后分裂成2个，这是第一次分裂；1小时后分裂成4个，可以写成2×2，这是第二次分裂，1．5小时后分裂成8个，可写成2×2×2，这是第三次分裂，2小时后分裂成16个，也可写成2×2×2×2，这是第四次分裂，依次类推，想一想：5小时要分裂多少次？［生甲］5小时要分裂10次．［生乙］老师，我知道了，经过一次细胞分裂，1个可分裂成2个，经过二次分裂，1个可分裂成2×2个，经过三次分裂，1个可分裂成2×2×2个，这样依次类推，经过十次这样的分裂，1个便可分裂成［师］乙同学分析得很好，经过十次分裂后，1个细胞可以分裂成：个，但10个2相乘写起来挺麻烦的，为了简便，可将记为210，210表示有10个2相乘，我们把这种运算叫乘方．今天我们就来探讨有理数的乘方．Ⅱ．讲授新课［师］在小学中，我们把a×a记作a2，读作a的平方，或a的二次方．想一想：a×a 表示什么？［生］表示边长为a的正方形面积．［师］对，还把a×a×a记作a3，读作a的立方，或a的三次方．那a×a×a表示什么？［生］表示棱长为a的正方体的体积．［师］很好，刚才我们又把记作210．一般地，我们有：n个相同的因数a相乘，记作a n，即：这种求n个相同因数a的积的运算叫做乘方（Power）．乘方的结果叫做幂（Power）．在a n中，a叫做底数（base number）．n叫做指数（exponent）．a n读作a的n次方．a n看作是a的n 次方的结果时，也可读作a 的n 次幂．在这儿需要注意：乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果．如：在94中，底数是9，指数是4，94读作9的4次方，或9的4次幂． 下面我们做一练习来熟悉这些概念（出示投影片§2．10 A ），口答： 1．填空： （1）（－1）12的底数是_____，指数是_____． （2）（－3）11表示_____个_____相乘． （3）（－21）5的指数是_____，底数是_____． （4）7．54的指数是_____，底数是_____． ［生］（－1）12的底数是－1，指数是12． （－3）11表示11个－3相乘． （－21）5的指数是5，底数是－21， 7．54的指数是4，底数是7．5．［师］很好．那5的底数是什么？指数是什么？ ［生］5的底数是5，没有指数． ［师］对吗？ ……［师］在这里需要注意：一个数可以看成这个数本身的一次方．如：5就是51，指数1通常省略不写．大家也可以这样理解：指数就是指相乘的因数的个数，指数是1，就是指只有一个因数．a n 就是n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算． 下面通过例题来熟悉有理数的乘方运算．（出示投影片§2．10 B ）［例1］计算：（1）53； （2）（－3）4； （3）（－21）3解：（1）53=5×5×5=125． （2）（－3）4=（－3）·（－3）·（－3）·（－3）=81． （3）（－21）3=（－21）·（－21）·（－21）=－81注意：（1）当底数是负数或分数时，书写时一定要先用小括号将底数括上，再在其右上角写指数．如：（－3）4不能写成－34，（－21）3不能写成－213． （2）在不会引起误解的情况下，乘号也可以用“·”表示．例如：（－3）×（－3）×（－3）×（－3）×（－3） 可写成：（－3）·（－3）·（－3）·（－3）·（－3）接下来，我们做一练习来熟悉有理数的乘方运算（出示投影片§2．10 C ）1．计算： （1）（－1）10； （2）（－1）7； （3）83； （4）（－5）3； （5）（－0．1）3；（6）［生］解：（－1）10=1； （－1）7=－1；83=512；（－5）3=－125； （－0．1）3=－0．001；（－21）4=161； 102=100；103=1000；104=10000；（－10）2=100；（－10）3=－1000； （－10）4=10000［师］很好，大家都注意了底数是负数的乘方的表示．下面我们来观察刚才练习题的结果，你能发现什么规律？可互相交流．［生］正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． ［师］对．大家从计算结果中，归纳出乘方运算的符号法则：（出示投影片§2．10 D ）很好．大家再想一想：0的任何次幂等于多少？1的任何次幂等于多少？以10为底数的幂有何特点？［生］由有理数的乘法可以得到：0的任何非零次幂等于0，1的任何次幂等于1． 10的几次幂，在1的后面有几个0．［师］这位同学总结得非常正确．下面，我们通过课堂练习进一步熟悉有理数乘方的概念及其运算．Ⅲ．课堂练习 课本P 73 随堂练习 1．（1）在74中，底数是_____，指数是_____．（2）在（－31）5中，底数是_____，指数是_____． 答案：（1）7，4；（2）－31，52．计算：（1）（－3）3；（2）（－1．5）2；（3）（－71）2解：（1）（－3）3=（－3）·（－3）·（－3）=－27 （2）（－1．5）2=（－1．5）·（－1．5）=2．25 （3）（－71）2=（－71）·（－71）=4913．一个数的平方为16，这个数可能是几？一个数的平方可能是零吗？答案：一个数的平方为16，这个数是4或－4．一个数的平方可能是零．0的平方是0． 4．看课本P 72～73 5．试一试设n 为正整数，计算： （1）（－1）2n ． （2）（－1）2n +1．分析：n 为正整数时，2n 表示偶数，2n +1表示是奇数．所以由乘方的符号法则，即可得出．解：（－1）2n =1 （－1）2n +1=－1 Ⅳ．课时小结本节课主要学习了有理数的乘方的意义．有关概念及其有理数乘方运算．通过本节的学习，要明确乘方和加、减、乘、除一样，是一种运算，是求n 个相同因数的乘积的运算．乘方实质是一种特殊的乘法运算．幂与和、差、积、商一样，是乘方运算的结果．乘方运算与加减乘除的运算步骤一样，先确定符号，再计算绝对值．Ⅴ．课后作业（一）课本P 74习题2．13 １、2、3．3．1米长的小棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此截下去，第七次后剩下的小棒有多长？解：第七次后剩下的小棒有：（21）7=21×21×21×21×21×21×21=1281（米） （二）预习内容：课本P 75．准备一张白纸．Ⅵ．活动与探究1．如果｜a +1｜+（b －2）2=0，求（a +b ）39+a 34的值．过程：让学生通过讨论、探索知道：任何一个数的绝对值是一个非负数；任何一个数的平方也是一个非负数；两个非负数的和等于0，则这两个数都为0．这样：a 、b 即可解出．结果：因为｜a +1｜+（b －2）2=0 所以a +1=0，b －2=0 即a =－1，b =2因此（a +b ）39+a 34=［（－1）+2］39+（－1）34=1+1=2． 2．用计算器补充完整下表：31 32 33 34 35 36 37 38 392781从表中你发现3的方幂的个位数有何规律？3225的个位数是什么数字？为什么？过程：让学生用计算器填完表后，认真观察，找出规律，根据规律，确定3225的个位数字．结果：31 32 33 34 35 36 37 38 39278124372921876561从表中发现3的方幂的个位数呈周期性变化，变化周期是4． 因为225=56×4+1，所以3225的个位数是3．●板书设计§2．10．1 有理数的乘方（一）一、乘方：二、例1例2●备课资料 参考练习题 1．选择题：（1）109表示（ ）A ．10个9连乘B ．10乘以9C ．9个10连乘D ．9个10连加（2）一个数的平方是正数，那么这个有理数的立方是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．正数或负数 D ．奇数 （3）一个数的平方等于它的倒数，这个数一定是（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．2（4）计算（－1）2000+（－1）2001÷｜－1｜的值等于（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．1或－1（5）关于（－3）4的正确说法是（ ） A ．－3是底数，4是幂B ．－3是底数，4是指数，－81是幂C ．3是底数，4是指数，81是幂D ．－3是底数，4是指数，81是幂 答案：（1）C （2）C （3）B （4）A （5）D2．把下列各式写成乘方运算的形式，并指出底数、指数各是什么？ （1）（－1．3）·（－1．3）·（－1．3）·（－1．3） （2）51×51×51×51×51×51 答案：（1）（－1．3）（－1．3）（－1．3）（－1．3）=（－1．3）4，其中，底数是－1．3．指数是4．（2）51×51×51×51×51×51=6)51(，其中：底数是51，指数是6． 3．计算：（1）（－5）2； （2）（－43）3；（3）（－101）4； （4）5×（－51)）3．答案：（1）25 （2）－6427) （3）100001) （4）－251。