(完整版)高考导数解答题中常见的放缩大法

2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:一、裂项放缩例1.1求的值;2求证:.解析:1因为,所以2因为,所以奇巧积累:1 2 34 5 6 7 8 9 10 11111213 14 15 15 例2.1求证: 2求证: 3求证: 4 求证:解析:1因为,所以2 3先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案4首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的,所以例3.求证: 解析:一方面:因为,所以另一方面: 当时,,当时,,当时,,所以综上有例 4.2008年全国一卷设函数.数列满足..设,整数.证明:解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则,否则若,则由知,,因为,于是例5.已知,求证: 解析:首先可以证明: 所以要证只要证:故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,,求证:.解析:所以从而例7.已知,,求证:证明: ,因为,所以所以二、函数放缩例8.求证: 解析:先构造函数有,从而因为所以例9.求证:1 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加后可以得到:另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:加强命题例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以例14. 已知证明.解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案放缩思路:。

放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求nk k 12142的值; (2)求证:35112nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422n n n n n,所以122121114212n nnknk (2)因为12112121444111222n n nnn,所以35321121121513121112nnknk奇巧积累:(1)1211212144441222nn nnn(2))1(1)1(1)1()1(21211n n n n n n n C C nn (3))2(111)1(1!11)!(!!11r rr rr r nr nr n nC T rrrnr (4)25)1(123112111)11(nn nn(5)n nn n 21121)12(21(6) nnn221(7))1(21)1(2n n n n n (8)nn nnn nn 2)32(12)12(1213211221(9)kn nk k n n n k kn k n k 11111)1(1,11111)1(1(10)!)1(1!1!)1(n n n n (11)21212121222)1212(21nnn n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112n nn n nn nnn nnnnn(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123n n nn n n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nnnnnnnnn (14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2kk kkk k(15))2(1)1(1n n n n n (15)111)11)((1122222222jij ijij ij i jij i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222n nn (2)求证:nn412141361161412(3)求证:1122642)12(531642531423121n nn (4) 求证：)112(2131211)11(2n nn 解析:(1)因为12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112n n ini (2))111(41)1211(414136116141222nnn(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531n nn ,再结合nn n221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nnn n n12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2再证21212121222)1212(21nnn n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211n n例3.求证:35191411)12)(1(62nn n n 解析:一方面: 因为12112121444111222n n nnn,所以35321121121513121112nn knk 另一方面: 1111)1(143132111914112n n n n n n当3n 时,)12)(1(61n n nn n,当1n 时,2191411)12)(1(6nn n n ,当2n时,2191411)12)(1(6n n n n , 所以综上有35191411)12)(1(62nn n n 例 4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x xx x .数列n a 满足101a .1()nn a f a .设1(1)b a ，，整数11ln a bk a b≥.证明:1ka b .解析: 由数学归纳法可以证明n a 是递增数列, 故若存在正整数k m, 使b a m, 则b a a kk1,若)(k mb a m,则由101ba a m知0ln ln ln11ba a a a a mmm ,km mm k k k ka a a a a a a 111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km mm ,于是ba ba b a k a a k)(|ln |11111例5.已知m mmmmn S x N m n 321,1,,,求证:1)1()1(11mnmnS mn .解析:首先可以证明:nx x n1)1(nk m m m m m m m m k knnn nn111111111])1([01)2()1()1(所以要证1)1()1(11mnmnS mn 只要证:nk m mm m m m m m m nk mnk m m k kn nnnnkm k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证nk m mnk mn k m m k k km kk1111111])1[()1(])1([,即等价于m mmm m k kk mkk 111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知nnna 24,nnna a a T212,求证:23321nT T T T . 解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321nnn n nnnT 所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111nnnn n n n n nn n nnnnnT 从而231211217131311231321n nnT T T T 例7.已知11x ,),2(1),12(Z kk nn Z k k n n xn,求证:*))(11(21114122454432N nn x x x x x x nn 证明:nn n n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122,因为12n nn,所以)1(2122214122n n n nn x x nn 所以*))(11(21114122454432N n nx x x x x x nn 二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N nn nnn.解析:先构造函数有x x x x x11ln 1ln ,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nnnncause nnnn311212191817161514131213131216533323279189936365111n nn n n 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln n n nnnn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22nn n n nn 解析:构造函数xx x f ln )(,得到22ln ln n n nn ,再进行裂项)1(1111ln 222n n nnn,求和后可以得到答案函数构造形式: 1ln x x,)2(1ln nn 例10.求证:nnn 1211)1ln(113121解析:提示:2ln 1ln1ln1211ln )1ln(nn nn nn nn n 函数构造形式:xxx x 11ln ,ln 当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数xx f 1)(, 首先:ni nABCFxS 1,从而,)ln(ln |ln 11i n n x x in nin nin取1i有,)1ln(ln 1n n n ,所以有2ln 21,2ln 3ln 31,…，)1ln(ln 1n n n,n n n ln )1ln(11,相加后可以得到:)1ln(113121n n 另一方面nin ABDExS 1,从而有)ln(ln |ln 11i n n x xiinninnin 取1i有,)1ln(ln 11n nn ,所以有nn 1211)1ln(,所以综上有nn n 1211)1ln(113121例11.求证:en )!11()!311)(!211(和en)311()8111)(911(2.解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(n en n 解析:1)1(32]1)1(ln[n n n n ,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:)0(13)1ln(1)0(132)1ln(x xxx x x x(加强命题)例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(xx x x f ,求导,可以得到: 12111)('xx x x f ,令0)('x f 有21x,令0)('x f 有2x,所以0)2()(f x f ,所以2)1ln(x x ,令12nx有,1ln 22nn所以211ln n nn ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln nN nn n n n 例14. 已知112111,(1).2nnna a a nn证明2na e.解析:n nnnna n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1,然后两边取自然对数,可以得到nnna n n a ln )21)1(11ln(ln 1然后运用x x )1ln(和裂项可以得到答案)放缩思路：nnn a nna)2111(21nnna n n a ln )2111ln(ln 21nnnna 211ln 2。

第3讲 常用的导数放缩技巧知识与方法第一组: 对数放缩(放缩成一次函数) ln 1,ln ,ln(1),ln x x x x x x x x -<+<;(放缩成双次函数)1111ln (1),ln (01),ln 1),ln 22x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫<->>-<<<>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1)x x x<<;(放缩成二次函数)22211ln ,ln(1)(10),ln(1)(0)22x x x x x x x x x x x -+--<<+->; (放缩成类反比例函数) 12(1)ln 1,ln(1),ln (01)11x x x x x x x x x --+<<<++. 第二组: 指数放缩(放缩成一次函数) e1,e ,e e xx x x x x +>; (放缩成类反比例函数) 11e(0),e (0)1xx x x x x <-<-; (放缩成二次函数) 223111e 1(0),e 1226x xx x x x x x ++>+++.第三组: 以直线 1y x =- 为切线的函数121ln ,e 1,,1,ln x y x y y x x y y x x x-==-=-=-=.以上公式较多且繁杂, 我们记住基础的、最常见的即可, 其他可以根据最基础的不等式推导. 常用不等式 11:e 11ln 1xx x x x x+>>--. 常用不等式12:ee ,ln exx x x (非常具有对称美感)证明: e1xx +构造()e (1)()e 1x xf x x f x =-+'=- (,0)()0()x f x f x ∈-∞'<单调递减(0,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加 ∴0()(0)e (01)0f x f =-+= ∴e 1xx +证明: 1ln x x - 构造1()1ln ()1f x x xf x x=--'=-(0,1)()0()x f x f x ∈'<单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加∴()(1)11ln10f x f =--= 1ln x x ∴-证明: 1ln 1x x-构造221111()ln 1()x f x x f x x x x x -⎛⎫=--'=-= ⎪⎝⎭(0,1)()0()x f x f x ∈'< 单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加()(1)0(11)0f x f =--=1ln 1x x ∴-证明: e e xx构造()e e ()e e x xf x xf x =-'=-(,1)()0()x f x f x ∈-∞'<，，单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>，， 单调递加1()(1)e 0f x f e ∴=-=∴ee xx 证明: 1ln x x e构造111()ln ()f x x xf x e e x=-'=- (0,)()0()x e f x f x ∈'<单调递减(,)()0()x e f x f x ∈+∞'>，，单调递加 ∴()()110f x f e =-= 1ln x x e∴ 典型例题【例1】已知函数1()e xf x x =+, 若对于任意的,()x f x ax ∈>R 恒成立, 则实数a 的取值范围是 ( ) A. (,1e]-∞- B. (1,)+∞C. (1e,1]-D. (,1e](1,)-∞-⋃+∞【解析】 【解法1】 对任意的x ∈R , 要使()f x ax >恒成立, 可设1()()(1)e xg x f x ax a x =-=+-, 则要 ()0g x >恒成立. 当1a =时, 1()0ex g x =>恒成立, 故满足题意; 当1a ≠时,()1g x a '=-- e x -;若1a >, 则()0g x '<恒成立, ()g x 单调递减, 当x 趋近于正无穷时, ()g x 趋近于负无穷, 不满足题意; 若1a <, 由于()0g x '=, 解得ln(1)x a =--, 所以()g x 在(,ln(1))a -∞--上单调递减,在(ln(1),)a --+∞上单调递增, ()g x 在ln(1)x a =--处取得极小值即最小值, 要使()0g x >恒成立, 即 (ln(1))0g a -->恒成立, 解得此时1e a >-. 综上所述, a 的取值范围是(1e,1]-.【解法2】 函数1()e x f x x =+, 即1(1)e x a x >-恒成立, 设函数1()e xg x =, 同时令不等式右边为h ()(1)x a x =-, 如图所示:由于e x存在过原点的切线e y x =, 故此时该切线为e y x =-, 故e 10a -<-, 则1e 1a -<.【答案】C.【例2】已知对于任意的1x <, 有不等式ln(1)x ax a -+恒成立, 则实数a 的取值范围？ 【解析】【解法1】 由于要对于任意的1x <有ln(1)x ax a -+恒成立, 即ln(1)(1)x a x --, 由于x <1时, 10x ->, 故只需ln(1)1x a x --, 令ln(1)()(1)1x g x x x-=<-, 令1t x =-,即此时0t >,即ln ()(0)t g t t t =>, 此时221ln 1ln ()(0)t t t t g t t t t ⋅--'==>. 当0e t <<时, 函数()0g t '>, 此时函数 ()g t 单调递增; 当e t >时, 函数 ()0g t '<, 此时函数()g t 单调递减,故函数()g t 在e t =时取得极 大值, 即最大值, 故函数1()(e)eg t g =, 即此时得到1()e a g t , 故实数a 的取值范围为1e⎡⎢⎣, )+∞.【解法2】 若保证ln(1)x ax a -+恒成立, 即保证ln(1)(1)x a x ---恒成立, 此时令1t =-x , 即ln (0)t at t >恒成立, 由基本不等式, 1ln e x x , 故得到1,e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【答案】1e⎡⎢⎣, )+∞.【例3】已知函数()e ln()xf x x m =-+.(1) 设0x =是()f x 的极值点, 求m 并讨论()f x 的单调性;(2) 当2m 时, 证明：()0f x >. 【解析】(1) ∵1()e ,0xf x x x m '=-=+ 是 ()f x 的极值点, ∴1(0)10f m'=-=, 解得 1m =.所以函数()e ln(1)xf x x =-+, 其定义域为1e (1)1(1,).()e 11x xx f x x x +--+∞'=-=++.设()g x = e (1)1xx +-, 则()e (1)e 0x x g x x '=++>, 所以()g x 在(1,)-+∞上为增函数, 又∵(0)0g =, 所以当0x >时, ()0g x >, 即()0f x '>; 当10x -<< 时, ()0,()0g x f x <'<.所以()f x 在(1,0)-上为减函数; 在(0,)+∞上为增函数.(2)证明: 【解法1】当2,(,)m x m ∈-+∞时, ln()ln(2)x m x ++, 故只需证明当2m =时()0f x >. 当2m =时, 函数1()e 2x f x x '=-+在(2,)-+∞上为增函数, 且(1)0,(0)f f '-<'0>.故()0f x '=在(2,)-+∞上有唯一实数根0x , 且0(1,0)x ∈-. 当()02,x x ∈-时,()f x '0<,当()0,x x ∈+∞时, ()0f x '>, 从而当0x x =时, ()f x 取得最小值. 由 ()00f x '=,得0e x=()0001,ln 22x x x +=-+. 故()()2000011()022x f x f x x x x +=+=>++. 综上, 当2m 时, ()f x 0>.【解法2】当 2,(,)m x m ∈-+∞ 时, ln()ln(2)x m x ++, 故只需证明当2,()0m f x =>. 即证 明 e ln(2)0x x -+>, 由于 e 1x x +, 即证明 1ln(2)x x ++,显然成立.【例4】已知函数()e ln 1xf x a x =--.（1）设2x =是()f x 的极值点, 求a 的值,并求()f x 的单调区间; （2）证明: 当1ea时, ()0f x . 【解析】 (1) ∵函数1()e ln 1.0,()e ,2xxf x a x x f x a x x=--∴>'=-= 是()f x 的极值点,∴(2)f '=21e 02a -=, 解得 2221111,()e ln 1,()e 2e 2e 2e x x a f x x f x x=∴=--∴'=-,当02x <<时, ()f x ' 0<; 当2x > 时, ()0.()f x f x '>∴在(0,2)上单调递减, 在(2,)+∞上单调递增.（2）证明: 【解法1】 当1ea 时, e ()ln 1e x f x x --, 设e ()ln 1e x g x x =--, 则e 1()e x g x x '=-, 由 e 1()0e x g x x'=-=, 得 1x =, 当01x <<时,()0g x '<, 当1x >时,()0,1g x x '>∴=是()g x 的最小值点, 故当0x >时, ()(1)0,g x g =∴当1ea 时, ()0f x .【解法2】当1ea 时, e ()ln 10e x f x x --, 由于e e x x 或者1e x x -, 所以证明ln 10x x --即可, 显然成立.强化训练1. 已知函数e ()ln exm f x x =-.(1) 设1x =是函数()f x 的极值点, 求m 的值并讨论()f x 的单调性; (2) 当2m 时, 证明: ()0f x >.【解析】 (1) e 1(),(0),1e x m f x x x x '=->=是函数()f x 的极值点, 即e10em -=, 所以1m =.于是函数e ()ex m f x = 数e e 1ln ln ,()e e x x x x f x x =-'=-, 由()0f x '=, 可得1x =, 因此，当(0,1)x ∈时, ()0f x '<; 当(1x ∈, )+∞时, ()0f x '>, 所以, 函数()f x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增.(2) 证明: 当2m 时, 对于任意(0,),e 1xx x ∈+∞>+恒成立, 又(0,),ln x x x ∈+∞>恒成立, 2x ≠时, 22e e 1ln ,2e x x x x x -=>-=时, 2e 1ln ex x x =->, 原式得证, 即()0f x >.2. 设函数1()e ln x xf x a x x-=+, 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处得切线方程为e(1)2y x =-+. (1) 求a 、b ;(2) 证明: ()1f x >.【解析】(1)函数()f x 的定义域为112(0,),()e ln e e e xx x x a b b f x a x x x x--+∞'=+-+,由题意可得(1)2,(1)e f f ='=, 故 1,2a b ==;(2)证明:由(1)知,12()e ln e ,x x f x x x -=+若()1f x >, 有12e ln e 1xx x x-+>, 即12ln ,()e e x x f x x >-∴ 1>等价于2ln e ex x x x ->-, 设函数()ln g x x x =, 则()1ln ,g x x '=+∴ 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0g x '<;当x 1,e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0g x '>. 故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 从而()g x 在 (0,)+∞上的最小值为11e e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设函数2()e e xh x x -=-, 则()e (1)x h x x -'=-. 当 (0,1)x ∈ 时, ()0h x '>; 当(1,)x ∈+∞时, ()0h x '<, 故()h x 在(0,1)上单调递增, 在(1,)+∞上单调递减, 从而h ()x 在(0,)+∞上的最大值为1(1)eh =-.综上, 当0x >时,()()g x h x >, 即()1f x >.。

放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C nn(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n nn n n n n n n n n n n n(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫⎝⎛+--=n n nn n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(1n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a<<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a akm m m<∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证:1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m nk m m k k k m k k1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+ 证明:nn n n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ . 解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn+++--<++++ cause ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.2ααα例10.所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e <+⋅⋅++)311()8111)(911( .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n naa a n n +==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a nn a )2111(21⇒++++≤+n nn a nn a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。

导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。

例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。

放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。

第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。

一：消参放缩(适合含参)1.已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.解：(1)f′(x)＝1e xx m -+.由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(x)＝e x－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝1e1 xx-+.函数f′(x)＝1e1xx-+在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0.因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.当m＝2时，函数f′(x)＝1e2xx-+在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得0e x＝01 2x+，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝01 2x+＋x0＝212xx(+)+＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.2.已知函数f(x)=m e x-ln x-1.（Ⅰ）当m =1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（Ⅱ）当m ≥1时，证明：f(x)>1.【答案】（Ⅰ）y =(e -1)x（Ⅱ）当m ≥1时，f (x)= m e x-ln x -1≥e x-ln x -1.（放缩）要证明f (x)>1，只需证明e x-ln x -2>0.3.知函数1()ln(1)(1)nf x a xx=+--，其中*x∈N，a为常数．（Ⅱ）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2n ≥时，有()1f x x -≤． 当1a =时，1()ln(1)(1)nf x x x =+--．当2x ≥时，对任意的正整数n ，恒有11(1)nx -≤，故只需证明1ln(1)1x x +--≤．令()1(1ln(1))2ln(1)h x x x x x =--+-=---，[)2x ∈+∞，，则12()111x h x x x -'=-=--，当2x ≥时，()0h x '≥，故()h x 在[)2+∞，上单调递增，因此当2x ≥时，()(2)0h x h =≥，即1ln(1)1x x +--≤成立． 故当2x ≥时，有1ln(1)1(1)nx x x +---≤．即()1f x x -≤．二：构造放缩（适合f(x)或其变式的N 项和有关）4.设函数()()2ln 1f x x b x =++.（1）若x =1时，函数()f x 取最小值，求实数b 的值；（2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；（3）若1b =-，证明对任意正整数n ，不等式33311......31211)1(n ＜k f nk ++++∑=都成立解:（1）由x + 1＞0得x ＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),对x ∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f /(1) = 0,,022,12)(/=+∴++=bx b x x f 解得b= - 4. 经检验合题意；（2）∵,12212)(2/+++=++=x b x x x b x x f 又函数f(x)在定义域上是单调函数，∴f /(x) ≥0或f /(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.若f /(x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x 2+2x+b ≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,即b ≥-2x 2-2x =21)21(22++x 恒成立,由此得b ≥21; 若f /(x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x 2+2x+b ≤0,即b ≤- (2x 2+2x)恒成立，因-(2x 2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b 使f(x) ≤0恒成立.综上所述，实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21. （3）当b= - 1时，函数f(x) = x 2- ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x 3= x 2– ln(x+1) – x 3，则h /(x) = - 3x 2 +2x - 1)1(31123+-+-=+x x x x ，∴当[)+∞∈,0x 时，h /(x)＜0所以函数h(x)在[)+∞∈,0x 上是单调递减.又h(0)=0，∴当()+∞∈,0x 时，恒有h(x) ＜h(0)=0,[ 即x 2– ln(x+1) ＜x 3恒成立.故当()+∞∈,0x 时,有f(x) ＜x 3..∵()1,0,,k N k +∈∴∈+∞取,1k x =则有311(),f k k < ∴33311 (312)11)1(n ＜k f nk ++++∑=,故结论成立。

导数放缩的常见形式导数放缩是微积分中的一种常见技巧，通过对函数进行适当的变形，可以简化计算或者提供更多有关函数性质的信息。

下面是导数放缩的一些常见形式。

1.常数乘法和加法法则：对于函数f(x)和常数a、b，有以下关系：(a·f(x))'=a·f'(x)(f(x)+b)'=f'(x)这意味着导数函数遵循常数乘法和加法法则。

可以根据这个法则查找任何函数的导数。

2.乘法法则：对于两个函数f(x)和g(x)，有以下关系：(f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)乘法法则使我们能够通过计算原函数和导函数之间的乘积来计算复合函数的导数。

3.倒数法则：对于函数f(x)，有以下关系：(1/f(x))'=-f'(x)/[f(x)]^2倒数法则允许我们通过计算原函数的导数来计算倒数函数的导数。

4.加法法则：对于函数f(x)和g(x)，有以下关系：(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)加法法则使我们能够通过计算原函数的导数来计算两个函数之和的导数。

5.减法法则：对于函数f(x)和g(x)，有以下关系：(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)减法法则允许我们通过计算原函数的导数来计算两个函数之差的导数。

6.链式法则：链式法则是导数放缩中最重要的法则之一，它适用于复合函数。

对于函数y=f(g(x))，有以下关系：dy/dx = f'(g(x))·g'(x)链式法则允许我们通过计算原函数和内部函数的导数来计算复合函数的导数。

7.平方函数的导数：对于函数f(x)=x^2，有以下关系：f'(x)=2x平方函数的导数是一个常见形式，计算平方函数的导数非常简单。

8.指数函数的导数：对于函数f(x)=a^x，有以下关系：f'(x) = ln(a)·a^x指数函数的导数是一个常见形式，计算指数函数的导数需要用到自然对数。

放缩思想在高考数学中的应用高中阶段,在数列那一章节的学习中，我们曾接触过放缩思想。

其实在高考函数中，尤其是导数大题中，放缩思想起着举足轻重的作用。

例如,让我们证明x^2-2x+1≥0，这个题目对大家来说根本算不上问题。

但是如果让我们证明x^2—3x+e^x ≥0。

这个式子我们看起来非常陌生，我们对e^x 并不熟悉，我们不喜欢e^x 或者lnx,因此,我们可以把他们转化为x 的形式。

这道题目，我们可以先证明e^x ≥x+1，这里构造辅助函数f(x ）=e^x-x-1即可证明,证明后,我们可以得到x^2—3x+e^x ≥x^2—2x+1≥0当x=1时两等号成立。

在此,我给出以下4个常考的辅助函数供大家参考。

① e^x ≥x+1当x=0时等号成立② lnx ≤x —1当x=1时等号成立③ sinx ≤x 当x=0时等号成立④ cosx ≤x+1当x=0时等号成立接下来我们不妨来试一道高考题，2012年山东高考压轴题。

22（本小题满分13分）已知函数f(x) = x ek x +ln （k 为常数，e=2。

71828……是自然对数的底数)，曲线y= f(x ）在点(1,f （1）)处的切线与x 轴平行。

（Ⅰ)求k 的值；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=（x 2+x ） '()f x ，其中'()f x 为f （x ）的导函数，证明：对任意x ＞0,21)(-+<e x g .上面本题的标准答案，前两问在此不做解释。

在第三问中,我们可以看出关键步骤就是把g（x）分成1+x/e^x和1-x-xlnx两部分,但是我们如何想到这一步呢？为什么他要把函数分成这两部分呢?看完上面的文章,我想各位读者已经有了初步的思考，下面，让我们再重新看一遍第三问。

g(x)= （1-x-xlnx)（x+1)/e^x看到这个函数，我们的第一反应应该是:这个函数不好做,e^x和lnx太烦了，我们把它放缩一下.把lnx换成x-1，把e^x换成x+1。

高中导数放缩常用公式及证明在高中数学学习中，导数是一个重要的概念。

导数的定义和性质都是高中数学的基础知识。

导数的放缩是导数的一个重要应用，它可以让我们更加方便地进行计算和推导。

本文将介绍一些高中导数放缩常用公式及其证明。

一、导数放缩公式1.和差法则设函数f(x)和g(x)在点x0处可导，则有：f(x) ± g(x)在x0处可导，且(f(x) ± g(x))'|x0 = f'(x0) ± g'(x0)证明：对于f(x) + g(x)，设h(x) = f(x) + g(x)，则有：h'(x0) = lim(x → x0) [h(x) - h(x0)] / (x - x0)= lim(x → x0) [f(x) + g(x) - f(x0) - g(x0)] / (x - x0) = lim(x → x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0) + lim(x → x0) [g(x) - g(x0)] / (x - x0)= f'(x0) + g'(x0)同理可证f(x) - g(x)在x0处可导，且(f(x) - g(x))'|x0 = f'(x0) - g'(x0)。

2.积法则设函数f(x)和g(x)在点x0处可导，则有：f(x)g(x)在x0处可导，且(f(x)g(x))'|x0 = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0)证明：对于f(x)g(x)，设h(x) = f(x)g(x)，则有：h'(x0) = lim(x → x0) [h(x) - h(x0)] / (x - x0)= lim(x → x0) [f(x)g(x) - f(x0)g(x0)] / (x - x0)= lim(x → x0) [(f(x) - f(x0))g(x0) + f(x0)(g(x) - g(x0))] / (x - x0)= lim(x → x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0) · g(x0) +f(x0) · lim(x → x0) [g(x) - g(x0)] / (x - x0)= f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0)3.商法则设函数f(x)和g(x)在点x0处可导，且g(x0) ≠ 0，则有：f(x) / g(x)在x0处可导，且(f(x) / g(x))'|x0 = [f'(x0)g(x0) - f(x0)g'(x0)] / (g(x0))^2 证明：对于f(x) / g(x)，设h(x) = f(x) / g(x)，则有：h'(x0) = lim(x → x0) [h(x) - h(x0)] / (x - x0)= lim(x → x0) [f(x) / g(x) - f(x0) / g(x0)] / (x - x0) = lim(x → x0) [(f(x)g(x0) - f(x0)g(x)) / (g(x)g(x0))] / (x - x0)= lim(x → x0) [(f(x) - f(x0)) / (x - x0) · g(x0) - f(x0) / (x - x0) · (g(x) - g(x0))] / (g(x0))^2= [f'(x0)g(x0) - f(x0)g'(x0)] / (g(x0))^2二、导数放缩应用1.最值问题对于一元函数f(x)，如果在区间[a, b]上可导，且在[a, b]的端点处导数存在，则在[a, b]上f(x)取得最大值或最小值时，导数为0。