2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷(四)答案

浙江省2019年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题号的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。

不能答在试卷上。

选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设a x n n =∞→lim 则说法不正确的是（）（A）对于正数2，一定存在正整数N ，使得当n>N 时，都有2X <-a n （B）对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在整数N ，使得当n>N 时，不等式ε<-a n X 成立（C）对于任意给定的a 的邻域()εε+-a a ,，总存在正整数N ，使得当n>N 时，所有的点n x 都落在()εε+-a a ,内，而只有有限个（至多只有N 个）在这个区间外（D）可以存在某个小的正数0ε，使得有无穷多个点0ε落在这个区间()00,εε+-a a 外2.设在点0x 的某领域内有定义，则在点0x 处可导的一个充分条件是（）（A）hx f h x f h )()2(lim000-+→存在（B）hh x f x f h )()(lim 000---→存在（C）hh x f h x f h )()(lim000--+→存在（D）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++∞→)()1(lim 00x f h x f h h 存在3.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++∞→n n n n n x πππsin 1...2sin 1sin 11lim 等于（）（A）dxx ⎰10sin π（B）dxx ⎰+1sin 1π（C）dxx ⎰+10sin 1（D）dxx ⎰+1sin 1π4.下列级数或广义积分发散的是（）.（A）∑∞=-+-11100n 1n n ）（（B）∑∞=12cos n n（C）dxx ⎰212-41（D）dx x ⎰+∞+12211）（5.微分方程044=+'-''y y y 的通解是（）（A）x e c x c x y 221)(-+=（B）()x e x c c x y 221)(-+=（C）()xe x c c x y 221)(+=（D）()xxe x c c x y 221)(-+=非选择题部分二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

浙江省2019年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题答案涂、写在答题卡上选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上在（都落成立设.....1δ<D X C B A n n ⎥⎦⎢⎣⎭⎝+∞→→→→00000.....2h D C B A h h h h ∞→→h D C h B A 改为反推改成解析：0dxx D dxx C dxx B dxx A n n n n n x ⎰⎰⎰⎰+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++∞→11110sin 1.sin 1.sin 1.sin .sin 12sin 1sin 11lim .3ππππππ等于（） D C B A n n ⎰.....4. (2)1⎰D C B A n x x x x xe x c c x y D e x c c x y C e x c c x y B e c x c x y A y y y 221221221221)()(.)()(.)()(.)(.04'4''.5---+=+=+=+==+-的通解为（）微分方程xe x c c y r r r y y y C22122)(,0)2,044,04'4''+==-=+-=+-所以即（特征方程为由解析：非选择题部分注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2.在答题纸上作图，可先用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔填写二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）=+∞→n n n)1sin 1(lim .6极限nn 111.7解析：)('=t h 8.当解析：⎩⎨⎧.9y x 设解析：t ttt t dx y d t dx dy t dt dx t dt dy 3222sec cos sec cos )'tan (tan ,cos ,sin -=-=-=-==-==→=⎰n x x g x dt t x g n x是同阶无穷小，则与时，且当设)(0,sin )(.1002解析：3,21),0(lim sin lim sin lim )(lim 1201200200==-∞≠≠====-→-→→→⎰n n C nx x nx x xdt t x x g n x n x n xx n x ⎰=-121.11dx x 定积分解析：）（定积分几何意义210222124141411R dx x R dx x ∙=-=∙=-⎰⎰πππ12.y e e y x y x =++'13.在令'''<=x x y y y 14.=V x 15.设x y 23=，则()______________=n y .解析：nn x n x n x n x a a a 2)3)(ln 3()3(,))(ln ()()(2)(2)()(==所以三、计算题（本大题共8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分，计算题必须写出计算过程，只写答案不给分）16.极限()201ln lim xxx x -+→.解析：21)21(21)1(2)1(12111)1ln(lim lim lim lim 00020-=+-=++-=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x 17.设()xx x x y ++=)cos 2ln(π，求函数()x y 在1=x 处的微分.y y ===821121sin cos )(222222202πππππππ-+=+=+=≤≤⎰⎰x t t tdt tdt x p x xx 时，当20.一物体由静止考试以速度()13+=t tt ν（米/秒）作直线运动，其中t 表示运动的时间，求物体运动到8秒时离开出发点的距离.解析：令距离为S,则⎰+=813t t S 令1+=t u ，38,10,2,12=====-=u t u t udu dt u t 时，时，⎰⎰⎰=-=-=+=3123128040162)1(313du u udu uu t t S 21.问是否存在常数a 使得函数()⎨⎧≤+=0,2x a x x f 在0=x 处可导？若存在，求出常数a ，若不存在，),即0=a )0(='-f )0(='+f 故)(x f 22.)1，故由题意有→s ∴23.11=n n1211=⎭ ⎝⎛n n 解析：,11)()(.1lim lim1<=-=+∞→+∞→x n n x u x u xn n x n n n n 所以收敛区间为)1,1(-令,1)(11-∞=∑=n n x nx s 当0≠x 时，)0(11)(1≠=∑∞=x x n x x s nn∴0,1ln 1)11(1)(111)(00111≠-=-===⎰⎰∑∑∞=-∞=x x xdt t x dt t x x n x x s x x n n n n 当0=x 时，1)0(=s ∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈-=0,1)1,0()0,1(),1ln(1)(x x x xx s 令21=x ∞24.设y =点B 为另一曲线BPM 是解析：即f ('∴)(x f 25.x 千件解析：值取得极大值，且为最大时，当时，舍去），令则设利润)(50)(',5,0)('505(1,0)(',30246)(')0)(2130122(60)()()(),(223x f x x f x x f x x x x f x x x f x x x x x x c x r x f x f =<>><≤=-==++-=≥++--=-=26.设()x f 在[]1,1-上具有二阶连续的导数，且()00=f .（1）写出()x f 的带拉格朗日型余项的一阶麦克劳林公式.（2）设m 、M 分别为()x f ''在[]1,1-上的最大值与最小值，证明：()3311Mdx x f m ≤≤⎰-（3）证明：在[]1,1-上至少存在一点η使得()()dx x f f ⎰-=''113η.解析：)0(!2)('')0('!2)('')0('0()(122x x f x f x f x f f x f <<+=++=ξξξ））（）（2311m f ≤⎰-（3）。

浙江省2019年高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1、设lim x→0x n =a 则说法不正确的是（ ）A 、对于正数2，一定存在正整数N ，使得当n >N 时，都有|x n −a |<2.B 、对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在整数N ，使得当n >N 时，不等于|x n −a |<ε成立.C 、对于任意给定的a 的邻域(a −ε,a +ε), 总存在整数N ，使得当n >N 时，所有的x n 都落在(a −ε,a +ε)内,而只有有限个（至多只有N 个）在这个区间外.D 、可以存在某个小的正数ε0，使得有无穷多个点ε0落在区间(a −ε0,a +ε0)外. 2、设在点x 0的某邻域内有定义，则在点x 0处可导的一个充分条件是（ ） A 、lim ℎ→0f (x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ存在 B 、lim ℎ→0−f (x 0)−f(x 0−ℎ)ℎ存在C 、limℎ→0f (x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ存在 D 、lim ℎ→+∞ℎ[f (x 0+1ℎ)−f (x 0)]存在3、limx→+∞1n[√1+sin πn +√1+sin 2πn +⋯+√1+sinnπn]等于（ ）A 、∫√sin πx dx 10B 、∫√1+sin πx dx 10 C 、∫√1+sin x dx 10 D 、π∫√1+sin x dx 10 4、下列级数或广义积分发散的是（ ） A 、∑(−1)n−1n+100∞n=1 B 、∑cos 2n ∞n=1 C 、∫√21D 、∫1(1+x 2)2dx +∞15、微分方程y ′′−4y ′+4y =0的通解为（ ） A 、y =c 1x +c 2e −2x B 、y =(c 1+c 2x)e −2x C 、y =(c 1+c 2x)e 2x D 、y =(c 1+c 2x)xe −2x二、填空题（只要在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题4分，共40分）6、极限lim x→∞(1+sin 1n )n =7、设一雪堆的高度ℎ与时间t 的关系为ℎ(t )=100−t 2，则雪堆的高度在时刻t =5时的变化率等于8、当a = 时，极限lim x→01−cos xln (1+x 3)(a −e x )存在且不等于0.9、设 ，则d 2ydx 2=10、设g (x )=∫sin t 2dx x0，且当x →0时，g (x )与x n 是同阶无穷小，则n = 11、定积分∫√1−x 2dx 10 =12、设函数y =y (x )由方程e x+y −xy =0确定，则dydx = 13、曲线y (x )=x 3+3x 2的拐点是14、由曲线y =√x ,x =1 ,x =2及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积等于15、设y =32x ，则y (n)=三、计算题（本大题共8小题，其中16-19题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分） 16、求极限lim x→0ln (1+x )−xx 2.17、设y (x )=ln(2+cos πx)+x x ，求函数y (x )在x =1处的微分.18、求不定积分∫sin √x dx .19、设f (x )= ，求p (x )=∫f(t)xdt 在[0,π]上的表达式.x =sin t y =cos tcos x ,x ∈[0,π)x ,x ∈[π,π]20、一物体由静止到以速度v (t )=3t√t+1(m/s)作直线运动，其中t 表示运动的时间，求物体运动到8秒时离开出发点的距离。

2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷（一）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共20分）1．设()(1)f x x x =-,则()A.0x =是()f x 的极值点,但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点.B.0x =不是()f x 的极值点,但(0,0)是曲线()y f x =的拐点.C.0x =是()f x 的极值点,且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.D.0x =不是()f x 的极值点,(0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.2．设,1)(,)1(21)(x x g x xx f -=+-=则当1→x 时()A．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C．)(x f 与)(x g 为同阶的无穷小D．)(x f 与)(x g 为等价无穷小3．定积分2222x x dx x -++⎰等于()A．1B．1-C．2D．ln 34．下列级数中收敛的是()A．∑∞=-1374n n nn B.∑∞=-1231n n C.∑∞=132n nn D.∑∞=121sinn n5．曲线e x x y ==,ln 及x 轴所围成的平面区域的面积是()A．1B．31-C．31D．1-非选择题部分注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二、填空题（只须在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题4分，共40分）6.设函数216131arcsinxx y ---=，则函数的定义域为______________7.极限1lim ]2n →+∞+=_______________8.设)(sin x f y =,则=dy _______________9.=+⎰dx xx 2012)1(ln ___________________10.设xe-是)(x f 的一个原函数，则⎰='dx x f x )(__________________11.曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为_____________________12.反常积分1+∞=⎰_______________13.2ln 1x t d e dt dx +=⎰___________________14．幂级数∑∞=-15)2(n n nn x 的收敛域为________________15.函数2xy x=在区间(]01，上的最小值为三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分.16．计算极限10(1)limln(1)xx x ex →+-+.17．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰0cos 101)cos 1(2)(022x dt t x x x x x x f x,试讨论)(x f 在0=x 处的可导性.18．参数方程⎩⎨⎧-=-=t y tt x cos 1sin ,求所确定的函数()x y y =的二阶导数.19．求⎰+dxx x )1ln(20．计算定积分⎰-222211dxx x21．求曲线2(1)(2)y x x =+-的极值点和拐点.22．求微分方程sin cos 0x dyy x e dx-+-=的通解.23.设空间三点为），（），（），，（3,11,2,22,111----C B A ，试写出过点C B A ，，的平面方程及过AB 中点M 的直线MC 的方程.四、综合题（本题共30分，每小题10分）24．证明不等式：22arctan ln(1)x x x ≥+.25．设函数)(x f 在[]1,0上连续，在）（1,0上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明：(1)在）（1,0内存在ξ,使得ξξ-=1)(f (2)在）（1,0内存在两个不同的点ζ,η使得1)()(=''ηζf f26．设()x f 在[]π,0上具有二阶连续导数，()3='πf 且()()[]2cos 0=''+⎰xdx x f x f π，求()0f '．2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷（一）一、选择题1.C解析：由于是选择题，可以用图形法解决,令()(1)x x x ϕ=-，则211()24x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，是以直线12x =为对称轴，顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，开口向上的一条抛物线，与x 轴相交的两点坐标为()()0,0,1,0，()()y f x x ϕ==的图形如图.点0x =是极小值点；又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点(0,0)是拐点，选C.2.C解析：因为21)1(21lim1)1(21lim11=++=-+-→→x x xx x x x ，故选C.3.D解析：利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为0,当被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以有原式22222220022222x x xdx dx dx x x x -=+=+++⎰⎰⎰22212dx x =+⎰22ln (2)ln 6ln 2ln 3.x =+=-=4.C解析：因121)1(lim 2122)1(lim 33313<=+=+∞→+∞→n n n n n n n n ,所以∑∞=132n n n 收敛,故选C.5.A解析：平面区域的面积1)ln (d ln |11=-==⎰ee x x x x x S .yOxy=ln x1e(e ,1)二、填空题6.42<≤-x 解析：424442016,13112<≤-⇒⎩⎨⎧<<-≤≤-⇒>-≤-≤-x x x x x 7.0.5e-解析：原式=(0.5)0.5lim [1n e ---→+∞=8.xdx x f dy cos )(sin '=解析：xx f y cos )(sin ''=9.Cx ++2013)1(ln 2013解析：C x x d x dx xx ++=++=+⎰⎰2013)1(ln )1(ln )1(ln )1(ln 201320122012.10.ce xex x+----解析：ce e x dx xf x xf x xdf dx x xf x x +--=-==--⎰⎰⎰)()()()('11..23+=x y 解析：由求斜渐近线公式y ax b =+(其中()limx f x a x→∞=，lim[()]x b f x ax →∞=-，得：32()limlim 1,x x f x a x →+∞→+∞===[]23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.23+=x y 12.2π.方法1：作积分变量变换，令sec x t =，则2221sec 1tan x t t -=-=，sec sec tan dx d t t tdt ==，:02t π→，代入原式：2210sec tan sec tan 2t t dt dt t t πππ+∞⋅==⋅⎰⎰.方法2：令1x t =，则211dx d dt t t ==-，:10t →，代入原式：11201101arcsin 2dt tt π+∞-===⎰⎰.13.ex2解析：因为=⎰+2ln 01x t e dx d ex xe x 221ln 2=+14.)7,3[-解析：由152215lim 5)2(15)2(lim )()(lim 111<-=-+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n nx n x x u x u n n n n n n nn n .得73<<-x ，级数收敛；当3-=x 时,级数为∑∞=-1)1(n n n 收敛；当7=x 时,级数为∑∞=11n n 发散；故收敛域为)7,3[-.15.2ee-解析:因为()22ln 2xy xx '=+，令0y '=得驻点为1x e=.又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21120e y e e -+⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，故1x e=为2xy x =的极小值点，此时2e y e -=，又当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0y x '<；1,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0y x '>，故y 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增.而()11y =，()()002022ln limlim 11lim 222ln 00lim lim 1x x x xx x xx xxx x x y x eeee++→→+→++--+→→======，所以2xy x =在区间(]01，上的最小值为21ey e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭.三、计算题16.解析:原式10(1)lim xx x e x →+-==120(1)ln(1)lim(1)(1)x x x x x x x x →-++++(洛必达法则)12e=-17.解析:20200200cos lim1cos 1lim )0()(lim )0('x x dt t x dt t x x f x f f x x x x x -=-=-=⎰⎰+++→→→+....1分0221lim 21cos lim 4020=-=-=++→→xx x x x x ........................3分320200)cos 1(2lim 1)cos 1(2lim )0()(lim )0('x x x x x x x f x f f x x x --=--=-=++-→→→-...4分06)1(cos 2lim 32sin 2lim 020=-=-=++→→x x x x x x x ...............6分所以0)0('=f ,)(x f 在0=x 处连续可导........................7分18.解析:()()2cot cos 1sin sin cos 1t t t t t t dx dy =-='-'-=.........................3分()'-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=t t t dx y d sin 2cot 22...........................................4分t t cos 12csc 212--=............................................6分2csc 414t -=............................................7分19.解析:⎰⎰+=+2)1ln(21)1ln(dx x dx x x ............................2分⎰+-+=dx x x x x 121)1ln(2122.......................4分⎰++--+=dx xx x x 11121)1ln(2122...................5分⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--+=dx x x x x 11121)1ln(212.................6分C x x x x x ++-+-+=)1ln(212141)1ln(2122...........7分20.解析:令t x sec =,],0[π∈t 则,tan sec tdt t dx =......................1分当2=x 时,4π=t ；当2=x 时,3π=t .......................2分原式=⎰342tan sec tan sec ππdt tt tt .........................................4分=⎰34cos ππtdt =|34sin ππt ......................................6分=2223-...............................................7分21.解析:233--=x x y )1)(1(3332-+=-='x x x y 令0='y 得1,121=-=x x x y 6=''，令0=''y 得03=x 6='''y 06)0(,06)1(,06)1(≠='''>=''<-=-''y y y 11-=∴x 是极大值点，11=x 是极小值点，)2,0(-是拐点22.解析:x e xy dxdysin cos -=+为一阶线性微分方程⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰--C dx e e e y xdxx xdx cos sin cos ()C dx e e e x x x +=⎰--sin sin sin )(sin C x e x +=-23.解析:过点A 作向量AB →和AC →，则{}{}3,3,3,0,2,4AB AC →→=--=-.........................1分所求平面的法向量为：3336126024i j km i j k =--=-++-..........................3分由平面的点法式方程有：6(1)12(1)6(1)020x y z x y z --+-++=--=即.........................4分AB 线段中点M 的坐标为111(,,)222--.........................5分故MC 直线的方向向量为：315,,222MC →⎧⎫=-⎨⎩⎭...................6分所求直线方程为113315222x y z -+-==-即531131-=-+=-z y x ...................................8分四、综合题24.解析:设)1ln(arctan 2)(2x x x x f +-=x x xx xx x f arctan 212112arctan 2)(22=+-++='0<x 时0)(<'x f ，)(x f 在)0,(-∞单调下降0>x 时0)(>'x f ，)(x f 在),0(+∞单调增加0=x 是)(x f 在),(+∞-∞上的最小值点),(+∞-∞∈∀∴x ，0)0()(=≥f x f 即)1ln(arctan 22x x x +≥25.解析:（1）令x x f x F +-=1)()(................................2分则)(x F 在[]1,0上连续，且011010>=<-=）（，）（F F ,于是由零点定理知，存在),1,0(∈ξ使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f ..........................5分（2）在],0[ξ和]1,[ξ上对)(x f 分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f ........8分于是.1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f ....................10分26.解析:[()()]cos f x f x xdx π''+⎰()sin cos ()f x d x xdf x ππ'=+⎰⎰..................3分[]000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππππ'''=-++⎰⎰........7分（该步骤注意加号前后是否出错）()(0)2f f π''=--=．..............................................9分(0)f '=2()235f π'--=--=-．..................................10分第1页共7页2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷（二）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共20分）1．若函数)(x f y =有dy x x x x f 处的微分该函数在时则当00,0,21)(=→∆='是()A．与x ∆等价的无穷小量B．与x ∆同阶的无穷小量C．比x ∆低阶的无穷小量D．比x ∆高阶的无穷小量2．设有直线3210,:21030,x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4230x y z ∏-+-=,则直线L ()A.平行于∏B.在∏上C.垂直于∏D.与∏斜交3．曲线2121arctan (1)(2)x x x y e x x ++=+-的渐近线有()A．1条B．2条C．3条D．4条4．设x1是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f x )(3()A.C x +221 B.C x +-221 C.C x +331 D.C x x +ln 4145．下列级数中条件收敛的是()A．∑∞=+-11)1(n nn nB．∑∞=-11)1(n nn C．∑∞=-121)1(n nn D．∑∞=11n n非选择题部分注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.第2页共7页2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二、填空题（只须在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题4分，共40分）6．函数xx y -=2)arcsin(ln 的定义域为7．123sin0lim()3x x x x x e e e →++=8．曲线xe x y +=在点0=x 处的切线方程为________________9．设函数x x y arctan =，则='y 10.1112n n n -∞=⎛⎫=⎪⎝⎭∑11．=⎰∞++-dx xe x 0112．．当p =________________时，有22007() ()0bx p ax p e dx ++=⎰.13．已知2sin 0π=⎰+∞dx x x ，则=⎰+∞02sin dx xx14．曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为15．求过点），，（302-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-.0125307422z y x z y x 垂直的平面方程是三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分.16．求)sin 11(1lim20t tt t -→．17．求函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=11sin cos 2)2()(2x xx x x f π0>≤x x 的间断点并判别类型.第3页共7页18．求函数2221()()x t f x x t e d -=-⎰的单调区间与极值.19．求由方程xy y x =确定的隐函数的导数dxdy .20．设函数()y y x =由参数方程3311,3311,33x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =第4页共7页的凹凸区间及拐点．21．计算cos(3)sin(5)dxx x +⋅+⎰22．求12--⎰23．求解微分方程xe y y y 2234=+'-''.第5页共7页四、综合题（本题共30分，每小题10分）24.（1）证明()2nn f x x nx =+-（n 为整数）在(0,)+∞上有唯一正根n a ；（2）计算lim(1)n n x a →∞+25．设当x bxaxe xf x x为时++-=→11)(,0的3阶无穷小,求b a ,的值.第6页共7页26.(1)设()f x 是定义在区间(,)-∞+∞上的周期为T 的连续函数，则对任意(,)a ∈-∞+∞，有()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰．(2)()x f 是周期为π的连续函数,试证:()()()()⎰⎰+=+πππ0202sin dxx f x dx x f x x2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷（二）一、选择题1.B解析：因为)()('0x o x x f dy ∆+∆=，所以21)('lim 00==∆→∆x f x dy x ，故选B2.C解析：这是讨论直线L 的方向向量与平面∏的法向量的相互关系问题.直线L 的方向向量)24(7714281012231k j i k j i k j il +--=-+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=平面∏的法向量k j i n +-=24,l //n ,∏⊥L .应选C 3.B解析：本题是关于求渐近线的问题.由于2121lim arctan (1)(2)4x x x x e x x π→∞++=+-,故4y π=为该曲线的一条水平渐近线.又21201lim arctan (1)(2)x x x x e x x →++=∞+-.故0x =为该曲线的一条垂直渐近线,所以该曲线的渐近线有两条.故本题应选B.4.B解析：因x 1是)(x f 的一个原函数,所以211)(x x x f -='⎪⎭⎫⎝⎛=,所以C x xdx dx x f x +-=-=⎰⎰2321)(.故选B.5.B 解析:∑∞=-11)1(n nn 为交错级数，故收敛，但∑∑∞=∞==-111|1)1(|n n n n n 发散.二、填空题6.21<≤-x e解析：20201ln 10211<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤->---x e x e x e x x x x 7.解析：原式=231sin 0lim ln()3x x x x x e e e e→++，而232300113lim ln()lim sin 33x x x x x x x x e e e e e e x x →→++++-=⋅(等价无穷小因式替代)2=故原式=2e8.012=--x y 解析：切点为)1,0(xe y +='1，当0=x 时，2='y .所以012)0(21=---=-x y x y 即9.21arctan x xx ++解析：()()2'''1arctan arctan arctan arctan x x x x x x x x x ++=+=10.4解析：考虑幂级数11n n nx ∞-=∑，由1lim1n n n→∞+=可知，该幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-，则1(1,1)2x =∈-.记11()n n S x nx ∞-==∑，两边从0到x 积分，得11111()(),(1,1)1xxxn n n n n n xS x dx nxdx nx dx x x x∞∞∞--=======∈--∑∑∑⎰⎰⎰所以21()(),(1,1)1(1)x S x x x x '==∈---所以121111()()4122(1)2n n S n ∞-====-∑注：此题亦可用中学差比数列求和的方法做11.e 解析：[]e dx e xe e xde e dx xe e dx xe xx x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞+-=-==⎰⎰⎰⎰∞+--∞+-∞+-∞++-001012．解析：当取p 满足()a p b p +=-+即2b ap +=-时积分2222007()2007200722()b a bb px p x x b a aa px p edx xe dx xe dx -++-+-+===⎰⎰⎰13.2π解析：sin 22xdxt x x+∞=⎰⎰+∞21.2sin dt t t ==⎰+∞0sin dt t t 2π.14.43π.解析:如图所示：221V y dxπ=⎰()2211xdx π=-⎰43π=．15.05=---z y x 解析：)1,1,1(16253422---=--=kj is 所求平面方程为0)3()0()2(=+----z y x 即05=---z y x 三、计算题16.解析:3sin limttt t -=→原式.........................................2分203cos 1limt tt -=→..................................................4分t tt 6sin lim0→=....................................................6分61=.........................................................7分17.解析:间断点为()0,1,0,1,2,3.. (2)x k k ππ=--=...................1分1sin )(lim 0-=+→x f x ,0)(lim 0=-→x f x 所以0=x 为第一类跳跃间断点;.......................3分11sinlim )(lim 211-=→→x x f x x 不存在.所以1=x 为第二类间断点；.............5分)2(π-f 不存在,而2cos 2)2(lim 2πππ-=+-→x x x x ,所以2π-=x 为第一类可去点.................6分∞=+--→xx x k x cos 2)2(lim 2πππ,(.........2,1=k )所以2ππ--=k x 为第二类无穷间断点..................7分18.解析:因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x xe dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22tt f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e-''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .19.解析:两边取对数得y x y x ln ln ln +=...........................3分两边求导得y yx y y x y '+='+11ln ..............................6分从而)1()ln 1(--=x x y x y dx dy .....................................7分20.解析:因为221()1dyt dt y x dx t dt-'==+，2222222231()12(1)(1)2141(),(1)1(1)t d t t t t t t y x dx dt t t t dt-+--⋅+''=⋅=⋅=+++令()0y x '=得1t =±，当1t =时，53x =，13y =-，此时0y ''>，所以13y =-为极小值．当1t =-时，1x =-，1y =，此时0y ''<，所以1y =为极大值．令()0y x ''=得0t =，13x y ==．当0t <时，13x <，此时0y ''<；当0t >时，13x >，此时0y ''>．所以曲线的凸区间为13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，凹区间为13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，拐点为11(,)33．21.解析:cos(3)sin(5)cos(3)[sin(3)cos2cos(3)sin 2]x x x x x +⋅+=++++原式=2sec (3)1ln tan(3)tan 2tan(3)cos2sin 2cos2x dx x Cx +=+++++⎰22.解析:运用第二换元积分法，令sec ,sec tan x t dx t tdt ==，)),0((π∈t ...2分当2x =-时，23t π=；当1x =-时，t π=，........................4分原式=dt t t tt ⎰-π32)tan (sec tan sec ..........................................6分=dt ⎰-π32)1(................................................7分3π-=....................................................8分23.解析:齐次方程为034=+'-''y y y 特征方程0342=+-λλ...........................1分特征根3,1==λλ.................................2分齐次通解x x e c e c Y 321+=............................3分设特解为xAe y 2*=..................................4分代入方程得()x xe eA A A 222384=+-....................5分2-=A ............................................7分x x x e e c e c y 23212-+=.................................8分四、综合题24.解析:（1）证明：1()0n n f x nxn -'=+>，()f x 在上(0,)+∞严格单调增加，且1()0n f n<，2()0n f n>，所以n f 在(0,)+∞上有唯一的零点n a .（2）易知，当n 充分大时，2222()n n n n >-，所以2222222()()0n n f n n n n n-=--<，而2()0n f n >2222(,n a n n n ∈-，有2222(1)(1)(1),n n n n a n n n +-<+<+，由夹逼定理知2lim(1)n n x a e →∞+=25.解析:3030301lim )1(1lim 11limxax bxe e bx x ax bxe e x bx axe k x x x x x x x x --+=+--+=++-=→→→...2分203lim x abxe be e x x x x -++=→(1).............4分xbxe be e x x x x 62lim 0++=→(2).............6分由(1):01)(lim 0=-+=-++→a b a bxe be e xxxx 由(2):021)2(lim 0=+=++→b bxe be e xxxx ...................8分21,21=-=a b .........................................10分26.解析:(1)因为()()()dx x f dx x f dx x f Ta TT aTa a⎰⎰⎰+++=.......1分令,T t x +=()()()dt t f dt T t f x f aa Ta T⎰⎰⎰=+=+0..........3分()()()aTTaf x dx f x dx f x dx ==-⎰⎰⎰..........4分故()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰....................5分(2)()()dxx f x x ⎰+π20sin ()()()()⎰⎰+++=πππ20sin sin dx x f x x dx x f x x ..1分令u x +=π,...................2分()()()[]()⎰⎰++++=+ππππππ02sin sin duu f u u dx x f x x ()()⎰-+=ππ0sin du u f u u (∵()x f 以π为周期)...........4分故()()()()⎰⎰+=+πππ0202sin dx x f x dx x f x x ...............5分第1页共7页2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷（六）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共20分）1.设)3cos(sin )(xx f =，x -∞<<+∞，则此函数是()A.有界函数B.奇函数C.偶函数D.周期函数2.下列级数中绝对收敛的是()A.1(1)sin 2nnn π∞=-∑ B.1(1)nn n ∞=-∑C.1sin n n∞=∑ D.1(1)ln(1)2nn n ∞=-+∑3.极限202sin limxx x tdtt dt→⎰⎰的值为()A.1- B.0C.2 D.14.曲线2x y x y ==与所围成平面图形的面积()A.31 B.31-C.1D.-15.二阶微分方程3562sin cos xy y y e x x '''+-=，其特解的形式为()A.3(cos sin )xe a x b x + B.3(cos 2sin 2)xe a x b x +C.3(cos sin )x xe a x b x + D.3(cos 2sin 2)xxe a x b x +第2页共7页非选择题部分注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二、填空题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.6.函数2siny =的连续区间为.7.函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y = .8.曲线)03ln(>+=x xe x y 的渐近线为.9.曲线14123223+-+=x x x y 的拐点为.10.202cos xd x t dt dx =⎰.11.定积分21(2)(1)ex x x dx ++=⎰.12.曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为.13.微分方程()tan sin 2y x y x '+=的通解为.14.已知三角形ABC 的顶点分别是(1,2,3)A =，(3,4,5)B =和(2,4,7)C =，则该三角形的面积为.15.反常积分22(1)xdxx +∞=+⎰.三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分.16．求tan 01lim(xx x→.17.设函数()f x 满足方程，()2()3sin x xe f x ef x x ππ-+-=，x ∈R ，求()f x 的极值.18.求2131()1x xf x e-=-的间断点，并判别其类型.19.求不定积分arctan⎰.20.已知函数)(x y y =满足微分方程y y y x '-='+122，且0)2(=y ，求)(x y 的极大值和极小值．21.设f x ()为连续函数，且13()3()f x x xf x dx =+⎰，求f x ().22.证明当(,)2x ππ∈ln(1sin )x xπ+<-.23．设3()arcsin f x x x =，求()2008(0)f.四、综合题：本大题共3小题，每小题10分，共30分.24.已知函数21222+3()lim 1n n n x x xf x x -→∞+=+，求()f x ，并讨论其连续性.25.求连续函数()x ϕ使得0x >时，有1()2()xt dt x ϕϕ=⎰.26.已知曲线0)y a =>与曲线ln y =在点00(,)x y 处有公共切线,求:(1)常数a 及切点00(,)x y ；(2)两曲线与x 轴围成的平面图形的面积S .高等数学全真模拟预测卷答案与解析欣迈专升本—浙江专升本辅导领袖品牌2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷（六）一、选择题1.A解析：令sin 3xt =，则|(x)||cos(sin 3)|cos 1xf t ==≤，故选A 2.A 3.D解析：由洛必达法则得：2020sin limxx x tdtt dt→⎰⎰1sin lim 220==→xxx ，故选D 4.A解析：如图：曲线2x y x y ==与所围成平面图形的面积3112=-=⎰dx x x ）（，选A 5.B解析：其对应其次方程为'''560y y y +-=，所以特征方程为2560r r +-=，其根为6,1r =-.而右端函数33(x)2sin cos sin 2x x f e x x e x ==，所以3,2λω==，显然32i +不是其特征方程的根.且(x)1,(x)0l n p p ==，所以12(x),Q (x)m m Q 都是常数函数.因此根据定义其特解形式为3(cos 2sin 2)xe a x b x +，故选B.二、填空题6.⎦⎤⎢⎣⎡-21,51解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎢⎣⎡-⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<⋃≥-≥⇒≥-≥-+21,510,5121,014150041004104122222x x x x x x x x 7.()21!nn -⋅-解析:由高阶导数公式可知()ln(1)n x +1(1)!(1)(1)n nn x --=-+,所以()()()1(1)!(1)!ln 12(1)22(12)(12)n n n n n n n n x x x ----=-⋅-=---,0.20.40.60.81.21.4xy =2x y =即()(1)!(0)22(1)!(120)n nn nn yn -=-=---⋅.8.3y x e=+解析：3ln(e (x)3lim lim lim ln(e )lne 1x x x x f x k x x x→+∞→+∞→+∞+===+==2213(33ln(e 133lim [(x)]lim [ln(e )]lim lim 11x x x x x e x x b f kx x x x e x x→+∞→+∞→+∞→+∞-+-+=-=+-==-所以3y kx b x e=+=+9.11(,20)22-解析：'26612y x x =+-，''112612()2y x x =+=+令0''=y 得12x =-，且''y 在12x =-两边符号是相反的，所以点11(,20)22-是其拐点.10.2224cos 2cos xt dt x x -⎰解析：()220022cos cos x x d d x t dt x t dt dx dx=⎰⎰()()20222cos cos 2x t dt x xx =-⋅⎰20224cos 2cos xt dt x x =-⎰.11.31(1)2e -解析：22211(2)(2)2(2)1300111(1)e e (2)e (1)222xx x x x x x dx d x x e ++++=+==-⎰⎰12.1-=x y 解析：因为直线1=+y x 的斜率11k =-，所以与其垂直的直线的斜率2k 满足121k k =-，所以21k -=-，即21k =，曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程的斜率为1，即11)(ln =='='xx y ，得1x =，把1x =代入ln y x =，得切点坐标为)0,1(，根据点斜式公式得所求切线方程为：)1(10-⋅=-x y ，即1-=x y13.212cos cos ,y x C x =-+C 1为任意实数解析：先解()'tan 0y x y +=，得：cos ,y C x =C 为任意实数令*()cos y u x x =,代入原方程，得：1()2cos ,u x x C =-+C 1为任意实数方程的通解为：212cos cos ,y x C x =-+C 1为任意实数14.解析：(2,2,2)AB = ，(1,2,4)AC = ，11||||sin ||22ABC S AB AC A AB AC ∆=∠=⨯222462124i j kAB AC i j k ⨯==-+，ABC S ∆==15.21解析：222222001111(1)2(1)212xdx dx x x x +∞+∞+∞==-⋅=+++⎰⎰三、计算题16.解析：tan 01lim()xx x→tan ln 0lim x x x e -⋅→=………………………………………………1分ln lim 1tan x x xe→-=……………………………………………………………3分2021lim sec tan x x xx e →--=…………………………………………………………5分20tan lim0sec 1x xxee →===……………………………………………………7分17.解析：由条件x ∀，()2()3sin xxe f x ef x xππ-+-=∴有()2()3sin x x e f x e fx xππ--+=解方程得()sin xe f x x=()sin x f x e x-='()(cos sin )x f x e x x -=-含'()0f x =得可能极值点4k nx k π=+k 整数''()2cos xf x xe -=-∴当24x k ππ=+时有极大值(2)422k e ππ-+(21)4x k ππ=++时极小值(2)42k e πππ-++-18.解析：当12x =时，()f x 分母为0无定义，()f x 间断…………………1分且21113221lim ()lim1x x x xf x e-→→==∞-，12x =为()f x 的第二类间断点…………3分当0x =时，213x x-分母为0无定义，()f x 间断……………………………4分且210003211lim ,lim ()lim 131x x x x xx f x xe +++-→→→-=-∞==-…………………………………5分210003211lim ,lim ()lim 131x x x x xx f x xe----→→→-=-∞==-……………………………………6分0x =为()f x 的第一类间断点中的可去间断点………………………………7分19.解析：令2x t =，2dx tdt = (2)分2arctan t tdt =⎰⎰………………………………………………………3分2221arctan 1t t t dt t =-+⎰…………………………………………………………4分221arctan 11t t dt t =--+⎰...............................................................5分2arctan arctan t t t t C =-++ (6)分arctan x C =………………………………………………7分20.解析：把方程化为标准形式得到221)1(x dx dyy -=+，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：C x x y y +-=+333131，由0)2(=y 得32=C ，即32313133+-=+x x y y ．令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知32222222)1()1(2)1(2y x y y x dx y d +--+-=；当1=x 时，可解得1=y ，01<-=''y ，函数取得极大值1=y ；当1-=x 时，可解得0=y ，02>=''y ，函数取得极小值0=y ．21.解析：令A f x dx =⎰()01，则………………………………………………1分f x x x f x dx x Ax ()()=+=+⎰31333…………………………………3分()⇒=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎰⎰f x dx x Ax dx x Ax A ()013014201314321432…………6分即A A A =+⇒=-143212………………………………………………7分于是f x x x ()=-332……………………………………………………8分22.解析：令t x π=-，则(0,)2t π∈＜ln(1sin )t t +，即要证cos 1sin t t t +＜ln(1sin )t +，而0cos ln(1sin )1sin t t dt t t =++⎰且cos 11sin 1sin t t t'-⎛⎫= ⎪++⎝⎭＜0，0cos ln(1sin )1sin tx t dx x ∴+=+⎰＞0cos cos 1sin 1sin t t t tdx t t =++⎰得证21.解析：(arcsin )x '=,21(21)!!12!nnn n n +∞=-=+∑，两边从0到x 积分得211(21)!!arcsin 2!(21)n n n n x x x n n +∞+=-=++∑,即2441(21)!!()2!(21)n n n n f x x x n n +∞+=-=++∑,()20081002(2003)!!(0)2008!21002!2005f =⋅四、综合题24.解析：当1x <时，2lim 0nn x→∞=，则2()23f x x x =+……………………1分当1x >时，2lim 0nn x-→∞=，则1221222+31()lim 1n n n n x x x f x x x----→∞+==+…………2分当1x =时，则()3f x =………………………………………………………3分当1x =-时，则()1f x =-……………………………………………………4分所以223,11,1()1,13,1x x x x f x xx x ⎧+<⎪⎪>⎪=⎨⎪-=-⎪=⎪⎩……………………………………………………6分111lim ()lim 1x x f x x --→-→-==-，211lim ()lim 231x x f x x x ++→-→-=+=-，所以函数在1x =-处连续…………………………………………………8分111lim ()lim 1x x f x x --→→==，211lim ()lim 235x x f x x x ++→→=+=，所以函数在1x =处不连续，综上可得，()f x 在1x ≠处都是连续的……………10分25.解析：令xt u =，……………………………………………………………1分则100()()()xxu duu xt dt u d xxϕϕϕ==⎰⎰⎰，………………………………………3分由题可得()2()xu dux xϕϕ=⎰，即0()2()xu du x x ϕϕ=⎰……………………………4分上式两边同时关于x 求导得:'()2()2()x x x x ϕϕϕ=+,即'()2()0x x x ϕϕ+=…………………………………7分显然，该方程是可分离变量方程，从而解得()x ϕ=……………………10分26.解析：利用00(,)x y 在两条曲线上及两曲线在00(,)x y 处切线斜率相等列出三个方程,由此,可求出00,,a x y ,然后再求平面图形的面积S .(1)过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中,当0()y x '存在时,0()k y x '=.由y =y '=.由lny =知12y x '=.由于两曲线在00(,)x y12x =,得021x a =.将021x a =分别代入两曲线方程,有00ln 1ln y y ====.于是20211,a x e e a===,从而切点为2(,1)e .(2)两曲线与x 轴围成的平面图形的面积S 为12220()y S e e y dy =-⎰122301123y e e y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭211.62e =-第1页共7页2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷（三）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共20分）1．设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,且()0f x >,则方程1()0()xxabf t dt dt f t +=⎰⎰在开区间(,)a b 内的根有()A.0个B.1个C.2个D.无穷多个2．设在[0,1]上()0f x ''>,则(0)f '、(1)f '、(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是()A.(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-B.(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->C.(1)(0)(1)(0)f f f f ''->> D.(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->3．lim lnn →∞等于()A.221ln xdx ⎰.B.212ln xdx ⎰.C.212ln(1)x dx +⎰.D.221ln (1)x dx+⎰4．下列无穷限积分中,积分收敛的有()A．⎰∞-0dx e xB．⎰+∞1xdx C．⎰∞--0dxe xD．⎰∞-0cos xdx5．设)11ln()1(nu nn +-=,则()。

2019年全国普通高等院校统一招生考试数学试卷（终极押题浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合,或,则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为,或所以故选：A.2．曲线的方程为，则曲线的离心率为（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】因为曲线的方程为，所以，，则，，，双曲线的离心率，故选A．3．已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）A．B．4 C．-4 D．-4i【答案】C【解析】因为，所以虚部为-4，选C.4．《九章算木》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正视图，侧视图可知，底面长方形的长，宽分别为4，2，故四棱锥的高为，所以外接球的直径为，所以．故选：D．5．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，定义域为，，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除两个选项.，排除D选项，故选A.6．已知直线n与平面α，β，若n⊂α，则“n⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若“n⊥β，n⊂α，则“α⊥β”，若n⊂α，α⊥β，则n不一定垂直β，也可能平行，故n⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件故选：A．7．已知实数满足则的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示：z表示动点P（x，y）与定点A（3，1）连线的斜率．当连线经过B时斜率最大，此时,解B(8,5)则z当连线经过C时斜率最小，此时,解C(8,-1)，则z故的取值范围为故选：D8．已知随机变量的分布列如下表：X -1 0 1P a b c其中.若的方差对所有都成立，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由的分布列可得：的期望为，，所以的方差，因为所以当且仅当时，取最大值，又对所有都成立，所以只需，解得，所以.故选D9．已知三棱锥的所有棱长为是底面内部一个动点包括边界，且到三个侧面，，的距离，，成单调递增的等差数列，记与，，所成的角分别为，，，则下列正确的是A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意知正四面体的顶点在底面的射影是正三角形的中心，则，，其中，表示直线、的夹角，，，其中，表示直线、的夹角，，，其中，表示直线的夹角，由于是公共的，因此题意即比较与，，夹角的大小，设到，，的距离为，，则，其中是正四面体相邻两个面所成角，所以，，成单调递增的等差数列，然后在中解决问题由于，结合角平分线性质可知在如图阴影区域不包括边界从图中可以看出，、所成角小于所成角，所以，故选D．10．已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】圆心O（0，0）到直线y＝x﹣2，即x﹣y﹣20的距离d2，由d2r2，且，得22+S n＝2a n+2，∴4+S n＝2（S n﹣S n﹣1）+2，即S n+2＝2（S n﹣1+2）且n≥2；∴{S n+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列．由22+S n＝2a n+2，取n＝1，解得＝2，∴S n+2＝（+2）•2n﹣1，则S n＝2n+1﹣2；∴（n≥2）．＝2适合上式，∴．设，，所以.所以，若对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立.设，因为，所以，故的最大值为因为，所以.故选:B非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为__________．【答案】分【解析】一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．，解得，“立春”时日影长度为：分．故答案为．12．在ABC V 中，角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ．若， 3a =， 2c =，则cos C = __________； ABC V 的面积为__________． 【答案】7922 【解析】∵， 3a =， 2c =，∴3b a ==，∴，，∴ABC V 的面积．13．二项式61(3)x x-的展开式中，常数项等于__________；二项式系数和为__________. 【答案】,540-64 【解析】，常数项为当026=-r 时，即3=r 时，所以，二项式系数为.14．如图，扇形中，半径为1，的长为2，则所对的圆心角的大小为_____ 弧度；若点是上的一个动点，则当取得最大值时，_____.【答案】2 0 【解析】 由弧长公式得：，即所对的圆心角的大小为2弧度，由三角函数定义可建立以点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴的直角坐标系，易得：，，设，则，则，又，所以，当即时，取得最大值，故答案为：2，0．15．从5名男医生名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男女医生都有，则不同的组队方案共有______种数字回答．【答案】70【解析】解：直接法：一男两女，有种，两男一女，有种，共计70种间接法：任意选取种，其中都是男医生有种，都是女医生有种，于是符合条件的有种．故答案为：70．16．已知函数．若在上是单调函数，则______；若对任意实数k，方程都有解，则a的取值范围是______．【答案】0【解析】作出函数的图象，在上是单调函数，可得，而的对称轴为，可得在R上递增，即有；对任意实数k，方程都有解，即恒有解，即直线和的图象恒有交点，可得的值域为R，由时，时，；时，递增，且，不成立；由，解得或，当时，由图象可得的值域为R，当时，由图象可得的值域不为R，综合可得a的范围是故答案为：0，17．已知直线l过椭圆C：的左焦点F且交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点若，过点O作直线AB的垂线，垂足为H，则点H为______．【答案】或【解析】由椭圆C：，可得，若直线l无斜率，直线l方程为，此时，，∴，不符合题意．若直线l有斜率，设直线l的方程为，联立方程组，消元得：，设，，则，，，，，∴，化为：．解得．∴直线l的方程为，或，经过O且与直线l垂直的直线方程为：联立，．解得，或．故答案为：，或．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，以角的终边为始边，逆时针旋转得到角．Ⅰ求的值；Ⅱ求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】解：Ⅰ角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，．Ⅱ以角的终边为始边，逆时针旋转得到角，．由Ⅰ利用任意角的三角函数的定义可得，，，．．19．如图，在直三棱柱中，，，，为线段的中点，为线段上一动点（异于点），为线段上一动点，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（I）证明：因为，为线段的中点，所以，在直三棱柱中，易知平面，，而；平面，；又因为，；所以平面，又平面；所以平面平面；（II）由（I）可建立如图空间直角坐标系，因为所以，则，，设，所以，因为，，所以，，解得：（异于点） ,设平面的法向量为，则即，可取，设直线与平面所成角为，则,直线与平面所成角的正弦值为.20．设数列的前项和为，且满足：．（1）若，求的值；（2）若成等差数列，求数列的通项公式．【答案】(1) 或．(2)【解析】（1）因为，所以，即，解得或．（2）设等差数列的公差为．因为，所以，①，②．③②-①，得，即，④③-②，得，即，⑤⑤-④，得，即．若，则，与矛盾，故．代入④得，于是．因为，所以，所以，即，整理得，于是．因为，所以，即．因为，所以．所以数列是首项为，公差为的等差数列．因此，．21．抛物线的焦点F为圆C：的圆心．求抛物线的方程与其准线方程；直线l与圆C相切，交抛物线于A，B两点；若线段AB中点的纵坐标为，求直线l的方程；求的取值范围．【答案】（1） ,；（2）或；②【解析】解：（1）由圆配方可得：，可得圆心．抛物线的焦点．，解得．抛物线的准线方程为：．抛物线的方程为（2）设直线的方程为：，，直线与圆相切，，化为：．，或．联立，化为：，．，或．即，解得或所以可得的范围为或，．线段中点的纵坐标为，，，，解得或，故直线的方程为或②.设，或当时，单调递增，，当时，单调递减，．的取值范围是．22．已知函数在处取得极小值．（1）求实数的值；（2）设，讨论函数的零点个数．【答案】（1）（2）当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.【解析】（1）函数的定义域为，函数在处取得极小值，得当时，则时，；当时，在上单调递减，在上单调递增时，函数取得极小值，符合题意（2）由（1）知，函数，定义域为则：令，得；令，得在上单调递减，在上单调递增当时，函数取得最小值当，即时，函数没有零点；当，即时，函数有一个零点；当，即时，存在，使在上有一个零点设，则当时，，则在上单调递减，即当时，当时，取，则存在，使得在上有一个零点在上有两个零点，综上可得，当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.。

2019年浙江省普通高中学业水平名师预测卷（四）一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合A B I 是( ) A ．(],1∞ B ．[]0,1C ．[]1,0-D ．[1,)-+∞【答案】C【解析】分别求出集合A ，集合B ，由此能求出集合A B I ． 【详解】Q 全集U =R ，集合{|||1,}{|11}A x x x R x x =∈=-剟?，集合{|21,}{|0}xB x x R x x =∈=剟， ∴集合{|10}[1,0]x x A B =-=-I 剟．故选：C ． 【点睛】本题考查交集的求法、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2．化简AB BD AC CD +--=u u u r u u u r u u u r u u u r（ ）A ．AD u u u rB ．0rC ．BC uuu rD ．DA uuu r【答案】B 【解析】根据向量加法法则，先计算AB BD +u u u r u u u r，再计算AC CD --u u u r u u u r ，最后求和即可【详解】解： 0()()AB BD AC CD AB BD AC CD AD AD +--=+-+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ，故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的加法法则以及运算律；是一道基础题.3．对空间中两条不相交的直线a 和b ，必定存在平面α，使得 （ ） A ．,a b αα⊂⊂ B ．,a b αα⊥⊥C ．,//a b αα⊂D ．,a b αα⊂⊥【答案】C【解析】讨论两种情况，利用排除法可得结果. 【详解】a 和b 是异面直线时，选项A 、B 不成立，排除A 、B ； a 和b 平行时，选项D 不成立，排除D,故选C. 【点睛】本题主要考查空间线面关系的判断，考查了空间想象能力以及排除法的应用，属于基础题.4．已知()y f x =的图像如图，则(2)y f x =-的图像为下列四图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】作()y f x =的图像关于y 轴对称的对称图形得到()y f x =-的图像，再将()y f x =-的图像沿x 轴正方向平移2个单位长度，得2)][)((2y f x x f ==---的图像. 【详解】解：将(2)y f x =-变形为[(2)]y f x =--，作()y f x =的图像关于y 轴对称的对称图形得到()y f x =-的图像，将()y f x =-的图像沿x 轴正方向平移2个单位长度，得2)][)((2y f x x f ==---的图像. 故选：C . 【点睛】本题考查函数图像的平移变换以及对称变换；基础题.5．已知原命题：“若2a b +…，则,a b 中至少有一个不小于1”，那么原命题与其否命题的真假情况是（ ） A ．原命题为真，否命题为假 B ．原命题为假，否命题为真 C ．原命题与否命题均为真命题 D ．原命题与否命题均为假命题【答案】A【解析】原命题与逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假，本题选择逆否命题和逆命题判断较为简单. 【详解】解：逆命题为“若,a b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥.”，如2,1,1a b a b ==-+=，故逆命题为假命题.否命题为“若2a b +<，则,a b 都小于1”，如1,3,2a b a b +===-，故否命题为假命题，逆否命题为“若,a b 都小于1，则2a b +<.”因为1,1a b <<，根据同向不等式相加得2a b +<，故逆否命题为真命题. 其中原命题与逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假， 故选：A . 【点睛】考查四种命题的真假关系，基础题.6．点1F 和2F 是双曲线2213x y -=的两个焦点，则12||F F =（ ）A B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】根据双曲线方程可求焦距，即可得12F F . 【详解】由2213x y -=可知221,3a b ==所以2224c a b =+=，则2,24c c ==， 所以1224F F c ==. 【点睛】本题主要考查了双曲线的方程，双曲线的简单几何性质，属于中档题.7．已知5sin 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．45 B ．45-C ．35D ．35-【答案】C【解析】由三角恒等变换将所求角向已知角变换，其中借助同角三角函数关系与余弦的二倍角公式. 【详解】由题意得23sin 2cos 212sin 245ππααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换给值求值问题，属于基础题. 8．已知方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：因为方程表示焦点在y 轴上的椭圆，因此2k-1>0,2-k>0,同时2k-1>2-k,这样解得为选项C9．等差数列{}n a 满足23a =，47a =，则其前5项和5S =（ ） A ．9 B ．15C ．25D ．50【答案】C【解析】分析：利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，再根据等差数列前n 项和公式可求得结果.详解：设等差{}n a 数列的公差为d ，∵23a =，47a =，∴11337a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a =，2d =，由等差数列前n 项和得554512252S ⨯=⨯+⨯=，故选C. 点睛：本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式的用法，解题的关键是求出首项和公差，属于基础题10．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，沿BD 将ABD △折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AC ，则在四面体ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】∵面ABD ⊥面BCD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥面BCD ，又AB ⊂面ABC ， ∴面ABC ⊥面BCD ，同理，面ACD ⊥面ABD. 故四面体ABCD 中互相垂直的平面有3对． 【考点】空间面面垂直.11．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要 A ．7天 B ．8天C ．9天D ．10天【答案】C【解析】设所需天数为n 天，第一天3为1a 尺，先由等比数列前n 项和公式求出1a ，在利用前n 项和n 50S ≥，便可求出天数n 的最小值． 【详解】设该女子所需天数至少为n 天，第一天织布1a 尺，由题意得：()5512512S -==- ，解得1531a =， ()512315012nn S -=≥- ，解得2311n ≥，982=512,2=256，所以要织布的总尺数不少于50尺，该女子所需天数至少为9天， 故选C.本题考查等比数列的前n 项和，直接两次利用等比数列前n 项和公式便可得到答案． 12．如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，侧棱AA '⊥底面A B C '''，且A B C '''V 是正三角形，若点P 是上底面ABC 内的任意一点，则三棱锥P A B C '''-的正视图与侧视图的面积之比为（ ）（注：以垂直于平面ACC A ''的方向为正视图方向） A ．12B ．32C ．1D 23【答案】D【解析】底面边长为a ，高为h ，正视图是以底为a ，高为h 的三角形，侧视图是以底为32a 高为h 的三角形，分别求出其面积再求比值即可. 【详解】设直三棱柱的底面边长为a ，高为h ，则三棱锥P A B C '''-的正视图是以底为a ，高为h 的三角形，其面积为12ah ， 三棱锥P A B C '''-3高为h 的三角形，其面积为133224ah ⨯=， 123233ah ah =，故选：D . 【点睛】本题主要考查了简单物体的三视图，以及三角形的面积公式，属于基础题.13．已知函数()xf x e =，()lng x x =，若有()()f m g n =，则n 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【解析】根据()f m 值域确定n 的取值范围. 【详解】由()e 0xf x =>，()()f mg n =，则()ln 0g n n =>，∴1n >，故选C ．【点睛】本题考查函数与方程，考查基本分析求解能力.14．不等式组0,40,(0)x y x y m x m +⎧⎪-+>⎨⎪⎩………表示的平面区域的面积是9，则m 的值是（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．1【答案】D【解析】画出不等式组所表示的平面区域，求得顶点的坐标，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】画出不等式组0,40,(0)x y x y m x m +≥⎧⎪-+≥>⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图所示，得到平面区域是以(2,2),(,),(,4)m m m m --+为顶点的三角形区域（包含边界），则该区域的面积为1[(2)][4()]92m m m --+--=，解得1m =（舍负）. 故选：D .【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域，以及三角形面积公式的应用，其中解答中准确作出不等式组所表示的平面区域是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力.15．已知22C :4630x y x y +---=n ,点()M 2,0-是C n 外一点，则过点M 的圆的切线的方程是( )A ．20724140?x x y ，－+=+=B ．20724140y x y +=++=，C ．20724140?x x y ，+=++=D ．20724140y x y +=+=，－ 【答案】C 【解析】 【详解】圆22C :4630x y x y +---=，即（222316x y -+-=）（）， 故圆心是23（，），半径是4，点 点()M 2,0-是圆C 外一点，显然20x += 是过点M 的圆的一条切线， 设另一条切线和圆相切于P a b （，），则MP 的斜率是2ba +，直线MP 的方程是：220bx a yb -++=（）， 故43122b ba a -⋅-⎪-+⎩，＝解得：26,7a b -⎧⎨⎩＝＝ 故切线方程是724140x y ++=，故选C ． 【点睛】本题考查了圆的切线方程问题，考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离，解题时应注意切线斜率不存在的情况.16．关于x 的不等式0ax b ->的解集为(),1-∞-，则关于x 的不等式()()20x ax b -+<的解集为（ ） A ．()1,2- B ．()1,2C ．()(),12,-∞-+∞UD ．()(),12,-∞⋃+∞【答案】D【解析】0ax b ax b ->⇒>,由于解决为1x <-,故0a <,且1ba=-,故()()20x ax b -+=的开口向下,两个根为1,2,所以解集为1,2x x.故选D .17．在ABC V 中，若tan tan tan A B A B ++=⋅，且sin cos B B ⋅=，则ABC V 的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．正三角形或直角三角形D ．正三角形【答案】D【解析】由两角和的正切公式求得A B +，从而得C ，由二倍角公式求得B ，再求得A ，注意检验符合题意，可判断三角形形状． 【详解】tan tan tan tan A B A B ++=⋅，∴tan tan tan()1tan tan A BA B A B+==+-⋅，∴23A B π+=，3C π=由sin cos 4B B ⋅=，即sin 22B =. ∴23B π=或23π. 当6B π=时，2A π=，tan A 无意义.当3B π=时，3A π=，此时ABC V 为正三角形.故选：D. 【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查两角和的正切公式和二倍角公式，根据三角公式求出角是解题的基本方法．18．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为6的正方形，且PA PB PC PD ===，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（ ） A ．6 B ．5 C ．92 D ．94【答案】D【解析】由题知，四棱锥P ABCD -是正四棱锥，球的球心O 在四棱锥的高PH 上，过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图：其中,PE PF 是斜高， A 为球面与侧面的切点．设PH h =，易知Rt PAO Rt PHF ∆~∆，所以OA POFH PF =，即22133h =+，解得94h =，故选D ．二、双空题19．已知向量(1,),(,3)a x b x ==r r ，若a r 与b r 共线，则||a =r ________；若a b ⊥r r，则||b =r_______.【答案】2 3 【解析】由a r 与b r 共线，求得3x =±||a r ，再由a b ⊥r r，求得0x =，进而得到||b r .【详解】由题意，向量(1,),(,3)a x b x ==r r因为a r 与b r 共线，可得2130x ⨯-=，解得3x =±22||1(3)2a =+±=r；又由a b ⊥r r，可得30x a x b +⋅==r r ，解得0x =，所以22||033b =+=r .故答案为：2；3. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及平面向量共线、垂直的坐标运算，其中解答中熟记向量的共线和垂直条件，结合平面向量的模的计算公式求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.三、填空题20．已知函数()31f x ax bx +=+，若()8f a =，则()f a -=__________．【答案】-6【解析】4()18f a a ab =++=，4()1f a a ab -=--+，所以()82f a -+=，()6f a -=-．点睛：本题函数的奇偶性，解题本质是利用奇函数的性质，因此关键是构造出一个奇函数，设3()()1g x f x ax bx =-=+，则()g x 为奇函数，()()1817g a f a =-=-=，于是有()()7g a g a -=-=-，所以()()17g a f a -=--=-，()6f a -=-．21．已知函数()()2sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线6x π=对称，则()0f 的值为________．【答案】1 【解析】由直线6x π=是()f x 的对称轴可得()262k k Z ππϕπ⨯+=+∈,根据22ππϕ-<<可得=6πϕ,进而求得()0f【详解】 由题,()262k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()26k k Z πϕπ=+∈,因为22ππϕ-<<,则当0k =时,=6πϕ，则()02sin 16f π==故答案为：1 【点睛】本题考查正弦型函数对称性的应用,考查三角函数值的计算22．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，直线20x y ++=经过双曲线C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________.【答案】y =【解析】利用双曲线的离心率以及焦距，列出方程，求解渐近线方程即可． 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，c a =2，直线x +y +2＝0经过双曲线C 的焦点，可得c ＝2，所以a ＝1，由2223,b c a =-=则b 又双曲线的焦点在x 轴上，所以双曲线C 的渐近线方程为：y =．故答案为y =． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.四、解答题23．已知函数()22cos cos sin f x x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求方程()0f x =在(0，π]内的所有解．【答案】（1）[,]36ππk πk π-++,k Z ∈；（2）512x π=或1112π=x【解析】先将()f x 进行恒等变换化为正弦型函数，（1）直接利用正弦函数的单调增区间得到222262k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈，解得x 的范围即可.（2）令()0f x =，解得x 的值，对k 进行赋值，使得x 落在(]0,π内，即得结果. 【详解】()22cos cos sin f x x x x x =+- cos22sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭（1）由222262k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈，解得：36k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈.∴函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈（2）由()0f x =得2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：26x k ππ+=，即122k x ππ=-+,k Z ∈∵(]0,x π∈，∴512x π=或1112x π=． 【点睛】本题考查了三角函数求值的运算问题，考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，是基础题．24．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221y x C a b+=：（0a b >>）的上顶点为()0,3A ，圆2224a O x y +=：经过点()01M ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ．若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率．【答案】（1）22143x y +=；（2）12± 【解析】（1）依据题意可得：3b =由圆22214O x y a +=：经过点()01M ，可得：2a =，问题得解．（2）当1l 的斜率为0时，检验得不合题意，可设设直线1l 的方程为1y kx =+，联立直线与椭圆方程可得()2234880kxkx ++-=，设()11P x y ，，()22Q x y ，，解得：2142621k k x --⋅+，2242621k k x -+⋅+=，由弦长公式可得：2246121k k PQ +⋅+=的面积为3列方程可得：222214612132341k k k k++⨯=++，即可求得：12k =±，问题得解．【详解】（1）因为椭圆C 的上顶点为(03A ，，所以3b =22214O x y a +=：经过点()01M ，，所以2a =． 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）若1l 的斜率为0，则PQ =，2MN =， 所以△PQN的面积为3，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0． 设直线1l 的方程为1y kx =+，由221431x y y kx ，⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 得()2234880k x kx ++-=， 设()11P x y ，，()22Q x y ，，则1x =，2x = 所以PQ =12x -.直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=，所以MN == 所以△PQN 的面积12S PQ MN =⋅132==， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±．【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了弦长公式及三角形面积公式，考查计算能力及一元二次方程的求根公式，考查转化能力，属于难题． 25．已知函数22()log (2)log (2)f x x x =--+． （1）求函数()f x 的定义域 ； （2）判断()f x 的奇偶性并加以证明;（3）若2()log ()f x ax <在1[,1]2x ∈上恒成立，求实数a 的范围. 【答案】（1）(2,2)-； （2）见解析； （3）6(,)5+∞.【解析】（1）根据函数的解析式有意义，列出方程组，即可求解； （2）直接利用函数的奇偶性的定义，即可作出判定；（3）把2()log ()f x ax <在1[,1]2x ∈上恒成立，转化为2(21)20ax a x ++->在1[,1]2x ∈上恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意，函数22()log (2)log (2)f x x x =--+有意义，则满足2020x x ->⎧⎨+>⎩，解得22x -<<，即函数()f x 的定义域为(2,2)-.（2）由（1）知，函数()f x 的定义域为(2,2)-，关于原点对称，又由2222()log (2)log (2)[og (2)log (2)]()f x x x l x x f x -=+--+=---+=-， 即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是定义域(2,2)-上的奇函数. （3）由2222()log (2)log (2)log 2xf x x x x -=--+=+ 由2()log ()f x ax <在1[,1]2x ∈上恒成立，即222log log ()2x ax x -<+在1[,1]2x ∈上恒成立， 即22x ax x -<+在1[,1]2x ∈上恒成立，即2(21)20ax a x ++->在1[,1]2x ∈上恒成立， 即函数()2(21)20h x ax a x =++->在1[,1]2x ∈上恒成立，又因为0a >，则函数()h x 的对称轴2111022a x a a +=-=--<， 则只需153()0242h a =->，解得65a >，即实数a 的取值范围是6(,)5+∞.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，函数的奇偶性的判定与证明，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中把对数式的恒成立，转化为二次函数的恒成立，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。

2019年浙江省普通高中学业水平名校模拟卷（四）试题一、单选题1．若集合1122M x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭，12xN ⎧⎪⎛⎫=<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩⎭，则M N =I （ ） A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】求出集合M 、N ，再利用交集的定义可求得集合M N ⋂. 【详解】由题意得集合{}111110122222M x x x x x x ⎧⎫⎧⎫=-≤=-≤-≤=≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，1122111222222x x N x x x --⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎛⎫=<<=<<=-<<⎨⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，因此，1100,22M N x x ⎧⎫⎡⎫⋂=≤<=⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了指数不等式与绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2．如果两条直线a 与b 没有公共点，那么a 与b （ ） A ．共面 B ．平行C ．异面D ．平行或异面【答案】D【解析】根据空间中直线与直线的位置关系的定义即可判断出直线a 与b 的位置关系. 【详解】如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，则a 与b 平行或异面. 故选：D. 【点睛】本题考查空间中两直线位置关系的判断，属于基础题.3．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．21x y ±=B ．20x y ±=C ．21x y ±=D ．20x y ±=【答案】B【解析】根据双曲线的渐近线的定义求得。

【详解】双曲线2214x y -=的渐近线方程是20x y ±=，故选：B.【点睛】此题是容易题，考查双曲线的基本定义。

4．己知a 、b ∈R 且a b >，则下列不等关系正确的是（ ）． A ．22a b > B ．||||a b <C ．1a b> D ．33a b >【答案】D【解析】分析：利用特值法排除即可. 详解：a 、b R ∈且a b >，若1a =，2b =-，则A ，C 不正确， 若2a =，1b =，则B 不正确， 根据幂函数的性质可知，D 正确， 故选D ．点睛：本题主要考查 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略. 常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．5．下面四组函数中，()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ ）A ．(),f x x =()2g x =B ．()2,f x x =()22x g x x=C ．(),f x x =()g x =D ．(),f x x =()g x =【答案】C【解析】A.不是同一函数,定义域不同,()f x 定义域为R,()g x 定义域为[0,)+∞; B.不是同一函数,定义域不同,()f x 定义域为R,()g x 定义域为{}/0x x ≠;C.是同一函数, ()g x =D. 不是同一函数,定义域不同,()f x 定义域为R,()g x 定义域为{}/0x x ≠. 故选C.6．已知(),2a x =r ，()2,1b =-r ，且a b ⊥r r，则a b -=r r （ ）A ．BC ．D ．10【答案】B【解析】由a b ⊥r r 得出0a b ⋅=r r 可求得x 的值，并求出a b -r r的坐标，由此可求得a b -r r 的值. 【详解】a b ⊥r rQ ，220a b x ∴⋅=-=r r ，所以1x =，()1,2a ∴=r ，()1,3a b -=-r r ，则a b -==r r故选：B . 【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，同时也考查了利用坐标求向量的模，考查计算能力，属于基础题.7．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】分析：由题意考查充分性和必要性即可求得最终结果. 详解：若//l αβα⊥，，则l β⊥，又//m β，所以l m ⊥；若l m ⊥，当//m β时，直线l 与平面β的位置关系不确定，无法得到//αβ. 综上，“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查线面平行的判断定理，面面平行的判断定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．椭圆22195x y +=的两个焦点为12F F , ，点P 是椭圆上任意点(非左､右顶点)，则12PF F △的周长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】利用椭圆的定义求解. 【详解】因为椭圆22195x y +=，所以3,2a b c ===，由椭圆的定义得：1226PF PF a +==，又1224F F c ==， 所以12PF F △的周长为1212626410PF PF F F c ++=+=+=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义的应用，属于基础题.9．已知函数()22xxa f x a -=+是奇函数，则()f a 的值等于（ ） A ．13- B ．3C ．13-或3D ．13或3 【答案】C【解析】函数为奇函数，则：()()f x f x -=-，即：2222x xx xa a a a ----=-++恒成立， 整理可得：212212x xx xa a a a ⋅--+=⋅++，即21a =恒成立，1a ∴=±， 当1a =时，函数的解析式为：()1212x x f x -=+，()()111211123f a f -===-+， 当1a =-时，函数的解析式为：()1212x x f x --=-+，()()11121312f a f ----=-==-+， 综上可得：()f a 的值等于13-或3. 本题选择C 选项.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．10．将函数()sin f x x π=的图象向右平移12个单位长度后得到()g x 的图象，则（ ）A ．()cos g x x π=-B ．()cos g x x π=C ．1()sin 2g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1()sin 2g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据三角函数平移，左加右减的原则，可直接得出结果. 【详解】因为将函数()sin f x x π=的图象向右平移12个单位长度后得到()g x 的图象， 所以1()sin cos 22g x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选A 【点睛】本题主要考查三角函数图像的平移问题，属于基础题型.11．直线（2k ﹣1）x ﹣（k+3）y ﹣（k ﹣11）＝0（k ∈R ）所经过的定点是（ ） A ．（5，2） B ．（2，3） C ．（﹣12，3） D ．（5，9）【答案】B【解析】将原方程重新合并同类项，即将含有k 的项合并，其它合并，由此列方程解出定点的坐标. 【详解】直线方程可化为()213110x y k x y ----+=，故2103110x y x y --=⎧⎨--+=⎩，解得定点坐标为()2,3，故选B. 【点睛】本小题主要考查含有参数的直线方程经过的定点问题，主要的方法是重新合并同类项，属于基础题.12．若数列{}n a 的通项公式()()121nn a n =-⋅-，则123100a a a a ++++=L （ ）A ．-200B ．-100C ．200D ．100【答案】D【解析】利用分组求和法相邻两项为一组计算得到答案. 【详解】由题得12341,3,5,7a a a a =-==-=……，()()121nn a n =--，()()() 123100123499100250100a a a a a a a a a a++++=++++++=⨯=L L，故选：D.【点睛】本题考查了分组求和法，意在考查学生对于数列方法的灵活运用.13．设函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）•g（x）的图象可能是下面的（）A．B．C．D．【答案】A【解析】从函数图象的对称性考虑，得出函数y＝f（x）是偶函数，函数y＝g（x）是奇函数，进而函数y＝f（x）•g（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除BD，再利用函数值考虑排除C．【详解】解：由函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象可知：函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，函数y＝g（x）的图象关于原点对称，∴函数y＝f（x）是偶函数，函数y＝g（x）是奇函数，∴函数y＝f（x）•g（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除BD，当x取很小的正数时，f（x）＞0，g（x）＜0，∴f（x）g（x）＜0，故A符合，而C 不符合，故选A．【点睛】本题主要考查函数的图象与函数的性质，由图象的对称性推导函数的奇偶性是解题的关键，属于基础题．14．已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）A ．22(2)(2)1x y ++-=B ．22(2)(2)1x y -++=C ．22(2)(2)1x y +++=D ．22(2)(2)1x y -+-=【答案】B【解析】试题分析：在圆2C 上任取一点(),x y ,则此点关于直线10x y --=的对称点()1,1y x +-在圆()()221:111C x y ++-=上,所以有()()2211111y x +++--=，即()()22221x y -++=,所以答案为()()22221x y -++=,故选B.【考点】曲线关于直线的对称曲线方程的求法.15．已知ABC V 中，()()sin sin sin sin a b c A B C a B +++-=，其中A ，B ，C 为ABC V 的内角，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，则C =（ ）A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B【解析】根据正弦定理整理得到222a b c ab +-=-，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】由题意结合正弦定理得()()2222a b c a b c a ab b c ab +++-=++-=，即222a b c ab +-=-，由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，()0,C π∈，则23C π=. 故选：B . 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，利用正弦定理对题中的条件进行合理变形并结合余弦定理求解是解题的关键.16．设α、β、γ是三个互不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是A ．若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥B ．若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥C ．若αβ⊥，m α⊥，则//m βD ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m β【答案】D 【解析】略17．已知两点()1,1A -，()3,5B ，点C 在曲线22y x =上运动，则AB AC →→⋅的最小值为（ ） A ．2 B ．12C ．2-D ．12-【答案】D【解析】设()200,2C x x ，根据平面向量数量积的坐标运算可将所求数量积化为二次函数的形式，利用二次函数的最值可求得结果. 【详解】 设()200,2C x x，则()4,4AB →=，()201,21AC xx →=+-，2220000011448484842AB AC x x x x x →→⎛⎫∴⋅=++-=+=+- ⎪⎝⎭，则当014x =-时，AB AC →→⋅取得最小值12-.故选：D . 【点睛】本题考查平面向量数量积的最值的求解，涉及到二次函数最值的求解；解题关键是能够熟练应用平面向量数量积的坐标运算来将问题转化为二次函数的最值的求解问题. 18．若函数()24f x x x a =-+有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a >B ．4a <-C ．4a <-或0a =D ．4a >或0a =【答案】C【解析】令()24g x x x =-，将函数()24f x x x a =-+有2个零点，转化为函数()y g x =与函数y a =-的图象有两个交点，利用数形结合法求解.【详解】令()24g x x x =-，作出函数()g x 的图象如图所示，若函数()24f x x x a =-+有2个零点，则函数()y g x =与函数y a =-的图象有两个交点，所以0a -=或4a ->，即0a =或4a <-， 所以实数a 的取值范围是4a <-或0a =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的零点，还考查了数形结合思想和运算求解的能力，属于中档题.二、双空题19．双曲线2214y x -=的渐近线方程是_____，离心率为_____．【答案】2y x =±5【解析】由2204y x -=，能求出其渐近线方程，再由2a =，5c =率． 【详解】由2204y x -=得其渐近线方程为2y x =±，且2a =，5c =52e =． 故答案为2y x =±5． 【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用，属于基础题．三、填空题20．三个不相交的平面把空间分成_____________部分. 【答案】4【解析】根据平面的位置关系，确定平面把空间分成的部分数目即可. 【详解】三个不相交的平面即三个平行平面可以把空间分成4部分. 故答案为：4. 【点睛】本题考查平面的基本性质及推论，解题关键是弄清楚平面之间的关系，属于基础题.21．设,x y 满足01y y x x y ⎧>⎪≤⎨⎪+≤⎩，则3x y +的最大值为______.【答案】2【解析】根据约束条件画出可行域如下图，目标函数z=x+3y,可化为1133y x z =-+，即求截距的最大值。