最新(王)选修2-3离散型随机变量及其分布列知识点

2-3随机变量及其分布离散型随机变量及其分布列(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．通常用字母X ，Y ，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．(3)离散型随机变量的分布列：要点归纳一、1．一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2…，x i ，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：X x 1x 2…x i …x n Pp 1p 2…p i…p n我们将上表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了简单起见，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(4)离散型随机变量的分布列的性质：①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；② i ＝1np i ＝1.(5)常见的分布列：两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率.X 01P1－pp两点分布又称0－1分布，伯努利分布．超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝0，1，2，…，m ，即X 01…mP…C 0M C n －N －MC n NC 1M C n －1N －MC n NC m M C n －mN －MC nN其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．二项分布及其应用2．(1)条件概率：一般地，设A 和B 是两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P （AB ）P （A ）为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．(2)条件概率的性质：①0≤P (B |A )≤1；②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；(4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．(5)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为③如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．(3)事件的相互独立性：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立．P (X ＝k )＝C p k (1－p )n －k ，k ＝0，1，2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．两点分布是当n ＝1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式．离散型随机变量的均值与方差(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为3．Xx 1x 2…x i…x nPp 1p 2…p i…p n则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)均值与方差的性质：若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X是随机变量，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(3)常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则均值E (X )＝p ，方差D (X )＝p (1－p )．②二项分布：若随机变量X ～B (n ，p )，则均值E (X )＝np ，方差D (X )＝np (1－p )．称D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，D （X ）为随机变量X 的标准差．④曲线与x 轴之间的面积为1.(3)μ和σ对正态曲线的影响：①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；(4)正态分布的3σ原则：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．专题一条件概率1．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P (A )和P (AB )，解得P (B |A )＝ P （AB ）P （A ）.(2)借助古典概型公式，先求事件A 包含的基本事件数 n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事 件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”(1)求概率的步骤是：第一步，确定事件性质；第二步，判断事件的运算；第三步，运用公式．(2)概率问题常常与排列、组合知识相结合．2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB .【例1】(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n (Ω)＝A 25＝20.根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 13×A 14＝12.于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝1220＝35.求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在些基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．特别注意以下两公式的使用前提(1)若A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，反之不成立．(2)若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，反之成立．专题二相互独立事件的概率1．2．【例2】甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查．对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．专题三离散型随机变量的分布列、均值与方差1．2．3．(1)求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．【例3】 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当．每次测试通过与否互相独立．X 2345PP (X ＝5)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1627. 故X 的分布列为：E (X )＝2×19＋3×427＋4×427＋5×1627＝389.194274271627(1)写出ξ的概率分布列(不要求计算过程)，并求出E (ξ)，E (η)；(2)求D (ξ)，D (η)．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？【例4】 (2012·枣庄检测)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考查得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η.解(1)ξ的概率分布列为ξ123P15 35 15所以E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意，η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，E (η)＝3×23＝2，或者P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127； P (η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29； P (η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝49；P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，专题四 正态分布某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．【例5】解 ∵考生成绩X ～N (500，502)， ∴μ＝500，σ＝50， ∴P ＝(550＜X ≤600)＝12[P (500－2×50＜X ≤500＋2×50)－P (500－50＜X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 故考生成绩在550～600分的人数约为25 000×0.135 9 ≈3 398(人)．。

离散型随机变量及其分布列1.随机变量(1)定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着整结果变化而变化的变量称为鰹壁(2)表示法:随机变量常用字母X，丫，f，〃，…表示.2.离散型随机变量所有取值可以一一列岀的随机变量，称为离散型随机变量.3.分布列的定义若离散型随机变量X可能取的不同值为兀1，兀2，…，5X取每一个值Xi(i=l,29…,兀)的概率P(X=Xi)=p i9以表格的形式表示如下:此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的含鯉4.分布列的性质(1”NO, Z=1,2,3 n1=15.两点分布称分布列为两点分布列•若随机变量X的分布列为一两点分布列，就称X服从两点分布，并称“=P（X=1）_为成功概率.6.超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则P（x=k）= _______ 鱼,疋=0,1,2, •••, m,其中/w=min{M, n}9且MWN, n, M, NwZ.称分布列为超几何分布列•如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X月艮从_超几何分布【冷考龜鰹】离散型随机变量［例1］写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件, 可能含有的次品的件数X是随机变量;⑵一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个,其中所含白球的个数e是一个随机变量.［解］⑴随机变量X可能的取值为：04,2,3,4. {X=0},表示抽出0件次品；{X=l},表示抽出1件次品；{X=2}f表示抽出2件次品；{X=3},表示抽出3件次品；{X=4},表示抽出的全是次品.(2)随机变量可能的取值为：04,2,3.K=o},表示取出o个白球, 3个黑球; 忙=1},表示取出1个白球, 2个黑球; K=2},表示取出2个白球, 1个黑球; K=3},表示取出3个白球, 0个黑球.这类问题主要考查随机变量的概念，解答过程中要明确随机变量满足的三个特征：（1）可用数来表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；（3）在试验之前不能确定取值.［对点训练］判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随机变量?⑴天成书业公司信息台一天接到的咨询电话个数;(2)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张,被抽出卡片的号数;(3)某林场的树木最高达30 m,在此林场中任取一棵树木的高度；(4)体积为27 cm3的正方体的棱长.解：⑴接到的咨询电话的个数可能是0,1,2,3,…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量，并且是离散型随机变量.(2)被抽取的卡片号数可以一一列岀，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量.(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30］内的一切值,无法一一列岀，不是离散型随机变量.(4)体积为27 cm3的正方体的棱长为3 cm,为定值，不是随机变量•［例2］设随机变量X的分布列为比=|)=吨=1,2,3,4,5).⑴求常数"的值;(3)⑵求P\X^(1 7)⑶求缶＜Xv討55［解］⑴由P\^=i =必仇=1，2,3,4,5),可知工=》ak=I »丿k=l ' 丿k=\a+2a+3a+4«+5a = l,解得"=在］A k 3\ 3\(2)由⑴可知片X=j=左仇=1，2,3,4,5),所以P\X^^=P\X=^(4)3454+申可+P("1)在+計后p(1 7〕r n f 2)⑶％＜Xv帀=p+P3)+忙沪ii+4+4=在求解有关离散型随机变量性质的题目时，记准以下两条即可1 = 1,2,…，n；n(2)2j?z=l.1=1［对点训练］若离散型随机变量X的分布列为:试求出常数C.解：由离散型随机变量的分布列性质可知: P(X=O)+P(X=1)=1,1亠 2 即9C2-9C+3=1,得C=3或C=y(9C2-C^0,又因为〔3-8CM0,13 1解得所以C=y:型三离散型随机变量的分布列［例3］放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半.现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得一1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列.［解］设黄球有«个，则由题意知绿球有2n个，红球有4〃个，球的总数为7〃个.X的可能取值为一1,0,1.In 2所以从该盒中取出一球所得分数X的分布列为-101P 271747n 1 4n 4［类题通法］求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义;(2)利用概率的有关知识求出随机变量取每个值的概率;(3)按规范形式写岀分布列.［对点训练］某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X,求X的分布列.题型四超几何分布的应用解：将O, A, B, 4B四种血型分别编号为1,2,3,4,则X的可能取值为1,2,3,4.De C；o 2 C%4P(X-l)-c i -^, P(X-2)-c i s-15，P(X=3)=^=余’P(X=4)=^=l故其分布列为［例4］在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张, 每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,①求顾客乙中奖的概率;②设顾客乙获得的奖品总价值为y元，求丫的分布列.题型四超几何分布的应用［解］（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况.cl 4 22 3则P（X=O）=I—P（X=I）=I—因此X的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.故所求概率P=虫苧②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60,且 15 1 45_3‘ C}CJ 6 2 p(Y=50)=^=-=-c{cl 3 1p （y=io ）=^^= 5o 18_2 45=5, 尸(丫=20)=琴目= 5o 3 1 45一15’P(Y=60)=~^2^=5o45 15*此随机变量F的分布列为［类题通法］解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布,若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则直接利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率.在解题中不应拘泥于某一特定的类型.［对点训练］从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回的任取3 件，求取得次品数为X的分布列.解：设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N =15, M=2, w=3, X可能的取值为0丄2湘应的概率依次为所以随机变量X的分布列为【條対反績】1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球，设2个球号码之和为y,则丿所有可能值的个数是（）A. 25B. 10C. 7D. 6解析：y的可自老取值为3,4,5,6,7,8,9,共7个.答案：c2. 一批产品共10件，次品率为20%,从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为解析：由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为答案：BP(X=1)=^^=5o 16 45*28 A -- 入4517 D 453.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表,其中a, b, c成等差数列，且c=ab,则这名运动员得3分的概率是 ____________解析：由题中条件，知2b=a+c f c=ab,再由分布列的性质, 知a+方+c = l,且a, b, c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得"=£，方=扌’c=£,所以得3分的概率是”.答案応尖向上的概率为0.8,随机变量X 的分布列为 解析：随机变量X 服从两点分布，KP(X=0)+P(X=l)=l, 由 P(X=l)=0.8,可得 P(X=0) = l-0-8=0.2,故可写出 X 的分布列・ 答案:5.已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X 表示抽取的2件 产品中的次品数，求X 的分布列.4.在掷一枚图钉的随机试验中，令％=1(针尖向上), 0(针尖向下)，如果针解：由题意知，X服从两点分布，p(x=0)=^F=^, ~ 99 1所以P(X=1) = 1—硕=硕・所以随机变量X的分布列为。

庖丁巧解牛知识·巧学一、离散型随机变量的均值 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 则称EX=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望.随机变量的均值反映的是离散型随机变量的平均取值水平.由定义可知，离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位.知识拓展 上述问题推广到一般有：假设随机试验进行了ｎ次，根据X 的分布列，在ｎ次试验中，有p 1n 次出现了x 1，p 2n 次出现了x 2，…，p n n 次出现了x n ，在ｎ次试验中，X 出现的总次数为p 1nx 1＋p 2nx 2＋…＋p n nx n .因此ｎ次试验中，X 出现的平均值=nnx p nx p nx p nn i +++ 221=EX ，即EX=p 1x 1+p 2x 2+…+p n x n .辨析比较 随机变量的均值与样本的平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值. 二、随机变量函数的数学期望对随机变量X ，若Y=ａX ＋ｂ，其中ａ，ｂ是常数，则Y 是随机变量，且有E(aX+b)=aEX+b.对上述公式，特别地：(1)当a=0时，E （b ）=b ，即常数的数学期望就是这个常数本身；(2)当a=1时，E （X ＋b ）=EX ＋b ，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期望与这个常数的和； (3)当b=0时，E(aX)=aEX ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.三、常见的离散型随机变量的均值1.两点分布：若X 服从两点分布，则EX=p.事实上，假设在一次试验中某事件发生的概率为p ，X 是一次试验中此事件发生的次数，令q=1-p ，则有P （X=0）=q ，P （X=1）=p ，可得: EX=0×q ＋1×p=p.2.二项分布：若随机变量X 服从二项分布，即X —B （n,p ），则EX=np.在一次试验中该事件平均发生ｐ次，我们可以猜想，在n 次独立重复试验中，该事件平均发生ｎｐ次，也就是若X —B(n,p)，则Eξ=np.这就是X 的二项分布的期望的特点. 四、离散型随机变量的方差设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 则（x i -EX ）2描述了x i (i=1,2,…,n)相对于均值EX 的偏离程度，而DX=∑=-ni iEX x12)(p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度.我们称DX 为随机变量X 的方差.其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差，记作σX.随机变量X 的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动、集中与离散的程度.DX 越小，稳定性越高，波动越小.显然DX≥0，校准差与随机变量本身有相同单位. 辨析比较 随机变量的方差即为总体方差，它是一个常数，不随着抽样样本而客观存在；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的.对于简单随机样本，随着样本容易的增加，样本方差越来越接近于总体方差.联想发散 方差是随机变量另一个重要的数字特征，它表现了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的.由方差的定义DX=∑=-ni iEX x12)(p i 可知，计算方差DX 必须先求均值EX ，并且由此定义进一步可得到公式DX=EX 2-(EX)2. 随机变量函数的方差当a ，b 均为常数时，随机变量函数η=aξ+b 的方差D(η)=D(aξ+b)=a 2Dξ. 特别地：(1)当a=0时，D （b ）=0，即常数的方差等于0；(2)当a=1时，D(ξ+b)=Dξ，即随机变量与常数之积的方差等于这个随机变量的方差本身； (3)当b=0时，D(aξ)=a 2Dξ，即随机变量与常数之积的方差，等于这常数的平方与这个随机变量方差的乘积.五、两点分布及二项分布的方差1.两点分布：若X 服从两点分布，则DX=p(1-p).证明：由于X 服从两点分布，即P(X=0)=1-p,P(X=1)=p ， ∴EX=p,EX 2=0×(1-p)+1×p=p, ∴DX=EX 2-(EX)2=p-p 2=p(1-p).2.二项分布：若X —B(n,p),则DX=np(1-p).证明：由X —B(n,p)，令q=1-p,则P(x=i)=i n X p i q n-i，∴EX 2=∑=-ni in i qp i22=∑∑∑==--=-=+-ni ni in iin ini i i qip qp i i 0)1()1(+EX=n(n-1)p2)2()2(2222-+--=--∑n n i ni i n qpC+EX=n(n-1)p2∑-=-22n j i n Cp j q (n-2)-j +EX=n(n-1)p 2(p+q)n-2+EX=n(n-1)p 2+EX=n(n-1)p 2+np. ∴DX=EX 2-(EX)2=n(n-1)p 2+np-np 2=np-np 2=np(1-p). 故DX=np(1-p). 问题·探究问题1 如果X —B(n,p)，你能求出x 的均值吗？思路:如果X —B(n,p)，则有P(x=k)=k n C p k(1-p)n-k ，由均值定义有EX=∑=nk k kn p kC0(1-p)n-k ，又由组合数性质有k k n C =n 11--k n C .EX=∑=--nk k n npC111(1-p)n-1-(k-1)=k n k nk k n p p Cnp--=--∑111)1(=np.探究:均值这一概率是建立在分布列的基础之上的，分布列中随机变量X 的一切可能值x i 与对应的概率P （ξ=x i ）的乘积的和就是随机变量X 的均值.离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二者大有不同，分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平. 问题2 移动公司在某地区共有客户3 000人，若该地区的办事处准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取.假设任一客户去领奖的概率为4%.问该办事处能否向每一位客户都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，办事处至少应准备多少份礼品？思路:可能来多少人，是一个随机变量，由于每人是否去领奖，相互间是独立的，因而随机变量服从二项分布，用数学期望来反映平均领奖人数，即能说明是否可行.探究:如问题2，我们可以设来领奖的人数为一个随机变量ξ=k(k=0,1,2,…,3 000)，所以P(ξ=k )=kC 3000(0.04)k (1-0.04)3 000-k ，则可以得出ξ—(3 000,0.04)，那么Eξ=3 000×0.04=120（人）＞100（人）.所以办事处不能向每一位客户都发出领奖邀请.若能使每一位领奖人都得到礼品，办事处至少应准备120份礼品. 典题·热题例1某份英语竞赛试题共有100道选择题，每题有4个选项，只有一个答案正确.选对得1分，否则得0分.学生甲会其中的20题，学生乙会其中的80题，不会的均随机选择.求甲、乙在这次竞赛中得分的期望.思路分析： 数学期望反映了随机变量取值的平均水平，要求数学期望首先要得到分布列，由题意可知，本题为二项分布问题.解：设甲和乙不会的题的得分分别为随机变量X 和Y ，由题意知X —B(80,0.25)，Y —B(20,0.25)，∴EX=80×0.25=20,EY=20×0.25=5.故甲、乙在这次竞赛中得分的期望分别为40分和85分. 拓展延伸设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为（ ）A.15B.10C.20D.5 思路分析：次品率为P=151150001000 ，且该题服从二项分布，由公式，得EX=nP=150×151=10.故选B. 答案：B方法归纳 通常情况下，在ｎ次独立重复试验中事件发生的次数X 服从二项分布，直接代入公式即可求得期望.例2（2005湖南高考）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. （1）求ξ的分布及数学期望；（2）记“函数f(x)=x 2-3ξx ＋1在区间［2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率. 思路分析： （1）写出ξ的可能取值，利用相互独立事件的概率公式求出P （ξ=k ）（ｋ=1,3），写出ξ的分布列，求出Eξ.（2）利用二次函数的单调性求解. 解：（1）分别记“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点”.为事件A 1，A 2，A 3.由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5，P （A 3）=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.P （ξ=3）=P （A 1·A 2·A 3）+P （321A A A ∙∙）=P （A 1）P （A 2）P （A 3）+P （1A ）P （2A ）P （3A ）=2×0.4×0.5×0.6=0.24， P （ξ=1）=1-0.24=0.76. 所以ξ的分布列为Ξ 1 3 P0.76 0.24Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48. （2）解法一：因为f(x)=(x-23ξ)2+1-49ξ2, 所以函数f(x)=x 2-3ξx+1在区间［23ξ,+∞）上单调递增，要使f(x)在［2,+∞)上单调递增，当且仅当23ξ≤2,即ξ≤34.从而P(A)=P(ξ≤34)=P(ξ=1)=0.76.解法二：ξ的可能取值为1，3.当ξ=1时，函数f(x)=x 2-3x+1在区间［2,+∞)上单调递增， 当ξ=3时，函数f(x)=x 2-9x+1在区间［2,+∞)上不单调递增. 所以P(A)=P(ξ=1)=0.76.深化升华 本题主要考查离散型随机变量分布列、数学期望和事件的概率等问题.一般解法是先由题意求出分布列，再由随机变量的数学期望公式代入求解即可.这一知识点应是未来高考中的一个热点.例3（2005全国高考）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望.（精确到0.01）思路分析： 首先要求出单个坑不需要补种的概率，然后三个坑认为是三次独立重复试验，然后利用公式求解.解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=81， 所以甲坑不需要补种的概率为1-8781=. 3个坑都不需要补种的概率3003)87()81(⨯⨯C =0.670;恰有1个坑需要补种的概率为213)87(81⨯⨯C =0.287;恰有2个坑需要补种的概率为87)81(223⨯⨯C 8=0.041;3个坑都需要补种的概率为0333)87()81(⨯⨯C =0.002.补种费用ξ的分布列为Ξ 0 10 20 30 P 0.670 0.287 0.041 0.002ξ的数学期望为Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75.方法归纳 本题主要考查计算随机事件发生概率的能力，包括互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查随机变量、数学期望等知识以及利用概率知识解决实际问题的能力.本题解决的关键有两点：一是单坑是否需要补种的概率；二是独立重复试验.首先，一个坑内的3粒种子是否发芽是独立重复试验，据此可得到单坑需要补种的概率；然后，3个坑是否需要补种也是独立重复试验，据此可得需要补种的坑的数目的分布列.例4交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有完全相同的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和.求抽奖人获利的数学期望.思路分析： 抽到的2个球上的钱数之和ξ是个随机变量，其中每一个ξ取值时所代表的随机事件的概率值是容易获得的，本题的目标是求参加摸奖的人获利η的数学期望.由ξ与η的关系η=ξ-5，利用公式Eη=Eξ-5可得.解：设ξ为抽到的2个球上的钱数之和，则ξ的取值如下： ξ=2（抽到2个1元），ξ=6（抽到1个1元,1个5元），ξ=10（抽到2个5元）.所以，由题意：P(ξ=2)=452821028=C C ，P(ξ=6)=45162101218=C C C , P(ξ=10)=45121022=C C ，Eξ=2×4516245110451664528=⨯+⨯+，又设η为抽奖者获利可能值，则η=ξ-5. 所以抽奖者获利的期望为：Eη=Eξ-5=57545162-=-=-1.4. 误区警示 要分清是谁获利，不能忽视了条件是先交5元钱才能参加这一抽奖.因此，不能只计算Eξ，最终Eη的结果出现负值，说明摸奖者若重复这种抽奖，平均每摸一次要亏1.4元.例5甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ，η，ξ和η的分布列如下：Ξ 0 1 2P106101 103η 012P105 103 102 试对这两名工人的技术水平进行比较.思路分析：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差的大小.解：工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为： Eξ=0×106+1×101+2×103=0.7，Dξ=(0-0.7)2×106+(1-0.7)2×101+(2-0.7)2×103=0.81； 工人乙生产出次品数ξ的期望和方差分别为：Eξ=0×105+1×103+2×102=0.7; Dξ=(0-0.7)2×105+(1-0.7)2×103+(2-0.7)2×102=0.61.由Eξ=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dξ>Dη，可见乙的技术比较稳定.深化升华 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够.如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差.方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值比较集中与稳定.即不要误认为均值相等时，水平就一样好，还要看一下相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定.例6设一次试验的成功率为ｐ，进行100次独立重复试验，求当ｐ为何值时，成功次数的标准差的值最大，并求最大值.思路分析： 解决本题的关键就是根据题目所给出的条件，找出几个变量之间的关系. 解：设成功次数为随机变量ξ，由题意可知ξ—B(100,p). 那么σξ=)1(100p p D -=ξ, 即Dξ=100p(1-p)=100p-100p 2.把上式看作一个以ｐ为自变量的一元二次函数，易知当p=21时，Dξ有最大值为25.所以最大ξD 值为5. 故当21时，成功次数的标准差的最大值为5. 方法归纳 对求离散型随机变量的均值与方差的综合问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布是一些熟知的类型（如两点分布、二项分布等）时，应全面地分析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，再由此求出各随机变量相应的概率.本例中正是利用二项分布快速地得到方差，从而建立了关于ｐ的目标函数，进而求其最值. 此级HS5的大图若接排前加，若另面则不加。

离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。

离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。

离散型随机变量的概率分布列概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。

其一般形式如下：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2P(X=x3)=p3…P(X=xn)=pn其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。

离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。

2. 取值之间具有间隔或间距。

3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。

4. 概率之和为1。

离散型随机变量的常见分布1. 0-1分布0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。

其分布列为：P(X=0)=1-pP(X=1)=p2. 二项分布二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。

其分布列为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。

3. 泊松分布泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。

其分布列为：P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。

总结离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。

掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。

离散型随机变量及其分布知识点一：离散型随机变量的相关概念；随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、ξ取每一个值()1,2,i x i =⋅⋅⋅的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质；任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) 01,2,i p i ≥=⋅⋅⋅，；12(2) 1P P ++=特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+知识点二：两点分布：若随机变量X 的分布列: 则称X 的分布列为两点分布列.特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.(2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究.知识点三：超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则(),0,1,,min{,},,,.k n k M N MnNC C P X k k m m M n n N M N C --===⋅⋅⋅=≤≤其中称超几何分布列.为超几何分布列，知识点四：离散型随机变量的二项分布；在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（0,1,2,3,k =…， p q -=1）ξ由于k k n knC p q -恰好是二项式展开式：00111()n n n k k n kn n n n n n p q C p q C p q C p q C p q --+=+++++中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作(,)B n p ξ，其中n ，p 为参数，并记(,,)k k n knC p q b k n p -=知识点五：离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()k p A p =，(), (1)k p A q q p ==-，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A qp ξ---====(0,1,2,k =…，p q -=1)于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从几何分布，记作1(,),0,1,2,,1.k g k p q p k q p -===-其中 知识点六：求离散型随机变量分布列的步骤；(1)要确定随机变量ξ的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；(2)分清概率类型，计算ξ取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；(3)列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证. 几种常见的分布列的求法：(1)取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.(2)射击问题：若是一人连续射击，且限制在n 次射击中发生k 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.(3)对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解. 知识点六：期望数学期望:则称=ξE +11p x 22p x n n 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

选修2-3第二章随机变量及其分布知识点总结(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章 概率 总结一、知识点1.随机试验的特点:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．2.分类 随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。

）离散型随机变量：连续型随机变量：3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为 x 1, x 2, ,x i , ,x n X 取每一个值 xi(i=1,2, ）的 概率 P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质： ① ----------------------------------------------② -------------------------------------------------．二点分布如果随机变量X 的分布列为：其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件, 这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N MnNC C P X k k m C --===，其中则称随机变量X 的分布列,为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布 注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量条件概率1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B的交（或积）.记作D=A ∩B 或D=AB3.条件概率计算公式:例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.相互独立事件1.定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

第五讲 离散型随机变量及其分布列【教材扫描】1．随机变量(1)定义：在一个对应关系下，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． (2)表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η等表示． 2．离散型随机变量如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． 3．随机变量和函数的关系随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数，函数把实数映射为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域． 4．离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表：为离散型随机变量X 的概率分布列， 简称为X 的分布列．用等式可表示为P (X ＝x i )＝pi ，i ＝1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． （2）根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1）0i p ≥，1,2,,i n =；（2）1nii p==∑1．5．两个特殊分布 (1)两点分布随机变量X 的分布列是：则称离散型随机变量X 服从两点分布，称p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率P (X ＝k )＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称分布列服从超几何分布．[点睛] (1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中的参数是M，N，n．(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．【知识运用】题型一随机变量的理解【例1】(1)抛掷一枚均匀硬币一次，随机变量为( )A．抛掷硬币的次数B．出现正面的次数C．出现正面或反面的次数D．出现正面和反面的次数之和(2)6件产品中有2件次品，4件正品，从中任取1件，则可以作为随机变量的是( )A．取到的产品个数B．取到的正品个数C．取到正品的概率 D．取到次品的概率[解] (1)抛掷一枚硬币一次，可能出现的结果是正面向上或反面向上．以某一个为标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1，故选B．而A项中抛掷次数就是1，不是随机变量；C项中标准不明；D项中，出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量．(2)由随机变量的定义知，随机变量是随机试验的结果，排除C、D项，又取到的产品个数是一个确定值，排除A项．故选B项．[答案] (1)B (2)B【变式】指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由：(1)某人射击一次命中的环数；(2)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；(3)某个人的属相随年龄的变化．(4)北京国际机场候机厅中2013年5月1日的旅客数量；(5)2013年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(6)2013年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(7体积为1 000 cm3的球的半径长．解：(1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．(2)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．(3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．(4)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(5)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(6)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(7)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．题型二离散型随机变量的判定【例2】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【变式】判断下列变量是否为离散型随机变量：(1)下节课外语老师提问学生的次数η；(2)同时掷两枚硬币得到硬币反面向上的个数X；(3)汽车的使用寿命Y；(4)小麦的单位面积产量X.【解】(1)(2)中的随机变量的取值均能一一列出，故为离散型随机变量．(3)(4)中的随机变量取值不能一一列出，故不是离散型随机变量．题型三：用随机变量表示试验的结果【例3】写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数．(2)从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．[解] (1)设所需的取球次数为X, 则X＝1,2,3,4，...，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i 次取到白球，这里i＝1,2,3,4， (11)(2)设所取卡片上的数字之和为X, 则X＝3,4,5， (11)X＝3, 表示“取出标有1,2的两张卡片”；X＝4, 表示“取出标有1,3的两张卡片”；X＝5, 表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”；X＝6, 表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；X＝7, 表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；X＝8, 表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；X＝9, 表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；X＝10, 表示“取出标有4,6的两张卡片”；X＝11, 表示“取出标有5,6的两张卡片”．[一题多变]1．[变条件]若本例(2)中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量ξ，请问ξ有哪些取值？其中ξ＝4表示什么含义？解：ξ的所有可能取值有：1,2,3,4,5．ξ＝4表示“取出标有1,5或2,6的两张卡片”．2．[变条件，变问法]甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果．解：根据题意可知X的可能取值为4,5,6,7．X＝4表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局．X＝5表示在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出．X＝6表示在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出．X＝7表示在前6局中，两人打平，后一局有1人胜出．题型四求离散型随机变量的分布列【例4】（1）同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的点数之差的绝对值X 的分布列；（2）袋中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的同样大小的6个白球，现从袋中随机取3个球，设η表示取出的3个球中的最小号码，求η的分布列．【解析】（1）易知掷两枚质地均匀的骰子朝上一面出现的点数有36种等可能的情况，X的可能取值为0，1，2，3，4，5，如下表码，写出随机变量ξ的分布列．[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5．当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P (ξ＝3)＝C 22C 35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只， 故有P (ξ＝4)＝C 23C 35＝310；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P (ξ＝5)＝C 24C 35＝610＝35．因此，ξ的分布列为ξ3 4 5 P110310352某班有学生45人，其中O 型血的有10人，A 型血的有12人，B 型血的有8人，AB 型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X ，求X 的分布列．解：将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1,2,3,4，则X 的可能取值为1,2,3,4． P (X ＝1)＝C 110C 145＝29， P (X ＝2)＝C 112C 145＝415，P (X ＝3)＝C 18C 145＝845， P (X ＝4)＝C 115C 145＝13．故其分布列为X 1 2 3 4 P2941584513题型五 离散型随机变量分布列性质的应用【例5】（1）设随机变量ξ的分布列为()6k P mk ξ==，1,2,3,4,5,6k =，求常数m 及1()2P ξ≥； （2）已知X 是离散型随机变量，其分布列如下，求n 的值及(0)P X >．X 1-1 2P1313n 2n49【解析】（1）随机变量ξ的分布列为ξ16 13 12 23 561Pm 2m 3m 4m 5m 6m由234561m m m m m m +++++=，解得121m =． 故11256()()()()(1)1822367P P P P P m ξξξξξ≥==+=+=+===．【变式】已知随机变量X 的分布列如下表：则x 的值为________，P (23<X <92)＝________.【解析】 根据分布列的性质 115＋215＋x ＋415＋13＝1，解得，x ＝15. 当23<X <92时，X ＝1,2,3,4.∴P (23<X <92)＝1－P (X ＝5)＝1－13＝23. 【答案】 15 23题型六 两点分布的应用【例6】（1）不透明的袋中装有大小、形状完全相同的5个白球和4个红球，从中随机摸出两个球，记X =0,1,⎧⎨⎩两球颜色相同两球颜色不同，求随机变量X 的分布列； （2）已知一批200件的待出厂产品中有1件次品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量Y 表示抽取的2件产品中的次品数，求Y 的分布列．【变式】袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红；1，两球非全红.求X 的分布列．【自主解答】 由题设可知X 服从两点分布 P (X ＝0)＝C 25C 215＝221，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1921.∴X 的分布列为题型七：超几何分布的应用【例7】生产方提供的某批产品共50箱，其中有2箱不合格品，采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格品，便接收该批产品．问该批产品被接收的概率是多少？【思路分析】将50箱产品看作50件“产品”，2箱不合格品看作2件“次品”，任取5箱中不合格品的箱数可以看作是任取5件“产品”中所含的次品数，根据公式可求概率． 【解析】从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格品的箱数”， 则X 服从参数为50N =，2M =，5n =的超几何分布．该批产品被接收的条件是5箱中没有不合格品或只有1箱不合格品， 所以被接收的概率为(1)P X ≤，【变式】袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X 的分布列，并求至少有一个红球的概率．【自主解答】 X ＝0,1,2,3，X ＝0表示取出的3个球全是黑球，P (X ＝0)＝C 35C 38＝1056＝528，同理P (X ＝1)＝C 13·C 25C 38＝3056＝1528，P (X ＝2)＝C 23·C 15C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 33C 38＝156.∴X 的分布列为至少有一个红球的概率为：P (X ≥1)＝1－28＝28.【强化练习】1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值的个数是 A ．5B ．9C ．10D ．25B 【解析】号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．故选B ．2．已知随机变量X 的分布列为()15k P X k ==，1,2,3,4,5k =A ．215B ．25C ．115D ．15D511521)2()1(=+==+=x P x P ，故选D ．3．已知X 是一个离散型随机变量，其分布列为则常数q 等于A ．1B CD C C ．4．一盒子中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则(4)P X ==A ．2201B．5527 C ．22027D ．2521 C 【解析】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，当盒中旧球的个数为4X =时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球，即取出的3个球中有2个旧球、1个新球，所以C ．5如图所示，A ，B 两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝____. 【答案】错误！未找到引用源。

离散型随机变量及其分布列知识集结知识元离散型随机变量及其分布列知识讲解1．离散型随机变量及其分布列【考点归纳】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，x n；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，p n，则得下表：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①p i≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+p n＝1．例题精讲离散型随机变量及其分布列例1.'袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同．（1）从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；（2）从袋中任取2个球，记取到红球的个数为ξ，求ξ的分布列、期望E（ξ）和方差D（ξ）．'例2.'甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为p，甲投篮3次均未命中的概率为，乙每次投篮命中的概率均为q，乙投篮2次恰好命中1次的概率为，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响．（1）若乙投篮3次，求至少命中2次的概率；（2）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X，求X的分布列和数学期望．'例3.'抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x，y．记[]表示的整数部分，如：[]=1，设ξ为随机变量，ξ=[]．（Ⅰ）求概率P（ξ=1）；（Ⅱ）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．'当堂练习解答题练习1.'玉山一中篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”和“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才能参加“三步上篮”测试．为了节约时间，每项测试只需且必须投中一次即为合格．小华同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为．假设小华不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中相互独立．（1）求小华同学两项测试均合格的概率；（2）设测试过程中小华投篮次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．'练习2.'某支教队有8名老师，现欲从中随机选出2名老师参加志愿活动，（1）若规定选出的至少有一名女老师，则共有18种不同的需安排方案，试求该支教队男、女老师的人数；（2）在（1）的条件下，记X为选出的2位老师中女老师的人数，写出X的分布列．'练习3.'装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．（1）以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；（2）求出赢钱（即X>0时）的概率．'练习4.'将10个白小球中的3个染成红色，3个染成黄色，试解决下列问题：（1）求取出3个小球中红球个数ξ的分布列；（2）求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率．'练习5.'新高考改革后，假设某命题省份只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等级考试，每年考两次，分别放在每个学年的上下学期，其余六科政治，历史，地理，物理，化学，生物则以该省的省会考成绩为准．考生从中选择三科成绩，参加大学相关院校的录取．（Ⅰ）若英语等级考试有一次为优，即可达到某“双一流”院校的录取要求．假设某考生参加每次英语等级考试事件是相互独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率为，求该考生直到高二下期英语等级考试才为优的概率（Ⅱ）据预测，要想报考某“双一流”院校，省会考的六科成绩都在95分以上，才有可能被该校录取假设某考生在省会考六科的成绩都考到95分以上的概率都是，设该考生在省会考时考到95以上的科目数为X求X的分布列及数学期望．'练习6.'某高中志愿者男志愿者5人，女志愿者3人，这些人要参加社区服务工作．从这些人中随机抽取4人负责文明宣传工作，另外4人负责卫生服务工作．（Ⅰ）设M为事件；“负责文明宣传工作的志愿者中包含女志愿者甲但不包含男志愿者乙”，求事件M发生的概率；（Ⅱ）设X表示参加文明宣传工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列与数学期望．'练习7.'今年学雷锋日，乌鲁木齐市某中学计划从高中三个年级选派4名教师和若干名学生去当学雷锋文明交通宣传志愿者，用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成文明交通宣传小组，学生的选派情况如下：（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）若从选派的高一、高二、高三年级学生中抽取3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高三年级学生的概率；（Ⅲ）若4名教师可去A、B、C三个学雷锋文明交通宣传点进行文明交通宣传，其中每名教师去A、B、C三个文明交通宣传点是等可能的，且各位教师的选择相互独立．记到文明交通宣传点A的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望。