实际问题与一元一次方程(1))

3.4 实际问题与一元一次方程（一）配套与工程问题一、选择题1．某车间有20名工人，生产螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母16个．如果分配x 名工人生产螺栓，其余的工人生产螺母，要恰好使每天生产的螺栓和螺母按1∶2配套．求x 所列的方程是( )A ．12x ＝16(20－x )B ．16x ＝12(20－x )C ．2×16x ＝12(20－x )D ．2×12x ＝16(20－x )2．41人参加运土劳动，有三十根扁担，要安排多少人抬（两人合用一根扁担），多少人挑（一人用一根扁担），可使扁担和人数刚好配套?若设有x 人挑土，则所列方程是（ ）A ．41)30(2=--x xB ．30)41(2=-+x x C ．30241=-+x x D ．x x -=-4130 3．在加固某段河坝时，需要动用15台挖土，运土机械，每台机械每小时能挖土18立方米或运土12立方米，为了使挖出的土能及时运走，若安排x 台机械挖土，则可列方程（ ）A ．151218=-xB ．)28(1218x x -=C ．)15(1812x x -=D ．151218=+x x4．某地下管道由甲工程队单独铺设需要20天，由乙工程队单独铺设需要30天．如果由这两个工程队从两端同时相向施工，总共需要( )A ．10天B ．12天C ．14天D ．16天5．某班组每天需生产了50个零件，才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前三天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x 个，则可列方程（ ）A ．1205x +－506x +＝3 B ．50x －506x +＝3 C ．50x －120506x ++＝3 D ．120506x ++－50x ＝3 二、填空题6．某中学的学生自己动手整修操场，如果让八年级学生单独工作，需要6小时完成；如果让九年级学生单独工作，需要4小时完成．现在由八年级、九年级学生一起工作x 小时，完成了任务．则=x ．7．某服装厂有工人54人，每人每天可加工上衣8件，或裤子10条，应怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？设x 人做上衣，则做裤子的人数为 人，根据题意，可列方程为 ，解得x ＝ ．8．某瓷器厂共有120个工人，每个工人一天能做200只茶杯或50只茶壶．如果8只茶杯和一只茶壶为一套，则安排 人生产茶壶可使每天生产的瓷器配套．9．甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，那么需要从乙队抽调_______人到甲队．三、解答题10．某生产车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使每天生产的产品配套？11．东方红机械厂加工车间有90名工人，平均每人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问一天最多可以生产多少套这样成套的产品？12．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个，或制盒底42个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有108张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？13．某玩具加工车间要赶在“6·1”儿童节前加工450个毛绒玩具，决定由甲、乙两班工人来完成．已知甲班工人每天做20个玩具，乙班工人的速度是甲班工人的1.5倍，问甲、乙两班工人需要做多少天才能完成任务？14．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．•已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，•求这一天有几个工人加工甲种零件．15．甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1 000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同．(1)正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？(2)现两人合作了这项工程的75%，因别处有急事，必须调走1人，问调走谁更合适些？为什么？3.4 实际问题与一元一次方程（一）配套与工程问题一、选择题1．D 2．C 3．C 4．B 5．C二、填空题6．512 7．)54(x -，)54(108x x -=，30 8．40 9．8 三、解答题10．设每天有x 个工人生产镜片，)60(x -个工人生产镜架，一副眼镜有一个镜架，2片镜片，故可以设方程为250)60(200⨯⨯-=x x 200x=（60-x ）*50*2方程两边同时除以100，得x x -=602解得20=x答： 20个工人生产镜片，40个工人生产镜架11．设一天最多可以生产x 套这样成套的产品， 由题意得90153202=+x x ，解得 300=x 答：一天最多可以生产300套这样成套的产品.12．设用x 张制盒身，则用)108(x -张制盒底正好制成整套罐头盒．列方程 )108(42152x x -=⨯ 解得：63=x 108－x =45答：用63张制盒身，则用45张制盒底正好制成整套罐头盒．13．设做x 天完成任务，由题意得450205.120=⨯+x x x解得：9=x答：甲、乙两班工人需要做9天才能完成任务。

一元一次方程应用题归类汇集一元一次方程应用题归类汇集：行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题数字问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。

（一）行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间S=vt（2）基本类型有①相遇问题；②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。

并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。

例：1、已知A、B相距60千米，甲位于A处，骑自行车，他的速度是每小时15千米，乙位于B处，开汽车，他的速度是每小时45千米。

（1）若他们同时相向而行，则经几小时他们相遇？（2）若他们相向而行，小明先骑车0.5小时，问几小时他们相遇？（3）若他们同时同向而行，则经几小时乙追上甲？（4）若他们同向而行，甲先骑车1小时以后，问乙经几小时追上甲？（5）若他们同向而行，甲先骑车1小时以后，发现他的一个重要文件在乙那里，因此掉头去拿，同时乙也开车给甲送去，问甲经几小时和乙碰到？（二）行船问题流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。

流水问题有如下两个基本公式：顺水速度=船速+水速（V顺=V静+V水）逆水速度=船速-水速（V顺=V静-V水）例：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

例一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？（四）和差倍分问题（生产、做工等各类问题）1. 和、差、倍、分问题：（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。

第三章第7课一元一次方程与实际问题(1)(和差倍分问题)-七年级上册初一数学（人教版）一、引言在初一数学的学习中，我们已经学习了一些基础的数学知识，比如整数、分数、小数等等。

本课将进一步引导我们应用这些知识解决实际生活中的问题。

具体而言，我们将学习一元一次方程与实际问题的关系，并通过解决一些和差倍分问题来巩固所学内容。

本文将详细介绍一元一次方程的概念以及如何应用它解决实际问题。

二、一元一次方程的概念1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程。

它的一般形式为：ax+b=0，其中a和b是已知数，x是未知数。

2. 解一元一次方程的方法解一元一次方程的基本思想是将方程中的未知数移到一边，把已知数移到另一边，使得方程两边相等。

这样，我们就可以通过计算找到未知数的值，进而解决问题。

常用的解一元一次方程的方法有两种：加减法消元法和代入法。

下面将分别介绍这两种方法的步骤。

2.1 加减法消元法加减法消元法的步骤如下：•将方程中含有未知数的项移到等号的一边，将已知数的项移到等号的另一边，使方程变为等式；•对等式进行化简，将未知数的项和已知数的项相加或相减，使得方程只剩下未知数的项；•进一步化简方程，得出未知数的值。

2.2 代入法代入法的步骤如下：•引入一个新的未知数，代表另一个已知数，通过这个新的未知数和已知数之间的关系，构建一个新的一个一元一次方程；•解这个新的一元一次方程，得到新的未知数的值；•将新的未知数的值代回原方程，解出未知数的值。

三、实际问题与一元一次方程的应用现在我们将通过一些实际问题的例子来演示如何应用一元一次方程解决实际问题。

例题1：甲、乙、丙三人合作完成一项工作，甲一天能完成$\\frac{1}{5}$，乙一天能完成$\\frac{1}{3}$，丙一天能完成$\\frac{1}{10}$。

问甲、乙、丙三人一起工作，需要多少天能完成这项工作？解题思路：设完成这项工作需要x天，根据题意，可得出以下方程：$$\\frac{1}{5}x + \\frac{1}{3}x + \\frac{1}{10}x = 1$$将方程两边的分数转化为相同的分母，得到：$$\\frac{6}{30}x + \\frac{10}{30}x + \\frac{3}{30}x = 1$$化简方程，得到：$$\\frac{19}{30}x = 1$$解方程，得到：$$x = \\frac{30}{19}$$所以，甲、乙、丙三人一起工作需要约1.579天才能完成这项工作。

实际问题与一元一次方程（配套问题）教学设计及反思一、教材分析本节知识是探究如何用一元一次方程解决实际问题。

在本章出现了很多题型如彳亍程问题、工程问题、配套问题、销售中的盈亏等, 这对学生掌握用一元一次方程解实际问题造成了很大的困扰。

在前面我们结合实际问题已经学习了如何利用相等关系列出一元一次方程以及如何解一元一次方程，本课讲述在此基础上我们进一步探究实际问题中的相等关系，讲述一元一次方程的应用，在课堂中教师出示例题，启发学生思考，师生共同探讨，让学生通过审题，根据应用题的实际意义，找出相等关系，列出有关一元一次方程，是本节的重点和难点，同时也是本章节的重难点。

本课讲述一元一次方程的应用题，为学生初中阶段学好必备的代数、几何的基础知识与基本技能，解决实际问题起到启蒙作用，以及对其他学科的学习的应用。

在提高学生的能力，培养他们对数学的兴趣以及对他们进行思想教育方面有独特的意义，同时，对后续教学内容起到奠基作用。

二、学情分析1.学生初学列方程解应用题时，往往弄不清解题步骤，不设未知数就直接进行列方程或在设未知数时，有单位却忘记写单位等。

2.学生在列方程解应用题时，可能存在三个方面的困难：（1）抓不准相等关系；（2）找出相等关系后不会列方程；（3）习惯于用小学算术解法，用代数方法分析应用题不适应，不知道要抓怎样的相等关系。

3.学生在列方程解应用题时可能还会存在分析问题时思路不同，列出方程也可能不同，这样一来部分学生可能认为存在错误，实际不是，作为教师应鼓励学生开拓思路，只要思路正确，所列方程合理，都是正确的，让学生选择合理的思路，使得方程尽可能简单明了。

4.学生在学习中可能习惯于用算术方法分析已知数与未知数，未知数与已知数之间的关系，对于较为复杂的应用题无法找出等量关系，随便行事，乱列式子。

5.学生在学习过程中可能不重视分析等量关系，而习惯于套题型，找解题模式。

三、教学目标1、通过教学使学生了解应用题的一个重要步骤是根据题意找出相等关系，然后列出方程，关键在于分析已知未知量之间关系及寻找相等关系，建立数学模型一列方程。

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一元一次方程解应用题（1）——路程问题教学目标：1.掌握行程问题，能够熟练地利用路程、速度、时间的关系列方程。

2.提高学生分析实际问题中数量关系的能力。

研究过程：基本等量关系：1.路程 = 速度 ×时间，时间 = 路程 ÷速度，速度 = 路程 ÷时间。

2.相向而行相遇时的等量关系：快者的路程 - 慢者的路程= 两人初相距的路程；同向而行追击时的等量关系：快者的路程 + 慢者的路程 = 两人初相距的路程。

新课探究：例1：甲、乙两站间的路程为360 km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48 km；一列快车从乙站开出，每小时行驶72 km。

⑴两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？⑵快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时相遇？练一：1.甲、乙两人骑自行车同时从相距65 km的两地相向而行，2小时相遇，甲比乙每小时多骑2.5 km，求乙的速度？2.甲、乙两人在运动场上进行慢跑晨练，甲跑一圈3分钟，乙跑一圈2分钟，两人同时同地反向慢跑，求两人几分钟后第一次相遇？例2：一队学生去校外进行野外长跑训练。

他们以5 km/h 的速度行进，跑了18分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队长。

一名老师从学校出发，骑自行车以14 km/h的速度按原路追上去。

这名老师用多少时间可以追上学生队伍？练二：1.甲的步行速度是每小时5 km，乙的步行速度是每小时7.5 km，乙在甲的后面同时同向出发，120分钟后追上甲，那么开始时甲、乙两人相距多少千米？2.某班学生以每小时4 km的速度从学校步行到校办农场参加活动，走了1.5小时后，XXX奉命回学校取一件物品，他以每小时6 km的速度回校取了物品后，立即又以同样的速度追赶队伍，结果在距农场2 km处追上了队伍，求学校到农场的距离。

巩固练：1.在800米圆形跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米。

人七上第三章3.4实际问题与一元一次方程练习（I）第1题. 为了搞活经济，商场一种商品A按标价的9折出售，仍可获利10%，若商品标价为33元，那么该商品进价为_______．答案：27元．第2题. 已知某商品降价80%后的售价为元，则该商品的原价为______元．答案：第3题. 商店对某种商品调价，按原价8折出售，此商品利润是10%，此商品进价为元．商品原价为元，打折后为______元，可列方程得______．答案：第4题. 某种商品的进货价每件为元，零售价为每件900元，为了适应市场竞争、商品按零售价的九折销售并让利40元，仍可获利10%，则元．答案：700第5题. 一种商品的售价为7.20元，利润是成本的20%，如果把利润提高到30%，那么要提高售价______元．答案：0.60第6题. 某种品牌的彩电降价30%以后，每台售价为元，则该品牌彩电每台原价应为( )A．元 B．元 C．元 D．元答案：Ｄ第7题. 某种商品的进货价为每件元，零售价为每件1100元，若商品按8折降价销售，仍可获利10%，则所列方程为( )A． B．C． D．答案：Ｄ第8题. 随着计算机技术的发展，电脑的价格不断降低，某品牌按原价降低元后，又降低20%，现售价元，若原电脑的售价为元，则根据题意，可列方程为( )A． B．C． D．答案：Ｃ第9题. 小红的母亲以七折的优惠给小红买了一套“李宁”牌运动服，省了45元，则小红的母亲实际花了多少元？答案：设实际花了元，则(45+)70%=，解得=105(元)第10题. 丽丽的妈妈到商场给她买了一件漂亮毛衣，售货员说：“这毛衣前两天打八折，今天又在八折的基础上降价10%，只卖144元．”丽丽很快算出了这件毛衣的原标价，你知道是多少元吗？答案：设原标价为元，则80%(1-10%)=144，=200(元)第11题. 商场对某种彩电作调价，按原价的八折出售，此时商品的利润是10%，此彩电进价为1600元，那么这种彩电的原价是多少？答案：设彩电原价为元，80%(元)第12题. 某种商品的进价是215元，标价是258元，现要最低获得14%的利润，这种商品应最低打几折销售？答案：设这种商品最低打折销售，第13题. 乙种商品的进价比甲种商品的进价多16元，但标价却低4元，可获利润10%，若甲种商品的标价是411元，甲种商品的进价是多少元？答案：设甲种商品的进价是元，(元)第14题. 某种品牌的篮球降价20%后，每个售价为元，则该品牌篮球每个的原价为______．答案：1.25第15题. 某商店把进价为1980元的某商品按标价的八折出售，仍获利10%，则该商品的标价为( )A．2160元 B．2613.6元 C．2640元 D．2722.5元答案：Ｄ第16题. 某商品的销售价格每件900元，为了参加市场竞争，商店按售价的九折再让利40元销售，些时仍可获利10%，此商品的进价为______．答案：700元．第17题. 一家商店将某种型号彩电先按原价提高40%，然后在广告写上“大酬宾、八折优惠”，经顾客投诉后，执法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价．答案：设每台彩电的原售价为元，根据题意，列方程为，解得(元)答：每台彩电原售价为2250元．第18题. 某品牌的摩托车提价25%后，要恢复原价，应降价( )A．15% B．20% C．25% D．40%答案：B第19题. 某种商品的零售价为元，顾客以八折的优惠购买此商品，需付款______元答案：第20题. 某商品按进价的百分之几标价，然后再８折优惠销售，这件商品的获利率仍为20％．答案：设该商品的进价为元，按进价的％标价可满足要求．据题意得解得第21题. 某商品降价20%后，欲恢复原价，则提价百分数为___________．答案：25％第22题. 某商店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个赢利60％，另一个亏本20％，则在这次买卖中，这家商店___________元（填赚或亏的数目）．答案：赚８元第23题. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案．方案一：将蔬菜全部进行精加工．方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．你认为选择哪种方案获利最多？为什么？答案：方案一：获利为（元）．方案二：15天可精加工（吨），说明还有50吨需要在市场直接销售，故可获利（元）方案三：可设将吨蔬菜进行精加工，将吨进行粗加工，依题意得，解得．故获利（元）．综上，选择方案三获利最多．。