柯西不等式的应用技巧

柯西不等式的应用技巧一、求解极值问题∫[a,b] f(x)g(x)dx ≤ √[∫[a,b] f^2(x)dx] * √[∫[a,b]g^2(x)dx]，其中等号成立来自于两个函数的线性相关性。

利用柯西不等式，我们可以求解函数的最大值和最小值。

以求解函数f(x)=x(1-x)在区间[0,1]上的极值为例，我们可以将f(x)表示为f(x)=x-x^2，进而应用柯西不等式得到：∫[0,1] x(1-x) dx ≤ √[∫[0,1] x^2 dx] * √[∫[0,1] (1-x)^2 dx]=√[1/3]*√[1/3]=1/3所以函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为1/3二、求解积分问题以求解积分∫[0,1] (x^2 + 1) dx为例，我们可以构造一个辅助函数g(x) = 1，然后应用柯西不等式得到：∫[0,1] (x^2 + 1) dx ≤ √[∫[0,1] (x^2 + 1)^2 dx] *√[∫[0,1] 1^2 dx]计算得到：∫[0,1] (x^2 + 1) dx ≤ √[∫[0,1] (x^4 + 2x^2 + 1) dx] *√[1]=√[1/5+2/3+1]=√[(5+10+15)/15]=√[2]所以∫[0,1] (x^2 + 1) dx ≤ √2三、求解概率问题以证明概率分布函数的Cauchy-Schwarz不等式为例，假设X和Y是两个随机变量，它们的概率分布函数分别为f(x)和g(x)。

根据柯西不等式，我们有：E(XY)^2≤E(X^2)E(Y^2)，其中E(表示期望。

通过柯西不等式，我们可以证明两个随机变量的相关系数的上限为1、若X和Y的相关系数为ρ，则根据定义有：ρ = Cov(X,Y) / (σ(X)σ(Y))其中Cov(X,Y)表示X和Y的协方差，σ(X)和σ(Y)表示X和Y的标准差。

我们可以利用柯西不等式证明：ρ，≤1四、其他应用总结起来，柯西不等式是一个在线性代数中非常有用的工具。

柯西不等式的应用技巧
柯西不等式是指对于凸的函数f的任何实数可以进行如下不等式的谓词：f(x) ≤ f(y) + f'(y)*(x-y)，这里f'(y)表示y点处函数f的导数。

柯西不等式可以
用来推断函数f在任何给定点处拥有特定属性，其特性更适用于凸函数。

柯西不等式可以用于求凸函数的极值，其可以把函数的极值分解为一系列的数
学运算，只有当所有的函数值都子满足柯西不等式的限制时，才能够换取到函数的极值。

柯西不等式其极大值点和极小值点也可以由其求出，而不需要考虑函数可能存在的复杂变化。

柯西不等式可以用来求解优化问题，可以把未知数量和变量映射到相应的函数，如果不满足柯西不等式，则可以构建一个优化问题求解未知变量，此时优化问题可以被视为最小化或最大化某一函数。

柯西不等式可以确保求解的可行性，同时可以加快优化的速度，将复杂的多变量求解转变为更简单的一维求解。

柯西不等式广泛应用于概率计算。

在概率论中，可以根据柯西不等式计算出概
率变量以及其相关的定义域范围，这允许概率论家以可视化的方式解决复杂的统计问题。

换句话说，只要满足某种柯西不等式，这些分析问题就可以被解决，比如联合概率分布，条件概率分布等。

总而言之，柯西不等式是一种极其重要的基础工具，其可用于求凸函数的极值，求解优化问题，甚至在概率计算上也有极大的作用。

思路探寻思路探寻所以()2a+3b+2æèöø1a+1+2b≥()2+62=8+43，所以1a+1+2b≥3，当且仅当a+1b=时，1a+1+2b的最小值为2+3，故A选项正确；对于B，由柯西不等式可得()a2+b2()22+32≥(2a+3b)2，所以a2+b2≥413，当且仅当3a=2b时，a2+b2的最小值413，故B选项正确；对于C，由柯西不等式得2a+1+3b+2≤()12+12éëêùûú()2a+12+()3b+22=10，当且仅当2a=3b+1时，2a+1+3b+2的最大值为10，故C选项正确；对于D，由柯西不等式可得，éëêùûú()2a+12+()3b+62⋅éëêêùûúúæèçöø÷2a2a+12+æèçöø÷3b3b+62≥æèçöø÷2a+1∙2a2a+1+3b+6∙3b3b+62，所以()2a+3b+7æèçöø÷4a22a+1+3b2b+2≥()2a+3b2，即4a22a+1+3b2b+2≥49，当且仅当b=4a时，4a22a+1+3b2b+2的最小值为49，故D选项错误.因此本题的答案为ABC.本题四个选项中的代数式均较为复杂，且均含有双变量，需运用二维柯西不等式来求解，分别通过分离常数、凑系数、开方、平方等方式，配凑出两式的和与积，进而运用二维柯西不等式求得最值.例5.求函数f()θ=sinθ2+cosθ的最值.解：令sinθ2+cosθ=t，则sinθ-t cosθ=2t，由柯西不等式可得：()sinθ-t cosθ2≤()sin2θ+cos2θ()1+t2，所以4t2≤1+t2，解得≤t≤，所以函数f()θ=sinθ2+cosθ的最大值为，最小值为.我们先令sinθ2+cosθ=t，即可将分式化为整式，要求得t的最值，就需将变量θ消去，于是联想到同角三角函数的平方关系式sin2θ+cos2θ=1，便构造出1+t2，进而运用二维柯西不等式，得到关于t的一元二次不等式，通过解不等式得出t的范围，即为该函数的值域.例6.已知x,y,z满足x+y+z=1，求x2+4y2+9z2的最小值.解：由柯西不等式可得：éëêùûú12+æèöø122+æèöø132∙[x2+()2y2+()3z2]≥()x+y+z2，即4936∙()x2+4y2+9z2≥1，所以x2+4y2+9z2≥3649，当且仅当x=4y=9z时取等号，所以x2+4y2+9z2的最小值为3649.本题中涉及了三个变量，于是结合式子x+y+z=1和x2+4y2+9z2的特点，联想到三维柯西不等式，通过构造因式12+æèöø122+æèöø132，来配凑出三维柯西不等式()a21+a22+a23()b21+b22+b23≥()a1b1+a2b2+a3b32中的式子，进而运用三维柯西不等式解题.例7.已知直线l:ax-by+2=0(a>0,b>0)经过点(-1,2)，求当2a+1b取得最小值时直线l的斜率.解：由题设可知，-a-2b+2=0，即a+2b=2，由柯西不等式可得éëêùûú()a2+()2b2⋅éëêêùûúú2+2≥æèça∙+2b∙2，所以()a+2bæèöø2a+1b≥8，2a+1b≥4，当且仅当a=2b时，2a+1b取得最小值，此时直线l的斜率k=ab=2.对于本题，我们需先根据已知条件求得a+2b=2；然后将式子2a+1b变形为2+2，将其与式子()a2+()2b2中的对应项相乘得到定值，即可运用二维柯西不等式求得2a+1b的最小值；最后根据柯西不等式取等号的条件和直线的斜率公式可得出l的斜率.二、用柯西不等式解方程利用柯西不等式解方程或者解方程组，主要是利用柯西不等式取等号的条件来求得方程或者方程组的解.44思路探寻例8.已知sinα-3cosα=10，求tanα的值.解：由柯西不等式可得()sinα-3cosα2≤()sin2α+cos2α[]12+()-32≤10，即sinα-3cosα≤10，当且仅当-3sinα=cosα，即tanα=-13时等号成立.本题是一道三角方程问题.在解方程时，需利用二维柯西不等式取等号的条件和同角三角函数的商式关系式求得tanα的值.例9.若p，q，m，r，s，t为实数，p2+q2+m2=4，r2+s2+t2=9，pr+qs+mt=6，则p+q+mr+s+t=______.解：由柯西不等式可得：()p2+q2+m2()r2+s2+t2≥()pr+qs+mt2，当且仅当pr=qs=m t时取等号，令pr=k，则p+q+mr+s+t=k，将p=kr，q=ks，m=kt代入pr+qs+mt=6，可得k()r2+s2+t2=6，解得k=23，所以p+q+mr+s+t=23.本题是解方程问题，利用了三维柯西不等式取等号的条件建立方程组，最终通过恒等变换求得p+q+mr+s+t的值.三、利用柯西不等式证明不等式柯西不等式是证明不等式的重要工具.在证明不等式时，首先要明确已知关系式和目标式的结构特征，用柯西不等式来搭建“桥梁”，使已知关系式和目标式建立联系；再合理配凑两式的和或积，运用柯西不等式证明不等式.例10.已知a>0，b>0，a2+b2=8，（1）求证：a+b≤4；（2）≥2.证明：（1）由柯西不等式可得()a+b2≤()12+12()a2+b2，所以()a+b2≤16，所以a+b≤4，当且仅当a=b=2时等号成立；（2）由柯西不等式可得：()a2+b2æèçöø÷1a2+32b2≥æèöøa∙1a+b∙3b2，所以8æèçöø÷1a2+9b2≥16≥2，当且仅当3a b=b a，即a=2，b=6时等号成立.第（1）问的目标式为a+b≤4，需根据二维柯西不等式将其与已知条件a2+b2=8关联，配凑出12+12，使其与a2+b2=8相乘，得出()a+b2≤(12+12)⋅()a2+b2.第（2）问的目标式为≥2，需将该式左边的两式分别与a2、b2相乘，得到常数，即可运用柯西不等式求得1a2+9b2的最小值.例11.已知a，b，c都为正实数，且a+b+c=3，证明：2a+1+2b+1+2c+1≤33.证明：由柯西不等式可得，()2a+1+2b+1+2c+12≤()12+12+12[]()2a+1+()2b+1+()2c+1，所以()2a+1+2b+1+2c+12≤3×9，所以2a+1+2b+1+2c+1≤33，当且仅当12a+1=12b+1=12c+1，即a=b=c=1时等号成立.解答本题主要运用了三维柯西不等式，需先结合已知关系和目标式的结构特点，配凑出12+12+12、()2a+1+()2b+1+()2c+1；再运用三维柯西不等式证明结论.例12.已知a，b，c都是正数，且a+b+c=1.求证：a2b+b2c+c2a≥1.证明：因为a，b，c都是正数，由柯西不等式可得，()a+b+cæèçöø÷a2b+b2c+c2a=éëêùûú()a2+()b2+()c2⋅éëêêùûúúæèçöø÷ca2+æèçöø÷ab2+æèçöø÷bc2≥æèçöø÷a∙ca+b∙ab+c∙bc2=()c+a+b2=1，所以a2b+b2c+c2a≥1，当且仅当a=b=c=13时取等号.先将a2b+b2c+c2a中的单项式改变位置，可化为c2a+a2b+b2c；再将其与因式()a+b+c相乘，即可运用三维柯西不等式证明不等式成立.当遇到此类问题时，为了便于运用柯西不等式，需要重新排列各个单项式的位置，以便得到定值.总之，在运用柯西不等式解题时，要注意将代数式进行合理的变形，常用的变形技巧有拆常数项、添项、补项、更换单项式的位置、开方、平方、凑分母、凑分子等，使两个多项式中的对应项的积为定值，或几个单项式的和为定值，为运用柯西不等式创造条件.（作者单位：福建省厦门市杏南中学）45。

柯西不等式的使用
柯西不等式用在二维形式、向量形式、三角形式、概率论形式、积分形式与一般形式中。

柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中十分广泛的应用，在高等数学提升中与研究中非常重要。

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用分式中的方法。

3、运用两个特别极限。

4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

6、等阶无穷小代换。

7、夹挤法。

这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。

8、特殊情况下，化为积分计算。

9、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。

由柯西不等式的几种证法所挖掘出的解题技巧邓军民（广州市育才中学数学科）柯西不等式：设n n b b b a a a ,......,,;,......,,2121为两组实数，则()()()222212222122211.n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++当且仅当时取等号，，，，约定)210(2211n i a a b a b a b i nn =≠===。

柯西不等式证法一：构造二次函数（n i a i ，，， 21,0=≠）()()()()2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a x f +++++++-+++=()()()()()()()()()()时取等号。

即，，当且仅当nn n n nn n n n n n n n n a b a b a b b x a b x a b x a b b b a a a b a b a b a b b b a a a b a b a b a b x a b x a b x a x f ====-=-=-++++++≤+++∴≤++++++-+++=∆∴≥-++-+-= 2211221122221222212221122221222212221122222110000440这种证法则是利用了二次函数()()∑=-=ni i i b x a x f 12的两个特点：（1）、二次项系数大于0 ；（2）、函数值 ()0,0≤∆≥则可得出结论：x f 。

有些不等式题则可根据已知条件和条件的特点，巧妙地构造二次函数()()∑=-=ni i i b x a x f 12，从而利用()0≥x f 恒成立，0≤∆来求解。

例1、 设()n i x i ,2,10=>，求证：n n x x x x x x xx x +++≥+++ 2112322221()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-++++=∴=>123222212121322,2,10x x x x x x x x x x x x x x x x f n i x n n n i 可构造函数证明：21123232212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x x x x x n()()()()()nn n nn nn n x x x x x x x xx x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x f ++++≥+++∴+++≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++∴≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-+++=∆∴≥ 3211232222122112322221132123222211322210440恒成立例2、已知实数a 、b 、c 、d 满足a+b+c+d=3,56322222=+++d c b a ,试求a 的最大值和最小值。

柯西不等式各种方式的证实及其利用之杨若古兰创作柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研讨数学分析中的“流数”成绩时得到的.但从历史的角度讲，该不等式该当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，由于，恰是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式利用到近乎完美的地步. 柯西不等式非常主要，灵活巧妙地利用它，可以使一些较为困难的成绩水到渠成. 柯西不等式在证实不等式、解三角形、求函数最值、解方程等成绩的方面得到利用.一、柯西不等式的各种方式及其证实 二维方式在普通方式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233n n n n aa a ab b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维方式的证实： 三角方式222111nnn k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑三角方式的证实： 向量方式向量方式的证实： 普通方式普通方式的证实： 证实：推广方式(卡尔松不等式)：卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和. 或者： 或者推广方式的证实： 推广方式证法一： 或者推广方式证法二：事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式其实不难，可以简单证实如下： 付：柯西（Cauchy ）不等式相干证实方法：等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证实介绍如下：证实1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()22222121122122n nn n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++()0f x ∴≥恒成立即()()()2222211221212nnn n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即1212n na a ab b b ===时等号成立证实（2）数学归纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 明显 左式=右式 当2n =时， 右式()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2222211221212kk k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立设22212k a a a A ====22212k b b b B ====则()()2222211111k k k k k a b b a b +++++A +B +=AB +A + 当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立即 1n k =+时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立 二、柯西不等式的利用1、巧拆常数证不等式例1：设a 、b 、c 为负数且互不相等.求证：2222a b b c a ca b c++++++. a b c 、、均为负数()()()()()111292=a b c a b b c a c a b c a b b c a c ∴⎛⎫++++ ⎪+++⎝⎭+++++++为证结论正确，只需证:而为证结论准确，只需证：又29(111)=++∴只需证:又a b c 、、互不相等，所以不克不及取等∴原不等式成立，证毕.2、求某些特殊函数最值 例2：y =求函数 函数的定义域为[5，9],0y3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式. 已知点()00,x y P 及直线:l 0x y C A +B +=()220A +B ≠ 设点p 是直线l 上的任意一点， 则0x x C A +B += （1）12p p =（2）点12p p 两点间的距离12p p 就是点p 到直线l 的距离，求（2）式有最小值，有 由（1）（2）得：21200p p x y C≥A +B + 即12p p ≥（3）当且仅当 ()()0101:y y x x B --=A12p p l ⊥ （3）式取等号 即点到直线的距离公式即4、 证实不等式例 3已知负数,,a b c 满足1a b c ++= 证实 2223333a b c a b c ++++≥证实：利用柯西不等式又由于 222a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c ++得：()()2223a b c a b c ++≤++故2223333a b c a b c ++++≥5、 解三角形的相干成绩例 4设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 证实：由柯西不等式得， 记S 为ABC 的面积，则故不等式成立.6、 求最值例5已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=试求a 的最值解：由柯西不等式得，有即()2222236b c d b c d ++≥++ 由条件可得， ()2253a a -≥- 解得，12a ≤≤== 时等号成立，代入111,,36b c d ===时， max 2a =211,,33b c d ===时 min 1a =7、利用柯西不等式解方程 例6在实数集内解方程 解：由柯西不等式，得()()()()222222286248624x y z x y y ⎡⎤++-++-≥-+-⎣⎦① 又()22862439x y y -+-=即不等式①中只要等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 它与862439x y y -+-=联立，可得8、用柯西不等式解释样本线性相干系数 在线性回归中，有样底细关系数()()niix x y y --∑出1r≤且r越接近于1，相干程度越大，r 越接近于0，则相干程度越小.此刻可用柯西不等式解释样本线性相干系数.现记i i a x x =-，i i b y y =-，则，ni ia b∑1r≤当1r=时，()222111n nni i iii i i a b ab====∑∑∑此时，()()i ii iy yb k x x a -==-，k 为常数.点(),i i x y n i 2,1=均在直线()y y k x x -=-上，r当1r→时，()222111n nni i iii i i a b ab===→∑∑∑即()2221110nnni i ii i i i a b a b ===-→∑∑∑而()()22221111n n ni i ii i j j i i i i i j na b a b a b a b ===≤≤≤-=--∑∑∑∑⇒,iib k k a →为常数. 此时，此时，()()i ii iy yb k x x a -==-，k 为常数点(),i i x y 均在直线()y y k x x -=-附近，所以r 越接近于1，相干程度越大 当0r→时，(),i i a b 不具备上述特征，从而，找不到合适的常数k ，使得点(),i i x y 都在直线()y y k x x -=-附近.所以，r 越接近于0，则相干程度越小.9、关于不等式22222)())((bd ac d c b a +≥++的几何布景 几何布景：如图，在三θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(，则 ,,2222d c OQ b a OP+=+=.)()(22d b c a PQ -+-=将以上三式代入余弦定理θcos 2222⋅⋅-+=OQ OP OQ OP PQ ，并化简，可得2222cos dc b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 由于1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ，因而22222)())((bd ac d c b a +≥++.柯西不等式的相干内容简介（1）赫尔德(Holder)不等式当2==q p 时，即为柯西不等式.是以，赫尔德不等式是柯西不等式更为普通的方式，在分析学中有着较为广泛的利用.（2）平面三角不等式（柯西不等式的等价方式）22222112222122221)()()(n n n n b a b a b a b b b a a a ++++++≥+++++++ 可以借助其二维方式22221122212221)()(b a b a b b a a +++≥+++来理解，根据三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的准确性.该不等式的普通方式pp n n p p ppn ppppn ppb a b a b a b b b a a a 12211121121])()()[()()(++++++≥+++++++ 称为闵可夫斯基（Minkowski ）不等式.它是由闵可夫斯基在对n 维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的基础上得到的，即对于点),,,(),,,,(2121n n y y y y x x x x ==，定义其距离为pnipi i y x y x 1)(),(∑-=ρ.闵可夫斯基立足于这一不等式确立了响应的几何，建立了一品种似于古代度量空间的理论，即实变函数中的赋范空间基础.这从另一个正面体现了柯西不等式的丰富数学布景.。

柯西不等式的证明及相关应用摘要 ：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增容，也是高中数学的一个重要知识点， 它不仅历史悠久， 形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。

关键词 ：柯西不等式柯西不等式变形式 最值一、柯西（ Cauchy ）不等式：a 1b 1 a 2 b 2 a n b n2a 12 a 22a n 2b 12 b 22 b n 2 a i ,b i R, i 1,2 n等号当且仅当 a 1 a 2 a n0 或 b ika i 时成立（ k 为常数， i 1,2n ）现将它的证明介绍如下：方法 1 证明：构造二次函数f ( x) a x b 2a x b2a x b21122nn= a 12 a 22a n 2 x 2 2 a 1b 1 a 2 b 2a nb n x b 12 b 22b n 2由构造知f x0 恒成立又 Q a 12 a 22 L a n n4 a 1b 1 a 2 b 2a nb n 2 4 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22b n 2即 a 1b 1a 2b 2a nb n2a 12 a 22a n 2b 12 b 22b n 2当且仅当 a i xb i 0 i 1,2n即a1a 2 L a n 时等号成立b 1b 2 b n方法 2证明 :数学归纳法（ 1） 当 n 1 时左式 = a 1b 1 22右式 =a 1b 1显然左式 =右式当 n2 时a 12 a 22b 12 b 22a 1b 1 2 a 2 b 22a 12b 22右式a 22b 12222a a bb2 左式a ba b2a b a b1 12 212 1 1 222故 n 1,2时 不等式成立（ 2）假设 n k k, k 2 时，不等式成立即 a 1b 1 a 2 b 2 a k b k2a 12 a 22a k 2b 12 b 22b k 2当 b i ma i ， m 为常数， i 1,2 k 或 a 1a 2 L a k0 时等号成立设 A= a 12 a 22a k 2B= b 12 b 22b k 2C a 1b 1 a 2b 2 L a k b kAB C 2则 A a k21 B b k21 AB Ab k21 Ba k21 a k21b k21C 2 2Ca k 1b k 1 a k2 1b k2 1C 2ak 1bk 1a12 a22 L a k2 a k2 b12 b22 L b k2 b k21 a1b1 21 a2b2Lakbkak 1bk 1当b i ma i，m为常数， i 1,2 k 1 或 a1 a2 a k 1时等号成立即n k 1时不等式成立综合（ 1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。

柯西不等式的应用技巧柯西不等式是高等数学中一种重要的不等式，广泛应用于数学分析、线性代数、概率论等领域。

它由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于1821年提出，被认为是不等式理论的巅峰之作。

柯西不等式的应用技巧有很多，下面主要介绍其中的几种常见应用。

一、向量长度的柯西不等式推导给定n维实向量x=(x1,x2,...,xn)和y=(y1,y2,...,yn)，那么它们的内积满足如下不等式：(x,y)，≤√((x,x)·(y,y))其中(x,y)表示x和y的内积，(x,x)为x的长度平方，(y,y)为y的长度平方。

这个不等式可以通过Cauchy-Schwarz求平方法来证明。

应用技巧：1.在证明向量长度之间的不等式时，可以使用柯西不等式进行推导。

2.可以利用柯西不等式来估计向量长度之间的关系。

二、几何中的柯西不等式给定平面上的两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，那么它们的内积满足如下不等式：a·b，≤，a，·，b其中a·b表示a和b的内积，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。

应用技巧：1.可以使用柯西不等式来推导平面上向量的夹角关系。

2.可以利用柯西不等式来证明平面上的几何定理。

三、数列的柯西不等式给定两个数列a=(a1,a2,...,an)和b=(b1,b2,...,bn)，那么它们的内积满足如下不等式：∑(ak·bk)，≤ √(∑(ak^2)·∑(bk^2))其中ak·bk表示ak和bk的乘积，∑(ak·bk)表示乘积的和，ak^2表示ak的平方，∑(ak^2)表示平方的和。

应用技巧：1.可以利用柯西不等式来证明数列的性质，例如数列的单调性、有界性等。

2.可以将柯西不等式应用于数学问题的解法中，寻找合适的数列。

四、概率论中的柯西不等式给定两个随机变量X和Y，它们之间的相关系数满足如下不等式：E(XY)，≤√(E(X^2)·E(Y^2))其中E(XY)表示X和Y的期望值，E(X^2)和E(Y^2)分别表示X和Y的平方的期望值。

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。