2020-2021学年八年级数学人教版下册 第十六章 二次根式 综合提升训练题

二次根式提高训练题1．1==2解：设x=则22336410 x==+=，0x x≥∴=2.解：====3．化简a a--解：0a a a a--=-=222222222101 1.21121121122111211xxxxxxx<<==-==-+=－4.当＋－解：原式＋－＋－＋－＋－()22a>0,b>0.-=====－133－5.已知：.3－解：原式=26*..11 1.414,1122 1.y y ====<=<==+== 设而，故与，将 7*．分解因式3(2)xa x -+322222222[(1)]((1)(21]2225(]24(]22(2222x ax x x x x a x x x x x x a x x x x x x x =---+=-+--=-+-⎛⎫⎛⎫=-++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=-+-⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭=-+++-=解：原式(22x x x+-++8*中最大的数是 ，次大的数是 .=>==>=>>=9..=211220,0,01111,.11x a x aa ax aa aa aa a aa a a aa a=+====≥>=≥≥++-≥=-==+-+＝＋－，即＋，由条件知于是所以原式10*2.x=2422242222222242221212122122120,11210,10,10,1121120(4)(x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x =-=-+-=≠+-=--=⎫=⎪⎪⎭==-=--=-两边平方得－于是由已知得所以223)030,4022.x x x x +=>==±=±因为＋所以－所以经检验是原方程的解3333111213.A B A B A B ==<-<<+<11*.已知：2233223333226,2,0,-()()2)11,12,1112.()()(A B A B A B A B A B A B A B A B A AB B A B A B A B A AB B ==+==>>====+====-=-++=+==>=<=<-<+=+-+= 解：因为得到又因为所以所以所以又333362)13,12,111213.A B A B -==<>=<-<<+<所以21616112.36610.(6).(6)a a a a ++=+已知：求的值 2a 010a 0.a a a 1a 10a 11a a 1(6)(6)1663616661a a a aa aa a≠⎡⎤+⎣⎦⎡⎤⎣⎦=++=-==-23316165353解：若＝，则由已知得＝，出现矛盾,所以等式36＋6＋1＝0两边乘以（6－）得到（6）－＝，所以（6）＝，于是（6）＋（16）＝(6a)(6a)13.0,0,0,.a b c a b c >>>+>>已知：220,0,0,..a b c a b c a b c >>>+>∴++>∴>> 解：。

人教版八年级|数学下册 第十六章 二次根式 同步单元训练卷一、选择题 (共10小题 ,3*10 =30 ) 1．以下各式中 ,是最|简二次根式的是() A.23B.a 2bC.27D.a 2－b 2 2．假设二次根式x －5有意义 ,那么x 的取值范围在数轴上表示正确的选项是() 3．以下二次根式中 ,最|简二次根式是() A.30B.12C.8D.124．以下运算中错误的选项是()A.2＋3＝ 5B.2×3＝6C.8÷2＝2 D ．(－3)2＝35．如图 ,长方形内有两个相邻的正方形 ,其面积分别为2和8 ,那么图中阴影局部的面积为() A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．66. 如图 ,数轴上A ,B 两点对应的实数分别是1和 3 ,假设点A 关于点B 的对称点为点C ,那么点C 所对应的实数为( )A ．2 3 －1B ．1＋ 3C ．2＋ 3D ．2 3 ＋1 7．a ＝3－2 ,b ＝3＋2 ,那么a 2＋2ab ＋b 2－2的值为( ) A.10 B. 5 C ．2 D ．38．甲、乙两人计算a ＋1－2a ＋a 2的值 ,当a ＝5的时候得到不同的答案 ,甲的解答是a ＋1－2a ＋a 2＝a ＋ (1－a )2＝a ＋1－a ＝1；乙的解答是a ＋1－2a ＋a 2＝a ＋ (a －1 )2＝a ＋a －1＝2a －1＝9.以下判断正确的选项是()A ．甲、乙都对B ．甲、乙都错C ．甲对 ,乙错D ．甲错 ,乙对 9．m ＝1＋ 2 ,n ＝1－ 2 ,那么代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( ) A ．9 B ．±3 C ．3 D ．510． "分母有理化〞是我们常用的一种化简的方法 ,如：2＋32－3 ＝ (2＋ 3 ) (2＋ 3 )(2－ 3 ) (2＋ 3 ) ＝7＋4 3 ,除此之外 ,我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数 ,如：对于3＋ 5 －3－ 5 ,设x ＝3＋ 5 －3－ 5 ,易知3＋ 5 ＞3－ 5 ,故x ＞0 ,由x 2＝(3＋ 5 －3－ 5 )2＝3＋ 5 ＋3－ 5 －2 (3＋ 5 ) (3－ 5 ) ＝2 ,解得x ＝ 2 ,即3＋ 5 －3－ 5 ＝2 .根据以上方法 ,化简3－23＋2＋6－3 3 －6＋3 3 后的结果为() A ．5＋3 6 B ．5＋ 6 C ．5－ 6 D ．5－3 6 二．填空题 (共8小题 ,3*8 =24 ) 11．要使式子a ＋1a －2有意义 ,a 的取值范围是____． 12. 假设最|简二次根式3a －1与2a ＋3可以合并 ,那么a 的值为________． 13．比拟：5－12________12(填 ">〞 "＝〞或 "<〞)． 14．如图 ,数轴上表示1 ,3的对应点分别为点A ,B ,点B 关于点A 的对称点为点C ,设点C 所表示的数为x ,那么x ＋3x的值为____．15．化简二次根式 (－3 )2×2得___________. 16．计算(48－93)÷(－3)的结果为_________.17．等腰三角形的两条边长为1和 5 ,那么这个三角形的周长为___________. 18．对于任意不相等的两个实数a ,b ,定义运算※如下：a ※b ＝a ＋b a －b ,如3※2＝3＋23－2＝ 5.那么8※12＝____．三．解答题 (7小题 ,共66分 ) 19．(8分) 计算以下各题： (1)512－913＋1248； (2)(3－2)2021(3＋2)2021.20．(8分) 先化简 ,再求值：a 2－b 2a ÷⎝⎛⎭⎫a －2ab －b 2a ,其中a ＝5＋2 ,b ＝5－2.21．(8分) 在△ABC 中 ,BC 边上的高h ＝6 3 cm ,它的面积恰好等于边长为3 2 cm 的正方形的面积 ,求BC 的长．22．(10分)：x ＝ 5 ,y ＝5－2.求： (1)代数式x －y 的值； (2)代数式x 2－3xy ＋y 2的值．23．(10分) 阅读理解：我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式 ,规定其运算法那么为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc.如⎪⎪⎪⎪⎪⎪2345＝2×5－3×4＝－2. (1)计算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2261224； (2)如果⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋12x ＝0 ,求x 的值．24．(10分) 9＋11 与9－11 的小数局部分别为a ,b ,求ab －3a ＋4b －7的值． 25．(12分) 观察以下式子及其验证过程： 223＝2＋23. 验证：223＝233＝ (23－2 )＋222－1＝2 (22－1 )＋222－1＝2＋23. (1)按照上述两个等式及其验证过程的根本思路 ,猜测4415的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律 ,写出用n(n 为自然数 ,且n≥2)表示的等式 ,并证明它成立．参考答案1 -5DBAAB 6 -10AADCD11. a≥－1且a≠212．413.>14. 8＋2315. 3216. 517. 1＋2518. －5219. 解：(1)原式＝93 (2)原式＝3＋220. 解：原式＝ (a ＋b ) (a －b )a ÷a 2－2ab ＋b 2a ＝ (a ＋b ) (a －b )a ·a(a －b )2＝a ＋b a －b. 当a ＝5＋2 ,b ＝5－2时 ,原式＝5＋2＋5－25＋2－5＋2＝254＝52.21. 解：∵12 BC·h ＝(3 2 )2＝18 ,∴BC ＝36h ＝3663 ＝2 3 (cm) ,答：BC 的长为2 3 cm22. 解：(1)∵x ＝ 5 ,y ＝5－2 ,∴x －y ＝5－5＋2＝2(2)原式＝(x －y)2－xy ＝(5－5＋2)2－5(5－2)＝4－5＋25＝25－123．解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2261224＝2×24－12×26＝43－23＝2 3. (2)因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋12x ＝0 ,所以3x －2(x ＋1)＝0 ,即(3－2)x ＝2. 那么x ＝23－2＝－2(3＋2)＝－23－4.24. 解：∵3＜11 ＜4 ,∴9＋11 的小数局部为11 －3 ,即a ＝11 －3 ,9－11 的小数局部为4－11 ,即b ＝4－11 ,∴ab －3a ＋4b －7＝(11 －3)(4－11 )－3(11 －3)＋4(4－11 )－7＝－5 25. 解：(1)4415＝4＋415.验证：4415＝4315＝ (43－4 )＋442－1＝4 (42－1 )＋442－1＝4＋415. (2)nnn 2－1＝n ＋n n 2－1.证明：n nn 2－1＝n 3n 2－1＝n 3－n ＋nn 2－1＝n (n 2－1 )＋nn 2－1＝n ＋n n 2－1.。

第16章二次根式一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．使根式有意义的x的范围是（）A．x≥0B．x≥4C．x≥﹣4D．x≤﹣42．若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＜3B．x＞3C．x≠3D．x≤33．下列运算正确的是（）A．B．C．D．4．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．5．下面是二次根式的是（）A．B．﹣3C．D．06．估计﹣的运算结果在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间7．下列四个数中，数值不同于其他三个的是（）A．|﹣1|B．﹣（﹣1）C．﹣D．（﹣1）48．下列计算正确的是（）A．B．C．D．9．下列计算正确的是（）A．B．C．D．10．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2021次相遇在（）边上．A．CD B．AD C．AB D．BC二、填空题（本大题共6小题，共18分）11．＝，＝．12．已知x＜0，化简二次根式的结果是．13．要使二次根式有意义，x应满足的条件是．14．分解因式：x2﹣2x﹣1＝．15．已知+|y﹣3|＝0，那么x y＝．16．化简：（a＞0，b＞0）＝．三、计算题（本大题共2小题，共12分）17．若ab＝1，我们称a与b互为倒数，我们可以用以下方法证明+1与﹣1互为倒数：方法一：∵＝2﹣1＝1，∴+1与﹣1互为倒数．方法二：∵﹣1，∴+1与﹣1互为倒数．（1）请你证明+与﹣互为倒数；（2）若（x﹣1）2＝x，求的值；（3）利用“换元法”求的值．18．观察下列及其验证过程：2．验证：2．（1）请仿照上面的方法来验证．（2）根据上面反映的规律，请写出用自然数n（n≥2）所表示的等式，并说明其成立的理由．四、解答题（本大题共5小题，共40分）19．计算：（1）﹣++；（2）．20．若a＞0，b＞0且（+）＝3（+5），求的值．21．已知x＝+1，y＝﹣1，求：（1）代数式xy的值；（2）代数式x3+x2y+xy2+y3的值．22．计算：﹣4+（﹣）÷．23．阅读材料，并解答问题我们知道，如果a，b都是整数，并且有整数c．使得a＝bc，①那么就称b为a的约数．通常我们只讨论正整数的正约数，即①中的a，b，c都是正整数，以下如不特别申明，所有的字母都表示正整数．72有多少个约数？不难一一列举，72的约数有12个，它们是1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．请注意其中包含1及72本身．有没有一个公式，可以帮助我们算出一个数的约数的个数呢？有的．如果将72分解为质因数的乘积，即72＝23×32②那么72的所有约数都是2×3③的形式，其中k1可取4个值：0，1，2，3；k2可取3个值：0，1，2；（例如：在k1＝0，k2＝0时，③是1；在k1＝3，k2＝2时，③是72）．因此，72的约数共有4×3＝12（个）．一般地，设有自然数即可以分解为n＝p1p2……p m，其中p1，p2……p m是不同的质数，k1，k2，……k m是正整数，其中k1可取k1+1个值：0，1，2，3，……k1；k2可取k2+1个值，0，1，2，3，……，k2，k m可取k m+1个值，0，1，2，3……k m；所以n的约数共有（k1+1）（k2+1）……（k m+1）个．根据上述材料请解答以下题目：（1）试求6000的约数个数．（2）恰有10个约数的数最小是多少？（3）求72的所有的约数和．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．使根式有意义的x的范围是（）A．x≥0B．x≥4C．x≥﹣4D．x≤﹣4【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：使根式有意义，则4+x≥0，解得：x≥﹣4，故x的范围是：x≥﹣4，故选：C．2．若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＜3B．x＞3C．x≠3D．x≤3【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案．【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，故3﹣x≥0，解得：x≤3．故选：D．3．下列运算正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的性质对B、D进行判断．【解答】解：A、与﹣不能合并，所以A选项错误；B、原式＝2，所以B选项正确；C、与不能合并，所以C选项错误；D、原式＝|﹣2|＝2﹣，所以D选项错误．故选：B．4．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、被开方数含能开得尽方的因数，故A错误；B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；C、被开方数含分母，故C错误；D、被开方数含能开得尽方的因式，故D错误；故选：B．5．下面是二次根式的是（）A．B．﹣3C．D．0【分析】根据二次根式的定义作答．【解答】解：、﹣3、0都不是二次根式，只有符合二次根式的定义．故选：C．6．估计﹣的运算结果在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间【分析】先把算式化简，再估算的大小，即可解答．【解答】解：∵＝，5＜＜6，∴估计﹣的运算结果在5和6之间．故选：C．7．下列四个数中，数值不同于其他三个的是（）A．|﹣1|B．﹣（﹣1）C．﹣D．（﹣1）4【分析】将原数化简即可求出答案．【解答】解：（A）原式＝1；（B）原式＝1；（C）原式＝﹣1；（D）原式＝1；故选：C．8．下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的乘法法则（根指数不变，被开方数相乘）判断A；二次根式的加减就是合并同类二次根式即可判断B、D；根据＝|a|即可判断C．【解答】解：A、因为•＝＝，故本选项正确；B、因为+，不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；C、因为＝2，故本选项错误；D、因为+＝2，故本选项错误；故选：A．9．下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根先化简二次根式，再计算．＝＝5，（2）2＝12．【解答】解：A、＝＝5，故本选项错误；B、2﹣＝，故本选项错误；C、（2）2＝12，故本选项错误；D、＝＝，故本选项正确．故选：D．10．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2021次相遇在（）边上．A．CD B．AD C．AB D．BC【分析】根据甲、乙运动的方向结合速度间的关系即可得出甲、乙第1次相遇在边CD 上、第2次相遇在边AD上、第3次相遇在边AB上、…，由此即可得出甲、乙相遇位置每四次一循环，再根据2021＝505×4+1即可得出结论．【解答】解：∵甲的速度是乙的速度的3倍，∴甲、乙第1次相遇时，乙走了正方形周长的×＝，∴甲、乙第1次相遇在边CD上．∵甲的速度是乙的速度的3倍，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，∴甲、乙第2次相遇在边AD上，甲、乙第3次相遇在边AB上，甲、乙第4次相遇在边BC上，甲、乙第5次相遇在边CD上，…，∴甲、乙相遇位置每四次一循环．∵2021＝505×4+1，∴甲、乙第2021次相遇在边CD上．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，共18分）11．＝3，＝4y．【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可．【解答】解：＝3，＝4y．故答案为：3，4y．12．已知x＜0，化简二次根式的结果是﹣x．【分析】根据二次根式有意义，可知y≤0，再由二次根式的性质解答．【解答】解：∵x＜0，﹣x2y≥0，∴y≤0，∴＝﹣x．故答案为：﹣x．13．要使二次根式有意义，x应满足的条件是x≥3．【分析】一般地，形如（a≥0）的式子，叫做二次根式．根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数．【解答】解：依题意有2x﹣6≥0，解得x≥3．14．分解因式：x2﹣2x﹣1＝．【分析】先令x2﹣2x﹣1＝0，解得x＝1±，即可对所给代数式因式分解．【解答】解：先令x2﹣2x﹣1＝0，解得x＝1±，∴x2﹣2x﹣1＝[x﹣（1+）][x﹣（1﹣）]＝（x﹣1﹣）（x﹣1+）．故答案是（x﹣1﹣）（x﹣1+）．15．已知+|y﹣3|＝0，那么x y＝﹣8．【分析】先根据非负数的性质列出关于x、y的方程，求出x、y的值，再把x、y的值代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：∵+|y﹣3|＝0，∴x+2＝0，解得x＝﹣2；y﹣3＝0，解得y＝3．∴x y＝（﹣2）3＝﹣8．故答案为：﹣8．16．化简：（a＞0，b＞0）＝2b．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：（a＞0，b＞0）＝＝2b．故答案为：2b．三、计算题（本大题共2小题，共12分）17．若ab＝1，我们称a与b互为倒数，我们可以用以下方法证明+1与﹣1互为倒数：方法一：∵＝2﹣1＝1，∴+1与﹣1互为倒数．方法二：∵﹣1，∴+1与﹣1互为倒数．（1）请你证明+与﹣互为倒数；（2）若（x﹣1）2＝x，求的值；（3）利用“换元法”求的值．【分析】（1）利用倒数的定义证明即可；（2）求出＝3，根据完全平方公式进行变形求值即可；（3）设m＝2+，n＝2﹣，则mn＝1，原式变形为（mn）10，代入mn的值即可．【解答】解：（1）（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝3﹣2＝1，所以+与﹣互为倒数；（2）∵（x﹣1）2＝x，∴x2﹣3x+1＝0，∴x﹣3+＝0，即x+＝3，∴＝（x+）2﹣4＝9﹣4，＝5；（3）设m＝2+，n＝2﹣，则mn＝（）（）＝1，∴原式＝m10n10＝（mn）10＝110，＝1．18．观察下列及其验证过程：2．验证：2．（1）请仿照上面的方法来验证．（2）根据上面反映的规律，请写出用自然数n（n≥2）所表示的等式，并说明其成立的理由．【分析】（1）仿照例题做法依次变形即可得；（2）类比已知等式得出n＝，再依据二次根式的性质，类比题干解答过程依次变形即可得．【解答】解：（1）4＝＝＝＝；（2）n＝，验证：n＝＝＝＝．四、解答题（本大题共5小题，共40分）19．计算：（1）﹣++；（2）．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式＝2﹣++﹣1＝﹣1；（2）原式＝2﹣1﹣1++＝．20．若a＞0，b＞0且（+）＝3（+5），求的值．【分析】根据a＞0，b＞0且（+）＝3（+5），可以求得a和b的关系，然后代入所求式子，即可解答本题．【解答】解：∵（+）＝3（+5）∴a+＝3+15b，∴a﹣2﹣15b＝0，∴（﹣5）（+3）＝0，∵a＞0，b＞0，∴﹣5＝0，+3≠0，∴＝5，∴a＝25b，∴＝＝＝＝2，即的值是2．21．已知x＝+1，y＝﹣1，求：（1）代数式xy的值；（2）代数式x3+x2y+xy2+y3的值．【分析】（1）将x、y的值代入后利用平方差公式计算即可；（2）先求出x2、y2的值，再代入到原式＝x2（x+y）+y2（x+y）＝（x2+y2）（x+y）计算可得．【解答】解：（1）xy＝（）（）＝；（2）∵x＝，y＝，∴x2＝（）2＝4+2，y2＝（）2＝4﹣2，则原式＝x2（x+y）+y2（x+y）＝（x2+y2）（x+y）＝（4+2+4﹣2）（+）＝8×2＝16．22．计算：﹣4+（﹣）÷．【分析】直接利用二次根式的混合运算法则化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝2+﹣2+÷﹣÷＝2+﹣2+2﹣2＝．23．阅读材料，并解答问题我们知道，如果a，b都是整数，并且有整数c．使得a＝bc，①那么就称b为a的约数．通常我们只讨论正整数的正约数，即①中的a，b，c都是正整数，以下如不特别申明，所有的字母都表示正整数．72有多少个约数？不难一一列举，72的约数有12个，它们是1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．请注意其中包含1及72本身．有没有一个公式，可以帮助我们算出一个数的约数的个数呢？有的．如果将72分解为质因数的乘积，即72＝23×32②那么72的所有约数都是2×3③的形式，其中k1可取4个值：0，1，2，3；k2可取3个值：0，1，2；（例如：在k1＝0，k2＝0时，③是1；在k1＝3，k2＝2时，③是72）．因此，72的约数共有4×3＝12（个）．一般地，设有自然数即可以分解为n＝p1p2……p m，其中p1，p2……p m是不同的质数，k1，k2，……k m是正整数，其中k1可取k1+1个值：0，1，2，3，……k1；k2可取k2+1个值，0，1，2，3，……，k2，k m可取k m+1个值，0，1，2，3……k m；所以n的约数共有（k1+1）（k2+1）……（k m+1）个．根据上述材料请解答以下题目：（1）试求6000的约数个数．（2）恰有10个约数的数最小是多少？（3）求72的所有的约数和．【分析】（1）由6000＝1000×6＝24×3×53即可求；（2）因为10＝2×5，则有24×3＝48最小；（3）由已知将72的所有约数相加即可．【解答】解：（1）6000＝24×3×53，∵（4+1）（1+1）（3+1）＝40，∴6000有40个约数；（2）∵10＝2×5，∴这个数最小是48；（3）∵72的约数有1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，∴1+2+3+4+6+8+9+12+18+24+36+72＝195，∴72的所有的约数和是195．1、三人行，必有我师。

二次根式综合练习一、选择题1. 下列式子一定为二次根式的是( )A. √−x−2B. √xC. √x2+2D. √x2−22. 下列式子中，属于最简二次根式的是( )A. √9B. √7C. √20D. √133. 若代数式√x−1x−2有意义，则x的取值范围是( )A. x＞1且x≠2B. x≥1C. x≠2D. x≥1且x≠24. 2− 12等于( )A. √2B. −√2C. √22D. −√225. √2的倒数是( )A. -√2B. √2C. -√22D. √226. 下列计算正确的是( )A. 4√3−3√3=1B. √2+√3=√5C. 2√12=√2 D. 3+2√2=5√27. |1+√3|+|1-√3|= ()A. 1B. √3C. 2D. 2√38. 已知(x−y+3)2+√2x+y=0，则x+y的值为( )A. 0B. -1C. 1D. 59. 判断√15×√40的值介于下列哪两个整数之间( )A. 22，23B. 23，24C. 24，25D. 25，2610. 化简：√2÷(√2−1)的结果是( )A. 2√2−1B. 2−√2C. 1−√2D. 2+√211. 化简a√−3a的结果是( )A. √−3aB. √3aC. −√−3aD. −√3二、填空12. 若代数式√x−2有意义，则x满足的条件是_________.13. 化简√18=____.14. 已知√(x−2)2=2−x，则x的取值范围是______.15.计算√12+√8×√6的结果是.16.计算√27-6√1的结果是.317.计算:√2×√3=.18. 已知x,y为实数，且y=√x2−9−√9−x2+4，则x−y=____.19. 若整数x满足|x|≤3，则使√7−x为整数的x的值是____ (只需填一个).20. 先阅读下面的文字，然后回答问题.甲,乙两名同学解答题目“先化简，再求值：a+√1−2a+a2，其中a=9”时得出了不同的答案. 甲同学的解答：原式=a+√(1−a)2=a+1−a=1；乙同学的解答：原式=a+√(1−a)2=a+|1−a|=a+a−1=2a−1=17.问题：____的解答是错误的，错误的原因是什么？三、计算21. 把下列各式化成最简二次根式：(1)√500；(2)√0.3；(3)√12；3(4)√15.1122. 计算：(1)√2×√5；×√216；(2)√16(3)−2√15×(−√53)；(4)−3√2a⋅√6ab2(a≥0,b≥0)；(5)√53÷√16；(6)√10a3b3÷√2b5a(a>0,b>0)；(7)√12÷√10×(−√52)；(8)−23√6÷2√3；(9)√20a÷(−23√5)(a≥0).四、解答题23. 先化简，再求值：(x+1+4x−3)÷x−1x2−3x，其中x=√3+1.24. 若a，b分别代表√10的整数部分和小数部分，求a+1b+4的值.25. 已知x=√5−1，求代数式√3x2−6x+13的值.26. 已知ΔABC的三边长a,b,c均为整数，且a,b满足√a−3+b2−4b+4=0，求c的长.27. 先阅读下列的解答过程，然后作答：形如√m±2√n的化简，只要我们找到两个数a,b使a+b=m,ab=n，这样(√a)2+(√b)2=m,√a⋅√b=√n，那么便有√m±2√n=√(√a±√b)2=√a±√b(a>b).例如：化简√7+4√3.解：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m=7,n=12.由于4+3=7,4×3=12，即(√4)2+ (√3)2=7，√4×√3=√12,∴√7+4√3=√7+2√12=√(√4+√3)2=2+√3.由上述例题的方法化简√7−√40.参考答案1. 【答案】C 【解析】二次根式有意义的条件是被开方数a ≥0，只有选项C 中被开方数一定大于0，A,B,D 中被开方数均有可能为负数，故选C.2. 【答案】B 【解析】√9=3,√20=2√5,√13=√33.故排除A,C,D ，选B.3. 【答案】D 【解析】由分式及二次根式有意义的条件可得：x -1≥0且x -2≠0，解得x ≥1且x ≠2，故选D.4. 【答案】C 【解析】原式=(2−1)12=(12)12=√12=√22，故选C.5. 【答案】D 【解析】由倒数的定义可知√2的倒数是√2=√22.故选D.6. 【答案】C.【解析】A:4√3−3√3=√3≠1，A 错误；B: √2和√3不是同类根式，不可合并，B 错误；C: 2√12=2⋅√22=√2，C 正确；D: 3和2√2不是同类根式，不可合并，D 错误.故选C.7. 【答案】D 【解析】∵√3>√1=1,,∴1-√3<0,∴|1+√3|+|1-√3|=1+√3+√3-1=2√3,故选D .8. 【答案】C 【解析】因为x −y +3≥0,2x +y ≥0，而(x −y +3)2+√2x +y =0，所以x −y +3=0,2x +y =0，解得x =−1,y =2，所以x +y =1.9. 【答案】C 【解析】√15×√40=√600,∵24<√600<25,∴√15×√40的值介于24与25之间，故选C.10. 【答案】D 【解析】原式=√2√2−1=√2(√2+1)(√2−1)(√2+1)=2+√2.故选D.11. 【答案】C【解析】由a√−3a 可知，a<0，原式=−√(−a)2(−3a)=−√−3a，故选C.12. 【答案】x≥2【解析】要使根式有意义，根号下的数必须大于等于0，即x-2≥0，∴x≥2.13. 【答案】3√2【解析】√18=√32×2=3√2.14. 【答案】x≤2【解析】∵√(x−2)2=2−x，∴2−x≥0,∴x≤2.15. 【答案】6√3【解析】∵√12=2√3,√8×√6=√8×6=√48=4√3,∴√12+√8×√6=2√3+4√3=6√3.16. 【答案】√3【解析】原式=3√3-6×√33=3√3-2√3=√3.17. 【答案】√6【解析】√2×√3=√2×3=√6.18. 【答案】-1或-7【解析】由题意得x2−9=0，解得x=±3,∴y=4,∴x−y=−1或x−y=−7.19. 【答案】-2(或3)【解析】∵|x|≤3,∴−3≤x≤3，∴当x=−2时，√7−x=√7−(−2)=3，当x=3时，√7−x=√7−3=2.故使√7−x为整数的x的值是-2或3(填写一个即可).20. 【答案】甲同学【解析】甲同学没有很好地理解√a2=|a|，因为a=9，所以1−a<0而直接利用错误的式子√(1−a)2=1−a求得结果.21.(1) 【答案】√500=√100×5=10√5.(2) 【答案】原式=√310=√3×1010×10=√3010. (3) 【答案】原式=√53=√5×33×3=√153. (4) 【答案】原式=√1611=√16×1111×11=4√1111.22.(1) 【答案】√2×√5=√2×5=√10.(2) 【答案】√16×√216=√16×216=√36=6.(3) 【答案】−2√15×(−√53)=2√15×√53=2√15×53=2√25=2×5=10. (4) 【答案】−3√2a ⋅√6ab2=−32√2a ⋅6ab =−32⋅2a ⋅√3b =−3a √3b . (5) 【答案】√53÷√16=√53÷16=√53×6=√10.(6) 【答案】√10a 3b 3÷√2b5a =√10a 3b 3÷2b5a =√10a 3b 3×5a2b =√25a 4b 2=√52(a 2)2⋅b 2=5a 2b . (7) 【答案】√12÷√10×(−√52)=−√65×√52=−√65×52=−√3. (8) 【答案】−23√6÷2√3=−23√6×12√13=−13√2.(9) 【答案】√20a ÷(−23√5)=√20a ⋅(−32√15)=−32√20a ⋅15=−32√4a =−3√a .23. 【答案】(x +1+4x−3)÷x−1x 2−3x=(x+1)(x−3)+4x−3⋅x(x−3)x−1=(x−1)2x−3⋅x(x−3)x−1=x(x −1).把x =√3+1代入，原式=(√3+1)(√3+1−1)=3+√3.24. 【答案】∵9<10<16,∴√9<√10<√163<√10<4，∴√10的整数部分为3，∴a =3,b =√10−3, ∴a +1b+4=3√10−3+4=3+√10+1=3+√10−19=√10+269.=√5+1，∴x−1=√5，25. 【答案】∵x=5−1∴√3x2−6x+13=√3(x2−2x+1)+10=√3×(√5)2+10=√25=5.26. 【答案】∵√a−3+b2−4b+4=0,∴√a−3+(b−2)2=0.又∵√a−3≥0,(b−2)2≥0,∴a−3=0,b−2=0,∴a=3,b=2.根据三角形的三边关系可得1<c<5，又a,b,c均为整数，∴c的长为2或3或4.27. 【答案】√7−√40=√7−2√10=√(√5−√2)2=√5−√2.。

2021年人教版八年级数学下册《第16章二次根式》期末综合复习知识点分类训练（附答案）一．二次根式的定义及其意义1．下列各式中是二次根式的是（）A．B．C．﹣D．22．下列各式一定是二次根式的是（）A．B．C．D．3．若是二次根式，则a的值不可以是（）A．4B．C．90D．﹣24．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤25．若式子有意义，则x的取值范围为（）A．x＞4B．x＜4C．x≥4D．x≤46．使代数式有意义，则a的取值范围为（）A．a≥﹣2且a≠1B．a≠1C．a≥﹣2D．a＞﹣27．设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（）A．1B．9C．4D．58．若a，b为实数，且b＝++4，则a+b的值为（）A．﹣13B．13C．﹣5D．5二．二次根式的性质与化简9．下列各式中正确的是（）A．＝﹣2B．＝2C．＝2D．＝±210．下列各组数中互为相反数的是（）A．﹣2与B．﹣2与C．2与（﹣）2D．|﹣|与11．若，则a的取值范围是（）A．a B．a＞C．a＜D．a12．若3＜a＜4，则﹣|a﹣4|等于（）A．2a﹣7B．﹣1C．7﹣2a D．113．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（）A．﹣b B．b C．﹣2a﹣b D．﹣2a+b三．最简二次根式与二次根式的乘除14．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．15．下列式子是最简二次根式的是（）A．B．C．D．16．化简：＝；＝；（2）2＝．17．计算÷的结果是．18．计算：＝．四．二次根式的加减19．计算﹣的结果是．20．计算﹣+2的结果是．21．如果最简二次根式与可以合并，则x＝．22．若与最简二次根式3可以合并，则a＝．23．如果最简二次根式和可以合并，则ab＝．五．二次根式的混合计算与化简求值24．下列计算正确的是（）A．＝B．＝2C．＝D．（3﹣）2＝7 25．下列计算：①（）2＝2，②＝﹣2，③（﹣2）2＝12，④＝2，⑤﹣＝，⑥（）（﹣）＝﹣1，其中结果正确的个数为（）A．1B．2C．3D．426．下列各式计算正确的是（）A．2﹣＝2B．2×＝2C．＝2D．﹣＝27．计算：＝．28．计算（2﹣3）÷＝．29．已知a＝，b＝，求ab的值为．30．已知a＝3+，b＝3﹣，则代数式的值是．31．已知x＝﹣1，则代数式x2﹣5x﹣6＝．32．已知（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则a+的值是．33．已知m+n＝10，则的最小值＝．六．分母有理化与二次根式的应用34．分母有理化：＝．35．已知长方形的面积为18，一边长为2，则长方形的另一边为．36．若x＝+1，y＝﹣1，则的值为．37．若直角三角形的边长分别是3，m，5．（1）求m；（2）先化简再求值．38．（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求代数式a2b﹣ab2的值．（2）（﹣）÷，其中x＝﹣2．39．阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①＝＝；②＝＝＝+1等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算：+++…+＝．40．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积为S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在△ABC中，a＝5，b＝3，c＝4．（1）求△ABC的面积；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．参考答案一．二次根式的定义及其意义1．解：A、是三次根式，不合题意；B、根号下部分是负数，无意义，不是二次根式，不合题意；C、﹣，符合二次根式的定义，符合题意；D、2不是二次根式，不合题意．故选：C．2．解：A、x＜0时，不是二次根式，故A不符合题意；B、是二次根式，故B符合题意；C、二次根式的被开方数是非负数，故C不符合题意；D、，根指数不是2，不是二次根式，故D不符合题意；故选：B．3．解：∵是二次根式，∴a≥0，故a的值不可以是﹣2．故选：D．4．解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，故选：B．5．解：∵式子有意义，∴x﹣4＞0，解得x＞4，即x的取值范围为x＞4，故选：A．6．解：由题意得a+2≥0且a﹣1≠0，解得a≥﹣2且a≠1，故选：A．7．解：∵，∴5﹣x≥0，5﹣x≤0，∴5﹣x＝0，解得x＝5，∴y＝4，∴|y﹣x|＝|4﹣5|＝1．故选：A．8．解：由题意得：，解得a＝9，∴b＝4，∴a+b＝9+4＝13．故选：B．二．二次根式的性质与化简9．A．算术平方根具有非负性，不符合题意；B．负数的立方根是负数，不符合题意；C．负数的平方等于正数，符合题意；D．算术平方根只有一个，不符合题意．故选：C．10．解：∵＝2，2与﹣2互为相反数，故A选项符合题意；＝﹣2，故B选项不符合题意；（﹣）2＝2，故C选项不符合题意；|﹣|＝，故D选项不符合题意．故选：A．11．解：∵，∴3﹣2a≥0，解得：a≤．故选：D．12．解：∵3＜a＜4，∴﹣|a﹣4|＝a﹣3﹣（4﹣a）＝a﹣3﹣4+a＝2a﹣7．故选：A．13．解：由数轴可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，则a﹣b＜0，故原式＝﹣a+b﹣a＝﹣2a+b．故选：D．三．最简二次根式与二次根式的乘除14．解：A，，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B，，是最简二次根式，故此选项符合题意；C，被开方数不是整数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D，＝，被开方数含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．故选：B．15．解：A.＝＝，不符合题意；B.＝2，不符合题意；C.是最简二次根式，符合题意；D.＝，不符合题意．故选：C．16．解：＝3；＝；（2）2＝12．故答案为：3，，12．17．解：÷＝＝＝2，故答案为：2．18．解：原式＝4÷5×＝×＝＝．故答案为：．四．二次根式的加减法19．解：原式＝﹣2＝﹣．故答案为：﹣．20．解：原式＝（+2）﹣＝3﹣．故答案为：3﹣．21．解：∵最简二次根式与可以合并，∴2x+1＝5，∴x＝2．故答案为：2．22．解：∵＝2，∴3＝4﹣2a，∴a＝，故答案为：．23．解：最简二次根式和是同类二次根式，∴b+1＝2且2a+3＝a+3b，解得a＝0，b＝1，∴ab＝0．故答案为：0．五．二次根式的混合计算与化简求值24．解：A、+＝3+，故此选项错误；B、﹣＝2，故此选项正确；C、＝＝，故此选项错误；D、（3﹣）2＝9+2﹣6＝11﹣6，故此选项错误；故选：B．25．解：①（）2＝2，故①正确．②＝2，故②错误．③（﹣2）2＝12，故③正确．④＝，故④错误．⑤与不是同类二次根式，故⑤错误，⑥（）（﹣）＝2﹣3＝﹣1，故⑥正确．故选：B．26．解：A、原式＝，故A错误．B、原式＝2，故B正确．C、原式＝＝，故C错误．D、与不是同类二次根式，故不能合并，故D错误．故选：B．27．解：原式＝﹣2＝2﹣2．故答案为2﹣2．28．解：原式＝2﹣3＝8﹣9＝﹣1．故答案为﹣1．29．解：a＝，b＝，∴ab＝（）（）＝3﹣2＝1．故答案为：1．30．解：∵a＝3+，b＝3﹣，∴a+b＝（3+）+（3﹣）＝6，ab＝（3+）（3﹣）＝9﹣5＝4，∴＝＝＝2，故答案为：2．31．解：∵x＝﹣1，∴x2﹣5x﹣6＝（x+1）（x﹣6）＝（﹣1+1）（﹣1﹣6）＝（﹣7）＝5﹣7．故答案为5﹣7．32．解：由题意可知：a﹣3＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴原式＝3+2＝5，故答案为：5．33．解：如图，∠CAB＝∠DBA＝90°，AB＝10，AC＝5，BD＝7，设AP＝m，BP＝n，则PC＝，PD＝，∵PC+PD≥CD（当且仅当C、P、D共线时取等号），∴PC+PD的最小值为CD，过D点作DE⊥AC于E，如图，易得四边形ABDE为矩形，∴AE＝BD＝7，DE＝AB＝10，在Rt△CDE中，CD＝＝＝2，∴的最小值为2．故答案为2．六．分母有理化与二次根式的应用34．解：＝＝＝2．故答案为：2﹣．35．解：∵长方形的面积为18，一边长为2，∴长方形的另一边为：18÷2＝3．故答案为：3．36．解：∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝（+1）+（﹣1）＝2，则＝＝＝＝，故答案为：．37．解：（1）当m为斜边时，m＝；当m为直角边时，m＝＝4．综上，m的值为4或；（2）原式＝＝|m﹣3|﹣|m﹣7|，当m＝4时，原式＝m﹣3﹣7+m＝2m﹣10＝2×4﹣10＝﹣2；当m＝时，原式＝m﹣3﹣7+m＝2m﹣10＝2×﹣10＝2﹣10，综上原式的值为﹣2或2﹣10，38．解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴ab＝（3+2）（3﹣2）＝1，a﹣b＝（3+2）﹣（3﹣2）＝4，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）1×4＝4；（2）原式＝（﹣）×＝×＝，当x＝﹣2时，原式＝＝．39．解：原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1．故答案为：﹣1．40．解：（1）∵a＝5，b＝3，c＝4，∴p＝＝6，∴△ABC的面积S＝＝6；（2）如图，∵△ABC的面积＝BC•AD，∴×5×AD＝6，∴AD＝．。

第十六章二次根式1．式子a＋1a－2有意义，则实数a的取值范围是( )A．a≥－1 B．a≠2 C．a≥－1且a≠2 D．a＞22．下列运算中错误的是( )A．2＋3＝ 5 B．2×3＝ 6 C．8÷2＝2 D．(－3)2＝33．已知下列式子：①13；②－3；③－x2＋1；④38；⑤－132；⑥2－1.其中属于二次根式的是( )A．①③ B．①③⑤⑥ C．①②③ D．①②③⑤4．估计(23＋62)×13的值应在( )A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间5．在算式(－33)□(－33)的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是( )A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号6. 在式子4，－3，－5，x2＋1，a＋1，y2(y＞0)，－2x(x＜0)，3x2和a2－1中，是二次根式的有( )A．3个 B．4个 C．5个 D．6个7. 二次根式－2x＋4有意义，则实数x的取值范围是( )A．x≥－2 B．x＞－2 C．x＜2 D．x≤28. 若3＜m＜5，则3－m2－m－52等于( )A．－2 B．－2m＋8 C．2m－8 D．－2m＋29. 化简－22×8×3的值是( )A．224 B．－224 C．－4 6 D．4 610. 已知a＝2，b＝5，用含a、b的代数式表示0.2，这个代数式是( ) A．0.2a B．0.1ab2 C．0.1ab D．0.1a2b11．最简二次根式3m－1与5－4m可以合并，则m的值是.12．已知x、y为实数，且y＝x2－9－9－x2＋4，则x－y＝ .13．当x ＝－54时，式子4x ＋5有最小值，其最小值为 . 14. 二次根式45a 、30、212、40b 2、a 2＋b 2中，是最简二次根式的是 . 15．一个三角形的面积为332，其一边长为36，则该边上的高为 . 16. 计算147－28的结果是 . 17. 当x ＝5时，代数式x ＋3＋3x ＋1－7x ＋15的值是 .18. 已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则x 21＋x 22＝ .19. 列计算：(1)(2)2＝2；(2)－22＝2；(3)(－23)2＝12；(4)(2＋3)(2－3)＝－1.其中结果正确的 个.20. 已知x ＋y ＝－5，xy ＝4，则y x ＋x y 的值为 . 21. 计算：(1)3220×(－15)÷(－1348)；(2)18－92－3＋63＋(3－2)0＋1－22.22. 已知a ＝2＋3，b ＝2－3，试求a b －b a的值．23. 先化简，再求值：(2a －1)2－2(a ＋1)(a －1)－a(a －2)，其中a ＝2＋1.24. 等腰三角形的一边长为23，周长为43＋7，求这个等腰三角形的腰长．25. 已知a、b在数轴上的位置如图所示，化简：b2－2ab＋a2＋a2－2a＋1＋b2＋4b＋4.26.若x、y为实数，且y＝x2－4＋4－x2＋1x＋2，求x＋y·x－y的值．答案;1---10 CABCD CDCDD11. 6 712. －1或－713. 014. 30、a2＋b215.2 216. 0。

八年级||数学人教版下册第16章?二次根式?综合拓展训练(三)1．观察以下各式,发现规律：＝2；＝3；＝4；…(1 )填空：＝,＝；(2 )计算(写出计算过程)：；(3 )请用含自然数n (n≥1 )的代数式把你所发现的规律表示出来．2．判断以下各式是否成立．你认为成立的请在内打√,不成立的打×．①＝2；②＝3③＝4；④＝5你判断完以后,发现了什么规律?请用含有n的式子将规律表示出来,并说明n的取值范围?3．观察以下各式：＝1 +﹣＝1；＝1 +﹣＝1；＝1 +﹣＝1,…请你根据以上三个等式提供的信息解答以下问题①猜想：＝＝；②归纳：根据你的观察,猜想,请写出一个用n (n为正整数)表示的等式：；③应用：计算．4．先观察以下等式,再答复以下问题：①＝1 +﹣＝1；②＝1 +﹣＝1；③＝1 +﹣＝1．(1 )请你根据上面三个等式提供的信息,猜想的结果,并验证；(2 )请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数)．5．观察以下各式：,…．(1 )你能发现上述式子有什么规律吗?请你将猜想到的规律用含自然数n (n为正整数)的代数式表示出来为：；(2 )请你运用所发现的规律,写出第9个式子；(3 )请你验证所发现的规律．6．一列二次根式：①,②,③…是按一定规律排列的．(1 )请直接写出这3个二次根式的整数局部．(2 )用已经学过的数学知识,求第8个符合规律的二次根式的整数局部．(3 )写出第n个符合规律的二次根式,猜想它的整数局部,并说明理由．7．观察以下各式：＝；＝；＝；(1 )按上述两个等式的特征,请猜想5＝；(2 )针对上述各式反映的规律,写出用n (n为自然数且n≥2 )表示的式子；(3 )证明你在(2 )中写的结论成立．8．观察以下等式：答复以下问题：①＝1 +﹣＝1②＝1 +﹣＝1③＝1 +﹣＝1,…(1 )根据上面三个等式的信息,猜想＝；(2 )请按照上式反响的规律,试写出用n表示的等式；(3 )验证你的结果．9．观察以下各式及其验算过程：＝2,验证：＝＝＝2；＝3,验证：＝＝＝3(1 )按照上述两个等式及其验证过程的根本思路,猜想的变形结果并进行验证．(2 )针对上述各式反映的规律,写出用n (n为大于1的整数)表示的等式并给予验证．10．观察以下各式及验证过程：,验证；＝,验证＝,验证(1 )按照上述三个等式及其验证过程中的根本思想,猜想的变形结果并进行验证．(2 )针对上述各式反映的规律,写出用n(n为任意的自然数,且n≥2 )表示的等式,并给出证明．11．6月4日葫芦岛日报报道,南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度,组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植,切实掀起了绿化城区的热潮．假设环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪,该长方形土地的长为m、宽为m．(1 )求该长方形土地的周长；(2 )假设在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪,求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用(提示：≈2.45 )12．如图,在面积为48a2cm2 (a＞0 )的正方形的四角处,分别剪去四个面积均为3cm2的小正方形,制成一个无盖的长方体盒子．(1 )用含a的式子表示这个长方体盒子的底面边长；(2 )假设该长方体盒子的容积为48cm3 ,求a的值．13．阅读与计算：阅读以下材料,并完成相应的任务．斐波那契(约1170﹣1250 )是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果,在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数,斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示(其中n≥1 ) ,这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料,通过计算求出裴波那契数列中的第1个数和第2个数．14．阅读与计算：请阅读以下材料,并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的?度量?一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的"海伦公式〞：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c ,设p＝,那么三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶,曾提出利用三角形的三边求面积的"秦九韶公式〞(三斜求积术)：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c,那么三角形的面积S＝．(1 )假设一个三角形的三边长分别是5 ,6 ,7 ,那么这个三角形的面积等于．(2 )假设一个三角形的三边长分别是,求这个三角形的面积．15．三角形三边之长能求出三角形的面积吗?海伦公式告诉你计算的方法是：S＝,其中S表示三角形的面积,a ,b ,c分别表示三边之长,p表示周长之半,即p＝．我国宋代数学家秦九韶提出的"三斜求积术〞与这个公式根本一致,所有这个公式也叫"海伦﹣秦九韶公式〞．请你利用公式解答以下问题．(1 )在△ABC中,AB＝5 ,BC＝6 ,CA＝7 ,求△ABC的面积；(2 )计算(1 )中△ABC的BC边上的高．参考答案1．解：(1 )根据题意得：＝5；＝6；故答案为：5；6；(2 )＝＝＝＝2021；(3 )归纳总结得：＝(n+1 )(自然数n≥1 )．2．解：①＝＝2,故答案为：√；②＝＝3,故答案为：√；③═4,故答案为：√；④＝＝5,故答案为：√；可得：＝n(n≥2 )．3．解：①猜想：＝1 +﹣＝1；故答案为：1 +﹣,1；②归纳：根据你的观察,猜想,写出一个用n (n为正整数)表示的等式：＝1 +﹣＝；③应用：＝＝＝1 +﹣＝1．4．解：(1 )＝1 +﹣＝1,＝＝＝＝＝1；(2 )＝1 +﹣＝1 +．5．解：(1 )上述式子的规用含自然数n(n为正整数)的代数式可表示为：；(2 )当n＝9时,可得到第9个式子为：．(3 )∵左边＝＝右边．∴．6．解：(1 )∵①＝,②＝2,③＝,∴3个二次根式的整数局局部别为1 ,2 ,3；(2 )依此类推,第8个符合规律的式子为＝,∵64＜80＜81 ,∴8＜＜9 ,那么的整数局部为8；(3 )归纳总结得：第n个符合规律的式子为,∵n2＜n2+2n＜n2+2n+1 ,∴n＜＜n+1 ,那么的整数局部为n．7．解：(1 )总结规律可知5＝,(2 )由2＝＝,＝＝,＝＝,故根据上述规律可知n,(3 )理由：n＝＝＝＝,故结论成立．8．解：(1 )根据上面三个等式的信息,猜想＝1,故答案为：1；(2 )＝1 +﹣．(3 )＝＝＝＝＝1 +﹣．9．解：(1 )∵＝2,＝3,∴＝4＝4＝,验证：＝＝,正确；(2 )由(1 )中的规律可知3＝22﹣1 ,8＝32﹣1 ,15＝42﹣1 ,∴＝,验证：＝＝；正确；10．解：(1 )验证：；(2 )＝．验证：＝＝．11．解：(1 )由题意可得,该长方形土地的周长是：()×2＝＝m ,即该长方形土地的周长是m；(2 )由题意可得,在该长方形土地上全部种植草坪的总费用是：＝9＝144≈352.8 (元) ,即在该长方形土地上全部种植草坪的总费用352.8元．12．解：(1 )长方体盒子的底面边长为﹣2＝4a﹣2(cm )；(2 )∵长方体的体积为(4a﹣2)2×＝48a2﹣48a+12∴48a2﹣48a+12＝48,解得：a＝﹣(舍)或a＝,∴a的值为．13．解：第1个数,当n＝1时,(﹣)＝×＝1；第2个数,当n＝2时,[ ()2﹣()2]＝(+) (﹣)＝×1×＝1．14．解：(1 )p＝＝＝9 ,S＝＝＝6．答：这个三角形的面积等于6．(2 )S＝＝＝＝＝．答：这个三角形的面积是．故答案为：6．15．解：(1 )∵AB＝5 ,BC＝6 ,CA＝7 ,∴a＝6 ,b＝7 ,c＝5 ,p＝＝9 ,∴△ABC的面积S＝＝6．(2 )设BC边上的高为h ,那么×6×h＝6,解得h＝2．。

第16章二次根式一．选择题1．设x＝，y＝，则x，y的大小关系是（）A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x＝y 2．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（）A．a﹣b＝0B．a+b＝0C．ab＝1D．a2＝b2 3．若4与可以合并，则m的值不可以是（）A．B．C．D．4．已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（）A．1B．2C．3D．45．++…+的整数部分是（）A．3B．5C．9D．66．估计代数式+的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间7．计算的结果是（）A．B．C．D．8．下列算式中，正确的是（）A．3﹣＝3B．＝C．D．＝49．若x2+y2＝1，则的值为（）A．0B．1C．2D．310．已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（）A．5B．﹣5C．25D．5或﹣5二．填空题11．已知y＝，则当x＞0时，y的取值范围是．12．已知a，b都是实数，b＝+，则a b的值为．13．一个长方形的长为cm，宽为cm，则它的周长是cm．14．如果（a，b为有理数），则a＝，b＝．15．若a＝，b＝，则＝．（结果用含t的式子表示）三．解答题16．计算：（1）（2）17．计算或化简：（1）+（﹣1）0（2）12÷（2）×（a＞0，b＞0）18．（1）已知：a＝﹣2，b＝+2，求代数式a2b﹣ab2的值．（2）运用乘法公式计算：①（2+3）2．②（+2）（2﹣）+（﹣）2．（3）已知实数x、y满足x2+10x++25＝0，则（x+y）2021的值是多少？19．若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝（a+b+c）．记：Q＝．（1）当a＝4，b＝5，c＝6时，求Q的值；（2）当a＝b＝c时，设三角形面积为S，求证：S＝Q．第16章二次根式参考答案与试题解析一．选择题1．设x＝，y＝，则x，y的大小关系是（）A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x＝y【分析】把x的值分母有理化，再比较．【解答】解：∵x＝＝3﹣＞0，y＝＜0．∴x＞y，故选：A．2．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（）A．a﹣b＝0B．a+b＝0C．ab＝1D．a2＝b2【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．【解答】解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣，∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A选项错误；a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B选项错误；ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C选项正确；∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4，∴a2≠b2，故D选项错误；故选：C．3．若4与可以合并，则m的值不可以是（）A．B．C．D．【分析】根据同类二次根式的定义，把每个选项代入两个根式化简，检验化简后被开方数是否相同．【解答】解：A、把代入根式分别化简：4＝4＝，＝＝，故选项不符合题意；B、把代入根式化简：4＝4＝；＝＝，故选项不合题意；C、把代入根式化简：4＝4＝1；＝，故选项不合题意；D、把代入根式化简：4＝4＝，＝＝，故符合题意．故选：D．4．已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】先把化为最简二次根式，由+3＝可知，化为最简根式应与为同类根式，即可得到此方程的正整数解的组数有三组．【解答】解：∵＝10，x，y为正整数，∴，化为最简根式应与为同类根式，只能有以下三种情况：+3＝+9＝4+6＝7+3＝10．∴，，，共有三组解．故选：C．5．++…+的整数部分是（）A．3B．5C．9D．6【分析】这是一比较繁琐的有关于二次根式的加减法，针对这样的题型，可以先分母有理化，再寻找抵消规律．【解答】解：原式＝+…+＝++…+＝++…+＝++…+＝﹣1＝﹣1+10＝9．故选C．6．估计代数式+的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【分析】先化成最简二次根式，再合并，最后求出的范围即可．【解答】解：+＝+＝2＝，∵2＜＜3，∴代数式+的运算结果在2到3之间，故选：B．7．计算的结果是（）A．B．C．D．【分析】先根据积的乘方得到原式＝[（﹣）（+）]2020•（+），然后利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝[（﹣）（+）]2020•（+）＝（2﹣3）2020•（+）＝+．故选：A．8．下列算式中，正确的是（）A．3﹣＝3B．＝C．D．＝4【分析】根据二次根式的混合运算法则逐一计算可得．【解答】解：A．3﹣＝2，此选项错误；B．+＝2+3＝5，此选项错误；C．，此选项正确；D．＝＝2，此选项错误；故选：C．9．若x2+y2＝1，则的值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据x2+y2＝1，可得﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，再将原式化简后确定x和y的值代入即可求解．【解答】解：因为x2+y2＝1，所以﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，因为＝，其中y﹣2＜0，所以x+1≤0，又因为﹣1≤x≤1，所以x+1＝0，x＝﹣1，所以y＝0，所以原式＝+＝2+0＝2．故选：C．10．已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（）A．5B．﹣5C．25D．5或﹣5【分析】先把+进行化简，再把a+b＝﹣5，ab＝1代入，即可求出答案．【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝1，∴a＜0，b＜0，+＝﹣﹣＝﹣，又∵a+b＝﹣5，ab＝1，∴原式＝﹣＝5；故选：A．二．填空题11．已知y＝，则当x＞0时，y的取值范围是y＞2或y＜0．【分析】将已知化为＝＝﹣，由x＞0可以得到＜，再将y分两种情况确定范围：当y＞0时，y＞2；当y＜0时，恒成立．【解答】解：∵y＝，∴＝＝﹣，∵x＞0，∴＜，当y＞0时，y＞2；当y＜0时，恒成立；∴y＞2或y＜0，故答案为y＞2或y＜0．12．已知a，b都是实数，b＝+，则a b的值为4．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：由题意可得，，解得：a＝，则b＝﹣2，故a b的值为（）﹣2＝4．故答案为：4．13．一个长方形的长为cm，宽为cm，则它的周长是10cm．【分析】根据长方形的周长＝2（长+宽），利用二次根式的加减，即可解答．【解答】解：长方形的周长为：2（）＝2（）＝10（cm），故答案为：10．14．如果（a，b为有理数），则a＝6，b＝4．【分析】先计算出（2+）2，再根据可得答案．【解答】解：∵（2+）2＝4+4+2＝6+4，∴a＝6、b＝4．故答案为：6、4．15．若a＝，b＝，则＝﹣t．（结果用含t的式子表示）【分析】先根据二次根式的加法和二次根式的乘法法则求出a+b和ab的值，再求出答案即可．【解答】解：∵a＝，b＝，∴a+b＝+＝﹣1，ab＝×＝＝t，∴＝＝﹣t，故答案为：﹣t．三．解答题16．计算：（1）（2）【分析】（1）将，分别化简，再合并同类二次根式即可，（2）根据二次根式的性质，将，，分别化简，再合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）＝2+4﹣＝5，（2）＝2++2﹣＝2+＝．17．计算或化简：（1）+（﹣1）0（2）12÷（2）×（a＞0，b＞0）【分析】（1）根据零指数幂的意义和二次根式的性质计算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．【解答】解：（1）原式＝3+1+﹣1＝4；（2）原式＝12×××＝8．18．（1）已知：a＝﹣2，b＝+2，求代数式a2b﹣ab2的值．（2）运用乘法公式计算：①（2+3）2．②（+2）（2﹣）+（﹣）2．（3）已知实数x、y满足x2+10x++25＝0，则（x+y）2021的值是多少？【分析】（1）先求出a﹣b和ab的值，再求出答案即可；（2）①根据完全平方公式求出答案即可；②先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再求出答案即可；（3）先求出x、y的值，再求出答案即可．【解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝+2，∴a﹣b＝（﹣2）﹣（+2）＝﹣4，ab＝（﹣2）×（+2）＝3﹣4＝﹣1，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝（﹣4）×（﹣1）＝4；（2）①（2+3）2＝（2）2+2×2×3+（3）2＝8+12+27＝35+12；②（+2）（2﹣）+（﹣）2＝4﹣3+3﹣2+2＝6﹣2；（3）∵实数x、y满足x2+10x++25＝0，∴（x+5）2+＝0，∴x+5＝0，y﹣4＝0，解得：x＝﹣5，y＝4，∴（x+y）2021＝（﹣5+4）2021＝﹣1．19．若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝（a+b+c）．记：Q＝．（1）当a＝4，b＝5，c＝6时，求Q的值；（2）当a＝b＝c时，设三角形面积为S，求证：S＝Q．【分析】（1）把a＝4，b＝5，c＝6代入解答即可；（2）把a＝b＝c代入解答即可．【解答】解：（1）把a＝4，b＝5，c＝6代入p＝（a+b+c）＝．把a＝4，b＝5，c＝6，p＝代入Q＝＝，（2）把a＝b＝c代入p＝（a+b+c）＝，把a＝b＝c，p＝代入Q＝＝，∵当a＝b＝c时，设三角形面积为S＝，∴S＝Q．。

2020-2021年度人教版八年级数学下册《第16章二次根式》综合培优训练（附答案）1．下列计算正确的是（）A．＝﹣5B．4﹣3＝1C．×＝D．÷＝9 2．下列二次根式中，是最简二次根式的为（）A．B．C．D．3．已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（）A．5B．﹣5C．25D．5或﹣54．如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（）A．16cm2B．40 cm2C．8cm2D．（2+4）cm2 5．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（）A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣46．若a＝2﹣，则代数式2a2﹣8a﹣1的值等（）A．1B．﹣1C．4+4D．﹣27．把a中根号外面的因式移到根号内的结果是．8．已知x＝+1，y＝﹣1，则x2﹣5xy+y2+6＝．9．实数的整数部分a＝，小数部分b＝．10．化简：（）2﹣＝．11．已知y＝+5，则的值为．12．已知a，b，c在数轴上的位置如下图：化简代数式﹣|a+b|++|b+c|的值为13．设a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝．14．若m满足关系式＝，则m＝．15．如图，D是等边三角形ABC中AC延长线上一点，连接BD，E是AB上一点，且DE ＝DB，若AD+AE＝5，BE＝，则BC＝．16．已知+＝a，则a﹣20192＝．17．已知b＞0，化简＝．18．已知+＝y﹣2，则代数式﹣＝．19．已知a、b满足＝a﹣b+1，则ab的值为．20．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b|+|﹣a|﹣．21．已知x＝，求（x+）2+2（x+）+2的值．22．（1）已知﹣＝2，求+的值（2）已知﹣＝2，求+的值．23．（1）计算（﹣2+3）×（2）已知a＝+2，b＝﹣2．求a2b+ab2的值24．计算：（1）（++5）÷﹣×﹣；（2）﹣﹣+（﹣2）0+．25．观察下列各式：①＝2，②＝3；③＝4，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；（3）请证明（2）中的结论．26．观察下列各式：＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）参考答案1．解：A、＝5，故此选项错误；B、4﹣3＝，故此选项错误；C、×＝，故此选项正确；D、÷＝3，故此选项错误；故选：C．2．解：A、是最简二次根式，符合题意；B、＝3不是最简二次根式，不符合题意；C、＝|x|，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝，不是最简二次根式，不符合题意．故选：A．3．解：∵a+b＝﹣5，ab＝1，∴a＜0，b＜0，+＝﹣﹣＝﹣，又∵a+b＝﹣5，ab＝1，∴原式＝﹣＝5；故选：A．4．解：从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，大正方形的边长是+＝4+2，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2）2﹣16﹣24＝16+16+24﹣16﹣24＝16（cm2）．故选：A．5．解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝，∵关于x的分式方程有正数解，∴＞0，∴m＞﹣5，又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3∴m≠﹣3，∵有意义，∴2﹣m≥0，∴m≤2，因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，∵m为整数，∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，故选：D．6．解：∵a＝2﹣，∴2a2﹣8a﹣1＝2（a﹣2）2﹣9＝2（2﹣﹣2）2﹣9＝2×5﹣9＝1．故选：A．7．解：原式＝﹣＝﹣，故答案为：﹣8．解：∵x＝+1，y＝﹣1，∴x﹣y＝+1﹣（﹣1）＝2，xy＝1，∴x2﹣5xy+y2+6＝（x﹣y）2﹣3xy+6＝22﹣3+6＝7；故答案为：7．9．解：＝＝，∵4＜7＜9，∴2＜＜3，∴＜＜3，即实数的整数部分a＝2，则小数部分为﹣2＝．故答案为：2；．10．解：根据题意得3﹣x≥0，解得x≤3，所以原式＝3﹣x﹣＝3﹣x﹣（3﹣x）＝0．故答案为0．11．解：∵y＝+5，∴x＝3，y＝5．∴＝＝2．故答案为：2．12．解：根据数轴可以得到：b＜a＜0＜c，且|b|＞|c|，∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，∴﹣|a+b|++|b+c|，＝|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|，＝﹣a+（a+b）+（c﹣a）﹣（b+c），＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c，＝﹣a．故答案为：﹣a．13．解：∵a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，两式相加得，a﹣c＝4，原式＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝＝＝＝＝＝15．14．解：由题可得，，∴，∴x+y＝199，①∴+＝0，∴3x+5y﹣2﹣m＝0，②2x+3y﹣m＝0，③联立①②③，解得，∴m的值为201．故答案为：201．15．解：过D作DF⊥AB于F，交BC于G，∵DE＝DB，∴EF＝BF＝，设AE＝x，∴AD＝5﹣x，AF＝AE+EF＝x+，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠ADF＝30°，∴AD＝2AF，即5﹣x＝2（x+），∴x＝，∴BC＝AB＝+＝，故答案为：．16．解：∵要使有意义，必须a﹣2020≥0，解得：a≥2020，∵+＝a，∴a﹣2019+＝a，即＝2019，两边平方得：a﹣2020＝20192，∴a﹣20192＝2020，故答案为：2020．17．解：∵b＞0，﹣a3b2＞0，∴a＜0，∴原式＝|ab|，＝﹣ab，故答案为：﹣ab．18．解：根据题意得，解得x＝2，当x＝2时，y﹣2＝0，解得y＝2，所以原式＝﹣＝﹣＝2﹣0＝2．故答案为2．19．解：∵＝a+3，若a≥2，则a﹣2＝a+3，不成立，故a＜2，∴2﹣a＝a+3，∴a＝﹣，∵＝a﹣b+1，∴a﹣b+1＝1或0，∴b＝﹣或，∴ab＝±．故答案为：±．20．解：由数轴可知a＜b＜0，且|a|＞|b|，∴a+b＜0，∵＞0，∴﹣a＞0、b﹣＜0，则原式＝|a|﹣（a+b）+﹣a﹣|b﹣|＝﹣a﹣a﹣b+﹣a+（b﹣）＝﹣3a﹣b++b﹣＝﹣3a．21．解：∵x＝，∴x＝+，＝﹣．∴x+＝2．∴原式＝（2）2+2×2+2＝12+4+2＝14+4．22．解：（1）∵﹣＝2，∴（﹣）（+）＝2（+），∴39+x2﹣15﹣x2＝2（+），∴24＝2（+），∴+＝12；（2）∵﹣＝2，∴（﹣）2＝4，∴，∴，∴（+）2＝＝44+2×20＝84，∴+＝．23．解：（1）原式＝（2﹣+）×＝2×＝4；（2）当a＝+2，b＝﹣2时，原式＝ab（a+b）＝（+2）（﹣2）（+2+）＝（3﹣4）×2＝﹣2．24．解：（1）原式＝（+1+）﹣﹣＝3+﹣2﹣＝3﹣2；（2）原式＝3﹣﹣（1+）+1+（﹣1）＝﹣1﹣+1+﹣1＝﹣1．25．解：（1）＝5；（2）＝（n+1）；（3）＝＝＝＝（n+1）．故答案为：（1）＝5；（2））＝（n+1）．26．解：（1）＝1＝1；故答案为：1；（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；（3）．。