江苏省无锡市2020年八年级下学期数学期中考试试卷A卷

2020-2021学年江苏省无锡市八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中（）A．B．C．D．2．（3分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（）A．调查市场上冷冻食品的质量情况B．调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品C．调查某品牌冰箱的使用寿命D．调查2021年春晚的收视率情况3．（3分）下列各式是分式的是（）A．B．C．D．4．（3分）给出下列分式：、、、，其中最简分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（3分）下列等式成立的是（）A．B．C．D．6．（3分）在下列命题中，正确的是（）A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形7．（3分）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（）A．一定是矩形B．一定是菱形C．对角线一定互相垂直D．对角线一定相等8．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F（）A．2B．3C．4D．69．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝102°，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为（）A．24°B．26°C．28°D．36°10．（3分）已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线y＝mx﹣3m+4（m为常数且）上，AB＝5，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是（）A．24B．25C．26D．30二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分．）11．（2分）要使分式有意义，则x应满足条件．12．（2分）计算：＝．13．（2分）已知平行四边形ABCD中，∠B＝3∠A，则∠D＝．14．（2分）一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1﹣4组的频数分别为12、10、6、8．15．（2分）如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，交DE的延长线于点F，若EF＝6．16．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E．17．（2分）已知，则的值是．18．（2分）如图，矩形ABCD的边AB＝，BC＝3，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，则CG的最小值为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．）19．（8分）计算并化简：（1）；（2）．20．（6分）化简代数式，再从﹣2，2，0，1四个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．21．（8分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）将△ABC沿x轴翻折后再沿y轴向上平移2个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1，若△ABC内有一点P（a，b），则经过两次变换后点P的坐标变为；（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2；（3）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A3（﹣1，﹣2），B3（1，﹣3），C3（0，﹣5），则旋转中心坐标为．22．（8分）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，为更好地决策，自来水公司的随机抽取了部分用户的用水量数据，（每组数据包括在右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题：（1）此次抽样调查的样本容量是．（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数．（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？23．（6分）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在．（1）估计摸到黑球的概率是；（2）如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在24．（8分）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．25．（8分）如图，已知△ABC，AP平分∠BAC（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．（1）作菱形AMPN，使点M，N分别在边AB、CA上；（2）若∠C＝90°，AB＝8，BP＝4，求（1）26．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿线段AB向点B运动，把∠A沿DP折叠，使点A落在点A′处．求出当△BP A′为直角三角形时27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，交BD于点E，连接AE．（1）求线段AB的长；（2）求证：AD平分∠EAF；（3）求△AEF的周长．28．（12分）如图，四边形ABCD是菱形，AD＝5，垂足为H，交对角线AC于M，且AH ＝3．动点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C方向以2个单位/秒的速度向终点B匀速运动，沿CB方向以1个单位/秒的速度向终点B匀速运动，设△MPQ的面积为S（1）求DM的长；（2）当点P在BC上运动时，求S与t之间的函数关系式，并求出t的取值范围；（3）当点P在AB上运动时，是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角，求出t值，若不存在2020-2021学年江苏省无锡市八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中（）A．B．C．D．【解答】解：A、“业”可以看作轴对称图形；B、“精”不可以看作轴对称图形；C、“于”不可以看作轴对称图形；D、“勤”不可以看作轴对称图形；故选：A．2．（3分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（）A．调查市场上冷冻食品的质量情况B．调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品C．调查某品牌冰箱的使用寿命D．调查2021年春晚的收视率情况【解答】解：A、调查市场上冷冻食品的质量情况，故本选项不合题意；B、调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品，故本选项符合题意；C、调查某品牌冰箱的使用寿命，故本选项不合题意；D、调查2021年春晚的收视率情况，故本选项不合题意；故选：B．3．（3分）下列各式是分式的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是单项式；B、是单项式；C、是单项式；D、是分式．故选：D．4．（3分）给出下列分式：、、、，其中最简分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵＝、、＝＝2a+b、，∴最简分式是共1个．故选：A．5．（3分）下列等式成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、，故A不成立．B、，故B不成立．C、，故C成立．D、，故D不成立．故选：C．6．（3分）在下列命题中，正确的是（）A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【解答】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，故原命题错误；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不符合题意；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，不符合题意，故选：C．7．（3分）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（）A．一定是矩形B．一定是菱形C．对角线一定互相垂直D．对角线一定相等【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，F，G，H分别是边AD，BC，∴EF＝FG＝CH＝EH，BD＝2EF，∴BD＝AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：D．8．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC＝8，∴∠F＝∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB＝∠DCF，∴∠F＝∠FCB，∴BF＝BC＝8，同理：DE＝CD＝3，∴AF＝BF﹣AB＝2，AE＝AD﹣DE＝2，∴AE+AF＝7；故选：C．9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝102°，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为（）A．24°B．26°C．28°D．36°【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．∴AB＝AB'，∠C＝∠C'，∴∠B＝∠AB'B，∵AB'＝CB'，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝2∠C＝∠B，∵∠BAC＝102°，∴∠C+∠B＝78°，∴∠C＝26°，∴∠C'＝26°，故选：B．10．（3分）已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线y＝mx﹣3m+4（m为常数且）上，AB＝5，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是（）A．24B．25C．26D．30【解答】解：方法一：∵直线AB：y＝mx﹣3m+4＝m（x﹣3）+4，∴AB过定点M（3，4），∴OM＝5，作OH⊥AB于H，∴OH≤5，∴S△ABO最大＝，∴以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是25，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分．）11．（2分）要使分式有意义，则x应满足条件x≠3．【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣3≠5，解得：x≠3．故答案为：x≠3．12．（2分）计算：＝a5b5．【解答】解：原式＝a6b3•＝a5b5．故答案为：a4b5．13．（2分）已知平行四边形ABCD中，∠B＝3∠A，则∠D＝135°．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠D＝∠B，∵∠B＝3∠A，∴4∠A＝180°，解得：∠A＝45°，∴∠D＝∠B＝7×45°×5＝135°，故答案为：135°．14．（2分）一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1﹣4组的频数分别为12、10、6、80.1．【解答】解：根据题意得：40﹣（12+10+6+8）＝40﹣36＝6，则第5组的频率为4÷40＝2.1，故答案为：0.6．15．（2分）如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，交DE的延长线于点F，若EF＝63．【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝，∴EF∥BC，∵CF∥BE，∴四边形BCFE为平行四边形，∴BC＝EF＝7，∴DE＝BC＝8，故答案为：3．16．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E ．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC＝3，BO＝DO，∴BO＝＝＝4，∴BD＝4，∵S菱形ABCD＝AB•DE＝AC•BD，∴DE＝＝，故答案为．17．（2分）已知，则的值是﹣6．【解答】解：∵，∴﹣＝，则＝，故＝5，∴＝﹣3×．故答案为：﹣3．18．（2分）如图，矩形ABCD的边AB＝，BC＝3，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，则CG的最小值为 2.5．【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，∵四边形ABCD是矩形，AB＝，∴∠B＝90°，CD＝，∵AE＝3，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，∴∠GEH+∠EGH＝90°，∠GEH+∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，又∵GE＝EF，∴△GEH≌△FEA（AAS），∴GH＝AE＝4，∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，∴当F与D重合时，CG有最小值，∴CG的最小值＝＝2.3，故答案为：2.5．三、解答题（本大题共10小题，共84分．）19．（8分）计算并化简：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝+＝＝＝＝2；（2）原式＝﹣＝＝＝．20．（6分）化简代数式，再从﹣2，2，0，1四个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．【解答】解：原式＝•＝•＝，当a＝0时，原式＝2．21．（8分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）将△ABC沿x轴翻折后再沿y轴向上平移2个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1，若△ABC内有一点P（a，b），则经过两次变换后点P的坐标变为（a，﹣b+2）；（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2；（3）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A3（﹣1，﹣2），B3（1，﹣3），C3（0，﹣5），则旋转中心坐标为（0，﹣1）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C8，经过两次变换后点P的坐标变为（a，﹣b+2）．故答案为：（a，﹣b+2）．（2）如图，△A6B2C2即为所求作．（3）如图，旋转中心的Q的坐标为（4．故答案为：（0，﹣1）．22．（8分）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，为更好地决策，自来水公司的随机抽取了部分用户的用水量数据，（每组数据包括在右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题：（1）此次抽样调查的样本容量是100．（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数．（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？【解答】解：（1）∵10÷10%＝100（户），∴样本容量是100；（2）用水15～20吨的户数：100﹣10﹣38﹣24﹣8＝20（户），∴补充图如下：“15吨～20吨”部分的圆心角的度数＝360°×＝72°，答：扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数为72°．（3）6×＝6.08（万户），答：该地区6万用户中约有4.08万户的用水全部享受基本价格．23．（6分）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在．（1）估计摸到黑球的概率是；（2）如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在【解答】解：（1）P（取出黑球）＝1﹣P（取出红球）＝1﹣＝；故答案为：；（2）设袋子中原有黑球x个，根据题意得：＝，解得：x＝18，经检验x＝18是原方程的根，所以黑球有18个，∵又放入了n个黑球，根据题意得：＝，解得：n＝6．24．（8分）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF．在△ADF和△CBE中，，∴△AFD≌△CEB（SAS）；（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．25．（8分）如图，已知△ABC，AP平分∠BAC（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．（1）作菱形AMPN，使点M，N分别在边AB、CA上；（2）若∠C＝90°，AB＝8，BP＝4，求（1）【解答】解：（1）作线段AP的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N、PN得四边形AMPN即为所求菱形，证明：∵MN是AP的垂直平分线，∴AN＝PN，AM＝PM，∵AP平分∠BAC，∴∠NAO＝∠MAO，∵AO＝AO∴△AON≌△AOM（ASA），∴AN＝AM，∴AN＝PN＝PM＝AM，∴四边形AMPN是菱形； （2）∵四边形AMPN是菱形，∴AN＝PN＝PM＝AM，PM∥AC，∵∠C＝90°，AB＝8，∴∠BPM＝∠C＝90°，设AN＝PN＝PM＝AM＝x，则BM＝8﹣x，由勾股定理得：BM4＝PM2+BP2，∴（7﹣x）2＝x2+32，解得：x＝3，∴BM＝8﹣3＝5，∵PM∥AC，∴，即，解得：BC＝，∴PC＝BC﹣BP＝﹣4＝，∴菱形AMPN的面积＝AN•PC＝3×＝．26．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿线段AB向点B运动，把∠A沿DP折叠，使点A落在点A′处．求出当△BP A′为直角三角形时【解答】解：分三种情况讨论：（1）如图，当∠BA′P＝90°时，由折叠得，∠P A′D＝∠A＝90°，∴∠BA′D＝∠BA′P+∠P A′D＝180°，∴点B、A′，设AP＝x cm，BP＝（8﹣x）cm，由题可得，BD＝，A'D＝AD＝6，∴A′B＝10﹣6＝4，在Rt△A′PB中，有x5+42＝（7﹣x）2，解得：x＝3，∴点P的运动时间为3÷2＝（s）；（2）如图，当∠A′P ，∠A′P ，又∵∠DA′P＝∠A＝90°，∴四边形AP A′D是矩形，由折叠可得A′P＝AP，∴四边形AP A′D是正方形，∴AP＝AD＝6，∴点P的运动时间为6÷4＝3（s）；（3）当∠A′B P＝90°时．综上所述，符合要求的点P的运动时间为s ．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，交BD于点E，连接AE．（1）求线段AB的长；（2）求证：AD平分∠EAF；（3）求△AEF的周长．【解答】解：（1）∵A、B两点在y＝﹣，设A（x，0），y）代入y＝﹣，得x＝5，y＝12，∴A（5，8），12），即OA＝5，OB＝12，∴AB＝＝＝13，故AB＝13；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD，∵BD是正方形的对角线，∴∠CDE＝∠ADE，在△CDE和△ADE中，，∴△CDE≌△ADE（SAS），∴∠DCE＝∠DAE，设FC与AD交点为M，∵∠EMD＝∠AMF（对顶角相等），∠DCM+∠EMD＝∠MAF+∠AMF，∴∠DCM＝∠MAF＝∠EAM，∴AD平分∠EAF； （3）如右图，过点B作BN平行于OF，∵BN∥OF，∠BOF＝∠CFO＝90°，∴四边形OBNF为正方形，∴BN＝BO， 又∵BC＝BA，∠CBN＝∠OBA，∴BN＝12，CN＝5，∴C（12，17），又∵BA＝AD＝13，∴BD＝13， 由（2）中△CDE≌△ADE，得AE＝CE，又∵OF＝BN＝12，DA＝2，∴AF＝12﹣5＝7，CF＝CN+NF＝4+12＝17，△AEF周长＝AE+EF+AF＝CF+AF＝17+7＝24．28．（12分）如图，四边形ABCD是菱形，AD＝5，垂足为H，交对角线AC于M，且AH ＝3．动点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C方向以2个单位/秒的速度向终点B匀速运动，沿CB方向以1个单位/秒的速度向终点B匀速运动，设△MPQ的面积为S（1）求DM的长；（2）当点P在BC上运动时，求S与t之间的函数关系式，并求出t的取值范围；（3）当点P在AB上运动时，是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角，求出t值，若不存在【解答】解：（1）在Rt△ADH中，AD＝5，∴DH＝4，∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，在△DCM和△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SAS），∴DM＝BM，在Rt△BHM中，BM＝DM，BH＝AB﹣AH＝3，根据勾股定理得，DM2﹣MH2＝BH3，即：DM2﹣（4﹣DM）7＝4，∴DM＝；（2）点P在AB上运动的时间为t＝，此时点Q运动的距离为，设点P、Q在CB上相遇的时间为x，解得x＝，总时间为t＝+＝，故点P在BC上运动时t＝，当PQ相遇时，①当≤t＜时，过点M作MG⊥CB交CB的延长线于点G，∵菱形对角线平分对角，故MH＝DM＝，此时PB＝2t﹣5，CQ＝t，则S＝×PQ×MG＝＝﹣+；②当t＝时，S＝0；③当＜t≤5时，同理可得：S＝﹣，故S＝；（3）存在，理由：∵∠ADM+∠BAD＝90°，∠BCD＝∠BAD，∴∠ADM+∠BCD＝90°，∵∠MPB+∠BCD＝90°，∴∠MPB＝∠ADM，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAM＝∠BAM，∵AM＝AM，∴△ADM≌△ABM（SAS），∴∠ADM＝∠ABM，∴∠MPB＝∠ABM，∵MH⊥AB，∴PH＝BH＝5，∴BP＝2BH＝4，∵AB＝7，∴AP＝1，∴t＝AP＝．。

2020-2021学年江苏省无锡市惠山区八校联考八年级（下）期中数学试卷1.下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.下列二次根式中，最简二次根式是()A. √12B. √5C. √x3D. √x23.若二次根式√2−x有意义，则x的取值范围是()A. x<2B. x≠2C. x≤2D. x≥24.为了了解赣榆区八年级学生某次数学调研测试成绩情况，从10000名学生中随机抽取了1000名学生的数学成绩进行分析，下列说法正确的是()A. 全区学生是总体B. 抽取的1000名学生是总体的一个样本C. 每一名学生是个体D. 样本容量是10005.一个布袋里装有2个红球，3个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是()A. 摸出的是白球B. 摸出的是黑球C. 摸出的是红球D. 摸出的是绿球6.将分式2m中的m、n都扩大为原来的3倍，则分式的值()m−nA. 不变B. 扩大3倍C. 扩大6倍D. 扩大9倍7.下列说法正确的是()A. 对角线相等的平行四边形是菱形B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形C. 对角线相互垂直的四边形是菱形D. 有一个角是直角的平行四边形是菱形8.面对疫情，武汉疫情急需建造一座用于集中收治新型冠状病毒感染肺炎患者的专科医院--火神山医院，这是一次与疫情竞速的建设.若该工程由甲队单独施工，则恰好在规定时间内完成，若由乙队单独施工，则要超过规定时间3天才能完成；现在甲、乙两队合做2天后，再由乙队单独做，也刚好在规定时间完成.设工程规定的天数为x天，则下列方程正确的是()A. 2(1x +1x+3)+x−2x+3=1 B. 2(1x−1x+3)+x−2x+3=1C. 2(1x +1x−3)+x−2x−3=1 D. 2(1x+1x+3)+x+2x+3=19.如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为()A. 2√2−2B. √3−1C. 2−√2D. √2−110.如图，平面内三点A、B、C，AB=5，AC=4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是()A. 5B. 9C. 9√2D. 92√211.化简：|√3−2|=______．12.从一副扑克牌中任意抽取1张：①这张牌是“A”；②这张牌是“红心”；③这张牌是“大王”.其中发生的可能性最大的事件是____.(填序号)13.“学习强国”的英语“Learningpower”中，字母“n”出现的频率是______ ．14.若a+b=5，ab=3，则ab +ba的值是______．15.若关于x的方程x+mx−3+3m3−x=3的解为正数，则m的取值范围是______．16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边的中点，连接CD并延长至点E，使DE=CD.连接AE，过点B作BF//DE交AE的延长线于点F，若BF=7，则AB的长为______ ．17.如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为______ ．18.如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段CD上，且CE=3DE，过点C作CF⊥BE，垂足为点F.连接OF，则OF的长为______．19.计算：(1)√6×(2√3−3√13).(2)6+2√3√3−(2+√3)(2−√3).20.解下列方程：(1)2x−3=3x；(2)x+1x−1−4x2−1=1．21.如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图(1)以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；(2)作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．22.某校音乐组决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：(1)在这次调查中，一共抽查了______ 名学生.其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为______ .扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为______ 度.(2)请你补全条形统计图．(3)某班8位同学中，2人喜欢舞蹈，2人喜欢乐器，1人喜欢声乐，3人喜欢乐曲，李老师要从这8人中任选1人参加学校社团展演，则恰好选出1人喜欢乐器的概率是______ ．23.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过A作AE//BD，过D作DE//AC，AE与DE相交于点E.求证：四边形AODE为矩形．24.为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：污水处理设备A型B型价格(万元/台)m m−3月处理污水量(吨/台)22001800(1)求m的值；(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问采用何种购买方案可以使得每月处理污水量的吨数为最多？并求出最多吨数．25.已知：直线l1与直线l2平行，且它们之间的距离为2，A、B是直线l1上的两个定点，C、D是直线l2上的两个动点(点C在点D的左侧)，AB=CD=5，连接AC、BD、BC，将△ABC沿BC折叠得到△A1BC．(1)求四边形ABDC的面积．(2)当A1与D重合时，四边形ABDC是什么特殊四边形，为什么？(3)当A1与D不重合时①连接A1、D，求证：A1D//BC；②若以A1，B，C，D为顶点的四边形为矩形，且矩形的边长分别为a，b，求(a+b)2的值．26.已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，AE⊥BD，垂足是E，点F是点关于AB的对称点，连接AF、BF．(1)直接求出：AF=______；BE______；(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB、AD上时，求出相应的m的值．(3)如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α(0°<α<180°)，记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD 交于点Q.是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，直接写出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】B【解析】解：A、√12=2√3，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；B、√5不能化简，是最简二次根式，符合题意；C、√x3=x√x，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；D、√x2=√2x2，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意：(1)在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数)，如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．3.【答案】C【解析】解：由题意得：2−x≥0，解得：x≤2．故选：C．二次根式有意义要求被开方数为非负数，由此可得出x的取值范围．本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握被开方数只能为非负数．4.【答案】D【解析】解：A、全区学生的数学成绩是总体，故本选项不符合题意；B、抽取的1000名学生的数学成绩是总体的一个样本，故本选项不符合题意；C、每一名学生的数学成绩是个体，故本选项不符合题意；D、样本容量是1000，故本选项符合题意；故选：D．根据总体、个体、样本、样本容量的定义逐个判断即可．本题考查了总体、个体、样本、样本容量等知识点，能熟记总体、个体、样本、样本容量的概念的内容是解此题的关键．5.【答案】A【解析】解：因为白球最多，所以被摸到的可能性最大．故选：A．个数最多的就是可能性最大的．本题主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的基本性质是解答此题的关键．根据分式的基本性质进行解答即可．【解答】解：将分式2mm−n 中的m、n都扩大为原来的3倍可变为6m3m−3n=6m3(m−n)=2mm−n．故选A．7.【答案】B【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误，故选：B．利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项．本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．8.【答案】A【解析】解：设工程规定日期为x天，由题意得，2(1x +1x+3)+x−2x+3=1．故选：A．设工程规定日期为x天，根据题意可得：总工程=甲乙2天的工作量+乙(x−2)天的工作量，据此列方程．本题考查了有实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据正方形的性质和角平分线的性质，可以得到∠BCE和∠BEC的度数，根据勾股定理，可以得到BD的长，然后即可得到DE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA=1，∴∠BCD=90°，∴BD=√BC2+CD2=√2，∵AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACD，∴∠BCE=67.5°，∠DCE=22.5°，∵∠BEC=∠EDC+∠DCE=45°+22.5°=67.5°，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE，∵BC=1，∴BE=1，∴DE=BD−BE=√2−1，故选D．10.【答案】D【解析】解：如图，将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，由旋转不变性可知：AB=CM=5，DA=DM，∠ADM=90°，∴△ADM是等腰直角三角形，AM，∴AD=√22∴当AM的值最大时，AD的值最大，∵AM≤AC+CM，∴AM≤9，∴AM的最大值为9，∴AD的最大值为9√2．2故选：D．如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM.由旋转不变性可知：AB=CM=5，DA=DM.∠ADM=90°，得出△ADM是等腰直角三角形，推出AD=√2AM，当AM的2值最大时，AD的值最大，根据三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题．本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．11.【答案】2−√3【解析】解：∵√3−2<0∴|√3−2|=2−√3．故答案为：2−√3．要先判断出√3−2<0，再根据绝对值的定义即可求解．此题主要考查了绝对值的性质．要注意负数的绝对值是它的相反数．12.【答案】②【解析】【分析】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．分别求出抽出各种扑克的概率，即可比较出各种扑克的可能性大小．【解答】解：∵①这张牌是“A”的概率为454=227；②这张牌是“红心”的概率为1354；③这张牌是“大王”的概率为154；∴其中发生的可能性最大的事件是②．故答案为：②．13.【答案】213【解析】解：∵“学习强国”的英语“Learningpower”中，一共有13个字母，n有2个，∴字母“n”出现的频率是：213．故答案为：213．直接利用频率的定义分析得出答案．此题主要考查了频率的求法，正确把握定义是解题关键．14.【答案】193【解析】解：a b +b a ，=(a+b)2−2ab ab ，当a +b =5，ab =3时，原式=52−2×33， =193，故答案为：193．本题需先根据分式的运算顺序和法则进行计算，再把a +b =5，ab =3代入即可求出答案．本题主要考查了分式的化简求值，在解题时要根据分式的运算顺序和法则进行计算，再把已有的数据代入是本题的关键．15.【答案】m <92且m ≠32【解析】解：x+m x−3+3m 3−x =3，方程两边同乘以x −3，得x +m −3m =3(x −3)去括号，得x +m −3m =3x −9移项及合并同类项，得2x =−2m +9系数化为1，得x =−2m+92，∵关于x 的方程x+m x−3+3m 3−x =3的解为正数且x −3≠0，∴{−2m+92>0−2m+92−3≠0， 解得，m <92且m ≠32．根据解分式方程的方法求出题目中分式方程的解，然后根据关于x 的方程x+m x−3+3m 3−x =3的解为正数和x −3≠0可以求得m 的取值范围．本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．16.【答案】7【解析】解：∵D 为AB 边的中点，∴AD =BD ，在△BCD 和△AED 中，{CD =ED ∠CDB =∠EDA BD =AD，∴△BCD≌△AED(SAS)，∴∠CBD =∠EAD ，∴BC//AE ，即BC//EF ，又∵BF//CE ，∴四边形BCEF 是平行四边形，∴CE =BF =7，∴CD =12CE =3.5， ∵∠ACB =90°，∴AB =2CD =7，故答案为：7．利用“SAS ”证△BCD≌△AED 得∠CBD =∠EAD ，据此知BC//EF ，由BF//CE 可得四边形BCEF 是平行四边形，据此知CE =BF =7，最后根据DE =CD =12CE 可得答案． 本题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质．17.【答案】52【解析】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，在△BNA和△BNE中，{∠ABN=∠EBN BN=BN∠ANB=∠ENB．∴△BNA≌△BNE(ASA)，∴BA=BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是AE中点，点M是AD中点(三线合一)，∴MN是△ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19−BC=19−7=12，∴DE=BE+CD−BC=5，∴MN=12DE=52．故答案是：52．证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．18.【答案】2√25【解析】解：在BE上截取BG=CF，连接OG，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∠BCD=∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，OB=OC，∵Rt△BCE中，CF⊥BE，∴∠EBC=∠ECF，∴∠OBG=∠OCF，在△OBG与△OCF中，{OB=OC∠OBG=∠OCF BG=CF，∴△OBG≌△OCF(SAS)，∴OG=OF，∠BOG=∠COF，∴OG⊥OF，在Rt△BCE中，BC=DC=4，CE=3DE，∴CE=3，∴BE=√BC2+CE2=5，∵∠CBF=∠EBC，∠BCE=∠BFC=90°，∴△BCF∽△BEC，∴BCBF =BEBC，∴BC2=BF⋅BE，则42=5BF，解得：BF=165，∴EF=BE−BF=95，同理CF2=BF⋅EF，∴CF=125，∴GF=BF−BG=BF−CF=45，在等腰直角△OGF中，OF2=12GF2=825，∴OF=2√25．故答案为：2√25．在BE上截取BG=CF，连接OG，如图所示：先由SAS证明△OBG≌△OCF，得出OG=OF，∠BOG=∠COF，证出OG⊥OF，由射影定理求出BE、BF、CF、GF，再由勾股定理即可求出OF的长．本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、射影定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．19.【答案】解：(1)原式=2√6×3−3√6×13=6√2−3√2=3√2；(2)原式=√3)×√3√3×√3−(4−3)=6√3+63−1=2√3+2−1=2√3+1．【解析】(1)利用二次根式的乘法法则运算；(2)先分母有理化，再利用平方差公式计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20.【答案】解：(1)去分母得：2x=3x−9，解得：x=9，经检验x=9是分式方程的解；(2)去分母得：(x+1)2−4=x2−1，去括号得：x2+2x+1−4=x2−1，移项合并得：2x=2，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21.【答案】解：(1)△AB 1C 1如图所示；(2)△A 2B 2C 2如图所示．【解析】(1)依据△ABC绕点A顺时针旋转90°，即可得到△AB1C1；(2)依据中心对称的性质进行作图，即可得到△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．本题主要考查了利用旋转变换进行作图，解题时注意：旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．22.【答案】50 24%28.814【解析】解：(1)在这次调查中，一共抽查了学生人数为：8÷16%=50(名)，×100%=24%，其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为：1250喜欢“戏曲”的人数为：50−12−16−8−10=4(名)，=28.8°，∴扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为：360°×450故答案为：50，24%，28.8；(2)由(1)得：喜欢戏曲的学生有4名，补全的条形统计图如图所示；(3)∵某班8位同学中，2人喜欢舞蹈，2人喜欢乐器，1人喜欢声乐，3人喜欢乐曲，李老师要从这8人中任选1人参加学校社团展演，∴恰好选出1人喜欢乐器的概率为28=14，故答案为：14．(1)根据喜欢声乐的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比和扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角的度数；(2)根据(1)中的结果，从而可以将条形统计图补充完整；(3)根据题目中的数据，可以得到恰好选出1人喜欢乐器的概率．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率公式，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23.【答案】证明：∵AE//BD，DE//AC，∴四边形AODE是平行四边形，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴四边形AODE为矩形．【解析】根据平行四边形的判定定理和菱形的性质定理即可得到结论．本题主要考查了菱形的性质、矩形的性质与判定、解题的关键是牢固掌握菱形的性质、矩形的性质，这是灵活运用解题的基础和关键．24.【答案】解：(1)由题意得：90m =75m−3，解得m=18．经检验m=18是原方程的根，故m的值为18；(2)设购买A型设备x台，则B型设备(10−x)台，由题意得：18x+15(10−x)≤165，解得x≤5．设每月处理污水量为W吨，由题意得W=2200x+1800(10−x)=400x+18000，∵400>0，∴W随着x的增大而增大，∴当x=5时，W最大值为：400×5+18000=20000，即两种设备各购入5台，可以使得每月处理污水量的吨数为最多，最多为20000吨．【解析】(1)根据90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，列出关于m的分式方程，求出m的值即可；(2)设购买A型设备x台，则B型设备(10−x)台，根据题意列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围．再设每月处理污水量为W吨，则W=2200x+1800(10−x)= 400x+18000，根据一次函数的性质即可求出最大值．本题考查分式方程的应用，一次函数的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的关系是解决问题的关键．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．25.【答案】解(1)∵AB=CD=5，AB//CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABDC的面积=2×5=10；(2)∵四边形ABDC是平行四边形，∵A1与D重合时，∴AC=CD，∵四边形ABDC是平行四边形，∴四边形ABDC是菱形；(3)①连结A1D，如图，∵△ABC沿BC折叠得到△A1BC，∴CA1=CA=BD，AB=CD=A1B，在△A1CD和△A1BD中{CA1=BD CD=BA1 A1D=A1D∴△A1CD≌△A1BD(SSS)，∴∠3=∠4，又∵∠1=∠CBA=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4，∴∠1=∠4，∴A1D//BC；②当∠CBD=90°，∵四边形ABDC是平行四边形，∴∠BCA=90°，∴S△A1CB=S△ABC=12×2×5=5，∴S矩形A1CBD=10，即ab=10，而BA1=BA=5，∴a2+b2=25，∴(a+b)2=a2+b2+2ab=45；当∠BCD=90°时，∵四边形ABDC是平行四边形，∴∠CBA=90°，∴BC=2，而CD=5，∴(a+b)2=(2+5)2=49，∴(a+b)2的值为45或49．【解析】(1)根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；(2)根据折叠的性质得到AC=CD，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC是菱形；(3)①连结A 1D ，根据折叠性质和平行四边形的性质得到CA 1=CA =BD ，AB =CD =A 1B ，∠1=∠CBA =∠2，可证明△A 1CD≌△A 1BD ，则∠3=∠4，然后利用三角形内角和定理得到得到∠1=∠4，则根据平行线的判定得到A 1D//BC ；②讨论：当∠CBD =90°，则∠BCA =90°，由于S △A1CB =S △ABC =5，则S 矩形A 1CBD =10，即ab =10，由BA 1=BA =5，根据勾股定理得到a 2+b 2=25，然后根据完全平方公式进行计算；当∠BCD =90°，则∠CBA =90°，易得BC =2，而CD =5，所以(a +b)2=(2+5)2． 本题考查了四边形综合题：熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角．26.【答案】245 =185【解析】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD =90°，在Rt △ABD 中，AB =3，AD =4，由勾股定理得：BD =√AB 2+AD 2=√62+82=10， ∵S △ABD =12BD ⋅AE =12AB ⋅AD ，∴AE =AB⋅AD BD=6×810=245，∵点F 是点E 关于AB 的对称点， ∴AF =AE =245，BF =BE ，∵AE ⊥BD ， ∴∠AEB =90°，在Rt △ABE 中，AB =6，AE =245，由勾股定理得：BE =√AB 2−AE 2=√62−(245)2=185．故答案为：245，=185．(2)设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①−1所示：由对称点性质可知，∠1=∠2.BF =BE =185，由平移性质可知，AB//A′B′，∠4=∠1，BF =B′F′=185．①当点F′落在AB 上时， ∵AB//A′B′， ∴∠3=∠4， ∴∠3=∠2， ∴BB′=B′F′=185，即m =185；②当点F′落在AD 上时， ∵AB//A′B′， ∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1， ∴∠5=∠6， 又易知A′B′⊥AD ， ∴△B′F′D 为等腰三角形， ∴B′D =B′F′=185，∴BB′=BD −B′D =10−185=325，即m =325．(3)存在．理由如下：在旋转过程中，等腰△DPQ 依次有以下4种情形：①如图③−1所示，点Q 落在BD 延长线上，且PD =DQ ，则∠Q =∠DPQ ，∴∠2=∠Q +∠DPQ =2∠Q ， ∵∠1=∠3+∠Q ，∠1=∠2， ∴∠3=∠Q ， ∴A′Q =A′B =3， ∴F′Q =F′A′+A′Q =245+6=545．在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：BQ =√F′Q 2+F′B 2=√(545)2+(185)2=18√105． ∴DQ =BQ −BD =18√105−10；②如图③−2所示，点Q 落在BD 上，且PQ =DQ ，则∠2=∠P ， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠P ， ∴BA′//PD ，则此时点A′落在BC 边上． ∵∠3=∠2， ∴∠3=∠1， ∴BQ =A′Q ， ∴F′Q =F′A′−A′Q =245−BQ ．在Rt △BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q 2=BQ 2， 即：(185)2+(245−BQ)2=BQ 2，解得：BQ =7320， ∴DQ =BD −BQ =10−7320=12720；③如图③−3所示，点Q 落在BD 上，且PD =DQ ，则∠3=∠4．∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4， ∴∠4=90°−12∠2． ∵∠1=∠2， ∴∠4=90°−12∠1．∴∠A′QB =∠4=90°−12∠1，∴∠A′BQ =180°−∠A′QB −∠1=90°−12∠1， ∴∠A′QB =∠A′BQ ， ∴A′Q =A′B =3， ∴F′Q =A′Q −A′F′=6−245=65．在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：BQ =√F′Q 2+F′B 2=√(65)2+(185)2=6√105， ∴DQ =BD −BQ =10−6√105； ④如图④−4所示，点Q 落在BD 上，且PQ =PD ，则∠2=∠3．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3， ∴∠1=∠4， ∴BQ =BA′=6，∴DQ =BD −BQ =10−6=4．综上所述，存在4组符合条件的点P 、点Q ，使△DPQ 为等腰三角形；DQ 的长度分别为4或12720或18√105−10或10−6√105． (1)利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；(2)依题意画出图形，如图①−1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m 的值；(3)在旋转过程中，等腰△DPQ 有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可．本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第(3)问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论．。

江苏省无锡市锡北片2019-2020学年八年级下学期数学期中考试试卷一、单选题（共10题；共20分）1.下列四个图案中，不是中心对称图案的是（）A. B.C. D.2.以下问题，适合用抽样调查的是（）A. 旅客上飞机前的安检B. 调查市场上酸奶的质量情况C. 疫情期间对进入校园的师生的测温检查D. 某区招聘新教师，对应聘人员的面试3.小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间,并列出了如下的频数分布表:通话时间0<x≤55<x≤1010<x≤1515<x≤20x/min频数20 16 9 5(通话次数)则通话时间不超过15 min的频率为()A. 0.1B. 0.4C. 0.5D. 0.94.分式可变形为（）A. B. C. D.5.要使分式有意义，则x的取值范围是（）A. x>2B. x<2C. x≠0D. x≠26.菱形的对角线不具备的性质是（）A. 对角线互相平分B. 对角线一定相等C. 对角线一定垂直D. 对角线平分一组对角7.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（）A. 10B. 14C. 20D. 228.如图，已知点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A. AB=CDB. AC=BDC. AC⊥BDD. AD=BC9.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）A. B. C. 1 D.10.如图，在等边△ABC内有一点D，AD=4，BD=3，CD=5，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则四边形ADCE的面积为（）A. 12B.C.D.二、填空题（共8题；共8分）11.一只不透明的袋子中装有3个黑球、2个白球和1个红球共6个球，现充分搅匀后随机摸出一球，则摸到白球的概率为________.12.如果分式的值为0，那么x的值是________.13.已知菱形ABCD的对角线AC＝12 cm，BD=16cm，则这个菱形的面积为________cm.14.已知，则的值________.15.如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，若∠B＝52°，则∠AEC的度数为________.16.若用去分母法解分式方程会产生增根，则m的值为________.17.已知：如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC、AC、AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依此类推….若△ABC的周长为1，则△A n B n C n的周长为________.18.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，D为BC边上一点，且，以D为一个顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，将正方形DEFG绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AG的长为________.三、解答题（共9题；共77分）19.计算：（1）；（2）.20.解方程：（1）＝；（2）.21.先化简，再求值：，其中a2+a﹣1＝0.22.二孩政策的落实引起了全社会的关注，某校学生数学兴趣小组为了了解本校同学对父母生育二孩的态度，在学校抽取了部分同学对父母生育二孩所持的态度进行了问卷调查，调查分为非常赞同、赞同、无所谓、不赞同等四种态度.现将调查统计结果制成了如图所示的两幅统计图，请结合这两幅统计图，回答下列问题：（1）在这次问卷调查中，一共抽取了________名学生，a＝________%；（2）请补全条形统计图；（3）持“不赞同”态度的学生人数的百分比所占扇形的圆心角为________°；（4）若该校有1200名学生，请你估计该校学生对父母生育二孩持“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数之和.23.按要求作图，不要求写做法，但要保留作图痕迹.（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请只用直尺（不带刻度）在边AD上找点F，使DF=BE.（2）如图2，BE是菱形ABCD的边AD上的高，请只用直尺（不带刻度）作出菱形ABCD的边AB上的高DF.24.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形.25.列方程解应用题：马小虎的家距离学校1400米，一天马小虎从家去上学，出发8分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他.已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度.26.在△ABC中，AB＝12，AC＝BC＝10，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°<α<180°)，点B的对应点为D，点C的对应点为E，连接BD，BE.（1）如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接写出BE的长.（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE＋CE的值.27.如图，在正方形ABCD中，AB=5cm，E为对角线BD上一动点，连接AE、CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F，E点从B点出发，沿BD方向以每秒1cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止.设△BEF 的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒.（1）点E在整个运动过程中，试说明总有：CE=EF；（2）求y与x之间关系的表达式，并写出x的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】解：A、即是中心对称图形，又是轴对称图形，故A不符合题意；B、即是中心对称图形，又是轴对称图形，故B不符合题意；C、只是轴对称图形，不是中心对称图形，故C符合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意；故答案为:C.【分析】把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案。

2019-2020学年江苏省无锡市滨湖区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分.） 1．（3分）下列图形中，是轴对称但不是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）要使分式13a +有意义，则a 的取值应满足( ) A ．3a =- B ．3a ≠-C ．3a >-D ．3a ≠3．（3分）分式12x--可变形为( ) A ．12x - B ．12x -+ C ．12x + D ．12x -- 4．（3分）下列说法正确的是( )A ．为了了解某中学1200名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50名学生的视力B ．若一个游戏的中奖率是2%，则做50次这样的游戏一定会中奖C ．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽样调查方式D ．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件5．（3分）掷一枚普通的正六面体骰子，出现的点数中，以下结果机会最大的是( ) A ．点数为3的倍数 B ．点数为奇数 C ．点数不小于3D ．点数不大于36．（3分）下列约分正确的是( )A ．632x x x=B ．0x yx y +=+C ．222142xy x y =D ．21x y x xy x+=+ 7．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( ) A ．对边平行且相等 B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对角线相等8．（3分）计算2()x yxy x xy--÷的结果( )A ．1yB ．2x yC ．2x y -D ．xy -9．（3分）如图，在ABC ∆中，70A ∠=︒，AC BC =，以点B 为旋转中心把ABC ∆按顺时针旋转一定角度，得到△A BC ''，点A '恰好落在AC 上，连接CC '，则ACC '∠度数为( )A ．110︒B ．100︒C ．90︒D ．70︒10．（3分）如图，在菱形ABCD 中，135D ∠=︒，32AD =，2CE =，点P 是线段AC 上一动点，点F 是线段AB 上一动点，则PE PF +的最小值( )A ．22B ．3C ．25D 10二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分.） 11．（2分）在代数式11,,,52x x y xx a b +-+中，分式有 个． 12．（2分）分式2311,26x y xy的最简公分母是 ． 13．（2分）当x = 时，分式242x x --的值为0．14．（2分）在一个不透明的口袋中装有若干个质地相同，而颜色不完全相同的球，如果口袋中只装有4个黄球，且摸出黄球的概率为13，那么袋中共有 个球．15．（2分）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有平行四边形、矩形、等腰三角形、菱形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为 ．16．（2分）矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF 垂直平分AC ．则AE 的长为 ．17．（2分）如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是线段AD 、BC 的中点，G 、H 分别是线段BD 、AC 的中点，当四边形ABCD 的边满足 时，四边形EGFH 是菱形．18．（2分）如图，正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在线段CD 上，且3CE DE =，过点C 作CF BE ⊥，垂足为点F ．连接OF ，则OF 的长为 ．三、解答题（本大题共9小题，共74分.请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）约分： （1）321218xyx y ； （2）22816m m --． 20．（8分）计算：（1）22932b a a bc ；（2）212293m m---． 21．（6分）先化简，再求值：222524(1)244a a a a a a -+-+÷+++，其中3a =． 22．（8分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过A 作//AE BD ，过D作//DE AC ，AE 与DE 相交于点E ．求证：四边形AODE 为矩形．23．（8分）为弘扬中华传统文化，某校组织八年级800名学生参加汉字听写大赛为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，得到如下所示的模数分布表：分数段 50.560.5-60.570.5-70.580.5-80.590.5-90.5100.5-频数 16 30 50 m24所占百分比8%15%25%40%n请根据尚未完成的表格，解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量为 ，表中m = ．n （2）补全图中所示的频数分布直方图；（3）若成绩超过80分为优秀，则该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？24．（8分）在学习了“普查与抽样调查”之后，某校八（1）班数学兴趣小组对该校学生的视力情况进行了抽样调查，并画出了如图所示的统计图．请根据图中信息解决下列问题： （1）本次抽查活动中共抽查了 名学生；（2）已知该校七年级、八年级、九年级学生数分别为360人、400人、540人． ①试估算：该校九年级视力不低于4.8的学生约有 名；②请你帮忙估算出该校视力低于4.8的学生数．25．（8分）已知，如图在ABCD 中，AB AC =．（1）请用无刻度的直尺和圆规，画出ABC ∆中AB 边上的中线CE ；（作图要求：保留痕迹，不写作法．)（2）请只用无刻度的直尺，画出ABCD 中BC 边上的高AH ，并说明理由．26．（10分）已知：//////l m n k ，平行线l 与m 、m 与n 、n 与k 之间的距离分别为1d ，2d ，3d ，且132d d ==，23d =．我们把四个顶点分别在l ，m ，n ，k 这四条平行线上的四边形称为“线上四边形”．（1）如图1，正方形ABCD 为“线上四边形”， BE l ⊥于点E ，EB 的延长线交直线k 于点F ，求正方形ABCD 的边长．（2）如图2，菱形ABCD 为“线上四边形”且60ADC ∠=︒，AEF ∆是等边三角形，点E 在直线k 上，连接DF ，且DF 的延长线分别交直线l 、k 于点G 、M ，求证：EC DF =．27．（10分）如图，在矩形ABCD中，2AB=，AD m=，动点P从点D出发，沿射线DA以每秒1个单位的速度向点A方向运动，连接CP，把PDC∆．设点P∆沿PC翻折，得到PEC的运动时间为()t s．（1）若3m=，当P，E，B三点在同一直线上时，求t的值；（2）若点E到直线BC的距离等于1，求t的值；（3）若AE的最小值为1，直接写出m值．2019-2020学年江苏省无锡市滨湖区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分.）1．（3分）下列图形中，是轴对称但不是中心对称图形的是()A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称，也是中心对称的图形，故本选项不合题意；B、是轴对称但不是中心对称的图形，故本选项符合题意；C、是轴对称，也是中心对称的图形，故本选项不合题意；D、是轴对称，也是中心对称的图形，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）要使分式13a+有意义，则a的取值应满足()A．3a=-B．3a≠-C．3a>-D．3a≠【分析】根据分式的分母不等于零得到：30a+≠．【解答】解：由题意，得30a+≠，解得3a≠-．故选：B．【点评】考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．3．（3分）分式12x--可变形为()A．12x-B．12x-+C．12x+D．12x--【分析】直接利用分式的基本性质变形得出答案．【解答】解：分式12x--可变形为：12x-．故选：A．【点评】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握分式的性质是解题关键．4．（3分）下列说法正确的是()A．为了了解某中学1200名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50名学生的视力B．若一个游戏的中奖率是2%，则做50次这样的游戏一定会中奖C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽样调查方式D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件【分析】根据样本容量为所抽查对象的数量，抽样调查，随机事件，即可解答．【解答】解：A．为了了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50，故错误；B．若一个游戏的中奖率是2%，则做50次这样的游戏不一定中奖，故错误；C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式，正确；D．因为一枚硬币有正反两面，所以“掷一枚硬币，正面朝上”是随机事件，故错误；故选：C．【点评】本题考查了概率的意义，样本容量，抽样调查，随机事件，解决本题的关键是明确相关概念．5．（3分）掷一枚普通的正六面体骰子，出现的点数中，以下结果机会最大的是() A．点数为3的倍数B．点数为奇数C．点数不小于3D．点数不大于3【分析】根据概率公式分别计算出点数为3的倍数、奇数、不小于3、不大于3的概率，从而得出答案．【解答】解：掷一枚普通的正六面体骰子，出现的点数中，点数为3的倍数的概率为2163=，点数为奇数的概率为3162=，点数不小于3的概率为4263=，点数不大于3的概率为31 62 =，故选：C．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．6．（3分）下列约分正确的是()A ．632x x x=B ．0x yx y +=+C ．222142xy x y =D ．21x y x xy x+=+ 【分析】根据分式的基本性质作答．分式的分子和分母都乘以或都除以同一个不为0的数或整式，分式的值不变．【解答】解：A 、分式的分子分母约去公因式2x 后，其结果应为4x ，故本选项错误；B 、分式分子分母相同，约分后值应为1，故本选项错误；C 、分式的分子分母约去公因式2xy 后结果为：2yx，故本选项错误； D 、分母分解因式后与分子约去公因式x y +，结果正确；故选：D ．【点评】本题考查了分式的约分的知识，是分式运算的基础，应要求学生重点掌握． 7．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( ) A ．对边平行且相等 B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对角线相等【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．【解答】解：矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等； 平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分； 故选项A 、B 、C 不符合题意，D 符合题意； 故选：D ．【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质；熟记矩形和平行四边形的性质是解决问题的关键．8．（3分）计算2()x yxy x xy--÷的结果( ) A ．1yB ．2x yC ．2x y -D ．xy -【分析】先把除法转化成乘法，再进行约分即可得出答案． 【解答】解：22()()x y xyxy x x y x x y xy x y--÷=-⨯=--； 故选：C ．【点评】此题考查了分式的除法，掌握分式的除法法则是解题的关键，较简单．9．（3分）如图，在ABC ∆中，70A ∠=︒，AC BC =，以点B 为旋转中心把ABC ∆按顺时针旋转一定角度，得到△A BC ''，点A '恰好落在AC 上，连接CC '，则ACC '∠度数为( )A ．110︒B ．100︒C ．90︒D ．70︒【分析】由70A ∠=︒，AC BC =，可知40ACB ∠=︒，根据旋转的性质，AB BA ='，BC BC ='，40CBC α∠'=∠=︒，70BCC ∠'=︒，于是110ACC ACB BCC ∠'=∠+∠'=︒．【解答】解：70A ∠=︒，AC BC =， 40BCA ∴∠=︒，根据旋转的性质，AB BA ='，BC BC ='， 18027040α∴∠=︒-⨯︒=︒， 40CBC α∠'=∠=︒， 70BCC ∴∠'=︒，110ACC ACB BCC ∴∠'=∠+∠'=︒；故选：A ．【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转前后的图形对应边相等、旋转角相等是解决问题的关键．10．（3分）如图，在菱形ABCD 中，135D ∠=︒，32AD =，2CE =，点P 是线段AC 上一动点，点F 是线段AB 上一动点，则PE PF +的最小值( )A ．22B ．3C ．25D 10【分析】先作点E 关于AC 的对称点点G ，再连接BG ，过点B 作BH CD ⊥于H ，运用勾股定理求得BH 和GH 的长，最后在Rt BHG ∆中，运用勾股定理求得BG 的长，即为PE PF +的最小值．【解答】解：作点E 关于AC 的对称点点G ，连接PG 、PE ，则PE PG =，2CE CG ==， 连接BG ，过点B 作BH CD ⊥于H ，则45BCH CBH ∠=∠=︒， Rt BHC ∴∆中，232BH CH BC ===， 321HG ∴=-=，Rt BHG ∴∆中，223110BG =+=，当点F 与点B 重合时，PE PF PG PB BG +=+=（最短），PE PF ∴+的最小值是10．故选：D ．【点评】本题考查了菱形的性质和轴对称-最短路线问题，解题的关键是得到PE PF +的最小值为BG 的长度．二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分.） 11．（2分）在代数式11,,,52x x y xx a b +-+中，分式有 2 个． 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【解答】解：1x，x y a b -+的分母中含有字母，是分式． 故答案是：2．【点评】本题主要考查分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式． 12．（2分）分式2311,26x y xy的最简公分母是 236x y ． 【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解：分式2311,26x y xy的最简公分母是236x y ； 故答案是：236x y ．【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．13．（2分）当x = 2- 时，分式242x x --的值为0．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子0=；（2）分母0≠．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【解答】解：24(2)(2)2022x x x x x x --+==+=--， 2x ∴=-．故答案为：2-．【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件，分子等于0，分母不能等于0，题目比较简单．14．（2分）在一个不透明的口袋中装有若干个质地相同，而颜色不完全相同的球，如果口袋中只装有4个黄球，且摸出黄球的概率为13，那么袋中共有 12个球．【分析】设袋中共有x 个球，再由袋中只装有4个黄球，且摸出黄球的概率为13求出x 的值即可．【解答】解：设袋中共有x 个球，袋中只装有4个黄球，且摸出黄球的概率为13，∴413x =，解得12x =． 故答案为：12．【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．15．（2分）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有平行四边形、矩形、等腰三角形、菱形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为34．【分析】直接利用概率公式求解可得．【解答】解：在这4张卡片上，正面图案是中心对称图形的有平行四边形、矩形、菱形这3个，∴抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为34，故答案为：34．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．16．（2分）矩形ABCD中，5AB=，4BC=，E、F分别在AB、CD上，且EF垂直平分AC．则AE的长为 4.1．【分析】连接CE，根据EF垂直平分AC，可得CE AE=，则5BE AB AE AE=-=-，在Rt CBE∆中，根据勾股定理即可得AE的长．【解答】解：如图，连接CE，EF垂直平分AC，CE AE∴=，则5BE AB AE AE=-=-，矩形ABCD中，90B∠=︒，在Rt CBE∆中，根据勾股定理，得222CE BE BC =+，即：222(5)4AE AE =-+， 解得 4.1AE =． 答：AE 的长为4.1． 故答案为：4.1．【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．17．（2分）如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是线段AD 、BC 的中点，G 、H 分别是线段BD 、AC 的中点，当四边形ABCD 的边满足 AB CD = 时，四边形EGFH 是菱形．【分析】本题可根据菱形的定义来求解．E 、G 分别是AD ，BD 的中点，那么EG 就是三角形ADB 的中位线，同理，HF 是三角形ABC 的中位线，因此EG 、HF 同时平行且相等于AB ，因此//EG HF ，EG HF =，因此四边形EHFG 是平行四边形，E 、H 是AD ，AC 的中点，那么12EH CD =，要想证明EHFG 是菱形，那么就需证明EG EH =，那么就需要AB 、CD 满足AB CD =的条件．【解答】解：当AB CD =时，四边形EGFH 是菱形． 点E ，G 分别是AD ，BD 的中点，//EG AB ∴，同理//HF AB ，//EG HF ∴，12EG HF AB ==， ∴四边形EGFH 是平行四边形．12EG AB =，又可同理证得12EH CD =， AB CD =，EG EH ∴=，∴四边形EGFH 是菱形．故答案为AB CD =．【点评】本题考查了菱形的判定，运用的是菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形．18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段CD上，且3CE DE=，过点C作CF BE⊥，垂足为点F．连接OF，则OF的长为225．【分析】在BE上截取BG CF=，连接OG，如图所示：先由SAS证明OBG OCF∆≅∆，得出OG OF=，BOG COF∠=∠，证出OG OF⊥，由射影定理求出BE、BF、CF、GF，再由勾股定理即可求出OF的长．【解答】解：在BE上截取BG CF=，连接OG，如图所示：四边形ABCD是正方形，4AB BC CD AD∴====，90BCD ABC BAD ADC∠=∠=∠=∠=︒，OB OC=，Rt BCE∆中，CF BE⊥，EBC ECF∴∠=∠，OBG OCF∴∠=∠，在OBG∆与OCF∆中，OB OCOBG OCF BG CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OBG OCF SAS∴∆≅∆，OG OF∴=，BOG COF∠=∠，OG OF∴⊥，在Rt BCE∆中，4BC DC==，3CE DE=，3CE∴=，225BE BC CE∴=+，CBF EBC ∠=∠，90BCE BFC ∠=∠=︒， BCF BEC ∴∆∆∽，∴BC BEBF BC=， 2BC BF BE ∴=，则245BF =， 解得：165BF =， 95EF BE BF ∴=-=， 同理2CF BF EF =， 125CF ∴=， 45GF BF BG BF CF ∴=-=-=， 在等腰直角OGF ∆中，2218225OF GF ==，22OF ∴=． 故答案为：22．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、射影定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共74分.请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）约分： （1）321218xyx y ；（2）22816m m --．【分析】（1）将找到分子、分母的公因式，再约分即可得； （2）先将分子、分母因式分解，再约去公因式即可得．【解答】解：（1）原式22622633xy xy x y x y==；（2）原式2(4)2(4)(4)4m m m m -==+-+． 【点评】本题主要考查约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 20．（8分）计算：（1）22932b a a bc ；（2）212293m m---． 【分析】（1）根据分式的乘法可以解答本题； （2）根据分式的减法可以解答本题．【解答】解：（1）22932b a a bc32abc=； （2）212293m m --- 122(3)(3)3m m m =++-- 122(3)(3)(3)m m m ++=+-1226(3)(3)m m m ++=+-218(3)(3)m m m +=+-．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．21．（6分）先化简，再求值：222524(1)244a a a a a a -+-+÷+++，其中3a =． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得． 【解答】解：原式22522(2)(2)()22(2)a a a a a a a a -+++-=+÷+++ 244222a a a a a -+-=÷++ 2(2)222a a a a -+=+- 2a =-，当3a =时，原式321=-=．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22．（8分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过A 作//AE BD ，过D 作//DE AC ，AE 与DE 相交于点E ．求证：四边形AODE 为矩形．【分析】根据平行四边形的判定定理和菱形的性质定理即可得到结论． 【解答】证明：//AE BD ，//DE AC ，∴四边形AODE 是平行四边形，在菱形ABCD 中，AC BD ⊥， 90AOD ∴∠=︒，∴四边形AODE 为矩形．【点评】本题主要考查了菱形的性质、矩形的性质与判定、解题的关键是牢固掌握菱形的性质、矩形的性质，这是灵活运用解题的基础和关键．23．（8分）为弘扬中华传统文化，某校组织八年级800名学生参加汉字听写大赛为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，得到如下所示的模数分布表：分数段 50.560.5-60.570.5-70.580.5-80.590.5-90.5100.5-频数 16 30 50 m24所占百分比8%15%25%40%n请根据尚未完成的表格，解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量为 200 ，表中m = ．n （2）补全图中所示的频数分布直方图；（3）若成绩超过80分为优秀，则该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？【分析】（1）根据第一组的频数是16，频率是0.08，即可求得总数，即样本容量；（2）根据（1）的计算结果即可作出直方图；（3）利用总数800乘以优秀的所占的频率即可．【解答】解：（1）样本容量是：160.08200÷=；样本中成绩的中位数落在第四组；m=⨯=，2000.408024n===，0.1212%200故答案为：200、80、12%=；（2）补全频数分布直方图，如下：（3）800(0.40.12)416⨯+=（人)．答：该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有416人．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．24．（8分）在学习了“普查与抽样调查”之后，某校八（1）班数学兴趣小组对该校学生的视力情况进行了抽样调查，并画出了如图所示的统计图．请根据图中信息解决下列问题：（1）本次抽查活动中共抽查了145名学生；（2）已知该校七年级、八年级、九年级学生数分别为360人、400人、540人．①试估算：该校九年级视力不低于4.8的学生约有名；②请你帮忙估算出该校视力低于4.8的学生数．【分析】（1）求出各组的人数和即可得；（2）①用九年级总人数乘以所抽取的人数中不低于4.8的学生数所占比例即可得；②利用各年级的人数乘以对应的比例求解可得．【解答】解：（1）本次抽查活动中学生总人数为103525253020145+++++=人；（2）①估计该校九年级视力不低于4.8的学生约有20540216 3020⨯=+人；②估算该校视力低于4.8的学生数为102530 360400540604455050⨯+⨯+⨯=（人)．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．25．（8分）已知，如图在ABCD中，AB AC=．（1）请用无刻度的直尺和圆规，画出ABC∆中AB边上的中线CE；（作图要求：保留痕迹，不写作法．)（2）请只用无刻度的直尺，画出ABCD中BC边上的高AH，并说明理由．【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可画出ABC ∆中AB 边上的中线CE ；（2）结合（1）只用无刻度的直尺，即可画出ABCD 中BC 边上的高AH ，．【解答】解：如图，（1）中线CE 即为所求；（2）高AH 即为所求，理由如下：在ABCD 中，连接BD 交AC 于点O ，AO CO ∴=，BO ∴是ABC ∆中AC 边上的中线， CE 是ABC ∆中AB 边上的中线，设BO 与CE 交于点G ，连接AG 并延长交BC 于点H ，AH ∴是ABC ∆中BC 边上的中线，AB AC =，AH BC ∴⊥，AH ∴是ABCD 中BC 边上的高．【点评】本题考查了作图-复杂作图、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本的尺规作图．26．（10分）已知：//////l m n k ，平行线l 与m 、m 与n 、n 与k 之间的距离分别为1d ，2d ，3d ，且132d d ==，23d =．我们把四个顶点分别在l ，m ，n ，k 这四条平行线上的四边形称为“线上四边形”．（1）如图1，正方形ABCD为“线上四边形”，BE l⊥于点E，EB的延长线交直线k于点F，求正方形ABCD的边长．（2）如图2，菱形ABCD为“线上四边形”且60∆是等边三角形，点E在ADC∠=︒，AEF直线k上，连接DF，且DF的延长线分别交直线l、k于点G、M，求证：EC DF=．【分析】（1）由“AAS”可证ABE BCFFC BE==，由勾股定理可求解；∆≅∆，可得5（2）如图2，连接AC，由菱形的性质和等边三角形的性质可得AD ACCAD∠=︒，=，60 =，60AE AF=．∆≅∆，可得EC DFEAF∠=︒，由“SAS”可证EAC FAD【解答】解：（1）如图1，//////⊥，l m n k，BE l⊥，⊥，BE n∴⊥，BE mBE kBF=，∴∠=∠=︒，5BE=，290AEB BFC∴∠+∠=︒，CBF BCF90正方形ABCD为“线上四边形”，ABC∠=︒，∴=，90AB BC∴∠+∠=︒，BAE CBF90∴∠=∠，ABE BCF∴∆≅∆，ABE BCF AAS()FC BE∴==，52225429∴=+=+BC BF FC（2）如图2，连接AC，四边形ABCD 是菱形，AD CD ∴=，60ADC ∠=︒，ADC ∴∆是等边三角形，AD AC ∴=，60CAD ∠=︒，AEF ∆是等边三角形，AE AF ∴=，60EAF ∠=︒，EAF CAD ∴∠=∠，EAC DAF ∴∠=∠，()EAC FAD SAS ∴∆≅∆，EC DF ∴=．【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．27．（10分）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，AD m =，动点P 从点D 出发，沿射线DA 以每秒1个单位的速度向点A 方向运动，连接CP ，把PDC ∆沿PC 翻折，得到PEC ∆．设点P 的运动时间为()t s ．（1）若3m =，当P ，E ，B 三点在同一直线上时，求t 的值；（2）若点E 到直线BC 的距离等于1，求t 的值；（3）若AE 的最小值为1，直接写出m 值．【分析】（1）如图1中，设PD t =．则3PA t =-．首先证明6BP BC ==，在Rt ABP ∆中利用勾股定理即可解决问题；（2）分两种情形求出AD 的值即可解决问题：①如图2中，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的下方，点E 到BC 的距离为1．②如图3中，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的上方，点E 到BC 的距离为1；（3）点E 在以C 为圆心，4为半径的圆上运动，当A ，E ，C 共线时，AE 最小，然后根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图1中，当P ，E ，B 三点在同一直线上时，BPC DPC ∠=∠，又BCP DPC ∠=∠，BPC BCP ∴∠=∠，3BP BC ∴==，22945AP BP AB ∴=--35PD ∴=，∴当(35)t s =-时，B 、E 、P 共线；（2）如图2中，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的下方，点E 到BC 的距离为1． 作EQ BC ⊥于Q ，EM DC ⊥于M ．则1EQ =，2CE DC ==，则四边形EMCQ 是矩形，1CM EQ ∴==，90M ∠=︒， 2222213EM EC CM ∴=-=-=，DAC EDM ∠=∠，ADC M ∠=∠，ADC DME ∴∆∆∽，∴AD DC DMEM =， ∴33AD =， 23AD PD t ∴===；如图3中，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的上方，点E 到BC 的距离为1．作EQ BC ⊥于Q ，延长QE 交AD 于M ．则1EQ =，2CE DC ==，在Rt ECQ ∆中，2222213QC DM EC EQ ==-=-=由DME CDA ∆∆∽，∴DM EM CD AD =， ∴31AD=， 23AD PD t ∴===， 如图4，当点P 在DA 的延长线上时，点E 到BC 的距离为1．作EQ BC ⊥于Q ，EM DC ⊥于M ．则1EQ =，2CE DC ==，则四边形EMCQ 是矩形， 1CM QE ∴==， 22213EM ∴=-=，由DME CDA ∆∆∽，∴DM EM PD CD =， ∴33t =， 23t ∴=综上所述，若点E 到直线BC 的距离等于1，t 的值为23或23； （3）如图5，点E 在以C 为圆心，2为半径的圆上运动，当A ，E ，C 共线时，AE 最小，此时1AE =，3AC ∴=，2222325m BC AC AB ∴==-=-．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。