几何学3

初中数学经典几何模型专题03 一线三垂直模型构造全等三角形【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）常见的两种图形：图1 图21、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.当α=45°时，求△EAD的面积.当α=30°时，求△EAD的面积当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.2、如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG 交于点P，求证：BC=2AP3、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.4、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是△ABC的高AD、BE的交点，已知CD=4，AF=2，则线段BC 的长为（）5、如图所示，直线α经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B,D作DE⊥α于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（）6、如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）7、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求BD证：CE=12【基础训练】1、如图，在平面直角坐标系中，等腰R t△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.2、已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于点B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点.如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证BM=CN.在（1）的条件下，直接写出线段AM、CN与AC的数量关系_______3、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论.4、如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D在线段BC上，∠BDE=1∠C,BE⊥DE，垂足为E，DE与AB2DF.交于点F，求证：BE=125、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD 证明：BF平分∠ABC证明：AB+AE=BC【巩固提升】1、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC,AP⊥PC,求证：△ABP≌△PDC2、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB 为边在x轴上作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E。

三角形相似的判定（第3课时）引言在几何学中，相似是一个重要的概念。

相似指的是两个或多个几何图形在形状上相似，尺寸可能不同。

在本文中，我们将讨论与三角形相似性相关的判定方法。

什么是相似的三角形？两个三角形被认为是相似的，当且仅当它们的相应边比例相等，并且对应的角度相等。

这可以表示为以下条件：1.两个三角形的边比例相等：$\\frac{AB}{DE} = \\frac{BC}{EF} =\\frac{AC}{DF}$其中AB、BC和AC是一个三角形的边长，DE、EF和DF是另一个三角形的相应边长。

2.两个三角形的对应角度相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F三角形相似的判定方法以下是几种常见的判定方法用于确定两个三角形是否相似。

AAA判定法AAA判定法是基于对应角度相等的原则，其中AAA代表三个对应角度的首字母。

如果两个三角形的三个对应角度相等，那么它们是相似的。

这可以表示为以下条件：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠FAA判定法AA判定法是基于两个对应角度相等和一个对应边长比例相等的原则，其中AA代表两个对应角度的首字母。

如果两个三角形的两个对应角度相等，并且一个对应边的比例相等，那么它们是相似的。

这可以表示为以下条件：∠A = ∠D，∠B = ∠E，并且$\\frac{AB}{DE} = \\frac{BC}{EF} = \\frac{AC}{DF}$SAS判定法SAS判定法是基于一个对应边长比例相等和两个对应边之间的夹角相等的原则，其中SAS代表边-角-边。

如果两个三角形的一个对应边的比例相等，并且两个对应边之间的夹角相等，那么它们是相似的。

这可以表示为以下条件：$\\frac{AB}{DE} = \\frac{BC}{EF} = \\frac{AC}{DF}$，且∠B = ∠ESSS判定法SSS判定法是基于三个对应边的比例相等的原则，其中SSS代表三个对应边的首字母。

【数学概观】三种⼏何学的并存三种⼏何并存⼀、泰勒斯——推理⼏何学的⿐祖⼏何学四千年前发源于古埃及，当时主要是⼈对⾃然界的有意识的改造与创新（发明车轮，建筑房屋、桥梁、粮仓，测量长度，确定距离，估计⾯积与体积等）⽽出现的实验⼏何学。

公元前七世纪， “希腊七贤”之⼀的泰勒斯到埃及经商，掌握了埃及⼏何学，传回希腊。

那时，希腊社会安定，经济繁荣，⼈类对仅仅知道“如何”之类的问题已不满⾜，他们还要穷究“为何”。

于是演绎推理⽅法应运⽽⽣，以泰勒斯为⾸的爱奥尼亚学派将⼏何学由实验⼏何学发展为推理⼏何学。

关于泰勒斯的学术⽣平虽然没有确切的可靠材料，但下述五个命题的发现应归功于泰勒斯：（1）圆被任⼀直径⼆等分；（2）等腰三⾓形两底⾓相等；（3）两条直线相交，对顶⾓相等；（4）如果两个三⾓形有⼀条边和这条边上的两个⾓对应相等，则这两个三⾓形全等；（5）内接于半圆的⾓是直⾓。

泰勒斯的重要贡献不仅仅在于他发现了上述命题，更重要的是他提供了某种逻辑推理⽅法。

这样，泰勒斯成为第⼀个在数学中运⽤证明的⼈，他的贡献是数学发展史上的⼀个⾥程碑。

关于泰勒斯，还有很多有趣的传说故事。

⽐如（1）骡⼦打滚据说，泰勒斯在其早年的商务活动中，经常⽤骡⼦运盐做买卖，有⼀次过河时，这头骡⼦滑倒了，盐被河⽔溶解了⼀部分，起来后感觉负担减轻很多。

从此以后，这头骡⼦每次过河都要打⼀个滚。

为了改变这头骡⼦的恶习，有⼀天，泰勒斯让这头骡⼦驮着海绵过河。

这样，骡⼦越打滚越沉，骡⼦因此再也不敢故伎重演了。

（2）不结婚免痛苦有⼀天，也是当时 “希腊七贤”之⼀的雅典执政官梭伦（Solon, 约公元前630---前560）问泰勒斯为什么⼀辈⼦不结婚，泰勒斯当时没有回答。

⼏天之后，泰勒斯让⼈找到梭伦家，传给他⼀个假消息，声称⾃⼰⼏天前曾去过雅典，听说梭伦在雅典游历的⼉⼦被杀⾝亡，梭伦听了很伤⼼。

正当梭伦异常伤⼼时，泰勒斯跑来告诉他说：“您的⼉⼦根本没有事，我只是想告诉您我为什么⼀辈⼦不结婚。

罗胖子数学几何韬略之几何基础 (3)罗胖子数学几何韬略之几何基础 (3)数学几何作为数学的一个重要分支，其研究对象是空间中的图形和它们之间的关系。

在数学几何的学习过程中，几何基础是至关重要的一部分，它包括了几何中的基本概念、基本定理以及基本推理方法。

在本文中，将继续介绍几何基础的内容，帮助读者更好地理解和掌握几何学的基本知识。

一、线段与直线线段是几何中最基本的一个概念，它是由两个不同的点确定的，可以表示为AB。

直线是由无数个点连成的，可以用有向线段或者符号表示。

在线段和直线之间有以下的基本关系：1. 一个点只能在唯一的一条直线上，一个点在一条线段上当且仅当它在这条线段所在的直线上并且它在这条线段的两个端点之间。

2. 如果两条直线有一个公共的点，则这两条直线可以重合。

二、角的概念与分类在几何中，角是由两条射线共同起点所确定的，可以用∠ABC来表示，其中A为顶点，B和C为射线。

根据角的大小可以将其分为以下几类：1. 零角：零角是指两条射线重合在一起的情况，可以用∠ABC=0表示。

2. 锐角：锐角是指两条射线之间的夹角小于90°的角，可以用0<∠ABC<90°表示。

3. 直角：直角是指两条射线之间的夹角等于90°，可以用∠ABC=90°表示。

4. 钝角：钝角是指两条射线之间的夹角大于90°但小于180°的角，可以用90°<∠ABC<180°表示。

5. 平角：平角是指两条射线之间的夹角等于180°，可以用∠ABC=180°表示。

三、图形的性质与分类图形是几何中的重要内容，不同的图形有着不同的性质和分类。

下面介绍一些常见的图形及其相关性质：1. 三角形：三角形是由三条线段所围成的图形。

根据边长的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

根据角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

三的数学符号【最新版】目录1.引言：介绍“三”的特殊性和其在中文中的象征意义2.“三”的数学符号：详述“三”在不同数学领域的符号表示3.“三”在几何学中的应用：描述“三”在几何学中的重要性和应用4.“三”在代数学中的应用：描述“三”在代数学中的重要性和应用5.“三”在其他数学领域的应用：简述“三”在其他数学领域的应用6.结论：总结“三”在数学中的重要性和象征意义正文一、引言在阿拉伯数字中，“三”是一个独特的数字，它代表着一种特殊的含义和象征。

在东方文化中，特别是中国文化中，“三”具有丰富的象征意义，如三足鼎立、三生有幸等。

因此，“三”不仅仅是一个简单的数字，更是一种文化符号。

本文将探讨“三”在数学领域的符号表示及其应用。

二、“三”的数学符号“三”在不同的数学领域中有不同的符号表示。

在几何学中，“三”表示为三角形；在代数学中，“三”表示为三次方程；在统计学中，“三”表示为三个变量的关系等。

这些符号表示不仅体现了“三”的数量特征，更反映了其在数学领域的重要地位。

三、“三”在几何学中的应用在几何学中，“三”具有举足轻重的地位。

三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有稳定性、角度和边长关系等特性。

在实际应用中，三角形被广泛应用于建筑、工程和设计等领域。

此外，四面体、三棱锥等三维图形也以“三”为基础，进一步展现了“三”在几何学中的重要性。

四、“三”在代数学中的应用在代数学中，“三”同样具有重要意义。

三次方程是代数学中的一个基本课题，它描述了三个变量之间的关系。

解三次方程可以运用韦达定理、卡尔丹公式等方法。

此外，三次多项式、三次函数等概念也与“三”密切相关。

五、“三”在其他数学领域的应用除了在几何学和代数学中，“三”在其他数学领域也有广泛应用。

例如，在组合数学中，三元组是一种基本的组合形式；在概率论中，三个变量的联合分布概率是研究概率分布的一个重要课题。

这些应用都充分体现了“三”在数学领域的重要性。

六、结论综上所述，“三”在数学领域具有举足轻重的地位，它不仅在不同的数学领域中有不同的符号表示，还具有丰富的应用。

高中数学选修三高中数学选修三：一、课程简介1、高中数学选修三是一门必修课程，其主要内容包括几何学、概率、统计学以及科学计算技术。

它位于高中数学课程体系的中心，是高中数学学习的重要组成部分。

2、课程主要包括：几何学重点学习解析几何、体积、面积计算，概率学理解概率的概念，统计学理解数据的分布现象，科学计算技术在日常生活中运用以及处理与其它数学软件的应用。

3、课程的目的在于：让学生熟悉数学知识的内容，能够更好的理解和应用，以培养学生的分析能力和思维能力。

二、课程的学习方法与技巧1、认真学习：对比学习中重点掌握的知识点，用脑力与实践把知识点做到深入地掌握。

2、多联系：创造一定条件让学生在理论和实际中联系起来，总结出相应的解题思路和技巧。

3、多问答：在具体的知识点上，重点引导学生多参与问答，反复论证、推理，从而深刻理解习题解答思路。

4、多实践：运用有关软件编制程序，通过不断修改练习程序，熟练掌握计算的技巧和方法，使其成为解决实际问题的有效工具。

三、课程的考核方法1、定期考核：定期考核是评价学生学习程度的基本形式，包括单元测试、小测验。

2、作业考核：对计划完成的作业质量和完成时间进行评分，考核学生的理解能力和效率。

3、实践中的考核：它包括实验考核和实践环节的考核，能够有效的评价学生的实操能力和编程技能。

4、期末考核：期末考核是期末考试，以考查学生的知识掌握程度和综合运用能力。

四、总结高中数学选修三是一门必修课程，其重点学习内容包括几何学、概率、统计学以及科学计算技术。

它是高中数学学习中一个中心环节，考核学习成绩的也是一个重要环节。

学习需要认真理解、多联系实际，在实践中多练习编程技能以及数学有关软件的应用，通过定期小测验、作业考核和期末考试，来评价学生的掌握程度和实际能力。

JG几何专题学习3姓名1．（1）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P，求证：BE＝AD．（2）如图2，在△BCD中，若∠BCD＜120°，分别以BC，CD和BD为边在△BCD外部作等边△ABC，等边△CDE，等边△BDF，连接AD、BE、CF恰交于点P．①求证：AD＝BE＝CF；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB，PC，PD与BE存在怎样的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ABC+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD；（2）①证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AB＝BC，CD＝BE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，同理：△ABD≌△CBF（SAS），∴AD＝CF，即AD＝BE＝CF；②解：结论：PB+PC+PD＝BE，理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则∠AQC＝∠BQP，由①知，△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACQ中，∠CAD+∠AQC＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠CBE+∠BQP＝120°，在△BPQ中，∠APB＝180°﹣（∠CBE+∠BQP）＝60°，∴∠DPE＝60°，同理：∠APC＝60°，∴∠CPD＝120°，在PE上取一点M，使PM＝PC，∴△CPM是等边三角形，∴CP＝CM，∠PCM＝∠CMP＝60°，∴∠CME＝120°＝∠CPD，∵△CDE是等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝60°＝∠PCM，∴∠PCD＝∠MCE，∴△PCD≌△MCE（SAS），∴PD＝ME，∴BE＝PB+PM+ME＝PB+PC+PD．2．已知：△ABC为等边三角形．（1）如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE．i）求证：△ABD≌△BCE；ii）求∠AFE的度数；（2）如图2，点D为△ABC外一点，BA、CD的延长线交于点E，连接AD，已知∠BDC ＝60°，且AD＝2，CD＝5，求BD的长；（3）如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边△ABC，连接AD，直接写出当线段AD取最大值与最小值时∠BDC的度数．【解答】（1）i）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS）．ii）解：如图1中，∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠AFE＝∠FBA+∠BAD＝∠FBA+∠CBE＝∠CBA＝60°．（2）解：如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，∵∠CDJ＝60°，CJ＝CD，∴△CDJ是等边三角形，∴∠JCD＝∠ACB＝60°，DJ＝DC＝CJ，∴∠BCJ＝∠ACD，∵CB＝CA，∴△BCJ≌△ACD（SAS），∴BJ＝AD，∴BD＝BJ+DJ＝AD+DC＝2+5＝7．（3）解：如图3中，以CD为边向外作等边△CDT，连接BT．∵CT＝CD，CB＝CA，∠TCD＝∠BCA＝60°，∴∠TCB＝∠DCA，∴△TCB≌△DCA（SAS），∴BT＝AD，∵CT＝CD＝2，BD＝3，∴3﹣2≤BT≤3+2，∴1≤BT≤5，∴1≤AD≤5．∴AD的最小值为1，最大值为5．当AD取最小值时，点T落在线段BD上，∠BDC＝60°，当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，∠BDC＝120°．3．已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．①若∠ABD＝30°，DE＝，求BF的长度；②求证：DG＝EF﹣FG；（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）①如图1，过F作FN⊥BD于点N，∵△BED为等腰直角三角形，DE＝，∴在Rt△EBD中，，设FN＝x，在Rt△FBN与Rt△FDN中，，∵BN+ND＝BD，∴，∴；②证明：如图2，在ED上截取EH＝DG，连接BH，∵DG⊥DE，BD＝BE，∴∠E＝45°，∠BDG＝∠EDG﹣∠EDB＝45°，∵在△EBH与△DBG中，∴△EBH≌△DBG（SAS）∴BH＝BG，∠EBH＝∠DBG，∴∠HBG＝∠DBG+∠HBD＝∠EBH+∠HBD＝90°，又∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ABC＝∠HBA＝45°，∵在△FHB与△FGH中，∴△FHB≌△FGB（SAS），∴HF＝FG，∴DG＝EH＝EF﹣HF＝EF﹣FG，∴DG＝EF﹣FG；（2）PE＝PG+DG．证明：如图3，在EP上截取EM＝DG，连接BM，∵DG⊥BD，EP⊥BE，∴∠PEB＝∠BDG＝90°，∵在△DBG与△MEB中，∴△DBG≌△MEB（SAS），∴BG＝BM，∠DBG＝∠EBM，∴∠MBC＝∠MBD+∠DBG＝∠MBD+∠MBE＝90°，∴∠MBP＝∠PBC＝45°，∵在△GBP与△MBP中，∴△GBP≌△MBP（SAS），∴PG＝PM，∴PE＝PM+EM＝PG+DG，∴PE＝PG+DG．4．如图①，在▱ABCD中，AD＝BD＝2，BD⊥AD，点E为对角线AC上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF．（1）求证BF＝AE；（2）若BF所在的直线交AC于点M，求OM的长度；（3）如图②，当点F落在△OBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF的面积．【解答】证明：（1）∵DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，∵AD＝BD，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴BF＝AE；（2）过D作DN⊥AO于N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO＝1，∵△ADE≌△BDF，∴∠DAE＝∠DBF，∵∠ADB＝90°，∠AOD＝∠BOC，∴∠DAE+∠AOD＝∠DBF+∠BOC＝90°，∴∠BMO＝90°，∵∠DNO＝∠BMO＝90°，∠DON＝∠BOM，BO＝DO，∴△DON≌△BOM（AAS），∴OM＝ON，∵AD＝2，DO＝1，∠ADB＝90°，∴AO＝＝＝，∵S△ADO＝AD×DO＝×AO×DN，∴DN＝＝，∴NO＝＝＝，∴OM＝ON＝；（3）如图，将△DEN绕点D逆时针旋转90°得到△DFG，∴DG＝DN，∠DNE＝∠DGF＝90°，∠DEN＝∠DFG，∵∠EDF＝∠FME＝90°，∴∠DEM+∠DFM＝180°，∴∠DFG+∠DFM＝180°，∴点G，点F，点M三点共线，∵∠DGF＝∠DNM＝∠FMN＝90°，∴四边形DNMG是矩形，又∵DN＝DG，∴四边形DNMG为正方形，∴S四边形DEMF＝S四边形DNNG＝（）2＝．5．综合与实践问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．猜想证明：（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．【解答】解：（1）四边形BE'FE是正方形，理由如下：∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，又∵∠BEF＝90°，∴四边形BE'FE是矩形，又∵BE＝BE'，∴四边形BE'FE是正方形；（2）CF＝E'F；理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH＝AE，DH⊥AE，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE＝AE，∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴AE＝CE'，∵四边形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F，∴E'F＝CE'，∴CF＝E'F；（3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，∵四边形BE'FE是正方形，∴BE'＝E'F＝BE，∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，∴225＝E'B2+（E'B+3）2，∴E'B＝9＝BE，∴CE'＝CF+E'F＝12，由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，∴HE＝3，∴DE＝＝＝3．6．如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G．（1）求证：CG＝CE；（2）如图2，连接FC、AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE．（3）如图3，若G为DC中点，AB＝2，求EF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，∵BF⊥DE，∴∠DFG＝∠BCG＝90°，∵∠DGF＝∠BGC，∴∠GBC＝∠EDC，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴CG＝CE；（2）证明：∵BF平分∠DBE，BF⊥DE，∴DF＝EF，∴CF是Rt△DCE的中线，∴CF＝EF，∴∠E＝∠FCE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBE＝∠ACB＝45°，∵BF平分∠DBE，∴∠FBE＝∠DBE＝22.5°，∴∠E＝90°﹣∠FBE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠FCE＝67.5°，∴∠ACF＝180°﹣∠FCE﹣∠ACB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠ACF＝∠FEC，∴CF平分∠ACE；（3）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD＝AB＝2，∵G为DC中点，∴CG＝GD＝CD＝1，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG＝＝＝，设GF＝x，在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得：BD2﹣BF2＝DF2，DG2﹣GF2＝DF2，∴（2）2﹣（+x）2＝12﹣x2，解得：x＝，∴DF2＝12﹣（）2＝，∴DF＝，由（1）知：△BCG≌△DCE，∴BG＝DE＝，∴EF＝DE﹣DF＝﹣＝．。