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统计学方法及应用实例统计学是一门研究收集、分析、解释和呈现数据的学科。
它提供了一些方法和技术，以便我们能够更好地理解和利用数据，从而做出更加准确和可靠的决策。
统计学的应用非常广泛，无论是在科学研究、医学、商业决策还是社会科学领域，统计学都发挥着重要的作用。
下面我将详细介绍一些常见的统计学方法及其应用实例。
1. 描述统计学方法：描述统计学方法主要用于对数据进行总结和描述，可以从统计量、图表和图像等角度来展示数据的特征。
例如，在营销研究中，我们可以使用描述统计学方法来分析市场调研数据。
通过计算平均数、中位数、众数等统计量，我们可以了解产品的平均满意度，最常见的问题或最常见的需求。
此外，我们还可以使用柱状图、条形图和饼图等图表来直观地呈现调查结果。
2. 推论统计学方法：推论统计学方法主要用于从样本数据中推导总体的特征，并对这些推断进行合理的评估和解释。
例如，在医学研究中，研究人员通常会收集一部分人群的数据，然后根据这些样本数据推断整个人群的特征。
通过使用假设检验和置信区间等方法，研究人员可以检查两种药物的疗效是否有显著差异。
此外，回归分析可以用于预测患者的生存率、治疗效果等。
3. 整体分析方法：整体分析方法主要用于研究多个变量之间的关系和影响，以及对推断模型的拟合和评估。
例如，在经济学研究中，我们可以使用多元回归分析来研究多个因素对经济增长的影响。
通过同时考虑多个变量，我们可以了解各个因素对经济增长的贡献程度，以及是否存在相互作用。
此外，方差分析可以用于研究不同人群之间的差异，例如不同年龄组的收入差异。
4. 随机模拟方法：随机模拟方法主要用于生成模拟数据，以便我们能够更好地理解和研究复杂的问题。
例如，在金融风险管理中，我们可以使用蒙特卡洛模拟来模拟不同市场情况下的投资回报，从而评估投资组合的风险和收益。
通过运行大量的模拟实验，我们可以计算出投资组合在不同市场情况下的预期收益和风险，以帮助投资者做出更加明智的投资决策。
统计学思想方法及应用统计学是一门研究数据收集、整理、分析和解释的学科。
它的主要目标是为了帮助人们从数据中发现规律、理解现象、做出推断并作出决策。
统计学的思想方法和应用有很多，其中一些重要的如下所述：一、统计调查方法:统计调查是收集和处理数据的一种常用方法，在社会科学、市场调研和调查研究等领域都有广泛的应用。
统计调查的核心是通过随机抽样获取代表性样本，然后根据样本的特征和表现进行推断，以最大程度地预测总体的特征和表现。
二、概率论方法:概率论是统计学的基础，它研究的是随机现象的规律性和可预测程度。
通过概率论的方法，可以计算和预测事件发生的可能性，并在实际应用中通过概率模型进行决策。
三、描述统计方法:描述统计方法是对已有数据进行整理、总结和呈现的一种手段。
它通过计算数据的集中趋势（如均值、中位数和众数）和离散趋势（如标准差和极差），来描述数据的特征和变化情况。
四、推断统计方法:推断统计方法是通过从样本中得出总体的推断，即从部分推断整体。
经典的统计推断方法包括参数估计和假设检验，通过基于样本的统计量进行总体特征的估计和判断，可对总体进行预测和推断。
五、回归分析方法:回归分析是一种统计建模方法，用于研究变量之间的关系和预测效果。
线性回归分析是其中最常用的一种方法，通过建立线性回归方程来描述和解释自变量对因变量的影响。
六、多元统计方法:多元统计方法是研究多个自变量对因变量的影响和相关性。
常见的多元统计方法包括主成分分析、聚类分析、因子分析等。
它们可以帮助研究者对多个变量间的复杂关系进行综合和全面的分析。
七、时间序列分析方法:时间序列分析是研究时间上变化的统计方法，用于揭示时间趋势和周期性规律，并进行未来的预测。
常见的时间序列分析方法包括移动平均法、指数平滑法、ARIMA模型等。
统计学方法和思想的应用非常广泛，几乎可以渗透到各个领域。
在商业领域，统计学可以用于市场调研、销售预测和财务分析等方面。
在医学领域，统计学可以用于临床试验设计、流行病学调查和药物评价等方面。
统计思维方法及应用
统计思维是指通过收集、整理、分析和解释数据来进行推理和决策的一种思考方式。
统计思维方法包括描述统计、推断统计和预测统计。
描述统计是通过对数据的整理和总结来描述数据的特征，比如平均值、中位数、标准差等。
推断统计是基于样本数据对总体特征进行推断，包括假设检验和置信区间估计。
预测统计则是通过历史数据和趋势来预测未来的情况。
统计思维方法的应用非常广泛。
在科学研究中，统计思维被用来分析实验数据，验证假设和发现规律。
在经济领域，统计思维被用来分析市场趋势、预测经济走势和评估风险。
在医学领域，统计思维被用来评估治疗效果、研究疾病的流行病学特征等。
在社会科学领域，统计思维被用来分析民意调查数据、研究社会现象等。
在工程领域，统计思维被用来进行质量控制、产品改进等。
在金融领域，统计思维被用来进行风险管理、投资组合分析等。
总之，统计思维方法在各个领域都有着重要的应用价值。
通过运用统计思维方法，人们可以更加客观地分析问题、做出决策，并且更好地理解世界。
统计学统计方法应用案例分析统计学是一门研究数据收集、整理、分析和解释的科学。
它通过应用各种统计方法，能够帮助我们理解和解释事物背后的规律以及进行有效的决策。
本文将通过分析一个统计学应用案例来展示统计方法在实际问题中的威力。
案例描述：某电子商务平台希望了解用户对其平台服务的满意度水平，并希望找出影响用户满意度的主要因素。
为实现这一目标，该平台进行了一项用户调查，收集到了大量的数据。
第一步：数据整理与描述统计在统计学中，数据整理的第一步是对数据的描述统计分析。
通过计算各个变量的均值、中位数、标准差等统计指标，可以快速了解数据的分布情况。
在这个案例中，我们有如下几个变量：用户满意度、购买频率、平台推荐度、客户服务评分等。
首先，我们计算了用户满意度的平均值为4.2分（满分为5分），标准差为0.8。
购买频率的平均值为2.5次/月，标准差为1.0次/月。
平台推荐度的平均值为4.0分，标准差为0.9。
客户服务评分的平均值为4.5分，标准差为0.7。
通过这些统计指标，我们可以初步了解到用户对该电子商务平台的整体满意度较高，购买频率和平台推荐度相对较低，客户服务评分较高。
第二步：相关性分析相关性分析可以帮助我们了解不同变量之间的关系。
在这个案例中，我们想要了解不同因素与用户满意度之间的相关性。
为了实现这一目标，我们使用了皮尔逊相关系数进行相关性分析。
分析结果显示，用户满意度与购买频率之间存在显著正相关（相关系数为0.6），表明购买频率越高，用户满意度也越高。
然而，用户满意度与平台推荐度之间的相关性较低（相关系数为0.3），表明用户对平台推荐度评价的变化与满意度之间的关系不显著。
另外，用户满意度与客户服务评分之间存在正相关（相关系数为0.7），表明客户服务质量对用户满意度有较大的影响。
第三步：回归分析回归分析是一种常用的统计方法，用于探究自变量与因变量之间的关系，并建立回归方程进行预测。
在这个案例中，我们使用了多元线性回归分析，目的是找出对用户满意度最具影响力的因素。
第三章统计案例（综合训练1）一、学习要求1．通过典型案例的探究，了解统计学中对两个变量统计分析的思想方法和步骤；2．能综合运用概率、统计的知识解决有关问题。
二、问题探究■合作探究例1．【10新课标（文19）】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要40 30不需要160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人比例；（2）能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由.附：0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828。
【解析】（1）样本中，该地区的老年人需要志愿者提供帮助的有：403070+=（人），∴估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人比例为：707 50050=。
（2）根据表中数据，得到：，∵，∴有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关。
（3）根据（2）的结论可知，地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，所以可按性别进行分层抽样调查，从而能更好地估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例。
■自主探究1．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为。
（Ⅰ）补充完整上面的列联表，并判断是否有的把握认为喜爱打篮球与性别有关？（Ⅱ）若采用分层抽样的方法从喜爱打篮球的学生中随机抽取3人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？解：（Ⅰ）这50人中喜爱打篮球的人数为:（人）。
列联表补充如下：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20 5 25女生10 15 25合计30 20 50，∵，∴有的把握认为喜爱打篮球与性别有关。
统计思想方法总结文案范文统计思想方法总结统计思想方法是指运用统计学的基本原理和思想，采用一定的方法手段来收集、处理和分析数据以揭示事物本质和规律的一种科学思维方式。
在现代社会，统计思想方法被广泛应用于各个领域，如经济、管理、社会学、医学等，起着十分重要的作用。
下面将对统计思想方法进行总结。
一、数据的收集方法数据是统计研究的基础，数据的收集方法直接影响到统计分析的可靠性和准确性。
常见的数据收集方法包括抽样调查、实验观察、问卷调查等。
抽样调查是在总体中随机选择一部分样本进行调查研究，通过对样本的观察和测量，得到总体的特征和规律。
实验观察是通过人为的控制和干预来观察和测量不同处理下变量的变化情况。
问卷调查是通过发放问卷给受访者，通过他们的回答来收集相关数据。
二、数据的处理方法数据的处理是指对收集的数据进行整理、归纳和计算的过程。
常见的数据处理方法包括数据的清洗、数据的归纳和数据的计算。
数据清洗是指对收集的数据进行查漏补缺、去除异常值等处理，保证数据的可靠性和准确性。
数据归纳是指将大量的原始数据进行分类、整理和总结，得出数据的特征和规律。
数据计算是指对数据进行统计分析，如求平均数、方差、相关系数等，揭示数据的统计特性。
三、数据的分析方法数据的分析是指运用统计学的理论和方法对数据进行解释和推断的过程。
常见的数据分析方法包括描述统计分析和推断统计分析。
描述统计分析是对数据进行统计描述，如计算平均数、方差、标准差等，总结数据的特征和规律。
推断统计分析是利用样本数据对总体进行推断性的分析，如利用样本数据推断总体的平均数、方差等，得出总体的特征和规律。
四、数据的呈现方法数据的呈现是将统计分析的结果以图表等形式展示出来，以便于观察和理解。
常见的数据呈现方法包括表格、图表和图像等。
表格是将数据以表格形式展示，清晰明了，便于比较和分析。
图表是通过绘制图形来展示数据，如柱状图、折线图、饼图等，直观、明了，可以使数据更有说服力。
统计数据分析方法与案例研究统计数据分析是现代社会中广泛应用的一种方法，它可以帮助我们理解和解释大量的数据，从而得出有关现象和趋势的结论。
在本文中，我们将介绍一些常用的统计数据分析方法，并通过案例研究来说明其应用。
一、描述性统计描述性统计是对数据进行总结和描述的方法，它可以通过计算平均值、中位数、众数和标准差等来描述数据的分布和变化趋势。
通过描述性统计，我们可以对数据进行初步的了解和分析。
例如，假设我们对某个国家的人口数据进行描述性统计分析。
我们可以计算出该国的人口平均年龄、男女比例、城市化水平等指标，从而得出该国的人口特点和发展趋势。
二、推断统计推断统计是通过对样本数据进行分析和推断来得出总体数据的一种方法。
在推断统计中，我们通常会利用概率理论和抽样方法来进行分析。
举个例子，假设我们想知道某个城市的失业率。
由于无法对所有居民进行调查，我们可以随机抽取一部分人口作为样本，并根据样本数据推断出整个城市的失业率。
三、回归分析回归分析是一种可以用来探索变量之间关系的统计方法。
通过回归分析，我们可以建立一个数学模型来描述自变量与因变量之间的关系，并用该模型来进行预测和解释。
举个例子，假设我们想知道某个城市的房价与房屋面积之间的关系。
我们可以收集一些房价和房屋面积的数据，并利用回归分析建立一个回归模型，从而预测出不同面积的房屋的价格。
四、假设检验假设检验是一种通过对收集到的数据进行统计推断来验证关于总体的假设的方法。
它可以帮助我们判断某个观察结果是否仅仅是由随机因素导致的，还是具有统计显著性的。
举个例子，假设我们想研究某个新药物对疾病的治疗效果。
我们可以将一部分患者随机分为治疗组和对照组，在一定时间后比较两组患者的治疗效果，并利用假设检验来判断这个差异是否具有统计显著性。
案例研究：某银行客户流失分析某银行希望对客户流失进行分析，以了解客户流失的原因和趋势，从而采取相应的措施来留住客户。
为了实现这一目标，银行收集了一些客户数据，并运用统计数据分析方法进行了研究。
1 回归分析与独立性检验的理解与加深一、回归分析1.回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中：b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ^ ＝y －b ^x . (注：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x 2主要方便计算，其中(x i ，y i )为样本数据，(x ，y )为样本点的中心)公式作用：通过刻画线性相关的两变量之间的关系，估计和分析数据的情况，解释一些实际问题，以及数据的变化趋势. 公式联系：是进行残差分析的基础. 2.样本相关系数的具体计算公式：r ＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2∑ni ＝1(y i －y )2＝∑n i ＝1x i y i －n x y(∑ni ＝1x 2i －n x 2)(∑ni ＝1y 2i －n y 2)公式作用：反映两个变量之间线性相关关系的强弱.当r 的绝对值接近1时，表明两个变量的线性相关性越强；当r 的绝对值接近0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.规定当r >0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.公式联系：(1)由于分子与回归方程中的斜率b 的分子一样(这也给出了公式的内在联系以及公式的记法)，因此，当r >0时，两个变量正相关；当r <0时，两个变量负相关. (2)常配合散点图判断两个随机变量是否线性相关.散点图是从形上进行粗略地分析判断，这个判断是可行的、可靠的，也是进行线性回归分析的基础，否则回归方程失效；它形象直观地反映了数据点的分布情况.相关系数r 是从数上反映了两个随机变量是否具有线性相关关系，以及线性相关关系的强弱，它较精确地反映了数据点的分布情况，准确可靠.3.我们可以用相关指数R 2来刻画回归的效果，其计算公式是：R 2＝1－∑ni ＝1 (y i －y ^i )2∑ni ＝1 (y i －y )2＝∑ni ＝1(y i －y )2－∑n i ＝1(y i －y ^i )2∑n i ＝1(y i －y )2用R 2来刻画回归的效果.对于已经获取的样本数据，R 2表达式中的∑ni ＝1(y i －y )2为确定的数.因此R 2越大，意味着残差平方和∑n i ＝1(y i －y ^i )2越小，即模型的拟合效果越好；R 2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.在线性回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率.R 2越接近于1，表示回归的效果越好.R 2是常用的选择模型的指标之一，在实际应用中应该尽量选择R 2大的回归模型. 二、独立性检验(一)基础概念的梳理与理解1.分类变量：对于宗教信仰来说，其取值为信宗教信仰与不信宗教信仰两种.像这样的变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量.例如性别变量其取值为男和女两种，吸烟变量其取值为吸烟与不吸烟两种.2.两个分类变量：是否吸烟与是否患肺癌，性别男和女与是否喜欢数学课程等等，这些关系是我们所关心的.3.2×2列联表：列出的两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的样本频数表称为2×2列联表(如下表).(二)两个分类变量是否有关的粗略估计 等高条形图由深、浅颜色的高度可见两种情况下的百分比；另一方面，数据a a ＋b 要比c c ＋d 小得多，因此，说明两分类变量X 和Y 有关系成立的可能性较大.重点：等高条形图能直观地看出在两个分类变量频数相等的情况下，各部分所占的比例情况. (三)独立性检验的基本思想上面通过分析数据与图形，得出的估计是粗略的，因为我们说的“大得多”、“小得多”，到底是有多大的差距？也就是说得到的结论是直观上的印象，其实与是否有关还是有较大的差距的.但是上面的分析给了我们一种重要的思想方法.下面从理论上说明两类分类变量是否有关，请同学们从中体会其思想方法. 1.基本思想与图形的联系假设两类分类变量是无关的，可知如下的比应差不多，即：a a ＋b ≈cc ＋d ⇒|ad －bc |＝0.构造随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )(此公式如何记忆，其特点是什么？结合2×2列联表理解).显然所构造的随机变量与|ad －bc |的大小具有一致性. 2.独立性检验的思想方法如果K 2的观测值较大，说明其发生(无关系)的概率很小，此时不接受假设，也就是两分类变量是有关系的(称小概率事件发生)；如果K 2的观测值较小，此时接受假设，说明两分类变量是无关系的.其思想方法类似于数学上的反证法. 3.得到K 2的观测值k 常与以下几个临界值加以比较：如果k >2.706，就有90%的把握认为两分类变量X 和Y 有关系；如果k >3.841，就有95%的把握认为两分类变量X 和Y 有关系；如果k >6.635，就有99%的把握认为两分类变量X 和Y 有关系；如果k >10.828，就有99.9%的把握认为两分类变量X 和Y 有关；如果k ≤2.706，就认为没有充分的证据说明变量X 和Y 有关系.像这种利用随机变量K 2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.2 回归分析题型归纳相关关系是自然中普遍存在的关系，高考中对具有线性相关关系的考查已成为趋势，有的考查概念性质，更多是考查线性回归方程的实际应用，下面精选几例题型供赏析. 一、考查相关系数例1 变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1).r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( ) A.r 2<r 1<0 B.0<r 2<r 1 C.r 2<0<r 1D.r 2＝r 1解析 方法一 由散点图可以得出结论： 变量X 与Y 正相关；变量U 与V 负相关. 故r 1>0，r 2<0，因此选C. 方法二 由线性相关系数公式知r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2.∵X ＝U ＝11.72，Y ＝V ＝3，X i ＝U i (i ＝1,2，…，5)，Y i ＝V 6－i (i ＝1,2，…，5)， ∴∑i ＝15(X i －X )2∑i ＝15(Y i －Y )2＝ ∑i ＝15(U i －U )2∑i ＝15(V i －V )2.令∑i ＝15(X i －X )(Y i －Y )＝A＝(10－X )(1－Y )＋(11.3－X )(2－Y )＋(11.8－X )·(3－Y )＋(12.5－X )(4－Y )＋(13－X )(5－Y )，∑i ＝15(U i －U )(V i －V )＝B＝(10－U )(5－V )＋(11.3－U )(4－V )＋(11.8－U )·(3－V )＋(12.5－U )(2－V )＋(13－U )(1－V )，∴A >0，B <0，∴r 1>0，r 2<0. 答案 C二、考查线性回归直线的性质例2 已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′答案 C解析 b ′＝2，a ′＝－2，由公式b ^＝∑i ＝16(x i －x )(y i －y )∑i ＝16(x i －x )2求得.b ^＝57，a ^ ＝y －b ^x ＝136－57×72＝－13，∴b ^<b ′，a ^>a ′.选C.三、考查线性回归直线方程的应用例3 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________. 解析 小李这5天的平均投篮命中率 y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间x ＝3.根据表中数据可求得b ^＝0.01，a ^＝0.47，故线性回归方程为y ^＝0.47＋0.01x ，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53. 答案 0.5 0.533 巧解非线性回归问题如果题目所给样本点的分布不呈带状分布，即两个变量不呈线性关系，那么，就不能直接利用线性回归方程建立两个变量之间的关系，这时我们可以把散点图和已经学过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出与这些散点拟合最好的函数，然后利用变量置换，把非线性回归方程问题转化为线性回归方程的问题来解决，这是解决此类问题的通法，体现了转化思想. 一、案例分析例 一个昆虫的某项指标和温度有关，现收集了7组数据如下表：试建立某项指标y 关于温度x 的回归模型，并判断你所建立的回归模型的拟合效果. 分析 根据表中的数据画出散点图，再由图设出相应的回归模型.解 画出散点图如图所示，样本点并没有分布在某个带状区域内，而是分布在某一条二次函数曲线y ＝Bx 2＋A 的周围.令X ＝x 2，则变换后的样本点应该分布在y ＝bX ＋a (b ＝B ，a ＝A )的周围. 由已知数据可得变换后的样本数据表：计算得到线性回归方程为y ^＝0.199 94X ＋4.999 03.用x 2替换X ，得某项指标y 关于温度x 的回归方程y ^＝0.199 94x 2＋4.999 03. 计算得R 2≈0.999 997，几乎为1，说明回归模型的拟合效果非常好.点评 本题是非线性回归分析问题，解决这类问题应该先画出散点图，把它与我们所学过的函数图象相对照，选择一种跟这些样本点拟合最好的函数，然后采用适当的变量变换转化为线性回归分析问题，使之得以解决. 二、知识拓展常见的非线性函数转换方法：(1)幂型函数y ＝ax m (a 为正数，x ，y 取正值)解决方案：对y ＝ax m 两边取常用对数，有lg y ＝lg a ＋m lg x ，令u ＝lg y ，v ＝lg x ，则原式可变为u ＝m v ＋lg a ，其中m ，lg a 为常数，该式表示u ，v 的线性函数. (2)指数型函数y ＝c ·a x (a ，c >0，且a ≠1)解决方案：对y ＝ca x 两边取常用对数，则有lg y ＝lg c ＋x lg a ，令u ＝lg y ，则原式可变为u ＝x lg a ＋lg c ，其中lg a 和lg c 为常数，该式表示u ，x 的线性函数.与幂函数不同的是x 保持不变，用y 的对数lg y 代替了y . (3)反比例函数y ＝kx(k >0)解决方案：令u ＝1x ，则y ＝ku ，该式表示y ，u 的线性函数.(4)二次函数y ＝ax 2＋c解决方案：令u ＝x 2，则原函数可变为y ＝au ＋c ，该式表示y ，u 的线性函数. (5)对数型函数y ＝c log a x解决方案：令x ＝a u ，则原函数可变为y ＝cu ，该式表示y ，u 的线性函数.4 两个变量线性相关的判法汇总一、由散点图判断两个变量线性相关例1 “阿曼德匹萨”是一个制作和外卖意大利匹萨的餐饮连锁店，其主要客户群是在校大学生，为研究各店铺某季度的销售额与店铺附近地区大学生人数的关系，随机抽取十个分店的样本，得到数据如下：(1)画出散点图，并判断各店铺该季度的销售额y 与店铺附近地区大学生人数x 是否具有线性相关关系？(2)若具有线性相关关系，求回归方程，然后再进一步根据回归方程预测一个区内大学生有1万人的店铺的季度销售额.分析 先根据表中的数据画出散点图，然后判断是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，再根据所给的数据求出线性回归方程，最后进行预测. 解 (1)散点图如图所示.由散点图可以看出：这些点分布在一条直线的附近.所以各店铺该季度的销售额y 与店铺附近地区大学生人数x 具有线性相关关系.(2)由表中数据可知x ＝1.4，y ＝13，∑i ＝110x 2i －10x 2＝5.68，∑i ＝110x i y i －10x y ＝28.4.所以b ^＝28.45.68＝5，a ^＝13－5×1.4＝6.因此回归方程是y ^＝5x ＋6.当x ＝1时，y ^＝5×1＋6＝11，即区内大学生有1万人的店铺的季度销售额约为11万元. 评注 本题根据线性回归方程进行预测，这要求同学们具备一定的数据分析、推测能力.通过学习，体会数据收集、分析在现实生活中的作用.二、由样本相关系数判断两个变量线性相关例2 2010年4月14日青海省玉树县发生7.1级大地震，为了抗震救灾，某工厂需大批生产帐篷支援灾区，工厂为了规定工时定额，需要确定加工帐篷所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：试问：(1)对x 与Y 进行相关性检验；(2)如果x 与Y 具有线性相关关系，求出回归方程.分析 可通过计算相关系数判断Y 与x 是否具有相关关系，如果Y 与x 具有相关关系可将有关数据代入公式求得回归方程.解 (1)①作统计假设：x 与Y 不具有线性相关关系. ②由小概率0.05与n －2＝8在附表中查得r 0.05＝0.632. ③根据已知数据，可求得x ＝55，y ＝91.7，∑i ＝110x 2i ＝38 500，∑i ＝110y 2i ＝87 777，∑i ＝110x i y i ＝55 950. 因此，r ＝55 950－10×55×91.7(38 500－10×552)×(87 777－10×91.72)≈0.999 8.④|r |>0.632，即|r |>r 0.05从而有95%的把握认为x 与Y 之间具有线性相关关系，因而求回归方程是有意义的.(2)设所求的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则有b ^＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668，a ^ ＝y －b ^ x ＝54.96.因此，所求的回归方程是y ^＝0.668x ＋54.96.评注 求解两个变量的相关系数及它们的回归方程的计算量大，需要细心、谨慎地计算.。
